Formula per la derivata di una funzione specificata implicitamente. Dimostrazione ed esempi di applicazione di questa formula. Esempi di calcolo delle derivate del primo, secondo e terzo ordine.

Derivata del primo ordine

Lascia che la funzione sia specificata implicitamente utilizzando l'equazione
(1) .
E lasciamo che questa equazione, per un certo valore, abbia una soluzione unica. Sia la funzione differenziabile nel punto , e
.
Quindi, a questo valore, c'è una derivata, che è determinata dalla formula:
(2) .

Prova

Per dimostrarlo, consideriamo la funzione come una funzione complessa della variabile:
.
Applichiamo la regola di derivazione di una funzione complessa e troviamo la derivata rispetto a una variabile dai lati sinistro e destro dell'equazione
(3) :
.
Poiché la derivata di una costante è zero e , allora
(4) ;
.

La formula è provata.

Derivate di ordine superiore

Riscriviamo l'equazione (4) usando notazioni diverse:
(4) .
Allo stesso tempo, e sono funzioni complesse della variabile:
;
.
La dipendenza è determinata dall'equazione (1):
(1) .

Troviamo la derivata rispetto a una variabile dai lati sinistro e destro dell'equazione (4).
Secondo la formula della derivata di una funzione complessa abbiamo:
;
.
Secondo la formula del derivato del prodotto:

.
Utilizzando la formula della somma delle derivate:


.

Poiché la derivata del lato destro dell'equazione (4) è uguale a zero, allora
(5) .
Sostituendo qui la derivata, otteniamo il valore della derivata del secondo ordine in forma implicita.

Differenziando l'equazione (5) in modo simile, otteniamo un'equazione contenente una derivata del terzo ordine:
.
Sostituendo qui i valori trovati delle derivate del primo e del secondo ordine, troviamo il valore della derivata del terzo ordine.

Continuando la differenziazione si può trovare una derivata di qualsiasi ordine.

Esempi

Esempio 1

Trova la derivata del primo ordine della funzione data implicitamente dall'equazione:
(P1) .

Soluzione con la formula 2

Troviamo la derivata usando la formula (2):
(2) .

Spostiamo tutte le variabili sul lato sinistro in modo che l'equazione assuma la forma .
.
Da qui.

Troviamo la derivata rispetto a , considerandola costante.
;
;
;
.

Troviamo la derivata rispetto alla variabile, considerando la variabile costante.
;
;
;
.

Usando la formula (2) troviamo:
.

Possiamo semplificare il risultato se notiamo che secondo l'equazione originale (A.1), . Sostituiamo:
.
Moltiplicare numeratore e denominatore per:
.

Soluzione della seconda via

Risolviamo questo esempio nel secondo modo. Per fare ciò, troveremo la derivata rispetto alla variabile dei lati sinistro e destro dell'equazione originale (A1).

Applichiamo:
.
Applichiamo la formula della frazione derivativa:
;
.
Applichiamo la formula per la derivata di una funzione complessa:
.
Differenziamo l'equazione originale (A1).
(P1) ;
;
.
Moltiplichiamo e raggruppiamo i termini.
;
.

Sostituiamo (dall'equazione (A1)):
.
Moltiplicato per:
.

Esempio 2

Trova la derivata del secondo ordine della funzione data implicitamente utilizzando l'equazione:
(A2.1) .

Differenziamo l'equazione originaria rispetto alla variabile, considerando che è funzione di:
;
.
Applicare la formula della derivata funzione complessa.
.

Differenziamo l'equazione originale (A2.1):
;
.
Dall'equazione originale (A2.1) segue che . Sostituiamo:
.
Aprire le parentesi e raggruppare i membri:
;
(A2.2) .
Troviamo la derivata del primo ordine:
(A2.3) .

Per trovare la derivata del secondo ordine, differenziamo l'equazione (A2.2).
;
;
;
.
Sostituiamo l'espressione per la derivata del primo ordine (A2.3):
.
Moltiplicato per:

;
.
Da qui troviamo la derivata del secondo ordine.

Esempio 3

Trova la derivata del terzo ordine della funzione data implicitamente utilizzando l'equazione:
(A3.1) .

Differenziamo l'equazione originale rispetto alla variabile, assumendo che sia una funzione di .
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

Differenziamo l'equazione (A3.2) rispetto alla variabile .
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Deriviamo l'equazione (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .

Dalle equazioni (A3.2), (A3.3) e (A3.4) troviamo i valori delle derivate in .
;
;
.

Una funzione Z= f(x; y) si dice implicita se è data dall'equazione F(x,y,z)=0 irrisolta rispetto a Z. Troviamo le derivate parziali della funzione Z date implicitamente. Per fare ciò, sostituendo nell'equazione la funzione f(x;y) al posto di Z, otteniamo l'identità F(x,y, f(x,y))=0. Derivate parziali di una funzione, in modo identico uguale a zero, sono anch'essi uguali a zero.

F(x,y, f(x, y)) =
=0 (considerato costante)

F(x,y, f(x, y)) =
=0 (xcostante considerata)

Dove
E

Esempio: Trova le derivate parziali della funzione Z data dall'equazione
.

Qui F(x,y,z)=
;
;
;
. Secondo le formule sopra riportate abbiamo:

E

1. Derivata direzionale

Sia data una funzione di due variabili Z= f(x; y) in un certo intorno del punto M (x,y). Considera una direzione definita dal vettore unitario
, Dove
(Guarda l'immagine).

Su una retta che passa in questa direzione attraverso il punto M, prendiamo il punto M 1 (
) in modo che la lunghezza
segmentoMM 1 è uguale a
. L'incremento della funzione f(M) è determinato dalla relazione, dove
collegati da relazioni. Limite del rapporto A
verrà chiamata la derivata della funzione
al punto
in direzione ed essere designato .

=

Se la funzione Z è differenziabile nel punto
, quindi il suo incremento a questo punto tenendo conto delle relazioni for
può essere scritto nella seguente forma.

dividendo entrambe le parti per

e passando al limite a
otteniamo una formula per la derivata della funzione Z= f(x; y) nella direzione:

1. Pendenza

Consideriamo una funzione di tre variabili
differenziabile ad un certo punto
.

Il gradiente di questa funzione
nel punto M c'è un vettore le cui coordinate sono rispettivamente uguali alle derivate parziali
a questo punto. Per indicare un gradiente, utilizzare il simbolo
.
=
.

.Il gradiente indica la direzione della crescita più rapida della funzione in un dato punto.

Poiché il vettore unitario ha coordinate (
), allora la derivata direzionale per il caso di una funzione di tre variabili viene scritta nella forma, cioè ha la formula per il prodotto scalare di vettori E
. Riscriviamo l'ultima formula come segue:

, Dove - angolo tra il vettore E
. Perché il
, ne consegue che la derivata della funzione nella direzione assume il valore massimo in =0, cioè quando la direzione dei vettori E
abbinare. In cui
Cioè, infatti, il gradiente di una funzione caratterizza la direzione e l'entità del tasso massimo di aumento di questa funzione in un punto.

1. Estremo di una funzione di due variabili

I concetti di massimo, minimo, estremo di una funzione di due variabili sono simili ai concetti corrispondenti di una funzione di una variabile. Sia definita la funzione Z= f(x; y) in qualche dominio D, ecc. M
appartiene a questa zona. Punto M
è chiamato punto massimo della funzione Z= f(x; y) se esiste un tale intorno δ del punto
, che per ogni punto di questo quartiere la disuguaglianza
. Il punto min viene determinato in modo simile, cambierà solo il segno della disuguaglianza
. Il valore della funzione nel punto max(min) è chiamato massimo (minimo). Il massimo e il minimo di una funzione si chiamano estremi.

1. Condizioni necessarie e sufficienti per un estremo

Teorema:(Condizioni necessarie per un estremo). Se al punto M
la funzione differenziabile Z= f(x; y) ha un estremo, allora le sue derivate parziali in questo punto sono pari a zero:
,
.

Prova: Fissata una delle variabili x o y, trasformiamo Z = f(x; y) in una funzione di una variabile, per l'estremo della quale devono essere soddisfatte le condizioni di cui sopra. Uguaglianze geometriche
E
significa che nel punto estremo della funzione Z= f(x; y), il piano tangente alla superficie che rappresenta la funzione f(x,y)=Z è parallelo al piano OXY, perché l'equazione del piano tangente è Z = Z 0. Il punto in cui le derivate parziali del primo ordine della funzione Z = f (x; y) sono uguali a zero, cioè
,
, sono detti punto stazionario della funzione. Una funzione può avere un estremo nei punti in cui almeno una delle derivate parziali non esiste. Ad esempioZ=|-
| ha max nel punto O(0,0), ma non ha derivate in questo punto.

Si chiamano punti stazionari e punti in cui non esiste almeno una derivata parziale punti critici. Nei punti critici, la funzione può o meno avere un estremo. L'uguaglianza delle derivate parziali a zero è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'esistenza di un estremo. Ad esempio, quando Z=xy, il punto O(0,0) è critico. Tuttavia, la funzione Z=xy non contiene un estremo. (Perché nei trimestri I e III Z>0, e nei trimestri II e IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Teorema: (Condizione sufficiente per gli estremi). Lasciamo un punto stazionario
e in un certo intorno la funzione f(x; y) ha derivate parziali continue fino al 2° ordine compreso. Calcoliamo al punto
valori
,
E
. Denotiamo

Se
, estremo nel punto
può o non può essere. Sono necessarie ulteriori ricerche.

È noto che la funzione y= f(x) può essere specificata implicitamente utilizzando un'equazione che collega le variabili x e y:

F(x,y)=0.

Formuliamo le condizioni alle quali l'equazione F(x,y)=0 definisce una delle variabili in funzione dell'altra. Quanto segue è vero

Teorema (esistenza di una funzione implicita) Sia la funzione F(x,y)=0 soddisfa le seguenti condizioni:

1) c'è un punto P˳(x˳,y˳) , in cui F(x˳,y˳)=0

2) F’y(x˳,y˳)≠ 0

3) funzioni F’x (x ,y)e F'y (x ,y) continua in qualche intorno del punto

P 0 (X 0 ,sì 0).

Allora esiste un'unica funzione y =f (x), definita su un intervallo contenente un punto, e che soddisfa l'equazione F(x,y)=0 per qualsiasi x di questo intervallo, tale che f(x 0)=y0

Se y ha una funzione implicita da X, cioè è determinato dall'equazione F ( X, A) = 0, quindi, assumendolo A c'è una funzione da X, otteniamo l'identità F (X, A(X)) = 0, che può essere considerata una funzione costante. Derivando questa funzione costante, otteniamo:

Se in questo rapporto, puoi trovare.

Differenziando nuovamente la relazione (1), otteniamo:

La relazione (2) può essere considerata come un'equazione per determinare la derivata seconda. Differenziando nuovamente la relazione (2), otteniamo un'equazione per determinare la derivata terza, ecc.

Derivata direzionale. Vettore di direzione per il caso di due e tre variabili (coseni di direzione). Incremento di una funzione in una data direzione. Definizione di derivata direzionale, sua espressione tramite derivate parziali. Gradiente di funzione. La posizione relativa del gradiente e della linea di livello in un dato punto per una funzione di due variabili.

La derivata z'I nella direzione I di una funzione di due variabili z=f(x;y) è detta limite del rapporto tra l'incremento della funzione in questa direzione e l'entità dello spostamento ∆I man mano che quest'ultima tende a 0: z'i=lim∆iz /∆I

La derivata z’ I caratterizza la velocità di variazione della funzione nella direzione i.

Se la funzione z=f(x;y) ha derivate parziali continue nel punto Ì(x;y), allora in questo punto esiste una derivata in qualsiasi direzione proveniente dal punto Ì(x;y), che viene calcolata dalla formula z'i =z'xˑcosα+z"yˑcosβ, dove cosα, cosβ sono gli assi direzionali del vettore.

Il gradiente della funzione z=f(x,y) è un vettore con coordinate f’x, f’y. Indicato con z=(f'x,f'y) o .

La derivata direzionale è uguale al prodotto scalare del gradiente e del versore che definisce la direzione I.

Il vettore z in ciascun punto è diretto perpendicolarmente alla linea di livello che passa attraverso questo punto nella direzione della funzione crescente.

Le derivate parziali f’x e f’y sono derivate della funzione z=f(x,y) lungo due direzioni parziali degli assi Ox e Oy.

Sia z=f(x,y) una funzione differenziabile in qualche dominio D, M(x,y) . Sia I una direzione (vettore con origine nel punto M) e =(cosα;cosβ).

Quando si sposta in una data direzione I il punto M(x,y) fino al punto M1(x+∆x;y+∆y), la funzione z riceverà un incremento ∆iz=f(x+∆x;y+∆y)- f(x;y) chiamato incremento della funzione z in una data direzione I.

Se MM1=∆I allora ∆x=∆icosα, ∆y=∆icosβ, quindi, ∆iz=f(x+∆icosα; y+∆icosβ)-f(x;y).

I derivati ​​​​di ordine superiore si trovano mediante differenziazione sequenziale della formula (1).

Esempio. Trova e se (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.

Soluzione. Indicando il lato sinistro di questa equazione con F(x,y) trovare le derivate parziali

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

Da qui, applicando la formula (1), otteniamo:

.

Per trovare la derivata seconda differenziare rispetto a X la derivata prima trovata, tenendo conto di ciò A esiste una funzione x:

.

2°. Il caso di più variabili indipendenti. Allo stesso modo, se l'equazione F(x, y, z)=0, Dove F(x, y, z) - funzione differenziabile delle variabili x, y E z, determina z in funzione di variabili indipendenti X E A E Fz(x, y, z)≠ 0, allora le derivate parziali di questa funzione data implicitamente, in generale, possono essere trovate utilizzando le formule

Un altro modo per trovare le derivate della funzione z è il seguente: differenziando l'equazione F(x, y, z) = 0, noi abbiamo:

.

Da qui possiamo determinare dz, e quindi .

Esempio. Trova e se x ²-2y²+3z²-yz +y =0.

1° metodo. Indicando il lato sinistro di questa equazione con F(x, y, z), troviamo le derivate parziali F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y.

Applicando le formule (2), otteniamo:

2° metodo. Differenziando questa equazione, otteniamo:

2xdx-4sìdi +6zdz-sìdz-zdi +di = 0

Da qui determiniamo dz, ovvero il differenziale totale della funzione implicita:

.

Confronto con la formula , Lo vediamo

.

3°. Sistema di funzioni implicite. Se un sistema di due equazioni

definisce tu E v come funzioni delle variabili xey e dello Jacobiano

,

quindi i differenziali di queste funzioni (e quindi le loro derivate parziali) possono essere trovati dal sistema di equazioni

Esempio: equazioni u+v=x+y, xu+yv=1 determinare tu E v come funzioni X E A; Trovare .

Soluzione. 1° metodo. Derivando entrambe le equazioni rispetto a x si ottiene:

.

In modo simile troviamo:

.

2° metodo. Per differenziazione troviamo due equazioni che collegano i differenziali di tutte e quattro le variabili: du +dv=dx+tu,Xdu +tudx+sìdv+vdi = 0.

Risolvere questo sistema per i differenziali du E dv, noi abbiamo:

4°. Specificazione della funzione parametrica. Se la funzione di r variabili X E Aè dato parametricamente dalle equazioni x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) E

,

quindi il differenziale di questa funzione può essere trovato dal sistema di equazioni

Conoscere il differenziale dz=p dx+q dy, troviamo le derivate parziali e .

Esempio. Funzione z argomenti X E A dato dalle equazioni x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v).

Trova e .

Soluzione. 1° metodo. Per differenziazione troviamo tre equazioni che collegano i differenziali di tutte e cinque le variabili:

Dalle prime due equazioni determiniamo du E dv:

.

Sostituiamo i valori trovati nella terza equazione du E dv:

.

2° metodo. Dalla terza equazione data possiamo trovare:

Differenziamo innanzitutto le prime due equazioni rispetto a X, poi di A:

Dal primo sistema troviamo: .

Dal secondo sistema troviamo: .

Sostituendo le espressioni e nella formula (5), otteniamo:

Sostituzione delle variabili

Quando si sostituiscono le variabili nelle espressioni differenziali, le derivate in esse incluse dovrebbero essere espresse in termini di altre derivate secondo le regole per differenziare una funzione complessa.

1°. Sostituzione di variabili in espressioni contenenti derivate ordinarie.

,

credendo.

A Di X attraverso derivati ​​di A Di T. Abbiamo:

,

.

Sostituendo le espressioni derivate trovate in questa equazione e sostituendo X attraverso , otteniamo:

Esempio. Converti equazione

,

prendendolo come argomento A e per la funzione x.

Soluzione. Esprimiamo le derivate di A Di X attraverso derivati ​​di X Di tu.

.

Sostituendo queste espressioni derivate in questa equazione, avremo:

,

o, infine,

.

Esempio. Converti equazione

andando alle coordinate polari

Soluzione. Considerando R come una funzione φ , dalle formule (1) si ottiene:

dх = сosφ dr – r sinφ dφ, dy=sinφ+r cosφ dφ,

Derivata di una funzione specificata implicitamente.
Derivata di una funzione definita parametricamente

In questo articolo esamineremo altri due compiti tipici che spesso si trovano nei test di matematica superiore. Per padroneggiare con successo il materiale, devi essere in grado di trovare derivati ​​​​almeno a livello intermedio. Puoi imparare a trovare i derivati ​​praticamente da zero in due lezioni di base e Derivata di una funzione complessa. Se le tue capacità di differenziazione vanno bene, allora andiamo.

Derivata di una funzione specificata implicitamente

O, in breve, la derivata di una funzione implicita. Cos'è una funzione implicita? Ricordiamo innanzitutto la definizione stessa di funzione di una variabile:

Funzione di una variabileè una regola secondo la quale ogni valore della variabile indipendente corrisponde ad uno ed un solo valore della funzione.

La variabile viene chiamata variabile indipendente O discussione.
La variabile viene chiamata variabile dipendente O funzione .

Finora abbiamo esaminato le funzioni definite in esplicito modulo. Cosa significa? Conduciamo un debriefing utilizzando esempi specifici.

Considera la funzione

Vediamo che a sinistra abbiamo un "giocatore" solitario, e a destra - solo "X". Cioè, la funzione esplicitamente espressa attraverso la variabile indipendente.

Consideriamo un'altra funzione:

È qui che le variabili si confondono. Inoltre impossibile in ogni caso esprimere “Y” solo tramite “X”. Quali sono questi metodi? Trasferire termini da parte a parte con un cambio di segno, spostarli fuori parentesi, eliminare i fattori secondo la regola delle proporzioni, ecc. Riscrivi l'uguaglianza e prova a esprimere esplicitamente la “y”: . Puoi girare e capovolgere l’equazione per ore, ma non ci riuscirai.

Lascia che ti presenti: – esempio funzione implicita.

Nel corso dell'analisi matematica è stato dimostrato che la funzione implicita esiste(ma non sempre), ha un grafico (proprio come una funzione “normale”). La funzione implicita è esattamente la stessa esiste derivata prima, derivata seconda, ecc. Come si suol dire, tutti i diritti delle minoranze sessuali sono rispettati.

E in questa lezione impareremo come trovare la derivata di una funzione specificata implicitamente. Non è così difficile! Rimangono in vigore tutte le regole di differenziazione e la tavola delle derivate delle funzioni elementari. La differenza sta in un momento particolare, che esamineremo adesso.

Sì, e ti dirò la buona notizia: le attività discusse di seguito vengono eseguite secondo un algoritmo abbastanza rigoroso e chiaro senza un sasso davanti a tre tracce.

Esempio 1

1) Nella prima fase, associamo i tratti ad entrambe le parti:

2) Utilizziamo le regole di linearità della derivata (le prime due regole della lezione Come trovare la derivata? Esempi di soluzioni):

3) Differenziazione diretta.
Come differenziare è completamente chiaro. Cosa fare dove ci sono “giochi” sotto i colpi?

- fino al punto di disgrazia, la derivata di una funzione è uguale alla sua derivata: .

Come differenziare
Qui abbiamo funzione complessa. Perché? Sembra che sotto il seno ci sia solo una lettera "Y". Ma il fatto è che esiste solo una lettera "y" - È STESSO UNA FUNZIONE(vedi definizione all'inizio della lezione). Pertanto, il seno è una funzione esterna ed è una funzione interna. Usiamo la regola per differenziare una funzione complessa :

Differenziamo il prodotto secondo la solita regola :

Tieni presente che – è anche una funzione complessa, qualsiasi "gioco con campanelli e fischietti" è una funzione complessa:

La soluzione stessa dovrebbe assomigliare a questa:


Se sono presenti parentesi, espanderle:

4) Sul lato sinistro raccogliamo i termini che contengono una “Y” con un numero primo. Sposta tutto il resto sul lato destro:

5) A sinistra togliamo la derivata tra parentesi:

6) E secondo la regola delle proporzioni, trasformiamo queste parentesi nel denominatore del lato destro:

Il derivato è stato trovato. Pronto.

È interessante notare che qualsiasi funzione può essere riscritta implicitamente. Ad esempio, la funzione può essere riscritto in questo modo: . E differenziarlo utilizzando l'algoritmo appena discusso. In effetti, le frasi “funzione implicita” e “funzione implicita” differiscono in una sfumatura semantica. L’espressione “funzione implicitamente specificata” è più generale e corretta, – questa funzione è specificata implicitamente, ma qui puoi esprimere il “gioco” e presentare la funzione in modo esplicito. Le parole “funzione implicita” significano più spesso funzione implicita “classica”, quando il “gioco” non può essere espresso.

Va anche notato che una "equazione implicita" può specificare implicitamente due o anche più funzioni contemporaneamente, ad esempio, l'equazione di un cerchio definisce implicitamente le funzioni , , che definiscono i semicerchi. Ma, nell'ambito di questo articolo, noi non farà una distinzione particolare tra termini e sfumature, era solo un'informazione per lo sviluppo generale.

Seconda soluzione

Attenzione! Puoi familiarizzare con il secondo metodo solo se sai come trovarlo con sicurezza derivate parziali. Principianti e manichini di calcolo, per favore non leggere e saltare questo punto, altrimenti la tua testa sarà un completo disastro.

Troviamo la derivata della funzione implicita utilizzando il secondo metodo.

Spostiamo tutti i termini a sinistra:

E consideriamo una funzione di due variabili:

Quindi la nostra derivata può essere trovata utilizzando la formula
Troviamo le derivate parziali:

Così:

La seconda soluzione consente di effettuare un controllo. Ma non è consigliabile che scrivano la versione finale del compito, poiché le derivate parziali vengono padroneggiate in seguito e uno studente che studia l'argomento "Derivata di una funzione di una variabile" non dovrebbe ancora conoscere le derivate parziali.

Diamo un'occhiata ad alcuni altri esempi.

Esempio 2

Trovare la derivata di una funzione data implicitamente

Aggiungi tratti ad entrambe le parti:

Utilizziamo le regole di linearità:

Trovare le derivate:

Aprendo tutte le parentesi:

Spostiamo tutti i termini con a sinistra, il resto a destra:

Risposta finale:

Esempio 3

Trovare la derivata di una funzione data implicitamente

Soluzione completa e progetto di esempio alla fine della lezione.

Non è raro che le frazioni sorgano dopo la differenziazione. In questi casi, è necessario eliminare le frazioni. Diamo un'occhiata ad altri due esempi.

Esempio 4

Trovare la derivata di una funzione data implicitamente

Racchiudiamo entrambe le parti sotto i tratti e utilizziamo la regola di linearità:

Differenziare utilizzando la regola per differenziare una funzione complessa e la regola della differenziazione dei quozienti :

Espansione delle parentesi:

Ora dobbiamo eliminare la frazione. Questo può essere fatto in seguito, ma è più razionale farlo subito. Il denominatore della frazione contiene . Moltiplicare SU . Nel dettaglio, sarà simile a questo:

A volte dopo la differenziazione compaiono 2-3 frazioni. Se avessimo un'altra frazione, ad esempio, l'operazione dovrebbe essere ripetuta: moltiplicare ciascun termine di ciascuna parte SU

Sul lato sinistro lo mettiamo tra parentesi:

Risposta finale:

Esempio 5

Trovare la derivata di una funzione data implicitamente

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. L'unica cosa è che prima di eliminare la frazione, dovrai prima eliminare la struttura a tre piani della frazione stessa. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Derivata di una funzione definita parametricamente

Non sottolineiamolo, anche tutto in questo paragrafo è abbastanza semplice. Puoi scrivere la formula generale per una funzione definita parametricamente, ma per renderlo chiaro scriverò subito un esempio specifico. In forma parametrica, la funzione è data da due equazioni: . Spesso le equazioni non sono scritte tra parentesi graffe, ma in sequenza: , .

La variabile è chiamata parametro e può assumere valori da “meno infinito” a “più infinito”. Considera, ad esempio, il valore e sostituiscilo in entrambe le equazioni: . O in termini umani: “se x è uguale a quattro, allora y è uguale a uno”. È possibile contrassegnare un punto sul piano delle coordinate e questo punto corrisponderà al valore del parametro. Allo stesso modo, puoi trovare un punto per qualsiasi valore del parametro “te”. Come per una funzione “regolare”, anche per gli indiani d'America di una funzione definita parametricamente, tutti i diritti sono rispettati: puoi costruire un grafico, trovare le derivate, ecc. A proposito, se devi tracciare il grafico di una funzione definita parametricamente, puoi utilizzare il mio programma.

Nei casi più semplici è possibile rappresentare la funzione in modo esplicito. Esprimiamo il parametro: – dalla prima equazione e sostituiamolo nella seconda equazione: . Il risultato è una funzione cubica ordinaria.

Nei casi più “gravi”, questo trucco non funziona. Ma non importa, perché esiste una formula per trovare la derivata di una funzione parametrica:

Troviamo la derivata del “gioco rispetto alla variabile te”:

Tutte le regole di differenziazione e la tavola delle derivate valgono, naturalmente, per la lettera , quindi, non vi è alcuna novità nel processo di ricerca dei derivati. Sostituisci mentalmente tutte le “X” nella tabella con la lettera “Te”.

Troviamo la derivata di “x rispetto alla variabile te”:

Ora non resta che sostituire le derivate trovate nella nostra formula:

Pronto. Anche la derivata, come la funzione stessa, dipende dal parametro.

Per quanto riguarda la notazione, invece di scriverla nella formula, si potrebbe semplicemente scriverla senza pedice, trattandosi di una derivata “regolare” “rispetto a X”. Ma in letteratura c'è sempre un'opzione, quindi non mi allontanerò dallo standard.

Esempio 6

Usiamo la formula

In questo caso:

Così:

Una caratteristica speciale nel trovare la derivata di una funzione parametrica è il fatto che ad ogni passaggio è utile semplificare il più possibile il risultato. Quindi, nell'esempio considerato, quando l'ho trovato, ho aperto le parentesi sotto la radice (anche se forse non l'ho fatto). Ci sono buone probabilità che quando si sostituisce nella formula, molte cose verranno ridotte bene. Anche se, ovviamente, ci sono esempi con risposte goffe.

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione specificata parametricamente

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo.

Nell'articolo I problemi tipici più semplici con le derivate abbiamo esaminato esempi in cui dovevamo trovare la derivata seconda di una funzione. Per una funzione definita parametricamente, puoi anche trovare la derivata seconda, e si trova utilizzando la seguente formula: . È abbastanza ovvio che per trovare la derivata seconda bisogna prima trovare la derivata prima.

Esempio 8

Trovare la derivata prima e la derivata seconda di una funzione data parametricamente

Per prima cosa troviamo la derivata prima.
Usiamo la formula

In questo caso: