Come capire che la funzione è di forma generale. Come determinare le funzioni pari e dispari

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Attention! L'anteprima della diapositiva è solo a scopo informativo e potrebbe non rappresentare l'intera portata della presentazione. Se sei interessato a questo lavoro, scarica la versione completa.

Obiettivi:

• formare il concetto di funzioni pari e dispari, insegnare la capacità di determinare e utilizzare queste proprietà nello studio delle funzioni, tracciare;
• sviluppare l'attività creativa degli studenti, il pensiero logico, la capacità di confrontare, generalizzare;
• coltivare la diligenza, la cultura matematica; sviluppare capacita comunicative .

Attrezzatura: installazione multimediale, lavagna interattiva, dispenser.

Forme di lavoro: frontale e di gruppo con elementi di ricerca e attività di ricerca.

Font information:

1. Classe di algebra 9 A.G. Mordkovich. manuale.
2 Algebra Grado 9 A.G. Mordkovich. Libro delle attività.
3. Algebra grado 9. Compiti per l'apprendimento e lo sviluppo degli studenti. Belenkova E. Yu. Lebedintseva E.A.

DURANTE LE CLASSI

1. Momento organization

Stabilire obiettivi e obiettivi della lezione.

2. Controllo dei Compiti

N. 10.17 (Libro dei problemi 9a elementare A.G. Mordkovich).

UN) A = F(X), F(X) =

b) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1.D( F) = [– 2; + ∞)
2.E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 per X ~ 0,4
4. F(X) >0 a X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. La funzione aumenta con X € [– 2; + ∞)
6. La funzione è limitata dal basso.
7. A noleggio=-3, A naib non esist
8. La funzione e continua.

(Hai utilizzato l'algoritmo di esplorazione delle funzionalità?) Diapositiva.

2. Controlliamo la tabella che ti è stata richiesta sulla diapositiva.

Riempi la tavola
	Dominio	funzione zeri	Intervalli di costanza		Coordinate dei punti di intersezione del grafico con Oy
		x=-5, x=2	х € (–5;3) u U(2;∞)	x € (–∞;–5) u U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) u U(2;∞)	x € (–∞;–5) u U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Aggiornamento delle conoscenze

– Le funzioni sono fornite.
– Specificare il dominio di definizione per ciascuna funzione.
– Confronta il valore di ogni funzione per ogni coppia di valori di argomento: 1 e – 1; 2 e - 2.
– Per quali delle funzioni date nel dominio di definizione sono le uguaglianze F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (inserire i dati nella tabella) Diapositiva

4. Nuovo materiale

- Facendo questo lavoro, ragazzi, abbiamo rivelato un'altra proprietà della funzione, a voi sconosciuta, ma non meno importante delle altre: questa è l'uniformità e la stranezza della funzione. Annota l'argomento della lezione: "Funzioni pari e dispari", il nostro compito è imparare a determinare le funzioni pari e dispari, scoprire il significato di questa proprietà nello studio delle funzioni e nel tracciare.
Quindi, troviamo le definizioni nel libro di testo e leggiamo (p. 110) . Diapositiva

def. 1 Funzione A = F (X) definito sull'insieme X viene chiamato Anche, se per qualsiasi valore XЄ X in corso uguaglianza f (–x) = f (x). Dare esempi.

def. 2 Funzione y = f(x), definito sull'insieme X e chiamato strano, se per qualsiasi valore X X l'uguaglianza f(-x)= -f(x) è soddisfatta. Dare esempi.

Dove abbiamo incontrato i termini "pari" e "dispari"?
Quale di queste funzioni sarà pari, secondo te? Perche? Quali sono strani? Perche?
Per qualsiasi funzione del form A= x n, Dove Nè un numero intero, si può sostenere che la funzione è dispari per N e dispari e la funzione e pari N- Anche.
– Visualizza le funzioni A=e A = 2X– 3 non e né pari né dispari, perché le uguaglianze non sono soddisfatte F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

Lo studio della questione se una funzione sia pari o dispari è chiamato lo studio di una funzione per la parità. Diapositiva

Le definizioni 1 e 2 riguardavano i valori della funzione in x e - x, quindi si assume che la funzione sia definita anche al valore X, e a - X.

APS 3. Se un numero insieme a ciascuno dei suoi elementi x contiene l'elemento opposto x, allora l'insieme X si chiama insieme simmetrico.

Esempi:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sono insiemi simmetrici e , [–5;4] sono non simmetrici.

- Anche le funzioni hanno un dominio di definizione - un insieme simmetrico? Quelli strani?
-SeD( F) è un insieme asimmetrico, allora qual è la funzione?
– Quindi, se la funzione A = F(X) è pari o dispari, allora il suo dominio di definizione è D( F) è un insieme simmetrico. Ma è vero il contrario, se il dominio di una funzione è un insieme simmetrico, allora è pari o dispari?
- Quindi la presenza di un insieme simmetrico del dominio di definizione è una condizione necessaria, ma non sufficiente.
– Allora come possiamo studiare la funzione per la parità? Proviamo a scrivere un algoritmo.

Diapositiva

Algoritmo per l'esame di una funzione per la parità

1. Determinare se il dominio della funzione e simmetrico. In caso contrario, la funzione non è né pari né dispari. Se sì, vai al passaggio 2 dell'algoritmo.

2. Scrivi un'espressione per F(–X).

3. Confronta F(–X).E F(X):

• Se F(–X).= F(X), allora la funzione è pari;
• Se F(–X).= – F(X), allora la funzione è dispari;
• Se F(–X) ≠ F(X) E F(–X) ≠ –F(X), allora la funzione nonè né pari né dispari.

Esempi:

Indagare la funzione per la parità a) A= x 5 +; b) A= ; v) A= .

Soluzione.

a) h(x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), insieme simmetrico.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d \u003e funzione h(x)= x 5 + dispar.

b) y=,

A = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), insieme asimmetrico, quindi la funzione non è né pari né dispari.

v) F(X) = , y = f(x),

1) RE( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

option 2

1. L'insieme dato è simmetrico: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

Verifica reciproca diapositiva.

6 Compiti a casa: №11.11, 11.21,11.22;

Dimostrazione del significato geometrico della proprietà di parità.

*** (Assegnazione dell'opzione USE).

1. La funzione dispari y \u003d f (x) è definita sull'intera linea reale. Per ogni valore non negativo della variabile x, il valore di questa funzione coincide con il valore della funzione g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Trova il valore della funzione h( X) = a X = 3.

7. Riassumendo

- (Math.) Viene chiamata una funzione y \u003d f (x) anche se non cambia quando la variabile indipendente cambia solo segno, cioè se f (x) \u003d f (x). Se f (x) = f (x), allora la funzione f (x) è detta dispari. Ad esempio, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = xè un esempio di funzione dispari. f(x) = x2 è un esempio di funzione pari. f(x) = x3 ...Wikipedia

Una funzione che soddisfa l'uguaglianza f(x) = f(x). Vedi Funzioni pari e dispari... Grande enciclopedia sovietica

F(x) = xè un esempio di funzione dispari. f(x) = x2 è un esempio di funzione pari. f(x) = x3 ...Wikipedia

F(x) = xè un esempio di funzione dispari. f(x) = x2 è un esempio di funzione pari. f(x) = x3 ...Wikipedia

F(x) = xè un esempio di funzione dispari. f(x) = x2 è un esempio di funzione pari. f(x) = x3 ...Wikipedia

F(x) = xè un esempio di funzione dispari. f(x) = x2 è un esempio di funzione pari. f(x) = x3 ...Wikipedia

Funzioni speciali introdotte dal matematico francese E. Mathieu nel 1868 nella risoluzione di problemi sull'oscillazione di una membrana ellittica. M.f. sono utilizzati anche nello studio della propagazione delle onde elettromagnetiche in un cilindro ellittico... Grande enciclopedia sovietica

La richiesta "sin" viene reindirizzata qui; vedi anche altri significati. La richiesta "sec" viene reindirizzata qui; vedi anche altri significati. "Sine" reindirizza qui; vedi anche altri significati... Wikipedia

Anche, se per tutti \(x\) dal suo dominio è vero: \(f(-x)=f(x)\) .

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse \(y\):

Esempio: la funzione \(f(x)=x^2+\cos x\) è pari, perché \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Viene richiamata la funzione \(f(x)\). strano, se per tutti \(x\) dal suo dominio è vero: \(f(-x)=-f(x)\) .

Il grafico di una funzione dispari e simmetrico rispetto all'origine:

Esempio: la funzione \(f(x)=x^3+x\) è dispari perché \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Le funzioni che non sono né pari né dispari sono chiamate funzioni generiche. Questa funzione pu sempre l'unico modo rappresentare come somma di una funzione pari e di una dispari.

Ad esempio, la funzione \(f(x)=x^2-x\) è la somma di una funzione pari \(f_1=x^2\) e di una funzione dispari \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) Alcune proprieta:

1) Il prodotto e il quoziente di due funzioni della stessa parità è una funzione pari.

2) Il prodotto e il quoziente di due funzioni di diversa parità è una funzione dispari.

3) La somma e differenza di funzioni pari è una funzione pari.

4) La somma e differenza di funzioni dispari è una funzione dispari.

5) Se \(f(x)\) è una funzione pari, allora l'equazione \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) ha radice univoca se e solo se, quando \(x=0\) .

6) Se \(f(x)\) è una funzione pari o dispari e l'equazione \(f(x)=0\) ha una radice \(x=b\) , allora questa equazione avrà necessariamente una seconda radice \(x=-b\) .

\(\blacktriangleright\) Una funzione \(f(x)\) si dice periodica su \(X\) se per qualche numero \(T\ne 0\) si ha \(f(x)=f(x+ T ) \) , dove \(x, x+T\in X\) . Il più piccolo \(T\) , per il quale vale questa uguaglianza, è chiamato il periodo principale (di base) della funzione.

Una funzione periodica ha qualsiasi numero della forma \(nT\) , dove anche \(n\in \mathbb(Z)\) sarà un punto.

Esempio: qualsiasi funzione trigonometricaè periodico;
per le funzioni \(f(x)=\sin x\) e \(f(x)=\cos x\) il periodo principale è \(2\pi\) , per le funzioni \(f(x)= \mathrm( tg)\,x\) e \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) il periodo principale è \(\pi\) .

Per tracciare una funzione periodica, puoi tracciare il suo grafico su qualsiasi segmento di lunghezza \(T\) (periodo principale); quindi si completa il grafico dell'intera funzione spostando la parte costruita di un numero intero di periodi a destra e a sinistra:

\(\blacktriangleright\) Il dominio \(D(f)\) della funzione \(f(x)\) è l'insieme costituito da tutti i valori dell'argomento \(x\) per cui la funzione ha senso ( è definito).

Esempio: la funzione \(f(x)=\sqrt x+1\) ha un dominio di definizione: \(x\in

Compito 1 #6364

Livello di attività: pari all'esame di stato unificato

Per quali valori del parametro \(a\) l'equazione

ha una soluzione unica?

Si noti che poiché \(x^2\) e \(\cos x\) sono funzioni pari, se l'equazione ha una radice \(x_0\) , avrà anche una radice \(-x_0\) .
Infatti, sia \(x_0\)una radice, cioè l'uguaglianza \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) Giusto. Sostituisci \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Pertanto, se \(x_0\ne 0\) , l'equazione avrà già almeno due radici. Pertanto, \(x_0=0\) . Poi:

Abbiamo due valori di parametro \(a\) . Nota che abbiamo utilizzato il fatto che \(x=0\) è esattamente la radice dell'equazione originale. Ma non abbiamo mai usato il fatto che è l'unico. Pertanto, è necessario sostituire i valori risultanti del parametro \(a\) nell'equazione originale e verificare per quale esattamente \(a\) la radice \(x=0\) sarà effettivamente univoca.

1) Se \(a=0\) , l'equazione assumerà la forma \(2x^2=0\) . Ovviamente, questa equazione ha una sola radice \(x=0\) . Pertanto, il valore \(a=0\) ci si addice.

2) Se \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , allora l'equazione assume la forma \ Riscriviamo l'equazione nella forma \ Perche \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Quello \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Pertanto, i valori del lato destro dell'equazione (*) appartengono al segmento \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Poiché \(x^2\geqslant 0\) , il lato sinistro dell'equazione (*) è maggiore o uguale a \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Pertanto, l'uguaglianza (*) può valere solo quando entrambi i lati dell'equazione sono uguali a \(\mathrm(tg)^2\,1\) . E questo significa che \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Pertanto, il valore \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ci si addice.

Risposta:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Compito 2 #3923

Livello di attività: pari all'esame di stato unificato

Trova tutti i valori del parametro \(a\) , per ognuno dei quali il grafico della funzione \

simmetrico rispetto all'origin.

Se il grafico di una funzione è simmetrico rispetto all'origine, allora tale funzione è dispari, cioè \(f(-x)=-f(x)\) è soddisfatta per ogni \(x\) dalla dominio della funzione Pertanto, è necessario trovare i valori dei parametri per i quali \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\sinistra(3\mathrm(tg)\,\sinistra(\dfrac(ax)5\destra)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(allineato)\]

L'ultima equazione deve valere per tutti i \(x\) dal dominio \(f(x)\) , quindi \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Risposta:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Compito 3 #3069

Livello di attività: pari all'esame di stato unificato

Trova tutti i valori del parametro \(a\) , per ciascuno dei quali l'equazione \ ha 4 soluzioni, dove \(f\) è una funzione periodica pari con periodo \(T=\dfrac(16)3\) definito sull'intera linea reale e \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Compito degli abbonati)

Compito 4 #3072

Livello di attività: pari all'esame di stato unificato

Trova tutti i valori \(a\) , per ciascuno dei quali l'equazione \

ha almeno una radice.

(Compito degli abbonati)

Riscriviamo l'equazione nella forma \ e considerationiamo due funzioni: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) e \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
La funzione \(g(x)\) è pari, ha un punto di minimo \(x=0\) (e \(g(0)=49\) ).
La funzione \(f(x)\) per \(x>0\) и decrescente e per \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Infatti, per \(x>0\) il secondo modulo si espande positivamente (\(|x|=x\) ), quindi, indipendentemente da come si espande il primo modulo, \(f(x)\) sarà uguale a \ ( kx+A\) , dove \(A\) è un'espressione di \(a\) e \(k\) è uguale a \(-9\) o \(-3\) . Per \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Trova il valore \(f\) nel punto massimo: \

Affinché l'equazione abbia almeno una soluzione, è necessario che i grafici delle funzioni \(f\) e\(g\) abbiano almeno un punto di intersezione. Pertanto, e necessario: \ Risolvendo questo insieme di sistemi, otteniamo la risposta: \\]

Risposta:

\(a\in\(-7\)\tazza\)

Compito 5 #3912

Livello di attività: pari all'esame di stato unificato

Trova tutti i valori del parametro \(a\) , per ciascuno dei quali l'equazione \

ha sei diverse solutions.

Facciamo la sostituzione \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Quindi l'equazione prenderà la forma \ Scriveremo gradualmente le condizioni in cui l'equazione originale avrà sei soluzioni.
Si noti che l'equazione quadratica \((*)\) può avere al massimo due soluzioni. Qualsiasi equazione cubica \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) non può avere più di tre soluzioni. Pertanto, se l'equazione \((*)\) ha due soluzioni diverse (positiva!, poiché \(t\) deve essere maggiore di zero) \(t_1\) e \(t_2\) , allora, fatto il contrario sostituzione, otteniamo: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\fine(allineato)\fine(raccolto)\destra.\] Poiché qualsiasi numero positivo può essere rappresentato come \(\sqrt2\) in una certa misura, ad esempio, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\) quindi la prima equazione dell'insieme verrà riscritta nella forma \ Come abbiamo già detto, qualsiasi equazione cubica non ha più di tre soluzioni, quindi ogni equazione dell'insieme non avrà più di tre soluzioni. Ciò significa che l'intero set non avrà più di sei soluzioni.
Ciò significa che affinché l'equazione originale abbia sei soluzioni, l'equazione quadratica \((*)\) deve avere due soluzioni diverse e ogni equazione cubica risultante (dall'insieme) deve avere tre soluzioni diverse (e non una sola la soluzione di un'equazione dovrebbe coincidere con la quale - o per decisione della seconda!)
Ovviamente, se l'equazione quadratica \((*)\) ha una soluzione, allora non otterremo sei soluzioni per l'equazione originale.

Pertanto, il piano di soluzione diventa chiaro. Scriviamo le condizioni che devono essere soddisfatte punto per punto.

1) Affinché l'equazione \((*)\) abbia due soluzioni diverse, il suo discriminante deve essere positivo: \

2) Abbiamo anche bisogno che entrambe le radici siano positive (perché \(t>0\) ). Se il prodotto di due radici è positivo e la loro somma è positiva, allora le radici stesse saranno positive. Pertanto, e necessario: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Pertanto, ci siamo già forniti di due distinte radici positive \(t_1\) e \(t_2\) .

3) Diamo un'occhiata a questa equazione \ Per cosa \(t\) avrà tre diverse soluzioni?
Considera la funzione \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Può essere moltiplicato: \ Pertanto, i suoi zeri sono: \(x=-1;2\) .
Se troviamo la derivata \(f"(x)=3x^2-6x\) , otteniamo due punti estremi \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Pertanto, il grafico si presenta così:


Vediamo che qualsiasi linea orizzontale \(y=k\) , dove \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) ha tre diverse soluzioni, è necessario che \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Quindi, hai bisogno di: \[\begin(casi) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Notiamo subito anche che se i numeri \(t_1\) e \(t_2\) sono diversi, allora i numeri \(\log_(\sqrt2)t_1\) e \(\log_(\sqrt2)t_2\) saranno essere diverso quindi le equazioni \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) E \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) avra radici diverse.
Il sistema \((**)\) può essere riscritto in questo modo: \[\begin(casi) 1

Pertanto, abbiamo determinato che entrambe le radici dell'equazione \((*)\) devono trovarsi nell'intervallo \((1;4)\) . Come scrivere questa condizione?
Non scriveremo esplicitamente le radici.
Considera la funzione \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Il suo grafico è una parabola con diramazioni verso l'alto, che ha due punti di intersezione con l'asse delle ascisse (abbiamo scritto questa condizione nel paragrafo 1)). Come dovrebbe apparire il suo grafico in modo che i punti di intersezione con l'asse delle ascisse siano nell'intervallo \((1;4)\) ? COSÌ:


In primo luogo, i valori \(g(1)\) e \(g(4)\) della funzione nei punti \(1\) e \(4\) devono essere positivi e, in secondo luogo, il vertice di anche la parabola \(t_0\ ) deve trovarsi nell'intervallo \((1;4)\) . Pertanto, il sistema può essere scritto: \[\begin(casi) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4

Quindi, dobbiamo intersecare i valori del parametro \(a\) trovati nel 1°, 2° e 3° paragrafo, e otterremo la risposta: \[\begin(cases) a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\\ a<10\\ 4

Funzioneè uno dei concetti matematici più importanti. Funzione - dipendenza variabile A da una variable X, se ogni valore X corrisponde a un singolo valore A. variable X detta variabile indipendente o argomento. variable A detta variabile dipendente. Tutti i valori della variabile indipendente (variable X) formano il dominio della funzione. Tutti i valori che assume la variabile dipendente (variable si), formano l'intervallo della funzione.

Grafico delle funzioni chiamano l'insieme di tutti i punti del piano coordinato, le cui ascisse sono uguali ai valori dell'argomento, e le ordinate sono uguali ai valori corrispondenti della funzione, cioè i valori di la variabile viene tracciata lungo l'asse delle ascisse X e i valori della variabile vengono tracciati lungo l'asse y si. Per tracciare una funzione, è necessario conoscere le proprietà della funzione. Le principali proprietà della funzione saranno discusse di seguito!

Per tracciare un grafico di funzione, ti consigliamo di utilizzare il nostro programma - Funzioni grafiche online. Se hai domande mentre studi il materiale in questa pagina, puoi sempre farle sul nostro forum. Inoltre sul forum sarai aiutato a risolvere problemi di matematica, chimica, geometria, teoria della probabilità e tante altre materie!

Proprietà fondamentali delle funzioni.

1) Ambito e gamma di funzioni.

L'ambito di una funzione è l'insieme di tutti i valori validi validi dell'argomento X(variable X per cui la funzione y = f(x) definito.
L'intervallo di una funzione è l'insieme di tutti i valori reali si che la funzione accetta.

Nella matematica elementare le funzioni si studiano solo sull'insieme dei numeri reali.

2) Funzione zeri.

Valori X, al quale y=0, e chiamato funzione zeri. Queste sono le ascisse dei punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse x.

3) Intervalli di costanza di segno di una funzione.

Gli intervalli di costanza di segno di una funzione sono tali intervalli di valori X su cui i valori della funzione si vengono chiamati solo positivi o solo negativi intervalli di costanza di segno della funzione.

4) Monotonia della funzione.

Una funzione crescente (in un certo intervallo) и una funzione in cui un valore maggiore dell'argomento da questo intervallo corrisponde a un valore maggiore della funzione.

Funzione decrescente (in un intervallo) - una funzione in cui un valore maggiore dell'argomento da questo intervallo corrisponde a un valore minore della funzione.

5) Funzioni pari (dispari)..

Una funzione pari è una funzione il cui dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine e per qualsiasi X f(-x) = f(x). Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y.

Una funzione dispari è una funzione il cui dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine e per qualsiasi X dal dominio di definizione l'uguaglianza f(-x) = - f(x). Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine.

funzione pari
1) Il dominio di definizione è simmetrico rispetto al punto (0; 0), cioè se il punto UN appartiene al dominio della definizione, quindi il punto -UN appartiene anche al dominio della definizione.
2) Per qualsiasi valore X f(-x)=f(x)
3) Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse Oy.

funzione dispari ha le seguenti proprieta:
1) Il dominio di definizione è simmetrico rispetto al punto (0; 0).
2) per qualsiasi valore X, che appartiene al dominio della definizione, l'uguaglianza f(-x)=-f(x)
3) Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine (0; 0).

Non tutte le funzioni sono pari o dispari. Funzioni vista generale non sono ne pari ne dispari.

6) Funzioni limitate e illimitate.

Una funzione si dice limitata se esiste un numero positivo M tale che |f(x)| ≤ M per tutti i valori di x . Se non esiste tale numero, la funzione e illimitata.

7) Periodicita della funzione.

Una funzione f(x) è periodica se esiste un numero T diverso da zero tale che per ogni x dal dominio della funzione, f(x+T) = f(x). Questo numero più piccolo and chiamato il periodo della funzione. Tutte le funzioni trigonometriche sono periodiche. (Formule trigonometriche).

Funzione F si dice periodico se esiste un numero tale che per any X dal dominio di definizione l'uguaglianza f(x)=f(x-T)=f(x+T). T e il periodo della funzione.

Ogni funzione periodica ha un numero infinito di periodi. In pratica, di solito viene considerato il periodo positivo più piccolo.

I valori della funzione periodica vengono ripetuti dopo un intervallo pari al periodo. Questo e usato quando si tracciano grafici.

Definition 1. La funzione viene chiamata Anche (strano ) se insieme a ciascun valore della variabile
Senso- X Appartien anche
e l'uguaglianza

Pertanto, una funzione può essere pari o dispari solo quando il suo dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine delle coordinate sulla retta reale (numeri X E- X contemporaneamente appartengono
). Ad esempio, la funzione
non è né pari né dispari, poiché è il suo dominio di definizione
non simmetrico rispetto all'origin.

Funzione
anche, perche
simmetrico rispetto all'origin delle coordinate e.

Funzione
strano perche
E
.

Funzione
non e né pari né dispari, poiché sebbene
edè simmetrica rispetto all'origine, le uguaglianze (11.1) non sono soddisfatte. Per esempio.

Il grafico di una funzione pari e simmetrico rispetto all'asse UO, poiché se il punto

appartien anche al grafico. Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine, perché if
appartiene al grafico, quindi al punto
appartien anche al grafico.

Per dimostrare se una funzione è pari o dispari, sono utili le seguenti affermazioni.

theorem 1. a) La somma di due funzioni pari (dispari) и una funzione pari (dispari).

b) Il prodotto di due funzioni pari (dispari) и una funzione pari.

c) Il prodotto di una funzione pari e di una dispari è una funzione dispari.

d) Se F e una funzione pari sul set X, e la funzione G definito sul set
quindi la funzione
- Anche.

e) Se F e una funzione dispari sull'insieme X, e la funzione G definito sul set
e pari (dispari), quindi la funzione
- pari dispari).

Prova. Dimostriamo, ad esempio, b) e d).

b) Let
E
sono anche funzioni. Allora, dunque. analogamente si considera il caso delle funzioni dispari
E
.

d) Let F e una funzione pari. Poi.

Analogamente si dimostrano le altre asserzioni del teorema. Il teorema e stato dimostrato.

theorem 2. Qualsiasi funzione
, definito sull'insieme X, che è simmetrica rispetto all'origine, può essere rappresentata come somma di una funzione pari e di una dispari.

Prova. Funzione
può essere scritto nella forma

.

Funzione
e pari, perche
, e la funzione
è strano perche. Così,
, Dove
- anche, e
e una funzione dispari. Il teorema e stato dimostrato.

Definition 2.Funzione
chiamato periodically se c'è un numero
, tale che per qualsiasi
numeri
E
appartengono anche al dominio della definizione
e le uguaglianze

Un tale numero T chiamato periodo funzioni
.

La definizione 1 implica che se T– periodo di funzione
, quindi il numero T Stesso e il periodo della funzione
(perche quando si sostituisce T SU- T viene mantenuta l'uguaglianza). Usando il metodo dell'induzione matematica, si può dimostrare che se T– periodo di funzione F, quindi e
, è anche un periodo. Ne consegue che se una funzione ha un periodo, allora ha infiniti periodi.

Definition 3. Il più piccolo dei periodi positivi di una funzione e detto suo principale periodo.

theorem 3. Se T e il periodo principale della funzione F, allora i periodi rimanenti ne sono multipli.

Prova. Supponiamo il contrario, cioè che ci sia un punto funzioni F (>0), non-multiple T. Poi, dividendo SU T con il resto, otteniamo
, Dove
. Ecco perche

questo e – periodo di funzione F, E
, il che contraddice il fatto che T e il periodo principale della funzione F. L'affermazione del teorema segue dalla contraddizione ottenuta. Il teorema e stato dimostrato.

Noto che le funzioni trigonometriche sono periodiche. periodo principale
E
equivalent
,
E
. Trova il periodo della funzione
. Permettere
e il periodo di questa funzione. Poi

(Perche
.

ororo
.

Senso T, determinato dalla prima uguaglianza, non può essere un periodo, poiché dipende da X, cioe. e una funzione di X, non un numero costante. Il periodo e determinato dalla seconda uguaglianza:
. Ci sono infiniti periodi
il più piccolo periodo positivo si ottiene quando
:
. Questo e il periodo principale della funzione
.

Un esempio di una funzione periodica più complessa è la funzione di Dirichlet

Nota che se T e un numero rationale, allora
E
sono numeri rationali sotto razionale X e irrazionale quando irrazionale X. Ecco perche

per ogni numero rationale T. Pertanto, qualsiasi numero rationale T e il periodo della funzione di Dirichlet. È chiaro che questa funzione non ha periodo principale, poiché ci sono numeri razionali positivi arbitrariamente vicini allo zero (ad esempio, un numero razionale può essere fatto scegliendo N arbitrariamente vicino allo zero).

theorem 4. Se la funzione F ambientato sul set X e ha un periodo T, e la funzione G ambientato sul set
quindi la funzione complessa
ha anche un periodo T.

Prova. Abbiamo quindi

cioè, l'affermazione del teorema è dimostrata.

Ad esempio, da allora cos X ha un periodo
quindi le funzioni
avere un periodo
.

Definition 4. Vengono chiamate le funzioni che non sono periodiche non-periodic .