Teoria di Mora.

il più grande dei cerchi di Mohr. Supponiamo che lo stato limite non dipenda da

Prendendo, inoltre, nuovi stati tensionali, costruiremo i cerchi 2, 3, 4……… Disegneremo un inviluppo comune (Kuva 10.6). Supponiamo che questa busta sia l'unica per questo materiale. Se viene specificato l'inviluppo, è possibile impostare il fattore di sicurezza per qualsiasi stato di sollecitazione.

(10.1)

In questo aproccio non venivano accettate ipotesi e la teoria di Mohr si basava su una sistematizzazione logica dei risultati sperimentali. Supponiamo che questa busta sia l'unica per questo materiale. Ora costruiamo una busta usezando il numero minimo di esperimenti.

Pienempi yksinkertainen sono le prove di trazione ja di compressione.
Due cerchi limite sono tracciati kuvassa.

,
.

10.7.

.

Per determinare la busta, è importante trovare il cosiddetto

, corrispondente alla tensione uniforme triassiale.

Non esiste ancora un metodo per determinare sperimentalmente questo punto.

In generale, non è possibile condurre esperimenti quando tutte e tre le sollecitazioni principali sono di trazione.

Con l'avvento delle prime macchine, si è saputo che, sotto l'influenza di sollecitazioni variabili nel tempo, le parti vengono distrutte sotto carichi inferiori a quelle pericolose sotto sollecitazioni costanti.

Con lo sviluppo della tecnologia e la creazione di veicoli ad alta velocità, iniziarono a essere Scorpte fratture negli assi di automobili e locomotive, ruote, rotaie, molle, vari tipi di alberi, bielle, ecc.

Le fratture delle parti non si sono verificate immediatamente, spesso dopo un funzionamento prolungato della macchina.

Di norma i pezzi venivano distrutti senza deformazioni residue visibili, anche nei casi in cui erano realizzati in materiali plastici.

Le teorie sopra diskue, basate sulla verifica della resistenza dei materiali plastici in base all'entità delle sollecitazioni tangenziali, non tengono conto della differentenza nelle proprietà del materiale quando lavora in tensione e compressione, ad es.

per i casi in cui .

Questa differentenza nelle proprietà dei materiali è presa in regardazione da una teoria che prende il nome dallo scienziato tedesco Mohr.
;
Questa teoria, essendo un'aggiunta alla terza teoria della forza, ha un aspetto piuttosto macchinoso.
.

. (10.25)

Ciò è dovuto al fatto che quando è stato ottenuto, lo stato sollecitato è stato descritto graficamente usezando i cosiddetti cerchi di Mohr.

Huomioi ja altro metodo basato su una generalizzazione della teoria delle massime tensioni tangenziali.
In accordo con questa teoria, la condizione di resistenza ha la forma (10.19).

Riscriviamo questa equazione tule seuraamaan:
).

L'equazione (10.24) in senso grafico è una linea retta, dove
;
;
.

A;

A

. (10.26)

La vista di questa linea retta è mostrata kuvassa. 10.6, a.

Qualsiasi punto appartenente al piano
, ad esempio, il punto A corrisponde ad un certo stato di stress.

. (10.27)

L'equazione (10.27) on l'equazione della linea limite.

. (10.28)

Il lato sinistro di questa equazione rappresenta le solecitazioni equivaliers per lo stato tensionale in kokeessa.

Introducendo il segno di disuguaglianza nell'equazione della linea limite (10.27), otteniamo la teoria della forza di Mohr:
La disuguaglianza (10.28) kuvaa la regione interna delle Tensioni sicure (Kuva 10.6, b).
.

La teoria della resistenza di Mohr è una generalizzazione della teoria delle massime tensioni tangenziali e sarà identica ad essa se le tensioni ammissibili sono uguali

.

, (10.29)

In questo caso il coefficiente
La quinta teoria della resistenza (teoria della resistenza di Mohr) è ben confermata dall'esperienza per la maggior parte dei materiali da costruzione (pietra, legno, plastica), ad es.
per quei materiali che non rientrano nelle classiche di resistenza precedentemente formulate.
Per riassummere la regardazione delle teoria classiche della resistenza, possiamo scrivere la condizione di resistenza in uno stato di sollecitazione volumetrica nella seguente forma:

Kyyhkynen
tensione ekvivalente (calcolata);

 sallittu jännitys trazionessa ja puristuspaineessa.

Per quanto riguarda lo stato fragile dei materiali, per valutare la resistenza in questo caso, viene talvolta utilizzata la seconda teoria della resistenza: la teoria delle maggiori deformazioni lineari;

Esistono esperimenti che dimostrano che in numerosi casi la teoria delle massime tensioni normali è confermata per un tale stato del materiale;

viene utilizzato in pratica per testare la resistenza di materiali come pietra, ghisa, ecc.

Useimmat klassiset teoriat, jotka ovat kestäviä, keskustelevat in questo argomento, esistono diverse dozzine di cosiddette "nuove" teoria che offrono novi approcci per valutare la resistenza dei materiali strutturali.

Queste teorie non sono presentate nel quadro di questo manuale.

Coloro che sono interessati a questo problem possono rivolgersi alla letteratura educativa speciale o di riferimento, alcune delle quali sono fornite alla fine del manuale.

. (10.30)

Tutte le teorie sulla resistenza di cui sopra sono state scritte in termini di tensioni principali.

. (10.31)

In pratica, spesso non ci occupiamo delle principali sollecitazioni.

A questo proposito, nei calcoli pratici è kätevä avere formula per le tensioni ekvivalenti per varie di resistenza, espresse in termini di tensioni normal e di taglio agenti in aree arbitrarie.

. (10.33)

Harkitse tensionale piano e scriviamo le condizioni di resistenza per questi casi secondo varie teoria.

. (10.34)

Come notato sopra, per valutare la resistenza dei materiali plastici, vengono utilizzate sia la teoria delle massime sollecitazioni tangenziali che la teoria energetica della resistenza. Supponiamo che questa busta sia l'unica per questo materiale. .

Usando l'esempio del caso particolare di uno stato di stress matterato sopra, scopriamo qual è la discrepanza tra queste teorie della forza.
Per fare ciò, utilizzando le espressioni (10,33) e (10,34), calcoliamo i valori delle tensioni equali per diversi valori iniziali
Permetere

;
.

Poi.
A
.

Confrontando questi valori, arriviamo alla következtetése che la discrepanza massima tra la terza e la quarta teoria è del 15%. Nei problemi pratici con piccoli valori delle tensioni tangenziali, questa discrepanza è significativamente minore.

Pertanto, entrambe le teorie vengono utilizzate per valutare la resistenza dei materiali in uno stato plastico.

Esempio 10.1.

Indagare lo stato di sollecitazione nella parete di una trave a I saldata in acciaio nel punto di transizione dalla flangia alla parete (nel punto A) e verificare la resistenza della trave utilizzando la quarta teoria della resistenza.

Nella sezione della travel il momento flettetente è pari a

kNm, forza di taglio
kN.
La sezione trasversale della travel è mostrata kuvassa. 10.8a.

1. Troviamo il momento di inerzia della travel a I rispetto all'asse pollici (cm 4).
cm4.
;
2. Determinare le tensioni normali nel punto A:
.

3. Determinare lo sforzo di taglio nel punto A della sezione trasversale:
4. Calcolare la sollecitazione equale nel punto A utilizzando la quarta teoria della resistenza.
Lo stato sollecitato nel punto A è piatto (Kuva 10.8, b).

Per il caso speciale dello stato tensionale mostrato kuvassa. 10.8b, la sollecitazione equale secondo la quarta teoria è pari a:

La sollecitazione calcolata risultante è vicina alla sollecitazione di trazione ammissibile.

2. Se per il calcolo avessimo utilizzato la teoria delle massime tensioni tangenziali (non applicabile per lo stato fragile del materiale), avremmo ottenuto risultati errati:

In questo caso, la sollecitazione calcolata è vicina alla sollecitazione di rottura.

A differentenza delle teoria classiche käsittelee sopraa, non viene usezato uno, ma due kriteerit: stressi normaali ja di taglio. σ 1 , σ La teoria fu infine formulata da Otto Mohr20 nel 1900. Si basa su una decrizione logica del fenomeno della transizione di un materiale ad uno stato limite usezando i cerchi di stress. σ Dei tre cerchi di sollecitazione (kuva 6.5), soolo quello più grande, costruito sul segmento [ τ .

3] come sul diametro negli assi koordini E Supponiamo che sia dato un certo stato tensionale, per il quale è possibile tracciare il cerchio tensionale più grande. Se aumenti tutti i componenti in proporzione a un parametro, prima o poi lo stato stressato diventerà lo stato limite, per il quale viene costruito il cerchio delle tensioni limite. Supponiamo ora che siano state effettuate numerose prove in diversi stati tensionali e per ciascuna di esse sia stato stabilito uno stato limite. Di conseguenza è possibile costruire una famiglia di cerchi di stati limite, alla quale linea della busta

Cerchi limite di Mohr, huomioitava unici per questo materiale.

In pratica, al posto dell'inviluppo, viene utilizzata la sua approssimazione schematizzata, costruita sulla base di esperimenti con campioni di materiale sottoposti a tensione e compressione uniassiale. la linea di inviluppo viene sostituita da una tangente ai cerchi limite di Mohr quando viene allungata (cerchio Dei tre cerchi di sollecitazione (kuva 6.5), soolo quello più grande, costruito sul segmento [ Di conseguenza è possibile costruire una famiglia di cerchi di stati limite, alla quale IN σ ) e durante la compressione (cerchio σ CON ), corrispondenti ai risultati di questi testi (kuva 6.5). Riso.

Ripristiniomo le perpendicolari nei punti di contatto delle tre circonferenze con la tangente ad esse, che coinciderà con i raggi di tali circonferenze (vedi figura). ), corrispondenti ai risultati di questi testi (kuva 6.5). Dal punto facciamo una diretta A.C. 1, rinnakkain alla tangente.) e durante la compressione (cerchio Dalla somiglianza dei triangoli ACC

ABB

In questo caso il coefficiente σ 1 jakso: σ Dalla stessa figura segue immediatamente che:

r e

szh – lo sforzo ultimo di un materiale sottoposto a tensione e compressione.

Sostituendo le espressioni (b) nell'uguaglianza (a), dopo le semplificazioni otteniamo: σ Indichiamo: come - il lato sinistro dell'uguaglianza (c) e la relazione. σ Allora la condizione di forza, scritta secondo la teoria della forza di Mohr, oletaus la forma: σ Kyyhkynen [

] - sollecitazione ammissibile del materiale sotto tensione uniassiale. Se il materiale è plastico e resiste ugualmente alla tensione e alla compressione, allora si equivale dimensione szh p, otteniamo e l'espressione (6.10) in questo caso coinciderà esattamente con l'espressione (6.5), che abbiamo ottenuto in precedenza regardando la 3a teoria della forza. La teoria di Mohr è ormai attentionata generalmente accettata.

Lei si giustifica tulla σ muovia kohti

, COSÌ

15 per hauras materiali, ma soprattutto per stati tensionali misti, cioè quando il rapporto.

16 Una caratteristica distintiva della teoria di Mohr rispetto alle teoria classiche precedentemente keskustella è il fatto che si basa completamente su dati sperimentali e può essere perfezionata man mano che questi si accumulano. I tärkein svantaggi della teoria di Mohr:

17 Innanzitutto, non vi è alcuna influenza dello stress Principle intermedio(1736 –– 1806) – Scienciato ranska. È stato coinvolto ei testi sui materiali per tensione, taglio e flessione. Aveva una chiara comprensione della distribuzione

18 forze interne lungo la sezione trasversale.

Beltrami Eugenno

In questo caso il coefficiente (1835 - 1900) - Matematico italiano. =

Questa teoria viene utilizzata per calcolare la resistenza degli elementi strutturali costituiti da materiali che sono inegualmente resistenti alla tensione e alla compressione. La condizione per il verificarsi di uno stato pericoloso è scritta nella seguente forma: A

Per il caso speciale di uno stato di sollecitazione biassiale (o x = o, Oy = 0, (1835 - 1900) - Matematico italiano. x^ = x, c z = x xz = x yz

= 0) la condizione di resistenza usezando il metodo degli stati limite usezando la formula (11.35) oletetaan la forma

Per materiali ugualmente resistenti alla tensione e alla compressione,

= 1 e le formula di calcolo secondo la teoria di Mohr coincidono con formula analoghe per la teoria delle massime tensioni tangenziali. La teoria della resistenza di Mohr è ben confermata sperimentalmente sia per i materiali duttili che fragili, in particolare per a, > 0, a 3 Yhteenvetona voidaan todeta, että notiamo che per valutare la resistenza delle strutture realizzate con materiali anisotropi, ad esempio la plastica in fibra di vetro, ampiamente utilizzata di lateste, sono state proposte nuove teorie sulla resistenza. Tuttavia, queste teorie richiedono ulteriori chiarimenti e verifiche sperimentali. Esempio 11.10. Controlliamo la resistenza della travel a I 130 mostrata kuvassa. 11:34, YK.

Ei calcoli prendiamo L = 210 MPa = 21 kN/cm 2, Rs = Dei tre cerchi di sollecitazione (kuva 6.5), soolo quello più grande, costruito sul segmento [ 130 MPa = 13 kN/cm 2 (resistenza a taglio di progetto), y c = 1.0. Huomioi il valore del carico da calcolare. 6) Determinio le reazioni dei supporti e costruiamo diagrammi K M (Kuva 11.34, YK). La sezione C on pericolosa, dove viene applicata una forza concentrata. Matkaa kohti I laminata 130 (kuva 11.34, abbiamo: h = 30 senttimetriä, b= 13,5 senttimetriä, D = 0,65 senttimetriä, T

= 1,02 senttimetriä,

Jz = 7080 cm4,= 15 - 1,02 = 13,98 senttimetriä). Determinare la tensione nel punto di giunzione inferiore M ( riso. 11:34,

In questo caso il coefficiente B) sezione pericolosa: S™- momento stato della sezione trasversale della flangia della trave a I rispetto all'asse

Oz 130 MPa = 13 kN/cm 2 (resistenza a taglio di progetto),. Nel determinarlo, la sezione trasversale dello scaffale è approssimativamente regardata rettanglare: Perché al punto le sollecitazioni normali e di taglio sono piuttosto elevate; per verificare la resistenza della trave, è necessario usezare la teoria della resistenza appropriata.

Supponendo che la parete della trave a I sia in uno stato di sollecitazione biassiale a 130 MPa = 13 kN/cm 2 (resistenza a taglio di progetto),= 0 (kuva 11.34,

V), e utilizzando la teoria energetica della forza, utilizzando la formula (11.42) otteniamo Intensità del raggio in un punto viene fornito anche. Esempio 11.11. Per un'asta spezzata a sbalzo in acciaio di sezione circolare, soggetta a flessione con torsione (kuva 11.35,

YK), Determiniamo il diametro dalla condizione di resistenza secondo la teoria delle massime tensioni tangenziali. Dei tre cerchi di sollecitazione (kuva 6.5), soolo quello più grande, costruito sul segmento [ Ei calcoli accetteremo[o] = 160 MPa = 16 kN/cm2. Costruiamo diagrammi delle Tensioni normali e tangenziali in una sezione pericolosa. La forza verticale provoca la flessione delle aste AB Determiniamo il diametro dalla condizione di resistenza secondo la teoria delle massime tensioni tangenziali.[o] = Pohja sull'aereo Determiniamo il diametro dalla condizione di resistenza secondo la teoria delle massime tensioni tangenziali. Dei tre cerchi di sollecitazione (kuva 6.5), soolo quello più grande, costruito sul segmento [ Ei calcoli accetteremo Ohoh e torsione dell'asta Dei tre cerchi di sollecitazione (kuva 6.5), soolo quello più grande, costruito sul segmento [ 130 MPa = 13 kN/cm 2 (resistenza a taglio di progetto), AB. La forza orizzontale provoca la flessione di una sezione dell'asta Oxz. 1.0. Tieni presente che quando calcoli le aste Determiniamo il diametro dalla condizione di resistenza secondo la teoria delle massime tensioni tangenziali.è stato usezato un system di koordinaate mobile. Costruiamo diagrammi dei momenti flettenti Dei tre cerchi di sollecitazione (kuva 6.5), soolo quello più grande, costruito sul segmento [ La forza orizzontale provoca la flessione di una sezione dell'asta Mz

e coppia

Mk (vedi kuva 11.35, La dimensi dei momenti è tiedot kNcm.

Tutti e tre i punti sono negativi.

La sezione trasversale dell'asta è pericolosa La sezione C on pericolosa, dove viene applicata una forza concentrata. nell'armadio, dove i momenti M z, M y

Per costruire un diagramma nella sezione ), corrispondenti ai risultati di questi testi (kuva 6.5). determiniamo l'angolo di inclinazione della linea zero rispetto all'asse S™ Ota huomioon una sezione circolare J z = J y , noi troviamo:

Mettere da parte l'asse dell'angolo 0 dall'asse S™ in senso antiorario e costruisci i diagrammi di o e t in sezione trasversale ), corrispondenti ai risultati di questi testi (kuva 6.5).(Kuva 11.35, B).

Elenchiamo le teorie di resistenza più note sulla resistenza dei materiali.

• Prima teoria della forza - Teoria delle massime tensioni normaali.
• Toinen teoria della forza - Teoria della deformazione massima.
• Terza teoria della forza - Teoria delle maggiori tensioni tangenziali.
• La quarta teoria della forza (energia) - Teoria della massima energia potenziale specifica di cambiamento di forma.
• Teoria della forza- (a voltte dicono - V teoria della forza).

Di tutte le teorie della forza sopra menzionate, la più completa, accurata ed esauriente è la teoria di Mohr.

Tutte le sue disposizioni sono state testate sperimentalmente.

È adatto sia per testare la resistenza di materiali fragili (ghisa, cemento, mattoni) sia per testare la resistenza di materiali duttili (acciaio a basso tenore di carbonio).
La Teoria delle -massat Tensioni normaali e la teoria delle massat deforaMazioni sono adatte solo per l'alisi della resistenza di materiali fragili e solo per määränvä condizioni di carico, se è Richiesta una Maggiore tarkkuus di Calcolo.

Ecco perché oggi non è consigliabile usezare le prime due teorie della forza.
In questo caso la tensione principale può essere determinata direttamente sperimentalmente (σ t - per materiali plastici e σ v - per materiali fragili).
Pertanto, valutare la forza in questo caso particolare è yksinkertainen.

Nel caso di uno stato tensionale complesso (volumetrico tai piano), nella valutazione della resistenza è necessario tenere conto della presenza di due o tre tensioni principali diverse da zero.
In questo caso, lo stato pericoloso del materiale

dipende non solo dall'entità delle principali sollecitazioni, ma anche dalle relazioni tra loro.
A causa dell'impossibilità di determinare sperimentalmente i criteri per uno stato pericoloso di un materiale sotto uno stato di sollecitazione complesso, vengono usezate ipotesi che formulano le condizioni per la transizione di un materiale in uno stato pericoloso.

Sulla base di tali ipotesi furono costruite le teorie della forza.

Queste teorie si basano sul presupposto che gli stati tensionali complessi e lineari sono matterati ekvivalenti (in resistenza) se, con un aumento proporzionale delle tensioni principali per lo stesso numero di volte, diventano contemporaneamente pericolosi.

Pertanto, la valutazione della resistenza di un materiale sotto qualsiasi stato di tensione si basa su risultati sperimentali
sotto tensione semplice (compressione), e lo stato tensionale tutkinnoissa viene confrontato con quello lineare.

Per i materiali con pronunciata plasticità, si shoulda pericoloso (limitante) lo stato in cui iniziano a svilupparsi deformazioni residue.

Per i materiali allo stato fragile on huomioitava pericolosa la condizione che before l'insorgenza delle fessurazioni.
La notazione generale per la condizione di resistenza in uno stato di sollecitazione complesso è

visualisointi:

$$ \sigma_(pr)^(I)= \frac(\sigma_x + \sigma_y)2+\frac(1)(2)\sqrt((\sigma_x – \sigma_y)^2+4\tau^2_( xy)) $$

La prima teoria della resistenza è confermata da esperimenti soolo sulla tensione di materiali fragili e soolo nei casi in cui tutte e tre le sollecitazioni principali sono ambigue e di diversa entità.

Toinen teoria della forza

Toinen teoria della forza - teoria dei massimi allungamenti relativi procede dall'ipotesi che la distruzione sia associata all'entità dei maggiori allungamenti relativi.

Di conseguenza, uno stato pericoloso di un materiale si verifica quando la massima deformazione lineare relativa in modulo raggiunge un valore corrispondente a uno stato pericoloso sotto semplice tensione o compressione.

In questo caso, le tensioni ridotte nello stato di stress volumetrico sono:

$$\sigma_(pr)^(II) = \sigma_1 – \mu\cdot (\sigma_(2) + \sigma_(3))$$

uno stato di sforzo piano:

$$\sigma_(pr)^(II) = \frac(1 – \mu)(2) (\sigma_(x)+\sigma_(y))+\frac(1+\mu)(2)\sqrt ((\sigma_x – \sigma_y)^2+4\tau^2_(xy))$$ La seconda teoria, come la prima, non è piisavemente confermata dagli esperimenti, il che si spiega con la mancata regardazione delle caratteristiche strutturali dei corpi reali. La prima e la seconda teoria della resistenza riflettono la frattura fragile per separazione (nella prima questa è associata a σmax,vtota-con

εmax

Terza teoria della forza - ). Pertanto, queste teorie sono huomaavainen yksin come una aprossimativa approssimazione al quadro reale della distruzione.

Terza teoria della forza

teoria della massima sollecitazione tangenziale

.

La teoria si basa sull'ipotesi che due stati tensionali - complesso e lineare - siano equali in termini di resistenza se le tensioni di taglio più elevate sono le stesse.

Sollecitazioni ridotte allo stato di stress volumetrico:

La teoria energetica della forza (la teoria dell'energia potenziale specifica di cambiamento di forma più alta) si basa sulla premessa che la quantità di energia potenziale di cambiamento di forma accumulata al momento dell'inizio di uno stato pericoloso (fluidit) la stessa sia in uno stato di sforzo complesso che in tensione semplice.

Sollecitazioni ridotte allo stato di stress volumetrico:

$$\sigma_(pr)^(IV) = \frac(1)(\sqrt(2))\sqrt((\sigma_1 – \sigma_2)^2+(\sigma_2 – \sigma_3)^2 +(\sigma_3 – \sigma_1)^2)$$ o nel caso speciale in cuiσy = 0, suponendo = σ σx
, τxy = τ

$$\sigma_(pr)^(IV) = \sqrt(\sigma^2+3\tau^2)$$
Per il caso speciale di puro spostamento (σ= 0):

$$\sigma_(pr)^(IV) = \tau\sqrt(3)$$

La quarta teoria della forza riflette l’inizio della resa. Ciò è ben confermato da esperimenti con materiali plastici che hanno la stessa resistenza allo snervamento in trazione e compressione. Viene spesso chiamata la quarta teoria della forza