Angoli adiacenti di un triangolo. Angoli adiacenti e verticali

CAPITOLO I.

CONCETTI BASILARI.

§undici. ANGOLI ADIACENTI E VERTICALI.

1. Angoli adiacenti.

Se proseguiamo il lato di qualche angolo oltre il suo vertice, otterremo due angoli (Fig. 72): / Un sole e / SVD, in cui un lato BC è comune e gli altri due AB e BD formano una linea retta.

Due angoli che hanno un lato in comune e gli altri due formano una retta si dicono adiacenti.

Gli angoli adiacenti si possono ottenere anche in questo modo: se tracciamo un raggio da un punto qualsiasi di una retta (non giacente su una determinata retta), otteniamo angoli adiacenti.
Per esempio, / ADF e / FDВ - angoli adiacenti (Fig. 73).

Gli angoli adiacenti possono avere un'ampia varietà di posizioni (Fig. 74).

La somma degli angoli adiacenti forma un angolo piatto, quindi la umma di due angoli adiacenti è 2D.

Pertanto, un angolo retto può essere definito come un angolo uguale all'angolo adiacente.

Conoscendo il valore di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare il valore dell'altro angolo adiacente.

Ad esempio, se uno degli angoli adiacenti è 3/5 D, allora il secondo angolo sarà uguale a:

2D- 3 / 5 D= l 2/5 D.

2. Angoli verticali.

Se estendiamo i lati di un angolo oltre il suo vertice, otteniamo angoli verticali. Nel disegno 75 gli angoli EOF e AOC sono verticali; anche gli angoli AOE e COF sono verticali.

Due angoli si dicono verticali se i lati di un angolo sono prolungamenti dei lati dell'altro angolo.

Permettere / 1 = 7 / 8 D(Fig.76). Adiacente ad esso / 2 sarà uguale a 2 D- 7 / 8 D, cioè 1 1/8 D.

Allo stesso modo, puoi calcolare a cosa sono uguali / 3 e / 4.
/ 3 = 2D - 1 1 / 8 D = 7 / 8 D; / 4 = 2D - 7 / 8 D = 1 1 / 8 D(Fig.77).

Lo vediamo / 1 = / 3 e / 2 = / 4.

Puoi risolvere molti altri problemi uguali e ogni volta ottieni lo stesso risultato: gli angoli verticali sono uguali tra loro.

Tuttavia, per garantire che gli angoli verticali siano sempre uguali tra loro, non è sufficiente considerare singoli esempi numerici, poiché le conclusioni tratte da esempi particolari talvolta possono essere errate.

È necessario verificare la validità della proprietà degli angoli verticali mediante ragionamento, mediante dimostrazione.

La dimostrazione può essere effettuata nel modo seguente (Fig. 78):

/ un+/ C = 2D;
/ b+/ C = 2D;

(poiché la somma degli angoli adiacenti è 2 D).

/ un+/ C = / b+/ C

(poiché il lato sinistro di questa uguaglianza è uguale a 2 D, e anche il suo lato destro è uguale a 2 D).

Questa uguaglianza include lo stesso angolo Con.

Se sottraiamo equamente da valori uguali, rimarrà uguale. Il risultato sarà: / UN = / B, cioè gli angoli verticali sono uguali tra loro.

Considerando la questione degli angoli verticali, abbiamo prima spiegato quali angoli sono chiamati verticali, cioè abbiamo dato definizione angoli verticali.

Quindi abbiamo espresso un giudizio (dichiarazione) sull'uguaglianza degli angoli verticali e siamo stati convinti della validità di questo giudizio mediante prova. Tali giudizi, la cui validità deve essere dimostrata, vengono chiamati teoremi. Pertanto, in questa sezione abbiamo dato la definizione di angoli verticali e abbiamo anche affermato e dimostrato un teorema sulla loro proprietà.

In futuro, studiando la geometria, dovremo costantemente confrontarci con definizioni e dimostrazioni di teoremi.

3. La somma degli angoli che hanno un vertice comune.

Nel disegno 79 / 1, / 2, / 3 e / 4 si trovano dalla stessa parte di una retta e hanno un vertice comune su tale retta. In sintesi, questi angoli formano un angolo piatto, cioè
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2D.

Nel disegno 80 / 1, / 2, / 3, / 4 e / 5 hanno una parte superiore comune. In sintesi, questi angoli costituiscono un angolo completo, cioè / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4D.

Esercizi.

1. Uno degli angoli adiacenti è 0,72 D. Calcola l'angolo formato dalle bisettrici di questi angoli adiacenti.

2. Dimostrare che le bisettrici di due angoli adiacenti formano un angolo retto.

3. Dimostrare che se due angoli sono uguali, anche i loro angoli adiacenti sono uguali.

4. Quante coppie di angoli adiacenti ci sono nel disegno 81?

5. Una coppia di angoli adiacenti può essere costituita da due angoli acuti? da due angoli ottusi? da angoli retti e ottusi? da un angolo retto e acuto?

6. Se uno degli angoli adiacenti è retto, cosa si può dire del valore dell'angolo adiacente ad esso?

7. Se all'intersezione di due rette c'è un angolo retto, cosa si può dire della dimensione degli altri tre angoli?

Angoli in cui un lato è comune e gli altri lati giacciono sulla stessa retta (nella figura gli angoli 1 e 2 sono adiacenti). Riso. all'art. Angoli adiacenti... Grande Enciclopedia Sovietica

ANGOLI ADIACENTI-angoli che hanno un vertice e un lato in comune, e gli altri due lati giacciono sulla stessa retta... Grande Enciclopedia del Politecnico

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Libri

• Sulla dimostrazione in geometria, Fetisov A.I. Una volta, proprio all'inizio dell'anno scolastico, mi è capitato di ascoltare una conversazione tra due ragazze. Il maggiore è passato alla sesta elementare, il più giovane alla quinta. Le ragazze hanno condiviso le loro impressioni sulle lezioni, ...
• Geometria. 7 ° grado. Taccuino complesso per il controllo della conoscenza, I. S. Markova, S. P. Babenko. Il manuale presenta materiali di controllo e misurazione (KMI) in geometria per condurre il controllo di qualità attuale, tematico e finale della conoscenza degli studenti del grado 7. I contenuti della guida…

Due angoli si dicono adiacenti se hanno un lato in comune e gli altri lati di questi angoli sono raggi complementari. Nella figura 20 gli angoli AOB e BOC sono adiacenti.

La somma degli angoli adiacenti è 180°

Teorema 1. La somma degli angoli adiacenti è 180°.

Prova. Il raggio OB (vedi Fig. 1) passa tra i lati dell'angolo sviluppato. Ecco perché ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

Dal Teorema 1 segue che se due angoli sono uguali, allora sono uguali anche gli angoli ad essi adiacenti.

Gli angoli verticali sono uguali

Due angoli si dicono verticali se i lati di un angolo sono raggi complementari dei lati dell'altro. Gli angoli AOB e COD, BOD e AOC, formati all'intersezione di due rette, sono verticali (Fig. 2).

Teorema 2. Gli angoli verticali sono uguali.

Prova. Considera gli angoli verticali AOB e COD (vedi Fig. 2). L'angolo BOD è adiacente a ciascuno degli angoli AOB e COD. Per il Teorema 1, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Quindi concludiamo che ∠ AOB = ∠ COD.

Corollario 1. Un angolo adiacente ad un angolo retto è un angolo retto.

Consideriamo due rette intersecanti AC e BD (Fig. 3). Formano quattro angoli. Se uno di essi è retto (angolo 1 in Fig. 3), anche gli altri angoli sono retti (angoli 1 e 2, 1 e 4 sono adiacenti, angoli 1 e 3 sono verticali). In questo caso, si dice che queste linee si intersecano ad angolo retto e sono chiamate perpendicolari (o mutuamente perpendicolari). La perpendicolarità delle linee AC e BD è indicata come segue: AC ⊥ BD.

La bisettrice perpendicolare di un segmento è una linea perpendicolare a questo segmento e passante per il suo punto medio.

AN - perpendicolare alla linea

Consideriamo una linea a e un punto A non giacente su di essa (Fig. 4). Unisci il punto A con un segmento al punto H con una retta a. Un segmento AH si dice perpendicolare tracciato dal punto A alla retta a se le rette AN e a sono perpendicolari. Il punto H si chiama base della perpendicolare.

Disegno quadrato

Vale il seguente teorema.

Teorema 3. Da qualsiasi punto che non giace su una linea si può tracciare una perpendicolare a questa linea, e inoltre solo una.

Per tracciare una perpendicolare da un punto a una linea retta nel disegno, viene utilizzato un quadrato da disegno (Fig. 5).

Commento. L'enunciato del teorema si compone solitamente di due parti. Una parte parla di ciò che viene dato. Questa parte è chiamata condizione del teorema. L'altra parte parla di ciò che deve essere dimostrato. Questa parte è chiamata conclusione del teorema. Ad esempio, la condizione del Teorema 2 sono gli angoli verticali; conclusione: questi angoli sono uguali.

Qualsiasi teorema può essere espresso in dettaglio a parole in modo che la sua condizione inizi con la parola "se" e la conclusione con la parola "allora". Ad esempio, il Teorema 2 può essere enunciato in dettaglio come segue: "Se due angoli sono verticali, allora sono uguali".

Esempio 1 Uno degli angoli adiacenti è 44°. A cosa è uguale l'altro?

Soluzione. Indichiamo con x la misura in gradi di un altro angolo, quindi secondo il Teorema 1.
44° + x = 180°.
Risolvendo l'equazione risultante, lo troviamo x \u003d 136 °. Pertanto, l'altro angolo è 136°.

Esempio 2 Lascia che l'angolo COD nella Figura 21 sia 45°. Cosa sono gli angoli AOB e AOC?

Soluzione. Gli angoli COD e AOB sono verticali, quindi per il Teorema 1.2 sono uguali, cioè ∠ AOB = 45°. L'angolo AOC è adiacente all'angolo COD, quindi per il Teorema 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Esempio 3 Trova gli angoli adiacenti se uno di essi è 3 volte l'altro.

Soluzione. Indichiamo con x la misura in gradi dell'angolo più piccolo. Allora la misura in gradi dell'angolo maggiore sarà Zx. Poiché la somma degli angoli adiacenti è 180° (Teorema 1), allora x + 3x = 180°, da cui x = 45°.
Quindi gli angoli adiacenti sono 45° e 135°.

Esempio 4 La somma di due angoli verticali è 100°. Trova il valore di ciascuno dei quattro angoli.

Soluzione. Alla condizione del problema corrisponda la figura 2. Gli angoli verticali COD con AOB sono uguali (Teorema 2), il che significa che anche le loro misure in gradi sono uguali. Pertanto, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (la loro somma è 100° per condizione). L'angolo BOD (anche l'angolo AOC) è adiacente all'angolo COD, e quindi per il Teorema 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Nel processo di studio del corso di geometria, i concetti di "angolo", "angoli verticali", "angoli adiacenti" si incontrano abbastanza spesso. Comprendere ciascuno dei termini aiuterà a comprendere il compito e risolverlo correttamente. Cosa sono gli angoli adiacenti e come determinarli?

Angoli adiacenti: definizione del concetto

Il termine "angoli adiacenti" caratterizza due angoli formati da un raggio comune e da due semirette aggiuntive giacenti sulla stessa retta. Tutti e tre i raggi provengono dallo stesso punto. La semiretta comune è contemporaneamente il lato dell'uno e del secondo angolo.

Angoli adiacenti - proprietà di base

1. In base alla formulazione degli angoli adiacenti, è facile vedere che la somma di tali angoli forma sempre un angolo piatto, la cui misura in gradi è 180°:

• Se μ e η sono angoli adiacenti, allora μ + η = 180°.
• Conoscendo il valore di uno degli angoli adiacenti (ad esempio μ), si può facilmente calcolare la misura in gradi del secondo angolo (η) utilizzando l'espressione η = 180° - μ.

2. Questa proprietà degli angoli ci permette di trarre la seguente conclusione: anche un angolo adiacente a un angolo retto sarà retto.

3. Considerando le funzioni trigonometriche (sin, cos, tg, ctg), basate sulle formule di riduzione per angoli adiacenti μ e η, vale quanto segue:

• sinη = sin(180° - μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° - μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° - μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° - μ) = -ctgμ.

Angoli adiacenti - esempi

Esempio 1

Dato un triangolo con vertici M, P, Q – ΔMPQ. Trova gli angoli adiacenti agli angoli ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Allunghiamo ciascun lato del triangolo come una linea retta.
• Sapendo che gli angoli adiacenti sono complementari tra loro in un angolo piatto, si trova che:

adiacente all'angolo ∠QMP è ∠LMP,

adiacente all'angolo ∠MPQ è ∠SPQ,

l'angolo adiacente per ∠PQM è ∠HQP.

Esempio 2

Il valore di un angolo adiacente è 35°. Quanto misura in gradi il secondo angolo adiacente?

• La somma di due angoli adiacenti dà come risultato 180°.
• Se ∠μ = 35°, allora adiacente ∠η = 180° – 35° = 145°.

Esempio 3

Determinare i valori degli angoli adiacenti, se è noto che la misura in gradi di uno dei fondi è tre volte maggiore della misura in gradi dell'altro angolo.

• Indichiamo il valore di un angolo (più piccolo) passante – ∠μ = λ.
• Quindi, a seconda delle condizioni del problema, il valore del secondo angolo sarà pari a ∠η = 3λ.
• In base alla proprietà fondamentale degli angoli adiacenti risulta μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Quindi il primo angolo è ∠μ = λ = 45° e il secondo angolo è ∠η = 3λ = 135°.

La capacità di fare appello alla terminologia, così come la conoscenza delle proprietà di base degli angoli adiacenti, aiuterà ad affrontare la soluzione di molti problemi geometrici.

Indica i numeri delle affermazioni corrette.

1) Tre linee qualsiasi hanno al massimo un punto in comune.

2) Se un angolo è 120°, allora l'angolo adiacente è 120°.

3) Se la distanza da un punto a una linea retta è maggiore di 3, allora la lunghezza di qualsiasi pendenza tracciata da un dato punto a una linea retta è maggiore di 3.

Se ci sono più affermazioni, scrivi i loro numeri in ordine crescente.

Soluzione.

Pro-ve-rim ciascuna delle affermazioni.

1) "Tre rette qualsiasi hanno al massimo un punto in comune" - Giusto. Se le rette hanno due o più punti in comune allora coincidono. (Vedi com-men-ta-rii a za-da-che.)

2) "Se l'angolo è 120°, allora quello adiacente è 120°" - sbagliato. La somma degli angoli adiacenti è 180°.

3) “Se la distanza da un punto a una linea retta è maggiore di 3, allora la lunghezza di qualsiasi pendenza tracciata da un dato punto a una linea retta è maggiore di 3” - Giusto. Perché la distanza è la lunghezza del tè corto dal taglio alla linea retta, e tutte le pendenze sono più lunghe.

Risposta: 13.

Risposta: 13

Prototipo di lavoro

Ospite 19.02.2015 12:42

Nel libro di testo scolastico Atanasyan L. S. et al. "Geometry 7--9", "Enlightenment", 2014, capitolo 1, paragrafo 1, è indicato quanto segue.

1) Assioma della planimetria: attraverso due punti qualsiasi è possibile tracciare una linea retta e, inoltre, una sola.

2) La posizione adottata nel percorso scolastico: parlando di "due punti", "tre punti", "due linee", ecc., assumeremo che questi punti, linee siano diversi.

La conclusione che lo studente deve apprendere è che due rette o hanno un solo punto comune oppure non hanno punti comuni.

Pertanto, la risposta alla prima domanda dovrebbe essere "vera". Se tutte e tre le linee coincidono, allora questa è una linea, non tre.

Pietro Murzin

Sarebbe corretto scrivere nella condizione "qualsiasi tre vari le linee hanno al massimo un punto in comune", ma non è così.

Ospite 10.04.2015 16:38

Caro editore!

Sono d'accordo con l'osservazione dell'Ospite del 19 febbraio 2015 sull'essenza dell'affermazione del paragrafo 1 di questo problema: nel citato libro di testo “Geometria 7-9” (paragrafo 1, paragrafo 1, nota 1) si dice: “qui e in futuro, dicendo "due punti", "tre punti", "due linee", ecc., assumeremo che questi punti, linee siano diversi.

Alla luce di quanto sopra, il ragionamento fornito sul sito per risolvere questo problema (in parte del paragrafo 1) è errato, poiché la formulazione del problema "tre linee" implica che queste tre linee sono diverse (cioè non possono coincidere! ). Tre linee (diverse, che è l'impostazione predefinita!): hanno un punto comune (che appartiene a ciascuna di queste tre linee) - nel caso in cui tre linee si intersecano in un punto; oppure non hanno punti in comune.

La conferma di questa conclusione è la conclusione del paragrafo 1 del paragrafo 1 del libro di testo citato: "due linee o hanno un solo punto comune, oppure non hanno punti comuni". Dimostrazione per assurdo: supponiamo che tre rette abbiano più di un punto in comune; quindi due di queste linee hanno almeno un punto in comune (poiché per queste due linee i punti in comune saranno quelli comuni a tutte e tre le linee); ma ciò contraddice la conclusione del libro di testo sopra menzionata secondo cui due linee hanno un solo punto in comune o non hanno punti in comune.

Cordiali saluti, ospite.

Supporto