Циклична пермутация на смесено произведение. Смесен продукт на вектори и неговите свойства

За да се разгледа подробно подобна тема, трябва да бъдат обхванати още няколко раздела. Темата е пряко свързана с термини като точка и кръстосан продукт. В тази статия се опитахме да дадем точно определение, за да посочим формула, която ще помогне за определяне на продукта, използвайки координатите на векторите. Освен това статията включва раздели, изброяващи свойствата на продукта и представя подробен анализ на типичните равенства и проблеми.

Срок

За да определите какъв е този термин, трябва да вземете три вектора.

Определение 1

Смесена работа a →, b → и d → е величината, която се равнява на точковото произведение на a → × b → и d →, където a → × b → е умножението на a → и b →. Операцията за умножение a →, b → и d → често се означава a → b → d →. Можете да трансформирате формулата, както следва: a → b → d → \u003d (a → × b →, d →).

Координатно умножение

Можем да умножаваме вектори, ако са посочени в координатната равнина.

Вземете i →, j →, k →

Продуктът на вектори в този конкретен случай ще има следната форма: a → × b → \u003d (ay bz - az by) i → + (az bx + ax bz) j → + (ax by + ay bx) k → \u003d ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k →

Определение 2

За изпълнение на точков продукт в координатната система е необходимо да се добавят резултатите, получени по време на умножението на координатите.

Следователно:

a → × b → \u003d (ay bz - az by) i → + (az bx + ax bz) j → + (ax by + ay bx) k → \u003d ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k →

Също така можем да дефинираме смесен продукт на вектори, ако координатите на векторите, които се умножават, са посочени в дадена координатна система.

a → × b → \u003d (ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k →, dx i → + dy j → + dz k →) \u003d \u003d ayazbybz dx - axazbxbz dy + axaybxby dz \u003d axayazbxbybzdxdydz

По този начин можем да заключим, че:

a → b → d \u003d a → × b →, d → \u003d a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Определение 3

Смесена творба може да бъде приравнена към детерминанта на матрицата, чиито редове са векторни координати. Изглежда така: a → b → d \u003d a → × b →, d → \u003d a x a y a z b x b y b z d x d y d z.

Свойства на операцията върху вектори От характеристиките, които се отличават в точковото или векторното произведение, е възможно да се извлекат признаци, които характеризират смесения продукт. По-долу изброяваме основните свойства.

1. (λ a →) b → d → \u003d a → (λ b →) d → \u003d a → b → (λ d →) \u003d λ a → b → d → λ ∈ R;
2. a → b → d → \u003d d → a → b → \u003d b → d → a →; a → d → b → \u003d b → a → d → \u003d d → b → a →;
3. (a (1) → + a (2) →) b → d → \u003d a (1) → b → d → + a (2) → b → d → a → (b (1) → + b (2) →) d → \u003d a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) \u003d a → b → d (2) → + a → b → d (2) →

В допълнение към горните свойства, трябва да се изясни, че ако коефициентът е нула, резултатът от умножението също ще бъде нула.

Резултатът от умножението също ще бъде нула, ако два или повече фактора са равни.

Всъщност, ако a → \u003d b →, тогава, следвайки дефиницията на векторния продукт [a → × b →] \u003d a → · b → · sin 0 \u003d 0, следователно смесеният продукт е равен на нула, тъй като ([ a → × b →], d →) \u003d (0 →, d →) \u003d 0.

Ако a → \u003d b → или b → \u003d d →, тогава ъгълът между векторите [a → × b →] и d → е равен на π 2. По дефиницията на скаларното произведение на вектори ([a → × b →], d →) \u003d [a → × b →] · d → · cos π 2 \u003d 0.

Свойствата на операцията за умножение най-често се изискват по време на решаването на проблеми.
За да анализираме подробно тази тема, ще вземем няколко примера и ще ги опишем подробно.

Пример 1

Докажете равенството ([a → × b →], d → + λ · a → + b →) \u003d ([a → × b →], d →), където λ е някакво реално число.

За да се намери решение на това равенство, е необходимо да се трансформира лявата му страна. За да направите това, трябва да използвате третото свойство на смесената творба, което гласи:

([a → × b →], d → + λ · a → + b →) \u003d ([a → × b →], d →) + ([a → × b →], λ · a →) + ( [a → × b →], b →)
Видяхме, че (([a → × b →], b →) \u003d 0. Това предполага това
([a → × b →], d → + λ · a → + b →) \u003d ([a → × b →], d →) + ([a → × b →], λ · a →) + ( [a → × b →], b →) \u003d \u003d ([a → × b →], d →) + ([a → × b →], λ · a →) + 0 \u003d ([a → × b → ], d →) + ([a → × b →], λ · a →)

Според първото свойство ([a ⇀ × b ⇀], λ · a →) \u003d λ · ([a ⇀ × b ⇀], a →) и ([a ⇀ × b ⇀], a →) \u003d 0 . По този начин ([a ⇀ × b ⇀], λ · a →). Следователно,
([a ⇀ × b ⇀], d → + λ · a → + b →) \u003d ([a ⇀ × b ⇀], d →) + ([a ⇀ × b ⇀], λ · a →) \u003d \u003d ([a ⇀ × b ⇀], d →) + 0 \u003d ([a ⇀ × b ⇀], d →)

Равенството е доказано.

Пример 2

Необходимо е да се докаже, че модулът на смесения продукт на три вектора не е по-голям от произведението на техните дължини.

Решение

Въз основа на условието можем да представим пример като неравенството a → × b →, d → ≤ a → b → d →.

По дефиниция преобразуваме неравенството a → × b →, d → \u003d a → × b → d → cos (a → × b → ^, d →) \u003d \u003d a → b → sin (a →, b → ^) · D → · cos ([a → × b → ^], d)

Използвайки елементарни функции, можем да заключим, че 0 ≤ sin (a →, b → ^) ≤ 1, 0 ≤ cos ([a → × b → ^], d →) ≤ 1.

От това можем да заключим, че
(a → × b →, d →) \u003d a → b → sin (a →, b →) ^ d → cos (a → × b → ^, d →) ≤ ≤ a → b → 1 d → 1 \u003d a → b → d →

Неравенството е доказано.

Анализ на типични задачи

За да определите на какво е равно на произведението на векторите, трябва да знаете координатите на векторите, които се умножават. За операцията можете да използвате следната формула a → b → d → \u003d (a → × b →, d →) \u003d a x a y a z b x b y b z d x d y d z.

Пример 3

В правоъгълна координатна система има 3 вектора със следните координати: a → \u003d (1, - 2, 3), b → (- 2, 2, 1), d → \u003d (3, - 2, 5). Необходимо е да се определи какъв е произведението на тези вектори a → b → d →.

Въз основа на теорията, представена по-горе, можем да използваме правилото, че смесеният продукт може да бъде изчислен чрез детерминанта на матрицата. Ще изглежда така: a → b → d → \u003d (a → × b →, d →) \u003d axayazbxbybzdxdydz \u003d 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 \u003d \u003d 1 2 5 + (- 1) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) \u003d - 7

Пример 4

Необходимо е да се намери произведението на вектори i → + j →, i → + j → - k →, i → + j → + 2 k →, където i →, j →, k → са единичните вектори на правоъгълен Декартова координатна система.

Въз основа на условието, че векторите са разположени в дадена координатна система, можете да изведете техните координати: i → + j → \u003d (1, 1, 0) i → + j → - k → \u003d (1, 1, - 1 ) i → + j → + 2 k → \u003d (1, 1, 2)

Използваме формулата, която беше използвана по-горе
i → + j → × (i → + j → - k →, (i → + j → + 2 k →) \u003d 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 \u003d 0 i → + j → × (i → + j → - k →, (i → + j → + 2 k →) \u003d 0

Също така е възможно да се определи смесеният продукт, като се използва дължината на вектора, който вече е известен, и ъгълът между тях. Нека анализираме тази теза в пример.

Пример 5

В правоъгълна координатна система има три вектора a →, b → и d →, които са перпендикулярни един на друг. Те представляват дясна тройка, дължината им е 4, 2 и 3. Необходимо е да се умножат векторите.

Обозначаваме c → \u003d a → × b →.

Според правилото резултатът от умножаването на скаларни вектори е число, което е равно на резултата от умножаването на дължините на векторите, използвани от косинуса на ъгъла между тях. Заключваме, че a → · b → · d → \u003d ([a → × b →], d →) \u003d c →, d → \u003d c → · d → · cos (c →, d → ^).

Използваме дължината на вектора d →, посочен в примерното условие: a → b → d → \u003d c → d → cos (c →, d → ^) \u003d 3 c → cos (c →, d → ^) .. . Необходимо е да се дефинират c → и c →, d → ^. По хипотеза a →, b → ^ \u003d π 2, a → \u003d 4, b → \u003d 2. Намираме вектора c →, използвайки формулата: c → \u003d [a → × b →] \u003d a → b → sin a →, b → ^ \u003d 4 2 sin π 2 \u003d 8
Може да се заключи, че c → е перпендикулярна на a → и b →. Векторите a →, b →, c → ще бъдат десният триплет, така че се използва декартовата координатна система. Векторите c → и d → ще бъдат еднопосочни, т.е. c →, d → ^ \u003d 0. Използвайки получените резултати, решаваме примера a → b → d → \u003d 3 c → cos (c →, d → ^) \u003d 3 8 cos 0 \u003d 24.

a → b → d → \u003d 24.

Използваме факторите a →, b → и d →.

Векторите a →, b → и d → идват от една и съща точка. Използваме ги като страни за изграждане на формата.

Обозначаваме, че c → \u003d [a → × b →]. В този случай можете да определите произведението на векторите като a → b → d → \u003d c → d → cos (c →, d → ^) \u003d c → npc → d →, където npc → d → е числовата проекция на вектора d → към посоката на вектора c → \u003d [a → × b →].

Абсолютната стойност n p c → d → е равна на число, което също е равно на височината на фигурата, за която като страни се използват вектори a →, b → и d →. Изхождайки от това, трябва да се уточни, че c → \u003d [a → × b →] е перпендикулярен на a → едновременно вектор и вектор, съгласно дефиницията за умножение на вектори. Величината c → \u003d a → x b → е равна на площта на паралелепипеда, построен върху векторите a → и b →.

Заключваме, че модулът на произведението a → b → d → \u003d c → npc → d → е равен на резултата от умножаването на площта на основата по височината на фигурата, която е изградена върху векторите a → , b → и d →.

Определение 4

Абсолютната стойност на кръстосания продукт е обемът на паралелепипеда: V паралел p и p i d a \u003d a → b → d →.

Тази формула е геометричното значение.

Определение 5

Обем на тетраедър, която е изградена върху a →, b → и d →, е равна на 1/6 от обема на паралелепипеда Получаваме, V t e r a e d a \u003d 1 6 V a parlelep p i d a \u003d 1 6 a → b → d →.

За да консолидираме знанията, ще анализираме няколко типични примера.

Пример 6

Необходимо е да се намери обемът на паралелепипед, чиито страни са AB → \u003d (3, 6, 3), AC → \u003d (1, 3, - 2), AA 1 → \u003d (2, 2, 2) , дадени в правоъгълна координатна система ... Обемът на паралелепипед може да бъде намерен с помощта на формулата за абсолютна стойност. От това следва: AB → AC → AA 1 → \u003d 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 \u003d 3 3 2 + 6 (- 2) 2 + 3 1 2 - 3 3 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 \u003d - 18

След това, V паралелеп и p eda \u003d - 18 \u003d 18.

V p a r a l le le le p i p i d a \u003d 18

Пример 7

Точките A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (- 2, 3, 1) са посочени в координатната система. Необходимо е да се определи обемът на тетраедъра, който се намира в тези точки.

Ще използваме формулата V t e r a e d a \u003d 1 6 A B → A C → A D →. Можем да определим координатите на векторите по координатите на точките: AB → \u003d (3 - 0, - 1 - 1, 5 - 0) \u003d (3, - 2, 5) AC → \u003d (1 - 0, 0 - 1, 3 - 0) \u003d (1, - 1, 3) AD → \u003d (- 2 - 0, 3 - 1, 1 - 0) \u003d (- 2, 2, 1)

След това дефинираме смесения продукт AB → AC → AD → чрез координатите на векторите: AB → AC → AD → \u003d 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 \u003d 3 (- 1) 1 + (- 2 ) 3 (- 2) + 5 1 2 - 5 (- 1) (- 2) - (- 2) 1 1 - 3 3 2 \u003d - 7 Обем V ter a e d a \u003d 1 6 - 7 \u003d 7 6.

V t e t r a e d a \u003d 7 6.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Определение. Числото [,] - се нарича смесен продукт от подредена тройка от вектори ,.

Обозначаваме: (,) \u003d \u003d [,].

Тъй като векторните и скаларни продукти участват в дефиницията на смесения продукт, техните общи свойства са свойствата на смесения продукт.

Например () \u003d ().

Теорема 1... Смесеният продукт на три копланарни вектора е нула.

Доказателства. Ако дадената тройка от вектори е копланарна, тогава едно от следните условия е изпълнено за векторите.

• 1. Този триплет от вектори съдържа поне един нулев вектор. В този случай доказателството на теоремата е очевидно.
• 2. Този триплет вектори съдържа поне една двойка колинеарни вектори. Ако ||, тогава [,] \u003d 0, тъй като [,] \u003d. Ако

|| , тогава [,] и [,] \u003d 0. По същия начин, ако || ...

3. Нека дадената тройка от вектори бъде съвместна, но случаите 1 и 2 не са изпълнени. Тогава векторът [,] ще бъде перпендикулярен на равнината, на която и трите вектора са успоредни.

Следователно [,] и (,) \u003d 0.

Теорема 2. Нека векторите (), (), () бъдат дадени в базис (). Тогава

Доказателства. Според определението за смесено произведение

(,) \u003d [,] \u003d с 1 - с 2 + с 3 \u003d.

Поради свойствата на детерминанта имаме:

Теоремата е доказана.

Теорема 3. (,) = [, ].

Доказателства... Като

и по силата на свойствата на детерминанта имаме:

(,) = = = [, ] = [, ].

Теоремата е доказана.

Теорема 4... Модулът на смесения продукт на некопланарен триплет от вектори е числено равен на обема на паралелепипед, изграден върху представители на тези вектори с общ произход.

Доказателства... Нека да изберем произволна точка O и да отделим от нея представителите на тези вектори,:,. В равнината OAB конструирайте паралелограм OADB и, добавяйки ръб на OS, конструирайте паралелепипед OADBCADB. Обемът V на този паралелепипед е равен на произведението на площта на основата OADB на дължината на височината на паралелепипеда OO.

Площта на паралелограма ОАDB е | [,] |. От друга страна

| OO | \u003d || | cos |, където е ъгълът между векторите и [,].

Помислете за смесения продуктов модул:

| (,) | \u003d | [,] | \u003d | [,] |||| cos | \u003d | [,] || OO | \u003d V.

Теоремата е доказана.

Забележка 1. Ако смесеният продукт на тройка вектори е нула, тогава тази тройка вектори е линейно зависима.

Забележка 2. Ако смесеният продукт на дадена тройка от вектори е положителен, тогава тройката на векторите е вдясно, а ако е отрицателна, тройката на векторите е вляво. Всъщност знакът на смесения продукт съвпада със знака cos и стойността на ъгъла определя ориентацията на тройката. Ако ъгълът е остър, тогава трите са десни, а ако е тъп ъгъл, тогава трите са вляво.

Пример 1.Даден е паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и координатите на следните вектори в ортонормална основа: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5).

Намерете: 1) обема на паралелепипеда;

• 2) зоните на лицата ABCD и CDD 1 C;
• 3) косинус на двугранния ъгъл между равнините ABC и CDD 1.

Решение.

Този паралелепипед е изграден върху вектори

По този начин неговият обем е равен на модула на смесения продукт на тези вектори, т.е.

И така, V двойки \u003d 12 кубични единици.

Спомнете си, че площта на успоредник е равна на дължината на векторното произведение на векторите, върху които е построен.

Нека въведем обозначението :, тогава

Следователно, (6; - 8; - 2), откъдето

Така кв. единици

По същия начин,

Нека, тогава

откъде (15; - 20; 1) и

Това означава квадратни единици.

Въвеждаме следните обозначения: pl. (ABC) \u003d, мн. (DCC 1) \u003d.

Според дефиницията на векторно произведение имаме:

Така че следното равенство е вярно:

От втората точка на решението имаме:

Докажете, че ако, са взаимно перпендикулярни единични вектори, тогава за всички вектори и равенството е вярно:

Решение.

Нека в ортонормалната основа са дадени координатите на векторите :; ... Тъй като тогава по свойството на смесения продукт имаме:

По този начин равенството (1) може да бъде записано в следната форма :, и това е едно от доказаните свойства на векторното произведение на вектори и. Това доказва равенство (1).

Решението на тестовата работа с нулева опция

Задача номер 1

Векторът се формира с базисните вектори и съответно ъглите и. Определете ъгъла, който векторът образува с вектора.

Решение.

Нека да конструираме паралелепипед върху вектори и по диагонал, така че векторите и да са равни.

Тогава в правоъгълен триъгълник с прав ъгъл стойността на ъгъла е, откъдето.

По същия начин в правоъгълен триъгълник с прав ъгъл стойността е откъде.

В правоъгълен триъгълник, според питагорейската теорема, намираме:

В правоъгълен триъгълник с прав ъгъл, краката и хипотенузата. Следователно стойността на ъгъла е. Но ъгълът е равен на ъгъла между векторите и. По този начин проблемът е решен.

Задача номер 2.

В основата са дадени три вектора. Докажете, че четириъгълникът е плосък. Намерете неговата площ.

Решение.

1. Ако векторите и са копланарни, тогава - плосък четириъгълник. Нека изчислим детерминанта, съставена от координатите на тези вектори.

Тъй като детерминанта е равно на нула, след това векторите и са копланарни, което означава, че четириъгълникът е плосък.

2. Обърнете внимание, че следователно и следователно трапецовиден четириъгълник с основи AB и CD.

По свойството на векторния продукт имаме:

Намерете кръстосания продукт

Задача номер 3. Намерете вектор колинеарен на вектора (2; 1; -2), чиято дължина е 5.

Решение.

Нека обозначим координатите на вектора (x, y, z). Както е известно, координатите на колинеарните вектори са пропорционални и следователно имаме:

x \u003d 2t, y \u003d t, z \u003d? 2т.

По условието на задачата || \u003d 5 и в координатна форма:

Изразявайки променливите чрез параметъра t, получаваме:

4t 2 + t 2 + 4t 2 \u003d 25,

По този начин,

x \u003d, y \u003d, z \u003d.

Получихме две решения.

Смесен продукт на вектори е число, равно на скаларното произведение на вектор и векторно произведение на вектори и. Посочена е смесена творба.

1. Модулът на смесения продукт на не-копланарни вектори е равен на обема на паралелепипеда, изграден върху тези вектори. Продуктът е положителен, ако триплетът на векторите е вдясно, и отрицателен, ако тройката е вляво, и обратно.

2. Смесеният продукт е нула, ако и само ако векторите са съвместни:

векторите са копланарни.

Нека докажем първото свойство. Нека да намерим по дефиниция смесения продукт :, където е ъгълът между векторите. Модулът на векторно произведение (по геометрично свойство 1) е равен на площта на успоредник, изграден върху вектори :. Следователно. Алгебричната стойност на дължината на проекцията на вектора върху оста, посочена от вектора, е равна на модула на височината на паралелепипеда, построен върху векторите (фиг. 1.47). Следователно модулът на смесения продукт е равен на обема на този паралелепипед:

Знакът на смесения продукт се определя от знака на косинуса на ъгъла. Ако тройката е вдясно, тогава смесеният продукт също е положителен. Ако е тройно, тогава смесеният продукт също е отрицателен.

Нека докажем второто свойство. Равенството е възможно в три случая: или (т.е.), или (т.е. векторът принадлежи към равнината на векторите). Във всеки случай векторите са съвместни (виж раздел 1.1).

Смесен продукт от три вектора е число, равно на векторното произведение на първите два вектора, умножено скаларно по вектор. Във векторите може да се представи по следния начин

Тъй като векторите на практика са посочени в координатна форма, смесеният им произведение е равен на детерминанта, изградена върху техните координати Поради факта, че векторният продукт е антикомутативен, а скаларният продукт е комутативен, тогава цикличната пермутация на вектори в смесения продукт не променя стойността му. Пермутацията на два съседни вектора обръща знака

Смесеният продукт на вектори е положителен, ако образуват дясна тройка и отрицателен, ако образуват ляв.

Геометрични свойства на смесения продукт1. Обемът на паралелепипед, изграден върху вектори, е равен на модула на смесения продукт на тези клепачи тори.2. Обемът на четириъгълна пирамида е равен на една трета от модула на смесения продукт 3. Обемът на триъгълна пирамида е равен на една шеста от модула на смесения продукт 4. Векторите са равнинни само и само ако В координати условието за копланарност означава равенството на нула на детерминантата За практическа асимилация разгледайте примери. Пример 1.

Определете коя тройка (дясна или лява) са вектори

Решение.

Нека намерим смесения продукт на вектори и по знака да разберем коя тройка от вектори образуват

Векторите образуват десен триплет Векторите образуват дясна тройка Векторите образуват лява тройка Тези вектори са линейно зависими .. Смесен продукт от три вектора. Смесеният продукт от три вектора е числото

Геометрично свойство на смесения продукт:

Теорема 10.1.Обемът на паралелепипед, изграден върху вектори, е равен на модула на смесения продукт на тези вектори

или обемът на тетраедър (пирамида), изграден върху вектори, е равен на една шеста от модула на смесения продукт

Доказателства. От елементарната геометрия е известно, че обемът на паралелепипед е равен на произведението на височината и площта на основата

Основна площ на паралелепипед С е равна на площта на успоредник, изграден върху вектори (виж фиг. 1). Използвайки

Фигура: 1. Към доказателството на теорема 1. геометричното значение на векторното произведение на вектори, получаваме това

Следователно, ако триплетът на векторите е оставен, тогава векторът и векторът са насочени противоположно, тогава или По този начин се доказва, че знакът на смесения продукт определя ориентацията на триплета от вектори, тройката е вдясно и е тройното ляво). Нека сега докажем втората част на теоремата. Фиг. 2, очевидно е, че обемът на триъгълна призма, изградена върху три вектора, е равен на половината от обема на паралелепипед, построен върху тези вектори, т.е.
Фигура: 2. Относно доказателството на теорема 1.

Но призмата се състои от три еднакви обема пирамиди OABC, ABCD и ACDE... Всъщност обемите на пирамидите ABCD и ACDE са равни, тъй като имат равни основи по площ BCD и CDE и същата височина падна от върха A... Същото важи и за височините и основите на пирамидите OABC и ACDE. Оттук

The онлайн калкулатор изчислява смесеното произведение на вектори. Дадено е подробно решение. За да изчислите смесения продукт на вектори, изберете начина за представяне на векторите (по координати или по две точки), въведете данните в клетките и кликнете върху „Изчисляване“.

×

Внимание

Изчистване на всички клетки?

Затворете Clear

Инструкции за въвеждане на данни. Числата се въвеждат като цели числа (примери: 487, 5, -7623 и др.), Десетични числа (напр. 67., 102.54 и т.н.) или дроби. Дробът трябва да бъде въведен под формата a / b, където a и b (b\u003e 0) са цели числа или десетични числа. Примери 45/5, 6.6 / 76.4, -7 / 6.7 и т.н.

Смесен продукт на вектори (теория)

Смесена работа три вектора е числото, което се получава, когато точков продукт резултат векторен продукт първите два вектора към третия вектор. С други думи, ако са дадени три вектора а, б и ° С, след това, за да се получи смесен продукт от тези вектори, първо, първите два вектора се умножават векторно и полученият вектор [ аб] е скаларен, умножен по вектор ° С.

Смесен продукт от три вектора а, б и ° С обозначени както следва: abc или така ( a, b, c). След това можете да напишете:

Преди да формулираме теорема, представляваща геометрично значение смесен продукт, запознайте се с понятията десен триплет, ляв триплет, дясна координатна система, лява координатна система (дефиниции 2, 2 "и 3 на страница векторно произведение на вектори онлайн).

За определеност в следващото ще разгледаме само десни координатни системи.

Теорема 1. Смесен продукт на вектори ([аб],° С) е равен на обема на паралелепедото, изграден върху векторите, редуцирани до общия произход a, b, cвзето със знак плюс, ако тройката a, b, c вдясно и със знак минус, ако е тройка a, b, c наляво. Ако вектори a, b, c копланарен, тогава ([ аб],° С) е равно на нула.

Следствие 1. Важи следното равенство:

Следователно е достатъчно да докажем това

От израз (3) се вижда, че лявата и дясната част са равни на обема на паралелепипеда. Но знаците от дясната и лявата страна също съвпадат, тъй като тройките на векторите abc и bca имат еднаква ориентация.

Доказаното равенство (1) ни позволява да запишем смесеното произведение от три вектора a, b, c само във формата abcбез да се уточнява кои два вектора се умножават по вектора първите два или последните два.

Следствие 2. Необходимо и достатъчно условие за копланарността на три вектора е равенството на нула на техния смесен продукт.

Доказателството следва от теорема 1. Всъщност, ако векторите са копланарни, тогава смесеното произведение на тези вектори е равно на нула. Обратното, ако смесеният продукт е равен на нула, тогава копланарността на тези вектори следва от теорема 1 (тъй като обемът на паралелепедото, конструиран върху векторите, редуциран до общ произход, е равен на нула).

Следствие 3. Смесеният продукт на три вектора, два от които съвпадат, е равен на нула.

Наистина ли. Ако два вектора от три съвпадат, тогава те са съвместни. Следователно смесеният продукт на тези вектори е нула.

Смесен продукт на вектори в декартови координати

Теорема 2. Нека три вектора а, б и ° С дефинирани от техните декартови правоъгълни координати

Доказателства. Смесена работа abc е равно на скаларното произведение на вектори [ аб] и ° С... Векторно произведение на вектори [ аб] в декартови координати се изчислява по формулата ():

Последният израз може да бъде написан с помощта на детерминанти от втори ред:

необходимо и достатъчно е детерминантата да е равна на нула, чиито редове са изпълнени с координатите на тези вектори, т.е.:

.

(7)

За да докажем следствието, е достатъчно да разгледаме формула (4) и следствие 2.

Смесен продукт на вектори чрез примери

Пример 1. Намерете смесения продукт на вектори abcкъдето

Смесен продукт на вектори a, b, c равен на детерминанта матрици L... Изчисляваме детерминантата на матрицата L, разширявайки детерминантата по линия 1:

Крайна точка на вектора а.