Come si chiama l'angolo formato da due rette? Trovare l'angolo tra vettori, esempi e soluzioni

Definizione

Viene chiamata una figura geometrica costituita da tutti i punti del piano racchiusi tra due raggi provenienti da un punto angolo piatto.

Definizione

L'angolo tra due intersecanti Drittoè il valore dell'angolo piano più piccolo all'intersezione di queste linee. Se due rette sono parallele, l'angolo tra loro è considerato pari a zero.

L'angolo tra due linee che si intersecano (se gli angoli piani sono misurati in radianti) può assumere valori da zero a $\dfrac(\pi)(2)$.

Definizione

L'angolo tra due linee che si intersecanoè una quantità pari all'angolo tra due rette intersecanti parallele a quelle che si intersecano. L'angolo tra le linee $a$ e $b$ è indicato con $\angolo (a, b)$.

La correttezza della definizione introdotta segue dal seguente teorema.

Teorema sugli angoli piani con lati paralleli

Le grandezze di due angoli piani convessi con i lati rispettivamente paralleli e identicamente diretti sono uguali.

Prova

Se gli angoli sono retti allora sono entrambi uguali a $\pi$. Se non sono spiegati, tracciamo segmenti uguali $ON=O_1ON_1$ e $OM=O_1M_1$ sui lati corrispondenti degli angoli $\angle AOB$ e $\angle A_1O_1B_1$.

Il quadrilatero $O_1N_1NO$ è un parallelogramma perché i suoi lati opposti $ON$ e $O_1N_1$ sono uguali e paralleli. Allo stesso modo, il quadrilatero $O_1M_1MO$ ​​​​è un parallelogramma. Quindi $NN_1 = OO_1 = MM_1$ e $NN_1 \parallelo OO_1 \parallelo MM_1$, quindi $NN_1=MM_1$ e $NN_1 \parallelo MM_1$ per transitività. Il quadrilatero $N_1M_1MN$ è un parallelogramma, poiché i suoi lati opposti sono uguali e paralleli. Ciò significa che i segmenti $NM$ e $N_1M_1$ sono uguali. I triangoli $ONM$ e $O_1N_1M_1$ sono uguali secondo il terzo criterio di uguaglianza dei triangoli, ciò significa che i corrispondenti angoli $\angle NOM$ e $\angle N_1O_1M_1$ sono uguali.

Composto da due raggi diversi che emanano da un punto. I raggi sono chiamati lati della U., e il loro inizio comune è la parte superiore della U. Sia [ VA),[Sole) - lati dell'angolo, IN - il suo vertice è un piano definito dai lati U. La figura divide il piano in due figure La figura i==l, 2, detto anche U. o angolo piatto, chiamato. la regione interna della U piatta.
Si chiamano i due angoli uguali (o congruenti) se possono essere allineati in modo che i lati e i vertici corrispondenti coincidano. Da qualsiasi raggio su un piano, in una data direzione da esso, è possibile tracciare un singolo asse uguale all'asse dato. Il confronto dell'asse viene effettuato in due modi. Se la trave è considerata come una coppia di raggi con un'origine comune, quindi per chiarire la questione di quale delle due travi è più grande, è necessario combinare i vertici della trave e una coppia dei loro lati su un piano (vedi Fig. 1). Se il secondo lato di una U. risulta essere all'interno di un'altra U., allora si dice che la prima U. è più piccola della seconda. Il secondo metodo di confronto delle U. si basa sul confronto di ciascuna U. con un certo numero. Uguale U. corrisponderà agli stessi gradi oppure (vedi sotto), una U. maggiore corrisponderà a un numero maggiore, e una U. minore corrisponderà a un numero minore.

Hanno chiamato due Stati Uniti. adiacenti se hanno un vertice e un lato in comune, e gli altri due lati formano una linea retta (vedi Fig. 2). In generale si chiamano U. che hanno un vertice comune e un lato comune. adiacente. U. ha chiamato verticale se i lati dell'uno sono prolungamenti oltre la sommità dei lati dell'altro U verticali sono uguali tra loro. U., i cui lati formano una linea retta, chiamata. allargato. La metà degli Stati Uniti espansi ha chiamato. U. retta. U. diretta può essere equivalentemente definita diversamente: U. uguale alla sua adiacente, detta. diretto. L'interno di un piano piatto, non eccedente quello spiegato, è una regione convessa del piano. L'unità di misura di U. è considerata la 90a frazione di U. diretta, detta. grado.

Viene utilizzata anche la misura U. Valore numerico La misura in radianti dell'unità è uguale alla lunghezza dell'arco tagliato dai lati dell'unità dalla circonferenza unitaria. Alla U corrispondente ad un arco il cui taglio è uguale al suo raggio è assegnato un radiante. L'U. espanso è pari ai radianti.
Quando due linee rette che giacciono sullo stesso piano si intersecano con una terza linea retta, si formano Us (vedi Fig. 3): 1 e 5, 2 e 6, 4 e 8, 3 e 7 - i cosiddetti. adeguata; 2 e 5, 3 e 8 - unilaterale interno; 1 e 6, 4 e 7 - unilaterale esterno; 3 e 5, 2 e 8 - internamente disteso trasversalmente; 1 e 7, 4 e 6 - distesi trasversalmente all'esterno.

In pratica Nei problemi, è consigliabile considerare la rotazione come una misura della rotazione di una trave fissa attorno alla sua origine in una determinata posizione. A seconda della direzione di rotazione dei segnali in questo caso, si possono considerare sia quelli positivi che quelli negativi. Quindi U. in questo senso può avere qualsiasi valore. La rotazione di un raggio è considerata nella teoria trigonometrica. funzioni: per qualsiasi valore dell'argomento (U.), è possibile determinare i valori trigonometrici. funzioni. Il concetto di geometria in geometria. Il sistema, che si basa sull'assiomatica del punto vettoriale, è fondamentalmente diverso dalle definizioni di U. come figura - in questa assiomatica U. è intesa come una certa metrica. una quantità relativa a due vettori utilizzando l'operazione di moltiplicazione di vettori scalari. Vale a dire, ciascuna coppia di vettori aeb definisce un certo angolo, un numero associato ai vettori dalla formula

Dove ( un, b) - prodotto scalare di vettori.
Il concetto di U. come figura piatta e come un certo valore numerico è utilizzato in varie geometrie. problemi in cui U. è determinato in modo speciale. Pertanto, per la forma tra curve che si intersecano che hanno determinate tangenti nel punto di intersezione, intendiamo la forma formata da queste tangenti.
Per angolo tra una retta e un piano si intende l'angolo formato dalla retta e dalla sua proiezione rettangolare sul piano; viene misurato nell'intervallo da 0

Enciclopedia matematica. - M.: Enciclopedia sovietica. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Scopri cos'è "ANGOLO" in altri dizionari:

brace- angolo / yok / ... Dizionario dell'ortografia morfemica

Marito. frattura, piega, ginocchio, gomito, sporgenza o piega (depressione) su un lato. Angolo lineare, due linee opposte qualsiasi e loro intervallo; piano angolare o nei piani, incontro di due piani o pareti; l'angolo è spesso, il corpo, si incontra in uno... Dizionario esplicativo di Dahl

Angolo, intorno ad un angolo, su (in) un angolo e (mat.) in un angolo, m 1. Parte di un piano compresa tra due rette che partono da un punto (mat.). In cima all'angolo. Lati dell'angolo. Misurare un angolo in gradi. Angolo retto. (90°). Angolo acuto. (meno di 90°). Angolo ottuso.… … Dizionario esplicativo di Ushakov

ANGOLO- (1) angolo di attacco tra la direzione del flusso d'aria che fluisce sull'ala dell'aeromobile e la corda della sezione alare. Il valore della forza di sollevamento dipende da questo angolo. L'angolo al quale la forza di portanza è massima è chiamato angolo critico di attacco. Tu... ... Grande Enciclopedia del Politecnico

- (Piatto) figura geometrica, formato da due raggi (lati di un angolo) che emergono da un punto (vertice di un angolo). Qualsiasi angolo con un vertice al centro di una circonferenza ( angolo centrale) definisce un arco AB su un cerchio, delimitato da punti... ... Grande dizionario enciclopedico

La testa dell'angolo, da dietro l'angolo, l'angolo ribassista, l'angolo incompiuto, in tutti gli angoli... Dizionario dei sinonimi russi ed espressioni simili nel significato. Sotto. ed. N. Abramova, M.: Russian Dictionaries, 1999. apice dell'angolo, punto d'angolo; portamento, riparo, deviatina, direzione,... ... Dizionario dei sinonimi

angolo- angolo, asta. angolo; frase sul carbone, in (su) l'angolo e nel discorso dei matematici sul carbone; per favore angoli, asta. angoli Nelle combinazioni preposizionali e stabili: dietro l'angolo ed è consentito girare l'angolo (entrare, girare, ecc.), da un angolo all'altro (muovere, posizionare, ecc.), angolo... ... Dizionario delle difficoltà di pronuncia e di accento nella lingua russa moderna

ANGOLO, angolo, dietro l'angolo, su (dentro) l'angolo, marito. 1. (nell'angolo.). In geometria: figura piatta formata da due raggi (in 3 cifre) che partono da un punto. In cima all'angolo. Diretto sì. (90°). Acuto u. (meno di 90°). Stupido tu. (più di 90°). Esterno ed interno... ... Dizionario esplicativo di Ozhegov

angolo- ANGOLO, angolo, m. Un quarto della scommessa, quando viene annunciato, il bordo della carta viene piegato. ◘ Asso e regina di picche con angolo // Uccisi. A.I. Un giorno a Mosca, 1832. ◘ Dopo cena, sparge i cervonet sul tavolo, mescola le carte; gli scommettitori rompono i loro mazzi... ... Terminologia e gergo delle carte del XIX secolo

In questa lezione daremo la definizione di raggi codirezionali e dimostreremo il teorema sull'uguaglianza degli angoli con lati codirezionali. Successivamente, daremo la definizione dell'angolo tra le linee intersecanti e le linee oblique. Consideriamo quale può essere l'angolo tra due rette. Alla fine della lezione risolveremo diversi problemi sulla ricerca degli angoli tra le linee che si intersecano.

Argomento: Parallelismo di rette e piani

Lezione: Angoli con lati allineati. Angolo tra due rette

Qualsiasi linea retta, per esempio OO1(Fig. 1.), taglia il piano in due semipiani. Se i raggi OA E O1A1 sono paralleli e giacciono sullo stesso semipiano, si chiamano così co-diretto.

Raggi O2A2 E OA non sono co-direzionali (Fig. 1.). Sono paralleli, ma non giacciono sullo stesso semipiano.

Se i lati di due angoli sono allineati allora gli angoli sono uguali.

Prova

Diamo i raggi paralleli OA E O1A1 e raggi paralleli OB E Circa 1 su 1(Fig. 2.). Cioè, abbiamo due angoli AOB E A1O1B1, i cui lati giacciono su raggi codirezionali. Dimostriamo che questi angoli sono uguali.

Dal lato della trave OA E O1A1 selezionare i punti UN E UN 1 in modo che i segmenti OA E O1A1 erano uguali. Allo stesso modo, punti IN E IN 1 scegliere in modo che i segmenti OB E Circa 1 su 1 erano uguali.

Consideriamo un quadrilatero A1O1OA(Fig. 3.) OA E O1A1 A1O1OA A1O1OA OO1 E AA1 paralleli e uguali.

Consideriamo un quadrilatero B1O1OV. Questo lato del quadrilatero OB E Circa 1 su 1 paralleli e uguali. Basato su parallelogramma, quadrilatero B1O1OVè un parallelogramma. Perché B1O1OV- parallelogramma, poi i lati OO1 E BB1 paralleli e uguali.

E dritto AA1 parallelo alla linea OO1 e dritto BB1 parallelo alla linea OO1, significa dritto AA1 E BB1 parallelo.

Consideriamo un quadrilatero B1A1AB. Questo lato del quadrilatero AA1 E BB1 paralleli e uguali. Basato su parallelogramma, quadrilatero B1A1ABè un parallelogramma. Perché B1A1AB- parallelogramma, poi i lati AB E A1B1 paralleli e uguali.

Considera i triangoli AOB E A1O1B1. Parti OA E O1A1 uguali nella costruzione. Parti OB E Circa 1 su 1 sono uguali anche nella costruzione. E come abbiamo dimostrato, entrambe le parti AB E A1B1 sono anche uguali. Quindi triangoli AOB E A1O1B1 uguali su tre lati. In triangoli uguali contro lati uguali gli angoli sono uguali. Quindi gli angoli AOB E A1O1B1 sono uguali, come richiesto per dimostrare.

1) Linee che si intersecano.

Se le linee si intersecano, abbiamo quattro angoli diversi. Angolo tra due rette, si chiama l'angolo più piccolo tra due rette. Angolo tra le linee che si intersecano UN E B indichiamo α (Fig. 4.). L'angolo α è tale che .

Riso. 4. Angolo tra due linee che si intersecano

2) Linee incrociate

Lasciamo stare UN E B incrocio. Scegliamo un punto arbitrario DI. Attraverso il punto DI facciamo una diretta un 1, parallelo alla linea UN e dritto b1, parallelo alla linea B(Fig. 5.). Diretto un 1 E b1 si intersecano in un punto DI. Angolo tra due linee che si intersecano un 1 E b1, angolo φ, ed è chiamato angolo tra le linee che si intersecano.

Riso. 5. Angolo tra due linee che si intersecano

La dimensione dell'angolo dipende dal punto selezionato O? Scegliamo un punto O1. Attraverso il punto O1 facciamo una diretta un 2, parallelo alla linea UN e dritto b2, parallelo alla linea B(Fig. 6.). Angolo tra le linee che si intersecano un 2 E b2 indichiamo φ1. Poi gli angoli φ E φ1 - angoli con i lati allineati. Come abbiamo dimostrato, tali angoli sono uguali tra loro. Ciò significa che l'ampiezza dell'angolo tra le linee che si intersecano non dipende dalla scelta del punto DI.

Diretto OB E CD parallelo, OA E CD incrociarsi. Trova l'angolo tra le linee OA E CD, Se:

1) ∠AOB= 40°.

Scegliamo un punto CON. Passa una linea retta attraverso di esso CD. Eseguiamo CA1 parallelo OA(Fig. 7.). Poi l'angolo Un CD da 1- angolo tra le linee che si intersecano OA E CD. Secondo il teorema degli angoli a lati concorrenti, l'angolo Un CD da 1 uguale all'angolo AOB, cioè 40°.

Riso. 7. Trova l'angolo tra due linee rette

2) ∠AOB= 135°.

Facciamo la stessa costruzione (Fig. 8.). Quindi l'angolo tra le linee che si incrociano OA E CDè pari a 45°, poiché è il più piccolo degli angoli che si ottengono intersecandosi CD E CA1.

3) ∠AOB= 90°.

Facciamo la stessa costruzione (Fig. 9.). Quindi tutti gli angoli che si ottengono quando le linee si intersecano CD E CA1 pari a 90°. L'angolo richiesto è di 90°.

1) Dimostrare che i punti medi dei lati di un quadrilatero spaziale sono i vertici di un parallelogramma.

Prova

Diamo un quadrilatero spaziale ABCD. M,N,K,l- metà delle costole B.D.ANNO DOMINI.AC,AVANTI CRISTO. di conseguenza (Fig. 10.). È necessario dimostrarlo MNKL- parallelogramma.

Considera un triangolo ABD. MN MN parallelo AB e ne equivale la metà.

Considera un triangolo ABC. LK- linea mediana. Secondo la proprietà della linea mediana, LK parallelo AB e ne equivale la metà.

E MN, E LK parallelo AB. Significa, MN parallelo LK dal teorema delle tre rette parallele.

Lo troviamo in un quadrilatero MNKL- lati MN E LK parallelo e uguale, poiché MN E LK pari alla metà AB. Quindi, secondo il criterio del parallelogramma, un quadrilatero MNKL- un parallelogramma, che era ciò che doveva essere dimostrato.

2) Trova l'angolo tra le linee AB E CD, se l'angolo MNK= 135°.

Come abbiamo già dimostrato, MN parallelo alla linea AB. NK- linea mediana del triangolo ACD, per proprietà, NK parallelo DC. Quindi, attraverso il punto N ci sono due linee rette MN E NK, che sono parallele alle linee oblique AB E DC rispettivamente. Quindi, l'angolo tra le linee MN E NKè l'angolo tra le linee che si intersecano AB E DC. Ci viene dato un angolo ottuso MNK= 135°. Angolo tra rette MN E NK- il più piccolo degli angoli ottenuti intersecando queste rette, cioè 45°.

Quindi, abbiamo esaminato gli angoli con lati codirezionali e abbiamo dimostrato la loro uguaglianza. Abbiamo esaminato gli angoli tra le linee che si intersecano e quelle inclinate e abbiamo risolto diversi problemi nel trovare l'angolo tra due linee. Nella prossima lezione continueremo a risolvere problemi e a rivedere la teoria.

1. Geometria. Classi 10-11: libro di testo per studenti di istituti di istruzione generale (livelli base e specialistici) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5a edizione corretta e ampliata - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : malato.

2. Geometria. Grado 10-11: libro di testo per l'istruzione generale istituzioni educative/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.

3. Geometria. Grado 10: Libro di testo per istituti di istruzione generale con studio approfondito e specializzato della matematica /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6a edizione, stereotipo. - M.: Otarda, 008. - 233 p. :I l.

IN) AVANTI CRISTO. E D 1 IN 1.

Riso. 11. Trova l'angolo tra le linee

4. Geometria. Classi 10-11: libro di testo per studenti di istituti di istruzione generale (livelli base e specialistici) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5a edizione corretta e ampliata - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 pp.: ill.

Compiti 13, 14, 15 pag