Angoli adiacenti di un triangolo. Angoli adiacenti e verticali

CAPITOLO I.

CONCETTI BASILARI.

§undici. ANGOLI ADIACENTI E VERTICALI.

1. Angoli adiacenti.

Se estendiamo il lato di un angolo qualsiasi oltre il suo vertice, otteniamo due angoli (Fig. 72): / E il sole e / SVD, in cui un lato BC è comune e gli altri due A e BD formano una linea retta.

Due angoli in cui un lato è comune e gli altri due formano una linea retta si dicono adiacenti.

Gli angoli adiacenti si possono ottenere anche in questo modo: se tracciamo una semiretta da un punto qualsiasi di una retta (non giacente su una retta data), otterremo angoli adiacenti.
Per esempio, / ADF e / FDВ - angoli adiacenti (Fig. 73).

Gli angoli adiacenti possono avere un'ampia varietà di posizioni (Fig. 74).

La somma degli angoli adiacenti forma un angolo piatto, quindi la umma di due angoli adiacenti è uguale 2D.

Pertanto, un angolo retto può essere definito come un angolo uguale all'angolo adiacente.

Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente.

Ad esempio, se uno degli angoli adiacenti è 3/5 D, allora il secondo angolo sarà uguale a:

2D- 3 / 5 D= l 2/5 D.

2. Angoli verticali.

Se estendiamo i lati dell'angolo oltre il suo vertice, otteniamo angoli verticali. Nel disegno 75 gli angoli EOF e AOC sono verticali; anche gli angoli AOE e COF sono verticali.

Due angoli si dicono verticali se i lati di un angolo sono continuazione dei lati dell'altro angolo.

Permettere / 1 = 7 / 8 D(Figura 76). Adiacente ad esso / 2 sarà uguale a 2 D- 7 / 8 D, cioè 1 1/8 D.

Allo stesso modo puoi calcolare a cosa sono uguali / 3 e / 4.
/ 3 = 2D - 1 1 / 8 D = 7 / 8 D; / 4 = 2D - 7 / 8 D = 1 1 / 8 D(Diagramma 77).

Lo vediamo / 1 = / 3 e / 2 = / 4.

Puoi risolvere molti altri problemi uguali e ogni volta otterrai lo stesso risultato: gli angoli verticali sono uguali tra loro.

Tuttavia, per garantire che gli angoli verticali siano sempre uguali tra loro, non è sufficiente considerare singoli esempi numerici, poiché le conclusioni tratte da esempi particolari possono talvolta essere errate.

È necessario verificare la validità delle proprietà degli angoli verticali mediante ragionamento, mediante prove.

La dimostrazione può essere effettuata nel modo seguente (Fig. 78):

/ un+/ C = 2D;
/ b+/ C = 2D;

(poiché la somma degli angoli adiacenti è 2 D).

/ un+/ C = / b+/ C

(poiché anche il lato sinistro di questa uguaglianza è uguale a 2 D, e anche il suo lato destro è uguale a 2 D).

Questa uguaglianza include lo stesso angolo Con.

Se sottraiamo importi uguali da quantità uguali, rimarranno importi uguali. Il risultato sarà: / UN = / B, cioè gli angoli verticali sono uguali tra loro.

Quando consideriamo la questione degli angoli verticali, abbiamo prima spiegato quali angoli sono chiamati verticali, cioè definizione angoli verticali.

Quindi abbiamo espresso un giudizio (dichiarazione) sull'uguaglianza degli angoli verticali e ci siamo convinti della validità di questo giudizio attraverso la prova. Tali giudizi, la cui validità deve essere dimostrata, vengono chiamati teoremi. Pertanto, in questa sezione abbiamo dato una definizione di angoli verticali e abbiamo anche affermato e dimostrato un teorema sulle loro proprietà.

In futuro, studiando la geometria, dovremo costantemente imbatterci in definizioni e dimostrazioni di teoremi.

3. La somma degli angoli che hanno un vertice comune.

Nel disegno 79 / 1, / 2, / 3 e / 4 si trovano su un lato di una linea e hanno un vertice comune su questa linea. In sintesi, questi angoli formano un angolo piatto, cioè
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2D.

Nel disegno 80 / 1, / 2, / 3, / 4 e / 5 hanno un vertice comune. In sintesi, questi angoli costituiscono un angolo completo, cioè / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4D.

Esercizi.

1. Uno degli angoli adiacenti è 0,72 D. Calcola l'angolo formato dalle bisettrici di questi angoli adiacenti.

2. Dimostrare che le bisettrici di due angoli adiacenti formano un angolo retto.

3. Dimostrare che se due angoli sono uguali, anche i loro angoli adiacenti sono uguali.

4. Quante coppie di angoli adiacenti ci sono nel disegno 81?

5. Una coppia di angoli adiacenti può essere costituita da due angoli acuti? da due angoli ottusi? da diretto e angolo ottuso? da un angolo retto e acuto?

6. Se uno degli angoli adiacenti è retto, cosa si può dire della dimensione dell'angolo adiacente ad esso?

7. Se all'intersezione di due rette un angolo è retto, cosa si può dire della dimensione degli altri tre angoli?

Angoli in cui un lato è comune e gli altri lati giacciono sulla stessa retta (nella figura gli angoli 1 e 2 sono adiacenti). Riso. all'art. Angoli adiacenti... Grande Enciclopedia Sovietica

ANGOLI ADIACENTI-angoli che hanno un vertice e un lato in comune, e gli altri due lati giacciono sulla stessa retta... Grande Enciclopedia del Politecnico

Vedi Angolo... Grande dizionario enciclopedico

ANGOLI ADIACENTI, due angoli la cui somma è 180°. Ciascuno di questi angoli è complementare all'altro fino all'angolo completo... Dizionario enciclopedico scientifico e tecnico

Vedi Angolo. * * * ANGOLI ADIACENTI ANGOLI ADIACENTI, vedi Angolo (vedi ANGOLO) ... Dizionario enciclopedico

- (Angoli adiacenti) quelli che hanno un vertice e un lato in comune. Per lo più questo nome si riferisce a tali angoli C., i cui altri due lati si trovano in direzioni opposte di una linea retta tracciata attraverso il vertice ... Dizionario Enciclopedico F.A. Brockhaus e I.A. Efron

Vedi Angolo... Scienze naturali. Dizionario enciclopedico

Due linee rette si intersecano per creare una coppia di angoli verticali. Una coppia è composta dagli angoli A e B, l'altra da C e D. In geometria, due angoli sono detti verticali se sono creati dall'intersezione di due ... Wikipedia

Una coppia di angoli complementari che si completano a vicenda fino a 90 gradi Gli angoli complementari sono una coppia di angoli che si completano a vicenda fino a 90 gradi. Se due angoli complementari sono adiacenti (cioè hanno un vertice comune e sono separati solo... ... Wikipedia

Una coppia di angoli complementari che si completano a vicenda fino a 90 gradi Gli angoli complementari sono una coppia di angoli che si completano a vicenda fino a 90 gradi. Se due angoli complementari sono con... Wikipedia

Libri

• A proposito della dimostrazione in geometria, A.I. Fetisov Una volta, proprio all'inizio anno scolastico, dovevo ascoltare una conversazione tra due ragazze. Il più grande è passato alla sesta elementare, il più giovane alla quinta. Le ragazze hanno condiviso le loro impressioni sulle lezioni...
• Geometria. 7 ° grado. Quaderno completo per il controllo della conoscenza, I. S. Markova, S. P. Babenko. Il manuale presenta materiali di controllo e misurazione (CMM) in geometria per condurre il controllo di qualità attuale, tematico e finale della conoscenza degli studenti di 7a elementare. Contenuto del manuale...

Due angoli si dicono adiacenti se hanno un lato in comune, e gli altri lati di questi angoli sono raggi complementari. Nella Figura 20, gli angoli AOB e BOC sono adiacenti.

La somma degli angoli adiacenti è 180°

Teorema 1. La somma degli angoli adiacenti è 180°.

Prova. La trave OB (vedi Fig. 1) passa tra i lati dell'angolo spiegato. Ecco perché ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Dal Teorema 1 segue che se due angoli sono uguali, allora i loro angoli adiacenti sono uguali.

Gli angoli verticali sono uguali

Due angoli si dicono verticali se i lati di un angolo sono raggi complementari dei lati dell'altro. Gli angoli AOB e COD, BOD e AOC, formati all'intersezione di due rette, sono verticali (Fig. 2).

Teorema 2. Gli angoli verticali sono uguali.

Prova. Consideriamo gli angoli verticali AOB e COD (vedi Fig. 2). L'angolo BOD è adiacente a ciascuno degli angoli AOB e COD. Per il Teorema 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Da ciò concludiamo che ∠ AOB = ∠ COD.

Corollario 1. Un angolo adiacente ad un angolo retto è un angolo retto.

Consideriamo due rette intersecanti AC e BD (Fig. 3). Formano quattro angoli. Se uno di essi è diritto (angolo 1 in Fig. 3), anche gli angoli rimanenti sono retti (angoli 1 e 2, 1 e 4 sono adiacenti, angoli 1 e 3 sono verticali). In questo caso, dicono che queste linee si intersecano ad angolo retto e sono chiamate perpendicolari (o reciprocamente perpendicolari). La perpendicolarità delle linee AC e BD è indicata come segue: AC ⊥ BD.

Una bisettrice perpendicolare a un segmento è una linea perpendicolare a questo segmento e passante per il suo punto medio.

AN - perpendicolare ad una linea

Consideriamo una retta a e un punto A non giacente su di essa (Fig. 4). Colleghiamo il punto A con un segmento al punto H con la retta a. Il segmento AN si dice perpendicolare tracciato dal punto A alla retta a se le rette AN e a sono perpendicolari. Il punto H è chiamato base della perpendicolare.

Disegno quadrato

Vale il seguente teorema.

Teorema 3. Da qualsiasi punto che non giace su una linea è possibile tracciare una perpendicolare a questa linea, e inoltre solo una.

Per tracciare una perpendicolare da un punto a una linea retta in un disegno, utilizzare un quadrato da disegno (Fig. 5).

Commento. La formulazione del teorema si compone solitamente di due parti. Una parte parla di ciò che viene dato. Questa parte è chiamata condizione del teorema. L'altra parte parla di ciò che deve essere dimostrato. Questa parte è chiamata conclusione del teorema. Ad esempio, la condizione del Teorema 2 è che gli angoli siano verticali; conclusione: questi angoli sono uguali.

Qualsiasi teorema può essere espresso in dettaglio in parole in modo che la sua condizione inizi con la parola "se" e la sua conclusione con la parola "allora". Ad esempio, il Teorema 2 può essere enunciato in dettaglio come segue: “Se due angoli sono verticali, allora sono uguali”.

Esempio 1. Uno degli angoli adiacenti è 44°. A cosa è uguale l'altro?

Soluzione. Indichiamo con x la misura in gradi di un altro angolo, quindi secondo il Teorema 1.
44° + x = 180°.
Risolvendo l'equazione risultante, troviamo che x = 136°. Pertanto, l'altro angolo è 136°.

Esempio 2. Sia l'angolo COD nella Figura 21 45°. Quali sono gli angoli AOB e AOC?

Soluzione. Gli angoli COD e AOB sono verticali, quindi per il Teorema 1.2 sono uguali, cioè ∠ AOB = 45°. L'angolo AOC è adiacente all'angolo COD, il che significa secondo il Teorema 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Esempio 3. Trova gli angoli adiacenti se uno di essi è 3 volte più grande dell'altro.

Soluzione. Indichiamo con x la misura in gradi dell'angolo minore. Allora la misura in gradi dell'angolo maggiore sarà 3x. Poiché la somma degli angoli adiacenti è pari a 180° (Teorema 1), allora x + 3x = 180°, da cui x = 45°.
Ciò significa che gli angoli adiacenti sono 45° e 135°.

Esempio 4. La somma di due angoli verticali è 100°. Trova la dimensione di ciascuno dei quattro angoli.

Soluzione. Sia la Figura 2 a soddisfare le condizioni del problema. Gli angoli verticali COD rispetto ad AOB sono uguali (Teorema 2), il che significa che anche le loro misure in gradi sono uguali. Pertanto, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (la loro somma secondo la condizione è 100°). L'angolo BOD (anche angolo AOC) è adiacente all'angolo COD e quindi per il Teorema 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Durante lo studio di un corso di geometria, i concetti di "angolo", "angoli verticali", "angoli adiacenti" emergono abbastanza spesso. Comprendere ciascuno dei termini ti aiuterà a comprendere il problema e a risolverlo correttamente. Cosa sono gli angoli adiacenti e come determinarli?

Angoli adiacenti: definizione del concetto

Il termine “angoli adiacenti” caratterizza due angoli formati da un raggio comune e da due semirette aggiuntive giacenti sulla stessa retta. Tutti e tre i raggi escono dallo stesso punto. Una semiretta comune è contemporaneamente lato sia dell'uno che dell'altro angolo.

Angoli adiacenti - proprietà fondamentali

1. Dalla formulazione degli angoli adiacenti è facile notare che la somma di tali angoli forma sempre un angolo inverso, la cui misura in gradi è 180°:

• Se μ e η sono angoli adiacenti, allora μ + η = 180°.
• Conoscendo l'ampiezza di uno degli angoli adiacenti (ad esempio μ), puoi facilmente calcolare la misura in gradi del secondo angolo (η) utilizzando l'espressione η = 180° – μ.

2. Questa proprietà degli angoli ci permette di trarre la seguente conclusione: anche un angolo adiacente a un angolo retto sarà retto.

3. Considerando funzioni trigonometriche(sin, cos, tg, ctg), in base alle formule di riduzione per gli angoli adiacenti μ e η, risulta vero quanto segue:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Angoli adiacenti - esempi

Esempio 1

Dato un triangolo con vertici M, P, Q – ΔMPQ. Trova gli angoli adiacenti agli angoli ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Allunghiamo ciascun lato del triangolo con una linea retta.
• Sapendo che angoli adiacenti si completano a vicenda fino ad un angolo inverso, si trova che:

adiacente all'angolo ∠QMP è ∠LMP,

adiacente all'angolo ∠MPQ è ∠SPQ,

adiacente all'angolo ∠PQM è ∠HQP.

Esempio 2

Il valore di un angolo adiacente è 35°. Quanto misura in gradi il secondo angolo adiacente?

• La somma di due angoli adiacenti dà come risultato 180°.
• Se ∠μ = 35°, allora adiacente ad esso ∠η = 180° – 35° = 145°.

Esempio 3

Determinare i valori degli angoli adiacenti se è noto che la misura in gradi di uno di essi è tre volte maggiore della misura in gradi dell'altro angolo.

• Indichiamo l'ampiezza di un angolo (più piccolo) con – ∠μ = λ.
• Allora, a seconda delle condizioni del problema, il valore del secondo angolo sarà pari a ∠η = 3λ.
• In base alla proprietà fondamentale degli angoli adiacenti risulta μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Ciò significa che il primo angolo è ∠μ = λ = 45° e il secondo angolo è ∠η = 3λ = 135°.

La capacità di utilizzare la terminologia, così come la conoscenza delle proprietà di base degli angoli adiacenti, ti aiuterà a risolvere molti problemi geometrici.

Indica i numeri delle affermazioni corrette.

1) Tre linee qualsiasi hanno al massimo un punto in comune.

2) Se un angolo è 120°, allora quello adiacente è 120°.

3) Se la distanza da un punto a una linea retta è maggiore di 3, allora la lunghezza di qualsiasi linea inclinata tracciata da un dato punto a una linea retta è maggiore di 3.

Se ci sono più affermazioni, scrivi i loro numeri in ordine crescente.

Soluzione.

Verifichiamo ciascuna delle affermazioni.

1) “Tre linee qualsiasi hanno al massimo un punto in comune” - Giusto. Se le rette hanno due o più punti in comune allora coincidono. (Vedi com-men-ta-rii a za-da-che.)

2) “Se un angolo è 120°, allora quello adiacente è 120°” - sbagliato. La somma degli angoli adiacenti è 180°.

3) "Se la distanza da un punto a una linea retta è maggiore di 3, allora la lunghezza di qualsiasi linea inclinata tracciata da un dato punto a una linea retta è maggiore di 3." Giusto. Perché la distanza è la lunghezza più breve dal taglio alla linea retta, e tutte quelle oblique sono più lunghe.

Risposta: 13.

Risposta: 13

· Prototipo del compito ·

Ospite 19.02.2015 12:42

Nel libro di testo scolastico di Atanasyan L.S. et al. “Geometry 7--9”, “Enlightenment”, 2014, capitolo 1, paragrafo 1, si afferma quanto segue.

1) Assioma della planimetria: attraverso due punti qualsiasi si può tracciare una linea retta e, inoltre, una sola.

2) La posizione adottata nel percorso scolastico: quando diciamo “due punti”, “tre punti”, “due linee”, ecc., assumeremo che questi punti e queste linee siano diversi.

La conclusione che lo studente deve apprendere è che due rette o hanno un solo punto comune oppure non hanno punti comuni.

Pertanto, la risposta alla domanda 1 dovrebbe essere “vero”. Se tutte e tre le linee coincidono, allora è una linea, non tre.

Pietro Murzin

Sarebbe corretto scrivere nella condizione "qualsiasi tre vari le rette hanno al massimo un punto in comune", ma questo non è vero.

Ospite 10.04.2015 16:38

Caro editore!

Sono d'accordo con l'osservazione dell'Ospite del 19/02/2015 nel merito dell'affermazione del paragrafo 1 di questo problema: nel citato libro di testo “Geometria 7-9” (clausola 1 del paragrafo 1, nota 1) si dice: “ d'ora in poi, dicendo “due punti”, “tre punti”, “due linee”, ecc., supporremo che questi punti e queste linee siano diversi”.

Tenendo conto di quanto sopra, il ragionamento fornito nel sito per risolvere questo problema (in parte del punto 1) è errato, poiché la formulazione del problema delle “tre linee” implica che queste tre linee siano diverse (cioè non possono coincidere!) . Tre linee (diverse, che è l'impostazione predefinita!): hanno un punto comune (che appartiene a ciascuna di queste tre linee) - nel caso in cui tre linee si intersecano in un punto; o non hanno punti in comune.

Questa conclusione è confermata dalla conclusione del paragrafo 1 del paragrafo 1 del libro di testo citato: "due linee rette o hanno un solo punto comune o non hanno punti comuni". Dimostrazione per assurdo: supponiamo che tre rette abbiano più di un punto in comune; quindi due di queste linee hanno almeno più di un punto in comune (poiché per queste due linee i punti in comune saranno quelli comuni a tutte e tre le linee); ma questo contraddice la conclusione del libro di testo menzionata secondo cui due linee o hanno un solo punto comune o non hanno punti comuni.

I migliori saluti, ospite.

Supporto