Le processus de mort et de reproduction dans la théorie CMO. Processus de mort et de reproduction

§ 1. PROCESSUS GÉNÉRAUX DE NAISSANCE PURE (REPRODUCTION) ET PROCESSUS DE POISSON

Dans les chapitres précédents, les concepts de base ont été introduits et des méthodes d'analyse des chaînes de Markov à temps discret ont été considérées. Ce chapitre fournit une brève discussion de quelques exemples importants de processus de Markov en temps continu à états discrets.

Plus précisément, nous traiterons ici d'une famille de variables aléatoires prenant des valeurs entières non négatives. Nous nous limitons au cas où le processus de Markov avec des probabilités de transition stationnaires. Ainsi, la fonction de probabilité de transition pour

ne dépend pas de

Habituellement, lors de l'étude de modèles probabilistes particuliers de phénomènes physiques, il est plus naturel de décrire les probabilités dites infinitésimales associées au processus, puis d'en déduire l'expression exacte de la fonction de transition.

Dans le cas considéré, nous postulerons la forme pour petit en utilisant la propriété de Markov, nous en dériverons un système d'équations différentielles qui seront satisfaites pour toutes sont la solution de ces équations dans les conditions initiales appropriées. Nous rappelons que le processus de Poisson introduit au § 2 du Ch. 1 a été considéré de cette manière.

Avant de passer au processus général de la naissance pure, nous rappelons brièvement les axiomes caractérisant le processus de Poisson.

A. Postulats du processus de Poisson

Le processus de Poisson a été considéré au § 2 du Ch. 1, où il a été montré qu'elle peut être déterminée à l'aide de quelques postulats simples. Afin de définir des processus plus généraux de ce type, signalons quelques-unes des propriétés que possède un processus de Poisson. Le processus de Poisson est

processus de Markov qui prend des valeurs entières non négatives et possède les propriétés suivantes:

La propriété (1) peut également être écrite comme suit.

Dans la section précédente, nous nous sommes assurés que connaissant le graphe d'états étiqueté du système, nous pouvons immédiatement écrire des équations algébriques pour les probabilités limites d'états. Ainsi, si deux chaînes de Markov continues ont les mêmes graphes d'état et ne diffèrent que par les valeurs d'intensité, alors il n'est pas nécessaire de trouver les probabilités d'état limite pour chacun des graphes séparément: il suffit de composer et de résoudre sous forme de lettre des équations pour l'un d'eux, puis de substituer les valeurs correspondantes ...

Pour de nombreuses formes courantes de graphiques, les équations linéaires sont facilement résolues sous forme de lettre.

Dans cette section, nous allons nous familiariser avec un schéma très typique de chaînes de Markov continues - le soi-disant «schéma de mort et de reproduction».

Une chaîne continue markovienne est appelée «processus de mort et de reproduction» si son graphe d'état a la forme illustrée à la Fig. 4.38, c'est-à-dire que tous les états peuvent être étendus en une seule chaîne, dans laquelle chacun des états moyens est connecté par direct et rétroaction à chacun des états voisins, et les états extrêmes - avec un seul état voisin.

Exemple 1. Un dispositif technique se compose de trois unités identiques; chacun d'eux peut échouer (refuser); le nœud défaillant commence immédiatement à récupérer. Nous énumérons les états du système en fonction du nombre de nœuds défectueux:

Les trois nœuds sont en bon état de fonctionnement;

Un nœud est en panne (est en cours de restauration), deux sont opérationnels;

Deux nœuds sont en cours de restauration, un est opérationnel;

Tous les nœuds sont restaurés.

Le graphique d'état est illustré à la Fig. 4.39. On peut voir sur le graphique que le processus qui se déroule dans le système est un processus de «mort et reproduction».

Le schéma de la mort et de la reproduction se rencontre très souvent dans une grande variété de problèmes pratiques; par conséquent, il est logique d'envisager ce schéma à l'avance vue générale et résoudre le système d'équations algébriques correspondant de sorte qu'à l'avenir, lors de la rencontre avec des processus spécifiques procédant selon un tel schéma, ne pas résoudre le problème à nouveau à chaque fois, mais utiliser une solution toute faite.

Alors, considérez un processus aléatoire de mort et de reproduction avec le graphique d'état illustré à la Fig. 4.40

Écrivons des équations algébriques pour les probabilités d'états. Pour le premier état, nous avons:

Pour le deuxième état, les sommes des termes correspondant aux flèches entrantes et sortantes sont:

Mais, en vertu de (8.1), on peut annuler les termes égaux entre eux à droite et à gauche, on obtient:

En un mot, pour le schéma de la mort et de la reproduction, les termes correspondant aux flèches placées les unes au-dessus des autres sont égaux les uns aux autres:

où k prend toutes les valeurs de 2 à.

Ainsi, les probabilités limites des états dans tout schéma de mort et de reproduction satisfont les équations:

et la condition de normalisation:

Nous résoudrons ce système comme suit: à partir de la première équation de (7.3) nous exprimons

à partir du second, en tenant compte de (8.5), on obtient:

à partir du troisième, en tenant compte (8.6):

Cette formule est valable pour tout k de 2 à.

Faisons attention à sa structure. Le numérateur contient le produit de toutes les densités de probabilité de transition (intensités) se trouvant aux flèches dirigées de gauche à droite, du début à celui qui va à l'état dans le dénominateur - le produit de toutes les intensités se trouvant aux flèches allant de droite à gauche, encore une fois, depuis le début et jusqu'à la flèche émanant de l'état At, le numérateur contiendra le produit des intensités de toutes les flèches allant de gauche à droite, et dans le dénominateur - toutes les flèches allant de droite à gauche.

Donc, toutes les probabilités sont exprimées à travers l'une d'elles: Remplacez ces expressions par la condition de normalisation: Nous obtenons:

Les probabilités restantes sont exprimées par

Ainsi, le problème de la «mort et reproduction» est résolu sous une forme générale: on retrouve les probabilités limites d'états.

Exemple 2. Trouvez les probabilités limites des états pour le processus de mort et de reproduction, dont le graphique est montré à la Fig. 4.41.

Solution Par les formules (8.8) et (8.9) nous avons:

Exemple 3. L'appareil se compose de trois unités; le flux des pannes est le plus simple, le temps moyen de panne de chaque nœud est égal Le nœud défaillant commence immédiatement à être réparé; le temps moyen de réparation (récupération) du nœud est égal à p; la loi de distribution de ce temps est indicative (le flux des restaurations est le plus simple). Trouvez la productivité moyenne de l'appareil, si avec trois nœuds de travail, elle est de 100%, avec deux - 50% et avec un ou moins - l'appareil ne fonctionne pas du tout.

Décision. La liste des états du système et le graphe d'état ont déjà été donnés dans l'exemple 1 de cette section. Nous marquons ce graphique, c'est-à-dire que nous notons l'intensité correspondante à chaque flèche (voir Fig. 4.42).

Les processus de mort et de reproduction sont appelés processus de Markov qui ont un graphique étiqueté illustré à la figure 1.8.

Graphique 1.8. Graphique balisé des processus de mort et de reproduction

−intensité de reproduction, - l'intensité de la mort.

Pour trouver le vecteur des probabilités limites
nous composons un système d'équations:

(d'après Kolmogorov), (1.14)

En remplaçant (1.14) par (1.15), on obtient:

Pour tous les états suivants, les équations auront la même forme:

(
).

Pour déterminer toutes les probabilités limites, nous utilisons la condition:
... Pour cela, nous exprimons à travers :

. (1.16)

Introduisons la notation
, alors (1.14) et (1.16) peuvent s'écrire sous la forme:

Toutes les probabilités restantes sont exprimées en termes de :

.

En conséquence, nous obtenons une expression pour :

.

Avoir défini , on peut tout calculer .

Un exemple d'analyse du processus de mort et de reproduction.

Que le processus de mort et de reproduction soit donné:

Calcul des probabilités limites:

;

;

;

Questions et tâches

1. Déterminez les probabilités limites des états de la chaîne de Markov décrites par la matrice de probabilité de transition suivante. Au moment initial, le système est dans le premier état

2. L'objet géré a 4 états possibles. Toutes les heures, des informations sont récupérées et l'objet est transféré d'un état à un autre selon la matrice de probabilité de transition suivante:

Trouvez les probabilités de trouver un objet dans chacun des états après la deuxième heure, si au moment initial il était dans l'état S 3.

3. En utilisant les coefficients donnés du système d'équations de Kolmogorov, composez un graphe d'état étiqueté. Déterminez les coefficients A, B, C, D dans les équations :

А Р1 + 4 Р2 + 5 Р3 \u003d 0

В Р2 + 4 Р1 + 2 Р4 \u003d 0

С Р3 + 2 Р2 + 6 Р1 \u003d 0

D P4 + 7 P1 + 2 P3 \u003d 0.

4. Le système physique a 4 états. Le graphique d'état étiqueté est illustré ci-dessous.

Déterminez les probabilités limites des états du système.

1.4. Poisson sm

Dans Poisson QS, le flux d'entrée des revendications est Poisson, c'est-à-dire
, et le temps de service est distribué de manière exponentielle
.

1.4.1. CMOS Poisson monocanal

QS sans file d'attente (N \u003d 0). Nous utilisons la théorie de la mort et des processus de reproduction pour déterminer les probabilités
(fig. 1.9).


;

.

La probabilité de refus d'une demande de service est :

.

Le nombre moyen d'applications dans le système est:

. (1.17)

Le temps moyen passé dans le CMO est égal au temps moyen de service:

; (1.18)

puisqu'il n'y a pas de file d'attente dans le SMO, alors

Le flux effectif des applications est déterminé par la formule:

.

QS avec file d'attente limitée

Le graphique étiqueté de cette classe de QS est illustré à la Fig. 1.10.

L'état final du système est déterminé par le nombre maximum de sièges dans la file d'attente plus 1 canal de service. Introduisons la notation
... Système d'équations pour trouver des probabilités limites ressemble à:

(1.19)

Étant donné que
, on obtient une équation pour déterminer :


,

où allons-nous
où –Tout, c'est-à-dire sur l'attitude
aucune restriction n'est imposée.

Probabilités
.

Déterminons le nombre moyen d'applications dans le QS:

.(1.20)

Notons par
puis

(1.21)

En remplaçant (1.20) par (1.21), on obtient:

. (1.22)

Notez que la probabilité de défaillance est égale à la probabilité du dernier état dans le graphique étiqueté:

;

.

En utilisant les formules de Little (1.1 - 1.3), nous obtenons:

; (1.23)

; (1.24)

. (1.25)

Prenons un cas particulier lorsque
, ceux.
... Dans ce cas:

;

.

Les principales caractéristiques du QS sont déterminées par les formules suivantes:

CMO avec file d'attente illimitée. Puisque le CMO est sans échec, alors
, une
.

Pour obtenir des formules de calcul des caractéristiques du QS, nous utiliserons les formules du QS avec une file d'attente limitée.

. (1.26)

Pour que la limite existe, la condition doit être remplie
, ce qui signifie que l'intensité du service doit être supérieure à l'intensité du flux d'applications, sinon la file d'attente augmentera jusqu'à l'infini.

Notez que dans un QS avec une file d'attente infinie

. (1.27)

La limite (1,26) est:
, et alors

; (1.28)

; (1.29)

. (1.30)

Considérons la question de la fonction de distribution du temps passé dans un QS monocanal avec une file infinie avec une discipline de file d'attente FIFO.

DANS
temps de séjour dans le CMO, quand il n demandes (le système est en S n , est égal à la somme des temps de service n applications. Le temps de service étant distribué selon la loi exponentielle, la densité de la fonction de distribution de la probabilité conditionnelle du temps passé dans le QS quand il contient n les commandes sont définies de la même manière que la distribution Erlang n commande (voir section 1.2.2)

La densité requise de la fonction de distribution est déterminée par l'expression:

Tenant compte de (1.19) et (1.27),
sera écrit comme suit:

On voit ça
- distribution exponentielle avec espérance mathématique
, qui coïncide avec (1.28).

Du fait que
- distribution exponentielle, une conclusion importante suit: le flux de sortie des applications dans un QS monocanal avec une file infinie est un flux de Poisson.

Un processus de Markov avec des états discrets est appelé le processus de mort et de reproduction si tous les états peuvent être entraînés dans une chaîne, dans laquelle chacun des états intermédiaires ne peut passer que dans des états voisins, et les états extrêmes ne passent que dans des états et, respectivement. Le graphique d'état d'un tel système est illustré à la figure 4.

Le nom du schéma est tiré des problèmes biologiques, où l'état d'une population signifie la présence d'individus.

Sur la figure 4, la transition vers la droite correspond à une augmentation de la population, vers la gauche - à sa diminution. Ainsi, il peut être défini comme l'intensité de la reproduction, et - comme l'intensité de la mort. La convention suivante est utilisée: les lettres et se voient attribuer l'index de l'état d'où sort la flèche.

Le processus de Markov de mort et de reproduction avec un temps continu est un processus aléatoire tel que le paramètre à l'étude ne peut prendre que des valeurs entières non négatives. Des modifications du paramètre considéré peuvent survenir à tout moment, c.-à-d. à tout moment, il peut augmenter ou diminuer de un.

Processus élevage pur on appelle un tel processus dans lequel les intensités de tous les flux de mort sont égales à zéro; similaire au processus pur "malheur" est appelé un processus dans lequel les intensités de tous les courants de reproduction sont égales à zéro.

Limiter les probabilités (finales) des états pour le plus simple ergodique le processus de mort et de reproduction en mode stationnaire est déterminé par les formules suivantes:

Comme exemple de résolution du système d'équations du schéma de la mort et de la reproduction, considérons le fonctionnement des voitures dans une grande entreprise de transport.

L'intensité de la fourniture de voitures à l'entreprise est égale. Chaque véhicule livré à l'entreprise est amorti à un moment aléatoire. La durée de vie de la voiture est répartie selon la loi exponentielle avec le paramètre. Le fonctionnement des voitures est un processus aléatoire. - le nombre de voitures de cette marque en service à l'époque.

Considérons deux cas: 1) il n'y a pas de restrictions sur le nombre de voitures en service, 2) pas plus que les voitures ne peuvent être utilisées dans l'entreprise.

Si au moment initial il n'y avait pas une seule voiture dans l'entreprise, alors le système d'équations doit être résolu dans les conditions initiales:

De même, si des voitures étaient utilisées, les conditions initiales sont:

Solution du système de Kolmogorov d'équations différentielles pour arbitraire la forme de fonction ne peut pas être trouvée sous forme analytique. Cependant, avec permanent taux de mortalité et flux de reproduction et nombre fini d'états il y aura un régime stationnaire. Le système dans ce cas est le système ergodique le plus simple.

Si les intensités du flux des voitures entrantes et sortantes sont constantes, alors les formules suivantes sont valables:

1. Le nombre maximum de voitures n'est pas limité:

2. Espérance mathématique (valeur moyenne) du nombre de véhicules en circulation.