Come si chiama l'angolo formato da due rette; Trovare l'angolo tra vettori, esempi e soluzioni

Ορισμός

Viene chiamata una figura geometrica costituita da tutti i punti del piano racchiusi tra due raggi provenienti da un punto Angolo Piatto.

Ορισμός

L'angolo tra due intersecanti Drittoè il valore dell'angolo piano più piccolo all'intersezione di queste linee. Se due rette sono parallele, l'angolo tra loro è considerato pari a zero.

L'angolo tra due linee che si intersecano (se gli angoli piani sono misurati in radianti) può assumere valori da zero a $\dfrac(\pi)(2)$.

Ορισμός

L'angolo tra due linee che si intersecanoè una quantità pari all'angolo tra due rette intersecanti parallele a quelle che si intersecano. L'angolo tra le linee $a$ e $b$ è indicato con $\angolo (a, b)$.

La correttezza della definitione introdotta segue dal seguente teorema.

Teorema sugli angoli piani con lati paralleli

Le grandezze di due angoli piani convessi con i lati rispettivamente paralleli e identicamente diretti sono uguali.

Prova

Se gli angoli sono retti allora sono entrambi uguali a $\pi$. Se non sono spiegati, tracciamo segmenti uguali $ON=O_1ON_1$ και $OM=O_1M_1$ sui lati corrispondenti degli angoli $\angle AOB$ και $\angle A_1O_1B_1$.

Il quadrilatero $O_1N_1NO$ è un parallelogramma perché i suoi lati opposti $ON$ e $O_1N_1$ sono uguali e paralleli. Allo stesso modo, il quadrilatero $O_1M_1MO$​​​​​​è un παραλληλόγραμμα. Quindi $NN_1 = OO_1 = MM_1$ e $NN_1 \parallelo OO_1 \parallelo MM_1$, quindi $NN_1=MM_1$ και $NN_1 \parallelo MM_1$ ανά transitività. Il quadrilatero $N_1M_1MN$ è un parallelogramma, poiché i suoi lati opposti sono uguali e paralleli. Αυτό σημαίνει ότι το τμήμα $NM$ και $N_1M_1$ sono uguali. I triangoli $ONM$ e $O_1N_1M_1$ sono uguali secondo il terzo criterio di uguaglianza dei triangoli, ciò significa che i corrispondenti angoli $\angle NOM$ e $\angle N_1O_1M_1$ sono uguali.

Composto da due raggi diversi che emanano da un punto. I raggi sono chiamati lati della U., e il loro inizio comune è la parte superiore della U. Sia [ V.A.),[Αποκλειστική) - lati dell'angolo, ΣΕ - il suo vertice è un piano definito dai lati U. La figura divide il piano in due figure La figura i==l, 2, detto anche U. o angolo piatto, chiamato. la regione interna della u piatta.
Si chiamano i due angoli uguali (o congruenti) se possono essere allineati in modo che i lati e i vertici corrispondenti coincidano. Da qualsiasi raggio su un piano, in una data direzione da esso, è possibile tracciare un singolo asse uguale all'asse dato. Il confronto dell'asse viene effettuato in due modi. Se la trave è considerata come una coppia di raggi con un'origine comune, quindi per chiarire la questione di quale delle due travi è più grande, è necessario combinare i vertici della trave e una coppia dei loro lati su un piano (vedi Εικ. 1). Se il secondo lato di una U. risulta essere all'interno di un'altra U., allora si dice che la prima U. è più piccola della seconda. Il secondo metodo di confronto delle U. si basa sul confronto di ciascuna U. con un certo numero. Uguale U. corrisponderà agli stessi gradi oppure (vedi sotto), una U. maggiore corrisponderà a un numero maggiore, e una U. minore corrisponderà a un numero minore.

Hanno chiamato due Stati Uniti. adiacenti se hanno un vertice e un lato in comune, e gli altri due lati formano una linea retta (vedi Εικ. 2). In generale si chiamano U. che hanno un vertice comune e un lato comune. adiacente. U. ha chiamato verticale se i lati dell'uno sono prolungamenti oltre la sommità dei lati dell'altro U verticali sono uguali tra loro. U., i cui lati formano una linea retta, chiamata. αλλαργάτο. La metà degli Stati Uniti Espansi ha chiamato. U. retta. U. diretta può essere equivalentemente definita diversamente: U. uguale alla sua adiacente, detta. diretto. L'interno di un piano piatto, non eccedente quello spiegato, è una regione convessa del piano. L'unità di misura di U. è considerata la 90a frazione di U. diretta, detta. grado.

Viene utilizata anche la misura U. Valore numerico La misura in radianti dell'unità è uguale alla lunghezza dell'arco tagliato dai lati dell'unità dalla circonferenza unitaria. Alla U corrispondente ad un arco il cui taglio è uguale al suo raggio è assegnato un radiante. L'U. Espanso è pari ai radianti.
Quando due linee rette che giacciono sullo stesso piano si intersecano con una terza linea retta, si formano Us (vedi Εικ. 3): 1 e 5, 2 e 6, 4 e 8, 3 e 7 - i cosiddetti. adeguata; 2 e 5, 3 e 8 - unilaterale interno; 1 e 6, 4 e 7 - unilaterale esterno; 3 e 5, 2 e 8 - internamente disteso trasversalmente; 1 e 7, 4 e 6 - distesi trasversalmente all'esterno.

In pratica Nei problemi, è consigliabile considerare la rotazione come una misura della rotazione di una trave fissa attorno alla sua origine in una determinata posizione. A seconda della direzione di rotazione dei segnali in questo caso, si possono considerare sia quelli positivi che quelli negative. Quindi U. in questo senso può avere qualsiasi valore. La rotazione di un raggio è considerata nella teoria trigonometrica. funzioni: per qualsiasi valore dell'argomento (U.), è possibile determinare i valori trigonometrici. funzioni. Il concetto di geometria in geometria. Il sistema, che si basa sull'assiomatica del punto vettoriale, è fondamentalmente diverso dalle definizioni di U. come figura - in questa assiomatica U. è intesa come una certa metrica. una quantità relativa a due vettori utilizzando l'operazione di moltiplicazione di vettori scalari. Vale a dire, ciascuna coppia di vettori aeb definisce un certo angolo, un numero associato ai vettori dalla formula

Περιστέρι ( un, β) - prodotto scalare di vettori.
Il concetto di U. come figura piatta e come un certo valore numerico è utilizzato in varie geometrie. problemi in cui U. è determinato in modo speciale. Pertanto, per la forma tra curve che si intersecano che hanno determinate tangenti nel punto di intersezione, intendiamo la forma formata da queste tangenti.
Per angolo tra una retta e un piano si intende l'angolo formato dalla retta e dalla sua proiezione rettangolare sul piano; viene misurato nell'intervallo da 0

Encyclopedia matematica. - Μ.: Encyclopedia sovietica. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Scopri cos'è "ANGOLO" στο altri dizionari:

στήριγμα- angolo / γιοκ / ... Dizionario dell'ortografia morfemica

Μαρίτο. frattura, piega, ginocchio, gomito, sporgenza o piega (depressione) su un lato. Angolo lineare, due linee opposte qualsiasi e loro intervallo; piano angolare o nei piani, incontro di due piani o pareti; l'angolo è spesso, il corpo, si incontra in uno... Dizionario esplicativo di Dahl

Angolo, intorno ad un angolo, su (in) un angolo e (ματ.) in un angolo, m 1. Parte di un piano compresa tra due rette che partono da un punto (ματ.). Στο cima all'angolo. Lati dell'angolo. Misurare un angolo in gradi. Angolo retto. (90°). Angolo acuto. (μενώ 90°). Angolo ottuso…… Dizionario esplicativo di Ushakov

ΑΓΚΟΛΟ- (1) angolo di attacco tra la direzione del flusso d'aria che fluisce sull'ala dell'aeromobile e la corda della sezione alare. Il valore della forza di sollevamento dipende da questo angolo. L'angolo al quale la forza di portanza è massima è chiamato angolo kritiko di attacco. Του... ... Grande Enciclopedia del Politecnico

- (Πιάτο) figura geometrica, formato da due raggi (lati di un angolo) che emergono da un punto (vertice di un angolo). Qualsiasi angolo con vertice al centro di una circonferenza ( angolo centrale) definisce un arco AB su un cerchio, delimito da punti... ... Εγκυκλοπαιδική Μεγάλη Διεύθυνση

La testa dell'angolo, da dietro l'angolo, l'angolo ribassista, l'angolo incompiuto, in tutti gli angoli... Dizionario dei sinonimi russi ed espressioni simili nel significato. Σότο. εκδ. N. Abramova, M.: Russian Dictionaries, 1999. apice dell'angolo, punto d'angolo; portamento, riparo, deviatina, direzione,... ... Dizionario dei sinonimi

angolo- angolo, άστα. angolo; frase sul carbone, in (su) l'angolo e nel discorso dei matematici sul carbone; per favor angoli, άστα. angoli Nelle combinazioni preposizionali e stabili: dietro l'angolo ed è consentito girare l'angolo (entrare, girare, έκλ.), da un angolo all'altro (muovere, posizionare, εκ.), angolo... ... Dizionario delle difficoltà di pronuncia e di accento nella lingua russa moderna

ANGOLO, angolo, dietro l'angolo, su (dentro) l'angolo, marito. 1. (nell'angolo.). Στη γεωμετρία: figura piatta formata da due raggi (σε 3 cifre) che partono da un punto. Στο cima all'angolo. Diretto sì. (90°). Acuto u. (μενώ 90°). Stupido tu. (più di 90°). Esterno ed interno...... Dizionario esplicativo di Ozhegov

angolo- ANGOLO, angolo, m. Un quarto della scommessa, quando viene annunciato, il bordo della carta viene piegato. ◘ Asso e regina di picche con angolo // Uccisi. ΟΛΑ ΣΥΜΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΟΝΤΑΙ. Un giorno a Mosca, 1832. ◘ Dopo cena, sparge i cervonet sul tavolo, mescola le carte; gli scommettitori rompono i loro mazzi... ...

Ορολογία e gergo delle carte del XIX secolo

Argomento: Parallelismo di rette e piani

Lezione: Angoli con lati allineati. Angolo tra due rette

Qualsiasi linea retta, per sempio OO1(Εικ. 1.), taglia il piano in due semipiani. Σε ι ράγκι Ο.Α.μι Ο1Α1 sono paralleli e giacciono sullo stesso semipiano, si chiamano così συν-σκηνοθεσία.

Ράγκι O2A2μι Ο.Α. non sono co-direzionali (Εικ. 1.). Sono paralleli, ma non giacciono sullo stesso semipiano.

Se i lati di due angoli sono allineati allora gli angoli sono uguali.

Prova

Diamo i raggi paralleli Ο.Α.μι Ο1Α1 e raggi paralleli Ο.Β.μι Περίπου 1 έως 1(Εικ. 2.). Cioè, abbiamo due Angoli AOBμι A1O1B1, i cui lati giacciono su raggi codirezionali. Dimostriamo che questi angoli sono uguali.

Ταξίδι Dal lato della Ο.Α.μι Ο1Α1 Selezionare i punti Ηνωμένα Έθνημι ΟΗΕ 1 in modo che i segmenti Ο.Α.μι Ο1Α1 erano uguali. Allo stesso modo, punti ΣΕμι ΣΕ 1 scegliere in modo che i segmenti Ο.Β.μι Περίπου 1 έως 1 erano uguali.

Consideriamo un quadrilatero Α1Ο1ΟΑ(Εικ. 3.) Ο.Α.μι Ο1Α1 Α1Ο1ΟΑ Α1Ο1ΟΑ OO1μι AA1 paralleli e uguali.

Consideriamo un quadrilatero B1O1OV. Questo lato del quadrilatero Ο.Β.μι Περίπου 1 έως 1 paralleli e uguali. Basato su parallelogramma, quadrilatero B1O1OVè un παραλληλόγραμμα. Περσέ B1O1OV- παραλληλόγραμμα, ποιο η λατί OO1μι ΒΒ1 paralleli e uguali.

E dritto AA1 parallelo alla linea OO1 e dritto ΒΒ1 parallelo alla linea OO1σημασικα δριτο AA1μι ΒΒ1παράλληλο.

Consideriamo un quadrilatero B1A1AB. Questo lato del quadrilatero AA1μι ΒΒ1 paralleli e uguali. Basato su parallelogramma, quadrilatero B1A1ABè un παραλληλόγραμμα. Περσέ B1A1AB- παραλληλόγραμμα, ποιο η λατί ΑΒμι A1B1 paralleli e uguali.

Σκεφτείτε το triangoli AOBμι A1O1B1. Parti Ο.Α.μι Ο1Α1 uguali nella costruzione. Parti Ο.Β.μι Περίπου 1 έως 1 sono uguali anche nella costruzione. E come abbiamo dimostrato, entrambe le parti ΑΒμι A1B1 sono anche uguali. Quindi triangoli AOBμι A1O1B1 uguali su tre lati. Στο triangoli uguali contro λατι ουγουάλι gli angoli sono uguali. Quindi gli angoli AOBμι A1O1B1 sono uguali, έλα richiesto per dimostrare.

1) Linee che si intersecano.

Se le linee si intersecano, abbiamo quattro angoli diversi. Angolo tra due rette, si chiama l'angolo più piccolo tra due rette. Angolo tra le linee che si intersecano Ηνωμένα Έθνημι σι indichiamo α (Εικ. 4.). L'angolo a è tale che.

Ρίσο. 4. Angolo tra due linee che si intersecano

2) Linee incrociate

Ο Λασιάμο κοίταξε επίμονα Ηνωμένα Έθνημι σι incrocio. Scegliamo un punto arbitrario D.I.. Attraverso il punto D.I. facciamo una diretta un 1, parallelo alla linea Ηνωμένα Έθνη e dritto β1, parallelo alla linea σι(Εικ. 5.). Diretto un 1μι β1 si intersecano in un punto D.I.. Angolo tra due linee che si intersecano un 1μι β1, angolo φ, ed è chiamato angolo tra le linee che si intersecano.

Ρίσο. 5. Angolo tra due linee che si intersecano

La dimensione dell'angolo dipende dal punto selezionato O? Scegliamo un punto Ο1. Attraverso il punto Ο1 facciamo una diretta un 2, parallelo alla linea Ηνωμένα Έθνη e dritto β2, parallelo alla linea σι(Εικ. 6.). Angolo tra le linee che si intersecano un 2μι β2 indichiamo φ1. Ποιος άγγελος φ μι φ1 - angoli con i lati allineati. Έλα abbiamo dimostrato, tali angoli sono uguali tra loro. Ciò significa che l'ampiezza dell'angolo tra le linee che si intersecano non dipende dalla scelta del punto D.I..

Diretto Ο.Β.μι CDπαράλληλο, Ο.Α.μι CD incrociarsi. Trova l'angolo tra le linee Ο.Α.μι CD, Βλέπε:

1) ∠AOB= 40°.

Scegliamo un punto ΑΠΑΤΩ. Passa una linea retta attraverso di esso CD. Εσεγκιάμο CA1παράλληλο Ο.Α.(Εικ. 7.). Poi l'angolo Un CD da 1- angolo tra le linee che si intersecano Ο.Α.μι CD. Secondo il teorema degli angoli a lati concorrenti, l'angolo Un CD da 1 uguale all'angolo AOB, cioè 40°.

Ρίσο. 7. Trova l'angolo tra due linee rette

2) ∠AOB= 135°.

Facciamo la stessa costruzione (Εικ. 8.). Quindi l'angolo tra le linee che si incrociano Ο.Α.μι CDè pari a 45°, poiché è il più piccolo degli angoli che si ottengono intersecandosi CDμι CA1.

3) ∠AOB= 90°.

Facciamo la stessa costruzione (Εικ. 9.). Quindi tutti gli angoli che si ottengono quando le linee si intersecano CDμι CA1περίπου 90°. L'angolo richiesto è di 90°.

1) Dimostrare che i punti medi dei lati di un quadrilatero spaziale sono i vertici di un παραλληλόγραμμα.

Prova

Diamo un quadrilatero spaziale Α Β Γ Δ. Μ,Ν,Κ,μεγάλο- metà delle costole B.D.ΕΝ ΕΤΕΙ ΣΩΤΗΡΙΩ.ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ,ΑΒΑΝΤΙ ΚΡΙΣΤΟ. di conseguenza (Εικ. 10.). È necessario dimostrarlo MNKL- παραλληλόγραμμα.

Σκεφτείτε το τριγωνικό ABD. MN MNπαράλληλο ΑΒ e ne equivale la metà.

Σκεφτείτε το τριγωνικό αλφάβητο. Λ.Κ.- linea mediana. Secondo la proprietà della linea mediana, Λ.Κ.παράλληλο ΑΒ e ne equivale la metà.

μι MN, Ε Λ.Κ.παράλληλο ΑΒ. Σημασία, MNπαράλληλο Λ.Κ. dal teorema delle tre rette parallele.

Lo troviamo in un quadrilatero MNKL-lati MNμι Λ.Κ. parallelo e uguale, poiche MNμι Λ.Κ. pari alla meta ΑΒ. Quindi, secondo il criterio del parallelogramma, un quadrilatero MNKL- un παραλληλόγραμμα, che era ciò che doveva essere dimostrato.

2) Trova l'angolo tra le linee ΑΒμι CD,se l'angolo ΜΝΚ= 135°.

Έλα abbiamo già dimostrato, MN parallelo alla linea ΑΒ. Ν.Κ.- linea mediana del triangolo ACD, ανά ιδιοκτησία, Ν.Κ.παράλληλο DC. Quindi, attraverso il punto Ν ci sono due linee rette MNμι Ν.Κ. che sono parallele alle linee λοξός ΑΒμι DC ristivamente. Quindi, l'angolo tra le linee MNμι Ν.Κ.è l'angolo tra le linee che si intersecano ΑΒμι DC. Ci viene dato un angolo ottuso ΜΝΚ= 135°. Angolo tra rette MNμι Ν.Κ.- il più piccolo degli angoli ottenuti intersecando queste rette, cioè 45°.

Quindi, abbiamo esaminato gli angoli con lati codirezionali e abbiamo dimostrato la loro uguaglianza. Abbiamo esaminato gli angoli tra le linee che si intersecano e quelle inclinate e abbiamo risolto diversi problemi nel trovare l'angolo tra due linee. Nella prossima lezione continueremo a risolvere problemi e a rivedere la teoria.

1. Γεωμετρία. Κατηγορία 10-11: libro di testo per studenti di instituti di istruzione generale (livelli base e specialistici) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5a edizione corretta e ampliata - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : malato.

2. Γεωμετρία. Βαθμός 10-11: Libro di testo per l'istruzione generale είναι εκπαιδευτική/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 σελ.: ill.

3. Γεωμετρία. Βαθμός 10: Libro di testo per instituti di isstruzione generale con studio approfondito e specializzato della matematica /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6α ενδιζίωνε, στερεότυπο. - M.: Otarda, 008. - 233 p. : Εγώ λ.

ΣΕ) ΑΒΑΝΤΙ ΚΡΙΣΤΟ.μι ρε 1 ΣΕ 1.

Ρίσο. 11. Trova l'angolo tra le linee

4. Γεωμετρία. Κατηγορία 10-11: libro di testo per studenti di instituti di istruzione generale (livelli base e specialistici) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5a edizione corretta e ampliata - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 σελ.: ill.

Compiti 13, 14, 15 σελ