Ενσωμάτωση της παράλογης λειτουργίας της φόρμας R x. Ενσωμάτωση παράλογων εκφράσεων

Υπό παράλογος Κατανοήστε την έκφραση στην οποία μια ανεξάρτητη μεταβλητή %% x %% ή ένα πολυωνυμικό %% P_n (x) %% του βαθμού %% N \\ in \\ mathbb (n) %% συμπεριλαμβάνεται ριζικό (από Λατινικά radix. - ρίζα), δηλ. Νωρίς σε κλασματικό βαθμό. Ορισμένες τάξεις παράλογου σε σχέση με το %% X %% των εκφράσεων αντικατάστασης της μεταβλητής μπορούν να μειωθούν στις ορθολογικές εκφράσεις σε σχέση με τη νέα μεταβλητή.

Η έννοια της ορθολογικής λειτουργίας μιας μεταβλητής μπορεί να επεκταθεί σε πολλά επιχειρήματα. Εάν το %% u, v, \\ dotsc, w %%, κατά τον υπολογισμό της αξίας της λειτουργίας, μόνο οι αριθμητικές ενέργειες και η κατασκευή ολόκληρου του βαθμού παρέχονται στην ορθολογική λειτουργία αυτών των επιχειρημάτων, η οποία συνήθως δηλώνεται κατά το %% R (u, v, \\ dotsc, w) %%. Τα επιχειρήματα μιας τέτοιας λειτουργίας μπορούν να είναι λειτουργίες ανεξάρτητης Permaal %% x%, συμπεριλαμβανομένων των ριζών του τύπου %% \\ sqrt [n] (x), n \\ in \\ mathbb (n) %%. Για παράδειγμα, η ορθολογική λειτουργία $$ r (u, v, w) \u003d \\ frac (u + v ^ 2) (w) $$ στο %% u \u003d x, v \u003d \\ sqrt (x) %% και %% w \u003d \\ sqrt (x ^ 2 + 1) %% είναι μια ορθολογική λειτουργία $$ R \\ αριστερά (x, \\ sqrt (x), \\ sqrt (x ^ 2 + 1) \\ lews) \u003d \\ frac (x + \\ Sqrt (x ^ 2)) (\\ sqrt (x ^ 2 + 1)) \u003d f (x) $$ από %% x %% και ριζοσπαστικά %% \\ sqrt (x) %% και %% \\ sqrt (x ^ 2 + 1) %%, ενώ η λειτουργία %% F (x) %% είναι μια παράλογη (αλγεβρική) λειτουργία μιας ανεξάρτητης μεταβλητής %% x %%.

Εξετάστε τα ολοκληρώματα του εντύπου %% \\ int r (x, \\ sqrt [n] (x)) \\ mathrm (d) x %%. Αυτά τα ολοκληρωτικά εξορθολογίζονται αντικαθιστώντας την μεταβλητή %% t \u003d \\ sqrt [n] (x) %%, τότε %% x \u003d t ^ n, \\ mathrm (d) x \u003d nt ^ (n - 1) %%.

Παράδειγμα 1.

Βρείτε το %% \\ displayStyle \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) %%.

Η ολοκληρωμένη λειτουργία του επιθυμητού όρου γράφεται ως συνάρτηση από τις ρίζες του βαθμού %% 2 %% και %% από 3 %%. Από το μικρότερο συνολικό πολλαπλό αριθμό %% 2 %% και %% 3 %% είναι %% 6 %%, τότε αυτό το ενσωματωμένο είναι ο ενσωματωμένος τύπος %% \\ \\ r (x, \\ sqrt (x)) \\ mathrm (d) x %% και μπορεί να εξορθολογιστεί αντικαθιστώντας το %% \\ sqrt (x) \u003d t %%. Τότε %% x \u003d t ^ 6, \\ mathrm (d) x \u003d 6t \\ mathrm (d) t, \\ sqrt (x) \u003d t ^ 3, \\ sqrt (x) \u003d t ^ 2 %%. Κατά συνέπεια, $$ \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) \u003d \\ int \\ frac (6t ^ 5 \\ mathrm (d) t) (t ^ 3 + T ^ 2) \u003d 6 \\ int \\ frac (t ^ 3) (t + 1) \\ mathrm (d) t. $$ Δημιουργία %% t + 1 \u003d z, \\ mathrm (d) t \u003d \\ mathrm (d) z, z \u003d t + 1 \u003d \\ sqrt (x) + 1 %% και $$ \\ Begin (Array) (LL ) \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) δ \u003d 6 \\ int \\ frac ((z-1) ^ 3) (z) \\ mathrm (d) T \u003d \\\\ & \u003d 6 \\ int z ^ 2 dz -18 \\ int z \\ mathrm (d) z + 18 \\ int \\ mathrm (d) z -6 \\ frac (\\ mathrm (d) z) (z ) \u003d \\\\ & \u003d 2z ^ 3 - 9 z ^ 2 + 18z -6 \\ ln | z | + C \u003d \\\\ \\ \u003d 2 \\ αριστερά (\\ sqrt (x) + 1 \\ δεξιά) ^ 3 - 9 \\ αριστερά (\\ sqrt (x) + 1 \\ δεξιά) ^ 2 + \\\\ & + ~ 18 \\ αριστερά ( \\ SQRT (X) + 1 \\ Δεξιά) - 6 \\ LN \\ Αριστερά | \\ SQRT (Χ) + 1 \\ Δεξιά | + C \\ End (Array) $$

Τα ολοκληρώματα του τύπου %% \\ int r (x, \\ sqrt [n] (x)) \\ mathrm (d) x %% είναι μια ειδική περίπτωση κλασματικών γραμμικών παράλογων, δηλ. ολοκλήρωμα του εντύπου %% \\ displayStyle \\ int r \\ αριστερά (x, \\ sqrt [n] (\\ dfrac (ax + b) (cd + d)) \\ σωστό) \\ mathrm (d) x %%, όπου %% Ad - bc \\ neq 0 %%, η οποία επιτρέπουν τον εξορθολογισμό αντικαθιστώντας τη μεταβλητή %% T \u003d \\ sqrt [n] (\\ dfrac (ax + b) (cd + d)) %%, τότε %% x \u003d \\ dfrac ( Dt ^ n - b) (a - ct ^ n) %%. Τότε $$ \\ mathrm (d) x \u003d \\ frac (n t ^ (n - 1) (ad - bc)) (\\ αριστερά) ^ 2) \\ mathrm (d) t. $$.

Παράδειγμα 2.

Βρείτε το %% \\ displayStyle \\ int \\ sqrt (\\ dfrac (1 -x) (1 + x)) \\ dfrac (\\ mathrm (d) x) (x + 1) %%.

Δημιουργία %% t \u003d \\ sqrt (\\ dfrac (1 -x) (1 + x)) %%, τότε %% x \u003d \\ dfrac (1 - t ^ 2) (1 + t ^ 2) %%, $$ \\ Beach (array) (l) \\ mathrm (d) x \u003d - \\ frac (4t \\ mathrm (d) t) (\\ αριστερά (1 + t ^ 2 \\ δεξιά) ^ 2), \\\\ 1 + x \u003d \\ FRAC (2) (1 + T ^ 2), \\\\ \\ Frac (1) (x + 1) \u003d \\ Frac (1 + T ^ 2) (2). \\ End (Array) $$ Currenture $$ \\ Begin (Array) (L) \\ INT \\ SQRT (\\ DFRAC (1 -x) (1 + x)) \\ Frac (\\ mathrm (d) x) (x + 1 ) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (t (1 + t ^ 2)) (2) \\ αριστερά (- \\ frac (4t \\ mathrm (d) t) (\\ αριστερά (1 + t ^ 2 \\ δεξιά) ^ 2) \\ Right) \u003d \\\\ \u003d -2 \\ int \\ frac (t ^ 2 \\ mathrm (d) t) (1 + t ^ 2) \u003d \\\\ \u003d -2 \\ int \\ mathrm (d) t + 2 \\ int \\ Frac (\\ mathrm (d) t) (1 + t ^ 2) \u003d \\\\ \u003d -2T + \\ t + c \u003d + + c \u003d \\\\ \u003d -2 \\ sqrt (\\ dfrac (1 -x) (1 + x)) + \\ κείμενο (arctg) ~ \\ sqrt (\\ dfrac (1 -x) (1 + x)) + C. \\ end (Array) $$$

Εξετάστε τα ολοκληρώματα του εντύπου %% \\ int r \\ αριστερά (x, \\ sqrt (ax ^ 2 + bx + c) \\ lews) \\ mathrm (d) x %%. Στις απλούστερες περιπτώσεις, τέτοια ολοκληρώματα μειώνονται σε πίνακες, εάν μετά την κατανομή ενός πλήρους τετραγώνου για να αντικαταστήσουν τις μεταβλητές.

Παράδειγμα 3.

Βρείτε το ενσωματωμένο %% \\ displayStyle \\ int \\ dfrac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x ^ 2 + 4x + 5)) %%.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι %% x ^ 2 + 4x + 5 \u003d (x + 2) ^ 2 + 1 %%, θα πάρουμε το %% t \u003d x + 2, \\ mathrm (d) x \u003d \\ mathrm (d) t %%% , Τότε $$ \\ Begin (Array) (LL) \\ Int \\ Frac (\\ Mathrm (D) x) (\\ SQRT (x ^ 2 + 4x + 5) & \u003d \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) t ) (\\ Sqrt (t ^ 2 + 1)) \u003d \\\\ \\ \\ ln \\ αριστερά | t + \\ sqrt (t ^ 2 + 1) \\ σωστά | + C \u003d \\\\ \\ \u003d \\ L Αριστερά | x + 2 + \\ sqrt (x ^ 2 + 4x + 5) \\ Δεξιά | + C. \\ End (Array) $$

Περισσότερο Σύνθετες περιπτώσεις Για να βρείτε τα ολοκληρώματα της φόρμας %% \\ int r \\ αριστερά (x, \\ sqrt (ax ^ 2 + bx + c) \\ lews) \\ mathrm (d) x %% χρησιμοποιούνται

Αυτή η παράγραφος θα εξετάσει τη μέθοδο ενσωμάτωσης ορθολογικών λειτουργιών. 7.1. Σύντομες πληροφορίες Σε λογικές λειτουργίες της απλούστερης ορθολογικής λειτουργίας είναι ένας βαθμός πολυωνυμικού TI, δηλ. Λειτουργία της φόρμας όπου - έγκυρες σταθερές, με A0 F 0. Το πολυωνυμικό QN (Χ), στο οποίο ο συντελεστής Α0 \u003d 1 ονομάζεται ο ανωτέρω. Ο πραγματικός αριθμός Β ονομάζεται ρίζα του πολυωνυμικού QN (z), αν q "(b) \u003d 0. Είναι γνωστό ότι κάθε πολυώνυμο qn (x) με έγκυρους συντελεστές Ο μόνος τρόπος αποσυντίθεται σε έγκυρα εργοστάσια του είδους όπου το P, Q είναι πραγματικοί συντελεστές και οι τετραγωνικοί πολλαπλασιαστές δεν έχουν πραγματικές ρίζες και, ως εκ τούτου, απαίσυτες σε πραγματικούς γραμμικούς πολλαπλασιαστές. Συνδυάζοντας τους ίδιους πολλαπλασιαστές (αν υπάρχουν) και πιστεύοντας, για απλότητα, το πολυωνυμικό QN (Χ) που δίδεται, μπορεί να χυθεί σε πολλαπλασιαστές στη φόρμα όπου - φυσικοί αριθμοί. Δεδομένου ότι ο βαθμός πολυωνυμικού QN (x) είναι ίσος με το n, τότε το άθροισμα όλων των δεικτών Α, / 3, ..., και, διπλωμένο με το διπλασιασμένο άθροισμα όλων των δεικτών, ..., C, ίση με P: ρίζα και το πολυώνυμο ονομάζεται απλή ή εφάπαξ αν a \u003d 1, και πολλαπλά, εάν a\u003e 1. Ο αριθμός Α ονομάζεται ρίζα της ρίζας Α. Το ίδιο ισχύει και για άλλες πολυάριθμες ρίζες. Η ορθολογική λειτουργία F (x) ή ένα ορθολογικό κλάσμα ονομάζεται λόγος δύο πολυώνμων και υποτίθεται ότι τα πολυώνυμα του RT (x) και qn (x) δεν έχουν κοινούς παράγοντες. Το ορθολογικό κλάσμα καλείται σωστό εάν ο βαθμός πολυώνυμου που στέκεται στον αριθμητή είναι μικρότερο από τον βαθμό πολυώνυμου που στέκεται στον παρονομαστή, δηλ. Εάν το m p, τότε το ορθολογικό κλάσμα ονομάζεται λανθασμένο και σε αυτή την περίπτωση, διαιρώντας τον αριθμητή στον παρονομαστή σύμφωνα με τον κανόνα της διαίρεσης των πολυώνμων, μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή όπου - μερικά πολυώνυμα, και ^^ είναι η σωστή Ορθολογική λήψη. Παράδειγμα 1. Ένα ορθολογικό κλάσμα είναι ένα εσφαλμένο κλάσμα. Κοινή χρήση της "γωνίας", επομένως θα έχουμε. Εδώ. Και το σωστό κλάσμα. Ορισμός. Τα απλούστερα (ή στοιχειώδη) κλάσματα ονομάζονται λογικά κλάσματα των ακόλουθων τεσσάρων τύπων: όπου - Πραγματικοί αριθμοί, Ο Κ είναι ένας φυσικός αριθμός, περισσότερο ή ίσος με 2, και το τετράγωνο τρίκονο X2 + RX + Q δεν έχει έγκυρες ρίζες, έτσι ώστε -2 _2 του διακριτικού του στην άλγεβρα αποδεικνύεται από το ακόλουθο θεωρητικό. Θεώρημα 3. Το σωστό ορθολογικό κλάσμα με έγκυρους συντελεστές, ο παρονομαστής του οποίου ο QN (x) έχει τη μορφή αποσυντίθεται ο μόνος τρόπος με το ποσό των απλούστεων κλάδων όσον αφορά τον κανόνα των ορθολογικών λειτουργιών η υποκατάσταση του Euler σε αυτή την αποσύνθεση είναι μερικές έγκυρες σταθερές , μερικά από τα οποία μπορεί να είναι μηδέν. Για να βρούμε αυτές τις σταθερές, το δικαίωμα της ισότητας (i) οδηγεί σε έναν κοινό παρονομαστή και στη συνέχεια εξισώνει τους συντελεστές με τους ίδιους βαθμούς Χ στους αριθμητικούς αριθμούς του αριστερού και του δεξιού τμήματος. Αυτό δίνει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων από τις οποίες βρίσκονται οι απαιτούμενες σταθερές. . Αυτή η μέθοδος εύρεσης άγνωστων σταθερών ονομάζεται μέθοδος αβέβαιων συντελεστών. Μερικές φορές είναι πιο βολικό να εφαρμόζεται μια άλλη μέθοδος εύρεσης άγνωστων σταθερών, η οποία μετά την εξισορρόπηση των αριθμητών, η ταυτότητα επιτυγχάνεται σε σχέση με το Χ, στην οποία το όρισμα Χ δίνει μερικές τιμές, για παράδειγμα, τις τιμές των ριζών, που προκύπτουν σε εξισώσεις για την εξεύρεση σταθερών. Είναι ιδιαίτερα βολικό εάν ο παρονομαστής Q "(x) έχει μόνο έγκυρες απλές ρίζες. Παράδειγμα 2. Καθορίστε το απλούστερο ορθολογικό κλάσμα κλάσμα αυτό το κλάσμα είναι σωστό. Αποφασίστε τον παρονομαστή στους ψηλούς και τις ρίζες του παρονομαστή είναι έγκυρες και διαφορετικές, τότε με βάση τον τύπο (1), η αποσύνθεση του κλάσματος στην απλούστερη θα έχει τον τύπο της κίνησης της δεξιάς τιμής "του Αυτή η ισότητα στον γενικό παρονομιστή και εξισορροπεί τους αριθμούς και τα αριστερά και τα δεξιά μέρη της, λαμβάνουμε ταυτότητα ή άγνωστο συντελεστή Α. 2;, θα βρούμε με δύο τρόπους. Πρώτο ξόρκι. Συντελεστές εξισορρόπησης με τους ίδιους βαθμούς X, T.V. με (ελεύθερο μέλος), και τα αριστερά και τα δεξιά μέρη της ταυτότητας, παίρνουμε Γραμμικό σύστημα Εξισώσεις για την εξεύρεση άγνωστων συντελεστών Α, Β, Γ: Το σύστημα αυτό έχει μια ενιαία λύση με τη δεύτερη θέση. Tech καθώς οι ρίζες του παρονομαστή έσπασαν σε μένα 0, παίρνουμε 2 \u003d 2α, από όπου A * 1. g 1, παίρνουμε -1 * -in, από όπου 5 * 1; x i 2, παίρνουμε 2 \u003d 2c. Από όπου C "1 και η επιθυμητή αποσύνθεση έχει τη μορφή 3. Επαναφέρει το απλούστερο ορθολογικό κλάσμα 4 αποσυντίθεται ένα πολυώνυμο και το ENAEVTVLA για τους πολλαπλασιαστές :. Ο παρονομαστής έχει δύο διαφορετικές ρίζες dvsin: x \\ \u003d 0 πολλαπλότητα πολλαπλότητας 3. Επομένως, η αποσύνθεση αυτού του κλάσματος δεν είναι η απλούστερη για να έχει την εμφάνιση της δεξιάς πλευράς στον γενικό παρονομαστή, θα βρούμε ή την πρώτη μέθοδο. Εξισώντας τους συντελεστές με τους ίδιους βαθμούς Χ στα αριστερά και τα δεξιά μέρη της τελευταίας ταυτότητας. Λαμβάνουμε ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων. Αυτό το σύστημα έχει μία ενιαία λύση και η επιδιωκόμενη αποσύνθεση θα είναι η δεύτερη μέθοδος. Στην προκύπτουσα ταυτότητα, υποθέτουμε το x \u003d 0, λαμβάνουμε 1 a a2 ή a2 \u003d 1. Το πεδίο * Gay x \u003d -1, παίρνουμε -3 I C), ή BJ I -3. Όταν υποκαθιστούν τις τιμές που βρέθηκαν των συντελεστών Α και Β) και η ταυτότητα θα πάρει τη φόρμα ή θα πιστεύει το x \u003d 0, και στη συνέχεια x \u003d -i. Βρίσκουμε ότι \u003d 0, b2 \u003d 0 και. Έτσι, σε \\ \u003d 0. Έτσι, και πάλι λαμβάνουμε ένα παράδειγμα 4. Για να αποσυντεθεί στο απλούστερο κλάσμα, ο ορθολογικός κλάσμα 4 παρονομαστής του κλάσματος δεν έχει έγκυρες ρίζες, δεδομένου ότι η λειτουργία X2 + 1 δεν προσβάλλει το μηδέν. Δεν έχει σημασία τι τιμές x. Ως εκ τούτου, η αποσύνθεση στο απλούστερο κλάσμα πρέπει να ρίξει μια ματιά από εδώ που έχουμε ή. Εξισορροπώντας τους συντελεστές στους συντομευμένους βαθμούς Χ στα αριστερά και τα δεξιά μέρη της τελευταίας ισότητας, θα έχουμε από πού θα βρούμε και, ως εκ τούτου, πρέπει να σημειωθεί ότι σε ορισμένες περιπτώσεις η αποσύνθεση στο απλούστερο κλάσμα μπορεί να ληφθεί ταχύτερη και ευκολότερη , ενεργώντας με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, χωρίς να χρησιμοποιεί τη μέθοδο αβέβαιων συντελεστών. Για παράδειγμα, για να αποκτήσετε αποσύνθεση κλάσεων στο Παράδειγμα 3, μπορείτε να προσθέσετε και να αφαιρέσετε στον αριθμητή SK2 και να κάνετε ένα τμήμα, αφού μειώνεται παρακάτω. 7.2. Η ενσωμάτωση των απλούστεων κλασμάτων, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οποιοδήποτε εσφαλμένο ορθολογικό κλάσμα μπορεί να αντιπροσωπεύεται ως άθροισμα κάποιου πολυωνυμικού και κατάλληλου ορθολογικού κλάσματος (§7) και αυτή η αναπαράσταση είναι μοναδική. Η ενσωμάτωση του πολυωνυμικού δεν αντιπροσωπεύει δυσκολίες, οπότε εξετάστε το ζήτημα της ενσωμάτωσης του σωστού ορθολογικού κλάσματος. Δεδομένου ότι οποιοδήποτε σωστό ορθολογικό κλάσμα υπάρχει υπό τη μορφή του αθροίσματος των απλούστεων κλάδων, η ενσωμάτωσή της μειώνεται στην ενσωμάτωση των απλούστεων κλάδων. Σκεφτείτε τώρα το ζήτημα της ολοκλήρωσής τους. III. Για να βρείτε το ενσωματωμένο από το απλούστερο κλάσμα του τρίτου τύπου, επισημαίνουμε τα τετραγωνικά τριών τεμαχισμένα κλαδιά στην πλατεία: από τον δεύτερο όρο, τότε το θέτουμε ίσο με το A2, όπου και στη συνέχεια να υποκαταστήσει. Στη συνέχεια, δεδομένης των γραμμικών ιδιοτήτων του ολοκληρώματος, βρίσκουμε: Παράδειγμα 5. Βρείτε το ολοκληρωμένο 4 η ολοκληρωμένη λειτουργία είναι το απλούστερο κλάσμα του τρίτου τύπου, αφού το τετράγωνο τρία μειώνεται το x1 + ah + 6 δεν έχει έγκυρες ρίζες (διακρίσεις του Είναι αρνητικό:, και στον αριθμητή, είναι ο πρώτος βαθμός στον αριθμό. Επομένως, το κάνουμε ως εξής: 1) Διαθέτουμε ένα πλήρες τετράγωνο στον παρονομαστή 2) Κάνουμε μια υποκατάσταση (εδώ 3) στην * ODIM ολοκληρωμένη για την εύρεση το ενσωματωμένο από το απλούστερο κλάσμα τέταρτου τύπου, όπως παραπάνω,. Στη συνέχεια, λαμβάνουμε το ενσωματωμένο στο δεξιό μέρος που δηλώνεται μέσω L και το μετατρέπουμε ως εξής: Ολοκληρωμένο στη δεξιά πλευρά ενσωματώνεται σε μέρη, πιστεύοντας από οποιονδήποτε ή ενσωματώνει ορθολογικές λειτουργίες. Σύντομες πληροφορίες σχετικά με τις ορθολογικές λειτουργίες ενσωματώνοντας τα απλούστερα κλάσματα γενική ολοκλήρωση περιπτώσεων των παράλογων λειτουργιών Η πρώτη υποκατάσταση του Euler Η δεύτερη υποκατάσταση του Euler είναι η τρίτη υποκατάσταση Euler πήραμε τον λεγόμενο επαναλαμβανόμενο τύπο που σας επιτρέπει να βρείτε το ενσωματωμένο JK για οποιοδήποτε K \u003d 2, 3, .... Πράγματι, ο ενσωματωμένος J \\ είναι πίνακας: πιστεύοντας στον επαναλαμβανόμενο τύπο, θα βρούμε τη γνώση και την πίστη l \u003d 3, μπορούμε εύκολα να βρούμε jj και ούτω καθεξής. Στο τελικό αποτέλεσμα, αντικαθιστώντας παντού αντί για t και και τις εκφράσεις τους μέσω των x και των συντελεστών P και Q, λαμβάνουμε για την αρχική ολοκλήρωση μιας έκφρασης του Agerser X και των δεδομένων των αριθμών M, LH, P, Q. Παράδειγμα 8. Ενσωματωμένη λειτουργία Neji "Η ολοκληρωμένη λειτουργία είναι το απλούστερο κλάσμα του τέταρτου τύπου, καθώς οι διακριτικές διακρίσεις ενός τετραγωνικού τριών μειωμένων είναι αρνητικές, δηλ. Σημαίνει ότι ο παρονομαστής των πραγματικών ριζών δεν έχει, και ο αριθμητής είναι ένα πολυώνυμο 1ου βαθμού. 1) Διαθέτουμε τον παρονομαστή Full Square 2) Κάνουμε μια υποκατάσταση: το ολοκλήρωμα θα λάβει τη μορφή: πιστεύοντας στην επαναλαμβανόμενη φόρμουλα * \u003d 2, a3 \u003d 1. Θα έχουμε και, ως εκ τούτου, το επιθυμητό RVVV ενσωματωμένο επιστρέφει στο Μεταβλητή X, θα λάβουμε τελικά 7.3. Γενική περίπτωση από τα αποτελέσματα του PP. 1 και 2 της παρούσας παραγράφου ακολουθεί άμεσα ένα σημαντικό θεώρημα. Θεώρημα! 4. Υπάρχει πάντα αόριστο ενιαίο από οποιαδήποτε ορθολογική λειτουργία (σε διαστήματα στα οποία ο δέντρος του κλάσματος Q "(x) f 0) εκφράζεται μέσω ενός πεπερασμένου αριθμού στοιχειώδους λειτουργιών, δηλαδή ένα αλγεβρικό άθροισμα, των οποίων τα μέλη μπορούν Μόνο μινανανά, ορθολογικά κλάσματα, φυσικοί λογαρίθμοι και arctshantes. Έτσι, για να βρούμε ένα αόριστο ενσωματωμένο από μια κλασματική ορθολογική λειτουργία, θα πρέπει να ακολουθήσετε το δρόμο: 1) Εάν το λογικό κλάσμα είναι λανθασμένο, τότε η διαίρεση του αριθμητή στον παρονομαστή διακρίνεται από ένα ακέραιο μέρος, t. μι. Αυτή η λειτουργία αντιπροσωπεύεται ως το άθροισμα του πολυωνυμικού και του σωστού ορθολογικού κλάσματος. 2) Στη συνέχεια ο παρονομαστής του κατάλληλου κλάσματος που αποκτήθηκε αποσυντίθεται στο προϊόν γραμμικών και τετραγωνικών πολλαπλασιαστών. 3) Αυτό το σωστό κλάσμα αποσυντίθεται στο άθροισμα των απλούστερων κλάσματα. 4) Χρησιμοποιώντας τη γραμμικότητα της ενσωμάτωσης και της σειράς τύπων 2, υπάρχουν ενσωματώματα από κάθε περίπλοκο ξεχωριστά. Παράδειγμα 7. Βρείτε το ενσωματωμένο M αφού ο παρονομαστής είναι ένα πολυώνυμο ενός τρίτου τιμονιού, τότε η ενσωμάτωση είναι λάθος πυροβολισμό. Διαθέτουμε ολόκληρο το μέρος σε αυτό: Επομένως, θα έχουμε. Ο παρονομαστής του σωστού κλάσματος έχει τελική έγκυρη ρίζα: και επομένως η αποσύνθεση του στο απλούστερο κλάσμα έχει μια ματιά από εδώ που βρίσκουμε. Δίνοντας το επιχείρημα στις τιμές ίση με τις ρίζες του παρονομαστή, θα βρούμε από αυτή την ταυτότητα ότι: επομένως, το επιθυμητό ολοκληρωμένο θα είναι ίσο με το παράδειγμα 8. Βρείτε το ενσωματωμένο 4 Η λειτουργία Integland είναι ο δεξιός πυροβολισμός, ο παρονομαστής, ο παρονομαστής του οποίου έχει δύο διαφορετικές έγκυρες ρίζες: x - Σχετικά με την πολλαπλότητα 1 και x \u003d 1 πολλαπλότητα 3, έτσι ώστε οι εκρήξεις της ενσωμάτωσης να λειτουργούν με το απλούστερο κλάσμα έχουν τη μορφή που οδηγεί τη δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας στον γενικό παρονομιστή και μειώνοντας και τα δύο μέρος της ισότητας στο Estest ο παρονομαστής, λαμβάνουμε ή. Εξισορπίζουμε τους συντελεστές στους ίδιους βαθμούς X στα αριστερά και δεξιά μέρη αυτής της ταυτότητας: Βρίσκουμε από εδώ. Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν των συντελεστών στην αποσύνθεση, θα έχουμε ενσωμάτωση, την εύρεση: Παράδειγμα 9. Βρείτε το ενσωματωμένο 4 ο Denomoter δεν είναι έγκυρες ρίζες. Ως εκ τούτου, η αποσύνθεση στο απλούστερο κλάσμα της ολοκληρωμένης λειτουργίας είναι η εμφάνιση από εδώ ή εξισώνοντας τους συντελεστές με τους ίδιους βαθμούς X στα αριστερά και δεξιά μέρη αυτής της ταυτότητας, θα έχουμε από πού θα βρούμε και, ως εκ τούτου, α παρατήρηση. Στο παραπάνω παράδειγμα, η λειτουργία Integland μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα των απλούστεων κλάδων με απλούστερο τρόπο, δηλαδή σε έναν αριθμητή, διαθέτουμε έναν κάδο που στέκεται στο Znamethgla και στη συνέχεια παράγει το τμήμα εδάφους: §8. Ενσωμάτωση των παράλογων λειτουργιών Η λειτουργία του είδους είναι RT και £; "Ο τύπος των τύπων βαθμών, αντίστοιχα, από τις μεταβλητές της Ι" 2, ... ονομάζεται reazonal λειτουργία από ubu2j ... για παράδειγμα, ένα δεύτερο βαθμό Το πολυώνυμο από δύο μεταβλητές και \\ και и2 έχει θέα όπου μερικές πραγματικές μόνιμες και παράδειγμα 1, η λειτουργία είναι μια ορθολογική λειτουργία από τις μεταβλητές g και y, καθώς αντιπροσωπεύει την αναλογία του πολυώνυμου ενός τρίτου βαθμού και το πολυώνυμο του πέμπτου πτυχίο και το χτύπημα των tees δεν είναι. Στην περίπτωση που οι μεταβλητές, με τη σειρά τους, είναι οι λειτουργίες μιας μεταβλητής W: η λειτουργία αυτή] ονομάζεται μια λογική λειτουργία από τις λειτουργίες του παραδείγματος. Το Ίδρυμα είναι μια ορθολογική λειτουργία από το G και RLUDIKVLV PRIVER 3. Η λειτουργία του είδους δεν είναι μια ορθολογική λειτουργία από το x και ριζοσπαστικό u / g1 + 1, αλλά είναι μια λογική λειτουργία από τις λειτουργίες ως παραδείγματα δείχνουν, τα ολοκληρώματα από τις παράλογες λειτουργίες δεν είναι Πάντα εκφράζεται Στοιχειώδεις λειτουργίες . Για παράδειγμα, οι κοινές ενέργειες στις εφαρμογές δεν εκφράζονται μέσω στοιχειωδών λειτουργιών. Αυτά τα ολοκληρώματα ονομάζονται ελλειπτικά ολοκληρώματα της πρώτης και της δεύτερης γενιάς, αντίστοιχα. Εξετάστε τις περιπτώσεις όπου η ενσωμάτωση των παράλογων λειτουργιών μπορεί να μειωθεί χρησιμοποιώντας ορισμένες υποκαταστάσεις στην ενσωμάτωση των λογικών λειτουργιών. 1. Ας υποχρεωθεί να βρείτε το ολοκλήρωμα όπου r (x, y) είναι η ορθολογική λειτουργία των παραλαβών x και y. m £ 2 - ένας φυσικός αριθμός? Α, 6, S, D - έγκυρες σταθερές που ικανοποιούν την κατάσταση ADC ^ O (με AD - BE \u003d 0 Οι συντελεστές Α και Β είναι ανάλογοι με τους συντελεστές των C και D, και στην πραγματικότητα ότι δεν εξαρτώνται. σημαίνει Αυτό στην περίπτωση αυτή η λειτουργία Integland θα είναι μια ορθολογική λειτουργία της μεταβλητής X, η ενσωμάτωση του οποίου θεωρήθηκε προηγουμένως). Θα δημιουργήσουμε μια αντικατάσταση για μια μεταβλητή σε αυτό το ενσωματωμένο, το βάλουμε από εδώ εκφράστε τη μεταβλητή x μέσω μιας νέας μεταβλητής που έχουμε x \u003d - ορθολογική λειτουργία από το t. Στη συνέχεια, βρίσκουμε ή, μετά από μια απλούστευση, επομένως, όπου το L1 (t) είναι μια ορθολογική λειτουργία από *, έτσι ώστε η ορθολογική λειτουργία από την ορθολογική λειτουργία, καθώς και το προϊόν των λογικών λειτουργιών, είναι λογικές λειτουργίες. Μπορούμε να ενσωματώσουμε τις ορθολογικές λειτουργίες. Αφήστε τότε το επιθυμητό ολοκληρωμένο θα είναι ίσο με. Ενσωματωμένο 4 Ενσωματωμένο * Η λειτουργία είναι μια λογική λειτουργία από. Ως εκ τούτου, αναλαμβάνουμε t \u003d τότε ενσωματώνοντας τις ορθολογικές λειτουργίες. Σύντομες πληροφορίες σχετικά με τις ορθολογικές λειτουργίες ενσωματώνοντας τα απλούστερα κλάσματα. Γενική περίπτωση που ενσωματώνουν τις παράλογες λειτουργίες Η πρώτη υποκατάσταση του Euler Η δεύτερη υποκατάσταση της Euler είναι η τρίτη υποκατάσταση του Euler με αυτόν τον τρόπο, λαμβάνουμε πρωτογενή 5. Βρείτε Το ενσωματωμένο του συνολικού παρονομαστή κλασματικών βαθμών Χ είναι 12, έτσι ενσωματωμένο η λειτουργία μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή 1 _ 1_, από όπου είναι σαφές ότι είναι μια λογική λειτουργία από: το θεωρούμε. Συνεπώς, θεωρούμε τους ενσωματωμένους της μορφής όπου η λειτουργία προσκόλλησης είναι τέτοια ώστε, αντικαθιστώντας την ρίζα ριζοσπαστικής \\ / AH2 + B), λαμβάνουμε τη λειτουργία R (x) y) - ορθολογική σε σχέση με τα δύο επιχειρήματα x και y. Αυτό το ενσωματωμένο μειώνεται στο αναπόσπαστο της ορθολογικής λειτουργίας μιας άλλης μεταβλητής υποκατάστασης της EULER. 8.1. Η πρώτη υποκατάσταση του Euler. Αφήστε τον συντελεστή A\u003e 0. Το βάζουμε ή από εδώ βρίσκουμε το x ως ορθολογική λειτουργία από και έτσι, η καθορισμένη υποκατάσταση εκφράζεται λογικά μέσω *. Ως εκ τούτου, θα έχουμε πού η παρατήρηση. Η πρώτη υποκατάσταση του Euler μπορεί επίσης να ληφθεί ως παράδειγμα 6. Βρείτε ένα αναπόσπαστο θα βρεθεί επομένως θα έχουμε μια αντικατάσταση DX της Euler, δείξτε ότι σε 8. 2. Η δεύτερη υποκατάσταση του Euler Ας τριών από τα AH2 + L + C έχει διάφορες έγκυρες ρίζες Ι] και x2 (ο συντελεστής μπορεί να έχει οποιοδήποτε σημάδι). Σε αυτή την περίπτωση, υποθέτουμε ότι λαμβάνουμε ως Χ, DXN Υ / ΑΗ2 + BE + ς εκφράζονται λογικά μέσω Τ, τότε το αρχικό ολοκληρωμένο μειώνεται στο αναπόσπαστο της ορθολογικής λειτουργίας, δηλαδή, όπου είναι η εργασία. Χρησιμοποιώντας την πρώτη αντικατάσταση του Euler, δείξτε ότι - η ορθολογική λειτουργία από το t. Παράδειγμα 7. Λειτουργία DX M NEJI] - x1 έχει διάφορες έγκυρες ρίζες. Ως εκ τούτου, χρησιμοποιούμε τη δεύτερη αντικατάσταση του Eileele από εδώ, βρίσκουμε αντικαθιστώντας το ίδρυμα που βρίσκεται σε αυτό; V * Givl; Παίρνουμε 8.3. Το τρίτο στυλοειδές επιτρέπει στον συντελεστή C\u003e 0. Κάνουμε την αντικατάσταση της μεταβλητής, βάζοντας. Σημειώστε ότι για να φέρει το ενσωματωμένο στο αναπόσπαστο από την ορθολογική λειτουργία της πρώτης και δεύτερης υποκατάστασης της Euler. Στην πραγματικότητα, εάν οι διακριτικές B2 -4As\u003e 0, τότε οι ρίζες του τετραγώνου τριών δήθεν ΑΗ + Β) + με την έγκυρη και στην περίπτωση αυτή ισχύουν η δεύτερη υποκατάσταση του Euler. Εάν, τότε το σημάδι του ΑΗ2 + LH + C συμπίπτει με τον συντελεστή ένα σημάδι και, καθώς θα πρέπει να είναι θετικό, τότε a\u003e 0. Στην περίπτωση αυτή, ισχύει η πρώτη υποκατάσταση του Euler. Για να βρείτε τα ολοκληρωτικά του συγκεκριμένου παραπάνω, δεν είναι πάντοτε σκόπιμο να εφαρμοστούν οι υποκαταστάσεις του Euler, έτσι ώστε να μπορούν επίσης να βρουν άλλες μεθόδους ολοκλήρωσης που οδηγούν στο γκολ. Εξετάστε μερικά από αυτά τα ολοκληρώματα. 1. Για να βρείτε τα ολοκληρώματα του είδους, διακρίνεται από ένα τετράγωνο διάσπασης από την τετραγωνική τριών διαδρομών: όπου μετά την υποκατάσταση και λήψη όπου οι συντελεστές Α και Ρ έχουν διαφορετικά σημεία ή είναι και τα δύο θετικά. Όταν, καθώς και σε ένα\u003e 0 και το ολοκλήρωμα θα μειωθεί στον λογάριθμο, αν είναι στο Arksinus. Στο. Βρείτε το imectel 4 takakak τότε. Πιστεύοντας, παίρνουμε prmmmar 9. Βρείτε. Πιστεύθηκα το Χ -, θα έχουμε 2. το ολοκλήρωμα του είδους παρέχεται στον αναπόσπαστο από την παράγραφο 1 ως εξής. Λαμβάνοντας υπόψη ότι το παράγωγο () \u003d 2, το διαθέτουμε στον αριθμητή: 4 ανιχνεύει το παράγωγο της έκφρασης τροφοδοσίας στον αριθμητή. Δεδομένου ότι (x, θα έχουμε, λαμβάνοντας υπόψη το αποτέλεσμα του Παραδείγματος 9, 3. Τα ολοκληρώματα του Είδος όπου το R "(Χ) είναι ένα πολυωνυμικό βαθμό, μπορεί να βρεθεί με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών, ο οποίος έχει ως εξής. Ας υποθέσουμε ότι μια ισότητα είναι ένα παράδειγμα 10. Maith Integral όπου qn-i (s) -mnochargers (n - 1) -Το βαθμό με αβέβαιους συντελεστές: να βρεθούν άγνωστοι συντελεστές | διαφοροποίηση και των δύο τμημάτων (1): τότε η δεξιά πλευρά της ισότητας (2) οδηγεί σε έναν κοινό παρονομαστή ίσο με τον παρονομαστή της αριστερής πλευράς, δηλαδή y / ΑΗ2 + L + S, κοπή στο οποίο και τα δύο μέρη (2) θα λάβουν ταυτότητα και στα δύο μέρη των οποίων είναι πολυωνυμικοί βαθμοί σ. Εξισορροπώντας τους συντελεστές με τους ίδιους βαθμούς Χ στα αριστερά και τα δεξιά μέρη (3), λαμβάνουμε n + 1 των εξισώσεων από τις οποίες βρίσκουμε τους επιθυμητές συντελεστές J4 * (FC \u003d 0,1,2, ..., P). Αντικαθιστώντας τις τιμές τους στη δεξιά πλευρά (1) και την εξεύρεση του ενσωματωμένου + με τη λήψη μιας απάντησης για αυτό το ενσωματωμένο. Παράδειγμα 11. Βρείτε ένα αναπόσπαστο να καταχωρίσετε και τις δύο σουίτες ισότητας, θα έχουμε τη δεξιά πλευρά του γενικού παρονομαστή και θα μειωθούμε και τα δύο μέρη σε αυτήν, λαμβάνουμε ταυτότητα ή. Εξισορροπώντας τους συντελεστές με τους ίδιους βαθμούς Χ, θα έρθουμε στο σύστημα εξισώσεων από τις οποίες βρίσκουμε \u003d τότε βρίσκουμε το ολοκλήρωμα που βρίσκεται στο δεξιό μέρος της ισότητας (4): επομένως, το επιθυμητό ολοκληρωμένο θα είναι ίσο με

Τα ολοκληρώματα της φόρμας (M 1, N 1, M 2, N 2, ... - Αεριούστες). Σε αυτά τα ολοκληρωμένα, η ολοκληρωμένη λειτουργία είναι ορθολογική σε σχέση με τη μεταβλητή και τις ρίζες της ολοκλήρωσης από το x. Υπολογίζονται από την αντικατάσταση X \u003d TS, όπου ο S είναι ένας κοινός παρονομαστής κλάσεων, ... με μια τέτοια αντικατάσταση της μεταβλητής, όλες οι σχέσεις \u003d r 1, \u003d r 2, ... είναι ακέραιοι, δηλαδή το ενσωματωμένο είναι το ενσωματωμένο δίνεται σε μια λογική λειτουργία από τη μεταβλητή t:

Τα ολοκληρώματα της φόρμας (M 1, N 1, M 2, N 2, ... - Αεριούστες). Αυτά τα ολοκληρώματα της υποκατάστασης:

Όπου s είναι ένας κοινός παρονομαστής, ..., μειώνονται στην ορθολογική λειτουργία από τη μεταβλητή Τ.

Τα ολοκληρώματα της φόρμας για τον υπολογισμό του ενσωματωμένου I 1 υπογραμμίζουν το πλήρες τετράγωνο κάτω από το σημάδι της ρίζας:

Και εφαρμόζεται η υποκατάσταση:

Ως αποτέλεσμα, αυτό το ενσωματωμένο μειώνεται στον πίνακα:

Στον αριθμητή του ενσωματωμένου Ι 2, διακρίνεται η διαφορά της έκφρασης που στέκεται κάτω από το σημείο της ριζοσπαστικής ρίζας και αυτό το ενσωματωμένο αντιπροσωπεύεται ως το άθροισμα των δύο ολοκλήρων:

όπου το i 1 είναι το ενσωματωμένο παραπάνω.

Ο υπολογισμός του ενσωματωμένου Ι 3 μειώνεται στον υπολογισμό της υποκατάστασης INE 1:

Το ολοκλήρωμα του προσδιορισμού του υπολογισμού των ολοκληρωμάτων αυτού του είδους εξετάζεται στην προηγούμενη παράγραφο. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές τεχνικές για τον υπολογισμό τους. Εξετάστε μία από αυτές τις τεχνικές που βασίζονται στη χρήση τριγωνομετρικών υποκαταστάσεων.

Το τετράγωνο τρία μειώνει το AX 2 + BX + C απομονώνοντας το πλήρες τετράγωνο και η αντικατάσταση της μεταβλητής μπορεί να εκπροσωπείται με τη μορφή κατά κάποιο τρόπο, αρκεί να περιοριστούν οι τρεις τύποι ολοκλήρων:

Ενσωματωμένη υποκατάσταση

u \u003d kint (ή u \u003d kcost)

Έρχεται στο αναπόσπαστο της ορθολογικής λειτουργίας σε σχέση με το sint και το κόστος.

Ολοκλήρωμα της φόρμας (m, n, p є q, a, b є r). Τα υπό εξέταση ολοκλήρωμα, που ονομάζονται ολοκληρώματα από το διαφορικό BINOMA, εκφράζονται μέσω στοιχειωδών λειτουργιών μόνο στις ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:

1) Εάν p є z, εφαρμόζεται η υποκατάσταση:

όπου ο S είναι ο κοινός παρονομαστής των χρωμάτων m και n ·

2) Εάν το Ζ, η υποκατάσταση χρησιμοποιείται:

Όπου s - denomoter

3) Εάν το Z, εφαρμόζεται η υποκατάσταση:

Όπου s - denomoter

ο Σε απευθείας σύνδεση αριθμομηχανή Σερβίρεται για τον υπολογισμό των ολοκληρώσεων των παράλογων κλασμάτων του είδους, -.

Αφήνω - Ορθολογική λειτουργία από Αυτή η λειτουργία και, κατά συνέπεια, το αναπόσπαστο της ισοδυναμεί με την υποκατάσταση x \u003d t r, όπου ο R - ο χαμηλότερος πολλαπλοί αριθμοί R1, R2, ..., R n. Στη συνέχεια DX \u003d RT R -1 και ο ενσωματωμένος είναι μια λογική λειτουργία από το t. Ομοίως, εάν μια αποχαιρετισμένη έκφραση Υπάρχει μια λογική λειτουργία από , Η λειτουργία ενσωμάτωσης εξορθολογίζεται από την υποκατάσταση όπου το t είναι ο μικρότερος γενικός πολλαπλός αριθμός R1, R2, ..., R n. Στη συνέχεια, υποκαθιστώντας στην αρχική έκφραση, λαμβάνουμε μια λογική λειτουργία από το t.

Παράδειγμα. Υπολογίζω. Οι μικρότεροι συνολικοί πολλαπλοί αριθμοί 2 και 3 είναι ίσοι με 6. Επομένως, κάνουμε την αντικατάσταση x \u003d t 6. Τότε dx \u003d 6t 5 dt και

Ενσωμάτωση των παράλογων λειτουργιών

Η τάξη των παράλογων λειτουργιών είναι ευρεία, επομένως ο καθολικός τρόπος ενσωμάτωσης τους δεν μπορεί να είναι. Σε αυτό το άρθρο, θα προσπαθήσουμε να επισημάνουμε τους πιο χαρακτηριστικούς τύπους παράλογων ολοκληρωτών και να τα θέσουμε σε συμμόρφωση με τη μέθοδο ολοκλήρωσης.

Υπάρχουν περιπτώσεις κατά την κατάλληλη χρήση της μεθόδου σύνοψης ενός διαφορικού σημείου. Για παράδειγμα, όταν βρίσκουν αβέβαιες ολοκληρώσεις του είδους, όπου Π. - λογικό κλάσμα.

Παράδειγμα.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο .

Απόφαση.

Δεν είναι δύσκολο να το παρατηρήσετε. Ως εκ τούτου, συνοψίζουμε το σημάδι της διαφοράς και χρησιμοποιούμε έναν πίνακα πρωτόγονων:

Απάντηση:

.

13. κλασματική γραμμική υποκατάσταση

Ολοκληρωμένα ολοκληρώματα του τύπου όπου A, B, C, D είναι έγκυροι αριθμοί, Α, Β, ..., D, G - φυσικοί αριθμοί, μειώνονται στα ολοκληρωτικά από μια ορθολογική λειτουργία με τον κατάλογο - το μικρότερο γενικό των πολλαπλών παρονομαστές κλάσεων

Πράγματι, από την αντικατάσταση

δηλ. Χ και DX εκφράζονται μέσω ορθολογικών λειτουργιών από το t. Στην περίπτωση αυτή, κάθε βαθμός κλάσματος εκφράζεται μέσω μιας ορθολογικής λειτουργίας από το t.

Παράδειγμα 33.4.. Βρείτε αναπόσπαστο

Λύση: Ο μικρότερος γενικός είναι οι πολλαπλές παρονομαστές των κλάσεων 2/3 και 1/2 είναι 6.

Επομένως, υποθέτουμε το x + 2 \u003d t 6, x \u003d t 6 -2, dx \u003d 6t 5 dt, επομένως,

Παράδειγμα 33.5. Καθορίστε την υποκατάσταση για την εξεύρεση ολοκληρώσεων:

Λύση: Για i 1 υποκατάσταση x \u003d t 2, για υποκατάσταση i 2

14. τριγωνομετρική υποκατάσταση

Τύπος ολοκλήρωμα οδηγούνται σε ολοκληρωτικά από λειτουργίες που εξαρτώνται από τις λειτουργικές λειτουργίες από τις τριγωνομετρικές λειτουργίες χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες τριγωνομετρικές υποκαταστάσεις: x \u003d και το Sint για το πρώτο ολοκληρωμένο. x \u003d ένα TGT για το δεύτερο ενσωματωμένο. για το τρίτο αναπόσπαστο.

Παράδειγμα 33.6. Βρείτε αναπόσπαστο

Λύση: Βάλτε X \u003d 2 SIN T, DX \u003d 2 COS TDT, T \u003d ARCSIN X / 2. Τότε

Εδώ, η ολοκληρωμένη λειτουργία είναι μια ορθολογική λειτουργία σε σχέση με το Χ και το Επισημαίνοντας ένα πλήρες τετράγωνο κάτω από την ρίζα και την υποκατάσταση, τα ολοκληρώματα του καθορισμένου τύπου δίδονται στα ολοκληρωτικά του τύπου, δηλ. Στους τύπους ολοκληρωμένων Αυτά τα ολοκληρωτικά μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας κατάλληλες τριγωνομετρικές υποκαταστάσεις.

Παράδειγμα 33.7. Βρείτε αναπόσπαστο

Λύση: Επειδή το Χ 2 + 2Χ-4 \u003d (χ + 1) 2-5, κατόπιν Χ + 1 \u003d Τ, Χ \u003d Τ-1, DX \u003d DT. ως εκ τούτου Βάζω

Σημείωση: Πληκτρολογήστε αναπόσπαστο Είναι comuroRack για να βρείτε τη χρήση της υποκατάστασης x \u003d 1 / t.

15. Ένα συγκεκριμένο αναπόσπαστο

Ας υποθέσουμε ότι η λειτουργία έχει οριστεί στην κοπή έχει ένα πρωτόγονο. Αναπηρία Ορισμένα ενσωματωμένα Οι λειτουργίες για την κοπή είναι δηλώνονται. Ετσι,

Η διαφορά είναι γραμμένη με τη μορφή, τότε . Νυζενικός Τα όρια της ολοκλήρωσης .

Για παράδειγμα, μία από τις πρωταρχικές λειτουργίες. ως εκ τούτου

16 . Εάν το c είναι ένας σταθερός αριθμός και λειτουργία ƒ (x) ενσωματωθεί, τότε

δηλ. Ο μόνιμος πολλαπλασιαστήρας με μπορεί να αφαιρεθεί από ένα ορισμένο αναπόσπαστο σημάδι.

▼ Κάνετε ένα ολοκληρωμένο ποσό για μια λειτουργία με ƒ (x). Εχουμε:

Στη συνέχεια ακολουθεί ότι η λειτουργία ƒ (x) ενσωματώνεται σε [a; b] και ο τύπος (38.1). ▲

2. Εάν οι λειτουργίες ƒ 1 (x) και ƒ 2 (x) είναι ενσωματωμένα σε [a, b], στη συνέχεια ενσωματωμένα σε [a; b] το ποσό τους u

δηλ. Το αναπόσπαστο από το ποσό ισούται με το ποσό των ολοκληρωμένων.

▼
▲

Το ακίνητο 2 ισχύει για το ποσό οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού όρων.

3.

Αυτή η ιδιοκτησία μπορεί να ληφθεί εξ ορισμού. Αυτή η ιδιότητα επιβεβαιώνεται επίσης από τον τύπο Newton-Leibnic.

4. Εάν η λειτουργία ƒ (x) ενσωματώνεται σε [a; b] και ένα< с < b, то

δηλ. Το ολοκλήρωμα σε όλο το τμήμα είναι ίσο με το ποσό των ολοκληρώσεων σε μέρη αυτού του τμήματος. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται προσθήκη συγκεκριμένης ολοκλήρωσης (ή ιδιοκτησίας προσθετικότητας).

Κατά τη διάσπαση του τμήματος [a; b] από το μέρος για να ενεργοποιήσετε το σημείο με τον αριθμό των σημείων διαίρεσης (αυτό μπορεί να γίνει λόγω της ανεξαρτησίας του οροπέδου του ολοκληρωμένου ποσού στη μέθοδο διάσπασης του τμήματος [a, b] στο το μέρος). Εάν c \u003d x m, τότε το αναπόσπαστο ποσό μπορεί να χωριστεί σε δύο ποσά:

Κάθε ένα από τα γραπτά ποσά είναι αναπόσπαστο, αντίστοιχα, για τμήματα [a; Β], [Α; C] και [c; σι]. Όσον αφορά το όριο της τελευταίας ισότητας σε n → ∞ (λ → 0), λαμβάνουμε ισότητα (38,3).

Το ακίνητο 4 ισχύει για οποιαδήποτε θέση σημείων Α, Β, Γ (πιστεύουμε ότι η λειτουργία ƒ (x) είναι ενσωματωμένη στο μεγαλύτερο από τα προκύπτοντα τμήματα).

Έτσι, για παράδειγμα, αν α< b < с, то

(Ιδιότητες 4 και 3 χρησιμοποιούνται).

5. "Το μεσαίο θεώρημα." Εάν η λειτουργία ƒ (x) είναι συνεχής στο τμήμα [a; β], τότε υπάρχει ένα λεπτό με є [a; β] έτσι ώστε

▼ από τον Newton-Laben Formula

όπου f "(x) \u003d ƒ (x). Εφαρμόζοντας τη διαφορά F (b) -f (a) το θεώρημα Lagrange (θεώρημα στην τελική αύξηση της λειτουργίας), παίρνουμε

F (b) -f (a) \u003d f "(c) (b - a) \u003d ƒ (c) (b - a). ▲

Ακίνητα 5 ("Μέσο Θεώρημα") στο ƒ (x) ≥ 0 έχει ένα απλό Γεωμετρική έννοια: Η τιμή ενός συγκεκριμένου ολοκληρωμένου είναι ίση, με μερικούς με є (α, β), την περιοχή του ορθογωνίου με ύψος ƒ (C) και τη βάση Β- (βλ. Σχήμα 170). Αριθμός

που ονομάζεται μέση τιμή της λειτουργίας ƒ (x) στο τμήμα [a; σι].

6. Εάν η λειτουργία ƒ (x) διατηρεί ένα σημάδι στο τμήμα [a; Β] Πού και< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼ στο "Μέσο Θεώρημα" (Ακίνητα 5)

όπου με є [a; σι]. Και από το ƒ (x) ≥ 0 για όλα τα x Î [a; b] Στη συνέχεια

ƒ (c) ≥0, b - a\u003e 0.

Ως εκ τούτου, ƒ (c) (b - a) ≥ 0, δηλ. ▲

7. Ανισότητα μεταξύ συνεχών λειτουργιών στο τμήμα [Α · β], (α

▼ από το ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x) ≥0, τότε πότε< b, согласно свойству 6, имеем

Ή, σύμφωνα με το ακίνητο 2,

Σημειώστε ότι είναι αδύνατο να διαφοροποιηθούν οι ανισότητες.

8. Αξιολόγηση του ολοκληρώματος. Εάν m και m είναι, αντίστοιχα, οι μικρότερες και οι μεγαλύτερες τιμές της λειτουργίας y \u003d ƒ (x) στο τμήμα [a; β], (και< b), то

▼ Δεδομένου ότι για οποιοδήποτε x є [a, b] έχουμε m≤ƒ (x) ≤m, τότε, σύμφωνα με το ακίνητο 7, έχουμε

Χρησιμοποιώντας την ακραία ολοκληρωμένη ιδιότητα 5, παίρνουμε

▲

Εάν ƒ (x) ≥0, κατόπιν ιδιότητα 8 απεικονίζει το XIA γεωμετρικά 171).

9. Η ενότητα ενός συγκεκριμένου ολοκληρωμένου δεν υπερβαίνει τα ενσωματωμένα από τη μονάδα λειτουργίας αντικατάστασης:

▼ Εφαρμογή ακινήτου 7 σε προφανείς ανισότητες - | ƒ (x) | ≤ƒ (x) ≤ | ƒ (x) |

Ως εκ τούτου, το προκύπτει αυτό

▲

10. Το παράγωγο ενός συγκεκριμένου ολοκληρωμένου στο μεταβλητό ανώτερο όριο ισούται με τη λειτουργία ενσωμάτωσης στην οποία η μεταβλητή ολοκλήρωσης αντικαθίσταται από αυτό το όριο, δηλ.

Ο υπολογισμός του σχήματος του αριθμού είναι ένα από τα πιο απλά προβλήματα της θεωρίας του χώρου. Στη σχολική πορεία της γεωμετρίας, μάθαμε να βρούμε την περιοχή των κύριων γεωμετρικών στοιχείων, για παράδειγμα, κύκλο, τρίγωνο, ρόμβο κλπ. Ωστόσο, πολύ πιο συχνά συναντώνται τον υπολογισμό των τετραγώνων πιο περίπλοκων μορφών. Κατά την επίλυση τέτοιων εργασιών, πρέπει να καταφύγετε σε ολοκληρωμένο υπολογισμό.

Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε το καθήκον του υπολογισμού της περιοχής του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς και θα το πλησιάσουμε με μια γεωμετρική έννοια. Αυτό θα μας επιτρέψει να μάθουμε την άμεση σχέση μεταξύ ενός συγκεκριμένου ολοκληρωμένου και μιας περιοχής καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς.

Αφήστε τη λειτουργία y \u003d f (x) Συνεχής σε περικοπή Και δεν αλλάζει το σήμα σε αυτό (δηλαδή, μη αρνητικό ή μη θετικό). Εικόνα ΣΟΛ.Περιορισμένες γραμμές y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a και x \u003d Β., Κλήση καμπυλόγραμμη τραπεζοειδές. Υποδηλώνουν την πλατεία του S (g).

Προσεγγίζουμε το καθήκον του υπολογισμού της περιοχής του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς ως εξής. Στην ενότητα τετράπλευρα στοιχεία, διαπίστωσαν ότι το καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές είναι ένα τετράπλευρο σχήμα. Εάν χωρίσετε την περικοπή στο Ν. Οι κουκίδες εξαρτημάτων δείχνουν , και το σημείο είναι έτσι ώστε οι αριθμοί που αντιστοιχούν στα χαμηλότερα και τα ανώτερα ποσά της Darboua να θεωρηθούν εισερχόμενες Π. και ολοκληρωμένη Q. Πολυγωνικά στοιχεία για ΣΟΛ..

Έτσι, με αύξηση του αριθμού των σημείων διαχωρισμού Ν., θα έρθουμε στην ανισότητα όπου υπάρχει ένας μικρός θετικός αριθμός, και ΜΙΚΡΟ. και ΜΙΚΡΟ. - Κάτω και άνω ποσά Darboux για αυτή τη διάσπαση . Σε άλλο ρεκόρ . Συνεπώς, επικοινωνώντας με την Κοντία μιας συγκεκριμένης ολοκληρωμένης Darbu, παίρνουμε .

Η τελευταία ισότητα σημαίνει ότι ένα ορισμένο ολοκλήρωμα για συνεχή και μη αρνητική λειτουργία y \u003d f (x) Πρόκειται για μια γεωμετρική περιοχή αίσθησης του αντίστοιχου καμπυλινικού τραπεζιού. Σε αυτό και αποτελείται Γεωμετρική έννοια ενός συγκεκριμένου ολοκληρωμένου.

Δηλαδή, ο υπολογισμός ενός συγκεκριμένου ολοκληρωμένου, θα βρούμε την περιοχή των περιορισμένων γραμμών y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a και x \u003d Β..

Σχόλιο.

Εάν η λειτουργία y \u003d f (x) Εμπιστευτικό σε περικοπή Στη συνέχεια, η περιοχή του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς μπορεί να βρεθεί ως .

Παράδειγμα.

Υπολογίστε την περιοχή του σχήματος, περιορισμένες γραμμές .

Απόφαση.

Κατασκευάζουμε μια φιγούρα στο αεροπλάνο: ευθεία y \u003d 0. συμπίπτει με τον άξονα της topcissa, άμεση x \u003d -2.και x \u003d 3. Παράλληλα με τον άξονα της τεταγμένης και η καμπύλη μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας τους ηλικιωμένους μετασχηματισμούς των γραφικών λειτουργίας.

Έτσι, πρέπει να βρούμε την περιοχή του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς. Η γεωμετρική έννοια ενός ορισμένου ενσωματωμένου μας δείχνει ότι η επιθυμητή περιοχή εκφράζεται από ένα συγκεκριμένο αναπόσπαστο. Ως εκ τούτου, . Αυτό το συγκεκριμένο ολοκληρωμένο μπορεί να υπολογιστεί από το Newton Labnic.