Είναι γνωστό ότι η λειτουργία y \u003d f (x) μπορεί να καθοριστεί σιωπηρά χρησιμοποιώντας την εξίσωση που συνδέει τις μεταβλητές x και y:

F (x, y)=0.

Δημιουργούμε τις συνθήκες στις οποίες η εξίσωση F (x, y) \u003d 0 καθορίζει μία από τις μεταβλητές ως η άλλη λειτουργία. Η έκθεση είναι η ακόλουθη

Θεώρημα (ύπαρξη σιωπηρής λειτουργίας) Αφήστε τη λειτουργία F (x, y)=0 Ικανοποιεί τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

1) Υπάρχει ένα σημείοP˳ (x˳, u˳) , όπουF (x˳, y˳) \u003d 0

2) F'y (x˳, y˳) ≠ 0

3) Λειτουργίες f'x (x, y)και f'y (x, y) Συνεχής σε κάποια γειτονιά

Π.0 (Χ.0 ,y.0).

Στη συνέχεια υπάρχει η μόνη λειτουργία y \u003d f (x), που προσδιορίζεται σε ένα συγκεκριμένο διάστημα που περιέχει ένα σημείο και ικανοποιώντας με οποιοδήποτε x από αυτό το εξισώρημα διαστήματος (x, y) \u003d 0, έτσι ώστε το f (x0) \u003d y0

Αν έχω σιωπηρή λειτουργία από Η., δηλαδή, προσδιορίζεται από την εξίσωση F ( Η., w.) \u003d 0, τότε υποθέτοντας αυτό w. Υπάρχει μια λειτουργία OT Η.Λαμβάνουμε ταυτότητα ΦΑ. (Η., w.(Η.)) \u003d 0, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως σταθερή λειτουργία. Διαφοροποίηση αυτής της συνεχούς λειτουργίας, έχουμε:

Εάν σε αυτόν τον λόγο, μπορείτε να βρείτε.

Διαφοροποίηση αναλογίας (1) για άλλη μια φορά, έχουμε:

Ο λόγος (2) μπορεί να θεωρηθεί ως εξίσωση για τον προσδιορισμό του δεύτερου παραγώγου. Διαφοροποίηση της σχέσης (2) Για άλλη μια φορά, λαμβάνουμε την εξίσωση για τον προσδιορισμό του τρίτου παραγώγου κ.λπ.

Παράγωγο προς κατεύθυνση. Vector Directions για την περίπτωση δύο και τριών μεταβλητών (οδηγός cosines). Την αύξηση της λειτουργίας σε μια δεδομένη κατεύθυνση. Προσδιορισμός του παραγώγου προς την κατεύθυνση, η έκφρασή της μέσω ιδιωτικών παραγώγων. Λειτουργία κλίσης. Αμοιβαία θέση της γραμμής κλίσης και στάθμης σε αυτό το σημείο για τη λειτουργία δύο μεταβλητών.

Το παράγωγο του Z'I προς την κατεύθυνση της λειτουργίας Ι των δύο μεταβλητών z \u003d f (x; y) είναι το όριο της σχέσης της συνάρτησης της λειτουργίας προς αυτή την κατεύθυνση στο μέγεθος της κίνησης Δi όταν το τελευταίο έως 0: Z'I \u003d Limdiz / ΔΙ

Το παράγωγο Ζ 'I χαρακτηρίζει τον ρυθμό αλλαγής λειτουργίας προς την κατεύθυνση I.

Εάν η λειτουργία z \u003d f (x; y) έχει συνεχή ιδιωτικά παράγωγα στο σημείο Μ (x; y), στη συνέχεια σε αυτό το σημείο υπάρχει ένα παράγωγο σε οποιαδήποτε κατεύθυνση εξερχόμενη από το σημείο Μ (x; y), το οποίο υπολογίζεται από Ο τύπος Z'I \u003d z'xˑcosa + z "yˑcosβ, όπου Cosa, cosβ-οδηγούς του φορέα του φορέα.

Η κλίση της λειτουργίας z \u003d f (x, y) ονομάζεται διάνυσμα με τις συντεταγμένες του f'x, f'y. Δηλώνει z \u003d (f'x, f'y) ή.

Το παράγωγο προς την κατεύθυνση είναι ίση με το κλιμακωτό προϊόν της κλίσης και του φορέα μονάδας που ορίζει την κατεύθυνση Ι.

Ο φορέας Ζ σε κάθε σημείο κατευθύνεται κατά μήκος της κανονικής στη γραμμή στάθμης που διέρχεται από αυτό το σημείο προς την κατεύθυνση της αύξησης της λειτουργίας.

Τα ιδιωτικά παράγωγα F'x και F'y είναι παράγωγα του z \u003d f (x, y) σε δύο ιδιωτικές κατευθύνσεις των αξόνων Ox και OA.

Αφήστε το z \u003d f (x, y) να είναι μια διαφοροποιήσιμη λειτουργία σε κάποια περιοχή d, m (x, y). Αφήνω να είμαι κάποια κατεύθυνση (διάνυσμα με την αρχή στο σημείο m), a \u003d (cosa, cosb).

Όταν κινείται σε αυτή τη διεύθυνση I σημείωσα m (x, y) στο σημείο Μ1 (χ + δΗ, Υ + ΔΥ), η συνάρτηση Ζ θα λάβει μια αύξηση Διζίου \u003d F (χ + δΗ, Υ + ΔΥ) -F (Χ · y) ονομάζεται αύξηση της λειτουργίας Ζ σε αυτή την κατεύθυνση I.

Εάν το MM1 \u003d ΔΙ είναι Δx \u003d ΔΙΚΟΣΑ, ΔΥ \u003d ΔΙΔΟΣΒ, επομένως, ΔΙΖ \u003d F (χ + ΔΙΚOS, Υ + Δίκος) -F (Χ, Υ).

Η λειτουργία z \u003d f (x; y) ονομάζεται σιωπηρή εάν ορίζεται από την εξίσωση F (x, y, z) \u003d 0 ανεπίλυτο σχετικό TOZ. Θα βρούμε ιδιωτικές παράγωγες από την ύπαρξη σιωπηρώς σιωπηρής. Για να το κάνετε αυτό, υποκαθιστώντας στην εξίσωση αντί για το f (x, y), λαμβάνουμε ταυτότητα (x, y, f (x, y)) \u003d 0. Ιδιωτικά παράγωγα της Yfunction, πανομοιότυπη ίση με το μηδένείναι επίσης ίσες με το μηδέν.

F (x, y, f (x, y)) \u003d
\u003d 0 (σύντομη μόνιμη)

F (x, y, f (x, y)) \u003d
\u003d 0 (διαβάστε σταθερή)

Από
και

Παράδειγμα: Βρείτε ιδιωτικά παράγωγα με τη λειτουργία από την εξίσωση
.

Εδώ f (x, y, z) \u003d
;
;
;
. Σύμφωνα με τους παραπάνω φόρμουλες, έχουμε:

και

1. Παράγωγο προς κατεύθυνση

Αφήστε τη λειτουργία δύο μεταβλητών z \u003d f (x; y) δίδονται σε κάποια περιοχή T.c m (x, y). Σκεφτείτε κάποια κατεύθυνση που ορίζεται από ένα μόνο διάνυσμα
όπου
(Βλ. Εικ.).

Σε μια ευθεία γραμμή που διέρχεται προς αυτή την κατεύθυνση από το t. M t. m 1 (
) τόσο πολύ
cutmm 1 ίση
. Η αύξηση του Λειτουργού (Μ) καθορίζεται από τον λόγο όπου
σχετικές αναλογίες. Όριο της σχέσης Για
θα ονομάζεται μια παράγωγη λειτουργία
Στο σημείο
προς Και σημειωμένο .

=

Εάν η λειτουργία είναι zdifferentiated στο σημείο
, τότε η αύξηση της σε αυτό το σημείο, λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις για
Μπορεί να καταγραφεί στην παρακάτω φόρμα.

Αντικείμενα και τα δύο μέρη

και μετακινώντας στο όριο όταν
Λαμβάνουμε έναν τύπο για την παράγωγη λειτουργία z \u003d f (x; y) προς την κατεύθυνση:

1. Βαθμίδα

Εξετάστε τη λειτουργία τριών μεταβλητών
Διαφοροποιημένο σε κάποιο σημείο
.

Κλίση αυτής της λειτουργίας
Στο σημείο M ονομάζεται φορέας των οποίων οι συντεταγμένες είναι ίσες με ένα ιδιωτικό παράγωγο
Σε αυτό το σημείο. Για να ορίσετε τη βαθμίδα χρησιμοποιώντας ένα σύμβολο
.
=
.

.Gradient υποδεικνύει την κατεύθυνση της τελευταίας ανάπτυξης της λειτουργίας σε αυτό το σημείο.

Από τη μονάδα φορέα έχει συντεταγμένες (
), το παράγωγο προς την κατεύθυνση για την περίπτωση των λειτουργιών των τριών μεταβλητών γράφεται με τη μορφή, δηλ. έχει μια φόρμουλα ενός κλιματισμού των φορέων και
. Επαναλάβω την τελευταία φόρμουλα ως εξής:

όπου - γωνία μεταξύ του φορέα και
. Στο μέτρο
, τότε ακολουθεί ότι η προερχόμενη λειτουργία στην κατεύθυνση ACCEPTAXMAX \u003d 0, δηλ. Όταν κατεύθυνση διανύσματος και
ταιριάξει. Εν
., Στην πραγματικότητα, η κλίση της λειτουργίας χαρακτηρίζει την κατεύθυνση και το μέγεθος της μέγιστης ταχύτητας αύξησης αυτής της λειτουργίας στο σημείο.

1. Εξαιρετική λειτουργία δύο μεταβλητών

Οι έννοιες του Max, Min, οι λειτουργίες των άκρων δύο μεταβλητών είναι παρόμοιες με τις αντίστοιχες έννοιες της λειτουργίας μιας μεταβλητής. Αφήστε τη λειτουργία z \u003d f (x; y) να ορίζονται σε κάποια περιοχή, t. M
Ανήκει σε αυτόν τον τομέα. Σημείο Μ.
Ονομάζεται σημείο μέγιστης λειτουργίας z \u003d f (x; y), εάν υπάρχει μια τέτοια δ-γειτονιά του σημείου
Αυτή η ανισότητα εκτελείται για κάθε σημείο από αυτή τη γειτονιά
. Ομοίως, το σημείο καθορίζεται επίσης, μόνο το σήμα ανισότητας θα αλλάξει
. Η τιμή της λειτουργίας στο σημείο μέγιστο (λεπτό) ονομάζεται μέγιστο (ελάχιστο). Τα μέγιστα και ελάχιστα χαρακτηριστικά ονομάζονται άκρα.

1. Απαιτούνται και επαρκείς συνθήκες εξτρεμίου

Θεώρημα:(Τις απαραίτητες συνθήκες εξτρεμίου). Εάν στο σημείο m
Η διαφοροποιημένη λειτουργία z \u003d f (x; y) έχει ένα άκρο, τότε τα ιδιωτικά παράγωγά του σε αυτό το σημείο είναι μηδέν:
,
.

Απόδειξη:Ορίζοντας ένα από τα variablesxiliy, αναγεννήτρια Z \u003d f (x; y) στη λειτουργία μιας μεταβλητής, για το άκρο του οποίου πρέπει να πραγματοποιηθούν οι συνθήκες που περιγράφονται παραπάνω. Γεωμετρική ισότητα
και
Σημαίνει ότι στο άκρο της λειτουργίας της λειτουργίας z \u003d f (x; y), το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια, που απεικονίζει το επίπεδο απολύτησης (x, y) \u003d zapallyllal επίπεδο κλπ. Η εξίσωση του εφαπτομενικού επιπέδου ISZ \u003d Z 0. Το σημείο στο οποίο τα μερικά παράγωγα της πρώτης τάξης της λειτουργίας Z \u003d f (x, y) είναι μηδέν, δηλ.
,
ονομάζονται λειτουργία σταθερού σημείου. Η λειτουργία μπορεί να έχει ένα άκρο σε σημεία όπου τουλάχιστον ένα από τα μερικά παράγωγα δεν υπάρχει. Για το παράδειγμα \u003d | -
| Έχει ένα σημείο (0,0), αλλά δεν έχει παράγωγα σε αυτό το σημείο.

Σταθερά σημεία και σημεία στα οποία δεν υπάρχει τουλάχιστον ένα ιδιωτικό παράγωγο κρίσιμα σημεία.Σε κρίσιμα σημεία, η λειτουργία μπορεί να έχει ένα άκρο και μπορεί να μην έχει. Η ισότητα μηδέν των ιδιωτικών παραγώγων είναι απαραίτητη, αλλά όχι επαρκή προϋπόθεση για την ύπαρξη εξτρεμίων. Για παράδειγμα, η PR \u003d Xytopo (0,0) είναι κρίσιμη. Ωστόσο, το άκρο σε αυτό είναι συνάρτηση \u003d Xyne έχει. (Επειδή VIIIIITersz\u003e 0, και VIIIV-Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Θεώρημα: (Επαρκή προϋπόθεση των άκρων). Ας υποθέσουμε σε ένα σταθερό σημείο
και κάποια λειτουργία περιβάλλοντος f (x; y) έχει συνεχή ιδιωτικά παράγωγα μέχρι την 2η σειρά συμπεριλαμβανομένων. Υπολογίστε στο σημείο
Αξίες
,
και
. Σημαίνω

Αν
άκρο στο σημείο
Ίσως, ίσως να μην είναι. Απαιτείται πρόσθετη έρευνα.

Αναμφισβήτητα, στη συνείδησή μας, η εικόνα της λειτουργίας σχετίζεται με την ισότητα και την αντίστοιχη γραμμή - ένα πρόγραμμα λειτουργιών. Για παράδειγμα, μια λειτουργική εξάρτηση, ένα γράφημα του οποίου είναι ένα τετραγωνικό parabol με ένα κορυφαίο στην αρχή των συντεταγμένων και κατευθύνει τα κλαδιά. - τη λειτουργία του κόλπου, γνωστή για τα κύμα της.

Σε αυτά τα παραδείγματα, το Υ, και στο δεξιό μέρος - μια έκφραση που εξαρτάται από το όρισμα Χ βρίσκεται στη δεξιά πλευρά της ισότητας. Με άλλα λόγια, έχουμε μια εξίσωση επιτρέπεται σε σχέση με το y. Η αναπαράσταση της λειτουργικής εξάρτησης με τη μορφή μιας τέτοιας έκφρασης καλείται Μια ρητή λειτουργία εργασιών (ή λειτουργούν ρητά). Και αυτός ο τύπος εργασίας είναι ο πιο εξοικειωμένος για εμάς. Στα περισσότερα παραδείγματα και καθήκοντα, είναι προφανείς λειτουργίες. Σχετικά με τη διαφοροποίηση των λειτουργιών μιας μεταβλητής που καθορίζεται σε ρητή μορφή, έχουμε ήδη μιλήσει λεπτομερώς.

Ωστόσο, η λειτουργία περιλαμβάνει την αλληλογραφία μεταξύ των καθορισμένων τιμών της τιμής Χ και του συνόλου των τιμών Υ, και αυτή η αλληλογραφία δεν καθορίζεται απαραίτητα από οποιονδήποτε τύπο ή αναλυτική έκφραση. Δηλαδή, υπάρχουν πολλοί τρόποι για να καθορίσετε τη λειτουργία εκτός από το συνηθισμένο.

Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε Σιωπηρές λειτουργίες και τρόποι να βρεθούν τα παράγωγά τους. Ως παραδείγματα λειτουργιών που καθορίζονται σιωπηρά, είναι δυνατόν ή.

Όπως παρατηρείτε, μια σιωπηρή λειτουργία καθορίζεται από τον λόγο. Αλλά δεν είναι όλες αυτές οι σχέσεις μεταξύ x και y ορίστε τη λειτουργία. Για παράδειγμα, κανένα ζεύγος έγκυρων αριθμών x και y δεν πληροί την ισότητα, επομένως, ο λόγος αυτός δεν καθορίζει τη σχέση.

Μπορεί να εντοπίσει σιωπηρά τον νόμο συμμόρφωσης μεταξύ των τιμών X και Y και κάθε τιμή του όρου x μπορεί να αντιστοιχεί σε ένα (στην περίπτωση αυτή, έχουμε μια μοναδική λειτουργία) και αρκετές τιμές λειτουργίας (σε αυτή την περίπτωση, η λειτουργία καλείται Πολλαπλασιασμός). Για παράδειγμα, η τιμή Χ \u003d 1 αντιστοιχεί σε δύο έγκυρες τιμές Υ \u003d 2 και Υ \u003d -2 σιωπηρά καθορισμένη λειτουργία.

Μια σιωπηρή λειτουργία που οδηγεί σε μια σαφή μορφή δεν είναι πάντοτε είναι πάντα δυνατή, διαφορετικά οι σιωπηρές λειτουργίες που δεν θα έπρεπε να διαφοροποιήσουν. Για παράδειγμα, - Δεν μετατρέπεται σε ένα σαφές μυαλό, αλλά μετατρέπεται.

Τώρα στην επιχείρηση.

Για να βρείτε το παράγωγο μιας σιωπηρά καθορισμένης λειτουργίας, είναι απαραίτητο να εκπαιδεύσετε και τα δύο μέρη της ισότητας του όρου x, μετρώντας το y - τη λειτουργία από το x και στη συνέχεια να εκφράσει.

Η διαφοροποίηση των εκφράσεων που περιέχουν Χ και Υ (Χ) διεξάγονται χρησιμοποιώντας κανόνες διαφοροποίησης και τους κανόνες για την εξεύρεση μιας παράγωγης σύνθετης λειτουργίας. Ας δούμε λεπτομερώς μερικά παραδείγματα, ώστε να μην υπήρχαν περαιτέρω ερωτήσεις.

Παράδειγμα.

Διαφορικές εκφράσεις Με x, μετρώντας τη λειτουργία y από το x.

Απόφαση.

Επειδή Το Υ είναι μια λειτουργία από το Χ, τότε είναι μια πολύπλοκη λειτουργία. Μπορεί να αντιπροσωπεύεται συμβατικά ως F (g (x)), όπου το f είναι η λειτουργία κατασκευής στον κύβο και το g (x) \u003d y. Στη συνέχεια, από τον παράγωγο τύπο, έχουμε: .

Με τη διαφοροποίηση της δεύτερης έκφρασης, λαμβάνουμε μια σταθερά για το σημάδι του παραγώγου και ενεργεί όπως στην προηγούμενη περίπτωση (εδώ F - η λειτουργία του κόλπου, g (x) \u003d y):

Για την τρίτη έκφραση, χρησιμοποιούμε τον τύπο του παραγώγου:

Εφαρμόζοντας σταθερά τους κανόνες στην τελευταία έκφραση:

Τώρα μπορείτε να πάτε στην εξεύρεση παράγωγου σιωπηρά καθορισμένη λειτουργία, γι 'αυτό όλες οι γνώσεις είναι.

Παράδειγμα.

Βρείτε ένα παράγωγο μιας σιωπηρής λειτουργίας.

Απόφαση.

Η παράγωγα σιωπηρά καθορισμένη λειτουργία αντιπροσωπεύεται πάντοτε ως έκφραση που περιέχει το x και y :. Για να έρθουν σε ένα τέτοιο αποτέλεσμα, προτιμάται και τα δύο μέρος της ισότητας:

Επέτρεψε την προκύπτουσα εξίσωση σε σχέση με το παράγωγο:

Απάντηση:

.

ΣΧΟΛΙΟ.

Για να εξασφαλίσετε το υλικό, θα λύσω ένα παράδειγμα.

Η παράγωγη λειτουργία που ορίζεται σιωπηρά.
Παράγωγο της παραμετρικά καθορισμένης λειτουργίας

Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε δύο ακόμα τυπικά καθήκοντα, τα οποία συχνά βρίσκονται στις δοκιμές στα ανώτερα μαθηματικά. Προκειμένου να διευρυνθεί με επιτυχία το υλικό, είναι απαραίτητο να υπάρχει παράγωγα τουλάχιστον στο μέσο επίπεδο. Μάθετε πώς να βρείτε παράγωγα με ουσιαστικά μηδέν μπορεί να είναι σε δύο βασικά μαθήματα και Παράγωγο σύνθετο λειτουργία. Εάν όλα είναι εντάξει με τις δεξιότητες διαφοροποίησης, στη συνέχεια οδήγησε.

Η παράγωγη λειτουργία που καθορίζεται σιωπηρά

Ή βραχύτερο - παράγωγο μιας σιωπηρής λειτουργίας. Τι είναι μια σιωπηρή λειτουργία; Ας θυμηθούμε πρώτα τον προσδιορισμό της λειτουργίας μιας μεταβλητής:

Τη λειτουργία μιας μεταβλητής - Είναι ένας κανόνας με τον οποίο κάθε αξία μιας ανεξάρτητης μεταβλητής αντιστοιχεί σε μία και μόνο μία τιμή λειτουργίας.

Η μεταβλητή ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή ή Διαφωνία.
Η μεταβλητή ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή ή Λειτουργία .

Μέχρι στιγμής, θεωρήσαμε τις λειτουργίες που καθορίζονται στο εφαρμοσμένος μορφή. Τι σημαίνει? Τακτοποιούμε την ανάλυση πτήσεων σε συγκεκριμένα παραδείγματα.

Εξετάστε μια λειτουργία

Βλέπουμε ότι στα αριστερά έχουμε ένα μοναχικό "μάγουλο", αλλά στα δεξιά - Μόνο "Ikers". Δηλαδή μια λειτουργία ρητώς εκφράζεται μέσω μιας ανεξάρτητης μεταβλητής.

Εξετάστε ένα άλλο χαρακτηριστικό:

Εδώ είναι μεταβλητές και διευθετημένες "πρόθεση". Εξάλλου Κανένας τρόπος αδύνατο Express "IX" μόνο μέσω "x". Τι είδους τρόπους είναι; Η μεταφορά των στοιχείων από το τμήμα προς το τμήμα με την αλλαγή του σημείου, στις βραχίονες, μεταφέροντας πολλαπλασιαστές στον κανόνα της αναλογίας και άλλων. Ξαναγράψτε την ισότητα και προσπαθήστε να εκφράσετε ρητά το "igarek" :. Μπορείτε να περιστρέψετε την εξίσωση ώρας, αλλά δεν θα πετύχετε.

Επιτρέψτε μου να εισαγάγει: - παράδειγμα σιωπηρή λειτουργία.

Κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης αποδείχθηκε ότι μια σιωπηρή λειτουργία υπάρχουν (Ωστόσο, όχι πάντα), έχει ένα πρόγραμμα (όπως ακριβώς η "κανονική" λειτουργία). Η σιωπηρή λειτουργία με τον ίδιο τρόπο υπάρχουν Το πρώτο παράγωγο, το δεύτερο παράγωγο κ.λπ. Όπως λένε, παρατηρούνται όλα τα δικαιώματα των σεξουαλικών μειονοτήτων.

Και σε αυτό το μάθημα, θα μάθουμε να βρούμε ένα παράγωγο της λειτουργίας που ορίζεται σιωπηρά. Δεν είναι τόσο δύσκολο! Όλοι οι κανόνες διαφοροποίησης, ο πίνακας των παράγωγων στοιχειωδών λειτουργιών παραμένουν σε ισχύ. Η διαφορά σε ένα είδος στιγμής, το οποίο θεωρούμε τώρα.

Ναι, και θα ενημερώσω καλά νέα - τα καθήκοντα που συζητούνται παρακάτω εκτελούνται σε έναν πολύ σκληρό και σαφή αλγόριθμο χωρίς πέτρα μπροστά από τρία κομμάτια.

Παράδειγμα 1.

1) Στο πρώτο στάδιο, κρεμασμένα εγκεφαλικά επεισόδια και στα δύο μέρη:

2) Χρησιμοποιούμε τον παράγωγο κανόνων γραμμικότητας (οι δύο πρώτοι κανόνες του μαθήματος Πώς να βρείτε ένα παράγωγο; Παραδείγματα λύσεων):

3) Άμεση διαφοροποίηση.
Πώς να διαφοροποιήσετε και να κατανοήσετε πλήρως. Τι να κάνετε όπου κάτω από τα εγκεφαλικά επεισόδια είναι "Igraki";

- λίγο πριν την ντροπή Το παράγωγο της λειτουργίας είναι ίσο με το παράγωγό του: .

Πώς να διαφοροποιήσετε
Εδώ έχουμε Σύνθετη λειτουργία. Γιατί; Φαίνεται να είναι κάτω από τον κόλπο μόνο ένα γράμμα "igarek". Αλλά, το γεγονός είναι ότι μόνο ένα γράμμα "igarek" - Από μόνο του είναι μια λειτουργία (Βλέπε ορισμό στην αρχή του μαθήματος). Έτσι, ο κόλπος είναι μια εξωτερική λειτουργία - μια εσωτερική λειτουργία. Χρησιμοποιήστε τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης λειτουργίας :

Διαφοροποίηση της εργασίας από τον συνηθισμένο κανόνα :

Σημειώστε ότι - επίσης μια πολύπλοκη λειτουργία, Οποιοδήποτε "Cleark με βρει" - μια πολύπλοκη λειτουργία:

Η ίδια η απόφαση πρέπει να φαίνεται κάτι τέτοιο:


Εάν υπάρχουν αγκύλες, στη συνέχεια αποκαλύπτουν τα:

4) Στην αριστερή πλευρά συλλέγουμε τους όρους, στα οποία υπάρχει "Igrek" με μια ομάδα. Στη δεξιά πλευρά - ανέχονται τα πάντα:

5) Στο αριστερό μέρος, πραγματοποιούμε το παράγωγο των στηρίξεων:

6) Και σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας, απορρίπτουμε αυτές τις παρενθέσεις στον παρονομαστή του δεξιού μέρους:

Το παράγωγο βρέθηκε. Ετοιμος.

Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι σε μια σιωπηρή μορφή μπορείτε να ξαναγράψετε οποιαδήποτε λειτουργία. Για παράδειγμα, μια λειτουργία Μπορείτε να ξαναγράψετε: . Και το διαφοροποιεί σύμφωνα με τον αλγόριθμο που μόλις συζητήθηκε. Στην πραγματικότητα, η φράση "λειτουργία που καθορίζεται σε σιωπηρή μορφή" και "σιωπηρή λειτουργία" διακρίνεται από μία σημασιολογική απόχρωση. Φράση "Η λειτουργία που καθορίζεται σε σιωπηρή μορφή" είναι γενικότερη και σωστή, - Αυτή η λειτουργία έχει οριστεί σε μια σιωπηρή μορφή, αλλά εδώ μπορείτε να εκφράσετε το "Igrek" και να παρουσιάσετε τη λειτουργία ρητά. Σύμφωνα με τις λέξεις, η "σιωπηρή λειτουργία" είναι πιο πιθανό να κατανοήσει την "κλασική" σιωπηρή λειτουργία, όταν δεν μπορεί να εκφραστεί "igarek".

Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι η "σιωπηρή εξίσωση" μπορεί να ορίσει σιωπηρά δύο ή και περισσότερες λειτουργίες ταυτόχρονα, έτσι, για παράδειγμα, η εξίσωση κύκλου ορίζει σιωπηρά τις λειτουργίες που καθορίζουν το ημικύκλιο. Αλλά, στο πλαίσιο αυτού του άρθρου, θα το κάνουμε Μην κάνετε μια ιδιαίτερη διαφορά μεταξύ των όρων. και των αποχρώσεων, ήταν απλώς πληροφορίες για τη γενική ανάπτυξη.

Ο δεύτερος τρόπος επίλυσης

Προσοχή! Με τον δεύτερο τρόπο μπορείτε να διαβάσετε μόνο αν μπορείτε να βρείτε με βεβαιότητα Ιδιωτικά παράγωγα. Αρχάριοι να μάθουν μαθηματική ανάλυση και τσαγιέρες, παρακαλώ Μην διαβάσετε και παραλείψετε αυτό το στοιχείο.Διαφορετικά, θα υπάρχει ένα πλήρες κουάκερ στο κεφάλι μου.

Βρείτε ένα παράγωγο μιας σιωπηρής λειτουργίας με τη δεύτερη περίπτωση.

Μεταφέρουμε όλα τα εξαρτήματα προς τα αριστερά:

Και θεωρούμε τη λειτουργία δύο μεταβλητών:

Τότε το παράγωγό μας μπορεί να βρεθεί από τον τύπο
Βρίσκουμε ιδιωτικά παράγωγα:

Με αυτόν τον τρόπο:

Η μέθοδος δεύτερης λύσης σάς επιτρέπει να ελέγξετε. Αλλά είναι ανεπιθύμητο να γίνει μια ολοκληρωμένη έκδοση του έργου, αφού τα ιδιωτικά παράγωγα κατακτηθούν αργότερα και ο φοιτητής μαθαίνει το θέμα "προερχόμενη λειτουργία μιας μεταβλητής", να γνωρίζει τα ιδιωτικά παράγωγα, όπως δεν πρέπει ακόμη.

Σκεφτείτε μερικά ακόμα παραδείγματα.

Παράδειγμα 2.

Βρείτε ένα παράγωγο από τη λειτουργία που ορίζεται σιωπηρά

Γυρίστε τις πινελιές και στα δύο μέρη:

Χρησιμοποιούμε κανόνες γραμμικότητας:

Βρείτε παράγωγα:

Αποκαλύπτουν όλες τις παρενθέσεις:

Μεταφέραμε όλα τα εξαρτήματα με το αριστερό μέρος, το υπόλοιπο - τη δεξιά πλευρά:

Τελική απάντηση:

Παράδειγμα 3.

Βρείτε ένα παράγωγο από τη λειτουργία που ορίζεται σιωπηρά

Πλήρης λύση και σχεδιασμός δείγματος στο τέλος του μαθήματος.

Δεν είναι ασυνήθιστο, όταν τα κλάσματα προκύπτουν μετά τη διαφοροποίηση. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να απαλλαγούν. Εξετάστε δύο ακόμη παραδείγματα.

Παράδειγμα 4.

Βρείτε ένα παράγωγο από τη λειτουργία που ορίζεται σιωπηρά

Καταλήγουμε και τα δύο μέρη για τις πινελιές και χρησιμοποιούμε τον κανόνα γραμμικότητας:

Διαφοροποίηση χρησιμοποιώντας ένα σύνθετο κανόνα διαφοροποίησης και τον κανόνα διαφοροποίησης του ιδιωτικού τομέα :

Αποκαλύψτε αγκύλες:

Τώρα πρέπει να απαλλαγούμε από το fraraty. Αυτό μπορεί να γίνει αργότερα, αλλά πιο λογικό να κάνει αμέσως. Σε παρονομαστή, το Fraci βρίσκεται. Πολλαπλασιάζω στο . Εάν λεπτομερώς θα μοιάζει με αυτό:

Μερικές φορές τα 2-3 κλάσματα εμφανίζονται μετά τη διαφοροποίηση. Εάν είχαμε ένα άλλο κλάσμα, για παράδειγμα, η λειτουργία θα πρέπει να επαναλάβει - πολλαπλασιάσει κάθε μέρος κάθε μέρους στο

Στο αριστερό μέρος, υπομένουμε το βραχίονα:

Τελική απάντηση:

Παράδειγμα 5.

Βρείτε ένα παράγωγο από τη λειτουργία που ορίζεται σιωπηρά

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση. Το μόνο πράγμα, σε αυτό, πριν να απαλλαγούμε από το κλάσμα, θα χρειαστεί πρώτα να απαλλαγούμε από το τριώροφο του ίδιου του Fraci. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Παράγωγο της παραμετρικά καθορισμένης λειτουργίας

Δεν είμαστε σφιχτά, στην παρούσα παράγραφο, όλα είναι αρκετά απλά. Μπορείτε να εγγράψετε τον γενικό τύπο μιας παραμετρικά καθορισμένης λειτουργίας, αλλά, προκειμένου να είναι σαφής, θα γράψω αμέσως ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Σε παραμετρική μορφή, η λειτουργία ορίζεται από δύο εξισώσεις :. Συχνά, οι εξισώσεις καταγράφονται όχι κάτω από σγουρές αγκύλες, αλλά διαδοχικά :.

Η μεταβλητή ονομάζεται παράμετρος Και μπορεί να πάρει τιμές από το "Minus Infinity" στο "Plus Infinity". Εξετάστε, για παράδειγμα, την αξία και να το υποκαταστήσετε και στις δύο εξισώσεις: . Ή ανθρωπιαστικά: "Εάν το x είναι ίσο με τέσσερα, τότε το παιχνίδι είναι ίσο με ένα." Στο επίπεδο συντεταγμένων, μπορείτε να επισημάνετε το σημείο και αυτό το σημείο θα αντιστοιχεί στην τιμή της παραμέτρου. Ομοίως, μπορείτε να βρείτε ένα σημείο για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου "TE". Όσον αφορά την "συνηθισμένη" λειτουργία, για τους Αμερικανούς Ινδούς μιας παραμετρικής καθορισμένης λειτουργίας, όλα τα δικαιώματα παρατηρούνται επίσης: Μπορείτε να δημιουργήσετε ένα πρόγραμμα, να βρείτε παράγωγα κλπ. Με την ευκαιρία, αν υπάρχει ανάγκη να δημιουργήσετε ένα διάγραμμα μιας παραμετρικά καθορισμένης λειτουργίας, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμά μου.

Στις απλούστερες περιπτώσεις, είναι δυνατόν να παρουσιάσουμε μια λειτουργία ρητά. Εκφράστε την παράμετρο από την πρώτη εξίσωση: - και να το υποκατασταθεί στη δεύτερη εξίσωση: . Ως αποτέλεσμα, ελήφθη μια συνηθισμένη κυβική λειτουργία.

Σε περισσότερες "σοβαρές" περιπτώσεις, μια τέτοια εστίαση δεν κυλάει. Αλλά αυτό δεν είναι μια ατυχία, επειδή υπάρχει ένας τύπος για την εξεύρεση ενός παραγώγου μιας παραμετρικής λειτουργίας:

Βρείτε ένα παράγωγο των "παιχνιδιών από τη μεταβλητή te":

Όλοι οι κανόνες διαφοροποίησης και ένας πίνακας παραγώγων είναι δίκαιοι, φυσικά, και για την επιστολή, έτσι κάποια καινοτομία στη διαδικασία εύρεσης παραγώγων. Απλά διανοητικά αντικαταστήστε όλα τα τραπέζια "IKS" στο τραπέζι για το γράμμα "TE".

Βρείτε ένα παράγωγο του "iksa για τη μεταβλητή te":

Τώρα παρέμεινε μόνο για να αντικαταστήσει τα παράγωγα που βρέθηκαν στον τύπο μας:

Ετοιμος. Το παράγωγο, καθώς και η ίδια η λειτουργία, εξαρτάται επίσης από την παράμετρο.

Όσον αφορά τις ονομασίες, στον τύπο, αντί να καταγράφει, ήταν δυνατόν να εγγραφεί απλά χωρίς δείκτη υποστρώματος, καθώς αυτό είναι "συνηθισμένο" παράγωγο "σε x". Αλλά η λογοτεχνία πάντα πληροί την επιλογή, οπότε δεν θα αποκλίσω από το πρότυπο.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο

Σε αυτήν την περίπτωση:

Με αυτόν τον τρόπο:

Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα ενός παραγώγου παραμετρικής λειτουργίας είναι το γεγονός ότι Σε κάθε βήμα, το αποτέλεσμα είναι επωφελές για την απλούστευση. Έτσι, στο εξεταζόμενο παράδειγμα, αποκάλυψα αγκύλες κάτω από τη ρίζα (αν και δεν μπορούσα να το κάνω). Μια μεγάλη πιθανότητα είναι ότι κατά τη διάρκεια της υποκατάστασης και στον τύπο, πολλά πράγματα θα μειωθούν καλά. Παρόλο που υπάρχουν, φυσικά, παραδείγματα και με τις αποκρίσεις των πόρων.

Παράδειγμα 7.

Βρείτε ένα παράγωγο από τη λειτουργία καθορισμένη παραμετρική

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση.

Στο άρθρο Τα απλούστερα τυπικά καθήκοντα με παράγωγο Θεωρήσαμε παραδείγματα στα οποία ήταν απαραίτητο να βρεθεί η δεύτερη λειτουργία του παραγώγου. Για μια παραμετρικά καθορισμένη λειτουργία, μπορείτε επίσης να βρείτε το δεύτερο παράγωγο και βρίσκεται σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο :. Είναι προφανές ότι για να βρούμε το δεύτερο παράγωγο, πρέπει πρώτα να βρείτε το πρώτο παράγωγο.

Παράδειγμα 8.

Βρείτε το πρώτο και το δεύτερο παράγωγο από τη λειτουργία καθορισμένη παραμετρική

Θα βρούμε το πρώτο παράγωγο.
Χρησιμοποιούμε τον τύπο

Σε αυτήν την περίπτωση:

Πολύ συχνά, κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων (για παράδειγμα, στην υψηλότερη γεωβάδια ή αναλυτική φωτογραμμετρία), εμφανίζονται πολύπλοκες λειτουργίες πολλών μεταβλητών, δηλ. Επιχειρήματα x, y, z Μια λειτουργία f (x, y, z) ) οι ίδιοι είναι λειτουργίες από νέες μεταβλητές U, v, w ).

Έτσι, για παράδειγμα, συμβαίνει όταν μετακινείται από ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων Oxyz. Σε ένα κινούμενο σύστημα Ο. 0 Uvw. και πίσω. Ταυτόχρονα, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε όλα τα ιδιωτικά παράγωγα σε "σταθερά" - "παλιά" και "κινητά" - "νέες" μεταβλητές, καθώς αυτά τα ιδιωτικά παράγωγα συνήθως χαρακτηρίζουν τη θέση του αντικειμένου σε αυτά τα συστήματα συντεταγμένων και, Συγκεκριμένα, επηρεάζουν τη συμμόρφωση των αεροφωτογραφιών στο πραγματικό αντικείμενο. Σε τέτοιες περιπτώσεις, εφαρμόζονται οι ακόλουθοι τύποι:

Δηλαδή, ζητείται μια πολύπλοκη λειτουργία. Τ. τρεις "νέες" μεταβλητές U, v, w Μέσω τριών "παλιών" μεταβλητών x, y, z, τότε:

Σχόλιο. Οι παραλλαγές είναι δυνατές στην ποσότητα των μεταβλητών. Για παράδειγμα: εάν

Συγκεκριμένα, αν z \u003d f (xy), y \u003d y (x) , Παίρνω το λεγόμενο τύπου "πλήρες παράγωγο":

Ο ίδιος τύπος "πλήρες παράγωγο" στην περίπτωση:

Τύπος:

Άλλες παραλλαγές των τύπων (1.27) είναι δυνατές - (1.32).

Σημείωση: Ο τύπος "πλήρους παραγώγων" χρησιμοποιείται στην πορεία της φυσικής, της ενότητας "Υδροδυναμική" στην έξοδο του θεμελιώδους συστήματος εξισώσεων ρευστού κίνησης.

Παράδειγμα 1.10. Δεδομένος:

Σύμφωνα με το (1.31):

§7 Μερικά παράγωγα Σχηματικά καθορισμένη λειτουργία διαφόρων μεταβλητών

Όπως γνωρίζετε, η σιωπηρά καθορισμένη λειτουργία μιας μεταβλητής καθορίζεται ως εξής: η λειτουργία σε μια ανεξάρτητη μεταβλητή Χ. Ονομάζεται σιωπηρή εάν καθορίζεται από την εξίσωση που δεν επιτρέπεται σε σχέση με y. :

Παράδειγμα 1.11.

Την εξίσωση

Ορίζει σιωπηρά δύο λειτουργίες:

Μια εξίσωση

Δεν καθορίζει καμία λειτουργία.

Θεώρημα 1.2 (ύπαρξη σιωπηρής λειτουργίας).

Αφήστε τη λειτουργία z \u003d f (x, y) και τα ιδιωτικά παράγωγά του f " Χ. και f " y. καθορισμένο και συνεχές σε κάποιο περιβάλλον U. M0. Σημεία Μ. 0 (Χ. 0 y. 0 ) . Εξάλλου, f (x. 0 , y. 0 )=0 και f "(x 0 , y. 0 )≠0 , τότε η εξίσωση (1.33) καθορίζει στη γειτονιά U. M0. Σιωπηρή λειτουργία y \u003d y (x) , συνεχή και διαφοροποίηση σε κάποιο διάστημα ΡΕ. με το κέντρο στο σημείο Χ. 0 , και y (x. 0 ) \u003d y. 0 .

Χωρίς απόδειξη.

Από το θεώρημα 1.2 Ακολουθεί ότι σε αυτό το διάστημα ΡΕ. :

Υπάρχει μια ταυτότητα τόπου

όπου το "πλήρες" παράγωγο είναι ανά (1.31)

Δηλαδή (1,35) δίνει στον τύπο της εξεύρεσης ενός παραγώγου που έδειξε σιωπηρά τη λειτουργία μιας μεταβλητής Χ. .

Ομοίως, προσδιορίζεται επίσης η σιωπηρή λειτουργία δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών.

Για παράδειγμα, αν σε κάποια περιοχή V. Χώρος Oxyz. Η εξίσωση εκτελείται:

Στη συνέχεια, υπό ορισμένες συνθήκες στη λειτουργία ΦΑ. Το σιωπηρά ορίζει τη λειτουργία

Ταυτόχρονα, κατ 'αναλογία με (1,35), τα ιδιωτικά παράγωγά του είναι έτσι:

Παράδειγμα 1.12. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η εξίσωση

Ορίστε σιωπηρά τη λειτουργία

να βρω z " Χ. , z " y. .

Επομένως, σύμφωνα με (1.37) έχουμε την απάντηση.

§8 Ιδιωτικά παράγωγα δευτερολέπτων και υψηλότερων παραγγελιών

Ορισμός 1.9 Μερικά παράγωγα της δεύτερης τάξης της λειτουργίας z \u003d z (x, y) προσδιορίζονται:

Ήταν τέσσερα. Και, υπό ορισμένες προϋποθέσεις σχετικά με τις λειτουργίες z (x, y) Η ισότητα εκτελείται:

Σχόλιο. Τα ιδιωτικά παράγωγα δεύτερης τάξης μπορούν να χαρακτηριστούν ως εξής:

Προσδιορισμός 1,10 των ιδιωτικών παραγώγων τρίτης τάξης - οκτώ (2 3).