Aggiunta del moto traslatorio e rotatorio di un corpo rigido. Tipi di movemento del corpo rigido

Se un corpo partecipa contemporaneamente al movimento traslatorio mobile con velocità e al movimento rotatorio relativo con velocità angolare, allora a seconda della loro относително положениеÈ utile considerare tre casi distinti.

1. La locità di traslazione è perpendicolare all'asse di rotazione relativa. In questo caso, i vettori e sono perpendicolari (фиг. 53). В редица оперативна система, perpendicolare al piano in cui si trovano e, c'è un punto КОН, la cui velocità è nulla. Determinare la sua distanza dal punto Д.И..

Secondo il teorema della somma delle velocità per un punto КОН abbiamo

da quando ruota attorno ad un asse

Tenendo conto che le velocità e sono di verso opposto, otteniamo

Poiché, allora e, quindi, punti КОНд Д.И. sono a distance

Altri punti aventi velocità Гуале нула, si trovano su una retta passante per il punto КОН, parallelo all'asse di rotazione del corpo con velocità angolare. Pertanto, esiste un asse di rotazione istantaneo parallelo all'asse di rotazione relativa e passante per il punto КОН.

Quando si sommano i movimenti relativi traslatori e rotazionali di un corpo rigido, in cui la velocità del movimento traslatorio è perpendicolare all'asse di rotazione relativa, il movimento assoluto equivalente è la rotazione attorno a un asse istantaneo parallelo all'asse di rotazione относителна кон una velocità angolare coincidente con la velocità angolare della rotazione relativa.

2. Еликоидално движение. Il movimento in cui la velocità del movimento traslatorio mobile del corpo è parallela all'asse di rotazione relativa è chiamato movimento a vite di un corpo solido (фиг. 54). L'asse di rotazione del corpo in questo caso è chiamato asse di rotazione. Nel movimento della vite, il corpo si muove traslativamente parallelamente all'asse di movimento della vite e ruota attorno a questo asse. Il moto elicoidale non si riduce a nessun altro moto equivalente semplice.

Durante il movimento elicoidale, i vettori e possono avere sia la stessa direzione che quella opposta. Il moto della vite di un corpo è caratterizzato dal parametro del moto yearle della vite, che si considera essere la quantità. Se cambiano nel tempo, i parametri della movimento della vite sono variabili. Nel caso generale, e, cioè p è lo spostamento del corpo lungo l'asse di movimento della vite quando il corpo viene ruotato di un radiante.

Per un punto М abbiamo

Мамо гълъбче Р– distanza della punta dall'asse della vite. Скорост и перпендикуляр. Куинди,

Considerando ciò, otteniamo

Se un corpo ruota con una velocità angolare costante e ha una velocità di traslazione costante, tale movimento del corpo è chiamato movimento costante dell'elica. In questo caso, la punta del corpo durante il movimento si trova semper sulla superficie di un cilindro circolare con raggio Р. La traiettoria di un punto è un'elica. Oltre al parametro nel caso in esame, inserire passo dell'elica, cioè la distanza di cui si sposterà qualsiasi punto del corpo durante una rivoluzione del corpo attorno all'asse di movimento della vite. L'angolo di rotazione del corpo è calcolato dalla formula. Per una rivoluzione del corpo. Il tempo necessario per questo.

Дуранте T la punta si sposterà in una direzione parallela all'asse della vite in base al passo della vite.

Da ciò si ottiene la dipendenza del passo dell'elica dal parametro di moto dell'elica.

Equazioni del moto di un punto М i corpi lungo un'elica (фиг. 102) в координатна декартова форма sono espressi nella seguente forma:

In queste equazioni le quantità e sono costanti.

3. Caso generale. Sia la velocità del moto traslatorio del portatile e la velocità angolare della rotazione relativa a formare un angolo. Il caso in cui, e, sono già stati considerati, hanno tutti i punti del corpo. Pertanto, si ottiene un movimento della vite con l'asse della vite distanziato di una certa quantità dall'asse di rotazione originale.

Parametro del Movetiono elicoidale risultante.

Il caso generale dei moti traslatori e rotatori relativi mobili di un corpo rigido si è rivelato equivalente al moto istantaneo della vite.

Movimento a vite

Movimento a vite moto di un corpo rigido costituito da un moto traslatorio rettilineo con velocità v e movimento rotatorio con velocità angolare w attorno all'asse аа 1, parallelo alla direzione della velocità v(см. рисо. ). Quando la direzione dell'asse аа 1 rimane invariato, il corpo che esegue il movimento verticale è chiamato vite in meccanica e asse аа 1 - asse della vite. La vite si chiama proprio quando v e w sono diretti come mostrato nella figura, e verso sinistra se la direzione v oppure w cambiare nell'esatto contrario. La distanza percorsa in un giro da un punto qualsiasi del corpo giacente sull'asse della vite si chiama passo з vite e la dimensione Р = v/ w - parametro della vite.

Велосита vмое ускорение wв qualsiasi momento М vite distanziata dall'asse a distanza Р, sono numericamente uguali

Гълъб т- accelerazione del moto traslatorio di un corpo lungo un asse аа 1, e - angolare accelerazione della rotazione attorno a questo asse.

Задайте параметри Р costante, passo dell'elica з= 2p v/w = 2p Рè anche costante. Qualsiasi punto della vite che non giace sul proprio asse descrive in questo caso una linea elicoidale, la cui tangente in ciascun punto forma un angolo con il piano perpendicolare all'asse della vite

а = аркотано з/2стр Р .

Qualsiasi movimento complesso di un corpo rigido è generalmente composto da una serie di moti elementari o istantanei. In questo caso l'asse del movimento, detto asse elicoidale istantaneo, cambia continuamente direzione nello spazio e nel corpo stesso in movimento.

MOVIMENTO DELLA VITE. Se il movimento di un sistema immutabile (ad esempio un corpo rigido) è composto da rotazione attorno ad un asse e movimento di traslazione lungo questo asse, allora tale movimento del corpo è chiamato movimento elicoidale; tale asse è detto asse elicoidale, oppure asse di rotazione - scorrimento. Se vengono date due posizioni arbitrarie di un corpo che si muove nello spazio, allora la transizione dalla posizione I alla posizione II può essere eseguita con un movimento elicoidale attorno ad un asse elicoidale localizzato in modo specifico (teorema di Chasles); in questo caso i movement di rotazione e traslazione possono essere eseguiti contemporaneamente o in sequenza in qualsiasi ordine. Considerando ogni dato movimento di un corpo nello spazio come costituito da movimenti elementari infinitesimi e applicando a ciascuno di essi il teorema di Chasles, otteniamo la seguente proposizione: qualsiasi movimento di un corpo nello spazio è una serie di movimenti elicoidali in finitesimi attorno ad assi licoidali istantanei , cambiando la loro posizione in ogni momento e direzione nello spazio.

Gli spostamenti elementari elicoidali del corpo attorno a ciascun asse istantaneo sono movimenti equivalenti a spostamenti reali infinitesimi del corpo, e li rappresentano con una precisione di grandezze infinitesimali di ordine superiore. Le leggi del movimento della vite, equivalenti a qualsiasi movimento di un corpo rigido, furono stabilite da Mozzi (Giulio Mozzi, 1768). Anche la somma di due movimenti elicoidale dà come risultato un movimento elicoidale.

il moto di un corpo rigido, come il moto di un punto, può essere complesso.

Lascia che il corpo faccia un movimento rispetto al sistema di coordinate 0 х 1 sì 1 z 1, che a sua volta si muove rispetto agli assi fissi 0 xyz.Паренте il movimento di un corpo è il suo movimento rispetto al sistema di coordinate mobili 0 х 1 sì 1 z 1. Per scoprirloпреносим Il movimento del corpo in ogni momento del tempo dovrebbe essere considerato come rigidamente attaccato al sistema di riferimento mobile, e il movimento che il corpo con il sistema di riferimento mobile farà rispetto al sistema fisso sarà movimento portatile. Viene chiamato il movimento di un corpo rispetto ad un sistema di coordinate fisso.

assoluto

Il compito principale della cinematica del movimento complesso di un corpo rigido è stabilire relazioni tra le caratteristiche cinematiche del movimento assoluto, relativo e traslatorio. Il movimento complesso di un corpo rigido può consistere in movimenti traslatori e rotatori oppure può essere ottenuto sommando movimenti traslatori e rotatori. In alcuni problemi cinematici, un dato movimento complesso di un corpo rigido viene scomposto in componenti del movimento (analisi); in altri si tratta di determinare un movimento complesso come risultato dell'addizione di movimenti più semplici (sintesi). Sia nell'analisi che nella sintesi dei movimenti si parla di scomposizione e somma di movimenti considerati in un dato momento (movimenti istantanei).

Addizione di moti traslatori di un corpo rigido v Supponiamo che un corpo rigido partecipi contemporaneamente a due moti istantaneamente traslatori, uno dei quali sia traslatorio con una velocità v 1, il secondo: portatile e veloce М 2 (Фигура 2.73). Selezionioniamo un punto М

v корпус. Troviamo la velocità assoluta del punto = v Р + v ООН = v 1 + v 2 . (2.113)

д

Poiché sia ​​​​il movimento relativo che quello mobile di un corpo rigido sono istantaneamente traslazionali, le velocità relative, portatili e, quindi, secondo la formula (2.113), assolute di tutti i punti del corpo saranno uguali tra loro in ogni momento del tempo (uguali in grandezza e paralleli in direzione), cioè anche il moto assoluto di un corpo è istantaneamente traslatorio.

Ovviamente questa conversione è applicabile al movimento complesso di un corpo rigido, costituito da tre o più movimenti traslatori istantanei, quindi nel caso generale

Quindi, come risultato della somma dei moti traslatori istantanei di un corpo rigido, il movimento risultante è istantaneamente traslatorio.. Il movimento traslatorio istantaneo di un corpo rigido differentisce dal movimento traslatorio in quanto con ità di tutti i punti del corpo sono uguali.

66, 67 Aggiunta di rotazioni attorno ad assi paralleli

Consideriamo il caso in cui il moto relativo del corpo è la rotazione

con velocità angolare attorno ad un asse fisso sulla manovella (фиг. 1a), e portatile - ruotando la manovella attorno ad un asse parallelo a, con velocità angolare. Allora il moto del corpo sarà piano parallelo rispetto al piano perpendicolare agli assi.

Supponiamo che le rotazioni siano dirette in una direzione. Rappresentiamo la sezione transversale del corpo con un piano perpendicolare agli assi (фиг. 1 b). Le tracce degli assi nella sezione saranno посочва con le lettere e. Poi e. In questo caso i vettori sono paralleli tra loro, perpendicolari e diretti in direzioni diverse. Quindi il punto è il centro istantaneo delle velocità, e quindi l'asse parallelo agli assi ed è l'asse istantaneo di rotazione. Per determinare la velocità angolare della rotazione assoluta di un corpo attorno ad un asse e la posizione dell'asse stesso, ad es. punti, utilizzeremo la proprietà del centro di velocità istantaneo

.

Sostituendo i valori e in queste uguaglianze, otteniamo finalmente

Quindi, sommando due rotazioni dirette nella stessa direzione attorno ad assi paralleli, il movimento risultante del corpo sarà una rotazione istantanea con velocità assoluta attorno all'asse istantaneo parallelo ai dati, la cui posizione è determinata dalle proporzioni (2).

Nel tempo, l'asse di rotazione istantaneo cambia posizione, descrivendo una superficie cilindrica.

Consideriamo ora il caso in cui le rotazioni sono dirette in direzioni diverse (фиг. 2).

Supponiamo che. Allora, ragionando come nel caso precedente, per la velocità angolare del moto assoluto di un corpo attorno ad un asse e la posizione dell'asse stesso, si ottiene

Pertanto, sommando due rotazioni dirette in direzioni diverse attorno ad assi paralleli, il movimento risultante del corpo sarà una rotazione istantanea con velocità angolare assoluta attorno all'asse istantaneo, la cui posizione è determinata dalle proporzioni (4).

Si noti che in questo caso il punto divide esternamente la distanza tra gli assi paralleli.

Consideriamo un caso speciale in cui le rotazioni attorno ad assi paralleli sono dirette in direzioni diverse, ma in valore assoluto (фиг. 3).

Un tale insieme di rotazioni è chiamato coppia di rotazioni e i vettori formano una coppia di velocità angolari. In questo caso si ottiene e , cioè = . Allora il centro istantaneo delle velocità è all'infinito e tutti i punti del corpo in un dato momento hanno le stesse velocità.

Di conseguenza, il movimento risultante del corpo sarà un movimento traslatorio (o traslatorio istantaneo) con una velocità numericamente uguale e diretta perpendicolare al piano passante per i vettori e . Pertanto, una coppia di rotazioni equivale a un movimento traslatorio istantaneo con una velocità pari al momento di una coppia di velocità angolari di queste rotazioni.

Un esempio di coppia di velocità angolari è il movimento del pedale di una bicicletta rispetto al telaio della bicicletta (фиг. 4).

Questo movimento è una combinazione di rotazione portatile con la manovella attorno all'asse e rotazione relativa del pedale rispetto alla manovella attorno all'asse. Durante l'intero movimento il pedale rimane parallelo alla sua posizione originale, cioè fa movimento in avanti.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio 1. Una manovella ruota attorno a un asse in senso orario con una velocità angolare di, e un disco di raggio ruota attorno a un asse in senso orario con la stessa velocità angolare rispetto alla manovella. Trova la grandezza e la direzione delle velocità assolute dei punti e (фиг. 5).

Soluzione. Poiché le velocità angolari delle rotazioni portatili e relative sono uguali in grandezza e dirette nella stessa direzione, il centro di rotazione istantaneo del disco si trova nel mezzo tra e , cioè . L'entità della velocità angolare assoluta di rotazione del disco attorno a un punto è pari a. Da qui troviamo:

, ,

, .

Esempio 2. La manovella ruota attorno ad un asse con velocità angolare. Un ingranaggio a raggio è montato liberamente sul perno di manovella e ingranato con un ingranaggio a raggio stazionario. Trova la velocità angolare assoluta dell'ingranaggio e la sua velocità angolare rispetto alla manovella (фиг. 6).

Soluzione. Poiché la marcia è innestata con una ruota ferma, la velocità assoluta del punto di ingranamento della marcia con questa ruota è zero, cioè il punto è il centro istantaneo di rotazione dell'ingranaggio. Да кви О,

Si noti che il senso di rotazione dell'ingranaggio coincidence con il senso di rotazione della manovella.

Quindi dall'uguaglianza troviamo la velocità angolare assoluta dell'ingranaggio

Consideriamo il movimento complesso di un corpo rigido, costituito da movimenti traslatori e rotatori. Un esempio corrispondente è mostrato на фиг. 207. Qui, il movimento relativo del corpo 1 è la rotazione con velocità angolare c attorno ad un asse fissato sulla piattaforma 2, e il movimento portatile è il movimento traslatorio della piattaforma con velocità v. Allo stesso tempo, anche la ruota 3 partecipa a due di questi movimenti, per i quali il relativo movimento è la rotazione attorno al proprio asse, e il movimento portatile è il movimento della stessa piattaforma. A seconda del valore dell'angolo a tra i vettori ev (per una ruota questo angolo è 90°), sono possibili tre casi.

1. La velocità del movimento traslatorio è perpendicolare all'asse di rotazione. Sia il movimento complesso di un corpo composto da un movimento rotatorio attorno ad un asse con velocità angolare co e un movimento traslatorio con velocità v, perpendicolare (фиг. 208).

È facile vedere che questo movimento è (rispetto al piano P, perpendicolare all'asse) un movimento piano parallelo, studiato in dettaglio nel Cap. XI. Se consideriamo il punto A come un polo, allora il movimento in questione, come ogni movimento piano parallelo, sarà in realtà composto da un movimento di traslazione con velocità, cioè con la velocità del polo, e da un movimento di rotazione attorno ad un asse passante per il palo.

Il vettore v può essere sostituito da una coppia di velocità angolari (vedi § 69) prendendo. In questo caso la distanza AR sarà determinata dall’uguaglianza da dove (tenendo conto che)

La somma dei vettori dà zero e otteniamo che il movimento del corpo in questo caso può essere considerato come una rotazione istantanea attorno ad un asse con velocità angolare . Questo risultato era stato precedentemente ottenuto in modo diverso (vedi § 56). Confrontando le uguaglianze (55) e (107), vediamo che il punto P per la sezione S del corpo è il centro istantaneo delle velocità. Qui siamo ancora una volta convinti che la rotazione del corpo attorno agli assi avviene con la stessa velocità angolare, cioè che la parte rotatoria del movimento non dipende dalla scelta del polo (vedi § 52).

2. Movimento della vite (). Se il movimento complesso di un corpo consiste in un movimento di rotazione attorno a un asse con velocità angolare co e un movimento di traslazione con velocità v diretto parallelo all'asse (фиг. 209), allora tale movimento del corpo è chiamato movimento a vite . L'asse è chiamato asse della vite.

Quando i vettori sono diretti in una direzione, allora con la regola immagine che abbiamo adottato, la vite sarà a destra; se in direzioni diverse - a sinistra.

La distanza percorsa durante un giro da un punto qualsiasi del corpo giacente sull'asse della vite si chiama passo h della vite. Se i valori di e e c sono costanti, anche il passo dell'elica sarà costante. Indicando il tempo di una rivoluzione attraverso T, otteniamo in questo caso, da dove

A passo costante ogni punto M del corpo che non giace sull'asse della vite descrive una linea elicoidale. La velocità del punto M, situato a distanza dall'asse dell'elica, è composta dalla velocità di traslazione v e dalla velocità ad essa perpendicolare, ottenuta nel moto rotatorio, che è numericamente pari a Pertanto,

La velocità è diretta tangenzialmente all'elica. Se la superficie cilindrica lungo la quale si muove il punto M viene tagliata lungo la generatrice e girata, le linee elicoidali si trasformeranno in linee rette, inclinate rispetto alla base del cilindro ad angolo

3. La velocità del movimento traslatorio forma un angolo arbitrario con l'asse di rotazione. Il movimento complesso compiuto dal corpo in questo caso (фиг. 210, a) è il movimento discusso nel § 63 (il caso generale del movimento di un corpo rigido libero).

Componiamo il vettore v (Фиг. 210, b) не съдържа компоненти: la Velocità perpendicolare diretta lungo c può essere sostituita da una coppia di velocità angolari (вижте на фиг. 208), dopodiché i vettori possono essere scartati. Troviamo la distanza AC usando la formula (107).