Aggiunta di radici cubiche. Radice quadrata

Estrarre la radice del quadrante di un numero non è l'unica operazione che si può eseguire con questo fenomeno matematico. Proprio come i numeri normali, le radici quadrate aggiungono e sottraggono.

Regole per aggiungere e sottrarre radici quadrate

Azioni come addizione e sottrazione di radici quadrate sono possibili solo se l'espressione radicale è la stessa.

Esempio 1

Puoi aggiungere o sottrarre espressioni 2 3 e 63, ma non 5 6 E 94. Se è possibile semplificare l'espressione e ridurla alle radici con lo stesso numero radicale, allora semplifica e poi aggiungi o sottrai.

Azioni con radici: nozioni di base

6 50 - 2 8 + 5 12

Algoritmo di azione:

1. Semplifica l'espressione radicale. Per fare ciò è necessario scomporre l'espressione radicale in 2 fattori, uno dei quali è un numero quadrato (il numero da cui si estrae l'intera radice quadrata, ad esempio 25 o 9).
2. Quindi devi prendere la radice del numero quadrato e scrivi il valore risultante prima del segno della radice. Si tenga presente che il secondo fattore va inserito sotto il segno della radice.
3. Dopo il processo di semplificazione, è necessario enfatizzare le radici con le stesse espressioni radicali, solo che possono essere aggiunte e sottratte.
4. Per radici con le stesse espressioni radicali è necessario aggiungere o sottrarre i fattori che compaiono prima del segno di radice. L'espressione radicale rimane invariata. Non è possibile aggiungere o sottrarre numeri radicali!

Suggerimento 1

Se hai un esempio con grande quantità espressioni radicali identiche, quindi sottolinea tali espressioni con linee singole, doppie e triple per facilitare il processo di calcolo.

Esempio 3

Proviamo a risolvere questo esempio:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Per prima cosa devi scomporre 50 in 2 fattori 25 e 2, quindi prendere la radice di 25, che è uguale a 5, ed estrarre 5 da sotto la radice. Dopodiché devi moltiplicare 5 per 6 (il fattore alla radice) e ottenere 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Per prima cosa devi scomporre 8 in 2 fattori: 4 e 2. Quindi prendi la radice da 4, che è uguale a 2, ed estrai 2 da sotto la radice. Successivamente, devi moltiplicare 2 per 2 (il fattore alla radice) e ottenere 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Per prima cosa devi scomporre 12 in 2 fattori: 4 e 3. Quindi estrai la radice di 4, che è uguale a 2, e rimuovila da sotto la radice. Successivamente, devi moltiplicare 2 per 5 (il fattore alla radice) e ottenere 10 3.

Risultato della semplificazione: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Di conseguenza, abbiamo visto quante espressioni radicali identiche sono contenute in questo esempio. Ora facciamo pratica con altri esempi.

Esempio 4

• Semplifichiamo (45) . Fattore 45: (45) = (9 × 5) ;
• Togliamo 3 da sotto la radice (9 = 3): 45 = 3 5 ;
• Somma i fattori alle radici: 3 5 + 4 5 = 7 5.

Esempio 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Semplifichiamo 6 40 . Fattorizziamo 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• Togliamo 2 da sotto la radice (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• Moltiplichiamo i fattori che compaiono davanti alla radice: 12 10 ;
• Scriviamo l'espressione in forma semplificata: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• Poiché i primi due termini hanno gli stessi numeri radicali, possiamo sottrarli: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Esempio 6

Come possiamo vedere, non è possibile semplificare i numeri radicali, quindi cerchiamo nell'esempio termini con gli stessi numeri radicali, svolgiamo operazioni matematiche (addizione, sottrazione, ecc.) e scriviamo il risultato:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Consiglio:

• Prima di aggiungere o sottrarre è necessario semplificare (se possibile) le espressioni radicali.
• È severamente vietato aggiungere e sottrarre radici con espressioni radicali diverse.
• Non dovresti aggiungere o sottrarre un numero intero o una radice: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• Quando esegui operazioni con le frazioni, devi trovare un numero divisibile per ciascun denominatore, quindi portare le frazioni a un denominatore comune, quindi aggiungere i numeratori e lasciare invariati i denominatori.

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Saluti, gatti! L’ultima volta abbiamo parlato in dettaglio di cosa sono le radici (se non te lo ricordi ti consiglio di leggerlo). Il punto principale di quella lezione: esiste una sola definizione universale di radici, che è ciò che devi sapere. Il resto sono sciocchezze e perdita di tempo.

Oggi andiamo oltre. Impareremo a moltiplicare le radici, studieremo alcuni problemi legati alla moltiplicazione (se questi problemi non vengono risolti, possono diventare fatali all'esame) e ci eserciteremo adeguatamente. Quindi fai scorta di popcorn, mettiti comodo e iniziamo.

Nemmeno tu l'hai ancora fumato, vero?

La lezione si è rivelata piuttosto lunga, quindi l’ho divisa in due parti:

1. Per prima cosa esamineremo le regole della moltiplicazione. Cap sembra suggerire: questo è quando ci sono due radici, tra di loro c'è un segno di "moltiplicazione" - e vogliamo farci qualcosa.
2. Consideriamo allora la situazione opposta: c'è una grande radice, ma volevamo rappresentarla come il prodotto di due radici più semplici. Perché è necessario, è una domanda separata. Analizzeremo solo l'algoritmo.

Per chi non vede l’ora di passare subito alla seconda parte, siete i benvenuti. Cominciamo con il resto in ordine.

Regola base della moltiplicazione

Cominciamo con la cosa più semplice: le classiche radici quadrate. Gli stessi che sono indicati con $\sqrt(a)$ e $\sqrt(b)$. Tutto è ovvio per loro:

Regola di moltiplicazione. Per moltiplicare una radice quadrata per un'altra, moltiplica semplicemente le loro espressioni radicali e scrivi il risultato sotto il radicale comune:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Non vengono imposte ulteriori restrizioni ai numeri di destra o di sinistra: se esistono i fattori radice, esiste anche il prodotto.

Esempi. Diamo un'occhiata a quattro esempi con numeri contemporaneamente:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(allinea)\]

Come puoi vedere, il significato principale di questa regola è semplificare le espressioni irrazionali. E se nel primo esempio noi stessi avremmo estratto le radici di 25 e 4 senza nuove regole, allora le cose si fanno difficili: $\sqrt(32)$ e $\sqrt(2)$ non vengono considerati da soli, ma il loro prodotto risulta essere un quadrato perfetto, quindi la sua radice è uguale a un numero razionale.

Vorrei in particolare evidenziare l'ultima riga. Lì, entrambe le espressioni radicali sono frazioni. Grazie al prodotto molti fattori vengono annullati e l'intera espressione si trasforma in un numero adeguato.

Naturalmente, le cose non saranno sempre così belle. A volte ci sarà un completo disastro sotto le radici: non è chiaro cosa farne e come trasformarlo dopo la moltiplicazione. Un po’ più tardi, quando inizierai a studiare le equazioni e le disuguaglianze irrazionali, ci saranno tutti i tipi di variabili e funzioni. E molto spesso chi scrive problemi conta sul fatto che si scopriranno alcuni termini o fattori annullanti, dopodiché il problema verrà semplificato più volte.

Inoltre, non è affatto necessario moltiplicare esattamente due radici. Puoi moltiplicare tre, quattro o anche dieci contemporaneamente! Ciò non cambierà la regola. Guarda:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(allinea)\]

E ancora una piccola nota sul secondo esempio. Come puoi vedere, nel terzo fattore sotto la radice c'è una frazione decimale: nel processo di calcolo la sostituiamo con una normale, dopodiché tutto può essere facilmente ridotto. Quindi: consiglio vivamente di eliminare le frazioni decimali in qualsiasi espressione irrazionale (cioè contenente almeno un simbolo radicale). Ciò ti farà risparmiare molto tempo e nervi in ​​futuro.

Ma questa era una digressione lirica. Consideriamo ora un caso più generale: quando l'esponente radice contiene un numero arbitrario $n$, e non solo i due “classici”.

Il caso di un indicatore arbitrario

Quindi, abbiamo risolto le radici quadrate. Cosa fare con quelli cubici? O anche con radici di grado arbitrario $n$? Sì, è tutto uguale. La regola rimane la stessa:

Per moltiplicare due radici di grado $n$ è sufficiente moltiplicare le loro espressioni radicali, e poi scrivere il risultato sotto un radicale.

In generale, niente di complicato. Solo che la quantità di calcoli potrebbe essere maggiore. Diamo un'occhiata a un paio di esempi:

Esempi. Calcola i prodotti:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(allinea)\]

E ancora, attenzione alla seconda espressione. Moltiplichiamo le radici cubiche, eliminiamo la frazione decimale e alla fine il denominatore è il prodotto dei numeri 625 e 25. Questo è un numero piuttosto grande: personalmente, non riesco a capire a cosa equivale dall'inizio della mia testa.

Pertanto, abbiamo semplicemente isolato il cubo esatto nel numeratore e nel denominatore e quindi abbiamo utilizzato una delle proprietà chiave (o, se preferisci, la definizione) della $n$esima radice:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\sinistra| a\giusto|. \\ \end(allinea)\]

Tali "macchinazioni" possono farti risparmiare molto tempo durante un esame o un test, quindi ricorda:

Non affrettarti a moltiplicare i numeri usando espressioni radicali. Innanzitutto, controlla: cosa succede se il grado esatto di qualsiasi espressione è "crittografato" lì?

Nonostante l'ovvietà di questa osservazione, devo ammettere che la maggior parte degli studenti impreparati non vede i gradi esatti a bruciapelo. Invece, moltiplicano tutto in modo definitivo e poi si chiedono: perché hanno ottenuto numeri così brutali :)

Tuttavia, tutto questo è una sciocchezza rispetto a ciò che studieremo ora.

Moltiplicazione di radici con esponenti diversi

Ok, ora possiamo moltiplicare le radici con gli stessi indicatori. Cosa succede se gli indicatori sono diversi? Diciamo, come moltiplicare un normale $\sqrt(2)$ per qualche schifezza come $\sqrt(23)$? È anche possibile farlo?

Sì, certo che puoi. Tutto viene fatto secondo questa formula:

Regola per moltiplicare le radici. Per moltiplicare $\sqrt[n](a)$ per $\sqrt[p](b)$ è sufficiente eseguire la seguente trasformazione:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tuttavia, questa formula funziona solo se le espressioni radicali non sono negative. Questa è una nota molto importante su cui torneremo un po’ più tardi.

Per ora, diamo un'occhiata a un paio di esempi:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(allinea)\]

Come puoi vedere, niente di complicato. Ora scopriamo da dove viene il requisito di non negatività e cosa accadrà se lo violiamo :).

Perché le espressioni radicali devono essere non negative?

Certo che puoi essere così insegnanti della scuola e citare intelligentemente il libro di testo:

Il requisito di non negatività è associato a diverse definizioni di radici di grado pari e dispari (di conseguenza, anche i loro domini di definizione sono diversi).

Bene, è diventato più chiaro? Personalmente, quando ho letto queste sciocchezze in terza media, ho capito qualcosa del genere: "Il requisito di non negatività è associato a *#&^@(*#@^#)~%" - in breve, non l'ho fatto non capisco un bel niente in quel momento :)

Quindi ora spiegherò tutto in modo normale.

Per prima cosa, scopriamo da dove viene la formula di moltiplicazione sopra. Per fare ciò, lascia che ti ricordi un'importante proprietà della radice:

\[\quadrato[n](a)=\quadrato(((a)^(k)))\]

In altre parole, possiamo facilmente elevare l'espressione radicale a qualsiasi potenza naturale $k$: in questo caso l'esponente della radice dovrà essere moltiplicato per la stessa potenza. Pertanto, possiamo facilmente ridurre qualsiasi radice a un esponente comune e quindi moltiplicarla. Da qui deriva la formula della moltiplicazione:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ma c’è un problema che limita fortemente l’uso di tutte queste formule. Considera questo numero:

Secondo la formula appena data possiamo sommare qualsiasi grado. Proviamo ad aggiungere $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Abbiamo rimosso il meno proprio perché il quadrato brucia il meno (come ogni altro grado pari). Ora eseguiamo la trasformazione inversa: “riduciamo” il due in esponente e potenza. Dopotutto, qualsiasi uguaglianza può essere letta sia da sinistra a destra che da destra a sinistra:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](UN); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\quadrato(5). \\ \end(allinea)\]

Ma poi si scopre che è una specie di schifezza:

\[\quadrato(-5)=\quadrato(5)\]

Ciò non può accadere perché $\sqrt(-5) \lt 0$ e $\sqrt(5) \gt 0$. Ciò significa che per le potenze pari e i numeri negativi la nostra formula non funziona più. Dopodiché abbiamo due opzioni:

1. Sbattere contro il muro e affermare che la matematica è una scienza stupida, dove “ci sono delle regole, ma sono imprecise”;
2. Introdurre ulteriori restrizioni in base alle quali la formula diventerà funzionante al 100%.

Nella prima opzione, dovremo individuare costantemente casi "non funzionanti": è difficile, richiede tempo e generalmente fa schifo. Pertanto, i matematici hanno preferito la seconda opzione :).

Ma non preoccuparti! In pratica, questa limitazione non influisce in alcun modo sui calcoli, perché tutti i problemi descritti riguardano solo radici di grado dispari, e da esse si possono ricavare dei meno.

Formuliamo quindi un'altra regola, che generalmente si applica a tutte le azioni con radici:

Prima di moltiplicare le radici, assicurati che le espressioni radicali siano non negative.

Esempio. Nel numero $\sqrt(-5)$ puoi rimuovere il meno da sotto il segno della radice, quindi tutto sarà normale:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Senti la differenza? Se lasci un segno meno sotto la radice, quando l'espressione radicale sarà quadrata, scomparirà e inizierà la schifezza. E se prima togli il meno, puoi squadrare/rimuovere finché non diventi blu in faccia: il numero rimarrà negativo :).

Pertanto, il modo più corretto e affidabile per moltiplicare le radici è il seguente:

1. Rimuovi tutti gli aspetti negativi dai radicali. I meno esistono solo nelle radici di molteplicità dispari: possono essere posizionati davanti alla radice e, se necessario, ridotti (ad esempio, se ci sono due di questi meno).
2. Esegui la moltiplicazione secondo le regole discusse sopra nella lezione di oggi. Se gli indicatori delle radici sono gli stessi, moltiplichiamo semplicemente le espressioni radicali. E se sono diversi, usiamo la formula malvagia \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.Goditi il ​​risultato e i bei voti.:)

BENE? Facciamo pratica?

Esempio 1: semplificare l'espressione:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(allinea)\]

Questa è l'opzione più semplice: le radici sono uguali e dispari, l'unico problema è che il secondo fattore è negativo. Togliamo questo meno dall'immagine, dopodiché tutto può essere facilmente calcolato.

Esempio 2: semplificare l'espressione:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( allineare)\]

Molti qui rimarrebbero confusi da quello che è successo alla fine numero irrazionale. Sì, succede: non siamo riusciti a eliminare completamente la radice, ma almeno abbiamo semplificato notevolmente l'espressione.

Esempio 3: semplificare l'espressione:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Vorrei attirare la vostra attenzione su questo compito. Ci sono due punti qui:

1. La radice non è un numero o una potenza specifica, ma la variabile $a$. A prima vista, questo è un po 'insolito, ma in realtà, quando risolvi problemi matematici, molto spesso devi affrontare le variabili.
2. Alla fine siamo riusciti a “ridurre” l’indicatore di radicalità e il grado di espressione radicale. Ciò accade abbastanza spesso. Ciò significa che sarebbe stato possibile semplificare notevolmente i calcoli se non si utilizzasse la formula di base.

Ad esempio, potresti fare questo:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(allinea)\]

Tutte le trasformazioni, infatti, venivano eseguite solo con il secondo radicale. E se non descrivi in ​​​​dettaglio tutti i passaggi intermedi, alla fine la quantità di calcoli sarà notevolmente ridotta.

In effetti, abbiamo già riscontrato un'attività simile sopra quando abbiamo risolto l'esempio $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Ora può essere scritto in modo molto più semplice:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\quadrato(75). \end(allinea)\]

Bene, abbiamo risolto la moltiplicazione delle radici. Consideriamo ora l'operazione inversa: cosa fare quando sotto la radice c'è un prodotto?

Al giorno d'oggi, con i moderni computer elettronici, non è possibile calcolare la radice di un numero compito difficile. Ad esempio, √2704=52, qualsiasi calcolatrice lo calcolerà per te. Fortunatamente, la calcolatrice è disponibile non solo in Windows, ma anche in un normale telefono, anche il più semplice. È vero, se all'improvviso (con un piccolo grado di probabilità, il cui calcolo, tra l'altro, include l'aggiunta delle radici) ti ritrovi senza fondi disponibili, allora, ahimè, dovrai fare affidamento solo sul tuo cervello.

L’allenamento mentale non fallisce mai. Soprattutto per coloro che non lavorano così spesso con i numeri, tanto meno con le radici. Aggiungere e sottrarre radici è un buon allenamento per una mente annoiata. Ti mostrerò anche come aggiungere le radici passo dopo passo. Esempi di espressioni possono essere i seguenti.

Equazione per semplificare:

√2+3√48-4×√27+√128

Questa è un'espressione irrazionale. Per semplificarlo è necessario ridurre tutte le espressioni radicali a aspetto generale. Lo facciamo passo dopo passo:

Il primo numero non può più essere semplificato. Passiamo al secondo termine.

3√48 fattorizziamo 48: 48=2×24 o 48=3×16. di 24 non è un numero intero, cioè ha un resto frazionario. Poiché abbiamo bisogno di un valore esatto, le radici approssimative non sono adatte a noi. La radice quadrata di 16 è 4, togliamola da sotto Otteniamo: 3×4×√3=12×√3

La nostra prossima espressione è negativa, cioè scritto con il segno meno -4×√(27.) Fattorizziamo 27. Otteniamo 27=3×9. Non usiamo fattori frazionari perché è più difficile calcolare la radice quadrata delle frazioni. Togliamo 9 da sotto il segno, ad es. calcolare la radice quadrata. Otteniamo la seguente espressione: -4×3×√3 = -12×√3

Il termine successivo √128 calcola la parte che può essere estratta da sotto la radice. 128=64×2, dove √64=8. Se ti risulta più semplice, puoi immaginare questa espressione in questo modo: √128=√(8^2×2)

Riscriviamo l'espressione con termini semplificati:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

Ora aggiungiamo i numeri usando la stessa espressione radicale. Non è possibile aggiungere o sottrarre espressioni con espressioni radicali diverse. L'aggiunta di radici richiede il rispetto di questa regola.

Otteniamo la seguente risposta:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 - Spero che in algebra sia consuetudine omettere tali elementi non ti sia una novità.

Le espressioni possono essere rappresentate non solo dalla radice quadrata, ma anche dalla radice cubica o ennesima.

L'addizione e la sottrazione di radici con esponenti diversi, ma con un'espressione radicale equivalente, avviene come segue:

Se abbiamo un'espressione della forma √a+∛b+∜b, allora possiamo semplificare questa espressione come segue:

∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Abbiamo ridotto due termini simili a un esponente radice comune. Qui è stata utilizzata la proprietà delle radici, che afferma: se il numero del grado dell'espressione radicale e il numero dell'esponente della radice vengono moltiplicati per lo stesso numero, il suo calcolo rimarrà invariato.

Nota: gli esponenti si sommano solo quando si moltiplicano.

Consideriamo un esempio in cui l'espressione contiene frazioni.

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

Decideremo per fasi:

5√8=5*2√2 - estraiamo la parte estratta da sotto la radice.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

Se il corpo della radice è rappresentato da una frazione, spesso questa frazione non cambierà se prendi la radice quadrata del dividendo e del divisore. Di conseguenza, abbiamo ricevuto l'uguaglianza sopra descritta.

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Ecco la risposta.

La cosa principale da ricordare è che una radice con esponente pari non può essere estratta da numeri negativi. Se l'espressione radicale di grado pari è negativa, l'espressione è irrisolvibile.

L'aggiunta di radici è possibile solo se le espressioni radicali coincidono, poiché sono termini simili. Lo stesso vale per la differenza.

L'addizione di radici con esponenti numerici diversi viene effettuata riducendo entrambi i termini ad un grado di radice comune. Questa legge funziona allo stesso modo della riduzione a un denominatore comune quando si aggiungono o sottraggono frazioni.

Se un'espressione radicale contiene un numero elevato a una potenza, allora questa espressione può essere semplificata a condizione che ci sia un denominatore comune tra l'esponente della radice e la potenza.

L'argomento sulle radici quadrate è obbligatorio in curriculum scolastico corso di matematica. Non puoi farne a meno quando risolvi equazioni quadratiche. E in seguito diventa necessario non solo estrarre le radici, ma anche eseguire altre azioni con esse. Tra questi sono piuttosto complessi: esponenziazione, moltiplicazione e divisione. Ma ce ne sono anche di abbastanza semplici: sottrazione e addizione di radici. A proposito, sembrano così solo a prima vista. Eseguirli senza errori non è sempre facile per chi ha appena iniziato a conoscerli.

Cos'è una radice matematica?

Questa azione è nata in opposizione all'esponenziazione. La matematica suggerisce due operazioni opposte. C'è la sottrazione per l'addizione. La moltiplicazione è contraria alla divisione. L'azione inversa di un grado è quella di estrarre la radice corrispondente.

Se il grado è due, la radice sarà quadrata. È il più comune nella matematica scolastica. Non ha nemmeno l’indicazione che sia quadrato, ovvero accanto non è assegnato il numero 2. Notazione matematica questo operatore (radicale) è presentato in figura.

La sua definizione scaturisce agevolmente dall'azione descritta. Per estrarre la radice quadrata di un numero, devi scoprire cosa darà l'espressione radicale moltiplicata per se stessa. Questo numero sarà la radice quadrata. Se lo scriviamo matematicamente, otteniamo quanto segue: x*x=x 2 =y, che significa √y=x.

Quali azioni puoi eseguire con loro?

Fondamentalmente, una radice è una potenza frazionaria con uno al numeratore. E il denominatore può essere qualsiasi cosa. Ad esempio, la radice quadrata ne ha due. Pertanto, tutte le azioni eseguibili con i poteri saranno valide anche per root.

E i requisiti per queste azioni sono gli stessi. Se la moltiplicazione, la divisione e l'elevamento a potenza non incontrano difficoltà per gli studenti, l'aggiunta di radici, così come la loro sottrazione, a volte crea confusione. E tutto perché voglio eseguire queste operazioni indipendentemente dal segno della radice. Ed è qui che iniziano gli errori.

Quali sono le regole per aggiungere e sottrarre?

Per prima cosa devi ricordare due “non fare” categorici:

• è impossibile eseguire addizioni e sottrazioni di radici, come con i numeri primi, cioè è impossibile scrivere espressioni radicali della somma sotto un segno ed eseguire operazioni matematiche con esse;
• Non è possibile sommare e sottrarre radici con esponenti diversi, ad esempio quadrato e cubico.

Un chiaro esempio del primo divieto: √6 + √10 ≠ √16, ma √(6 + 10) = √16.

Nel secondo caso è meglio limitarsi a semplificare le radici stesse. E lascia il loro importo nella risposta.

Ora passiamo alle regole

1. Trova e raggruppa radici simili. Cioè coloro che non solo hanno gli stessi numeri sotto il radicale, ma loro stessi hanno lo stesso indicatore.
2. Esegui l'aggiunta delle radici combinate in un gruppo nella prima azione. È facile da implementare perché devi solo aggiungere i valori che appaiono davanti ai radicali.
3. Estrai le radici di quei termini in cui l'espressione radicale forma un intero quadrato. In altre parole, non lasciare nulla sotto il segno di un radicale.
4. Semplifica le espressioni radicali. Per fare questo, devi scomporli in fattori primi e vedere se danno il quadrato di qualche numero. È chiaro che questo è vero se stiamo parlando riguardo alla radice quadrata. Quando l'esponente è tre o quattro, i fattori primi devono dare il cubo o la quarta potenza del numero.
5. Togliere dal segno del radicale il fattore che dà tutto il potere.
6. Verifica se termini simili compaiono di nuovo. Se sì, esegui nuovamente il secondo passaggio.

In una situazione in cui l'attività non richiede valore esatto root, può essere calcolato su una calcolatrice. Arrotonda la frazione decimale infinita che appare nella sua finestra. Molto spesso questo viene fatto al centesimo. E quindi esegui tutte le operazioni per le frazioni decimali.

Queste sono tutte le informazioni su come aggiungere radici. Gli esempi seguenti illustreranno quanto sopra.

Primo compito

Calcola il valore delle espressioni:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Se segui l'algoritmo sopra, puoi vedere che non c'è nulla per le prime due azioni in questo esempio. Ma puoi semplificare alcune espressioni radicali.

Ad esempio, scomponi 32 in due fattori 2 e 16; 18 sarà uguale al prodotto di 9 e 2; 128 è 2 su 64. Detto questo, l'espressione verrà scritta così:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Ora devi rimuovere da sotto il segno radicale quei fattori che danno il quadrato del numero. Questo è 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. L’espressione assumerà la forma:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Dobbiamo semplificare un po' la registrazione. Per fare ciò, moltiplica i coefficienti prima dei segni di radice:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

In questa espressione, tutti i termini si sono rivelati simili. Pertanto, devi solo piegarli. La risposta sarà: 5√2.

b) Similmente all'esempio precedente, l'aggiunta delle radici inizia con la loro semplificazione. Le espressioni radicali 75, 147, 48 e 300 saranno rappresentate nelle seguenti coppie: 5 e 25, 3 e 49, 3 e 16, 3 e 100. Ciascuna di esse contiene un numero che può essere estratto da sotto il segno della radice :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Dopo la semplificazione, la risposta è: 5√5 - 5√3. Può essere lasciato in questa forma, ma è meglio prendere il fattore comune 5 tra parentesi: 5 (√5 - √3).

c) E ancora fattorizzazione: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Tolti i fattori sotto il segno della radice, abbiamo:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Dopo aver introdotto termini simili otteniamo il risultato: 7√11.

Esempio con espressioni frazionarie

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Dovrai fattorizzare i seguenti numeri: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Similmente a quelli già discussi, devi rimuovere i fattori da sotto il segno della radice e semplificare l'espressione:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Questa espressione richiede l'eliminazione dell'irrazionalità nel denominatore. Per fare ciò, devi moltiplicare il secondo termine per √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Per completare le azioni, è necessario selezionare l'intera parte dei fattori davanti alle radici. Per il primo vale 1, per il secondo vale 2.

La radice quadrata di un numero x è un numero a, che moltiplicato per se stesso dà il numero x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Come con qualsiasi numero, puoi eseguire operazioni aritmetiche di addizione e sottrazione con radici quadrate.

Istruzioni

1. Innanzitutto, quando aggiungi radici quadrate, prova a estrarre quelle radici. Ciò sarà accettabile se i numeri sotto il segno della radice sono quadrati perfetti. Diciamo che l'espressione data è ?4 + ?9. Il primo numero 4 è il quadrato del numero 2. Il secondo numero 9 è il quadrato del numero 3. Quindi risulta che: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Se non ci sono quadrati completi sotto il segno della radice, prova a spostare il moltiplicatore del numero da sotto il segno della radice. Diciamo, diciamo che l'espressione è data?24 +?54. Fattorizza i numeri: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Il numero 24 ha un fattore 4, quello che può essere trasferito da sotto il segno della radice quadrata. Nel numero 54 c'è un fattore 9. Pertanto risulta che: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6. In questo esempio, rimuovendo il moltiplicatore sotto il segno della radice, è stato possibile semplificare l'espressione data.

3. Lascia che la somma di 2 radici quadrate sia il denominatore di una frazione, diciamo A / (?a + ?b). E lascia che il tuo compito sia “sbarazzarti dell’irrazionalità nel denominatore”. Quindi puoi utilizzare il metodo successivo. Moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione per l'espressione ?a – ?b. Pertanto, il denominatore conterrà la formula di moltiplicazione abbreviata: (?a + ?b) * (?a – ?b) = a – b. Per analogia, se il denominatore contiene la differenza tra le radici: ?a – ?b, allora il numeratore e il denominatore della frazione devono essere moltiplicati per l'espressione ?a + ?b. Ad esempio, supponiamo che la frazione 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 – ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 – ?5)) = 4 * (?3 – ?5) / (-2) = 2 * (?5 – ?3).

4. Vedi altro esempio difficile eliminare l'irrazionalità nel denominatore. Sia data la frazione 12 / (?2 + ?3 + ?5). Devi moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione per l'espressione?2 + ?3 – ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 – ?5) / ( (?2 + ?3 + ?5) * (?2 + ?3 – ?5)) = 12 * (?2 + ?3 – ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 – ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 – ?30.

5. Infine, se hai bisogno solo di un valore approssimativo, puoi calcolare le radici quadrate utilizzando una calcolatrice. Calcola i valori separatamente per l'intero numero e scrivilo con la precisione richiesta (ad esempio, due cifre decimali). Successivamente, esegui le operazioni aritmetiche richieste, come con i numeri ordinari. Diciamo che devi scoprire il valore approssimativo dell'espressione?7 + ?5? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Video sull'argomento

Nota!
In nessun caso le radici quadrate possono essere aggiunte come numeri primitivi, cioè ?3 + ?2 ? ?5!!!

Consigli utili
Se stai fattorizzando un numero per spostare il quadrato da sotto il segno della radice, esegui il controllo inverso: moltiplica tutti i fattori risultanti e ottieni il numero originale.