La tangente è uguale. Tangente al grafico di una funzione in un punto

\[(\Large(\text(Angoli centrali e inscritti)))\]

Definizioni

Un angolo al centro è un angolo il cui vertice si trova al centro del cerchio.

Un angolo inscritto è un angolo il cui vertice giace su una circonferencenza.

La misura in gradi di un arco di cerchio è la misura in gradi dell'angolo al centro che lo sottende.

Teorema

La misura in gradi di un angolo inscritto on pari alla metà della misura in gradi dell'arco su cui poggia.

Prova

Effettueremo la dimostrazione in due fasi: innanzitutto dimostreremo la validità dell'enunciato per il caso in cui uno dei lati dell'angolo inscritto contiene un diametro. Sia il punto \(B\) il vertice dell'angolo inscritto \(ABC\) e \(BC\) il diametro del cerchio:

Il triangolo \(AOB\) on tasakylkinen, \(AO = OB\) , \(\angolo AOC\) è esterno, quindi \(\angolo AOC = \angolo OAB + \angolo ABO = 2\angolo ABC\) Kyyhkynen \(\angolo ABC = 0,5\cdot\angolo AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Ota huomioon \(ABC\) inscritto. Dal vertice dell'angolo inscritto ricaviamo il diametro del cerchio \(BD\). Mahdollisesti johtuen:

1) il diametro taglia l'angolo in due angoli \(\angolo ABD, \angolo CBD\) (per ognuno dei quali vale il teorema come dimostrato sopra, quindi vale anche per l'angolo originario, che è la somma di questi due e quindi pari alla metà della somma degli archi su cui poggia, cioè pari alla metà dell'arco su cui poggia). Riso. 1.

2) il diametro non ha diviso l'angolo in due Angoli, allora abbiamo altri due nuovi angoli inscritti \(\angolo ABD, \angolo CBD\), il cui lato contiene il diametro, quindi per essi vale il teorema, allora vale vale anche per l'angolo originario (che è uguale alla differentenza di questi due angoli, cioè è uguale alla metà della differentenza degli archi su cui poggiano, cioè uguale alla metà dell'arco su cui poggia) . Riso. 2.

Conseguenze

1. Gli angoli inscritti che sottendono lo stesso arco sono uguali.

2. Un angolo inscritto sotteso da un semicerchio è un angolo retto.

3. Un angolo inscritto è uguale alla metà dell'angolo al centro sotteso dallo stesso arco.

\[(\Large(\text(Tangente al cerchio)))\]

Definizioni

Ci sono tre tipi suhteellinen sijainti Retta ja kiertokonferenssi:

1) La retta \(a\) interseca il cerchio in due punti. Una retta di questo tipo si chiama retta secante. In questo caso la distanza \(d\) dal centro del cerchio alla retta è inferiore al raggio \(R\) del cerchio (kuva 3).

2) La retta \(b\) interseca il cerchio in un punto. Tale retta è detta tangente e il loro punto comune \(B\) è detto punto di tangenza. In questo caso \(d=R\) (kuva 4).

Teorema

1. Una tangente a un cerchio è perpendicolare al raggio tracciato fino al punto di tangenza.

2. Se una linea passa attraverso l'estremità del raggio di un cerchio ed è perpendicolare a questo raggio, allora è tangente al cerchio.

Conseguenza

I segmenti tangenti disegnati da un punto a una circonferenza sono uguali.

Prova

Disegniamo due tangenti \(KA\) e \(KB\) alla circonferenza dal punto \(K\):

Ciò merkitsee \(OA\perp KA, OB\perp KB\) sono come i raggi. I triangoli rettangoli \(\triangle KAO\) e \(\triangle KBO\) hanno cateto e ipotenusa uguali, quindi \(KA=KB\) .

Conseguenza

Il centro del cerchio \(O\) giace sulla bisettrice dell'angolo \(AKB\) formato da due tangenti tracciate dallo stesso punto \(K\) .

\[(\Large(\text(Teoremi relativi agli angoli)))\]

Teorema sull'angolo tra le secanti

L'angolo tra due secanti disegnate dallo stesso punto è uguale alla semidifferenza in gradi dell'arco maggiore e di quello minore che tagliano.

Prova

Sia \(M\) il punto da cui si tracciano due secanti come mostrato in figura:

Mostriamolo \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\) è l'angolo esterno del triangolo \(MAD\), quindi \(\angolo DAB = \angolo DMB + \angolo MDA\) Kyyhkynen \(\angolo DMB = \angolo DAB - \angolo MDA\), ma gli angoli \(\angolo DAB\) e \(\angolo MDA\) sono inscritti, allora \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), che era ciò che doveva essere dimostrato.

Teorema sull'angolo tra corde che si intersecano

L'angolo formato da due corde che si intersecano è pari alla metà della somma delle misure in gradi degli archi da esse tagliati: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\oikea)\]

Prova

\(\angolo BMA = \angolo CMD\) tulevat pystysuoraan.

Dal triangolo \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Ma \(\angolo AMD = 180^\circ - \angolo CMD\), da cui concludiamo che \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ sorridi\sopra(CD)).\]

Teorema sull'angolo tra una corda e una tangente

L'angolo formato dalla tangente alla corda passante per il punto di tangenza è pari alla metà della misura in gradi dell'arco sotteso dalla corda.

Prova

Lascia che la retta \(a\) tocchi il cerchio nel punto \(A\), \(AB\) è la corda di questo cerchio, \(O\) è il suo centro. Lascia che la linea contenente \(OB\) intersechi \(a\) nel punto \(M\) . Dimostriamolo \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Indichiamo \(\angle OAB = \alpha\) . Poiché \(OA\) e \(OB\) sono raggi, allora \(OA = OB\) e \(\angolo OBA = \angolo OAB = \alfa\). Così, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Poiché \(OA\) è il raggio tracciato al punto tangente, allora \(OA\perp a\), cioè \(\angle OAM = 90^\circ\), quindi, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Teorema sugli archi sottesi da corde uguali

Corde uguali sottendono archi uguali più piccoli dei semicerchi.

Ja päinvastoin: archi uguali sono sottesi da accordi uguali.

Prova

1) Sia \(AB=CD\) . Dimostriamo che i semicerchi più piccoli dell'arco.

Su tre lati quindi \(\angolo AOB=\angolo COD\) . Ma perché \(\angle AOB, \angle COD\) - angoli al centro sostenuti da archi \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) di conseguenza, quindi \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Se \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\) Quello \(\triangolo AOB=\triangolo COD\) su due lati \(AO=BO=CO=DO\) e l'angolo compreso tra loro \(\angolo AOB=\angolo COD\) . Pertanto, e\(AB=CD\) .

Teorema

Se il raggio divide in due la corda allora è perpendicolare ad essa.

È vero anche il contrario: se il raggio è perpendicolare alla corda, nel punto di intersezione la biseca.

Prova

1) Sia \(AN=NB\) . Dimostriamo che \(OQ\perp AB\) .

Huomioi \(\triangolo AOB\): tasakylkinen, perché \(OA=OB\) – raggi del cerchio. Perché \(ON\) è la mediana portata alla base, quindi è anche l'altezza, quindi \(ON\perp AB\) .

2) Sia \(OQ\perp AB\) . Dimostriamo che \(AN=NB\) .

Allo stesso modo, \(\triangolo AOB\) on tasakylkinen, \(ON\) è l'altezza, quindi \(ON\) è la mediana. Pertanto, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Teoremi relativi alla lunghezza dei segmenti)))\]

Teorema sul prodotto di segmenti di corda

Se due corde di una circonferenza si intersecano, il prodotto dei segmenti di una corda è uguale al prodotto dei segmenti dell'altra corda.

Prova

Lascia che gli accordi \(AB\) e \(CD\) ja intersechino nel punto \(E\) .

Ota huomioon triangoli \(ADE\) e \(CBE\) . In questi triangoli gli angoli \(1\) e \(2\) sono uguali, poiché sono inscritti e poggiano sullo stesso arco \(BD\), e gli angoli \(3\) e \(4\) sono uguali come pystysuoraan. I triangoli \(ADE\) e \(CBE\) sono simili (in base al primo criterio di somiglianza dei triangoli).

Poi \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), da dove \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Teorema della tangente e della secante

Quadrato del segmento tangente Guale al prodotto secante alla sua parte esterna.

Prova

Lascia che la tangente passi per il punto \(M\) e tocchi la circonferenza nel punto \(A\) . Lasciamo che la secante passi per il punto \(M\) e intersechiamo la circonferenza nei punti \(B\) e \(C\) in modo che \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Huomioi triangoli \(MBA\) e \(MCA\): \(\angolo M\) è comune, \(\angolo BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Secondo il teorema sull'angolo formato da una tangente e una secante, \(\angolo BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angolo BCA\). Pertanto, i triangoli \(MBA\) ja \(MCA\) sono simili su due angoli.

Dalla somiglianza dei triangoli \(MBA\) ja \(MCA\) abbiamo: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), che vastaa a \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Conseguenza

Il prodotto di una secante tracciata dal punto \(O\) per la sua parte esterna non dipende dalla scelta della secante tracciata dal punto \(O\) .

Diretto ( MN), avente un solo punto in comune con il cerchio ( YK), chiamato tangente al cerchio.

Il punto comune si chiama in questo caso punto di contatto.

Possibilità di esistenza tangente, e, inoltre, tracciato attraverso qualsiasi punto cerchio, come punto di tangenza, si dimostra come segue teoria.

Lascia che sia necessario eseguire cerchio con centro O tangente attraverso il punto YK. Per farlo dal punto YK, come dal centro, descriviamo arco raggio A.O., e dal punto O, come centro, intersechiamo questo arco nei punti B E CON Una soluzione del compasso uguale al diametro del cerchio dato.

Dopo aver speso allora harmonia O.B. E järjestelmä operativo collega il punto YK con punti D E E, in cui questi accordi si intersecano con un dato cerchio. Diretto ANNO DOMINI E A.E. - tangenti ad una circonferenza O. Effetti, dalla costruzione ja chiaro che triangoli AOB E AOC tasakylkinen(AO=AB=AC) con basi O.B. E järjestelmä operativo, uguale al diametro del cerchio O.

Perché TEHDÄ. E O.E.- raggi, allora D - mezzo O.B., YK E- mezzo järjestelmä operativo, Significa ANNO DOMINI E A.E. - mediaani,portato alle basi triangoli isosceli, e quindi perpendicolare a queste basi. Se dritto D.A. E E.A. perpendicolare ai raggi TEHDÄ. E O.E., Allora loro - tangenti.

Conseguenza.

Due tangenti condotte da un punto ad una circonferenza sono uguali e formano angoli uguali con la retta che collega questo punto al centro.

COSÌ d.C.=EA e∠ OAD = ∠OAE Perché triangoli rettangoli AOD E AOE, avendo un comune ipotenusa A.O. e pari gambe TEHDÄ. E O.E.(come raggi), sono uguali. Nota che qui la parola "tangente" in realtà significa " segmento tangente”da un dato punto al punto di contatto.

Il concetto di tangente ad una circonferenza

Un cerchio ha tre possibili posizioni suhteellisen rispetto ad una linea retta:

Se la distanza dal centro del cerchio alla retta è minore del raggio, allora la retta ha due punti di intersezione con il cerchio.

Se la distanza dal centro del cerchio alla retta è uguale al raggio, allora la retta ha due punti di intersezione con il cerchio.

Se la distanza dal centro del cerchio alla retta è maggiore del raggio, allora la retta ha due punti di intersezione con il cerchio.

Introduciamo ora il concetto di retta tangente ad una circonferenza.

Määritelmä 1

Una tangente ad una circonferenza è una linea che ha con sé un punto di intersezione.

Il punto comune del cerchio e della tangente è chiamato punto di tangenza (kuva 1).

Kuva 1. Tangente a un cerchio

Teoremi relativi al concetto di tangente ad una circonferenza

Lause 1

Teorema della proprietà tangente: la tangente ad una circonferenza è perpendicolare al raggio tracciato nel punto di tangenza.

Prova.

Harkitse $O$:n keskuskonferenssia. Disegniamo la tangente $a$ nel punto $A$. $OA=r$ (kuvio 2).

Dimostriamo che $a\bot r$

Dimostremo il teorema per assurdo. Supponiamo che la tangente $a$ non sia perpendicolare al raggio del cerchio.

Kuva 2. Illustrazione del Teorema 1

Cioè $OA$ on inclinato rispetto alla tangente. Poiché la perpendicolare alla retta $a$ è semper minore di quella inclinata alla stessa retta, la distanza dal centro del cerchio alla retta è minore del raggio. Come sappiamo, in questo caso la retta ha due punti di intersezione con la circonferenza. Il che contraddice la definizione di tangente.

Pertanto la tangente è perpendicolare al raggio del cerchio.

Il teorema è stato dimostrato.

Lause 2

Inverso del teorema della proprietà tangente: Se una linea che passa per l'estremità del raggio di un cerchio è perpendicolare al raggio, allora questa linea è tangente a questo cerchio.

Prova.

Secondo le condizioni del problem, abbiamo che il raggio è una perpendicolare tracciata dal centro del cerchio ad una data retta. Pertanto la distanza dal centro del cerchio alla retta è uguale alla lunghezza del raggio. Come sappiamo, in questo caso il cerchio ha un soolo punto di intersezione con questa linea. Per la Definizione 1 troviamo che questa retta è tangente al cerchio.

Il teorema è stato dimostrato.

Lause 3

I segmenti tangenti a una circonferenza tracciata da un punto sono uguali e uguali angoli uguali con una linea retta che passa per questo punto e il centro del cerchio.

Prova.

Sia data una circonferenza con centro nel punto $O$. Dal punto $A$ (che giace sull'intera circonferenza) ja tracciano due tangenti diverse. Dal punto di contatto $B$ ja $C$ rispettivamente (kuva 3).

Dimostriamo che $\angolo BAO=\angolo CAO$ ja che $AB=AC$.

Kuva 3. Illustrazione del Teorema 3

Per il Teorema 1 abbiamo:

Pertanto ja triangoli $ABO$ ja $ACO$ sono triangoli rettangoli. Poiché $OB=OC=r$, e l'ipotenusa $OA$ è comune, allora questi triangoli sono uguali nell'ipotenusa e nel cateto.

Quindi otteniamo che $\angle BAO=\angle CAO$ ja $AB=AC$.

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio di problem sul concetto di tangente ad una circonferenza

Esempio 1

Data una circonferenza con centro nel punto $O$ e raggio $r=3\ cm$. La tangente $AC$ ha un punto di tangenza $C$. $AO=4\cm$. Hinta $AC$.

Soluzione.

Per prima cosa rappresentiamo tutto nella figura (kuva 4).

Kuva 4.

Poiché $AC$ è una tangente e $OC$ è un raggio, quindi con il Teorema 1, otteniamo che $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$. Abbiamo Scoperto che il triangolo $ACO$ è rettangolare, il che significa che, il teorema di Pitagora, abbiamo:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \

Punti $x\_0\backslash in\backslash mathbb(R)$, ed è differentiable in esso: $f\; \backslash in\; \backslash mathcal(D)(x\_0)$. Retta tangente al grafico di una funzione $F$ al punto $x\_0$è chiamato il grafico di una funzione lineare data dall'equazione $y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"(x\_0)(x-x\_0),\backslash quad\; x\backslash in\; \backslash mathbb(R)$.

Kommentoi

Dalla definizione segue direttamente che il grafico di una retta tangente passa per il punto $(x\_0,f(x\_0))$. Angolo $\backslash alfa$ tra la tangente alla curva e l'asse Ox soddisfa l'equazione

$\backslash nomeoperatore(tg)\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0)=\; k,$

Kyyhkynen $\backslash nomeoperatore(tg)$ denota tangente $\backslash nomeoperatore\; (k)$- coefficiente di pendenza tangente. Derivata in un punto $x\_0$ uguale a pendenza tangente al grafico della funzione $y\; =\; f(x)$ questo punto.

Tangente come posizione limite di una secante

Permetere $f\backslash due\; punti\; U(x\_0)\; \backslash to\; \backslash R$ E $x\_1\; \backslash in\; U(x\_0).$ Poi una linea retta che passa per i punti $(x\_0,f(x\_0))$ E $(x\_1,f(x\_1))$ dato dall'equazione

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; \backslash frac(f(x\_1)\; -\; f(x\_0))(x\_1\; -\; x\_0)(x-x\_0).$

Questa linea passa per il punto $(x\_0,f(x\_0))$ per chiunque $x\_1\backslash inU(x\_0),$ e il suo angolo di inclinazione $\backslash alfa(x\_1)$ soddisfa l'equazione

$\backslash nomeoperatore(tg)\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; \backslash frac(f(x\_1)\; -\; f(x\_0))(x\_1\; -\; x\_0).$

A causa dell'esistenza della funzione derivativa $F$ al punto $x\_0,$ andando al limite a $x\_1\; \backslash a\; x\_0,$ troviamo che c'è un limite

$\backslash lim\backslash limits\_(x\_1\; \backslash to\; x\_0)\; \backslash nomeoperatore(tg)\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; f"(x\_0),$

e per la continuità dell'arcotangente e dell'angolo limite

$\backslash alpha\; =\; \backslash nomeoperatore(arctg)\backslash ,f"(x\_0).$

Retta passante per un punto $(x\_0,f(x\_0))$ e avente un angolo di inclinazione massimo che soddisfi $\backslash nomeoperatore(tg)\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0),$è dato dall'equazione tangente:

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"(x\_0)(x-x\_0).$

Tangente ad una circonferenza

Una retta che ha un punto in comune con una circonferenza e giace sul suo stesso piano si dice tangente alla circonferenza.

Proprietà

1. Una tangente ad una circonferenza è perpendicolare al raggio tracciato fino al punto di tangenza.
2. I segmenti tangenti a una circonferenza tracciata da un punto sono uguali e formano angoli uguali con una retta passante per questo punto e il centro della circonferenza.
3. La lunghezza di un segmento tangente tracciato a una circonferenza di raggio unitario, preso tra il punto di tangenza e il punto di intersezione della tangente con un raggio tracciato dal centro del cerchio, è la tangente dell'angolo compreso di raggio tra e questoil Centro della circonferenza al punto di tangenza. "Tangente" dal lat. tangenti- "tangente".

Muutokset ja yleistykset

Semitangenti unilaterali

• See esiste una derivata giusta Quello semitangente destra al grafico della funzione $F$ al punto $x\_0$ chiamato raggio

• Se esiste una derivata sinistra Quello semitangente sinistra al grafico della funzione $F$ al punto $x\_0$ chiamato raggio

• Se esiste una derivata giusta infinita $f"\_+(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ $F$ al punto $x\_0$ chiamato raggio

• Katso esiste una derivata sinistra infinita $f"\_-(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ quindi la semitangente destra al grafico della funzione $F$ al punto $x\_0$ chiamato raggio

Guarda anche

• Normaali, binormaali

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Letteratura

• Toponogov V.A. Geometria differentenziale di curve e superfici. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
• // Dizionario enciclopedico di Brockhaus ed Efron: in 86 volumi (82 volumi e 4 aggiuntivi). - San Pietroburgo. , 1890-1907.

Un estratto che caratterizza la linea tangente

Ricordiamo i casi della posizione relativa di una linea e di un cerchio.

Data una circonferenza di centro O e raggio r. Retta P, la distanza dal centro alla retta, cioè perpendicolare alla OM, è uguale a d.

Caso 1- la distanza dal centro del cerchio alla retta è inferiore al raggio del cerchio:

Abbiamo dimostrato che nel caso in cui la distanza d è minore del raggio del cerchio r, la retta e il cerchio hanno solo due punti in comune (kuva 1).

Riso. 1. Illustrazione del caso 1

Caso johtuu- la distanza dal centro del cerchio alla retta è uguale al raggio del cerchio:

Abbiamo dimostrato che in questo caso esiste un solo punto in comune (kuva 2).

Riso. 2. Illustrazione per il caso 2

Case 3- la distanza dal centro del cerchio alla retta è maggiore del raggio del cerchio:

Abbiamo dimostrato che in questo caso il cerchio e la retta non hanno punti in comune (kuva 3).

Riso. 3. Illustrazione per il caso 3

In questa lezione siamo interessati al secondo caso, quando una linea e un cerchio hanno un unico punto in comune.

Määritelmä:

Una linea retta che ha un solo punto in comune con un cerchio è detta tangente al cerchio; un punto in comune è detto tangente della linea e del cerchio.

La retta p è una tangente, il punto A è un punto di tangenza (kuva 4).

Riso. 4. Tangente

Teorema:

La tangente al cerchio è perpendicolare al raggio tracciato fino al punto di contatto (kuva 5).

Riso. 5. Illustrazione del teorema

Todistus:

Sia invece OA non perpendicolare alla retta r. In questo caso abbassiamo una perpendicolare dal punto O alla retta p, che sarà la distanza dal centro del cerchio alla retta:

Da un triangolo rettangolo possiamo dire che l'ipotenusa OH è minore del cateto OA, cioè la retta e il cerchio hanno due punti in comune, la retta p è una secante. Quindi abbiamo ottenuto una contradizione, il che significa che il teorema è dimostrato.

Riso. 6. Illustrazione del teorema

È vero anche il teorema inverso.

Teorema:

Se una retta passa per l'estremità di un raggio che giace su una circonferenza ed è perpendicolare a questo raggio, allora è tangente.

Todistus:

Poiché la retta è perpendicolare al raggio, la distanza OA è la distanza dalla retta al centro del cerchio ed è uguale al raggio: . Cioè, in questo caso, come abbiamo dimostrato in precedenza, la linea e il cerchio hanno l'unico punto in comune: il punto A, quindi la linea p è tangente al cerchio per definizione (kuva 7).

Riso. 7. Illustrazione del teorema

I teoremi diretto e inverso possono essere combinati come segue (kuva 8):

Data una circonferenza di centro O, retta p, raggio OA

Riso. 8. Illustrazione del teorema

Teorema:

Una retta è tangente ad una circonferenza se e soolo se il raggio tracciato nel punto di tangenza è perpendicolare ad essa.

Questo teorema significa che se una retta è tangente, allora il raggio tracciato fino al punto di tangenza gli è perpendicolare e viceversa, dalla perpendicolarità di OA e p segue che p è tangente, cioè la retta e il un cerchio hanto.

Huomioi tangenti tracciate da un punto a una circonferenza.

Teorema:

I segmentti tangenti a una circonferenza tracciata da un punto sono uguali e formano angoli uguali con una retta passante per questo punto e il centro della circonferenza.

Data una circonferenza, centro O, punto A esterno alla circonferenza. Dal punto A si tracciano due tangenti, i punti B e C sono punti di tangenza. Devi dimostrare che gli angoli 3 e 4 sono uguali.

Riso. 9. Illustrazione del teorema

Todistus:

La dimostrazione si basa sull'uguaglianza dei triangoli . Spieghiamo l'uguaglianza dei triangoli. Sono rettangolari perché il raggio tracciato fino al punto di contatto è perpendicolare alla tangente. Ciò significa che gli angoli sono entrambi retti e uguali in . I cateti OB ja OS sono uguali, poiché sono il raggio del cerchio. L'ipotenusa AO on yleinen.

Pertanto, i triangoli sono uguali in termini di uguaglianza del cateto e dell'ipotenusa. Da qui è ovvio che anche i catateti AB e AC sono uguali. Anche angoli opposti lati uguali, sono uguali, il che significa che gli angoli e, sono uguali.

Il teorema è stato dimostrato.

Abbiamo quindi acquisito familiarità con il concetto di tangente ad un cerchio; nella prossima lezione vedremo la misura in gradi di un arco di cerchio;

Bibliografia

1. Aleksandrov A.D. ecc. Geometria 8a elementare. - M.: Educazione, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria 8. - M.: Educazione, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria 8a elementare. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Univer.omsk.su ().
2. Oldskola1.narod.ru ().
3. School6.aviel.ru ().

Compiti a casa

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et ai., Geometria 7-9, n. 634-637, sivu 168.