Dacia
08.08.2020

Polinomi nel campo dei numeri complessi. Scomposizione di un polinomio sul campo dei numeri razionali Scomposizione di un polinomio sul campo dei numeri complessi

Sul campo dei numeri reali, qualsiasi polinomio irriducibile di una variabile ha grado 1 o 2, e il polinomio di 2° grado è irriducibile sul campo R se e solo se ha un discriminante negativo, ad esempio, il polinomio è irriducibile sul campo di numeri reali, poiché il suo discriminante è negativo.

Il criterio di Eisenstein è un criterio per l'irriducibilità di un polinomio, dal nome del matematico tedesco Ferdinand Eisenstein. Nonostante il nome (tradizionale), si tratta appunto di un segno, cioè di una condizione sufficiente - ma per nulla necessaria, come si potrebbe supporre, in base al significato matematico della parola "criterio"

Teorema (criterio di Eisenstein). Sia un polinomio sull'anello fattoriale R ( n>0), e per qualche elemento irriducibile p sono soddisfatte le seguenti condizioni:

Non divisibile per p,

Diviso per p, per chiunque io a partire dal 0 prima n- 1,

Non divisibile per.

Allora il polinomio è irriducibile over F campo di anelli privati R.

Conseguenza. Su qualsiasi campo di numeri algebrici esiste un polinomio irriducibile di qualsiasi grado predeterminato; per esempio, un polinomio, dove n>1 e pЇ un numero primo.

Considera esempi di applicazione di questo criterio quando R è l'anello dei numeri interi e F è il campo dei numeri razionali.

Esempi:

Il polinomio è irriducibile su Q.

Il polinomio di divisione del cerchio è irriducibile. Infatti, se è riducibile, allora anche il polinomio è riducibile, e poiché tutti i suoi coefficienti, tranne il primo, sono binomiali, cioè sono divisibili per p, e l'ultimo coefficiente `amen p e inoltre, non è divisibile per il criterio di Eisenstein, contrariamente all'assunto.

I seguenti cinque polinomi dimostrano alcune proprietà elementari dei polinomi irriducibili:

Sull'anello Z degli interi i primi due polinomi sono riducibili, gli ultimi due sono irriducibili. (Il terzo non è affatto un polinomio su numeri interi).

Sul campo Q dei numeri razionali, i primi tre polinomi sono riducibili, gli altri due sono irriducibili.

Sopra il campo R numeri reali, i primi quattro polinomi sono riducibili, ma è irriducibile. Nel campo dei numeri reali, i polinomi lineari ei polinomi quadratici senza radici reali sono irriducibili. Ad esempio, la scomposizione di un polinomio nel campo dei numeri reali ha la forma. Entrambi i fattori in questa espansione sono polinomi irriducibili.

Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. Infatti, ogni polinomio non costante su C può essere scomposto come segue:

dove n- il grado del polinomio, un- il coefficiente principale, - le radici del polinomio. Pertanto, gli unici polinomi irriducibili su C sono polinomi lineari (il teorema fondamentale dell'algebra).

Qualsiasi numero complesso definisce un punto sul piano. Gli argomenti si troveranno su un piano complesso, i valori di f-ii si trovano su un altro piano complesso.

F(z)- complesso complesso variabile. Tra le funzioni complesse di una variabile complessa spicca in particolare la classe delle funzioni continue.

Def: Una funzione complessa di una variabile complessa è detta continua se , tale che .+

senso geometrico nel seguente:

Specifica un cerchio nel piano complesso, centrato in z0, con raggio< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .

Teorema 1: Il polinomio f(z) è assegnato. C(z) è continua in ogni punto del piano complesso.

Corollario: il modulo di un polinomio nel campo dei numeri complessi è una funzione continua.

Teorema 2: - un anello di polinomi con coefficienti complessi, quindi valori tali che .

Teorema 3. (sull'aumento illimitato del modulo di un polinomio):

Teorema di base dell'algebra:

Qualsiasi polinomio nel campo dei numeri complessi non di grado 0 ha almeno una radice nel campo dei numeri complessi.

(Useremo le seguenti asserzioni nella dimostrazione):

D: 1. Se a n =0, allora z=0 è la radice di f(z).

2. se n 0, , allora per il Teorema 3, la disuguaglianza definisce una regione nel piano complesso che giace al di fuori del cerchio di raggio S. Non ci sono radici in questa regione, perché pertanto, le radici del polinomio f(z) vanno cercate all'interno della regione .



Considera da T1. ne consegue che la funzione f(z) è continua. Secondo il teorema di Weierstrass, raggiunge il suo minimo in un punto della regione chiusa, cioè . Dimostriamo che il punto è un punto di minimo. Perché 0 Е, allora , perché al di fuori dell'area E del valore di f-ii, allora z 0 è il punto di minimo, su tutto il piano complesso. Mostriamo che f(z 0)=0. Supponiamo che questo non sia il caso, quindi dal d'Alembert Lemma, otteniamo una contraddizione, perché z 0 punto minimo.

Chiusura algebrica:

Def: Un campo P è detto algebricamente chiuso se ha almeno una radice su questo campo.

Teorema: Il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso. (d-in deriva dal teorema fondamentale dell'algebra).

I campi dei numeri razionali e reali non sono algebricamente chiusi.

Decomponibilità:

Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari.

Corollario 1. Un polinomio di grado n ha esattamente n radici nel campo dei numeri complessi.

Next 2: qualsiasi polinomio nel campo dei numeri complessi di grado maggiore di 1 è sempre riducibile.

Def: Numeri plurali C \ R, cioè i numeri della forma a + bi, dove b non è uguale a 0 - sono chiamati immaginari.


2. Polinomi su un campo. MCD di due polinomi e algoritmo di Euclide. Scomposizione di un polinomio in un prodotto di fattori irriducibili e sua unicità.

def. Polinomio (polinomio) dall'ignoto X sopra il campo R chiamata Somma algebrica di potenze intere non negative X, preso con qualche coefficiente dal campo R.

Dove aiÎP o

I polinomi sono chiamati pari, se i loro coefficienti sono uguali alle corrispondenti potenze delle incognite.

Si chiama il grado di un polinomio. il valore più grande dell'esponente dell'ignoto, il cui coefficiente è diverso da zero.

Designato: N(f(x))=n

L'insieme di tutti i polinomi su un campo R denotato: P[x].

I polinomi di grado zero coincidono con gli elementi del campo R, diverso da zero è un polinomio nullo, il suo grado è indefinito.

Operazioni sui polinomi.

1. Aggiunta.

Sia n³s, allora , N(f(x)+g(x))=n=max(n,s).

<P[x],+>

  1. l'operazione di addizione è ammissibile e l'unicità deriva dall'unicità dell'addizione degli elementi del campo
  2. associatività
  3. elemento nullo
  4. polinomio opposto a quello dato
  5. commutatività

- gruppo abeliano

2. Moltiplicazione.

Esplorare la struttura algebrica<P[x],*>

  1. l'operazione è fattibile, perché field è un'operazione di moltiplicazione. L'unicità deriva dall'unicità delle operazioni sul campo R.
  2. associatività
  3. polinomio identità
  4. solo i polinomi al grado zero sono invertibili

<P[x],*>- semigruppo con elemento di identità (manoide)

Le leggi distributive valgono, quindi<P[x],+,*>è un anello commutativo con identità.

Divisibilità dei polinomi

APS: polinomio f(x), f(x)íP[x], P– il campo è divisibile per un polinomio g(x), g(x)≠0, g(x)íP[x], se un tale polinomio esiste h(x)нP[x] tale che f(x)=g(x)h(x)

Proprietà divisibilità:

Esempio:, dividere per una colonna mcd = ( x+3)

Teorema della divisione con resto: Per tutti i polinomi f (x), g(x)íP[x], esiste un solo polinomio q(x) e r(x) tale che f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x)) o r(x)=0.

Idea Dock: consideriamo due casi esistenti n livello g(x)) e dividi f (X) su g (X). L'unicità è una prova di contraddizione.

APS: f (x) e g(x), f(x), g(x)íP[x], h(x)íP[x] si chiama MCD f (x) eg(x) Se

Algoritmo di Euclide

Scriviamo il processo di divisione successiva

f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1)

g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2)

r 1 (x)= r 2 (x) q 3 (x)+r 3 (x) (3) ecc.

r k-2 (x)= r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k)

r k-1 (x)= r k (x) q k+1 (x) (k+1)

mcd(f(x),g(x))=d(x)=r k (x)

Idea della dimostrazione: mostriamo che 1 ) f(x):(totale) d(x) e g(x):(totale) d(x); 2) f(x):(totale) h(x) e g(x):(totale) h(x) lo mostriamo d(x):( interamente) h(x).

Rappresentazione lineare di MCD

T: se d(x) - MCD di polinomi f (x) e g(x), allora ci sono i polinomi v (x) e u(x)íP[x], che cosa f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x).

Def: f(x) e g(x)íP[x] hanno sempre divisori comuni, cioè polinomi di grado zero coincidenti con il campo P; se non ci sono altri divisori comuni, allora f(x) e g(x) sono coprimi. (simbolo: (f(x),g(x))=1)

T: f (X) e g(x) coprimo i.i.t.c. esistono polinomi v(x) e u(x)нP[x] tali che f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

Proprietà dei polinomi coprimi

  1. (f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, allora (f(x),g(x)*q(x))=1
  2. f(x)*g(x):(intero)h(x) e (f(x),g(x))=1, allora g(x):( intero) h(x)
  3. f(x):(intero)g(x), f(x):(intero)h(x) e ( g(x),h(x))=1, allora f(x):(interamente) g(x)*h(x)

APS: Viene chiamato il polinomio f(x), f(x)íP[x]. citato su un campo P se può essere scomposto in fattori i cui gradi sono maggiori di 0 e minori del grado f(x), cioè

f (x)=f1 (x)f2 (x), dove i gradi f 1 e f 2 >0,

La riducibilità dei polinomi dipende dal campo su cui vengono considerati. Un polinomio è irriducibile (un polinomio che non fattorizza a fattori di grado inferiore) sul campo Q, ed è riducibile sul campo R.

Proprietà dei polinomi irriducibili:

  1. Un polinomio di grado zero è riducibile su qualsiasi campo
  2. Se polinomiale f(x) non portano in campo R, quindi il polinomio a f(x) inoltre non è dato sul campo R.
  3. Siano i polinomi f (X) e p(x) sopra il campo R, e p(x) è irriducibile sul campo R, poi ci sono casi

1) polinomi f (X) e p(x) coprimo

2) f(x):(totale) p(x)

Un campo F si dice algebricamente chiuso se un qualunque polinomio di grado positivo su F ha radice in F.

Teorema 5.1 (teorema di base dell'algebra polinomiale). Il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso.

Conseguenza 5 .1.1. Al di sopra A PARTIRE DAL esistono polinomi irriducibili di solo primo grado.

Corollario 5.1.2. Polinomio n esimo grado sopra A PARTIRE DAL Esso ha n radici complesse.

Teorema 5.2. Se  è una radice complessa di un polinomio f con coefficienti reali, anche il complesso coniugato è una radice f.

Conseguenza 5 .2.1. Al di sopra R esistono polinomi irriducibili di solo primo o secondo grado.

Corollario 5.2.2. Radici immaginarie di un polinomio over R divisi in coppie di coniugati complessi.

Esempio 5.1. Fattorizzare in fattori irriducibili sopra A PARTIRE DAL e oltre R polinomio X 4 + 4.

Decisione. Abbiamo

X 4 + 4 =X 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (X 2 + 2) 2 – 4X 2 = (X 2 – 2X+ 2)(X 2 + 2X+ 2) –

decomposizione finita R. Trovando nel solito modo le radici complesse dei polinomi di secondo grado tra parentesi, si ottiene una scomposizione su A PARTIRE DAL:

X 4 + 4 = (X – 1 – io) (X – 1 + io) (X + 1 – io) (X + 1 + io).

Esempio 5.2. Costruisci un polinomio di grado minimo con coefficienti reali aventi radici 2 e 1 + io.

Decisione. Secondo il Corollario 5.2.2, il polinomio deve avere radici 2, 1 - io e 1+ io. I suoi coefficienti possono essere trovati usando le formule di Vieta:

 1 \u003d 2 + (1 - io) + (1 +io) = 4;

 2 \u003d 2 (1 - io) + 2(1 + io) + (1 – io)(1 + io) = 6;

 3 \u003d 2 (1 - io)(1 + io) = 4.

Da qui f =X 3 – 4X 2 + 6X– 4.

Esercizi.

5.1. Fattorizzare in fattori irriducibili sopra A PARTIRE DAL e oltre R polinomi:

un) X 3 – 6X 2 + 11X – 6;

b) X 4 – 10X 2 + 1.

5.2. Tracciare un polinomio di grado minimo con coefficienti reali avente radice doppia di 1 e radice semplice di 1 – 2 io.

6. Polinomi nel campo dei numeri razionali

Teorema 6.1 (criterio di Eisenstein). Permettere f = a 0 +a 1 x+...+ un n X nè un polinomio a coefficienti interi. Se esiste un tale numero primo p, che cosa un 0 , un 1 , … , un n-1 diviso per p, un n non divisibile per p,un 0 non è divisibile per p 2, quindi f non è riducibile nel campo dei numeri razionali.

Esercizio 6.1. Dimostrare l'irriducibilità finita Q polinomi:

un) f= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X+3;b) f= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.

Teorema 6.2. Permettere è una frazione irriducibile che è la radice di un polinomio f = un 0 + un 1 X + … + un n X n a coefficienti interi. Quindi

    un 0  p, un nq;

    f(1)  pq,f(–1)  p+q.

Questo teorema ci permette di risolvere il problema di trovare radici razionali di un polinomio a coefficienti interi. Per fare ciò, determiniamo tutti i divisori del termine libero e del coefficiente principale e da essi costruiamo tutti i tipi di frazioni irriducibili. Tutte le radici razionali sono contenute tra queste frazioni. Lo schema di Horner può essere utilizzato per determinarli. Per evitare inutili calcoli in esso, usiamo l'asserzione 2) del Teorema 6.2.

Esempio 6.1. Trova le radici razionali di un polinomio

f = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.

Decisione. Scriviamo tutte le frazioni i cui numeratori p sono i divisori 18 e i denominatori q- divisori 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Li controlliamo secondo lo schema Horner:

Commento

f(1) = –21  p-q

f(–1) = –3  p+q

X 1 = –2

X 2 = 3/2

Trovare la radice X 1 = -2 e dividendo il polinomio per X+ 2, otteniamo un polinomio con un nuovo termine libero –9 (i suoi coefficienti sono sottolineati). I numeratori delle restanti radici devono essere divisori di questo numero e le frazioni che non soddisfano questa condizione possono essere escluse dall'elenco. I restanti valori interi sono esclusi perché non soddisfano la condizione f(1)p – q o f(–1)p + q. Ad esempio, per 3 abbiamo p = 3, q= 1, e la condizione f(1) = –21p – q(così come la seconda condizione).

Allo stesso modo, trovare la radice X 2 \u003d 3/2, abbiamo un polinomio con un nuovo termine libero 3 e un coefficiente senior di 1 (quando la radice è frazionaria, i coefficienti del polinomio risultante dovrebbero essere ridotti). Nessun numero rimanente dell'elenco può più essere la sua radice e l'elenco delle radici razionali è esaurito.

Le radici trovate dovrebbero essere controllate per molteplicità.

Se nel processo di risoluzione siamo arrivati ​​​​a un polinomio di secondo grado e l'elenco delle frazioni non è ancora stato esaurito, le radici rimanenti possono essere trovate utilizzando le solite formule come radici di un trinomio quadrato.

Esercizio 6.2. Trova radici razionali di un polinomio

un) X 3 – 6X 2 + 15X– 14;

b) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;

in 2 X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;

d) 4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.

Polinomio irriducibileè un polinomio che non può essere scomposto in polinomi non banali. I polinomi irriducibili sono elementi irriducibili di un anello di polinomi.

Un polinomio irriducibile su un campo è un polinomio dalle variabili sul campo è un semplice elemento dell'anello , cioè, non può essere rappresentato come un prodotto , dove e sono polinomi con coefficienti da , che sono diversi dalle costanti.

Un polinomio f su un campo F è detto irriducibile (semplice) se ha un grado positivo e non ha divisori non banali (cioè, qualsiasi divisore è associato ad esso o all'unità)

Suggerimento 1

Permettere R- irriducibile e unè un qualsiasi polinomio dell'anello F[x]. Allora neanche R divide un, o R e un sono coprimi.

Suggerimento 2

Permettere f∈ F[x], e il grado di f = 1, quindi f è un polinomio irriducibile.

Per esempio: 1. Prendi un polinomio x+1 sul campo Q. Il suo grado è 1, il che significa che è irriducibile.

2. x2 +1 è irriducibile, perché non ha radici

SLN. Soluzione di sistema. Sistemi congiunti, incompatibili, definiti e indefiniti. Sistemi equivalenti

Un sistema di equazioni lineari su un campo F con variabili х1,…хn è un sistema della forma

un 11 X 1 + … + a 1 n X n= b 1

………………………..

un m1 X 1 + … + a mn X n= b m

dove un ik,b io∈ F, m è il numero di equazioni, en è il numero di incognite. In breve, questo sistema può essere scritto come segue: ai1x1 + … + a in X n= b io (io = 1,…m.)

Questo SLE è una condizione con n variabili libere x 1,….хn.

I SLN sono divisi in incompatibili (non hanno soluzioni) e congiunti (definiti e indefiniti). Un sistema di viste congiunte si dice definito se ha una soluzione unica; se ha almeno due soluzioni diverse, allora si dice indefinito.

Ad esempio: sul campo Q

x + y \u003d 2 - sistema incompatibile

x - y \u003d 0 - giunto definito (x, y \u003d ½)

2x + 2y \u003d 2 - giunto indefinito

Due sistemi LO sono equivalenti se gli insiemi di soluzioni di questi sistemi coincidono, cioè ogni soluzione di un sistema è contemporaneamente soluzione di un altro. Si può ottenere un sistema equivalente a questo:



1. sostituendo una delle equazioni con questa equazione, moltiplicata per qualsiasi numero diverso da zero.

2. sostituire una delle equazioni con la somma di questa equazione con un'altra equazione del sistema.

La soluzione del SLE viene effettuata con il metodo di Gauss.

45* Trasformazioni elementari di sistemi di equazioni lineari (slu). Metodo di Gauss.

def.Trasformazioni elementari S.L.U n-Xia le seguenti trasformazioni:

1. Moltiplicazione di una delle equazioni di sistema del sistema per un elemento diverso da zero del campo.

2. Aggiunte a una delle equazioni del sistema di un'altra equazione, moltiplicate per l'elemento di campo.

3. Aggiunte al sistema o esclusione dal sistema di un'equazione diversa da zero 0*х1+0*х2+…+0*хn=0

4. Equazioni di scambio

SuggerimentoSi ottenga il sistema (**) o il sistema (*) con l'aiuto di un numero finito. Trasformazioni elementari. Quindi sistema (**) ~ sistema (*). (Senza dock)

Vice Quando scriviamo un sistema di equazioni lineari, useremo la notazione matriciale.

a11 a12 ... a1n in1

a21 a22 ... a2n v2

………………….... …

Am1 am2 ... amn locanda

Esempi: 1) 2x1 - x3 = 1 2 0 -1 1

x1 - x2 - x3 = 0 1 -1 -1 0

3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2

2) 1 0 1 x1=1

0 1 2x2=2

3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3

0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3

Metodo di Gauss

Suggerimento Lascia che il sistema (*)

(a) se tutti i termini liberi sono uguali a 0 tutte le vk=0 mn-in soluzioni = F n

(b) k inc=0 0x1+0x2+…+0xn= inc=0 (nessuna soluzione)

2. non tutti aij=0

(a) se il sistema ha un'equazione della forma 0х1+0х2+…+0хn= вк=0 0

(b) se non esistono tali equazioni b1. Escludiamo le equazioni diverse da zero. Troviamo l'indice più piccolo i1, tale che non tutti i coefficienti in xij=0.

0……0……….. …. La seconda colonna con zeri è i1.

0……0…..*=0….. ….

0……0 ...……… …

1. Riorganizzando le equazioni, otterremo che a1i1 = 0

0 ….. 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(assegnazione) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* a2i1

A2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1….. ….. ( calpestato

0…. 0… à2i1 … 0…..0..0… …. Matrice)

0 ........... 0 .... ami1.. ... ……………… …. …………………… ….

0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0 ….

Dopo un numero finito di passi, otteniamo che il sistema contiene un'equazione della forma 0х1+0х2+…+0хn= вк=0 0oppure

0……0 1………….. L1 “corsa Gauss in avanti” 0....0 1...0..0 .....0........0.... .. "inversione

0.....0 0.....1..... L2 0....0 0.....1........0.... .... .0.... .. Gauss”

0 .......00........0....1 L2 0....0 0......0........1... ......0.... ..

.............................. .... ............................................ ..

0........0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0....... ..0....0.......1 ..

Le variabili xi1, ...... xik sono chiamate le principali, le altre sono libere.

k=n => c-a definito

K c-a indefinito. Alle variabili libere possono essere assegnati valori derivati ​​e possono essere calcolati i valori delle variabili principali.

2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0

1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1

3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2

  • Algoritmi per moltiplicare e dividere numeri nel sistema numerico decimale
  • Determinazione delle deviazioni medie e al contorno e del numero necessario di selezioni
  • Rispondi Motovil sul libro di Peter Skarga "Sull'unità della Chiesa di Dio" 1577(?) - il primo tvir polemico di Ostrozky al centro.
  • Domanda n. 1. Evaporazione dell'umidità e decomposizione dei carbonati in un altoforno. Termodinamica della decomposizione dei carbonati.
  • TUTTI i gradi mancanti (e (o) i termini liberi) senza lacune sono scritti in ENTRAMBI i polinomi con coefficienti zero.

    • Viene chiamato un polinomio sull'anello degli interi primitivo, se il massimo comune divisore dei suoi coefficienti è 1. Un polinomio a coefficienti razionali è rappresentato univocamente come prodotto di un numero razionale positivo, chiamato contenuto polinomio e polinomio primitivo. Il prodotto di polinomi primitivi è un polinomio primitivo. Questo fatto implica che se un polinomio a coefficienti interi è riducibile sul campo dei numeri razionali, allora è riducibile sull'anello degli interi. Pertanto, il problema della fattorizzazione di un polinomio in fattori irriducibili sul campo dei numeri razionali si riduce a un problema simile sull'anello degli interi.

    Sia un polinomio con coefficienti interi e contenuto 1, e sia la sua radice razionale. Rappresentiamo la radice del polinomio come una frazione irriducibile. Polinomio f(X) è rappresentato come un prodotto di polinomi primitivi. Di conseguenza,

    A. il numeratore è il divisore,

    B. denominatore - divisore

    C. per qualsiasi numero intero K significato f(K) è un numero intero che può essere diviso senza resto da ( bb-un).

    Queste proprietà ci permettono di ridurre il problema di trovare le radici razionali di un polinomio ad un'enumerazione finita. Un approccio simile viene utilizzato nell'espansione del polinomio f a fattori irriducibili nel campo dei numeri razionali con il metodo di Kronecker. Se polinomiale f(X) livello n diamo, allora uno dei fattori ha al massimo una laurea n/2. Indichiamo questo fattore con g(X). Poiché tutti i coefficienti dei polinomi sono numeri interi, per qualsiasi numero intero un significato f(un) è divisibile senza resto per g(un). Scegliamo m= 1+n/2 numeri interi distinti un io , io=1,…,m. Per i numeri g(un i) esiste un numero finito di possibilità (il numero di divisori di qualsiasi numero diverso da zero è finito), quindi esiste un numero finito di polinomi che possono essere divisori f(X). Dopo aver effettuato un'enumerazione completa, o mostriamo l'irriducibilità del polinomio o lo espandiamo in un prodotto di due polinomi. Applichiamo lo schema indicato a ciascun fattore finché tutti i fattori diventano polinomi irriducibili.

    L'irriducibilità di alcuni polinomi nel campo dei numeri razionali può essere stabilita utilizzando un semplice criterio di Eisenstein.

    Permettere f(X) è un polinomio sull'anello degli interi. Se c'è un numero primo p, che cosa



    I. Tutti i coefficienti del polinomio f(X), ad eccezione del coefficiente al grado più alto, sono divisi per p

    II. Il coefficiente al grado più alto non è divisibile per p

    III. Il termine libero non è divisibile per

    Poi il polinomio f(X) è irriducibile nel campo dei numeri razionali.

    Va notato che il criterio di Eisenstein fornisce condizioni sufficienti per l'irriducibilità dei polinomi, ma non necessarie. Quindi il polinomio è irriducibile nel campo dei numeri razionali, ma non soddisfa il criterio di Eisenstein.

    Il polinomio , secondo il criterio di Eisenstein, è irriducibile. Di conseguenza, nel campo dei numeri razionali esiste un polinomio di grado irriducibile n, dove n qualsiasi numero naturale maggiore di 1.
    Articoli casuali