Differenziare una funzione implicita di più variabili. Derivata di una funzione implicitamente definita: guida, esempi

Formula per la derivata di una funzione specificata implicitamente. Dimostrazione ed esempi di applicazione di questa formula. Esempi di calcolo delle derivate del primo, secondo e terzo ordine.

Derivata del primo ordine

Lascia che la funzione sia specificata implicitamente utilizzando l'equazione
(1) .
E lasciamo che questa equazione, per un certo valore, abbia una soluzione unica. Sia la funzione differenziabile nel punto , e
.
Quindi, a questo valore, c'è una derivata, che è determinata dalla formula:
(2) .

Prova

Per dimostrarlo, consideriamo la funzione come una funzione complessa della variabile:
.
Applichiamo la regola di derivazione di una funzione complessa e troviamo la derivata rispetto a una variabile dai lati sinistro e destro dell'equazione
(3) :
.
Poiché la derivata di una costante è zero e , allora
(4) ;
.

La formula è provata.

Derivate di ordine superiore

Riscriviamo l'equazione (4) utilizzando notazioni diverse:
(4) .
Allo stesso tempo, e sono funzioni complesse della variabile:
;
.
La dipendenza è determinata dall'equazione (1):
(1) .

Troviamo la derivata rispetto a una variabile dai lati sinistro e destro dell'equazione (4).
Secondo la formula della derivata di una funzione complessa abbiamo:
;
.
Secondo la formula del derivato del prodotto:

.
Utilizzando la formula della somma delle derivate:


.

Poiché la derivata del lato destro dell'equazione (4) è uguale a zero, allora
(5) .
Sostituendo qui la derivata, otteniamo il valore della derivata del secondo ordine in forma implicita.

Differenziando l'equazione (5) in modo simile, otteniamo un'equazione contenente una derivata del terzo ordine:
.
Sostituendo qui i valori trovati delle derivate del primo e del secondo ordine, troviamo il valore della derivata del terzo ordine.

Continuando la differenziazione si può trovare una derivata di qualsiasi ordine.

Esempi

Esempio 1

Trova la derivata del primo ordine della funzione data implicitamente dall'equazione:
(P1) .

Soluzione con la formula 2

Troviamo la derivata usando la formula (2):
(2) .

Spostiamo tutte le variabili sul lato sinistro in modo che l'equazione assuma la forma .
.
Da qui.

Troviamo la derivata rispetto a , considerandola costante.
;
;
;
.

Troviamo la derivata rispetto alla variabile, considerando la variabile costante.
;
;
;
.

Usando la formula (2) troviamo:
.

Possiamo semplificare il risultato se notiamo che secondo l'equazione originale (A.1), . Sostituiamo:
.
Moltiplicare numeratore e denominatore per:
.

Soluzione della seconda via

Risolviamo questo esempio nel secondo modo. Per fare ciò, troveremo la derivata rispetto alla variabile dei lati sinistro e destro dell'equazione originale (A1).

Applichiamo:
.
Applichiamo la formula della frazione derivativa:
;
.
Applichiamo la formula per la derivata di una funzione complessa:
.
Differenziamo l'equazione originale (A1).
(P1) ;
;
.
Moltiplichiamo e raggruppiamo i termini.
;
.

Sostituiamo (dall'equazione (A1)):
.
Moltiplicato per:
.

Esempio 2

Trova la derivata del secondo ordine della funzione data implicitamente utilizzando l'equazione:
(A2.1) .

Differenziamo l'equazione originaria rispetto alla variabile, considerando che è funzione di:
;
.
Applicare la formula della derivata funzione complessa.
.

Differenziamo l'equazione originale (A2.1):
;
.
Dall'equazione originale (A2.1) segue che . Sostituiamo:
.
Aprire le parentesi e raggruppare i membri:
;
(A2.2) .
Troviamo la derivata del primo ordine:
(A2.3) .

Per trovare la derivata del secondo ordine, differenziamo l'equazione (A2.2).
;
;
;
.
Sostituiamo l'espressione per la derivata del primo ordine (A2.3):
.
Moltiplicato per:

;
.
Da qui troviamo la derivata del secondo ordine.

Esempio 3

Trova la derivata del terzo ordine della funzione data implicitamente utilizzando l'equazione:
(A3.1) .

Differenziamo l'equazione originale rispetto alla variabile, assumendo che sia una funzione di .
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

Differenziamo l'equazione (A3.2) rispetto alla variabile .
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Deriviamo l'equazione (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .

Dalle equazioni (A3.2), (A3.3) e (A3.4) troviamo i valori delle derivate in .
;
;
.

Lasciamo che la funzione continua A da Xè specificato implicitamente F(X, sì) = 0, dove F(X, sì), F"x(X, sì), F"y(X, sì) sono funzioni continue in un dominio D contenente il punto ( X, A), le cui coordinate soddisfano le relazioni F (X, sì) = 0, F"y(X, sì) ≠ 0. Quindi la funzione A da X ha un derivato

Prova (vedi foto.). Permettere F"y(X, sì) > 0. Poiché la derivata F"y(X, sì) è continua, allora possiamo costruire un quadrato [ X 0 - δ" , X 0 + δ" , A 0 - δ" , A 0 + δ" ], quindi per tutti i suoi punti esiste F"y (X, sì) > 0, cioè F(X, sì) è monotono A a fisso X. Pertanto tutte le condizioni del teorema di esistenza sono soddisfatte funzione implicita A = F (X), tale che F(X, F (X)) º 0.
Impostiamo l'incremento Δ X. Nuovo significato X + Δ X corrisponderà A + Δ A = F (X + Δ X), tale che questi valori soddisfano l'equazione F (X + Δ X, sì + Δ sì) = 0. È ovvio che

Δ F = F(X + Δ X, sì + Δ sì) − F(X, sì) = 0

e in questo caso

.

Dalla (7) abbiamo

.

Poiché la funzione implicita A = F (X) sarà continua, allora Δ A→ 0 a Δ X→ 0, che significa α → 0 e β → 0. Da qui finalmente abbiamo

.

Q.E.D.

Derivate parziali e differenziali di ordine superiore.

Consideriamo le derivate parziali della funzione z = f (X, sì), definiti in un intorno di un punto M, esistono in ogni punto di questo intorno. In questo caso le derivate parziali sono funzioni di due variabili X E A, definite nell'intorno indicato del punto M. Chiamiamole derivate parziali del primo ordine. A loro volta, derivate parziali rispetto alle variabili X E A delle funzioni nel punto M, se esistono, sono chiamate derivate parziali del secondo ordine della funzione F (M) a questo punto e sono indicati dai seguenti simboli

Le derivate parziali del secondo ordine della forma , , sono chiamate derivate parziali miste.

Differenziali di ordine superiore

Considereremo dx nell'espressione per dy come fattore costante. Quindi la funzione dy rappresenta una funzione di solo argomento X e il suo differenziale nel punto X ha la forma (quando si considera il differenziale da dy useremo nuove notazioni per i differenziali):

δ ( d a) = δ [ F " (X) dx] = [F " (X) dx] " δ X = F "" (X) D(X) δ X .

Differenziale δ ( d a) dal differenziale dy al punto X, preso a δ x = dx, è chiamato differenziale del secondo ordine della funzione F (X) al punto X ed è designato D 2 sì, cioè.

D 2 sì = F ""(X)·( dx) 2 .

A sua volta, il differenziale δ( D 2 sì) dal differenziale D 2 sì, preso a δ x = dx, è chiamato differenziale del terzo ordine della funzione F(X) ed è indicato D 3 sì eccetera. Differenziale δ( D n-1 y) dal differenziale d.n -1 F, preso a δ X = dx, si chiama differenziale N-esimo ordine (o N- m differenziale) funzioni F(X) ed è indicato d no sì.
Proviamolo per N-esimo differenziale della funzione vale la seguente formula:

d n y = y (N) ·( dx)N, N = 1, 2, … (3.1)

Nella dimostrazione useremo il metodo induzione matematica. Per N= 1 e N= 2 la formula (3.1) è dimostrata. Sia vero per i differenziali di ordine N - 1

d.n −1 sì=y( N−1) ·( dx)N −1 ,

e funzione sì (N-1) (X) è differenziabile ad un certo punto X. Poi

Supponendo δ x = dx, noi abbiamo

Q.E.D.
Per chiunque N l'uguaglianza è vera

O

quelli. N- i è la derivata della funzione sì= F (X) al punto X uguale al rapporto N-esimo differenziale di questa funzione nel punto X A N-esimo grado del differenziale dell'argomentazione.

Derivata direzionale di funzioni di più variabili.

Vengono considerati la funzione e il vettore unitario. Diretto l tramite t. M 0 con vettore guida

Definizione 1. Derivata di una funzione tu = tu(X, sì, z) per variabile T chiamato derivata nella direzione l

Poiché su questa linea retta tuè una funzione complessa di una variabile, quindi la derivata rispetto a T uguale alla derivata totale rispetto a T(§ 12).

È indicato e uguale a

I derivati ​​di ordine superiore si trovano mediante differenziazione successiva della formula (1).

Esempio. Trova e se (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.

Soluzione. Indicando il lato sinistro di questa equazione con F(x,y) trovare le derivate parziali

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

Da qui, applicando la formula (1), otteniamo:

.

Per trovare la derivata seconda differenziare rispetto a X la derivata prima trovata, tenendo conto di ciò A esiste una funzione x:

.

2°. Il caso di più variabili indipendenti. Allo stesso modo, se l'equazione F(x, y, z)=0, Dove F(x, y, z) - funzione differenziabile delle variabili x, y E z, determina z in funzione di variabili indipendenti X E A E Fz(x, y, z)≠ 0, allora le derivate parziali di questo implicitamente data funzione, in generale, si possono trovare utilizzando le formule

Un altro modo per trovare le derivate della funzione z è il seguente: differenziando l'equazione F(x, y, z) = 0, noi abbiamo:

.

Da qui possiamo determinare dz, e quindi .

Esempio. Trova e se x ²-2y²+3z²-yz +y =0.

1° metodo. Indicando il lato sinistro di questa equazione con F(x, y, z), troviamo le derivate parziali F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y.

Applicando le formule (2), otteniamo:

2° metodo. Differenziando questa equazione, otteniamo:

2xdx-4sìdi +6zdz-sìdz-zdi +d = 0

Da qui determiniamo dz, ovvero il differenziale totale della funzione implicita:

.

Confronto con la formula , Lo vediamo

.

3°. Sistema di funzioni implicite. Se un sistema di due equazioni

definisce tu E v come funzioni delle variabili xey e dello Jacobiano

,

quindi i differenziali di queste funzioni (e quindi le loro derivate parziali) possono essere trovati dal sistema di equazioni

Esempio: equazioni u+v=x+y, xu+yv=1 determinare tu E v come funzioni X E A; Trovare .

Soluzione. 1° metodo. Derivando entrambe le equazioni rispetto a x si ottiene:

.

In modo simile troviamo:

.

2° metodo. Per differenziazione troviamo due equazioni che collegano i differenziali di tutte e quattro le variabili: du +dv =dx+tu,Xdu +tudx+sìdv+vd = 0.

Risolvere questo sistema per i differenziali du E dv, noi abbiamo:

4°. Specificazione della funzione parametrica. Se la funzione di r variabili X E Aè dato parametricamente dalle equazioni x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) E

,

quindi il differenziale di questa funzione può essere trovato dal sistema di equazioni

Conoscere il differenziale dz=p dx+q dy, troviamo le derivate parziali e .

Esempio. Funzione z argomenti X E A dato dalle equazioni x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v).

Trova e .

Soluzione. 1° metodo. Per differenziazione troviamo tre equazioni che collegano i differenziali di tutte e cinque le variabili:

Dalle prime due equazioni determiniamo du E dv:

.

Sostituiamo i valori trovati nella terza equazione du E dv:

.

2° metodo. Dalla terza equazione data possiamo trovare:

Differenziamo innanzitutto le prime due equazioni rispetto a X, poi di A:

Dal primo sistema troviamo: .

Dal secondo sistema troviamo: .

Sostituendo le espressioni e nella formula (5), otteniamo:

Sostituzione delle variabili

Quando si sostituiscono le variabili nelle espressioni differenziali, le derivate in esse incluse dovrebbero essere espresse in termini di altre derivate secondo le regole per differenziare una funzione complessa.

1°. Sostituzione di variabili in espressioni contenenti derivate ordinarie.

,

credendo.

A Di X attraverso derivati ​​di A Di T. Abbiamo:

,

.

Sostituendo le espressioni derivate trovate in questa equazione e sostituendo X attraverso , otteniamo:

Esempio. Converti equazione

,

prendendolo come argomento A e per la funzione x.

Soluzione. Esprimiamo le derivate di A Di X attraverso derivati ​​di X Di tu.

.

Sostituendo queste espressioni derivate in questa equazione, abbiamo:

,

o, infine,

.

Esempio. Converti equazione

passando a coordinate polari

Soluzione. Considerando R come una funzione φ , dalle formule (1) si ottiene:

dх = сosφ dr – r sinφ dφ, dy=sinφ+r cosφ dφ,

Impareremo a trovare le derivate di funzioni specificate implicitamente, cioè specificate da determinate equazioni che collegano variabili X E sì. Esempi di funzioni specificate implicitamente:

,

Le derivate di funzioni specificate implicitamente, o le derivate di funzioni implicite, si trovano in modo abbastanza semplice. Ora diamo un'occhiata alla regola e all'esempio corrispondenti, quindi scopriamo perché è necessario in generale.

Per trovare la derivata di una funzione specificata implicitamente, è necessario differenziare entrambi i membri dell'equazione rispetto a x. Quei termini in cui è presente solo X si trasformeranno nella consueta derivata della funzione da X. E i termini con il gioco devono essere differenziati utilizzando la regola per differenziare una funzione complessa, poiché il gioco è una funzione di X. Per dirla in modo molto semplice, la derivata risultante del termine con x dovrebbe risultare: la derivata della funzione da y moltiplicata per la derivata da y. Ad esempio, la derivata di un termine verrà scritta come , la derivata di un termine verrà scritta come . Successivamente, da tutto ciò, è necessario esprimere questo "colpo di gioco" e si otterrà la derivata desiderata della funzione specificata implicitamente. Consideriamolo con un esempio.

Esempio 1.

Soluzione. Differenziamo entrambi i membri dell'equazione rispetto a x, assumendo che i sia una funzione di x:

Da qui otteniamo la derivata richiesta nell'attività:

Ora qualcosa sulla proprietà ambigua delle funzioni specificate implicitamente e sul perché sono necessarie regole speciali per la loro differenziazione. In alcuni casi, puoi assicurarti che la sostituzione dell'espressione in termini di x in una determinata equazione (vedi esempi sopra) invece del gioco, porti al fatto che questa equazione si trasforma in un'identità. COSÌ. L'equazione precedente definisce implicitamente le seguenti funzioni:

Dopo aver sostituito l'espressione del gioco al quadrato per x nell'equazione originale, otteniamo l'identità:

.

Le espressioni che abbiamo sostituito sono state ottenute risolvendo l'equazione del gioco.

Se dovessimo differenziare la corrispondente funzione esplicita

quindi otterremmo la risposta come nell'esempio 1 - da una funzione specificata implicitamente:

Ma non tutte le funzioni specificate implicitamente possono essere rappresentate nel modulo sì = F(X) . Quindi, ad esempio, le funzioni specificate implicitamente

non sono espressi attraverso funzioni elementari, cioè queste equazioni non possono essere risolte rispetto al giocatore. Esiste quindi una regola per differenziare una funzione specificata implicitamente, che abbiamo già studiato e che applicheremo ulteriormente in modo coerente in altri esempi.

Esempio 2. Trova la derivata di una funzione data implicitamente:

.

Esprimiamo il primo e, in uscita, la derivata della funzione specificata implicitamente:

Esempio 3. Trova la derivata di una funzione data implicitamente:

.

Soluzione. Differenziamo entrambi i membri dell'equazione rispetto a x:

.

Esempio 4. Trova la derivata di una funzione data implicitamente:

.

Soluzione. Differenziamo entrambi i membri dell'equazione rispetto a x:

.

Esprimiamo e otteniamo la derivata:

.

Esempio 5. Trova la derivata di una funzione data implicitamente:

Soluzione. Spostiamo i termini dal lato destro dell'equazione al lato sinistro e lasciamo lo zero a destra. Differenziamo entrambi i membri dell'equazione rispetto a x.

Indubbiamente, nella nostra mente l'immagine della funzione è associata all'uguaglianza e alla linea corrispondente: il grafico della funzione. Ad esempio, - una dipendenza funzionale, il cui grafico è una parabola quadratica con un vertice nell'origine e rami diretti verso l'alto; è una funzione sinusoidale nota per le sue onde.

In questi esempi, il lato sinistro dell'uguaglianza è y, mentre il lato destro è un'espressione che dipende dall'argomento x. In altre parole, abbiamo un'equazione risolta per y. Viene chiamata la rappresentazione di una dipendenza funzionale sotto forma di tale espressione specificando esplicitamente la funzione(O funzione in modo esplicito). E questo tipo di assegnazione di funzioni ci è più familiare. Nella maggior parte degli esempi e dei problemi ci vengono presentate funzioni esplicite. Abbiamo già parlato in dettaglio della differenziazione delle funzioni di una variabile, specificata esplicitamente.

Tuttavia, una funzione implica una corrispondenza tra un insieme di valori di x e un insieme di valori di y, e questa corrispondenza NON è necessariamente stabilita da alcuna formula o espressione analitica. Cioè, ci sono molti modi per specificare una funzione oltre al solito.

In questo articolo vedremo funzioni implicite e metodi per trovarne le derivate. Esempi di funzioni specificate in modo implicito includono o .

Come hai notato, la funzione implicita è definita dalla relazione. Ma non tutte le relazioni tra xey definiscono una funzione. Ad esempio, nessuna coppia numeri reali xey non soddisfano l'uguaglianza, pertanto questa relazione non specifica una funzione implicita.

Può determinare implicitamente la legge di corrispondenza tra le quantità xey e ciascun valore dell'argomento x può corrispondere a uno (in questo caso abbiamo una funzione a valore singolo) o a più valori della funzione (in questo caso la funzione si chiama multivalore). Ad esempio, il valore x = 1 corrisponde a due valori reali y = 2 e y = -2 della funzione specificata implicitamente.

Non è sempre possibile portare una funzione implicita in una forma esplicita, altrimenti non ci sarebbe bisogno di differenziare le funzioni implicite stesse. Per esempio, - non viene convertito in una forma esplicita, ma - viene convertito.

Ora arriviamo al punto.

Per trovare la derivata di una funzione data implicitamente, è necessario differenziare entrambi i membri dell'uguaglianza rispetto all'argomento x, considerando y come una funzione di x, e quindi esprimere.

La differenziazione delle espressioni contenenti xey(x) viene effettuata utilizzando le regole di differenziazione e la regola per trovare la derivata di una funzione complessa. Diamo subito un'occhiata ad alcuni esempi in dettaglio in modo che non ci siano ulteriori domande.

Esempio.

Differenziare le espressioni in x, considerando y una funzione di x.

Soluzione.

Perché y è una funzione di x, allora è una funzione complessa. Può essere convenzionalmente rappresentato come f(g(x)), dove f è la funzione del cubo e g(x) = y. Quindi, secondo la formula della derivata di una funzione complessa, abbiamo: .

Quando differenziamo la seconda espressione, togliamo la costante dal segno della derivata e agiamo come nel caso precedente (qui f è la funzione seno, g(x) = y):

Per la terza espressione applichiamo la formula della derivata del prodotto:

Applicando coerentemente le regole, differenziamo l'ultima espressione:

Ora puoi passare alla ricerca della derivata di una funzione specificata implicitamente, per questo hai tutta la conoscenza.

Esempio.

Trova la derivata di una funzione implicita.

Soluzione.

La derivata di una funzione specificata implicitamente è sempre rappresentata come un'espressione contenente xey: . Per arrivare a questo risultato, differenziamo entrambi i lati dell’uguaglianza:

Risolviamo l'equazione risultante rispetto alla derivata:

Risposta:

.

COMMENTO.

Per consolidare il materiale, risolviamo un altro esempio.