Differenziare una funzione implicita di più variabili. Derivata di una funzione implicitamente definita: guida, esempi

Formula per la derivata di una funzione specificata implicitamente. Dimostrazione ed esempi di applicazione di questa formula. Esempi di calcolo delle παράγωγο del primo, secondo e terzo ordine.

Derivata del primo ordine

Lascia che la funzione sia specificata implicitamente utilizzando l'equazione
(1) .
E lasciamo che questa equazione, per un certo valore, abbia una soluzione unica. Sia la funzione differenziabile nel punto, e
.
Quindi, a questo valore, c'è una derivata, che è determinata dalla formula:
(2) .

Prova

Σύμφωνα με το dimostrarlo, θεωρείτε ότι η λειτουργία είναι μια μεταβλητή για τη λειτουργία:
.
Applichiamo la regola di derivazione di una funzione complessa e troviamo la derivata rispetto a una variabile dai lati sinistro e destro dell'equazione
(3) :
.
Poiché la derivata di una costante è zero e, allora
(4) ;
.

La formula και Provata.

Παράγωγο di ordine superiore

Riscriviamo l'equazione (4) χρησιμοποιεί ποικίλα:
(4) .
Allo stesso tempo, e sono funzioni complesse della variabile:
;
.
La dipendenza è determinata dall'equazione (1):
(1) .

Troviamo la derivata rispetto a una variabile dai lati sinistro e destro dell'equazione (4).
Δεύτερος τύπος della derivata di una funzione complessa abbiamo:
;
.
Δεύτερος τύπος del prodotto:

.
Χρησιμοποιήστε το παράγωγο του τύπου della somma delle:


.

Poiché la derivata del lato destro dell'equazione (4) è uguale a zero, allora
(5) .
Sostituendo qui la derivata, otteniamo il valore della derivata del secondo ordine in forma implicita.

Differenziando l'equazione (5) in modo simile, otteniamo un'equazione contenente una derivata del terzo ordine:
.
Sostituendo qui i valori trovati delle παράγωγο del primo e del secondo ordine, troviamo il valore della derivata del terzo ordine.

Continuando la differenziazione si può trovare una derivata di qualsiasi ordine.

Εσέμπη

Εσέμπιο 1

Trova la derivata del primo ordine della funzione data implicitamente dall'equazione:
(P1) .

Λύση με τον τύπο 2

Troviamo la derivata usando la formula (2):
(2) .

Spostiamo tutte le variabili sul lato sinistro in modo che l'equazione assuma la forma.
.
Da qui.

Troviamo la derivata rispetto a, θεωρείντα κοστάντε.
;
;
;
.

Troviamo la derivata rispetto alla variabile, accountando la variabile costante.
;
;
;
.

Usando la formula (2) troviamo:
.

Possiamo semplificare il risultato se notiamo che secondo l'equazione originale (A.1), . Sostituiamo:
.
Moltiplicare numeratore e denominatore ανά:
.

Soluzione della seconda via

Risolviamo questo esempio nel secondo modo. Ανά ναύλο ciò, troveremo la derivata rispetto alla variabile dei lati sinistro e destro dell'equazione originale (A1).

Applichiamo:
.
Appliciamo la formula della frazione derivativa:
;
.
Εφαρμόζεται η φόρμουλα ανά παράγωγο για την ολοκλήρωση της λειτουργίας:
.
Differenziamo l'equazione originale (A1).
(P1) ;
;
.
Moltiplichiamo e raggruppiamo i termini.
;
.

Sostituiamo (dall'equazione (A1)):
.
Moltiplicato ανά:
.

Εσέμπιο 2

Trova la derivata del secondo ordine della funzione data implicitamente utilizzando l'equazione:
(A2.1) .

Differenziamo l'equazione originalaria rispetto alla variabile, θεωρώ ότι είναι και το funzione di:
;
.
Εφαρμόστε φροντίδα la formula della derivata funzione complessa.
.

Differenziamo l'equazione originale (A2.1):
;
.
Dall'equazione originale (A2.1) segue che. Sostituiamo:
.
Aprire le parentesi e raggruppare i membri:
;
(A2.2) .
Troviamo la derivata del primo ordine:
(A2.3) .

Per trovare la derivata del secondo ordine, differenziamo l'equazione (A2.2).
;
;
;
.
Sostituiamo l'espressione per la derivata del primo ordine (A2.3):
.
Moltiplicato ανά:

;
.
Da qui troviamo la derivata del secondo ordine.

Εσέμπιο 3

Trova la derivata del terzo ordine della funzione data implicitamente utilizzando l'equazione:
(A3.1) .

Differenziamo l'equazione originale rispetto alla variabile, assumendo che sia una funzione di.
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

Differenziamo l'equazione (A3.2) rispetto alla variabile.
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Deriviamo l'equazione (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .

Dalle equazioni (A3.2), (A3.3) e (A3.4) troviamo i valori delle παράγωγο σε .
;
;
.

Lasciamo che la funzione continua ΕΝΑδα Χè specificato implicitamente φά(Χ, σι) = 0, περιστέρι φά(Χ, σι), F"x(Χ, σι), F"y(Χ, σι) sono funzioni συνεχίζει στο un dominio D contenente il punto ( Χ, ΕΝΑ), le cui συντεταγμένη soddisfano le relazioni φά (Χ, σι) = 0, F"y(Χ, σι) ≠ 0. Quindi la funzione ΕΝΑδα Χ ha un derivato

Prova (vedi foto.). Permettere F"y(Χ, σι) > 0. Poiché la derivata F"y(Χ, σι) è continua, allora possiamo costruire un quadrato [ Χ 0 - δ" , Χ 0 + δ" , ΕΝΑ 0 - δ" , ΕΝΑ 0 + δ" ], quindi per tutti i suoi punti esiste F"y (Χ, σι) > 0, cioè φά(Χ, σι) и μονοτονικό ΕΝΑένα φισσό Χ. Pertanto tutte le condizioni del teorema di esistenza sono soddisfatte funzione implicita ΕΝΑ = φά (Χ), παραμύθι che φά(Χ, φά (Χ)) º 0.
Impostiamo l'incremento Δ Χ. Nuovo significato Χ + Δ Χ corrisponderà ΕΝΑ + Δ ΕΝΑ = φά (Χ + Δ Χ), tale che questi valori soddisfano l'equazione φά (Χ + Δ Χ, σι + Δ σι) = 0. È ovvio che

Δ φά = φά(Χ + Δ Χ, σι + Δ σι) − φά(Χ, σι) = 0

e in questo caso

.

Dalla (7) abbiamo

.

Poiché la funzione implicita ΕΝΑ = φά (Χ) sarà continua, allora Δ ΕΝΑ→ 0 a Δ Χ→ 0, che significa α → 0 e β → 0. Da qui finalmente abbiamo

.

Q.E.D.

Παράγωγο parziali e differenziali di ordine superiore.

Εξετάστε το παράγωγο parziali della funzione z = f (Χ, σι), οριστικά στο un intorno di un punto M, esistono in ogni punto di questo intorno. In questo caso le derivate parziali sono funzioni di due variabili Χμι ΕΝΑ, οριστική nell'intorno indicato del punto M. Chiamiamole παράγωγο parziali del primo ordine. A loro volta, παράγωγο parziali rispetto alle variabili Χμι ΕΝΑ delle funzioni nel punto M, se esistono, sono chiamate παράγωγο parziali del secondo ordine della funzione φά (Μ) a questo punto e sono indicati dai seguenti simboli

Le παράγωγο parziali del secondo ordine della forma, , sono chiamate παράγωγο parziali miste.

Differenziali di ordine superiore

Σκεφτείτε το dx nell'espressione ανά dyέλα fattore costante. Quindi la funzione dy rappresenta una funzione di solo argomento Χ e il suo differenziale nel punto Χχα λα φόρμα (quando si considera il differenziale da dy useremo nuove notazioni per i differenziali):

δ ( δ α) = δ [ φά " (Χ) dx] = [φά " (Χ) dx] " δ Χ = φά "" (Χ) ρε(Χ) δ Χ .

Διαφορικό δ ( δ α) dal differenziale dy al punto Χ, preso a δ x = dx, è chiamato differenziale del secondo ordine della funzione φά (Χ) al punto Χ ed και designato ρε 2 σι, ciè.

ρε 2 σι = φά ""(Χ)·( dx) 2 .

A sua volta, il differenziale δ( ρε 2 σι) dal differenziale ρε 2 σι, preso a δ x = dx, è chiamato differenziale del terzo ordine della funzione φά(Χ) ed è indicato ρε 3 σιεκλεκτά. Διαφορικό δ( ρε n-1 y) dal differenziale δ.ν -1 φά, preso a δ Χ = dx, si chiama differenziale Ν-esimo ordine (ο Ν- m differenziale) funzioni φά(Χ) ed è indicato d όχι sì.
Proviamolo ανά Ν-esimo differenziale della funzione vale la seguente τύπος:

d n y = y (Ν) ·( dx)Ν, Ν = 1, 2, … (3.1)

Nella dimostrazione useremo il metodo induzione matematica. Ανά Ν= 1 ε Ν= 2 la τύπος (3.1) è dimostrata. Sia vero per i differenziali di ordine Ν - 1

δ.ν −1 σι=y( Ν−1) ·( dx)Ν −1 ,

e funzione σι (Ν-1) (Χ) è differenziabile ad un certo punto Χ. Poi

Supponendo δ x = dx noi abbiamo

Q.E.D.
Per chiunque Ν l'uguaglianza και vera

Ο

Quelli. Ν- i è la derivata della funzione σι= φά (Χ) al punto Χ uguale al rapporto Ν-esimo differenziale di questa funzione nel punto ΧΕΝΑ Ν-esimo grado del differenziale dell'argomentazione.

Derivata direzionale di funzioni di più variabili.

Vengono considerati la funzione e il vettore unitario. Diretto μεγάλο tramite τ. Μ 0 con vettore οδηγός

Ορισμός 1.Παράγωγα της λειτουργίας tu = tu(Χ, σι, z) ανά μεταβλητή Τ chiamato derivata nella direzione l

Poiché su questa linea retta tuè una funzione complessa di una variabile, quindi la derivata rispetto a Τ uguale alla derivata totale rispetto α Τ(§ 12).

È indicato e uguale α

I derivati ​​di ordine superiore si trovano mediante differenziazione successiva della τύπος (1).

Εσεμπίο. Trova e se (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.

Soluzione. Indicando il lato sinistro di questa equazione con φά(x,y) trovare le παράγωγο parziali

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

Da qui, applicando la formula (1), otteniamo:

.

Per trovare la derivata seconda differenziare rispetto α Χ la derivata prima trovata, tenendo conto di ciò ΕΝΑ esiste una funzione x:

.

2°. Il caso di più variabili indipendenti. Allo stesso modo, se l'equazione F(x, y, z)=0Περιστέρι F(x, y, z) - funzione differenziabile delle variabili x, yμι z, καθορισμός z in funzione di variabili indipendenti Χμι ΕΝΑμι Fz(x, y, z)≠ 0, allora le παράγωγο parziali di questo implicitamente δεδομένα funzione, γενικά, si possono trovare utilizzando le formule

Un altro modo per trovare le παράγωγο della funzione z è il seguente: differenziando l'equazione F(x, y, z) = 0 noi abbiamo:

.

Da qui possiamo determinare dz, e quindi.

Εσεμπίο. Trova e se x ²-2y²+3z²-yz +y =0.

μέθοδος 1°. Indicando il lato sinistro di questa equazione con F(x, y, z), trovamo le derivate parziali F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y.

Applicando le formula (2), otteniamo:

μέθοδος 2°. Differenziando questa equazione, otteniamo:

2xdx-4σιdi +6zdz-σιdz-zdi +d = 0

Da qui determiniamo dz, ovvero il differenziale totale della funzione implicita:

.

Confronto con la formula , Lo vediamo

.

3°. Sistema di funzioni implicite. Se un sistema di due equazioni

ορίζω tuμι v come funzioni delle variabili xey e dello Jacobiano

,

quindi i differenziali di queste funzioni (e quindi le loro derivate parziali) possono essere trovati dal sistema di equazioni

Esempio: equazioni u+v=x+y, xu+yv=1καθορίζουν tuμι vελάτε funzioni Χμι ΕΝΑ; Trovare .

Soluzione. Μέθοδος 1°. Derivando entrambe le equazioni rispetto a x si ottiene:

.

Σε modo simile troviamo:

.

μέθοδος 2°. Σύμφωνα με την ισοτιμία che collegano i differenziali di tutte e quattro le variabili: du +dv =dx+tuΧdu +tudx+σιdv+vd = 0.

Risolvere questo sistema per ifferenziali duμι dv noi abbiamo:

4°. Specificazione della funzione parametrica. Se la funzione di r variabili Χμι ΕΝΑè dato parametricamente dalle equazioni x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)μι

,

quindi il differenziale di questa funzione può essere trovato dal sistema di equazioni

Conoscere il differenziale dz=p dx+q dy, troviamo le παράγωγο parziali ε.

Εσεμπίο. Funzione z argomenti Χμι ΕΝΑ dato dalle equazioni x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v).

Trova e.

Soluzione. Μέθοδος 1°. Per differenziazione troviamo tre equazioni che collegano i differenziali di tutte e cinque le variabili:

Dalle prime due equazioni determiniamo duμι dv:

.

Sostituiamo i valori trovati nella terza equazione duμι dv:

.

μέθοδος 2°. Τα δεδομένα του Dalla Terza Equazione Possiamo Trovare:

Differenziamo innanzitutto le prime due equazioni rispetto α Χ,ποιώ δι ΕΝΑ:

Dal primo sistema troviamo: .

Dal secondo sistema troviamo: .

Sostituendo le espressioni e nella formula (5), otteniamo:

Sostituzione delle variabili

Quando si sostituiscono le variabili nelle espressioni differenziali, le παράγωγο in esse incluse dovrebbero essere espresse in termini di altre παράγωγο secondo le regole per differenziare una funzione complessa.

1°. Sostituzione di variabili in espressioni contenenti παράγωγο συνηθισμένο.

,

credendo.

ΕΝΑ Di Χ attraverso derivati ​​di ΕΝΑ Di Τ. Abbiamo:

,

.

Sostituendo le espressioni παράγωγο trovate in questa equazione e sostituendo Χ attraverso, otteniamo:

Εσεμπίο. Convertiquazione

,

prendendolo come argomento ΕΝΑ e per la funzione x.

Soluzione. Esprimiamo le παράγωγο di ΕΝΑ Di Χ attraverso derivati ​​di Χ Di tu.

.

Παράγωγο Sostituendo queste espressioni σε questa equazione, abbiamo:

,

ω, μια χαρά,

.

Εσεμπίο. Convertiquazione

passando α συντεταγμένη πολική

Soluzione. Σκέψου Rέλα una funzione φ , περαιτέρω τύπος (1) si ottiene:

dх = σosφ dr – r sinφ dφ, dy=sinφ+r cosφ dφ,

Impareremo a trovare le derivate di funzioni specificate implicitamente, cioè specificate da determinate equazioni che collegano variabili Χμι σι. Ειδικά υπονοούμενα για τη λειτουργία:

,

Le παράγωγο di funzioni specate implicitamente, o le παράγωγο di funzioni implicite, si trovano in modo abbastanza semplice. Ora diamo un'occhiata alla regola e all'esempio corrispondenti, quindi scopriamo perché è necessario in generale.

Per trovare la derivata di una funzione specificata implicitamente, è necessario differenziare entrambi i membri dell'equazione rispetto a x. Quei terminal in cui è presente solo semplice, la derivata risultante del termine con x dovrebbe risultare: la derivata della funzione da y moltiplicata per la derivata da y. Ad esempio, la derivata di un termine verrà scritta come, la derivata di un termine verrà scritta come. Successivamente, da tutto ciò, è necessario esprimere questo "colpo di gioco" και si otterrà la derivata desiderata della funzione specificata implicitamente. Consideriamolo con un esempio.

Εσέμπιο 1.

Soluzione. Differenziamo entrambi i membri dell'equazione rispetto a x, assumendo che i sia una funzione di x:

Da qui otteniamo la derivata richiesta nell'attività:

Ora qualcosa sulla proprietà ambigua delle funzioni specate implicitamente e sul perché sono necessarie regole speciali per la loro differenziazione. In alcuni casi, puoi assicurarti che la sostituzione dell'espressione in termini di x in una determinata equazione (vedi esempi sopra) invece del gioco, porti al fatto che questa equazione si trasforma in un'identità. COSÌ. L'equazione precedente definisce implicitamente le seguenti funzioni:

Dopo aver sostituito l'espressione del gioco al quadrato per x nell'equazione originale, otteniamo l'identità:

.

Le espressioni che abbiamo sostituito sono state ottenute risolvendo l'equazione del gioco.

Se dovessimo differenziare la corrispondente funzione esplicita

quindi otterremmo la risposta come nell'esempio 1 - da una funzione specificata implicitamente:

Ma non tutte le funzioni specificate implicitamente possono essere rappresentate nel modulo σι = φά(Χ) . Quindi, ad esempio, le funzioni specificate implicitamente

non sono espressi attraverso funzioni elementari, cioè queste equazioni non possono essere risolte rispetto al giocatore. Esiste quindi una regola per differenziare una funzione specificata implicitamente, che abbiamo già studiato e che applicheremo ulteriormente in modo coerente in altri esempi.

Εσέμπιο 2. Trova la derivata di una funzione data implicitamente:

.

Esprimiamo il primo e, in uscita, la derivata della funzione specificata implicitamente:

Εσέμπιο 3. Trova la derivata di una funzione data implicitamente:

.

Soluzione. Διαφορετικό εντάμπιο και μέλος εξισορρόπησης ρισπέτο και x:

.

Εσέμπιο 4. Trova la derivata di una funzione data implicitamente:

.

Soluzione. Διαφορετικό εντάμπιο και μέλος εξισορρόπησης ρισπέτο και x:

.

Esprimiamo και otteniamo la derivata:

.

Εσέμπιο 5. Trova la derivata di una funzione data implicitamente:

Soluzione. Spostiamo i termini dal lato destro dell'equazione al lato sinistro e lasciamo lo zero a destra. Differenziamo entrambi i membri dell'equazione rispetto a x.

Indubbiamente, nella nostra mente l'immagine della funzione è associata all'uguaglianza e alla linea corrispondente: il grafico della funzione. Ad esempio, - una dipendenza funzionale, il cui grafico è una parabola quadratica con un vertice nell'origine e rami diretti verso l'alto; è una funzione sinusoidale nota per le sue onde.

In questi esempi, il lato sinistro dell'uguaglianza è y, mentre il lato destro è un'espressione che dipende dall'argomento x. Σε altre parole, abbiamo un'equazione risolta per y. Viene chiamata la rappresentazione di una dipendenza funzionale sotto forma di tale espressione specificando esplicitamente la funzione(Ο funzione in modo esplicito). E questo tipo di assegnazione di funzioni ci è più familiare. Η Nella maggior parte degli esempi e dei problemi ci vengono presentate funzioni esplicite. Abbiamo già parlato in dettaglio della differenziazione delle funzioni di una variabile, specificata esplicitamente.

Tuttavia, una funzione implica una corrispondenza tra un insieme di valori di x e un insieme di valori di y, e questa corrispondenza NON è necessariamente stabilita da alcuna formula o espressione analitica. Cioè, ci sono molti modi per specificare una funzione oltre al solito.

In questo articolo vedremo funzioni implicite e metodi per trovarne le παράγωγο. Esempi di funzioni specify in modo implicito includono o.

Come hai notato, la funzione implicita è definita dalla relazione. Ma non tutte le relazioni tra xey definiscono una funzione. Ad esempio, nessuna coppia numeri reali xey non soddisfano l'uguaglianza, pertanto questa relazione non specifica una funzione implicita.

Può determinare implicitamente la legge di corrispondenza tra le quantità xey e ciascun valore dell'argomento x può corrispondere a uno (in questo caso abbiamo una funzione a valore singolo) o a più valori della funzione (in funzione multifunzione). Ad esempio, il valore x = 1 corrisponde a due valori reali y = 2 e y = -2 della funzione specificata implicitamente.

Non è semper possibile portare una funzione implicita in una forma esplicita, altrimenti non ci sarebbe bisogno differenziare le funzioni implicite stesse. Per sempio, - non viene convertito in una forma esplicita, ma - viene convertito.

Ora arriviamo al punto.

Ανάλογα με τα παράγωγα των δεδομένων που εμπλέκονται στη λειτουργία, είναι απαραίτητο να διαφοροποιούνται οι εντολές και τα μέλη του ρυσπέττου όλων των αργομέντων x, να ληφθούν υπόψη και να έρθουν una funzione di x, και quindi esprimere.

La differenziazione delle espressioni contenenti xey(x) viene effettuata utilizzando le regole differenziazione e la regola per trovare la derivata di una funzione complessa. Diamo subito un'occhiata ad alcuni esempi in dettaglio in modo che non ci siano ulteriori domande.

Εσεμπίο.

Differenziare le espressioni στο x, θεωρήστε y una funzione di x.

Soluzione.

Περσέ y è una funzione di x, allora è una funzione complessa. Può essere convenzionalmente rappresentato come f(g(x)), dove f è la funzione del cubo e g(x) = y. Quindi, δεύτερος τύπος della derivata di una funzione complessa, abbiamo: .

Quando differenziamo la seconda espressione, togliamo la costante dal segno della derivata e agiamo come nel caso precedente (qui f è la funzione seno, g(x) = y):

Για την εφαρμογή της φόρμουλας della derivata del prodotto:

Applicando coerentemente le regole, differenziamo l'ultima espressione:

Ora puoi passare alla ricerca della derivata di una funzione specificata implicitamente, per questo hai tutta la conoscenza.

Εσεμπίο.

Trova la derivata di una funzione implicita.

Soluzione.

La derivata di una funzione specificata implicitamente è semper rappresentata come un'espressione contenente xey: . Ανά άφιξη σε questo risultato, differenziamo entrambi i lati dell'uguaglianza:

Risolviamo l'equazione risultante rispetto alla derivata:

Αναφορά:

.

ΣΧΟΛΙΟ.

Ανά ενοποίηση il materiale, risolviamo un altro esempio.