interpolointi, interpolointi (a partire dal lat. inter-polis - « levigato, rinnovato, rinnovato; muuntaa") - in matematica computazionale, un metodo per trovare valori intermedi di una quantità da un insieme discreto disponibile di valori noti. Il termine "interpolazione" fu usato per la prima volta da John Wallis nel suo trattato "L'aritmetica dell'infinito" (1656).

In analisi funzionale, l'interpolazione degli operatori lineari è una sezione, joka ottaa huomioon Banachin spazit, jotka ovat tietyn luokan elementtejä.

Molti di coloro che si trovano di fronte a calcoli sciencei e ingegneristici, spesso devono operare su un insieme di valori ottenuti empiricamente o casualmente. Di norma, sulla base di questi insiemi, è necessario costruire una funzione che possa ricevere altri valori ottenuti con elevata precisione. Questo ongelma si chiama approssimazione. L'interpolazione è un tipo di approssimazione in cui la curva della funzione costruita passa esattamente attraverso i punti dati disponibili.

C'è anche un problem vicino all'interpolazione, che compose nell'approssimare alcuni funzione complessa un'alttra funzione più yksinkertainen. Se una funzione è troppo complessa per i calcoli delle prestazioni, puoi provare a calcolarne il valore in più punti e da questi creare, ovvero interpolare, una funzione più semplice. Ovviamente, l'uso di una funzione semplificata non production gli stessi risultati esatti della funzione originale. Ma in alcune classi di problemi, il guadagno ottenuto in termini di semplicità e velocità di calcolo può superare l'errore risultante nei risultati.

Degno di nota è anche un type completamente diverso di interpolazione matematica nota come interpolazione degli operatori. Gli articoli classici sull'interpolazione degli operatori includono il teorema di Riesz-Thorin e il teorema di Marcinkiewicz, che sono alla base di molti altri articoli.

Definizioni

Ota huomioon un system di punti non corrispondenti xi (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0, 1,…, N (\displaystyle i\in (0,1,\punti,N))) da una regione D (\ displaystyle D) ... Lascia che i valori della funzione f (\displaystyle f)siano noti soolo in questi punti:

Y i = f (x i), i = 1,…, N. (\tyyli di visualizzazione y_(i) = f (x_(i)),\quad i = 1,\ldots, N.)

Il problem dell'interpolazione koostuu nel trovare una funzione F (\displaystyle F) da una data classe di funzioni tale che

F (x i) = y i, i = 1,…, N. (\tyyli di visualizzazione F (x_(i)) = y_(i),\quad i = 1,\ldots, N.)

• I punti x i (\displaystyle x_(i)) sono chiamati nodi di interpolazione, e la loro totalità è griglia di interpolazione.
• Le coppie (x i, y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) sono chiamate punti dati o punti pohja.
• La differentenza tra i valori "adiacenti" Δ x i = x i - x i - 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - passo della griglia di interpolazione... Può essere sia variabile che costante.
• La funzione F (x) (\stile di visualizzazione F (x)) - interpolaation toiminto o interpolante.

Esempio

1. Supponiamo di avere una funzione tabella come quella descritta di seguito, che per diversi valori di x (\displaystyle x) determinina i corrispondenti valori di f (\displaystyle f):

X (\stile di visualizzazione x) f (x) (\stile di visualizzazione f (x))

L'interpolazione ci aiuta a scoprire quale valore può avere una tale funzione in un punto diverso dai punti specificati (ad esempio at X = 2,5).

Ormai esistono molti metodi di interpolazione differenti. La scelta dell'algoritmo più adatto dipende dalle risposte alle domande: quanto è accurato il metodo scelto, quali sono i costi per usezarlo, quanti è fluida la funzione di interpolazione, quanti punti dati richiede, ecc.

2. Trovare il valore intermedio (mediante interpolazione lineare).

15,5 + (6378 - 6000) 8000 - 6000 ∗ (19,2 - 15,5) 1 = 16,1993 (\stile-näyttö? = 15,5 + (\frac ((6378-6000)) (8000 - 6000) (*9\f.2) - 15.5)) (1)) = 16.1993)

Ei linguaggi di programzione

Lineaariset interpolaatiot per y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)). L'utente può inserire un numero da 1-10.

Fortran

C++

Metodi di interpolazione

Interpolazione del vicino più vicino

Il Metodo di Interpolazione più semplice è l'interpolazione del vicino più prossimo.

Interpolatsio polynomia kohti

In pratica, l'interpolazione per polinomi viene usezata più spesso. Ciò è dovuto principalmente al fatto che i polinomi sono facili da calcolare, è facile trovare le loro derivate analiticamente e l'insieme dei polinomi è denso nello spazio delle funzioni jatkaa (teorema di Weierstrass).

• Lineaarinen interpolaatio
• Newtonin interpolaatiokaava
• Metodo delle differentenze finite
• IMN-1 ja IMN-2
• Polinomio di Lagrange (polinomio di interpolazione)
• Aitkenin skeema
• Funzione spline
• Spline-kuutio

Interpolazione inversa (calcolo di x per un dato y)

• Polinomio di Lagrange
• Interpolaatio käänteisesti Newtonin kaavalla
• Interpolaatio gaussiana inversa

Interpolaatio di una funzione di più variabili

• Interpolatsion bilineaarinen
• Interpolazione bicubica

Altri metodi di interpolazione

• Interpoloinnin perustelut
• Trigonometrinen interpolaatio

Concetti correlati

• Estrapolazione - metodi per trovare punti al di fuori di un intervallo specificato (estensione della curva)
• Approssimazione - menetelmä per costruire curve approssimate

Interpolaatio käänteisesti

sulla classe di funzioni dallo spazio C2 i cui grafici passano per i punti dell'array (xi, yi), i = 0, 1,. ... ... , m.

Soluzione. Tra tutte le funzioni che passano per i punti di appoggio (xi, f (xi)) e appartengono allo spazio citato, è la spline cubica S (x), che soddisfa le condizioni al contorno S00 (a) = S00 (b) = 0, fornisce un funzionale estremo (minimo) I (f).

Spesso, in pratica, si pone il problema di trovare il valore di un argomento da un dato valore di una funzione. Questo problem viene risolto con i metodi dell'interpolazione inversa. Se funzione preimpostataè monotona, quindi l'interpolazione inversa è pù simpplice da realizzare sostituendo la funzione con un argomento e viceversa e quindi interpolado. Se la funzione data non è monotona, questa technica non può essere usezata. Quindi, senza cambiare i ruoli della funzione e dell'argomento, scriviamo questa o quella formula di interpolazione; usando i valori noti dell'argomento e, regardando la funzione nota, risolviamo l'equazione risultante per l'argomento.

La stima del resto quando si useza la prima tecnica sarà la stessa dell'interpolazione diretta, solo le derivate della funzione diretta devono essere sostituite dalle derivate della funzione inversa. Stimiamo l'errore del secondo metodo. Katso nämä tiedot f (x) e Ln (x) funktiosta, joka on Lagrange-costruito interpolaatiopolinomi funktiolla, joka ei ole nodi x0, x1, x2,. ... ... , xn, allora

f (x) - Ln (x) = (n + 1)! (x - x0). ... ... (x - xn).

Supponiamo di dover trovare il valore di x¯ per cui f (¯x) = y¯ (y¯ è dato). Risolveremo l'equazione Ln (x) = y¯. Otteniamo un valore di x¯. Sostituendo nell'equazione precedente si ottiene:

dall'ultima espressione kulku:

| x¯ - x¯ | 6m1(n+1)! | $n(x¯) | ...

In questo caso, ovviamente, si oletetaan di aver risolto esattamente l'equazione Ln (x) = y¯.

Utilizzo dell'interpolazione per Comporre tabelle

La teoria dell'interpolazione ha applicazioni nella compilazione di tabelle di funzioni. Avendo ricevuto un tale problem, il matematico deve risolvere una serie di domande prima di iniziare i calcoli. È necessario scegliere una formula con cui paljonno eseguiti i calcoli. Questa formula può variare da sito a sito. Solitamente le formula per calcolare i valori di una funzione sono macchinose e quindi servono per ricavare dei valori di riferimento e poi, sottotabulando, condensano la tabella. La formula che fornisce i valori di riferimento per la funzione dovrebbe fornire la precisione richiesta delle tabelle, tenendo conto della seguente sottotabella. Se è necessario creare tabelle con un passaggio costante, è necessario prima determinarne il passaggio.

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Molto spesso, le tabelle delle funzioni sono progettate in modo che sia possibile l'interpolazione lineare (ovvero l'interpolazione utilizzando i primi due termini della formula di Taylor). In questo caso, il resto avrà la forma

R1 (x) = f00 (ξ) h2t (t - 1).

Qui ξ appartiene all'intervallo tra due valori di tabella adiacenti dell'argomento in cui si trova x e t si trova tra 0 e 1. Il prodotto t (t - 1) prende il modulo più grande

valore t = 12. Questo valore и 14. Così,

Va ricordato che accanto a questo errore - l'errore del metodo, nel calcolo pratico dei valori intermedi, ci sarà ancora un errore fatale e un errore di arrotondamento. Come abbiamo visto in precedenza, l'errore fatale nell'interpolazione lineare sarà uguale all'errore nei valori tabulati della funzione. L'errore di arrotondamento dipenderà dai mezzi di calcolo e dal programm di calcolo.

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Indice delle materie

ero erillinen del secondo ordine, 8 del primo ordine, 8

spliini, 15

nodi di interpolatsione, 4

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/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Come interpolare

Kaava per l'interpolazione di datatabri

Viene usezato nella seconda fase, quando la quantità di HXR (Q, t) dalla condizione intermediotra 100 t e 300 t.

(Eccezione: se Q per condizione è uguale a 100 tai 300, l'interpolazione non è necessaria).

si o- La tua quantità iniziale di NHR dalla condizione, tonnellate

(corrisponde alla lettera Q)

si 1 – minore

(dalla Tabella 11-16, solitamente uguale a 100).

si 2 – Dipiù il più vicino al tuo valore della quantità di NHR, in tonnellate

(dalla Tabella 11-16, yksin 300).

X 1 si 1 (X 1 fronte tilanne si 1 ), km.

X 2 - valore tabellare della profondità di propagazione della nube di aria contaminata (T t), rispettivamente si 2 (X 2 fronte tilanne si 2 ), km.

X 0 - il valore richesto G T adeguata si o(toisesta kaavaan).

Esempio.

NHR - cloro; Q = 120 t;

Tipo SVSP (grado di resistenza dell'aria verticale) - inversio.

Trova G T- valore tabellare della profondità di propagazione della nube di aria contaminata.

Esaminiamo le tabelle 11-16 e troviamo i dati corrispondenti alla tua condizione (cloro, inversione).

La tabella 11 è adatta.

Scegliere i valori si 1 , si 2, X 1 , X 2 . Tärkeää - Prendiamo la velocità del vento 1 m/s., Prendiamo la temperatura - 20 oC.

Sostituisci i valori selezionati nella formula e trova X 0 .

Tärkeää - il calcolo è corretto se X 0 importerà da qualche parte nel mezzo X 1 , X 2 .

1.4. Lagrangen interpolaatiokaava

L'algoritmo proposto da Lagrange per la costruzione dell'interpolazione

funzioni secondo le tabelle (1) prevede la costruzione Polinomio di interpolazione Ln(x)nella forma

Ovviamente, il soddisfacimento delle condizioni (11) per (10) determinina il soddisfacimento delle condizioni (2) dell'enunciazione del problem di interpolazione.

I polinomi li (x) si scrivono come segue

Nota che non un singolo fattore nel denominatore della formula (14) и ja nolla... Dopo aver calcolato i valori delle costanti ci, puoi usarli per calcolare i valori della funzione interpolata nei punti indicati.

La formula per il polinomio di interpolazione di Lagrange (11), tenendo conto delle formula (13) e (14), può essere scritta nella forma

1.4.1 Organisazione dei calcoli manuali con la formula di Lagrange

L'applicazione diretta della formula di Lagrange porta a un gran numero di calcoli dello stesso tipo. Per tabelle di piccole dimensioni, questi calcoli possono essere eseguiti sia manualmente che nell'ambiente del program.

Nella prima fase, regarderemo l'algoritmo dei calcoli eseguiti manualmente. In futuro, gli stessi calcoli dovrebbero essere ripetuti nell'ambiente

Microsoft Excel tai OpenOffice.org Calc.

Nella kuva. 6 mostra un esempio di una tabella iniziale di una funzione interpolata definita da quattro nodi.

figura 6. Una tabella contenente i dati iniziali per quattro nodi della funzione interpolata

Nella terza colonna della tabella, annotiamo i valori dei coefficienti qi calcolati dalle formula (14). Di seguito on tietue, jonka kaava on n = 3.

q0 = Y0 / (x0-x1) / (x0-x2) / (x0-x3) q1 = Y1 / (x1-x0) / (x1-x2) / (x1-x3) (16) q2 = Y2 / ( x2-x0) / (x2-x1) / (x2-x3) q3 = Y3 / (x3-x0) / (x3-x1) / (x3-x2)

Il prossimo passo nell'implementazione dei calcoli manuali è il calcolo dei valori li (x) (j = 0,1,2,3), seguito secondo le formula (13).

Scriviamo queste formula per la variante della tabella con quattro nodi che stiamo attentionando:

l0 (x) = q0 (x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1 (x) = q1 (x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2 (x) = q2 (x-x0) (x-x1) (x-x3), (17) l3 (x) = q3 (x-x0) (x-x1) (x-x2) ...

Calcoliamo i valori dei polinomi li (xj) (j = 0,1,2,3) e scriviamoli nelle celle della tabella. I valori della funzione Ycalc (x), secondo la formula (11), si otterranno sommando i valori di li (xj) per righe.

Il formato della tabella, che sisältää colonne di valori calcolati li (xj) e una colonna di valoriYcalculated (x), è mostrato kuvassa. 8.

Riso. 8. Tabella con i risultati dei calcoli manuali eseguiti secondo le formula (16), (17) e (11) per tutti i valori dell'argomento xi

Dopo aver completato la formazione della tabella mostrata kuvassa. 8, usando le formula (17) e (11), puoi calcolare il valore della funzione interpolata per qualsiasi valore dell'argomento X. Ad esempio, per X = 1, calcoliamo i valori di li (1) (i = 0,1) ,2,3):

10 (1) = 0,7763; 11 (1) = 3,5889; 12 (1) = -1,5155; 13 (1) = 0,2966.

Sommando i valori di li (1), otteniamo il valore Yinterp (1) = 3,1463.

1.4.2. Lagrange nell'ambiente del program Microsoft Excelin interpolaation mediante kaavan toteuttaminen

L'implementazione dell'algoritmo di interpolazione inizia, come nei calcoli manuali, scrivendo formulae per il calcolo dei coefficienti qi. 9 mostra le colonne della tabella con i valori dati dell'argomento, della funzione interpolata e dei coefficienti qi. A destra di questa tabella ci sono le formula scritte nelle celle della colonna C per calcolare i valori dei coefficienti qi.

•2: "= SI2 / ((LA2-LA3) * (LA2-LA4) * (LA2-LA5))" q0

•3: "= SI3 / ((LA3-LA4) * (LA3-LA5) * (LA3-LA2))" q1

•4: "=B4 / ((A4-A5) * (A4-A2) * (A4-A3))" q2

•5: "= SI5 / ((LA5-LA2) * (LA5-LA3) * (LA5-LA4))" q3

Riso. 9 Tabella-kerroin qi e calcolo-kaava

Dopo aver inserito la formula q0 nella cella C2, si estende attraverso le celle da C3 a C5. Successivamente, le formulae in queste celle vengono adattate secondo (16) alla forma mostrata in Fig. nove.

Implementando le formula (17), scriviamo le formulae per il calcolo dei valori li (x) (i = 0,1,2,3) nelle celle delle colonne D, E, F e G. Nella cella D2 per il calcolo del valore l0 (x0) scriviamo la formula:

= $2 * ($ A2 - $ A $ 3) * ($ A2 - $ A $ 4) * ($ A2 - $ 5),

otteniamo i valori l0 (xi) (i = 0,1,2,3).

Il formato di riferimento $ A2 suostuu kaikkiin kaavaan, joka on kohdistettu colonne E, F, G for forme di calcolo per calcolare li (x0) (i = 1,2,3). Quando si trascina una formula in basso di una riga, l'indice di colonna degli argomenti non cambia. Per calcolare li (x0) (i = 1,2,3), dopo aver allungato la formula l0 (x0), è necessario correggerli con le kaava (17).

Nella colonna H, lisää Excel-kaava sommare li (x) con la formula

(11) algoritmi.

Nella kuva. 10 Mostra una tabella implementata nell'ambiente Microsoft Excel. La matrice diagonale ottenuta li (xj) (i = 0,1,2,3), (j = 0,1,2,3), che ripete i risultati mostrati kuvassa. 8, e una colonna di valori che coincidono con i valori della funzione interpolata ai nodi della tabella originale.

Riso. 10. Tabella dei valori li (xj) (j = 0,1,2,3) e Ycalc (xj)

Per calcolare i valori in alcuni punti intermedi è riittävä

Nelle celle della colonna A, a partire dalla cella A6, inserisci i valori dell'argomento X, per il quale vuoi determinare i valori della funzione interpolata. Evidenziare

nell'ultima (5a) riga della tabella delle celle da l0 (xn) a Ycalc (xn) e allungare le formula scritte nelle celle selezionate fino alla riga contenente l'ultima

il valore dato dell'argomento x.

Nella kuva. 11 mostra una tabella in cui i valori della funzione sono calcolati in tre punti: x = 1, x = 2 e x = 3. È stata aggiunta un'ulteriore colonna alla tabella con i numeri di riga della tabella dei dati di origine.

Riso. 11. Calcolo dei valori delle funzioni interpolate mediante formula di Lagrange

Per maggiore chiarezza nella visualizzazione dei risultati dell'interpolazione, costruiamo una tabella che include una colonna dei valori crescenti dell'argomento X, una colonna dei valori iniziali della funzione Y (X) e una colonna

Dimmi come usare la formula di interpolazione e quale per risolvere problemi di termodinamica (ingegneria termica)

Ivan Shestakovitš

L'interpolazione più yksinkertainen, ma spesso non abbastanza accurata, on lineaarinen. Quando hai già due punti noti (X1 Y1) e (X2 Y2) e devi trovare i valori di Y del giorno di qualche X che è compreso tra X1 e X2. Allora la kaava on yksinkertainen.
Y = (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Ehdotus, questa formula funziona anche per valori di X al di fuori dei limiti dell'intervallo X1..X2, ma questo è già chiamato estrapolazione e una ditanza thinkevole da questo intervallo dà un errore molto grande.
Ci sono molti altri scacco matto. metodi di interpolazione - Ti consiglio di leggere il libro di testo o rovistare in giro e su internet.
Anche il metodo di interpolazione grafica non è escluso: traccia manualmente un grafico attraverso i punti noti e per la X richiesta trova dal grafico Y.;)

romanzo

Hei merkityksen vuoksi. E approssimativamente la dipendenza (lineaarinen, quadratica, ..)
Il grafico di questa funzione passa per i tuoi due punti. Hai bisogno di un significato da qualche parte nel mezzo. Bene, esprimi!
Per semmio. Nella tabella, una temperatura di 22 gradi, la pressuree del vapore saturo è 120.000 Pa e 26.124.000 Pa. Kun lämpötila on 23 astetta 121000 Pa.

Interpolointi (koordinaatti)

C'è una griglia di koordinate sulla mappa (kuva).
Contiene alcuni punti di ancoraggio ben noti (n> 3), ciascuno avente due valori x, y- koordinaatti pikseleinä e koordinaatti metreinä.
È necessario trovare valori intermedi delle koordinaatit metreinä, conoscendo le koordinaatit pikseleinä.
L'interpolazione lineare non è adatta - troppi errori al di fuori della linea.
In questo modo: (Xc - koordinaatti metreinä ohessa, Xp - koordinaatti pikseleinä ohessa, Xc3 - il valore richiesto oh)
Xc3 = (Xc1-Xc2) / (Xp1-Xp2) * (Xp3-Xp2) + Xc2
Yc3 = (Yc1-Yc2) / (Yp1-Yp2) * (Yp3-Yp2) + Yc2

Come trovare la stessa formula per trovare Xc e Yc, tenendo conto non di due (come qui), ma di N punti di controllo noti?

Felce di Joka lowd

Onko kirjoitettu kaava scritte, onko koordinaatit pikselit ja mittojen yhteensopivuus?
Cioè, Xp -> Xc interpolato inpendentemente ja Yp -> Yc indipendentemente. In caso contrario, è necessario käyttää interpolaatiota kaksiulotteisesti Xp, Yp-> Xc ja Xp, Yp-> Yc, il che complica un po' il compito.
Oletetaan, että che le koordinaatti Xp e Xc siano in qualche modo korreloi.
Se la natura della dipendenza è nota (o si presume, ad esempio, assumiamo che Xc = a * Xp ^ 2 + b * Xp + c), allora i parametri di questa dipendenza (per la dipendenza ridotta a, b, c) può Essere ottenuto usezando l'analisi di regressione (Metodo dei minimi quadrati). In questo metodo, se imposti una certa dipendenza Xc (Xp), puoi ottenere una formula per i parametri della dipendenza dai dati di riferimento. Questo metodo permette, in particolare, di trovare e relazioneare Che meglio si adatta al set di dati fornito.
Svantaggio: Tässä menetelmässä koordinaatit Xc ottenute dai data Xp GCP possono differenti da quelle specificate. Ad esempio, la linea di approssimazione tracciata lungo i punti sperimentali non passa esattamente attraverso questi punti stessi.
Se è richiesta una corrispondenza esatta e la natura della dipendenza è sconosciuta, è necessario usezare metodi di interpolazione. Il più simplice matematicamente è il polinomio di interpolazione di Lagrange, che passa esattamente per i punti di controllo. Tuttavia, a causa dell'alto grado di questo polinomio con un gran numero di punti di controllo e una scarsa qualità dell'interpolazione, è meglio non usarlo. Il vantaggio è la relativamente yksinkertainen kaava.
Meglio käyttää interpolaatiosplineä. L'essenza di questo metodo è che in ogni sezione tra due punti adiacenti, la dipendenza investigata è interpolata da un polinomio e le condizioni di levigatezza sono scritte nei punti in cui i due intervalli sono uniti. Il vantaggio di questo metodo è la qualità dell'interpolazione. Svantaggi - lähes mahdotonta da prelevare yleinen kaava, è necessario trovare algoritmicamente i coefficienti del polinomio in ciascuna sezione. Un altro svantaggio è la fifficoltà di generalizzare all'interpolazione 2D.

Se richiediamo che coincida con i valori della tabella nei nodi della griglia selezionati, otteniamo il sistema

da cui on mahdollista määrittää parametrit Questo Metodo di selezione dei parametri è chiamato interpolazione (più precisamente, interpolazione lagrangiana). In base al numero di nodi della griglia utilizzati, chiameremo interpolazione un punto, due punti, ecc.

Se dipende in modo non-lineare dai parametri, l'interpolazione è detta non-lineare; in questo caso, trovare i parametri dal system (1) può essere un compito difficile. huomioitava ora l'interpolazione lineare, quando dipende linearmente da parametri, cioè può essere rappresentata nella forma del cosiddetto polinomio generalizzato

Ovviamente le funzioni possono essere attentionate linearmente indipendenti, altrimenti si potrebbe ridurre il numero di termini nella somma e nei parametri. Un'ulteriore restrizione deve essere imposta al system delle funzioni. Sostituendo (2) in (1), otteniamo il seguente sistema di equazioni lineari per la determinazione dei parametri:

Affinché il problem dell'interpolazione abbia semper un'unica soluzione, è necessario che per qualsiasi disposizione di nodi (purché non ve ne siano tra loro coincidenti) il determinante del sistema (3) sia diverso da zero:

Il system di funzioni che soddisfa il requisito (4) on Chiamato Chebyshev. Quindi, con l'interpolazione lineare, è necessario costruire un polinomio generalizzato in Qualche System di Funzioni di Chebyshev.

Per l'interpolazione lineare, i polinomi ordinari sono i più kätevä, perché sono facilmente calcolabili sia su una tastiera che su un computer. Altri sistemi di funzioni sono ormai quasi inutilizzati, sebbene in teoria regardino in dettaglio l'interpolazione per polinomi trigonometrici ed esponenziali. Pertanto, non presentiamo l'espressione del polinomio generalizzato (2) attraverso i valori tabulati della funzione; non è difficile derivare questa espressione.

L'interpolazione è un metodo per trovare l'intermedio variabili di funzione da diversi valori già noti. Ensisijainen "interpolaatio" -kaava on John Wallisin esittelytila ​​"Äärettömän aritmetiikka".

Lineaarinen interpolaatio

Il caso più semplice di interpolazione è "lineare", cioè trovare un valore in due pointti data. Questo processo di calcolo può essere visto come una funzione lineare, rendendo così il calcolo più visivo. Una funzione sovellus ja koordinaattijärjestelmä, joka on arvioitu. Per fare ciò, sull'asse delle koordinaatti, è necessario tracciare una linea retta attraverso i punti noti. È logico che il valore desiderato, situato tra i primi due punti, possa essere trovato graficamente, conoscendo l'ascissa X. Se la koordinaa X del valore desiderato si trova al di fuori dei valori noti (X 1, X 2), allora il calcolo-prosessi on chiamato estrapolazione.

La calcolatrice accepte di determinare il valore dell'ordinata Y del valore desiderato, conoscendo le koordinate X e Y delle altre due funzioni, nonché la sua ascissa. Per calcolare, è necessario inserire i valori dei due punti indicati X 1, Y 1 e X 2, Y 2 e specificare anche la koordinaa X del punto desiderato e il servizio determinerà automaticamente il metodo di calcolo ed eseguirà esso.

Lineaarinen interpolaatiokaava

Per il calcolo viene usezata la seguente kaava:

Esempio di calcolo

Dato: koordinaatit di due punti A (3; 1.5) e B (6; 5).
Trovare: l'ordinata del punto C con l'ascissa 4.5.

Successivamente, sostituiamo i valori nella formula specificata:

Y = 5 + (1,5 - 5) / (3 - 6) (4,5 - 6) = 5 + (-3,5) / (-3) (-1,5) = 3,25.

Su cui altri valori ricevuti potrebbero cadere con elevata precisione. Questo ongelma si chiama approssimazione. L'interpolazione è un tipo di approssimazione in cui la curva della funzione costruita passa esattamente attraverso i punti dati disponibili.

C'è anche un problem vicino all'interpolazione, che koostuu nell'approssimare una funzione complessa con un'altra funzione più semplice. Se una funzione è troppo complessa per i calcoli delle prestazioni, puoi provare a calcolarne il valore in più punti e da questi creare, ovvero interpolare, una funzione più semplice. Ovviamente, l'uso di una funzione semplificata non production gli stessi risultati esatti della funzione originale. Ma in alcune classi di problemi, il guadagno ottenuto in termini di semplicità e velocità di calcolo può superare l'errore risultante nei risultati.

Degno di nota è anche un type completamente diverso di interpolazione matematica nota come interpolazione degli operatori. Gli articoli classici sull'interpolazione degli operatori includono il teorema di Riesz-Thorin e il teorema di Marcinkiewicz, che sono alla base di molti altri articoli.

Definizioni

Huomioi un sistema di punti non corrispondenti () da una certa area. Lascia che i valori della funzione siano noti soolo in questi punti:

Il problem dell'interpolazione koostuu nel trovare una funzione da una data classe di funzioni tale che

Esempio

1. Supponiamo di avere una funzione tabella, come quella descritta di seguito, che determina i valori corrispondenti per più valori:

L'interpolazione ci aiuta a scoprire quale valore può olettaa tale funzione in un punto diverso da quelli indicati (ad esempio, quando X = 2,5).

Ormai esistono molti metodi di interpolazione differenti. La scelta dell'algoritmo più adatto dipende dalle risposte alle domande: quanto è accurato il metodo scelto, quali sono i costi per usezarlo, quanti è fluida la funzione di interpolazione, quanti punti dati richiede, ecc.

2. Trovare il valore intermedio (mediante interpolazione lineare).

Metodi di interpolazione

Interpolazione del vicino più vicino

Il Metodo di Interpolazione più semplice è l'interpolazione del vicino più prossimo.

Interpolatsio polynomia kohti

In pratica, l'interpolazione per polinomi viene usezata più spesso. Ciò è dovuto principalmente al fatto che i polinomi sono facili da calcolare, è facile trovare le loro derivate analiticamente e l'insieme dei polinomi è denso nello spazio delle funzioni jatkaa (teorema di Weierstrass).

• IMN-1 ja IMN-2
• Polinomio di Lagrange (polinomio di interpolazione)
• Toinen Aitkenin skeema

Interpolazione inversa (calcolo di x per un dato y)

• Interpolaatio käänteisesti Newtonin kaavalla

Interpolaatio di una funzione di più variabili

Altri metodi di interpolazione

Wikimedian perusta. 2010.

Guarda cos'è "Interpolazione" eri dizionarissa:

1) un modo per determinare da un numero di valori dati di qualsiasi espressione matematica i suoi valori intermedi; quindi, ad esempio, in base al raggio di volo del nucleo ad un angolo di evazione dell'asse del canale del cannone di 1°, 2°, 3°, 4°, ecc. può essere determinato usando ... ... Dizionario di parole straniere della lingua russa

Inserimento, interpolazione, inclusione, ricerca nel Dizionario dei sinonimi russi. per l'interpolazione vedere nel riquadro Dizionario dei sinonimi russi. Guida pratica. M.: lingua russa. Z.E. Aleksandrova. 2... Dizionario dei sinonimi

interpolointi- Calcolo dei valori intermedi tra due punti noti. Ad esempio: interpolazione lineare lineare esponenziale interpolazione esponenziale Il Proceso di visualizzazione di un'immagine a coloriquando i pixel si riferiscono all'area tra due kuvittele väriä ... ... Guida technica per traduttori

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Realtà "falso" dal latino. Questo è il nome di correzioni errate o inserimenti following manoscritti fatti da scribi o lettori. Questo termine on osa usato kritiikkiä dei manoscritti degli antichi scrittori. In questi manoscritti...... Encyclopedia letteraria

Trovare valori intermedi di una certa regolarità (funzione) per un numero dei suoi valori noti. englanniksi: Interpolazione Vedi anche: Conversioni dati Dizionario finanziario Finam... Vocabolario finanziario

interpolointi- e W. interpolazione f. lat. interpolatsio; muutos, vääristyminen. 1. Inserto di origine successiva in quale foglio. testo che non appartiene all'originale. SLA 1. Ci sono molte interpolazioni tra gli scribi nei manoscritti antichi. Ush. 1934.2... Dizionario storico dei gallicismi russi

INTERPOLAZIONE- (interpolatio), rifornimento empirico un numero di valori di qualsiasi quantità dai valori intermedi mancanti di esso. L'interpolazione può essere eseguita in tre modi: matematico, grafico. ja logiikka. Si basano su un'ipotesi comune che... Grande Encyclopedia medica

- (dal latino interpolatio cambiamento, alterazione), trovare valori intermedi di una grandezza secondo alcuni dei suoi valori noti. Ad esempio, trovando i valori della funzione y = f (x) nei punti x compresi tra i punti x0 e xn, x0 ... Encyclopedia moderni

- (dal lat. interpolatio cambiamento, alterazione), in matematica e statistica, trovando valori intermedi di una quantità da alcuni dei suoi valori noti. Ad esempio, trovando i valori della funzione f (x) nei punti x compresi tra i punti xo x1 ... xn, per ... ... Grande dizionario enciclopedico

Interpolatsione. Johdanto. Dichiarazione del problem generale

Quando si risolvono vari problemi pratici, i risultati della ricerca vengono presentati sotto forma di tabelle che mostrano la dipendenza di una o più quantità misurate da un parametro determinante (argomento). Tali tabelle vengono solitamente esittää sotto forma di due o più righe (colonne) ja vengono usezate for forforme modeli matematici.

Le funzioni specificate nei modeli matematici sono solitamente scritte in tabelle della forma:

Le limitate informazioni presentate da tali tabelle, in un certo numero di casi richiedono di ottenere i valori delle funzioni Y j (X) (j = 1,2, ..., m) in punti X che non coincidono con il nodale punti della tabella Xi (i = 0,1,2,…, N). In tali casi, è necessario determinare un'espressione analitica φ j (X) per calcolare i valori approssimativi della funzione investigata Y j (X) in punti X arbitrariamente specificati. La funzione φ j (X) usezata per determinare i valori approssimativi della funzione Y j (X) è chiamata funzione di approssimazione (dal latino approximo - approssimativo). La vicinanza della funzione approssimata φ j (X) alla funzione approssimata Y j (X) è assicurata cegliendo l'algoritmo di approssimazione appropriato.

Faremo tutte le ulteriori attentionazioni e johtopäätökset per le tabelle contenenti i dati iniziali di una funzione indagata (cioè, per le tabelle con m = 1).

1. Metodi di interpolazione

1.1 Enunciato del problem di interpolazione

Molto spesso, per determinare la funzione (X), viene usezata un'istruzione, chiamata l'istruzione del problem di interpolazione.

In questa formulazione classica del problem dell'interpolazione, è necessario determinare una funzione analitica approssimata (X), i cui valori nei punti nodali X i abbinare i valori Y (X i) della tabella originale, cioè condizioni

La funzione di approssimazione così costruita φ (X) sutikime di ottenere un'approssimazione abbastanza vicina alla funzione interpolata Y (X) all'interno dell'intervallo di valori dell'argomento [X 0; X n], determinato dalla tabella. Quando si specificano i valori dell'argomento X, non posseduto questo intervallo, il problem di interpolazione si trasforma in un problem di estrapolazione. Kysymys, la precisione

i valori ottenuti durante il calcolo dei valori della funzione φ (X) dipendono dalla distanza del valore dell'argomento X da X 0, se X< Х 0 , или от Х n , если Х >X n.

Sisään malliazione matematica la funzione interpolante può essere utilizzata per calcolare i valori approssimati della funzione indagata nei punti intermedi dei sottointervalli [X i; X i + 1]. Questa procedura si chiama tavolo di compattazione.

L'algoritmo di interpolazione è determinato dal metodo di calcolo dei valori della funzione (X). L'implementazione più simpplice ed ovvia della funzione interpolante compoe nel sostituire la funzione indagata Y (X) sull'intervallo [X i; X i + 1] un segmento di retta che collega i punti Y i, Y i + 1. Questo metodo è chiamato metodo di interpolazione lineare.

1.2 Lineaarinen interpolaatio

Con l'interpolazione lineare, il valore della funzione nel punto X, situato tra i nodi X i e X i + 1, è determinato dalla formula di una retta che collega due punti adiacenti della tabella

Nella kuva. 1 mostra un esempio di tabella ottenuta a seguito di misurazioni di una certa quantità Y (X). Le righe della tabella di origine sono evidenziate con riempimento. A destra della tabella c'è un grafico a dispersione corrispondente a questa tabella. La compattazione della tavola avviene grazie al calcolo con la formula

(3) i valori della funzione approssimata nei punti X corrispondenti ai punti medi dei sottointervalli (i = 0, 1, 2,…, n).

Kuva. 1. Tabella delle funzioni Y (X) condensata e diagramma corrispondente

Ota huomioon kuvan grafiikka. 1 che i punti ottenuti come risultato della compattazione della tavola con il metodo dell'interpolazione lineare giacciono sui segmenti di linea che collegano i punti della tavola originale. Tarkka lineaarinen

interpolazione, dipende essenzialmente dalla natura della funzione interpolata e dalla distanza tra i nodi della tabella X i,, X i + 1.

Ovviamente, se la funzione è liscia, quindi, anche con una distanza relativamente grande tra i nodi, il grafico costruito collegando i punti con segmenti di linea contracte di stimare in modo abbastanza accurato la natura della funzione Y (X). Se la funzione cambia abbastanza rapidamente e le distanze tra i nodi sono grandi, la funzione di interpolazione lineare non suostumus di ottenere un'approssimazione piisavemente accurata della funzione reale.

La funzione di interpolazione lineare può essere utilizzata per l'analisi preliminare generale e la valutazione della correttezza dei risultati dell'interpolazione, che sono poi ottenuti con altri metodi più accurati. Tale valutazione diventa particolarmente rilevante nei casi in cui i calcoli vengono eseguiti manualmente.

1.3 Interpolaatio per polynomio canonico

Il metodo di interpolazione di una funzione mediante un polinomio canonico si basa sulla costruzione di una funzione interpolante come un polinomio nella forma [1]

I coefficienti con i del polinomio (4) sono parametri di interpolazione libera, che sono determinati dalle condizioni di Lagrange:

Pn (xi) = Yi, (i = 0, 1, ..., n)

Usando (4) e (5), scriviamo il sistema di equazioni

Il vettore soluzione con i (i = 0, 1, 2,…, n) del system di equazioni algebriche lineari (6) esiste e si trova se non ci sono nodi coincidenti tra i nodi x i. Il determinante del system (6) on Chiamato determinante di Vandermonde1 e ha un'espressione analitica [2].

1 La qualificazione di Vandermonde chiamato determinante

È nolla se e solo se xi = xj per alcuni. (Da Wikipedia, l'enciclopedia libera)

Per determinare i valori dei coefficienti con i (i = 0, 1, 2, ..., n)

le equazioni (5) possono essere scritte in forma matrice vettoriale

A * C = Y,

kyyhkynen A, matriisi dei kertoimet determinata dalla tavola delle potenze del vettore degli argomenti X = (xi 0, xi, xi 2, ..., xin) T (i = 0, 1, 2, ..., n)

C è un vettore colonna di coefficienti con i (i = 0, 1, 2, ..., n) e Y è un vettore colonna di valori Y i (i = 0, 1, 2, ..., n) della funzione interpolata ai nodi di interpolazione.

La soluzione di questo sistema di equazioni algebriche lineari può essere ottenuta con uno dei metodi descritti in [3]. Ad esmpio, secondo la formula

dove A -1 on matriisi käänteinen matriisi A. Jos käänteinen matriisi A -1, on mahdollista käyttää MOBR-toimintoa (), mukaan lukien Microsoft Excel -ohjelman standarditoiminnot.

Dopo aver determinato i valori dei coefficienti con i, usezando la funzione (4), è possibile calcolare i valori della funzione interpolata per qualsiasi valore dell'argomento x.

Scriviamo la matrice A per la tabella mostrata kuvassa. 1, senza tenere conto delle righe che compattano la tabella.

Kuva. 2 Matrice del sistema di equazioni per il calcolo dei coefficienti del polinomio canonico

Utilizzando la funzione MOBR(), otteniamo la matrice A -1 inversa alla matrice A (kuva 3). Quindi, toinen kaava (9), si ottiene il vettore dei kertoimet C = (c 0, c 1, c 2,…, c n) T, mostrato kuvassa. 4.

Per calcolare i valori del polinomio canonico nella cella della colonna Y canonico corrispondente al valore x 0, introduciamo la formula trasformata nella forma seguente, corrispondente alla riga zero del sistema (6)

C0 + x * (c1 + x * (c2 + x * (c3 + x * (c4 + x * c5))))

Invece di scrivere "c i" nella formula inserita nella cella del foglio Excel, deve esserci un riferimento assoluto alla cella corrispondente contenente questo coefficiente (vedi Fig. 4). Invece di "x 0" - un riferimento relativo a una cella nella colonna X (vedi kuva 5).

Y è il valore canonico (0) che corrisponde al valore nella cella Y lin (0). Quando si allunga la formula scritta nella cella Y canonica (0), i valori di Y canonica (i), corrispondenti ai punti nodali dell'originale

tabelle (vedi kuva 5).

Riso. 5. Diagrammi basati su tabelle di interpolazione lineare e canonica

Confronto dei grafici delle funzioni costruite dalle tabelle calcolate dalle formula di interpolazione lineare e canonica, vediamo in un certo numero di nodi intermedi una deviazione significativa dei valori ottenuti dalle formula di interpolazione lineare e canonica. È più ragionevole giudicare l'accuratezza dell'interpolazione sulla base dell'ottenimento Informazioni aggiuntive sulla natura del processo modellato.