Di seguito vengono forniti diversi criteri per la dipendenza lineare e, di conseguenza, l'indipendenza lineare dei sistemi vettoriali.

Teorema. (Condizione necessaria e sufficiente per la dipendenza lineare dei vettori.)

Un sistema di vettori è dipendente se e solo se uno dei vettori del sistema è espresso linearmente attraverso gli altri di questo sistema.

Prova. Necessità. Sia il sistema linearmente dipendente. Quindi, per definizione, rappresenta il vettore zero in modo non banale, cioè esiste una combinazione non banale di questo sistema di vettori uguale al vettore zero:

dove almeno uno dei coefficienti di questa combinazione lineare non è uguale a zero. Permettere , .

Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza precedente per questo coefficiente diverso da zero (ovvero moltiplichiamo per:

Indichiamo: , dove .

quelli. uno dei vettori del sistema è espresso linearmente attraverso gli altri di questo sistema, ecc.

Adeguatezza. Sia espresso linearmente uno dei vettori del sistema attraverso altri vettori di questo sistema:

Spostiamo il vettore a destra di questa uguaglianza:

Poiché il coefficiente del vettore è uguale a , allora abbiamo una rappresentazione non banale dello zero mediante un sistema di vettori, il che significa che questo sistema di vettori è linearmente dipendente, ecc.

Il teorema è stato dimostrato.

Conseguenza.

1. Un sistema di vettori in uno spazio vettoriale è linearmente indipendente se e solo se nessuno dei vettori del sistema è espresso linearmente in termini di altri vettori di questo sistema.

2. Un sistema di vettori contenente un vettore zero o due vettori uguali è linearmente dipendente.

Prova.

1) Necessità. Sia il sistema linearmente indipendente. Supponiamo il contrario e che esista un vettore del sistema che si esprime linearmente attraverso altri vettori di questo sistema. Allora, secondo il teorema, il sistema è linearmente dipendente e si arriva ad una contraddizione.

Adeguatezza. Nessuno dei vettori del sistema sia espresso in termini degli altri. Supponiamo il contrario. Lasciamo che il sistema sia linearmente dipendente, ma dal teorema segue che esiste un vettore del sistema che è espresso linearmente attraverso altri vettori di questo sistema, e arriviamo di nuovo a una contraddizione.

2a) Sia il sistema a contenere un vettore nullo. Assumiamo per certezza che il vettore :. Allora l'uguaglianza è ovvia

quelli. uno dei vettori del sistema è espresso linearmente attraverso gli altri vettori di questo sistema. Dal teorema segue che un tale sistema di vettori è linearmente dipendente, ecc.

Si noti che questo fatto può essere dimostrato direttamente da un sistema di vettori linearmente dipendenti.

Poiché , risulta ovvia la seguente uguaglianza

Questa è una rappresentazione non banale del vettore zero, il che significa che il sistema è linearmente dipendente.

2b) Sia il sistema composto da due vettori uguali. Facciamo per . Allora l'uguaglianza è ovvia

Quelli. il primo vettore è espresso linearmente attraverso i restanti vettori dello stesso sistema. Dal teorema segue che questo sistema è linearmente dipendente, ecc.

Similmente alla precedente, questa affermazione può essere dimostrata direttamente definendo un sistema linearmente dipendente. Quindi questo sistema rappresenta il vettore zero in modo non banale

donde segue dipendenza lineare sistemi

Il teorema è stato dimostrato.

Conseguenza. Un sistema costituito da un vettore è linearmente indipendente se e solo se questo vettore è diverso da zero.

Definizione 1. Un sistema di vettori si dice linearmente dipendente se uno dei vettori del sistema può essere rappresentato come una combinazione lineare dei rimanenti vettori del sistema, e linearmente indipendente - altrimenti.

Definizione 1´. Un sistema di vettori si dice linearmente dipendente se sono presenti numeri Con 1 , Con 2 , …, Con k, non tutti uguale a zero, tale che la combinazione lineare di vettori con coefficienti dati sia uguale al vettore nullo: = , altrimenti il ​​sistema si dice linearmente indipendente.

Mostriamo che queste definizioni sono equivalenti.

Sia soddisfatta la Definizione 1, cioè uno dei vettori del sistema è uguale ad una combinazione lineare degli altri:

Una combinazione lineare di un sistema di vettori è uguale al vettore zero e non tutti i coefficienti di questa combinazione sono uguali a zero, ad es. La definizione 1´ è soddisfatta.

Sia valida la Definizione 1´. Una combinazione lineare di un sistema di vettori è uguale a , e non tutti i coefficienti della combinazione sono uguali a zero, ad esempio i coefficienti del vettore .

Abbiamo presentato uno dei vettori del sistema come una combinazione lineare degli altri, cioè La definizione 1 è soddisfatta.

Definizione 2. Viene chiamato un vettore unitario, o vettore unitario vettore n-dimensionale, quale io La coordinata -esima è uguale a uno e il resto è zero.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Teorema 1. Vari vettori unitari N Gli spazi tridimensionali sono linearmente indipendenti.

Prova. Lascia che la combinazione lineare di questi vettori con coefficienti arbitrari sia uguale al vettore zero.

Da questa uguaglianza segue che tutti i coefficienti sono uguali a zero. Abbiamo una contraddizione.

Ogni vettore N spazio bidimensionale ā (UN 1 , UN 2 , ..., UN n) può essere rappresentato come una combinazione lineare di vettori unitari con coefficienti uguali alle coordinate del vettore

Teorema 2. Se un sistema di vettori contiene un vettore nullo, allora è linearmente dipendente.

Prova. Sia dato un sistema di vettori e uno dei vettori sia zero, ad esempio = . Quindi, con i vettori di questo sistema, puoi creare una combinazione lineare uguale al vettore zero, e non tutti i coefficienti saranno zero:

Il sistema è quindi linearmente dipendente.

Teorema 3. Se qualche sottosistema di un sistema di vettori è linearmente dipendente, allora l’intero sistema è linearmente dipendente.

Prova.È dato un sistema di vettori. Supponiamo che il sistema sia linearmente dipendente, cioè ci sono numeri Con 1 , Con 2 , …, Con R , non tutti uguali a zero, tali che = . Poi

Si è scoperto che la combinazione lineare dei vettori dell'intero sistema è uguale a e non tutti i coefficienti di questa combinazione sono uguali a zero. Di conseguenza, il sistema di vettori è linearmente dipendente.

Conseguenza. Se un sistema di vettori è linearmente indipendente, allora anche ogni suo sottosistema è linearmente indipendente.

Prova.

Supponiamo il contrario, cioè alcuni sottosistemi sono linearmente dipendenti. Dal teorema segue che l’intero sistema è linearmente dipendente. Siamo arrivati ​​ad una contraddizione.

Teorema 4 (Teorema di Steinitz). Se ciascuno dei vettori è una combinazione lineare di vettori e M>N, allora il sistema di vettori è linearmente dipendente.

Conseguenza. In ogni sistema di vettori n-dimensionali non possono esserci più di n vettori linearmente indipendenti.

Prova. Ogni N Il vettore bidimensionale è espresso come combinazione lineare di n vettori unitari. Pertanto, se il sistema contiene M vettori e M>N, allora, secondo il teorema, questo sistema è linearmente dipendente.

Lineare combinazione sistemi vettoriali

chiamato vettore

dove a 1 , a 2 , ..., a n - numeri arbitrari.

Se tutto un i = 0, allora viene chiamata la combinazione lineare banale . In questo caso, ovviamente

Definizione 5.

Teorema 2 (Condizioni di dipendenza lineare).

Definizione 6.

Dal Teorema 3 ne consegue che se una base è data nello spazio, allora aggiungendovi un vettore arbitrario, otteniamo un sistema di vettori linearmente dipendenti. Secondo Teorema 2 (1) , uno di essi (si può dimostrare che il vettore) può essere rappresentato come una combinazione lineare degli altri:

.

Definizione 7.

Se i vettori sono considerati sul piano, la base sarà una coppia ordinata di vettori non collineari

e le coordinate del vettore in questa base sono una coppia di numeri:

Nota 3. Lo si può dimostrare per una data base, le coordinate del vettore sono determinate in modo univoco . Da questo, in particolare, consegue che se i vettori sono uguali, allora le loro coordinate corrispondenti sono uguali e viceversa .

Pertanto, se in uno spazio è data una base, allora ogni vettore dello spazio corrisponde a una terna ordinata di numeri (coordinate del vettore in questa base) e viceversa: ogni terna di numeri corrisponde a un vettore.

Sul piano si stabilisce una corrispondenza simile tra vettori e coppie di numeri.

Teorema 4 (Operazioni lineari tramite coordinate vettoriali).

In altre parole:

Quando un vettore viene moltiplicato per un numero, le sue coordinate vengono moltiplicate per quel numero ;

quando si aggiungono vettori, vengono aggiunte le loro coordinate corrispondenti .

Esempio 1 . In qualche base i vettoriavere delle coordinate

Mostra che i vettori formano una base e trova le coordinate del vettore in questa base.

I vettori formano una base se non sono complanari, quindi (secondo dal Teorema 3(2) ) sono linearmente indipendenti.

Per definizione 5 questo significa che l'uguaglianza

possibile solo seX = sì = z = 0.

Def. L'insieme w è detto spazio lineare, e il suo elemento. -vettori se:

*la legge è specificata (+) secondo cat. Due elementi qualsiasi x, y da w sono associati a un elemento chiamato. la loro somma [x + y]

*viene data una legge (* per il numero a), secondo l'elemento cat x di w e a, viene confrontato un elemento di w, chiamato prodotto di x e a [ax];

* completato

i seguenti requisiti (o assiomi):

Traccia c1. vettore zero (ctv 0 1 e 0 2. per a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 e 0 1 + 0 2 = 0 1. per a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2.)

c2. .(TV, a4)

c3. 0 vett.(a7)

c4. a(numero)*0=0.(a6,c3)

c5. x (*) -1 =0 vettore, opposto a x, cioè (-1)x = -x. (a5,a6)

c6. In w si definisce l'azione di sottrazione: il vettore x è chiamato differenza dei vettori b e a, se x + a = b, e si indica x = b - a.

Numero N chiamato dimensione lin. pr-a l , se dentro l esiste un sistema di N lin. nezav. vettori e qualsiasi sistema di N+1 vettore - lin. dipendente debole l= N. Spazio l chiamato n-dimensionale.

Una raccolta ordinata di n righe. nezav. vettori n dimensionali indipendenti. spazio - base

Teorema. Ogni vettore X può essere rappresentato in modo univoco come una combinazione di vettori base

Sia (1) la base di una lineare n-dimensionale. pr-va V, cioè. un insieme di vettori linearmente indipendenti. L'insieme dei vettori sarà lineare. dipendente, perché loro n+ 1.

Quelli. ci sono numeri che non sono tutti uguali a zero allo stesso tempo, cosa c'entra (altrimenti (1) sono linearmente dipendenti).

Poi dove è la scomposizione vettoriale X per base(1) .

Questa espressione è unica, perché se esiste un'altra espressione (**)

sottraendo l'uguaglianza (**) da (*),

noi abbiamo

Perché

sono linearmente indipendenti, allora . Chtd

Teorema. Se - lin. vettori indipendenti dello spazio V e ogni vettore x da V può essere rappresentato con , allora questi vettori formano una base di V

Doc: (1)-lin.independent => il documento rimane indipendente dalla linea. Secondo la convenzione Ogni vettore a è espresso tramite la (1): , consider , rang≤n => tra le colonne non più di n sono linearmente indipendenti, ma m > n=> m colonne sono linearmente dipendenti => s=1, n

Cioè, i vettori sono dipendenti lineari

№4Pertanto, lo spazio V è n-dimensionale e (1) è la sua base sicuramente

Sottoinsieme L lin. la produzione V si chiama lin. cond. di questo spazio se, rispetto alle operazioni (+) e (*a) specificate in V, il sottospazio L è uno spazio lineare

Teorema L'insieme l dei vettori dello spazio V è lineare. Un sottospazio di questo spazio viene eseguito

(anticipare) siano soddisfatte (1) e (2), affinché L sia un subsemplice. V resta da dimostrare che tutti gli assiomi di lin sono soddisfatti. pr-va. (-x): -x+x=0 D

. a(x + y) = ax + ay;

(a-b) e (e-h) conseguono dalla validità di V: proviamo (c)

Pertanto, lo spazio V è n-dimensionale e (1) è la sua base(necessità) Sia L lin. sottospazio di questo spazio, allora (1) e (2) sono soddisfatti in virtù della definizione di linee. pr-va

Una raccolta di tutti i tipi di linee. combinazioni di alcuni elementi (x j) lin. il prodotto è chiamato shell lineare Teorema un insieme arbitrario di tutte le linee. combinazioni di vettori V con reale. il coefficiente è lin. subpr V (guscio lineare )

dato sistema di vettori lin. pr. è il subpr lineare di questo pr. ODA

.Sottoinsieme non vuoto di L vettori lineari. la produzione V si chiama lin. sottospazio se:

a) la somma di tutti i vettori di L appartiene a L

b) il prodotto di ciascun vettore di L per un numero qualsiasi appartiene a LlSomma di due sottospazil

è ancora una volta un sottospazio<=>1) Sia y 1 +y 2 (L 1 + L 2)

y 1 =x 1 +x 2, y 2 =x’ 1 +x’ 2, dove (x 1,x’ 1) L 1, (x 2,x’ 2) L 2. y 1 +y 2 =(x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2), dove (x 1 +x' 1 ) L 1 , (x 2 +x' 2) L 2 => la prima condizione di un sottospazio lineare è soddisfatta.

ay 1 =ax 1 +ax 2, dove (ax 1) L 1, (ax 2) L 2 => perché (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => le condizioni sono soddisfatte => L 1 +L 2 è un sottospazio lineare.l 1 L'intersezione di due suddivisionil 2 El lin. pr-va

è anche una subsp. questo spazio. X,Consideriamo due vettori arbitrari sì , appartenente all'intersezione di sottospazi, e due numeri arbitrari,UN:.

B

Secondo def. intersezioni di insiemi:

=> per definizione di sottospazio di uno spazio lineare:,. vettore T.K + ascia appartiene a molti l 1 e molti l 2, allora appartiene, per definizione, all'intersezione di questi insiemi. Così:

dato sistema di vettori lin. pr. è il subpr lineare di questo pr..Dicono che V è la somma diretta delle sue suddivisioni. se e b) questa scomposizione è unica

B") Mostriamo che b) è equivalente a b’)

Quando b) è vero b’)

Tutti i tipi di (M, N) da si intersecano solo lungo il vettore zero

Sia ∃ z ∈

Giusto ritornol=

contraddizione

Teorema A (*) è necessario e sufficiente per l'unione delle basi ( costituiva la base dello spazio

(Necessario) siano (*) e i vettori le basi dei sottoinsiemi. e c'è un'espansione in ; x viene espanso sulla base L, per affermare che ( costituiscono una base, è necessario dimostrare la loro indipendenza lineare; contengono tutti 0 0=0+...+0. Per l'unicità dello sviluppo di 0 over : => a causa dell'indipendenza lineare della base => ( – base

(Est.) Sia ( costituisca la base di L una scomposizione unica (**) esista almeno una scomposizione. Per unicità (*) => unicità (**)

Commento. La dimensione della somma diretta è uguale alla somma delle dimensioni del sottospazio

Qualsiasi matrice quadratica non singolare può fungere da matrice di transizione da una base all'altra

Lasciamo n dimensionale spazio lineare V ci sono due basi e

(1) =A, dove gli elementi * e ** non sono numeri, ma estenderemo a tali righe alcune operazioni su una matrice numerica.

Perché altrimenti i vettori ** sarebbero dipendenti lineari

Indietro. Se allora le colonne di A sono linearmente indipendenti =>formano una base

Coordinate L'intersezione di due suddivisioni correlati per relazione , Dove elementi della matrice di transizione

Si conosca la scomposizione degli elementi della “nuova” base in quella “vecchia”.

Allora le uguaglianze sono vere

Ma se una combinazione lineare di elementi linearmente indipendenti è uguale a 0 allora =>

Teorema fondamentale della dipendenza lineare

Se (*) è espresso linearmente attraverso (**) QuelloN<= M

Dimostriamo per induzione su m

m=1: sistema (*) contiene 0 e lin. direttore - impossibile

sia vero per m=k-1

dimostriamo per m=k

Potrebbe risultare che 1), cioè v-ry (1) sono lin.comb. lin. in-fossa (2)Sistema (1) lineare inaffidabile, perché fa parte di lin.nezav. sistemi (*). Perché nel sistema (2) ci sono solo k-1 vettori, quindi per l'ipotesi di induzione otteniamo k+1

I concetti di dipendenza lineare e indipendenza di un sistema di vettori sono molto importanti nello studio dell'algebra vettoriale, poiché su di essi si basano i concetti di dimensione e base dello spazio. In questo articolo forniremo definizioni, considereremo le proprietà di dipendenza lineare e indipendenza, otterremo un algoritmo per studiare un sistema di vettori per dipendenza lineare e analizzeremo in dettaglio le soluzioni degli esempi.

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Determinazione della dipendenza lineare e dell'indipendenza lineare di un sistema di vettori.

Consideriamo un insieme di p vettori n-dimensionali, denotateli come segue. Facciamo una combinazione lineare di questi vettori e numeri arbitrari (reale o complesso): . Basandosi sulla definizione delle operazioni su vettori n-dimensionali, nonché sulle proprietà delle operazioni di addizione di vettori e moltiplicazione di un vettore per un numero, si può sostenere che la combinazione lineare scritta rappresenta un vettore n-dimensionale, cioè .

In questo modo ci siamo avvicinati alla definizione della dipendenza lineare di un sistema di vettori.

Definizione.

Se una combinazione lineare può rappresentare un vettore zero allora quando tra i numeri ce n'è almeno uno diverso da zero, allora viene chiamato il sistema di vettori linearmente dipendente.

Definizione.

Se una combinazione lineare è un vettore zero solo quando tutti i numeri sono uguali a zero, allora viene chiamato il sistema di vettori linearmente indipendenti.

Proprietà di dipendenza e indipendenza lineare.

Sulla base di queste definizioni, formuliamo e dimostriamo proprietà di dipendenza lineare e indipendenza lineare di un sistema di vettori.

Se si aggiungono più vettori a un sistema di vettori linearmente dipendenti, il sistema risultante sarà linearmente dipendente.

Prova.

Poiché il sistema di vettori è linearmente dipendente, l'uguaglianza è possibile se esiste almeno un numero diverso da zero tra i numeri . Permettere .

Aggiungiamo altri vettori al sistema di vettori originale e otteniamo il sistema . Poiché e , allora la combinazione lineare dei vettori di questo sistema è della forma

rappresenta il vettore zero e . Di conseguenza, il sistema di vettori risultante è linearmente dipendente.

Se più vettori vengono esclusi da un sistema di vettori linearmente indipendenti, il sistema risultante sarà linearmente indipendente.

Prova.

Supponiamo che il sistema risultante sia linearmente dipendente. Aggiungendo tutti i vettori scartati a questo sistema di vettori, otteniamo il sistema di vettori originale. Per condizione, è linearmente indipendente, ma a causa della precedente proprietà di dipendenza lineare, deve essere linearmente dipendente. Siamo arrivati ​​ad una contraddizione, quindi la nostra ipotesi è errata.

Se un sistema di vettori ha almeno un vettore nullo, allora tale sistema è linearmente dipendente.

Prova.

Lascia che il vettore in questo sistema di vettori sia zero. Supponiamo che il sistema originario di vettori sia linearmente indipendente. Quindi l'uguaglianza vettoriale è possibile solo quando . Tuttavia, se prendiamo qualsiasi , diverso da zero, l'uguaglianza sarà comunque vera, poiché . Di conseguenza, la nostra ipotesi è errata e il sistema originale di vettori è linearmente dipendente.

Se un sistema di vettori è linearmente dipendente, allora almeno uno dei suoi vettori è linearmente espresso in termini degli altri. Se un sistema di vettori è linearmente indipendente, allora nessuno dei vettori può essere espresso in termini degli altri.

Prova.

Innanzitutto, dimostriamo la prima affermazione.

Sia il sistema di vettori linearmente dipendente, allora esiste almeno un numero diverso da zero e l'uguaglianza è vera. Questa uguaglianza può essere risolta rispetto a , poiché in questo caso abbiamo

Di conseguenza il vettore si esprime linearmente attraverso i restanti vettori del sistema, che è ciò che occorreva dimostrare.

Ora dimostriamo la seconda affermazione.

Poiché il sistema di vettori è linearmente indipendente, l’uguaglianza è possibile solo per .

Supponiamo che qualche vettore del sistema sia espresso linearmente in termini degli altri. Sia allora questo vettore . Questa uguaglianza può essere riscritta come , sul lato sinistro c'è una combinazione lineare di vettori del sistema, e il coefficiente davanti al vettore è diverso da zero, il che indica una dipendenza lineare del sistema di vettori originale. Quindi siamo arrivati ​​​​a una contraddizione, il che significa che la proprietà è dimostrata.

Dalle ultime due proprietà segue un’affermazione importante:
se un sistema di vettori contiene vettori e , dove è un numero arbitrario, allora è linearmente dipendente.

Studio di un sistema di vettori per dipendenza lineare.

Poniamo un problema: dobbiamo stabilire una dipendenza lineare o un'indipendenza lineare di un sistema di vettori.

La domanda logica è: “come risolverlo?”

Qualcosa di utile da un punto di vista pratico può essere appreso dalle definizioni e proprietà di dipendenza e indipendenza lineare di un sistema di vettori discusse sopra. Queste definizioni e proprietà ci permettono di stabilire una dipendenza lineare di un sistema di vettori nei seguenti casi:

Cosa fare negli altri casi, che sono la maggioranza?

Scopriamolo.

Ricordiamo la formulazione del teorema sul rango di una matrice, che abbiamo presentato nell'articolo.

Teorema.

Permettere r – rango della matrice A di ordine p per n, . Sia M la base minore della matrice A. Tutte le righe (tutte le colonne) della matrice A che non partecipano alla formazione della base minore M sono espresse linearmente attraverso le righe (colonne) della matrice generatrice della base minore M.

Spieghiamo ora la connessione tra il teorema sul rango di una matrice e lo studio di un sistema di vettori per dipendenza lineare.

Componiamo una matrice A, le cui righe saranno i vettori del sistema in esame:

Cosa significherebbe l'indipendenza lineare di un sistema di vettori?

Dalla quarta proprietà di indipendenza lineare di un sistema di vettori sappiamo che nessuno dei vettori del sistema può essere espresso in termini degli altri. In altre parole, nessuna riga della matrice A sarà espressa linearmente in termini di altre righe, quindi, l'indipendenza lineare del sistema di vettori sarà equivalente alla condizione Rank(A)=p.

Cosa significherà la dipendenza lineare del sistema di vettori?

Tutto è molto semplice: almeno una riga della matrice A sarà espressa linearmente in termini delle altre, quindi, la dipendenza lineare del sistema di vettori sarà equivalente alla condizione Rango(A)

.