Momento d'inerzia assiale del corpo. Momento d'inerzia: formula

Nella dinamica del moto traslatorio di un punto materiale, oltre alle caratteristiche cinematiche, sono stati introdotti i concetti di forza e massa. Quando si studia la dinamica del movimento rotatorio, vengono introdotte quantità fisiche - momento delle forze e momento d'inerzia, il cui significato fisico verrà svelato di seguito.

Lascia che un corpo sotto l'azione di una forza applicata in un punto UN, entra in rotazione attorno all'asse dell'OO” (Figura 5.1).

Figura 5.1 - Alla conclusione del concetto di momento di forza

La forza agisce in un piano perpendicolare all'asse. Perpendicolare R caduto dal punto oh(disteso sull'asse) sulla direzione della forza si chiama spalla di forza... Il prodotto della forza sulla spalla determina il modulo momento di forza rispetto al punto oh:

(5.1)

Momento di potere è un vettore definito da prodotto vettoriale il raggio vettore del punto di applicazione della forza e il vettore della forza:

(5.2)

L'unità del momento della forza è newtonmetro(H . m). La direzione del vettore del momento della forza si trova usando regole per le viti giuste.

La massa è una misura dell'inerzia dei corpi durante il movimento traslatorio. Inerzia dei corpi a movimento rotatorio dipende non solo dalla massa, ma anche dalla sua distribuzione nello spazio rispetto all'asse di rotazione. La misura dell'inerzia durante il moto rotatorio è una grandezza chiamata momento d'inerzia del corpo intorno all'asse di rotazione.

Momento d'inerzia di un punto materiale relativo all'asse di rotazione - il prodotto della massa di questo punto per il quadrato della distanza dall'asse:

Momento d'inerzia del corpo intorno all'asse di rotazione - somma dei momenti di inerzia punti materiali che compongono questo corpo:

(5.4)

Nel caso generale, se il corpo è solido ed è un insieme di punti con masse basse dm, il momento d'inerzia è determinato dall'integrazione:

, (5.5)

dove R- distanza dall'asse di rotazione ad un elemento di massa d m.

Se il corpo è omogeneo e la sua densità ρ = m/V, quindi il momento d'inerzia del corpo

(5.6)

Il momento d'inerzia di un corpo dipende da quale asse ruota e da come la massa del corpo è distribuita sul suo volume.

Il momento d'inerzia dei corpi con la forma geometrica corretta e la distribuzione uniforme della massa sul volume è determinato in modo più semplice.

Momento d'inerzia di una barra omogenea rispetto all'asse passante per il centro di inerzia e perpendicolare alla barra,

Momento d'inerzia di un cilindro omogeneo rispetto all'asse perpendicolare alla sua base e passante per il centro di inerzia,

(5.8)

Momento d'inerzia di un cilindro o telaio a parete sottile rispetto all'asse perpendicolare al piano della sua base e passante per il suo centro,

Momento d'inerzia della palla rispetto al diametro

(5.10)

Determiniamo il momento d'inerzia del disco rispetto all'asse passante per il centro d'inerzia e perpendicolare al piano di rotazione. Sia la massa del disco m, e il suo raggio è R.

L'area dell'anello (Figura 5.2), racchiusa tra R e, è uguale a.

Figura 5.2 - Alla conclusione del momento d'inerzia del disco

Zona del disco. Con uno spessore dell'anello costante,

da dove o .

Quindi il momento d'inerzia del disco,

Per chiarezza, la Figura 5.3 mostra solidi omogenei di varie forme e indica i momenti di inerzia di questi corpi rispetto all'asse passante per il centro di massa.

Figura 5.3 - Momenti di inerzia io C alcuni solidi omogenei.

Il teorema di Steiner

Le formule di cui sopra per i momenti di inerzia dei corpi sono date a condizione che l'asse di rotazione passi per il centro di inerzia. Per determinare i momenti di inerzia di un corpo attorno a un asse arbitrario, dovresti usare Teorema di Steiner : il momento d'inerzia del corpo rispetto ad un asse di rotazione arbitrario è uguale alla somma del momento d'inerzia J 0 attorno all'asse parallelo a quello dato e passante per il centro d'inerzia del corpo e il valore md 2:

(5.12)

dove m- massa corporea, Dè la distanza dal centro di massa all'asse di rotazione selezionato. L'unità del momento d'inerzia è chilogrammo-metro quadrato (kg . m2).

Quindi, il momento d'inerzia di un'asta omogenea di lunghezza io rispetto all'asse passante per il suo estremo, per il teorema di Steiner è uguale a

DEFINIZIONE

La misura dell'inerzia di un corpo rotante è momento d'inerzia(J) rispetto all'asse attorno al quale avviene la rotazione.

Questa è una grandezza fisica scalare (nel caso generale, tensore), che è uguale al prodotto delle masse dei punti materiali () per cui il corpo in esame dovrebbe essere partizionato, nei quadrati delle distanze () da essi a l'asse di rotazione:

dove r è una funzione della posizione di un punto materiale nello spazio; - densità corporea; è il volume dell'elemento body.

Per un corpo omogeneo, l'espressione (2) può essere rappresentata come:

Il momento d'inerzia nel sistema internazionale di unità si misura in:

La quantità J rientra nelle leggi fondamentali con cui si descrive la rotazione di un corpo rigido.

Nel caso generale, l'entità del momento d'inerzia dipende dalla direzione dell'asse di rotazione, e poiché nel processo di movimento il vettore cambia di solito la sua direzione rispetto al corpo, il momento d'inerzia dovrebbe essere considerato come una funzione di tempo. Un'eccezione è il momento d'inerzia di un corpo rotante attorno ad un asse fisso. In questo caso il momento d'inerzia rimane costante.

Teorema di Steiner

Il teorema di Steiner permette di calcolare il momento d'inerzia di un corpo attorno ad un asse di rotazione arbitrario quando il momento d'inerzia del corpo in esame è noto rispetto all'asse passante per il baricentro di questo corpo e questi assi sono parallelo. In forma matematica, il teorema di Steiner è rappresentato come:

dove è il momento d'inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione passante per il baricentro del corpo; m è la massa del corpo in esame; a è la distanza tra gli assi. Assicurati di ricordare che gli assi devono essere paralleli. Dall'espressione (4) segue che:

Alcune espressioni per calcolare i momenti di inerzia di un corpo

Quando ruota attorno all'asse, il punto materiale ha un momento d'inerzia pari a:

dove m è la massa del punto; r è la distanza da un punto all'asse di rotazione.

Per un'asta sottile omogenea con massa m e lunghezza l J rispetto all'asse passante per il suo centro di massa (l'asse è perpendicolare all'asta) è uguale a:

Un anello sottile con massa rotante attorno ad un asse passante per il suo centro, perpendicolare al piano dell'anello, allora il momento d'inerzia si calcola come:

dove R è il raggio dell'anello.

Un disco omogeneo rotondo di raggio R e massa m ha J relativo all'asse passante per il suo centro e perpendicolare al piano del disco, pari a:

Per una palla omogenea

dove m è la massa della palla; R è il raggio della palla. La palla ruota attorno a un asse che passa per il suo centro.

Se gli assi di rotazione sono gli assi di un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, allora per un corpo continuo i momenti di inerzia possono essere calcolati come:

dove sono le coordinate di un elemento infinitesimale del corpo.

Esempi di problem solving

ESEMPIO 1

ESEMPIO 2

PENDOLO FISICO

scopo del lavoro: determinare il momento d'inerzia di un pendolo fisico a forma di asta con pesi per il periodo delle oscillazioni naturali.

Attrezzatura: pendolo, cronometro.

INTRODUZIONE TEORICA

Momento d'inerzia un corpo rigido è una misura dell'inerzia di un corpo durante il suo moto rotatorio. In questo senso, è un analogo della massa corporea, che è una misura dell'inerzia del corpo durante il movimento in avanti. Per definizione, momento d'inerzia corpo è uguale alla somma dei prodotti della massa delle particelle corporee io sono nei quadrati delle loro distanze dall'asse di rotazione io sono 2:

, o. (1)

Il momento d'inerzia dipende non solo dalla massa, ma anche dalla sua distribuzione rispetto all'asse di rotazione. Come puoi vedere, l'inerzia durante la rotazione del corpo è tanto maggiore quanto più lontano dall'asse si trovano le particelle del corpo.

Esistono vari metodi sperimentali per determinare il momento d'inerzia dei corpi. Il lavoro propone un metodo per determinare il momento d'inerzia dal periodo delle oscillazioni naturali del corpo indagato come pendolo fisico. Pendolo fisicoÈ un corpo di forma arbitraria, il cui punto di sospensione si trova sopra il centro di gravità. Se nel campo gravitazionale il pendolo viene deviato dalla posizione di equilibrio e rilasciato, allora sotto l'azione della gravità il pendolo tende alla posizione di equilibrio, ma dopo averla raggiunta, per inerzia continua a muoversi e devia nella direzione opposta. Quindi il processo di movimento viene ripetuto nella direzione opposta. Di conseguenza, il pendolo eseguirà oscillazioni naturali di rotazione.

Per ricavare la formula del momento d'inerzia del pendolo attraverso il periodo delle oscillazioni naturali, applichiamo la legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio: l'accelerazione angolare del corpo è direttamente proporzionale al momento della forza e inversamente proporzionale al momento d'inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione:

Poiché l'accelerazione angolare è la derivata seconda dell'angolo di rotazione rispetto al tempo, la legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio (1) assume la forma

. (3)

Questa è un'equazione differenziale del secondo ordine. La sua soluzione deve essere una funzione che trasforma un'equazione in un'identità al momento della sostituzione. Come si può vedere dall'equazione (3), per questo, la funzione di soluzione e la sua seconda derivata devono avere la stessa forma. In matematica, tale funzione può essere la funzione del coseno, seno

a = a 0 peccato ( w t + j), (4)

a condizione che la frequenza ciclica sia ... La frequenza ciclica è correlata a periodo di fluttuazioni, cioè il tempo di un'oscillazione, il rapporto T = 2p / w. Da qui

Periodo di oscillazione T e la distanza dall'asse di rotazione al baricentro un puoi misurare. Quindi da (5) il momento d'inerzia del pendolo rispetto all'asse di rotazione INSIEME A può essere determinato sperimentalmente dalla formula

. (6)

Il pendolo, il cui momento d'inerzia è determinato in funzione, è un'asta su cui sono posti due dischi. Teoricamente, il momento d'inerzia di un pendolo può essere definito come la somma dei momenti d'inerzia delle singole parti. Il momento d'inerzia dei dischi può essere calcolato utilizzando la formula per il momento d'inerzia di un punto materiale, poiché sono piccoli rispetto alla distanza dall'asse di rotazione: , . Momento d'inerzia di una barra attorno ad un asse posto a distanza B dal centro dell'asta, può essere determinato dal teorema di Steiner ... Di conseguenza, il momento d'inerzia totale del pendolo può essere calcolato teoricamente con la formula

. (7)

Qui m 1 , m 2 e m 0 - masse del primo, secondo disco e asta, io 1 , io 2 - distanze dal centro dei dischi all'asse di rotazione, io 0 è la lunghezza dell'asta.

Distanza dal punto di sospensione al baricentro del pendolo un richiesto per la determinazione sperimentale del momento d'inerzia nella formula (6) può essere determinato utilizzando il concetto di baricentro. Il baricentro il corpo è il punto a cui viene applicata la gravità risultante. Pertanto, se il pendolo è posto orizzontalmente su un supporto posto sotto il baricentro, allora il pendolo sarà in equilibrio. Quindi è sufficiente misurare la distanza dall'asse INSIEME A al supporto.

Ma puoi determinare la distanza un per calcolo. Dalla condizione di equilibrio del pendolo sul supporto (Fig.1b) segue che il momento della gravità risultante attorno all'asse INSIEME A (m 1 + m 2 + m 0)gasè uguale alla somma dei momenti delle forze di gravità dei carichi e dell'asta m 1 bello 1 + m 2 bello 2 + m 0 gb... Dove arriviamo?

. (8)

COMPLETAMENTO DEI LAVORI

1. Pesando su una bilancia, determinare le masse dei dischi e dell'asta. Posizionare sull'asta e fissare i dischi. Misurare la distanza dall'asse di rotazione al centro dei dischi io 1 , io 2 e fino al centro dell'asta B, lunghezza asta io 0 in divisioni centimetriche sull'asta. Registrare i risultati della misurazione nella tabella. 1.

Tabella 1

2. Collegare l'unità elettronica alla rete 220 V.

Misurare il periodo di oscillazione. Per fare ciò, allontanare il pendolo dalla posizione di equilibrio di un piccolo angolo e rilasciarlo. premi il bottone Cominciare cronometro. Per misurare il tempo T, ad esempio, dieci oscillazioni, dopo la nona oscillazione, premere il pulsante Fermare. Il periodo è
T = t / 10. Registra il risultato in tabella. 2, premere il pulsante Ripristina... Ripetere l'esperimento almeno tre volte con altri angoli di deflessione del pendolo.

Disattiva l'installazione.

4. Eseguire calcoli nel sistema SI. Determina la media<T> periodo di oscillazione. Determina la distanza un dall'asse al baricentro del pendolo secondo la formula (8), oppure appoggiare il pendolo su un supporto in modo che sia in equilibrio, e misurare la distanza un.

Tavolo 2

5. Determinare il valore medio sperimentale del momento d'inerzia del pendolo<J ex> secondo la formula (6) secondo il valore medio del periodo di oscillazione<T>.

6. Determinare il valore teorico del momento d'inerzia del pendolo J teorico dalla formula (7).

7. Trarre una conclusione confrontando i valori teorici e sperimentali del momento d'inerzia del pendolo. Stimare l'errore di misura D J = - J teorico.

8. Annota il risultato come J esp =< J > ± D J.

DOMANDE DI CONTROLLO

1. Dare una definizione di pendolo fisico, spiegare perché sono possibili oscillazioni naturali di un pendolo.

2. Scrivi la legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio per un pendolo fisico.

Il momento d'inerzia di un corpo (sistema) rispetto ad un dato asse Oz (o momento d'inerzia assiale) è una grandezza scalare che è diversa nella somma dei prodotti delle masse di tutti i punti del corpo (sistema) per la quadrati delle loro distanze da questo asse:

Dalla definizione segue che il momento d'inerzia di un corpo (o sistema) rispetto a un qualsiasi asse è un valore positivo e non uguale a zero.

In quanto segue, si dimostrerà che il momento d'inerzia assiale svolge nel moto rotatorio del corpo lo stesso ruolo della massa nella traslazione, cioè che il momento d'inerzia assiale è una misura dell'inerzia del corpo in moto rotatorio.

Secondo la formula (2), il momento d'inerzia di un corpo è uguale alla somma dei momenti d'inerzia di tutte le sue parti attorno allo stesso asse. Per un punto materiale situato ad una distanza h dall'asse,. L'unità di misura del momento d'inerzia in SI sarà 1 kg (nel sistema MKGSS -).

Per calcolare i momenti di inerzia assiale, le distanze dei punti dagli assi possono essere espresse in termini di coordinate di questi punti (ad esempio, sarà il quadrato della distanza dall'asse di bue, ecc.).

Quindi i momenti di inerzia attorno agli assi saranno determinati dalle formule:

Spesso, nel corso dei calcoli, viene utilizzato il concetto di raggio di rotazione. Il raggio di rotazione di un corpo attorno a un asse è una quantità lineare determinata dall'uguaglianza

dove M è il peso corporeo. Dalla definizione segue che il raggio d'inerzia è geometricamente uguale alla distanza dall'asse del punto in cui deve essere concentrata la massa dell'intero corpo in modo che il momento d'inerzia di questo punto è uguale al momento d'inerzia di tutto il corpo.

Conoscendo il raggio di rotazione, possiamo usare la formula (4) per trovare il momento d'inerzia del corpo e viceversa.

Le formule (2) e (3) sono valide sia per un corpo rigido che per qualsiasi sistema di punti materiali. Nel caso di un corpo solido, dividendolo in parti elementari, troviamo che al limite la somma nell'uguaglianza (2) si trasforma in integrale. Di conseguenza, tenendo conto che dove è la densità e V è il volume, otteniamo

L'integrale qui si estende all'intero volume V del corpo e la densità e la distanza h dipendono dalle coordinate dei punti del corpo. Allo stesso modo, le formule (3) per i corpi solidi assumono la forma

È conveniente usare le formule (5) e (5) quando si calcolano i momenti di inerzia di corpi uniformi di forma regolare. In questo caso, la densità sarà costante e andrà oltre il segno di integrale.

Troviamo i momenti di inerzia di alcuni corpi omogenei.

1. Asta sottile omogenea di lunghezza l e massa M. Calcoliamo il suo momento d'inerzia rispetto all'asse perpendicolare all'asta e passante per la sua estremità A (Fig. 275). Dirigiamo l'asse delle coordinate lungo A. Quindi, per ogni segmento elementare di lunghezza d, il valore e la massa, dove è la massa dell'unità di lunghezza dell'asta. Di conseguenza, la formula (5) dà

Sostituendo qui con il suo valore, finalmente troviamo

2. Anello sottile e rotondo omogeneo di raggio R e massa M. Troviamo il suo momento d'inerzia relativo all'asse perpendicolare al piano dell'anello e passante per il suo centro C (Fig. 276).

Poiché tutti i punti dell'anello sono distanti dall'asse, la formula (2) dà

Pertanto, per l'anello

Ovviamente lo stesso risultato si otterrà per il momento d'inerzia di un sottile guscio cilindrico di massa M e raggio R rispetto al proprio asse.

3. Un piatto o cilindro rotondo omogeneo di raggio R e massa M. Calcoliamo il momento d'inerzia del piatto rotondo rispetto all'asse perpendicolare al piatto e passante per il suo centro (vedi Fig. 276). Per fare ciò, selezionare un anello elementare con un raggio e una larghezza (Fig. 277, a). L'area di questo anello e la massa dove è la massa di un'area unitaria della piastra. Quindi, secondo la formula (7), per l'anello elementare selezionato e per l'intera piastra