Un article sur les cercles euler. Euler fait des cercles sur l'exemple de la résolution d'un problème

P O N I T I E

Chaque objet ou phénomène a certaines propriétés (signes).

Il s'avère que composer un concept sur un objet signifie tout d'abord la capacité de le distinguer des autres objets qui lui ressemblent.

On peut dire qu'un concept est le contenu mental d'un mot.

Un concept est une forme de pensée qui présente les objets dans leurs caractéristiques les plus générales et essentielles *.

Un concept est une forme de pensée, pas une forme de mot, puisqu'un mot n'est qu'une marque avec laquelle nous marquons telle ou telle pensée.

Les mots peuvent être différents, mais signifient le même concept. En russe - "crayon", en anglais - "crayon", en allemand - bleistift. Une seule et même pensée dans différentes langues a une expression verbale différente.

RELATION ENTRE LES CONCEPTS. LES CERCLES D'EYLER.

Les concepts qui ont des caractéristiques communes dans leur contenu sont appelés COMPARABLE («Avocat» et «adjoint»; «étudiant» et «athlète»).

Sinon, les concepts sont considérés Incomparable ("Crocodile" et "notepad"; "man" et "steamer").

Si, en plus des fonctionnalités communes, les concepts ont des éléments de volume communs, ils sont appelés COMPATIBLE.

Il existe six types de relations entre des concepts comparables. Il est pratique de désigner les relations entre les volumes de concepts en utilisant des cercles d'Euler (schémas circulaires, où chaque cercle désigne le volume d'un concept).

Un exercice: Déterminez le type de relation en fonction de la portée des concepts ci-dessous. Dessinez-les en utilisant des cercles d'Euler.

1) A - thé chaud; B - thé froid; C - thé au citron

Thé chaud (B) et thé froid (C) - sont

par rapport au contraire.

Le thé au citron (C) peut être aussi chaud

et froid, mais il peut être, par exemple, chaud.

2) ET - en bois; DANS- calcul; DE - structure; ré- domicile.

Est-ce que chaque bâtiment (C) est une maison (D)? - Pas.

Chaque maison (D) est-elle un bâtiment (C)? - Oui.

Quelque chose en bois (A), que ce soit une maison (D) ou un bâtiment (C) est nécessaire - Non.

Mais vous pouvez trouver une structure en bois (par exemple, un stand),

vous pouvez également trouver une maison en bois.

Il n'est pas nécessaire que quelque chose de pierre (B) soit une maison (D) ou un bâtiment (C).

Mais il peut y avoir un bâtiment en pierre ou une maison en pierre.

3) ET - ville russe; DANS - capitale de la Russie;

DE - Moscou; ré - une ville sur la Volga; E - Ouglitch.

La capitale de la Russie (B) et Moscou (C) sont une seule et même ville.

Ouglitch (E) est une ville sur la Volga (D).

En même temps, Moscou, Ouglitch, comme toute ville de la Volga,

sont des villes russes (A)

Leonard Euler (1707-1783) - un célèbre mathématicien suisse et russe, membre de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, a vécu la majeure partie de sa vie en Russie. Mieux connu en analyse mathematique, les statistiques, l'informatique et la logique sont considérées comme le cercle d'Euler (diagramme d'Euler-Venn), utilisé pour désigner la portée des concepts et des ensembles d'éléments.

John Venn (1834-1923) - philosophe et logicien anglais, co-auteur du diagramme d'Euler-Venn.

Concepts compatibles et incompatibles

Un concept en logique signifie une forme de pensée qui reflète les caractéristiques essentielles d'une classe d'objets homogènes. Ils sont désignés par un ou un groupe de mots: "carte du monde", "accord de quinte dominante", "lundi", etc.

Dans le cas où les éléments du volume d'un concept appartiennent totalement ou partiellement au volume d'un autre, ils parlent de concepts compatibles. Si aucun élément du volume d'un certain concept n'appartient au volume d'un autre, nous avons une place avec des concepts incompatibles.

À son tour, chacun des types de concept a son propre ensemble de relations possibles. Pour les concepts compatibles, ce sont:

• identité (équivalence) des volumes;
• intersection (coïncidence partielle) des volumes;
• subordination (subordination).

Pour incompatible:

• subordination (coordination);
• opposé (contrariété);
• contradiction (contradictoire).

Schématiquement, la relation entre les concepts en logique est généralement désignée à l'aide des cercles d'Euler-Venn.

Relations d'équivalence

Dans ce cas, les concepts signifient le même sujet. En conséquence, les volumes de ces concepts coïncident complètement. Par exemple:

A - Sigmund Freud;

B - le fondateur de la psychanalyse.

Un carré;

B - rectangle équilatéral;

C - losange conforme.

Des cercles d'Euler entièrement correspondants sont utilisés pour la désignation.

Intersection (correspondance partielle)

Un enseignant;

B est un mélomane.

Comme le montre cet exemple, la portée des concepts se recoupe: un certain groupe d'enseignants peut s'avérer être des mélomanes, et vice versa, il peut y avoir des représentants de la profession enseignante parmi les mélomanes. Une attitude similaire sera dans le cas où, par exemple, «citadin» agit comme concept A et «conducteur» comme B.

Subordination (subordination)

Ils sont schématiquement désignés comme des cercles d'Euler de différentes échelles. La relation entre les concepts dans ce cas est caractérisée par le fait que le concept subordonné (plus petit en volume) est entièrement inclus dans le subordonné (plus grand en volume). De plus, le concept subordonné n'épuise pas complètement le concept subordonné.

Par exemple:

Un arbre;

B - pin.

Le concept B sera subordonné par rapport au concept A. Puisque le pin se réfère aux arbres, le concept A devient dans cet exemple subordonné, "absorbant" la portée du concept B.

Subordination (coordination)

Une relation caractérise deux ou plusieurs concepts qui s’excluent, mais qui appartiennent en même temps à un certain cercle familial commun. Par exemple:

A - clarinette;

B - guitare;

С - violon;

D est un instrument de musique.

Les concepts A, B, C ne se croisent pas les uns par rapport aux autres, cependant, ils appartiennent tous à la catégorie des instruments de musique (concept D).

En face (contradiction)

Des relations opposées entre concepts impliquent l'attribution de ces concepts au même genre. Dans ce cas, l'un des concepts a certaines propriétés (caractéristiques), tandis que l'autre les nie, les remplaçant par le caractère opposé. Ainsi, nous avons affaire à des antonymes. Par exemple:

Un nain;

B est un géant.

Avec la relation opposée entre les concepts, le cercle d'Euler est divisé en trois segments, dont le premier correspond au concept A, le second au concept B et le troisième à tous les autres concepts possibles.

Polémique (contradictoire)

Dans ce cas, les deux concepts sont des espèces du même genre. Comme dans l'exemple précédent, l'un des concepts indique certaines qualités (attributs), tandis que l'autre les nie. Cependant, contrairement à la relation opposée, le deuxième concept opposé ne remplace pas les propriétés refusées par d'autres, alternatives. Par exemple:

A est une tâche difficile;

B est une tâche simple (non-A).

Exprimant la portée des concepts de ce type, le cercle d'Euler est divisé en deux parties - le troisième lien intermédiaire n'existe pas dans ce cas. Ainsi, les concepts sont aussi des antonymes. Dans ce cas, l'un d'eux (A) devient positif (affirmant n'importe quel signe), et le second (B ou non-A) - négatif (refusant le signe correspondant): "white paper" - "not white paper", "Russian histoire "-" histoire étrangère ", etc.

Ainsi, le rapport des volumes de concepts les uns par rapport aux autres est la caractéristique clé qui détermine les cercles d'Euler.

Relations entre les ensembles

Vous devez également distinguer les concepts d'éléments et d'ensembles, dont le volume est affiché par les cercles d'Euler. Le concept d'ensemble est emprunté à la science mathématique et a une signification assez large. Des exemples en logique et en mathématiques le présentent comme une sorte de collection d'objets. Les objets eux-mêmes sont des éléments cet ensemble... «Beaucoup sont nombreux, concevables comme un seul» (Georg Cantor, fondateur de la théorie des ensembles).

La désignation des ensembles se fait en majuscules: A, B, C, D ... etc., les éléments des ensembles sont en minuscules: a, b, c, d ... et autres. Des exemples d'ensemble peuvent être des élèves dans la même classe, des livres placés sur une étagère particulière (ou, par exemple, tous les livres d'une bibliothèque particulière), des pages d'un journal, des baies dans une clairière forestière, etc.

À son tour, si un certain ensemble ne contient aucun élément, alors il est appelé vide et noté Ø. Par exemple, l'ensemble des points d'intersection de droites parallèles, l'ensemble des solutions de l'équation x 2 \u003d -5.

Résoudre les problèmes

Les cercles d'Euler sont activement utilisés pour résoudre un grand nombre de problèmes. Les exemples en logique démontrent clairement le lien entre les opérations logiques et la théorie des ensembles. Dans ce cas, des tables de vérité conceptuelles sont utilisées. Par exemple, le cercle désigné par le nom A représente la région de vérité. Ainsi, la zone à l'extérieur du cercle représentera un mensonge. Pour définir la zone de graphique pour opération logique, vous devez ombrer les zones définissant le cercle d'Euler, dans lesquelles ses valeurs pour les éléments A et B seront vraies.

L'utilisation des cercles d'Euler a trouvé une large application pratique dans diverses industries. Par exemple, dans une situation avec un choix professionnel. Si le sujet est préoccupé par le choix d'un futur métier, il peut être guidé par les critères suivants:

W - qu'est-ce que j'aime faire?

D - que dois-je faire?

P - Comment puis-je gagner beaucoup d'argent?

Décrivons cela sous la forme d'un diagramme: les cercles d'Euler (exemples en logique - la relation d'intersection):

Le résultat sera ces professions qui seront à l'intersection des trois cercles.

Les cercles d'Euler-Venn occupent une place particulière en mathématiques (théorie des ensembles) lors du calcul des combinaisons et des propriétés. Les cercles d'Euler de l'ensemble des éléments sont entourés d'un rectangle représentant l'ensemble universel (U). Au lieu de cercles, d'autres formes fermées peuvent également être utilisées, mais l'essence ne change pas. Les formes se croisent selon les conditions du problème (dans le cas le plus général). Ces chiffres doivent également être marqués en conséquence. Les points situés à l'intérieur de différents segments du diagramme peuvent agir comme des éléments des ensembles considérés. Sur sa base, il est possible d'ombrer des zones spécifiques, désignant ainsi les ensembles nouvellement formés.

Avec ces ensembles, il est permis d'effectuer des opérations mathématiques de base: addition (somme d'ensembles d'éléments), soustraction (différence), multiplication (produit). De plus, grâce aux diagrammes d'Euler-Venn, il est possible d'effectuer des opérations de comparaison d'ensembles par le nombre d'éléments qu'ils contiennent, sans les compter.

Si vous pensez ne rien savoir des cercles d'Euler, vous vous trompez. En fait, vous les avez probablement rencontrés plus d'une fois, vous ne saviez tout simplement pas comment cela s'appelait. Où exactement? Les cercles d'Euler sont à la base de nombreux mèmes Internet populaires (images diffusées sur Internet sur un sujet spécifique).

Voyons ensemble ce que sont ces cercles, pourquoi ils sont ainsi appelés et pourquoi ils sont si pratiques à utiliser pour résoudre de nombreux problèmes.

Origine du terme

Est un schéma géométrique qui aide à trouver et / ou à rendre plus visibles les connexions logiques entre les phénomènes et les concepts. Il aide également à décrire la relation entre un ensemble et sa partie.

Pas encore très clair, non? Jetez un œil à cette image:

La figure montre de nombreux jouets possibles. Certains jouets sont des constructeurs - ils sont mis en évidence dans un ovale séparé. Cela fait partie d'un grand ensemble de "jouets" et en même temps d'un ensemble séparé (après tout, le constructeur peut être à la fois "Lego" et des constructeurs primitifs de briques pour enfants). Une partie d'une grande variété de «jouets» peut être des jouets à remonter. Ce ne sont pas des constructeurs, nous dessinons donc un ovale séparé pour eux. La "voiture à remonter" ovale jaune désigne à la fois l'ensemble des "jouets" et fait partie du plus petit ensemble de "jouets à remonter". Par conséquent, il est représenté à l'intérieur des deux ovales à la fois.

Eh bien, alors c'est devenu plus clair? C'est pourquoi les cercles d'Euler sont la méthode qui le démontre clairement: il vaut mieux voir une fois qu'entendre cent fois. Son mérite est que la clarté simplifie le raisonnement et aide à obtenir une réponse plus rapidement et plus facilement.

L'auteur de la méthode est le scientifique Leonard Euler (1707-1783). C'est ce qu'il a dit à propos des schémas qui portent son nom: «les cercles conviennent pour faciliter notre réflexion». Euler est considéré comme un mathématicien, mécanicien et physicien allemand, suisse et même russe. Le fait est qu'il a travaillé pendant de nombreuses années à l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg et a apporté une contribution significative au développement de la science russe.

Avant lui, le mathématicien et philosophe allemand Gottfried Leibniz était guidé par un principe similaire lors de la construction de ses inférences.

La méthode d'Euler a reçu une reconnaissance et une popularité bien méritées. Et après lui, de nombreux scientifiques l'ont utilisé dans leurs travaux, et l'ont également modifié à leur manière. Par exemple, le mathématicien tchèque Bernard Bolzano a utilisé la même méthode, mais avec des circuits rectangulaires.

Le mathématicien allemand Ernest Schroeder a également contribué. Mais le principal mérite appartient à l'Anglais John Venn. Il était un expert en logique et a publié le livre "Symbolic Logic", dans lequel il décrit en détail sa version de la méthode (il utilise principalement des images d'intersections d'ensembles).

Grâce à la contribution de Venn, la méthode est même appelée diagrammes de Venn ou encore diagrammes d'Euler-Venn.

Pourquoi les cercles d'Euler sont-ils nécessaires?

Les cercles d'Euler ont un but appliqué, c'est-à-dire qu'avec leur aide, dans la pratique, les problèmes d'union ou d'intersection d'ensembles en mathématiques, en logique, en gestion et plus encore sont résolus.

Si nous parlons des types de cercles d'Euler, nous pouvons les diviser en ceux qui décrivent la combinaison de certains concepts (par exemple, le rapport genre et espèce) - nous les avons examinés à l'aide d'un exemple au début de l'article.

Et aussi sur ceux qui décrivent l'intersection d'ensembles pour une raison quelconque. C'est le principe sur lequel John Venn a été guidé dans ses projets. Et c'est lui qui est à la base de nombreux mèmes populaires sur Internet. Voici un exemple de tels cercles d'Euler:

C'est drôle, non? Et surtout, tout devient immédiatement clair. Vous pouvez passer beaucoup de mots pour expliquer votre point de vue, ou vous pouvez simplement dessiner un schéma simple qui mettra immédiatement tout à sa place.

Au fait, si vous ne pouvez pas décider quelle profession choisir, essayez de dessiner un diagramme sous la forme de cercles d'Euler. Peut-être qu'un dessin comme celui-ci vous aidera à faire le bon choix:

Ces options qui seront à l'intersection des trois cercles, et il y a un métier qui non seulement pourra vous nourrir, mais qui vous plaira également.

Résolution de problèmes à l'aide des cercles d'Euler

Jetons un coup d'œil à quelques exemples de problèmes qui peuvent être résolus à l'aide des cercles d'Euler.

Ici sur ce site - http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link\u003dkr_e.html Elena Sergeevna Sazhenina propose des problèmes intéressants et simples qui nécessitent la méthode Euler. En utilisant la logique et les mathématiques, analysons l'un d'entre eux.

Problème avec les dessins animés préférés

Les élèves de sixième ont rempli un questionnaire avec des questions sur leurs dessins animés préférés. Il s'est avéré que la plupart d'entre eux aimaient Blanche-Neige et les sept nains, Bob l'éponge et Le loup et le veau. Il y a 38 élèves dans la classe. 21 étudiants comme Blanche-Neige et les Sept Nains. De plus, trois d'entre eux aiment aussi "Le loup et le veau", six - "SpongeBob SquarePants", et un enfant aime également les trois dessins animés. "Le loup et le veau" a 13 fans, dont cinq ont nommé deux dessins animés dans leur profil. Combien d'élèves de sixième année aiment SpongeBob SquarePants?

Décision:

Puisque, selon les conditions du problème, nous avons trois ensembles, nous dessinons trois cercles. Et comme selon les réponses des gars, il s'avère que les ensembles se croisent, le dessin ressemblera à ceci:

On se souvient que selon les termes du problème parmi les fans du dessin animé "Le loup et le veau", cinq gars ont choisi deux dessins à la fois:

Il se trouve que:

21 - 3 - 6 - 1 \u003d 11 - les gars n'ont choisi que Blanche-Neige et les Sept Nains.

13 - 3 - 1 - 2 \u003d 7 - les gars ne regardent que Le loup et le veau.

Il ne reste plus qu'à savoir combien d'élèves de sixième préfèrent le dessin animé "SpongeBob SquarePants" aux deux autres options. Nous soustrayons du nombre total d'étudiants tous ceux qui aiment les deux autres dessins animés ou qui ont choisi plusieurs options:

38 - (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) \u003d 8 - les gens ne regardent que SpongeBob SquarePants.

Nous pouvons maintenant additionner en toute sécurité tous les nombres obtenus et découvrir que:

le dessin animé "SpongeBob SquarePants" a été choisi par 8 + 2 + 1 + 6 \u003d 17 personnes. Telle est la réponse à la question posée dans le problème.

Et considérons aussi tâche, qui en 2011 a été sorti pour le test de démonstration de l'Examen d'État unifié en informatique et TIC (source - http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Conditions du problème:

Dans le langage de requête du moteur de recherche, le symbole "|" est utilisé pour désigner l'opération logique "OU" et le symbole "&" pour l'opération logique "ET".

Le tableau montre les demandes et le nombre de pages qui s'y trouvent pour un certain segment d'Internet.

Combien de pages (en milliers) seront trouvées sur demande Croiseur et cuirassé?

On suppose que toutes les questions sont exécutées presque simultanément, de sorte que l'ensemble de pages contenant tous les mots de recherche n'a pas changé pendant l'exécution des requêtes.

Décision:

Avec l'aide des cercles d'Euler, nous représentons les conditions du problème. Dans ce cas, les nombres 1, 2 et 3 sont utilisés pour indiquer les zones résultantes.

Sur la base des conditions du problème, nous composons les équations:

1. Cruiser | Cuirassé: 1 + 2 + 3 \u003d 7000
2. Croiseur: 1 + 2 \u003d 4800
3. Cuirassé: 2 + 3 \u003d 4500

Trouver Croiseur et cuirassé (indiqué sur le dessin comme zone 2), remplacez l'équation (2) dans l'équation (1) et découvrez que:

4800 + 3 \u003d 7000, d'où nous obtenons 3 \u003d 2200.

Maintenant, nous pouvons remplacer ce résultat dans l'équation (3) et découvrir que:

2 + 2200 \u003d 4500, d'où 2 \u003d 2300.

Réponse: 2300 - le nombre de pages trouvées sur demande Croiseur et cuirassé.

Comme vous pouvez le voir, les cercles d'Euler aident à résoudre rapidement et facilement des tâches même assez complexes ou simplement déroutantes à première vue.

Conclusion

Je crois que nous avons réussi à vous convaincre que les cercles d'Euler ne sont pas seulement une chose divertissante et intéressante, mais aussi une méthode très utile pour résoudre des problèmes. Et pas seulement des tâches abstraites dans les cours scolaires, mais aussi des problèmes tout à fait quotidiens. Choisir un futur métier, par exemple.

Vous serez probablement également curieux de savoir que dans la culture populaire moderne, les cercles d'Euler se reflètent non seulement sous la forme de mèmes, mais également dans les séries télévisées populaires. Tels que "The Big Bang Theory" et "4isla".

Utilisez cette méthode utile et visuelle pour résoudre les problèmes. Et assurez-vous d'en parler à vos amis et camarades de classe. Il y a des boutons spéciaux pour cela sous l'article.

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Leonard Euler - le plus grand des mathématiciens, a rédigé plus de 850 articles scientifiques.Dans l'un d'eux, ces cercles sont apparus.

Le scientifique a écrit que"Ils sont très adaptés pour faciliter notre réflexion."

Cercles d'Euler Est un schéma géométrique qui aide à trouver et / ou à rendre plus visibles les connexions logiques entre les phénomènes et les concepts. Il aide également à décrire la relation entre un ensemble et sa partie.

Sur les 90 touristes partant en voyage, 30 personnes parlent allemand, 28 personnes parlent anglais, 42 personnes parlent français.8 personnes parlent anglais et allemand en même temps, 10 personnes parlent anglais et français, 5 personnes parlent allemand et français, 3 personnes parlent les trois langues. Combien de touristes ne parlent aucune langue?

Décision:

Montrons graphiquement la condition du problème - en utilisant trois cercles

Répondre: 10 personnes.

Problème 2

Beaucoup de gars de notre classe aiment le football, le basket-ball et le volleyball. Et certains même deux ou trois de ces sports. On sait que 6 personnes de la classe jouent uniquement au volleyball, 2 - uniquement au football, 5 - uniquement au basket-ball. Seuls le volley-ball et le football peuvent être joués par 3 personnes, le football et le basket-ball - 4, le volley-ball et le basket-ball - 2. Une personne de la classe peut jouer à tous les jeux, 7 ne savent pas jouer à n'importe quel jeu. Il est nécessaire de trouver:

Combien de personnes y a-t-il dans la classe?

Combien de personnes savent jouer au football?

Combien de personnes peuvent jouer au volleyball?

Nous représentons les ensembles de chiens de berger, de terriers et d'épagneuls sous la forme de cercles d'Euler, désignons les secteurs par des lettres (A B C D ).

de paniels │ (terriers et bergers) \u003dD + B

de paniels \u003d G + B + C

spaniels Terriers Bergers \u003d A + B + C + D

terriers et bergers \u003dB

Organisons les numéros de requête dans l'ordre décroissant du nombre de pages:3 2 1 4

Le tableau répertorie les demandes adressées au serveur de recherche. Organisez les numéros de demande dans l'ordre augmente le nombre de pages que le moteur de recherche trouvera pour chaque requête.
Indiquerl'opération logique "OU" utilise le symbole "| ", et pour" ET "logique - le symbole" & ".

Décision

Nous représentons les ensembles du classicisme, de l'empire et du classicisme sous la forme de cercles d'Euler, désignons les secteurs par des lettres (A B C D ).

Transformons la condition du problème en une somme de secteurs:

Pour résoudre le problème, nous représentons les requêtes sous la forme de cercles d'Euler.

K - canaris,

Щ - chardonnerets,

R - élevage.

canaris | terriers | teneur	canaris et contenu	canaris et chardonnerets et contenu	élevage et élevage et canaris et chardonnerets

La première requête a la plus grande zone de secteurs ombrés, puis la deuxième, puis la troisième et la quatrième requête a le plus petit.

Par ordre croissant du nombre de pages, les demandes seront présentées dans l'ordre suivant: 4 3 2 1

Notez que dans la première demande, les secteurs remplis des cercles d'Euler contiennent les secteurs remplis de la deuxième demande, et les secteurs remplis de la deuxième demande contiennent les secteurs remplis de la troisième demande, les secteurs remplis de la troisième demande contiennent le secteur de la quatrième demande.

Ce n'est que dans de telles conditions que nous pouvons être sûrs d'avoir résolu le problème correctement.

Problème 7 (UTILISATION 2013)

Dans le langage de requête des moteurs de recherche, le symbole "|" est utilisé pour désigner l'opération logique "OU", et le symbole "&" pour l'opération logique "ET".

Le tableau montre les demandes et le nombre de pages qui s'y trouvent pour un certain segment d'Internet.

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À notre époque, une énorme quantité d'informations a été collectée autour de nous, et il peut être difficile de les comprendre. Par conséquent, beaucoup ne savent pas que le nom "Cercles d'Euler" cache une méthode pratique et pratique pour résoudre divers problèmes. Tout le monde en a entendu parler, mais peu peuvent expliquer ce qu'ils sont. Cependant, je pense que les cercles d'Euler sont utiles à la fois dans la vie quotidienne et dans la science, donc tout le monde devrait pouvoir les utiliser. Dans ce travail, j'ai rassemblé toutes les informations nécessaires pour comprendre ce que sont les cercles d'Euler et où il est pratique de les utiliser.

Les cercles d'Euler sont un diagramme géométrique qui peut être utilisé pour visualiser la relation entre différents ensembles et sous-ensembles. Un tel schéma aide à trouver des connexions logiques entre les phénomènes et les concepts; il a été inventé par Leonard Euler et est utilisé en mathématiques et dans d'autres disciplines scientifiques. L'utilisation des cercles d'Euler simplifie le raisonnement et vous aide à obtenir une réponse plus rapidement et plus facilement. (1), (2)

Les cercles d'Euler sont inextricablement liés au concept d'ensemble. Par conséquent, afin de mieux comprendre ce qui est représenté sur les cercles d'Euler, vous devez savoir ce qu'est un ensemble et ce que sont les ensembles.

Un ensemble peut être compris comme une collection de tous les objets appelés éléments d'un ensemble. Dans les ensembles, vous pouvez combiner tous les objets avec une fonction commune. Par exemple, un groupe d'élèves du gymnase 11, les élèves de 7e année «B» forment un ensemble distinct. Il peut y avoir de nombreux objets inanimés. Par exemple, de nombreux livres écrits par un auteur. À l'aide des cercles d'Euler, l'ensemble est désigné comme un cercle vide et les éléments qu'il contient sont désignés par des points. (cinq)

Tirons beaucoup de nombres. Sur la figure, le contour indique l'ensemble et les points indiquent les éléments de cet ensemble.

Il existe trois types d'ensembles:

Finale (par exemple - plusieurs nombres)

Infini (par exemple - un ensemble de nombres)

Vide (ensemble de nombres naturels

moins que zéro). (cinq)

Un groupe d'objets qui forment un ensemble faisant partie d'un ensemble plus grand est représenté sous la forme d'un cercle plus petit dessiné à l'intérieur d'un cercle plus grand et est appelé un sous-ensemble. Cette relation se forme entre une grande variété d'animaux et son sous-ensemble de vers plats. (cinq)

Dans les cas où deux concepts ne coïncident que partiellement, la relation entre ces ensembles est représentée en utilisant deux cercles qui se croisent. Cette relation se forme entre de nombreux élèves de 7e année «B» et de nombreux élèves de catégorie C. Certains éléments des nombreux élèves de la 7e année «B» appartiennent à la multitude d'élèves de la catégorie C. (cinq)

Lorsqu'aucun objet, d'un ensemble, ne peut appartenir simultanément au second ensemble, alors la relation entre eux est représentée au moyen de deux cercles dessinés l'un à l'extérieur de l'autre. Ces ensembles sont un ensemble de nombres négatifs et un ensemble de nombres positifs. (cinq)

Les cercles d'Euler ont été inventés et nommés d'après Leonard Euler (portrait à gauche). C'était un mathématicien suisse qui a apporté une contribution significative au développement des mathématiques, ainsi que de la mécanique, de la physique, de l'astronomie et d'un certain nombre de sciences appliquées... Euler est né en Suisse, a étudié en Allemagne, mais a travaillé et est mort en Russie. Ce scientifique est l'auteur de 800 ouvrages. Leonard Euler est né en 1707 dans la famille d'un pasteur. Son père était un ami de la famille Bernoulli. Euler a montré les premières mathématiques. Étudiant au gymnase, le garçon était engagé avec enthousiasme dans les mathématiques et a ensuite commencé à assister aux conférences universitaires de Johann Bernoulli. Le 20 octobre 1720, Leonard Euler devient étudiant à la Faculté des Arts de l'Université de Bâle. Le jeune homme doué a attiré l'attention du professeur Johann Bernoulli. Il a donné à l'étudiant des articles de mathématiques à étudier et l'a également invité à venir chez lui pour analyser conjointement l'incompréhensible. Dans la maison de son professeur, Euler a rencontré et a commencé à communiquer avec les fils de Bernoulli, Daniel (portrait à gauche) et Nikolai (portrait à droite), qui ont également étudié les mathématiques. (6)

Young Euler a écrit plusieurs articles scientifiques. La "Dissertation de physique sur le son" a reçu des critiques favorables. A cette époque, le nombre de postes scientifiques vacants en Suisse était faible. Par conséquent, les frères Daniel et Nikolai Bernoulli sont partis pour la Russie, où l'Académie russe des sciences a commencé à être créée; ils ont promis d'y travailler pour un poste pour Euler. Au début de l'hiver 1726, Euler reçut une lettre de Saint-Pétersbourg: sur recommandation des frères Bernoulli, il fut invité au poste d'adjoint en physiologie avec un salaire de 200 roubles. Euler a passé beaucoup de temps en Russie, où il a apporté une contribution significative à la science russe. En 1731, il fut élu académicien de l'Académie de Saint-Pétersbourg. Il connaissait bien le russe et publiait des essais et des manuels en russe. (6)

Puis Euler décrit en détail sa méthode pour résoudre certains problèmes en utilisant les cercles d'Euler. En 1741, Euler écrivit des "Lettres sur diverses questions physiques et philosophiques, à une certaine princesse allemande ...", où les "cercles d'Euler" sont mentionnés. Euler a écrit que "les cercles sont très appropriés pour faciliter notre réflexion". (3)

La méthode d'Euler a reçu une reconnaissance et une popularité bien méritées. Et après lui, de nombreux scientifiques l'ont utilisé dans leurs travaux, et l'ont également modifié à leur manière. Bernard Bolzano a utilisé la même méthode, mais avec des circuits rectangulaires. Grâce à la contribution de Venn, la méthode est même appelée diagrammes de Venn ou encore diagrammes d'Euler-Venn. Les cercles d'Euler ont un but appliqué, c'est-à-dire qu'avec leur aide, dans la pratique, les problèmes d'union ou d'intersection d'ensembles en mathématiques, en logique, en gestion et plus encore sont résolus. (une)

Voici quelques tâches pour résoudre ce qui, il est pratique d'utiliser les cercles d'Euler:

Objectif 1.

Les enfants d'une école ont été interrogés sur leurs animaux de compagnie. 100 d'entre eux ont répondu qu'ils avaient un chien et / ou un chat à la maison. 87 enfants avaient un chien et 63 enfants avaient un chat. Combien de gars ont à la fois un chien et un chat?

Décision:

Pour résoudre ce problème sans utiliser les cercles d'Euler, vous devez compter le nombre de chiens et de chats des élèves. Pour ce faire, ajoutez 87 et 63,87 + 63 \u003d 150 animaux. Il n'y avait que 100 étudiants, et nombre fractionnaire les animaux ne peuvent pas être obtenus. Cela signifie que si chaque élève a 1 animal domestique, il en reste 50 supplémentaires. Par conséquent, 50 élèves ont 2 animaux domestiques. Et puisque le problème indique qu'aucun des élèves n'a 2 chats ou 2 chiens, cela signifie que 50 élèves ont à la fois un chat et un chien.

Mais cette méthode est longue et ne convient que pour tâches simples... Il est beaucoup plus pratique de résoudre un tel problème à travers les cercles d'Euler.

Le cercle rouge représentera de nombreux propriétaires de chiens et le cercle bleu représentera de nombreux propriétaires de chats. Il y avait 100 élèves au total. Ceux qui ont à la fois un chat et un chien X. Pour trouver le nombre d'élèves qui n'ont qu'un chien, soustrayez X de 87. Comme il y a 100 élèves au total, nous obtenons:

X \u003d 50 étudiants

Réponse: 50 élèves ont à la fois un chat et un chien

Objectif 2.

Un jour, on a demandé aux élèves lequel d'entre eux aime les mathématiques, qui aime la langue russe et qui aime la physique. Il s'est avéré que sur 36 élèves, 2 n'aiment pas les mathématiques, le russe ou la physique. 25 élèves aiment les mathématiques, 11 élèves aiment le russe, 17 élèves aiment la physique; mathématiques et russe - 6; mathématiques et physique - 10; Langue russe et physique - 4.

Combien de personnes aiment les trois sujets?

Décision:

Dessinons 3 ensembles. Ensemble rouge pour ceux qui aiment les mathématiques, bleu pour ceux qui aiment le russe, vert pour la physique.

Écrivons maintenant le nombre d'éléments dans les ensembles. 6 personnes aiment le russe et les mathématiques. Parmi ceux-ci, X personnes aiment aussi la physique. Cela signifie que seulement 6 personnes aiment les mathématiques et le russe. Seulement les mathématiques et la physique 10-X, seulement le russe et la physique 4 personnes. 25 personnes aiment les mathématiques. Mais les gens X, 6-X, 10-X aiment aussi d'autres objets. Cela signifie que seules les mathématiques sont appréciées par 25- (6-X) - (10-X) -X \u003d 25-6 + X-10 + X -X \u003d 5 + X personnes. Seuls les Russes aiment 11- (6-X) - (4-X) -X \u003d 11-10 + 2X-X \u003d 1 + X étudiants, seulement la physique 17- (10-X) - (4-X) -X \u003d 17-14 + 2X-X \u003d 3 + X.

Étant donné que 2 personnes n'aiment aucun de ces articles, alors:

3 + X + 9 + X + 1 + X + 6-X + 10-X + 4-X + X \u003d 36-2

Réponse: 1 personne aime les trois articles

Objectif 3.

Le tableau montre les demandes et le nombre de pages qui s'y trouvent pour un certain segment d'Internet.

Combien de pages (en milliers) trouvera-t-il pour la nature? (quatre)

Décision :

À la demande d'une personne, 2 100 000 pages ont été trouvées. 900 d'entre eux concernent également la nature. Cela signifie qu'il y a 2100-900 pages seulement environ une personne \u003d 200 mille, mais seulement sur la nature de X-900 mille. Nous obtenons cela:

2100-900 + X-900 + 900 \u003d 3400

2100-900 + X \u003d 3400

X \u003d 2200 mille pages

Réponse: par nature de demande, 2 200 000 pages seront trouvées.

Comme vous pouvez le voir, les cercles d'Euler sont une découverte utile et importante pour les mathématiques en général et pour chacun de nous en particulier. Les cercles d'Euler se trouvent non seulement dans les examens, mais nous en avons également besoin dans la vie de tous les jours. C'est une chose intéressante et nécessaire qu'il ne faut pas oublier.

Littérature:

https://www.tutoronline.ru/blog/krugi-jejlera

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%B8_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1 % 80% D0% B0

http://sibac.info/shcoolconf/science/xvii/42485

http://www.jwy.narod.ru/logic/_04_eiler.html

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80,_%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD % D0% B0% D1% 80% D0% B4