Come trovare il gradiente di una funzione. Gradiente di una data funzione

Concetto derivata direzionale considerato per funzioni di due e tre variabili. Per comprendere il significato della derivata direzionale è necessario confrontare le derivate per definizione

Quindi,

Ora possiamo trovare la derivata direzionale di questa funzione utilizzando la sua formula:

E ora - compiti. Fornisce una funzione non di tre, ma solo di due variabili, ma il vettore di direzione è specificato in modo leggermente diverso. Quindi dovrai ripeterlo di nuovo algebra vettoriale .

Esempio 2. Trovare la derivata di una funzione in un punto M0 (1; 2) nella direzione del vettore, dove M1 - punto con coordinate (3; 0).

Il vettore che specifica la direzione della derivata può essere fornito nella forma come nell'esempio seguente - nella forma espansione in versori degli assi coordinati, ma questo è un argomento familiare fin dall'inizio dell'algebra vettoriale.

Esempio 3. Trova la derivata di una funzione al punto M0 (1; 1; 1) nella direzione del vettore.

Soluzione. Troviamo i coseni direzionali del vettore

Troviamo le derivate parziali della funzione nel punto M0 :

Pertanto, possiamo trovare la derivata direzionale di questa funzione utilizzando la sua formula:

.

Funzione gradiente

Gradiente di una funzione di più variabili in un punto M0 caratterizza la direzione di massima crescita di questa funzione nel punto M0 e l’entità di questa crescita massima.

Come trovare il gradiente?

È necessario determinare un vettore le cui proiezioni sugli assi coordinati sono i valori derivate parziali, , questa funzione nel punto corrispondente:

.

Cioè, dovrebbe funzionare rappresentazione di un vettore mediante vettori unitari degli assi coordinati, in cui la derivata parziale corrispondente al suo asse viene moltiplicata per ciascuna unità.

Considera la formula per la derivata di una funzione scalare u nella direzione λ

I secondi fattori sono proiezioni del vettore unitario dirette lungo il raggio λ.

Prendiamo un vettore le cui proiezioni sugli assi delle coordinate saranno i valori delle derivate parziali nel punto selezionato P(x, y, z).

Questo vettore è chiamato gradiente della funzione u (x, y, z) ed è indicato con gradu o

Definizione. Il gradiente di una funzione u(x, y, z) è un vettore le cui proiezioni sono i valori delle derivate parziali di questa funzione, cioè

La derivata di una funzione in una data direzione è uguale al prodotto scalare del gradiente della funzione e del versore di questa direzione.

Espandendo il prodotto scalare si ottiene

,

dove φ è l'angolo formato dal vettore laurea e raggio λ.

Raggiunge il massimo valore

Quindi, esiste il valore massimo della derivata in un dato TR, e la direzione grad u coincide con la direzione del raggio emergente dal TR, lungo il quale la funzione cambia più velocemente.

Stabiliamo una connessione tra la direzione del gradiente della funzione e le superfici piane del campo scalare.

Teorema. Il gradiente della funzione u (x,y,z) in ciascun punto coincide con la normale alla superficie piana del campo scalare che passa per questo punto.

Prova. Scegliamo un t arbitrario P 0 (x 0, y 0, z 0).

Equazione della superficie

livello passante

cioè sarà u(x,y,z)= ,

u0 = u(x0, y0, z0)

L'equazione della normale a questa superficie sarà

Ne consegue che la direzione del vettore normale, che ha proiezioni , è il gradiente della funzione u (x, y, z) in t P 0, ecc.

Pertanto, la pendenza in ciascun punto è perpendicolare al piano tangente alla superficie piana che passa per questo punto, cioè la sua proiezione su questo piano è zero.

Quindi: La derivata in qualsiasi direzione tangente alla superficie piana che passa per un dato punto è uguale a zero.

Proprietà di base della funzione gradiente:

2) grado , dove C – Cost

4) grado

Tutte le proprietà vengono dimostrate utilizzando la definizione del gradiente di una funzione.

Esempio. Nel punto M(1, 1, 1) trovare la direzione del massimo cambiamento nel campo scalare e l'entità di questo cambiamento.

Pendenza funzioni– una grandezza vettoriale, la cui determinazione è associata alla determinazione delle derivate parziali della funzione. La direzione del gradiente indica il percorso di crescita più rapida della funzione da un punto all'altro del campo scalare.

Istruzioni

1. Per risolvere il problema del gradiente di una funzione si utilizzano metodi di calcolo differenziale, ovvero la ricerca delle derivate parziali del primo ordine rispetto a tre variabili. Si assume che la funzione stessa e tutte le sue derivate parziali abbiano la proprietà di continuità nel dominio di definizione della funzione.

2. Il gradiente è un vettore, la cui direzione indica la direzione dell'aumento più rapido della funzione F. Per fare ciò, sul grafico vengono selezionati due punti M0 e M1, che sono gli estremi del vettore. L'entità del gradiente è uguale al tasso di aumento della funzione dal punto M0 al punto M1.

3. La funzione è differenziabile in tutti i punti di questo vettore quindi le proiezioni del vettore sugli assi coordinati sono tutte sue derivate parziali; Quindi la formula del gradiente sarà simile a questa: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, dove i, j, k sono le coordinate del vettore unitario . In altre parole, il gradiente di una funzione è un vettore le cui coordinate sono le sue derivate parziali grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Esempio 1. Sia data la funzione F = sin(x z?)/y. È necessario rilevarne il gradiente nel punto (?/6, 1/4, 1).

5. Soluzione. Determinare le derivate parziali rispetto a ciascuna variabile: F'_х = 1/y сos(х z?) z?; F'_y = sin(х z?) (-1) 1/(y?); '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Sostituiamo i famosi valori delle coordinate del punto: F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.

7. Applicare la formula del gradiente della funzione:grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Esempio 2. Trova le coordinate del gradiente della funzione F = y arсtg (z/x) nel punto (1, 2, 1).

9. Soluzione.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 аrсtg(z/х) = аrсtg 1 = ?/4;F'_z = 0 аrсtg(z/х) + y (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Il gradiente di campo scalare è una quantità vettoriale. Per trovarlo è quindi necessario determinare tutte le componenti del vettore corrispondente, basandosi sulla conoscenza della divisione del campo scalare.

Istruzioni

1. Leggi in un libro di testo di matematica superiore qual è il gradiente di un campo scalare. Come sapete, questa quantità vettoriale ha una direzione caratterizzata dalla massima velocità di decadimento della funzione scalare. Questa interpretazione di questa quantità vettoriale è giustificata dall'espressione per determinarne i componenti.

2. Ricorda che qualsiasi vettore è determinato dalle grandezze dei suoi componenti. Le componenti di un vettore sono in realtà proiezioni di questo vettore su uno o un altro asse di coordinate. Pertanto, se si considera lo spazio tridimensionale, il vettore deve avere tre componenti.

3. Annota come vengono determinate le componenti di un vettore che è il gradiente di un determinato campo. Tutte le coordinate di tale vettore sono uguali alla derivata del potenziale scalare rispetto alla variabile di cui si sta calcolando la coordinata. Cioè, se devi calcolare la componente “x” del vettore del gradiente di campo, allora devi differenziare la funzione scalare rispetto alla variabile “x”. Si prega di notare che la derivata deve essere parziale. Ciò significa che durante la differenziazione, le restanti variabili che non sono coinvolte in essa devono essere considerate costanti.

4. Scrivi un'espressione per il campo scalare. Come è noto, questo termine implica soltanto una funzione scalare di più variabili, che sono anch'esse quantità scalari. Il numero di variabili di una funzione scalare è limitato dalla dimensione dello spazio.

5. Differenziare la funzione scalare separatamente rispetto a ciascuna variabile. Di conseguenza, otterrai tre nuove funzioni. Scrivi qualsiasi funzione nell'espressione per il vettore del gradiente del campo scalare. Ciascuna delle funzioni ottenute è in realtà un indicatore per un vettore unitario di una data coordinata. Pertanto, il vettore del gradiente finale dovrebbe apparire come un polinomio con esponenti sotto forma di derivate della funzione.

Quando si considerano questioni riguardanti la rappresentazione del gradiente, è comune pensare alle funzioni come campi scalari. Occorre quindi introdurre la notazione opportuna.

Avrai bisogno

• – boom;
• - penna.

Istruzioni

1. Lascia che la funzione sia specificata da tre argomenti u=f(x, y, z). La derivata parziale di una funzione, ad esempio, rispetto a x, è definita come la derivata rispetto a questo argomento, ottenuta fissando i rimanenti argomenti. Simile per altri argomenti. La notazione per la derivata parziale si scrive nella forma: df/dx = u’x ...

2. Il differenziale totale sarà uguale a du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz Le derivate parziali possono essere intese come derivate lungo le direzioni degli assi delle coordinate. Si pone quindi il problema di trovare la derivata rispetto alla direzione di un dato vettore s nel punto M(x, y, z) (non dimenticare che la direzione s è determinata dal versore s^o). In questo caso, il differenziale vettoriale degli argomenti (dx, dy, dz) = (äscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. Guardando il panorama differenziale completo du, possiamo concludere che la derivata nella direzione s nel punto M è uguale a: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alpha)+ ((дf/дy)|M) сos (beta) +((df/dz)|M) cos(gamma).Se s= s(sx,sy,sz), allora la direzione coseni (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma)) vengono calcolati (vedi Fig. 1a).

4. La definizione di derivata direzionale, considerando il punto M una variabile, può essere riscritta nella forma di un prodotto scalare: (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gamma)))=(grad u, s^o). Questa espressione sarà oggettiva per un campo scalare. Se una funzione è considerata facilmente, allora gradf è un vettore avente coordinate coincidenti con le derivate parziali f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Qui (i, j, k) sono i vettori unitari degli assi di coordinate in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari.

5. Se usiamo l'operatore vettoriale differenziale hamiltoniano, allora gradf può essere scritto come la moltiplicazione di questo operatore vettoriale per lo scalare f (vedi Fig. 1b). Dal punto di vista del collegamento tra gradf e la derivata direzionale, l'uguaglianza (gradf, s^o)=0 è accettabile se questi vettori sono ortogonali. Di conseguenza, gradf è spesso definito come la direzione della metamorfosi più rapida del campo scalare. E dal punto di vista delle operazioni differenziali (gradf è una di queste), le proprietà di gradf ripetono esattamente le proprietà delle funzioni di differenziazione. In particolare, se f=uv, allora gradf=(vgradu+u gradv).

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Pendenza Questo è uno strumento che, negli editor grafici, riempie una silhouette con una transizione graduale da un colore all'altro. Pendenza può dare a una silhouette il risultato del volume, imitare l'illuminazione, il bagliore della luce sulla superficie di un oggetto o il risultato di un tramonto sullo sfondo di una fotografia. Questo strumento è ampiamente utilizzato, quindi per elaborare fotografie o creare illustrazioni è molto importante imparare come usarlo.

Avrai bisogno

• Computer, editor grafico Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net o altro.

Istruzioni

1. Apri un'immagine nel programma o prendine una nuova. Crea una silhouette o seleziona l'area desiderata nell'immagine.

2. Attiva lo strumento sfumatura sulla barra degli strumenti dell'editor grafico. Posiziona il cursore del mouse sul punto all'interno dell'area o della sagoma selezionata dove inizierà il primo colore del gradiente. Fare clic e tenere premuto il pulsante sinistro del mouse. Sposta il cursore nel punto in cui desideri che la sfumatura cambi nel colore finale. Rilascia il pulsante sinistro del mouse. La silhouette selezionata verrà riempita con un riempimento sfumato.

3. Pendenza Puoi impostare la trasparenza, i colori e il loro rapporto in un determinato punto del riempimento. Per fare ciò, apri la finestra di modifica del gradiente. Per aprire la finestra di modifica in Photoshop, fai clic sull'esempio del gradiente nel pannello Opzioni.

4. La finestra che si apre mostra le opzioni di riempimento sfumato disponibili sotto forma di esempi. Per modificare una delle opzioni, selezionarla con un clic del mouse.

5. Nella parte inferiore della finestra viene visualizzato un esempio di gradiente sotto forma di un'ampia scala su cui si trovano i cursori. I cursori indicano i punti in cui il gradiente dovrebbe avere regole di confronto specificate e nell'intervallo tra i cursori il colore passa uniformemente dal colore specificato nel primo punto al colore del 2° punto.

6. I cursori situati nella parte superiore della scala impostano la trasparenza del gradiente. Per modificare la trasparenza, fare clic sul dispositivo di scorrimento richiesto. Sotto la scala apparirà un campo in cui inserisci il grado di trasparenza richiesto in percentuale.

7. I cursori nella parte inferiore della scala impostano i colori del gradiente. Cliccando su uno di essi potrai selezionare il colore desiderato.

8. Pendenza può avere diversi colori di transizione. Per impostare un altro colore, fare clic sullo spazio libero nella parte inferiore della scala. Su di esso apparirà un altro cursore. Dategli il colore richiesto. La scala mostrerà un esempio del gradiente con un punto in più. Puoi spostare i cursori tenendoli premuti con il pulsante sinistro del mouse per ottenere la combinazione desiderata.

9. Pendenza Ne esistono di diverse tipologie che possono dare forma a silhouette piatte. Ad esempio, per dare a un cerchio la forma di una palla, viene utilizzato un gradiente radiale, mentre per dare una forma a cono viene utilizzato un gradiente a forma di cono. Per dare alla superficie l'illusione della convessità, è possibile utilizzare un gradiente a specchio e un gradiente a forma di diamante può essere utilizzato per creare luci.

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Dal corso di matematica scolastica sappiamo che un vettore su un piano è un segmento orientato. Il suo inizio e la sua fine hanno due coordinate. Le coordinate del vettore vengono calcolate sottraendo le coordinate iniziali dalle coordinate finali.

Il concetto di vettore può essere esteso allo spazio n-dimensionale (invece di due coordinate ci saranno n coordinate).

Pendenza grad z della funzione z = f(x 1, x 2, ...x n) è il vettore delle derivate parziali della funzione in un punto, cioè vettore con coordinate.

Si può dimostrare che il gradiente di una funzione caratterizza la direzione della crescita più rapida del livello di una funzione in un punto.

Ad esempio, per la funzione z = 2x 1 + x 2 (vedi Figura 5.8), il gradiente in qualsiasi punto avrà coordinate (2; 1). Puoi costruirlo su un aereo diversi modi, prendendo qualsiasi punto come inizio del vettore. Ad esempio, puoi connettere il punto (0; 0) al punto (2; 1), o il punto (1; 0) al punto (3; 1), o il punto (0; 3) al punto (2; 4), o così via. (Vedi Figura 5.8). Tutti i vettori costruiti in questo modo avranno coordinate (2 – 0; 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Dalla Figura 5.8 si vede chiaramente che il livello della funzione aumenta nella direzione del gradiente, poiché le linee di livello costruite corrispondono ai valori di livello 4 > 3 > 2.

Figura 5.8 - Gradiente della funzione z = 2x 1 + x 2

Consideriamo un altro esempio: la funzione z = 1/(x 1 x 2). Il gradiente di questa funzione non sarà più sempre lo stesso in punti diversi, poiché le sue coordinate sono determinate dalle formule (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

La Figura 5.9 mostra le linee di livello della funzione z = 1/(x 1 x 2) per i livelli 2 e 10 (la retta 1/(x 1 x 2) = 2 è indicata con una linea tratteggiata, e la retta
1/(x 1 x 2) = 10 – linea continua).

Figura 5.9 - Gradienti della funzione z = 1/(x 1 x 2) in vari punti

Prendiamo ad esempio il punto (0,5; 1) e calcoliamo il gradiente in questo punto: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Si noti che il punto (0.5; 1) giace sulla linea di livello 1/(x 1 x 2) = 2, perché z = f(0.5; 1) = 1/(0.5*1) = 2. Per rappresentare il vettore ( -4; -2) nella Figura 5.9, colleghiamo il punto (0.5; 1) con il punto (-3.5; -1), perché
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Prendiamo un altro punto sulla stessa linea di livello, ad esempio il punto (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Calcoliamo a questo punto il gradiente
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Per rappresentarlo nella Figura 5.9, colleghiamo il punto (1; 0.5) con il punto (-1; -3.5), perché (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

Prendiamo un altro punto sulla stessa linea di livello, ma solo ora in un quarto di coordinate non positivo. Ad esempio, punto (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Il gradiente a questo punto sarà uguale a
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Rappresentiamolo nella Figura 5.9 collegando il punto (-0.5; -1) con il punto (3.5; 1), perché (3.5 – (-0.5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

1 0 Il gradiente è diretto perpendicolarmente alla superficie piana (o alla linea di livello se il campo è pianeggiante).

2 0 Il gradiente è diretto verso l'aumento della funzione di campo.

3 0 Il modulo del gradiente è uguale alla derivata più grande nella direzione in un dato punto del campo:

Queste proprietà forniscono una caratteristica invariante del gradiente. Dicono che il vettore gradU indica la direzione e l'entità del massimo cambiamento nel campo scalare in un dato punto.

Osservazione 2.1. Se la funzione U(x,y) è una funzione di due variabili, allora il vettore

giace nel piano ossi.

Siano U=U(x,y,z) e V=V(x,y,z) differenziabili nel punto M 0 (x,y,z). Allora valgono le seguenti uguaglianze:

a) grado()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = , V ;

e) gradU( = gradU, dove , U=U() ha una derivata rispetto a .

Esempio 2.1.È data la funzione U=x 2 +y 2 +z 2. Determina il gradiente della funzione nel punto M(-2;3;4).

Soluzione. Secondo la formula (2.2) abbiamo

Le superfici piane di questo campo scalare sono la famiglia delle sfere x 2 +y 2 +z 2 , il vettore gradU=(-4;6;8) è vettore normale aerei.

Esempio 2.2. Trova il gradiente del campo scalare U=x-2y+3z.

Soluzione. Secondo la formula (2.2) abbiamo

Le superfici piane di un dato campo scalare sono piani

x-2y+3z=C; il vettore gradU=(1;-2;3) è il vettore normale dei piani di questa famiglia.

Esempio 2.3. Trovare la massima pendenza del rialzo superficiale U=x y nel punto M(2;2;4).

Soluzione. Abbiamo:

Esempio 2.4. Trovare il vettore unitario normale alla superficie piana del campo scalare U=x 2 +y 2 +z 2 .

Soluzione. Le superfici piane di un dato Campo-sfera scalare x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Il gradiente è diretto perpendicolarmente alla superficie piana, quindi

Definisce il vettore normale alla superficie piana nel punto M(x,y,z). Per un vettore normale unitario otteniamo l'espressione

Esempio 2.5. Trova il gradiente del campo U=, dove e sono vettori costanti, r è il raggio vettore del punto.

Soluzione. Permettere

Poi: . Con la regola di differenziazione del determinante otteniamo

Quindi,

Esempio 2.6. Trova il gradiente di distanza, dove P(x,y,z) è il punto del campo studiato, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) è un punto fisso.

Soluzione. Abbiamo -vettore direzione unitario.

Esempio 2.7. Trova l'angolo tra i gradienti delle funzioni nel punto M 0 (1,1).

Soluzione. Troviamo i gradienti di queste funzioni nel punto M 0 (1,1), che abbiamo

; Dall'uguaglianza si determina l'angolo tra gradU e gradV nel punto M 0

Quindi =0.

Esempio 2.8. Trova la derivata direzionale, il raggio vettore è uguale a

Soluzione. Trova il gradiente di questa funzione:

Sostituendo la (2.5) nella (2.4), otteniamo

Esempio 2.9. Trovare nel punto M 0 (1;1;1) la direzione del cambiamento più grande nel campo scalare U=xy+yz+xz e l'entità di questo cambiamento più grande in questo punto.

Soluzione. La direzione della variazione maggiore nel campo è indicata dal vettore grad U(M). Lo troviamo:

E questo significa... Questo vettore determina la direzione del massimo aumento di questo campo nel punto M 0 (1;1;1). L'entità della variazione di campo maggiore a questo punto è pari a

Esempio 3.1. Trova le linee vettoriali del campo vettoriale in cui è un vettore costante.

Soluzione. Abbiamo così

Moltiplica numeratore e denominatore della prima frazione per x, la seconda per y, la terza per z e aggiungi termine per termine. Usando la proprietà delle proporzioni, otteniamo

Quindi xdx+ydy+zdz=0, che significa

x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -cost>0. Ora moltiplicando numeratore e denominatore della prima frazione (3.3) per c 1, la seconda per c 2, la terza per c 3 e sommando termine per termine, otteniamo

Dove da 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

E, quindi, con 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2-cost.

Le equazioni richieste delle linee vettoriali

Queste equazioni mostrano che le linee vettoriali si ottengono dall'intersezione di sfere aventi un centro comune nell'origine con piani perpendicolari al vettore. Ne consegue che le linee vettoriali sono cerchi i cui centri si trovano su una retta passante per l'origine nella direzione del vettore c. I piani dei cerchi sono perpendicolari alla linea specificata.

Esempio 3.2. Trova la linea del campo vettoriale passante per il punto (1,0,0).

Soluzione. Equazioni differenziali di rette vettoriali

Quindi abbiamo . Risoluzione della prima equazione. Oppure se introduciamo il parametro t, allora avremo In questo caso l'equazione assume la forma o dz=bdt, da cui z=bt+c 2.