Come dimostrarlo utilizzando il metodo dell'induzione matematica. Principio di induzione matematica

Lezione 6. Metodo di induzione matematica.

Le nuove conoscenze nella scienza e nella vita si ottengono in modi diversi, ma tutte (se non si entra nei dettagli) sono divise in due tipi: la transizione dal generale allo specifico e dallo specifico al generale. La prima è la deduzione, la seconda l’induzione. Il ragionamento deduttivo è ciò che viene comunemente chiamato in matematica. ragionamento logico, e nella scienza matematica la deduzione è l'unico metodo legittimo di indagine. Le regole del ragionamento logico furono formulate due millenni e mezzo fa dall'antico scienziato greco Aristotele. Ha creato un elenco completo dei ragionamenti corretti più semplici, sillogismi– “mattoni” della logica, indicando allo stesso tempo un ragionamento tipico che è molto simile a quello corretto, ma errato (spesso incontriamo questo ragionamento “pseudologico” nei media).

Induzione (induzione - in latino guida) è chiaramente illustrato dalla famosa leggenda su come Isaac Newton formulò la legge gravità universale dopo che una mela gli cadde in testa. Un altro esempio dalla fisica: in un fenomeno come l'induzione elettromagnetica, un campo elettrico crea, “induce” un campo magnetico. La “mela di Newton” è un tipico esempio di una situazione in cui uno o più casi speciali, cioè osservazioni, “suggerire” un'affermazione generale sulla base di casi particolari; Il metodo induttivo è il principale per ottenere modelli generali sia nelle scienze naturali che umane. Ma ha uno svantaggio molto significativo: sulla base di esempi particolari si può trarre una conclusione errata. Le ipotesi derivanti da osservazioni private non sono sempre corrette. Consideriamo un esempio dovuto a Eulero.

Calcoleremo il valore del trinomio per alcuni primi valori N:

Si noti che i numeri ottenuti come risultato dei calcoli sono primi. E lo si può verificare direttamente per ciascuno N Da 1 a 39 valore polinomiale
È numero primo. Tuttavia, quando N=40 otteniamo il numero 1681=41 2, che non è primo. Quindi l'ipotesi che qui potrebbe sorgere, cioè l'ipotesi che per ciascuno N numero
è semplice, risulta essere falso.

Leibniz lo dimostrò nel XVII secolo per ogni insieme positivo N numero
divisibile per 3, numero
divisibile per 5, ecc. Sulla base di ciò, lo supponeva per qualsiasi disparità K e qualsiasi naturale N numero
diviso per K, ma presto me ne sono accorto
non è divisibile per 9.

Gli esempi considerati ci consentono di trarre una conclusione importante: un'affermazione può essere giusta in una serie di casi particolari e allo stesso tempo ingiusta in generale. La questione della validità di un'affermazione nel caso generale può essere risolta utilizzando uno speciale metodo di ragionamento chiamato per induzione matematica(induzione completa, induzione perfetta).

6.1. Il principio di induzione matematica.

♦ Il metodo di induzione matematica si basa su principio di induzione matematica , che è il seguente:

1) viene verificata la validità di questa affermazioneN=1 (base di introduzione) ,

2) si presuppone la validità di questa affermazioneN= K, DoveK– numero naturale arbitrario 1(ipotesi di induzione) , e tenuto conto di tale presupposto, se ne stabilisce la validità perN= K+1.

Prova. Supponiamo il contrario, cioè supponiamo che l'affermazione non sia vera per ogni naturale N. Poi c'è un tale naturale M, Che cosa:

1) dichiarazione per N=M non è giusto,

2) per tutti N, più piccola M, l'affermazione è vera (in altre parole, Mè il primo numero naturale per il quale l'affermazione non è vera).

E' ovvio M>1, perché Per N=1 l'affermazione è vera (condizione 1). Quindi,
- numero naturale. Si scopre che per un numero naturale
l'affermazione è vera, e per il numero naturale successivo M non è giusto. Ciò contraddice la condizione 2. ■

Si noti che la dimostrazione utilizzava l'assioma secondo cui qualsiasi raccolta di numeri naturali contiene il numero più piccolo.

Viene chiamata una dimostrazione basata sul principio di induzione matematica mediante il metodo dell’induzione matematica completa .

 Esempio6.1. Dimostralo per qualsiasi naturale N numero
divisibile per 3.

Soluzione.

1) Quando N=1, quindi UN 1 è divisibile per 3 e l'affermazione è vera quando N=1.

2) Supponiamo che l'affermazione sia vera per N=K,
, cioè quel numero
è divisibile per 3, e lo stabiliamo quando N=K Il numero +1 è divisibile per 3.

Infatti,

Perché Ogni termine è divisibile per 3, quindi anche la loro somma è divisibile per 3. ■ 

 Esempio6.2. Dimostrare che la somma dei primi N i numeri dispari naturali sono uguali al quadrato del loro numero, cioè.

Soluzione. Usiamo il metodo dell'induzione matematica completa.

1) Verifichiamo la validità di questa affermazione quando N=1: 1=1 2 – questo è vero.

2) Supponiamo che la somma dei primi K (
) di numeri dispari è uguale al quadrato del numero di questi numeri, cioè. Sulla base di questa uguaglianza, stabiliamo che la somma dei primi K+1 numeri dispari è uguale a
, questo è .

Usiamo la nostra ipotesi e otteniamo

. ■ 

Il metodo dell'induzione matematica completa viene utilizzato per dimostrare alcune disuguaglianze. Dimostriamo la disuguaglianza di Bernoulli.

 Esempio6.3. Dimostralo quando
e qualsiasi naturale N la disuguaglianza è vera
(Disuguaglianza di Bernoulli).

Soluzione. 1) Quando N=1 otteniamo
, che è vero.

2) Assumiamo che quando N=K c'è disuguaglianza
(*). Usando questa ipotesi, lo dimostriamo
. Tieni presente che quando
questa disuguaglianza vale e quindi è sufficiente considerare il caso
.

Moltiplichiamo entrambi i lati della disuguaglianza (*) per il numero
e otteniamo:

Cioè (1+
. ■ 

Dimostrazione per metodo induzione matematica incompleta qualche affermazione a seconda N, Dove
effettuato in modo simile, ma all'inizio l'equità è stabilita per il valore più piccolo N.

Alcuni problemi non affermano esplicitamente un'affermazione che può essere dimostrata mediante induzione matematica. In questi casi, è necessario stabilire da soli lo schema e formulare un'ipotesi sulla validità di questo schema, quindi utilizzare il metodo dell'induzione matematica per verificare l'ipotesi proposta.

 Esempio6.4. Trova l'importo
.

Soluzione. Troviamo le somme S 1 , S 2 , S 3. Abbiamo
,
,
. Lo ipotizziamo per qualsiasi naturale N la formula è valida
. Per verificare questa ipotesi, utilizzeremo il metodo dell'induzione matematica completa.

1) Quando N=1 ipotesi è corretta, perché
.

2) Supponiamo che l'ipotesi sia vera per N=K,
, questo è
. Usando questa formula, stabiliamo che l'ipotesi è vera anche quando N=K+1, cioè

Infatti,

Quindi, sulla base del presupposto che l'ipotesi sia vera quando N=K,
, è stato dimostrato che è vero anche per N=K+1, e in base al principio di induzione matematica concludiamo che la formula è valida per qualsiasi numero naturale N. ■ 

 Esempio6.5. In matematica è dimostrato che la somma di due funzioni uniformemente continue è una funzione uniformemente continua. Sulla base di questa affermazione, devi dimostrare che la somma di qualsiasi numero
di funzioni uniformemente continue è una funzione uniformemente continua. Ma poiché non abbiamo ancora introdotto il concetto di “funzione uniformemente continua”, poniamo il problema in modo più astratto: sappiamo che la somma di due funzioni che hanno qualche proprietà S, esso stesso ha la proprietà S. Dimostriamo che la somma di un numero qualsiasi di funzioni ha la proprietà S.

Soluzione. La base dell'induzione qui è contenuta nella formulazione del problema stesso. Avendo fatto l'ipotesi di induzione, consideriamo
funzioni F 1 , F 2 , …, F N , F N+1 che hanno la proprietà S. Poi . A destra il primo termine ha la proprietà S per l'ipotesi induttiva, il secondo termine ha la proprietà S per condizione. Di conseguenza, la loro somma ha la proprietà S– per due mandati la base ad induzione “funziona”.

Ciò dimostra l'affermazione e la useremo ulteriormente. ■ 

 Esempio6.6. Trova tutto naturale N, per il quale la disuguaglianza è vera

.

Soluzione. Consideriamo N=1, 2, 3, 4, 5, 6. Abbiamo: 2 1 >1 2, 2 2 =2 2, 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2, 2 6 >6 2. Possiamo quindi fare un’ipotesi: la disuguaglianza
ha un posto per tutti
. Per dimostrare la verità di questa ipotesi, utilizzeremo il principio di induzione matematica incompleta.

1) Come stabilito sopra, questa ipotesi è vera quando N=5.

2) Supponiamo che sia vero per N=K,
, cioè la disuguaglianza è valida
. Utilizzando questa ipotesi, dimostriamo che la disuguaglianza
.

Perché
e a
c'è disuguaglianza

A
,

allora lo capiamo
. Quindi, la verità dell'ipotesi a N=K+1 deriva dal presupposto che sia vero quando N=K,
.

Dai paragrafi. 1 e 2, basandosi sul principio di induzione matematica incompleta, ne consegue che la disuguaglianza
vero per ogni naturale
. ■ 

 Esempio6.7. Dimostrarlo per qualsiasi numero naturale N la formula di differenziazione è valida
.

Soluzione. A N=1 questa formula assomiglia
, o 1=1, cioè è corretto. Facendo l’ipotesi induttiva, abbiamo:

Q.E.D. ■ 

 Esempio6.8. Dimostrare che l'insieme composto da N elementi, ha sottoinsiemi

Soluzione. Un set composto da un elemento UN, ha due sottoinsiemi. Questo è vero perché tutti i suoi sottoinsiemi sono l'insieme vuoto e l'insieme vuoto stesso, e 2 1 =2.

Supponiamo che ogni insieme di N elementi ha sottoinsiemi Se l'insieme A è composto da N+1 elementi, quindi fissiamo un elemento in esso: lo denotiamo D e dividere tutti i sottoinsiemi in due classi: quelle che non contengono D e contenente D. Tutti i sottoinsiemi della prima classe sono sottoinsiemi dell'insieme B ottenuto da A rimuovendo un elemento D.

Il set B è composto da N elementi, e quindi, per induzione, ha sottoinsiemi, quindi nella prima classe sottoinsiemi

Ma nella seconda classe ci sono lo stesso numero di sottoinsiemi: ognuno di essi è ottenuto esattamente da un sottoinsieme della prima classe aggiungendo un elemento D. Pertanto, in totale, l’insieme A
sottoinsiemi

Quindi l'affermazione è dimostrata. Si noti che è vero anche per un insieme composto da 0 elementi - l'insieme vuoto: ha un singolo sottoinsieme - se stesso, e 2 0 = 1. ■ 

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La vera conoscenza in ogni momento si è basata sullo stabilire un modello e sul dimostrarne la veridicità in determinate circostanze. Per un periodo così lungo di esistenza del ragionamento logico, furono date formulazioni di regole e Aristotele compilò persino un elenco di "ragionamento corretto". Storicamente è stata consuetudine dividere tutte le inferenze in due tipologie: dal concreto al multiplo (induzione) e viceversa (deduzione). Va notato che i tipi di prova dal particolare al generale e dal generale al particolare esistono solo insieme e non possono essere scambiati.

Induzione in matematica

Il termine “induzione” ha radici latine e viene letteralmente tradotto come “guida”. Dopo uno studio più attento, si può evidenziare la struttura della parola, vale a dire il prefisso latino - in- (denota un'azione diretta verso l'interno o l'essere dentro) e -duzione - introduzione. Vale la pena notare che esistono due tipi: induzione completa e incompleta. La forma completa è caratterizzata da conclusioni tratte dallo studio di tutti gli oggetti di una certa classe.

Incompleto: conclusioni che si applicano a tutte le materie della classe, ma sono basate sullo studio solo di alcune unità.

L'induzione matematica completa è un'inferenza basata su una conclusione generale sull'intera classe di oggetti funzionalmente collegati dalle relazioni di una serie naturale di numeri basata sulla conoscenza di questa connessione funzionale. In questo caso il processo di prova si svolge in tre fasi:

• la prima dimostra la correttezza della posizione dell'induzione matematica. Esempio: f = 1, induzione;
• la fase successiva si basa sul presupposto che la posizione sia valida per tutti i numeri naturali. Cioè f=h è un'ipotesi induttiva;
• nella terza fase viene dimostrata la validità della posizione per il numero f=h+1, in base alla correttezza della posizione del punto precedente - questa è una transizione di induzione, o un passo di induzione matematica. Un esempio è il cosiddetto se cade la prima pietra della fila (base), poi cadono tutte le pietre della fila (transizione).

Sia scherzosamente che seriamente

Per facilitare la comprensione, esempi di soluzioni che utilizzano il metodo dell'induzione matematica sono presentati sotto forma di problemi scherzosi. Questa è l'attività "Polite Queue":

• Le regole di condotta vietano a un uomo di fare il turno davanti a una donna (in una situazione del genere le è permesso andare avanti). In base a questa affermazione, se l’ultimo della fila è un uomo, allora tutti gli altri sono un uomo.

Un esempio lampante del metodo di induzione matematica è il problema del “volo adimensionale”:

• È necessario dimostrare che sul minibus può stare un numero qualsiasi di persone. È vero che una persona può entrare in un veicolo senza difficoltà (base). Ma non importa quanto sia pieno il minibus, ci starà sempre 1 passeggero (fase di induzione).

Circoli familiari

Esempi di risoluzione di problemi ed equazioni mediante induzione matematica sono abbastanza comuni. Per illustrare questo approccio, si consideri il seguente problema.

Condizione: ci sono h cerchi sull'aereo. È necessario dimostrare che, per qualsiasi disposizione delle figure, la mappa che esse formano può essere colorata correttamente con due colori.

Soluzione: quando h=1 la verità dell'enunciato è ovvia, quindi la dimostrazione sarà costruita per il numero di cerchi h+1.

Accettiamo l'ipotesi che l'affermazione sia valida per qualsiasi mappa e che ci siano h+1 cerchi sul piano. Rimuovendo da numero totale uno dei cerchi, puoi ottenere una mappa correttamente colorata con due colori (bianco e nero).

Quando si ripristina un cerchio eliminato, il colore di ciascuna area cambia nel contrario (in questo caso, all'interno del cerchio). Il risultato è una mappa colorata correttamente in due colori, che era ciò che doveva essere dimostrato.

Esempi con numeri naturali

L'applicazione del metodo dell'induzione matematica è chiaramente mostrata di seguito.

Esempi di soluzioni:

Dimostrare che per ogni h è corretta la seguente uguaglianza:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. Sia h=1, il che significa:

R1 =12 =1(1+1)(2+1)/6=1

Ne consegue che per h=1 l'affermazione è corretta.

2. Supponendo che h=d, si ottiene l'equazione:

R1 =d2 =d(d+1)(2d+1)/6=1

3. Supponendo che h=d+1, risulta:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

Pertanto è dimostrata la validità dell'uguaglianza per h=d+1, quindi l'affermazione è vera per qualsiasi numero naturale, come mostrato nell'esempio soluzione per induzione matematica.

Compito

Condizione: è richiesta la prova che per qualsiasi valore di h l'espressione 7 h -1 è divisibile per 6 senza resto.

Soluzione:

1. Diciamo h=1, in questo caso:

R 1 =7 1 -1=6 (cioè diviso per 6 senza resto)

Pertanto per h=1 l'affermazione è vera;

2. Si dividano h=d e 7 d -1 per 6 senza resto;

3. La prova della validità dell'affermazione per h=d+1 è la formula:

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

In questo caso, il primo termine è divisibile per 6 secondo l'ipotesi del primo punto, e il secondo termine è uguale a 6. L'affermazione che 7 h -1 è divisibile per 6 senza resto per qualsiasi h naturale è vera.

Errore di giudizio

Spesso nelle dimostrazioni si utilizza un ragionamento errato a causa dell'inesattezza delle costruzioni logiche utilizzate. Ciò accade principalmente quando la struttura e la logica della dimostrazione vengono violate. Un esempio di ragionamento errato è la seguente illustrazione.

Compito

Condizione: è richiesta la prova che qualsiasi mucchio di pietre non è un mucchio.

Soluzione:

1. Diciamo h=1, in questo caso c'è 1 pietra nella pila e l'affermazione è vera (base);

2. Sia vero per h=d che un mucchio di pietre non è un mucchio (ipotesi);

3. Sia h=d+1, da cui segue che aggiungendo un'altra pietra, l'insieme non sarà un mucchio. La conclusione stessa suggerisce che l'ipotesi è valida per tutti gli h naturali.

L'errore è che non esiste una definizione di quante pietre formano un mucchio. Tale omissione è chiamata generalizzazione affrettata nel metodo di induzione matematica. Un esempio lo mostra chiaramente.

Induzione e leggi della logica

Storicamente, “camminano sempre mano nella mano”. Discipline scientifiche come la logica e la filosofia li descrivono sotto forma di opposti.

Dal punto di vista della legge della logica, le definizioni induttive si basano sui fatti e la veridicità delle premesse non determina la correttezza dell'affermazione risultante. Spesso si ottengono conclusioni con un certo grado di probabilità e plausibilità, che, naturalmente, devono essere verificate e confermate ulteriori ricerche. Un esempio di induzione in logica sarebbe la seguente affermazione:

C’è siccità in Estonia, siccità in Lettonia, siccità in Lituania.

Estonia, Lettonia e Lituania sono Stati baltici. C'è siccità in tutti gli Stati baltici.

Dall'esempio possiamo concludere che nuove informazioni o verità non possono essere ottenute utilizzando il metodo dell'induzione. Tutto ciò su cui si può contare è una possibile veridicità delle conclusioni. Inoltre, la verità delle premesse non garantisce le stesse conclusioni. Tuttavia, questo fatto non significa che l'induzione languisca ai margini della detrazione: un numero enorme di disposizioni e leggi scientifiche sono motivate utilizzando il metodo dell'induzione. Un esempio è la stessa matematica, biologia e altre scienze. Ciò è dovuto principalmente al metodo dell’induzione completa, ma in alcuni casi è applicabile anche l’induzione parziale.

La venerabile età dell'induzione le ha permesso di penetrare in quasi tutte le sfere dell'attività umana: questa è scienza, economia e conclusioni quotidiane.

Inserimento nella comunità scientifica

Il metodo dell'induzione richiede un atteggiamento scrupoloso, poiché molto dipende dal numero di parti dell'insieme studiato: maggiore è il numero studiato, più attendibile è il risultato. Sulla base di questa caratteristica, le leggi scientifiche ottenute per induzione vengono testate a lungo a livello di ipotesi probabilistiche per isolare e studiare tutti i possibili elementi strutturali, connessioni e influenze.

Nella scienza, la conclusione induttiva si basa su caratteristiche significative, ad eccezione di disposizioni casuali. Questo fatto è importante in connessione con le specificità della conoscenza scientifica. Ciò è chiaramente visibile negli esempi di induzione nella scienza.

Esistono due tipi di induzione mondo scientifico(in relazione al metodo di studio):

1. selezione-induzione (o selezione);
2. induzione - esclusione (eliminazione).

Il primo tipo si distingue per la selezione metodica (scrupolosa) dei campioni di una classe (sottoclassi) dalle sue diverse aree.

Un esempio di questo tipo di induzione è il seguente: l'argento (o i sali d'argento) purifica l'acqua. La conclusione si basa su molti anni di osservazioni (una sorta di selezione di conferme e confutazioni - selezione).

Il secondo tipo di induzione si basa su conclusioni che stabiliscono relazioni causali ed escludono circostanze che non corrispondono alle sue proprietà, vale a dire universalità, aderenza alla sequenza temporale, necessità e univocità.

Induzione e deduzione dalla posizione della filosofia

Guardando indietro storicamente, il termine “induzione” è stato menzionato per la prima volta da Socrate. Aristotele ha descritto esempi di induzione in filosofia in un dizionario terminologico più approssimativo, ma la questione dell'induzione incompleta rimane aperta. Dopo la persecuzione del sillogismo aristotelico, il metodo induttivo cominciò a essere riconosciuto come fruttuoso e l'unico possibile nelle scienze naturali. Bacon è considerato il padre dell'induzione come metodo speciale indipendente, ma non riuscì a separare l'induzione dal metodo deduttivo, come richiedevano i suoi contemporanei.

L'induzione fu ulteriormente sviluppata da J. Mill, che considerò la teoria induttiva dalla prospettiva di quattro metodi principali: accordo, differenza, residui e cambiamenti corrispondenti. Non sorprende che oggi i metodi elencati, se esaminati in dettaglio, siano deduttivi.

La realizzazione dell'incoerenza delle teorie di Bacon e Mill portò gli scienziati a studiare le basi probabilistiche dell'induzione. Tuttavia, anche qui ci sono stati degli estremi: si è tentato di ridurre l'induzione alla teoria della probabilità con tutte le conseguenze che ne derivavano.

L'induzione riceve un voto di fiducia attraverso l'applicazione pratica in determinate aree tematiche e grazie alla precisione metrica della base induttiva. Un esempio di induzione e deduzione in filosofia può essere considerata la Legge di Gravitazione Universale. Alla data della scoperta della legge, Newton riuscì a verificarla con una precisione del 4%. E quando controllato più di duecento anni dopo, la correttezza è stata confermata con una precisione dello 0,0001%, sebbene la verifica sia stata effettuata con le stesse generalizzazioni induttive.

La filosofia moderna presta maggiore attenzione alla deduzione, che è dettata dal desiderio logico di ricavare nuova conoscenza (o verità) da ciò che già si conosce, senza ricorrere all'esperienza o all'intuizione, ma utilizzando il ragionamento “puro”. Quando si fa riferimento a premesse vere nel metodo deduttivo, in tutti i casi l'output è un'affermazione vera.

Questa caratteristica molto importante non deve oscurare il valore del metodo induttivo. Poiché l'induzione, basata sui risultati dell'esperienza, diventa anche un mezzo per elaborarla (compresa la generalizzazione e la sistematizzazione).

Applicazione dell'induzione in economia

L’induzione e la deduzione sono state a lungo utilizzate come metodi per studiare l’economia e prevederne lo sviluppo.

L'ambito di utilizzo del metodo di induzione è piuttosto ampio: studio del raggiungimento degli indicatori previsionali (profitti, ammortamenti, ecc.) e una valutazione generale dello stato dell'impresa; formazione di un'efficace politica di promozione delle imprese basata sui fatti e sulle loro relazioni.

Lo stesso metodo di induzione viene utilizzato nelle “mappe di Shewhart”, dove, partendo dal presupposto della divisione dei processi in controllati e incontrollabili, si afferma che la struttura del processo controllato è inattiva.

Va notato che le leggi scientifiche vengono sostanziate e confermate utilizzando il metodo dell’induzione, e poiché l’economia è una scienza che spesso utilizza analisi matematica, teoria del rischio e dati statistici, non sorprende affatto che l'induzione sia nell'elenco dei metodi principali.

Un esempio di induzione e deduzione in economia è la seguente situazione. Un aumento del prezzo del cibo (dal paniere del consumatore) e dei beni di prima necessità spinge il consumatore a pensare agli alti costi emergenti nello Stato (induzione). Allo stesso tempo, dal fatto dei prezzi elevati, utilizzando metodi matematici, è possibile ricavare indicatori di crescita dei prezzi per singoli beni o categorie di beni (detrazione).

Molto spesso, il personale dirigente, i manager e gli economisti si rivolgono al metodo di introduzione. Per poter prevedere con sufficiente veridicità lo sviluppo di un'impresa, il comportamento del mercato e le conseguenze della concorrenza, è necessario un approccio induttivo-deduttivo all'analisi e all'elaborazione delle informazioni.

Un chiaro esempio di induzione in economia legata a giudizi errati:

• l'utile della società è diminuito del 30%;
  un'azienda concorrente ha ampliato la propria linea di prodotti;
  nient'altro è cambiato;
• la politica produttiva di un'azienda concorrente ha causato una riduzione dei profitti del 30%;
• pertanto, è necessario attuare la stessa politica di produzione.

L'esempio è un vivido esempio di come l'uso inadeguato del metodo di induzione contribuisca alla rovina di un'impresa.

Deduzione e induzione in psicologia

Poiché esiste un metodo, allora, logicamente, esiste anche un pensiero adeguatamente organizzato (usare il metodo). La psicologia come scienza che studia i processi mentali, la loro formazione, sviluppo, relazioni, interazioni, presta attenzione al pensiero “deduttivo”, come una delle forme di manifestazione della deduzione e dell'induzione. Sfortunatamente, sulle pagine di psicologia su Internet non c'è praticamente alcuna giustificazione per l'integrità del metodo deduttivo-induttivo. Sebbene gli psicologi professionisti incontrino più spesso manifestazioni di induzione, o meglio, conclusioni errate.

Un esempio di induzione in psicologia, come illustrazione di giudizi errati, è l'affermazione: mia madre inganna, quindi tutte le donne sono ingannatrici. Puoi raccogliere esempi ancora più “errati” di induzione dalla vita:

• uno studente è incapace di tutto se prende un brutto voto in matematica;
• è uno sciocco;
• lui è intelligente;
• Posso fare qualsiasi cosa;

E tanti altri giudizi di valore basati su premesse assolutamente casuali e, a volte, insignificanti.

È bene notare: quando la fallibilità del giudizio di una persona raggiunge il punto dell’assurdo, per lo psicoterapeuta si apre una frontiera di lavoro. Un esempio di introduzione alla visita specialistica:

“Il paziente è assolutamente sicuro che il colore rosso sia pericoloso solo per lui in qualsiasi forma. Di conseguenza, la persona ha escluso questa combinazione di colori dalla sua vita, per quanto possibile. Ci sono molte opportunità per un soggiorno confortevole a casa. Puoi rifiutare tutti gli articoli rossi o sostituirli con analoghi realizzati in un colore diverso. combinazione di colori. Ma nei luoghi pubblici, al lavoro, in un negozio, questo è impossibile. Quando un paziente si trova in una situazione stressante, sperimenta ogni volta una “marea” di stati emotivi completamente diversi, che possono rappresentare un pericolo per gli altri”.

Questo esempio di induzione, e di induzione inconscia, è chiamato “idee fisse”. Se questo accade mentalmente persona sana, possiamo parlare di una mancanza di organizzazione dell'attività mentale. Un modo per sbarazzarsi degli stati ossessivi può essere lo sviluppo elementare del pensiero deduttivo. In altri casi, gli psichiatri lavorano con tali pazienti.

Gli esempi di induzione sopra riportati indicano che “l’ignoranza della legge non ti esonera dalle conseguenze (di giudizi errati)”.

Gli psicologi, lavorando sul tema del pensiero deduttivo, hanno compilato un elenco di raccomandazioni progettate per aiutare le persone a padroneggiare questo metodo.

Il primo punto è la risoluzione dei problemi. Come si vede, la forma di induzione utilizzata in matematica può essere considerata “classica”, e l'uso di questo metodo contribuisce alla “disciplina” della mente.

La condizione successiva per lo sviluppo del pensiero deduttivo è l’ampliamento dei propri orizzonti (chi pensa chiaramente si esprime chiaramente). Questa raccomandazione indirizza la “sofferenza” ai tesori della scienza e dell’informazione (biblioteche, siti web, iniziative educative, viaggi, ecc.).

Una menzione speciale merita la cosiddetta “induzione psicologica”. Questo termine, anche se non spesso, può essere trovato su Internet. Tutte le fonti non forniscono almeno una breve formulazione della definizione di questo termine, ma fanno riferimento a "esempi tratti dalla vita", presentando la suggestione o alcune forme di induzione come un nuovo tipo di induzione malattia mentale, quindi stati estremi della psiche umana. Da tutto quanto sopra, è chiaro che il tentativo di derivare un “nuovo termine” basato su premesse false (spesso non vere) condanna lo sperimentatore a ottenere un’affermazione errata (o affrettata).

Va notato che il riferimento agli esperimenti del 1960 (senza indicare il luogo, i nomi degli sperimentatori, il campione di soggetti e, soprattutto, lo scopo dell'esperimento) appare, per usare un eufemismo, poco convincente, e il L'affermazione che il cervello percepisce le informazioni aggirando tutti gli organi di percezione (la frase "è affetto" si adatterebbe in modo più organico in questo caso), fa pensare alla creduloneria e all'acriticità dell'autore dell'affermazione.

Invece di una conclusione

Non per niente la regina delle scienze, la matematica, utilizza tutte le riserve possibili del metodo di induzione e deduzione. Gli esempi considerati ci permettono di concludere che l'applicazione superficiale e inetta (sconsiderata, come si suol dire) anche dei metodi più accurati e affidabili porta sempre a risultati errati.

Nella coscienza di massa, il metodo di deduzione è associato al famoso Sherlock Holmes, che nelle sue costruzioni logiche utilizza più spesso esempi di induzione, utilizzando la deduzione nelle giuste situazioni.

L'articolo ha esaminato esempi dell'applicazione di questi metodi in varie scienze e ambiti dell'attività umana.

introduzione

Parte principale

1. Induzione completa e incompleta

2. Principio di induzione matematica

3. Metodo di induzione matematica

4. Esempi di risoluzione

5. Uguaglianze

6. Dividere i numeri

7. Disuguaglianze

Conclusione

Elenco della letteratura usata

introduzione

La base di qualsiasi ricerca matematica sono i metodi deduttivi e induttivi. Il metodo di ragionamento deduttivo è il ragionamento dal generale allo specifico, cioè. ragionamento, il cui punto di partenza è il risultato generale e il punto finale è il risultato particolare. L'induzione viene utilizzata quando si passa da risultati particolari a quelli generali, ad es. è l'opposto del metodo deduttivo.

Il metodo dell'induzione matematica può essere paragonato al progresso. Iniziamo dal più basso e, come risultato del pensiero logico, arriviamo al più alto. L'uomo ha sempre cercato il progresso, la capacità di sviluppare i suoi pensieri in modo logico, il che significa che la natura stessa lo ha destinato a pensare in modo induttivo.

Sebbene l’ambito di applicazione del metodo di induzione matematica sia cresciuto, curriculum scolastico gli viene concesso poco tempo. Bene, dimmi cosa utile a una persona porterà quelle due o tre lezioni, durante le quali ascolterà cinque parole di teoria, risolverà cinque problemi primitivi e, di conseguenza, riceverà una A per il fatto che non sa nulla.

Ma è così importante essere in grado di pensare induttivamente.

Parte principale

Nel suo significato originale, la parola “induzione” si applica al ragionamento attraverso il quale si ottengono conclusioni generali sulla base di una serie di affermazioni specifiche. Il metodo più semplice di ragionamento di questo tipo è l’induzione completa. Ecco un esempio di tale ragionamento.

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Queste nove uguaglianze mostrano che ciascuno dei numeri che ci interessano è infatti rappresentato come la somma di due termini semplici.

Pertanto, l'induzione completa consiste nel dimostrare separatamente l'affermazione generale in ciascuno di un numero finito di casi possibili.

A volte il risultato generale può essere previsto dopo aver considerato non tutti, ma un numero sufficientemente ampio di casi particolari (la cosiddetta induzione incompleta).

Il risultato ottenuto per induzione incompleta rimane, tuttavia, solo un'ipotesi finché non viene dimostrato da un ragionamento matematico preciso, che copra tutti i casi particolari. In altre parole, l’induzione incompleta in matematica non è considerata un metodo legittimo di dimostrazione rigorosa, ma è un metodo potente per scoprire nuove verità.

Supponiamo, ad esempio, di voler trovare la somma dei primi n numeri dispari consecutivi. Consideriamo casi particolari:

1+3+5+7+9=25=5 2

Dopo aver considerato questi pochi casi particolari, si suggerisce la seguente conclusione generale:

1+3+5+…+(2n-1)=n2

quelli. la somma dei primi n numeri dispari consecutivi è n 2

Naturalmente l'osservazione fatta non può ancora servire come prova della validità della formula data.

L'induzione completa ha solo applicazioni limitate in matematica. Molte affermazioni matematiche interessanti coprono un numero infinito di casi speciali, ma non siamo in grado di verificarle per un numero infinito di casi. L'induzione incompleta spesso porta a risultati errati.

In molti casi, la via d'uscita da questo tipo di difficoltà è ricorrere a uno speciale metodo di ragionamento, chiamato metodo di induzione matematica. È il seguente.

Supponiamo che tu debba dimostrare la validità di una certa affermazione per qualsiasi numero naturale n (ad esempio, devi dimostrare che la somma dei primi n numeri dispari è uguale a n 2). La verifica diretta di questa affermazione per ogni valore di n è impossibile, poiché l'insieme dei numeri naturali è infinito. Per dimostrare questa affermazione, controlla prima la sua validità per n=1. Quindi dimostrano che per ogni valore naturale di k, la validità dell'affermazione in esame per n=k implica la sua validità per n=k+1.

Allora l'affermazione si ritiene provata per tutti i n. In effetti l'affermazione è vera per n=1. Ma allora vale anche per il numero successivo n=1+1=2. La validità dell'affermazione per n=2 implica la sua validità per n=2+

1=3. Ciò implica la validità dell'affermazione per n=4, ecc. È chiaro che, alla fine, arriveremo a un qualsiasi numero naturale n. Ciò significa che l'affermazione è vera per qualsiasi n.

Riassumendo quanto detto, formuliamo quanto segue principio generale.

Il principio di induzione matematica.

Se la proposta A(N), a seconda del numero naturaleN, vero perN=1 e dal fatto che è vero pern=k(DoveK-qualsiasi numero naturale), ne consegue che è vero per il numero successivon=k+1, allora l'ipotesi A(N) vero per qualsiasi numero naturaleN.

La dimostrazione utilizzando il metodo dell'induzione matematica viene eseguita come segue. Innanzitutto, l'affermazione da dimostrare viene verificata per n=1, cioè la verità dell'affermazione A(1) è stabilita. Questa parte della dimostrazione è chiamata base di induzione. Poi arriva la parte della dimostrazione chiamata passo di induzione. In questa parte si dimostra la validità dell'affermazione per n=k+1 presupponendo la validità dell'affermazione per n=k (ipotesi di induzione), cioè dimostrare che A(k)ÞA(k+1).

ESEMPIO 1

Dimostra che 1+3+5+…+(2n-1)=n 2.

Soluzione: 1) Abbiamo n=1=1 2 . Quindi,

l'affermazione è vera per n=1, cioè A(1) è vero.

2) Proviamo che A(k)ÞA(k+1).

Sia k un numero naturale qualsiasi e l'affermazione sia vera per n=k, cioè

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

Dimostriamo che allora l'affermazione è vera anche per il prossimo numero naturale n=k+1, cioè Che cosa

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

Infatti,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

Quindi, A(k)ÞA(k+1). Basandoci sul principio di induzione matematica, concludiamo che l'ipotesi A(n) è vera per qualsiasi nÎN.

ESEMPIO 2

Prova che

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), dove x¹1

Soluzione: 1) Per n=1 otteniamo

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

quindi per n=1 la formula è corretta; A(1) è vero.

2) Sia k un numero naturale qualsiasi e sia vera la formula per n=k, cioè

1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1).

Dimostriamo allora che vale l'uguaglianza

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Infatti

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Quindi, A(k)ÞA(k+1). Basandoci sul principio di induzione matematica, concludiamo che la formula è vera per qualsiasi numero naturale n.

ESEMPIO 3

Dimostrare che il numero di diagonali di un n-gono convesso è pari a n(n-3)/2.

Soluzione: 1) Per n=3 l'affermazione è vera

 A 3 =3(3-3)/2=0 diagonali;

A 2 A(3) è vero.

2) Supponiamo che in ogni

un k-gon convesso ha-

A 1 x A k =k(k-3)/2 diagonali.

E k Dimostriamolo allora in modo convesso

(k+1)-gon numero

diagonali A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

Sia A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 un (k+1)-gono convesso. Disegniamo una diagonale A 1 A k al suo interno. Contare numero totale diagonali di questo (k+1)-gon, devi contare il numero di diagonali del k-gon A 1 A 2 ...A k , aggiungere al numero risultante k-2, cioè si deve tener conto del numero delle diagonali del (k+1)-gono uscenti dal vertice A k+1 e, inoltre, della diagonale A 1 A k.

Così,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

Quindi, A(k)ÞA(k+1). Per il principio di induzione matematica, l'affermazione è vera per qualsiasi n-gono convesso.

ESEMPIO 4

Dimostrare che per ogni n è vera la seguente affermazione:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

Soluzione: 1) Sia n=1, allora

X1 =12 =1(1+1)(2+1)/6=1.

Ciò significa che per n=1 l'affermazione è vera.

2) Supponiamo che n=k

Xk =k2 =k(k+1)(2k+1)/6.

3) Considera questa affermazione per n=k+1

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

Abbiamo dimostrato che l'uguaglianza è vera per n=k+1, quindi, in virtù del metodo di induzione matematica, l'affermazione è vera per qualsiasi numero naturale n.

ESEMPIO 5

Dimostrare che per ogni numero naturale n l'uguaglianza è vera:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

Soluzione: 1) Sia n=1.

Allora X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

Vediamo che per n=1 l'affermazione è vera.

2) Supponiamo che l'uguaglianza sia vera per n=k

Lezione 6. Metodo di induzione matematica.

Le nuove conoscenze nella scienza e nella vita si ottengono in modi diversi, ma tutte (se non si entra nei dettagli) sono divise in due tipi: la transizione dal generale allo specifico e dallo specifico al generale. La prima è la deduzione, la seconda l’induzione. Il ragionamento deduttivo è ciò che viene comunemente chiamato in matematica. ragionamento logico, e nella scienza matematica la deduzione è l'unico metodo legittimo di indagine. Le regole del ragionamento logico furono formulate due millenni e mezzo fa dall'antico scienziato greco Aristotele. Ha creato un elenco completo dei ragionamenti corretti più semplici, sillogismi– “mattoni” della logica, indicando allo stesso tempo un ragionamento tipico che è molto simile a quello corretto, ma errato (spesso incontriamo questo ragionamento “pseudologico” nei media).

Induzione (induzione - in latino guida) è chiaramente illustrato dalla famosa leggenda di come Isaac Newton formulò la legge di gravitazione universale dopo che una mela gli cadde in testa. Un altro esempio dalla fisica: in un fenomeno come l'induzione elettromagnetica, un campo elettrico crea, “induce” un campo magnetico. La “mela di Newton” è un tipico esempio di una situazione in cui uno o più casi speciali, cioè osservazioni, “suggerire” un'affermazione generale sulla base di casi particolari; Il metodo induttivo è il principale per ottenere modelli generali sia nelle scienze naturali che umane. Ma ha uno svantaggio molto significativo: sulla base di esempi particolari si può trarre una conclusione errata. Le ipotesi derivanti da osservazioni private non sono sempre corrette. Consideriamo un esempio dovuto a Eulero.

Calcoleremo il valore del trinomio per alcuni primi valori N:

Si noti che i numeri ottenuti come risultato dei calcoli sono primi. E lo si può verificare direttamente per ciascuno N Da 1 a 39 valore polinomiale
è un numero primo. Tuttavia, quando N=40 otteniamo il numero 1681=41 2, che non è primo. Quindi l'ipotesi che qui potrebbe sorgere, cioè l'ipotesi che per ciascuno N numero
è semplice, risulta essere falso.

Leibniz lo dimostrò nel XVII secolo per ogni insieme positivo N numero
divisibile per 3, numero
divisibile per 5, ecc. Sulla base di ciò, lo supponeva per qualsiasi disparità K e qualsiasi naturale N numero
diviso per K, ma presto me ne sono accorto
non è divisibile per 9.

Gli esempi considerati ci consentono di trarre una conclusione importante: un'affermazione può essere giusta in una serie di casi particolari e allo stesso tempo ingiusta in generale. La questione della validità di un'affermazione nel caso generale può essere risolta utilizzando uno speciale metodo di ragionamento chiamato per induzione matematica(induzione completa, induzione perfetta).

6.1. Il principio di induzione matematica.

♦ Il metodo di induzione matematica si basa su principio di induzione matematica , che è il seguente:

1) viene verificata la validità di questa affermazioneN=1 (base di introduzione) ,

2) si presuppone la validità di questa affermazioneN= K, DoveK– numero naturale arbitrario 1(ipotesi di induzione) , e tenuto conto di tale presupposto, se ne stabilisce la validità perN= K+1.

Prova. Supponiamo il contrario, cioè supponiamo che l'affermazione non sia vera per ogni naturale N. Poi c'è un tale naturale M, Che cosa:

1) dichiarazione per N=M non è giusto,

2) per tutti N, più piccola M, l'affermazione è vera (in altre parole, Mè il primo numero naturale per il quale l'affermazione non è vera).

E' ovvio M>1, perché Per N=1 l'affermazione è vera (condizione 1). Quindi,
- numero naturale. Si scopre che per un numero naturale
l'affermazione è vera, e per il numero naturale successivo M non è giusto. Ciò contraddice la condizione 2. ■

Si noti che la dimostrazione utilizzava l'assioma secondo cui qualsiasi raccolta di numeri naturali contiene il numero più piccolo.

Viene chiamata una dimostrazione basata sul principio di induzione matematica mediante il metodo dell’induzione matematica completa .

 Esempio6.1. Dimostralo per qualsiasi naturale N numero
divisibile per 3.

Soluzione.

1) Quando N=1, quindi UN 1 è divisibile per 3 e l'affermazione è vera quando N=1.

2) Supponiamo che l'affermazione sia vera per N=K,
, cioè quel numero
è divisibile per 3, e lo stabiliamo quando N=K Il numero +1 è divisibile per 3.

Infatti,

Perché Ogni termine è divisibile per 3, quindi anche la loro somma è divisibile per 3. ■ 

 Esempio6.2. Dimostrare che la somma dei primi N i numeri dispari naturali sono uguali al quadrato del loro numero, cioè.

Soluzione. Usiamo il metodo dell'induzione matematica completa.

1) Verifichiamo la validità di questa affermazione quando N=1: 1=1 2 – questo è vero.

2) Supponiamo che la somma dei primi K (
) di numeri dispari è uguale al quadrato del numero di questi numeri, cioè. Sulla base di questa uguaglianza, stabiliamo che la somma dei primi K+1 numeri dispari è uguale a
, questo è .

Usiamo la nostra ipotesi e otteniamo

. ■ 

Il metodo dell'induzione matematica completa viene utilizzato per dimostrare alcune disuguaglianze. Dimostriamo la disuguaglianza di Bernoulli.

 Esempio6.3. Dimostralo quando
e qualsiasi naturale N la disuguaglianza è vera
(Disuguaglianza di Bernoulli).

Soluzione. 1) Quando N=1 otteniamo
, che è vero.

2) Assumiamo che quando N=K c'è disuguaglianza
(*). Usando questa ipotesi, lo dimostriamo
. Tieni presente che quando
questa disuguaglianza vale e quindi è sufficiente considerare il caso
.

Moltiplichiamo entrambi i lati della disuguaglianza (*) per il numero
e otteniamo:

Cioè (1+
. ■ 

Dimostrazione per metodo induzione matematica incompleta qualche affermazione a seconda N, Dove
effettuato in modo simile, ma all'inizio l'equità è stabilita per il valore più piccolo N.

Alcuni problemi non affermano esplicitamente un'affermazione che può essere dimostrata mediante induzione matematica. In questi casi, è necessario stabilire da soli lo schema e formulare un'ipotesi sulla validità di questo schema, quindi utilizzare il metodo dell'induzione matematica per verificare l'ipotesi proposta.

 Esempio6.4. Trova l'importo
.

Soluzione. Troviamo le somme S 1 , S 2 , S 3. Abbiamo
,
,
. Lo ipotizziamo per qualsiasi naturale N la formula è valida
. Per verificare questa ipotesi, utilizzeremo il metodo dell'induzione matematica completa.

1) Quando N=1 ipotesi è corretta, perché
.

2) Supponiamo che l'ipotesi sia vera per N=K,
, questo è
. Usando questa formula, stabiliamo che l'ipotesi è vera anche quando N=K+1, cioè

Infatti,

Quindi, sulla base del presupposto che l'ipotesi sia vera quando N=K,
, è stato dimostrato che è vero anche per N=K+1, e in base al principio di induzione matematica concludiamo che la formula è valida per qualsiasi numero naturale N. ■ 

 Esempio6.5. In matematica è dimostrato che la somma di due funzioni uniformemente continue è una funzione uniformemente continua. Sulla base di questa affermazione, devi dimostrare che la somma di qualsiasi numero
di funzioni uniformemente continue è una funzione uniformemente continua. Ma poiché non abbiamo ancora introdotto il concetto di “funzione uniformemente continua”, poniamo il problema in modo più astratto: sappiamo che la somma di due funzioni che hanno qualche proprietà S, esso stesso ha la proprietà S. Dimostriamo che la somma di un numero qualsiasi di funzioni ha la proprietà S.

Soluzione. La base dell'induzione qui è contenuta nella formulazione del problema stesso. Avendo fatto l'ipotesi di induzione, consideriamo
funzioni F 1 , F 2 , …, F N , F N+1 che hanno la proprietà S. Poi . A destra il primo termine ha la proprietà S per l'ipotesi induttiva, il secondo termine ha la proprietà S per condizione. Di conseguenza, la loro somma ha la proprietà S– per due mandati la base ad induzione “funziona”.

Ciò dimostra l'affermazione e la useremo ulteriormente. ■ 

 Esempio6.6. Trova tutto naturale N, per il quale la disuguaglianza è vera

.

Soluzione. Consideriamo N=1, 2, 3, 4, 5, 6. Abbiamo: 2 1 >1 2, 2 2 =2 2, 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2, 2 6 >6 2. Possiamo quindi fare un’ipotesi: la disuguaglianza
ha un posto per tutti
. Per dimostrare la verità di questa ipotesi, utilizzeremo il principio di induzione matematica incompleta.

1) Come stabilito sopra, questa ipotesi è vera quando N=5.

2) Supponiamo che sia vero per N=K,
, cioè la disuguaglianza è valida
. Utilizzando questa ipotesi, dimostriamo che la disuguaglianza
.

Perché
e a
c'è disuguaglianza

A
,

allora lo capiamo
. Quindi, la verità dell'ipotesi a N=K+1 deriva dal presupposto che sia vero quando N=K,
.

Dai paragrafi. 1 e 2, basandosi sul principio di induzione matematica incompleta, ne consegue che la disuguaglianza
vero per ogni naturale
. ■ 

 Esempio6.7. Dimostrarlo per qualsiasi numero naturale N la formula di differenziazione è valida
.

Soluzione. A N=1 questa formula assomiglia
, o 1=1, cioè è corretto. Facendo l’ipotesi induttiva, abbiamo:

Q.E.D. ■ 

 Esempio6.8. Dimostrare che l'insieme composto da N elementi, ha sottoinsiemi

Soluzione. Un set composto da un elemento UN, ha due sottoinsiemi. Questo è vero perché tutti i suoi sottoinsiemi sono l'insieme vuoto e l'insieme vuoto stesso, e 2 1 =2.

Supponiamo che ogni insieme di N elementi ha sottoinsiemi Se l'insieme A è composto da N+1 elementi, quindi fissiamo un elemento in esso: lo denotiamo D e dividere tutti i sottoinsiemi in due classi: quelle che non contengono D e contenente D. Tutti i sottoinsiemi della prima classe sono sottoinsiemi dell'insieme B ottenuto da A rimuovendo un elemento D.

Il set B è composto da N elementi, e quindi, per induzione, ha sottoinsiemi, quindi nella prima classe sottoinsiemi

Ma nella seconda classe ci sono lo stesso numero di sottoinsiemi: ognuno di essi è ottenuto esattamente da un sottoinsieme della prima classe aggiungendo un elemento D. Pertanto, in totale, l’insieme A
sottoinsiemi

Quindi l'affermazione è dimostrata. Si noti che è vero anche per un insieme composto da 0 elementi - l'insieme vuoto: ha un singolo sottoinsieme - se stesso, e 2 0 = 1. ■ 