rxの形式の無理関数の統合。 不合理な表現の統合

下 不合理 独立変数%% x %%または多項式%% P_n（x）%%の次数%% n \\ in \\ mathbb（N）%%が符号の下に含まれている式を理解する ラジカル （ラテン語から 基数 -ルート）、つまり 分数の累乗になります。 %% x %%に関して無理数である被積分関数のいくつかのクラスは、変数を新しい変数に関して有理式に変更することによって減らすことができます。

1つの変数の有理関数の概念は、いくつかの引数に拡張できます。 関数の値を計算するときに各引数%% u、v、\\ dotc、w %%に対して、算術演算と整数乗のみが提供される場合、これらの引数の有理関数について説明します。これは通常、 %% R（u、v、\\ dotc、w）%%で表されます。 このような関数の引数は、それ自体が独立変数%% x %%の関数であり、%% \\ sqrt [n]（x）、n \\ in \\ mathbb（N）%%などの部首を含みます。 たとえば、有理関数$$ R（u、v、w）\u003d \\ frac（u + v ^ 2）（w）$$ for %% u \u003d x、v \u003d \\ sqrt（x）%%および%% w \u003d \\ sqrt（x ^ 2 + 1）%%は有理関数$$ R \\ left（x、\\ sqrt（x）、\\ sqrt（x ^ 2 + 1）\\ right）\u003d \\ frac（x + \\ sqrt（x ^ 2））（\\ sqrt（x ^ 2 + 1））\u003d f（x）$$ from %% x %%および部首%% \\ sqrt（x）%%および%% \\ sqrt（x ^ 2 + 1）%%、関数%% f（x）%%は、1つの独立変数%% x %%の非合理的な（代数的）関数になります。

%% \\ int R（x、\\ sqrt [n]（x））\\ mathrm（d）x %%の形式の積分を考えてみましょう。 このような積分は、変数%% t \u003d \\ sqrt [n]（x）%%を変更し、次に%% x \u003d t ^ n、\\ mathrm（d）x \u003d nt ^（n-1）%%を変更することによって合理化されます。

例1

%% \\ displaystyle \\ int \\ frac（\\ mathrm（d）x）（\\ sqrt（x）+ \\ sqrt（x））%%を見つけます。

必要な引数の被積分関数は、次数%% 2 %%および%% 3 %%のラジカルの関数として記述されます。 数値の最小公倍数%% 2 %%および%% 3 %%は%% 6 %%に等しいため、この積分は%% \\ int R（x、\\ sqrt（x））\\ mathrmのような積分です。 （d）x %%であり、%% \\ sqrt（x）\u003d t %%を置き換えることで合理化できます。 次に、%% x \u003d t ^ 6、\\ mathrm（d）x \u003d 6t \\ mathrm（d）t、\\ sqrt（x）\u003d t ^ 3、\\ sqrt（x）\u003d t ^ 2 %%。 したがって、$$ \\ int \\ frac（\\ mathrm（d）x）（\\ sqrt（x）+ \\ sqrt（x））\u003d \\ int \\ frac（6t ^ 5 \\ mathrm（d）t）（t ^ 3 + t ^ 2）\u003d 6 \\ int \\ frac（t ^ 3）（t + 1）\\ mathrm（d）t。 $$ Take %% t + 1 \u003d z、\\ mathrm（d）t \u003d \\ mathrm（d）z、z \u003d t + 1 \u003d \\ sqrt（x）+ 1 %%および$$ \\ begin（array）（ll ）\\ int \\ frac（\\ mathrm（d）x）（\\ sqrt（x）+ \\ sqrt（x））＆\u003d 6 \\ int \\ frac（（z-1）^ 3）（z）\\ mathrm（d） t \u003d \\\\＆\u003d 6 \\ int z ^ 2 dz -18 \\ int z \\ mathrm（d）z + 18 \\ int \\ mathrm（d）z -6 \\ int \\ frac（\\ mathrm（d）z）（z ）\u003d \\\\＆\u003d 2z ^ 3-9 z ^ 2 + 18z -6 \\ ln | z | + C \u003d \\\\＆\u003d 2 \\左（\\ sqrt（x）+ 1 \\右）^ 3-9 \\左（\\ sqrt（x）+ 1 \\右）^ 2 + \\\\＆+ 〜18 \\左（ \\ sqrt（x）+ 1 \\ right）-6 \\ ln \\ left | \\ sqrt（x）+ 1 \\ right | + C \\ end（配列）$$

%% \\ int R（x、\\ sqrt [n]（x））\\ mathrm（d）x %%の形式の積分は、線形分数非合理性の特殊なケースです。 %% \\ displaystyle \\ int R \\ left（x、\\ sqrt [n]（\\ dfrac（ax + b）（cd + d））\\ right）\\ mathrm（d）x %%の形式の積分、ここで%% ad-bc \\ neq 0 %%、変数%% t \u003d \\ sqrt [n]（\\ dfrac（ax + b）（cd + d））%%、次に%% x \u003d \\ dfracを変更することで合理化できます（dt ^ n --b）（a --ct ^ n）%%。 次に、$$ \\ mathrm（d）x \u003d \\ frac（n t ^（n-1）（ad --bc））（\\ left（a --ct ^ n \\ right）^ 2）\\ mathrm（d）t。 $$

例2

%% \\ displaystyle \\ int \\ sqrt（\\ dfrac（1 -x）（1 + x））\\ dfrac（\\ mathrm（d）x）（x + 1）%%を検索します。

%% t \u003d \\ sqrt（\\ dfrac（1 -x）（1 + x））%%、次に%% x \u003d \\ dfrac（1-t ^ 2）（1 + t ^ 2）%%、$ $ \\ begin（array）（l）\\ mathrm（d）x \u003d-\\ frac（4t \\ mathrm（d）t）（\\ left（1 + t ^ 2 \\ right）^ 2）、\\\\ 1 + x \u003d \\ frac（2）（1 + t ^ 2）、\\\\ \\ frac（1）（x + 1）\u003d \\ frac（1 + t ^ 2）（2）。 \\ end（array）$$したがって、$$ \\ begin（array）（l）\\ int \\ sqrt（\\ dfrac（1 -x）（1 + x））\\ frac（\\ mathrm（d）x）（x + 1 ）\u003d \\\\ \u003d \\ frac（t（1 + t ^ 2））（2）\\ left（-\\ frac（4t \\ mathrm（d）t）（\\ left（1 + t ^ 2 \\ right）^ 2） \\ right）\u003d \\\\ \u003d -2 \\ int \\ frac（t ^ 2 \\ mathrm（d）t）（1 + t ^ 2）\u003d \\\\ \u003d -2 \\ int \\ mathrm（d）t + 2 \\ int \\ frac（\\ mathrm（d）t）（1 + t ^ 2）\u003d \\\\ \u003d -2t + \\ text（arctg）〜t + C \u003d \\\\ \u003d -2 \\ sqrt（\\ dfrac（1 -x）（1 + x））+ \\ text（arctg）〜\\ sqrt（\\ dfrac（1 -x）（1 + x））+ C. \\ end（array）$$

%% \\ int R \\ left（x、\\ sqrt（ax ^ 2 + bx + c）\\ right）\\ mathrm（d）x %%の形式の積分を考えます。 最も単純なケースでは、完全な正方形を分離した後、変数を変更すると、そのような積分は表形式の積分になります。

例3

積分%% \\ displaystyle \\ int \\ dfrac（\\ mathrm（d）x）（\\ sqrt（x ^ 2 + 4x + 5））%%を見つけます。

%% x ^ 2 + 4x + 5 \u003d（x + 2）^ 2 + 1 %%を考慮して、%% t \u003d x + 2、\\ mathrm（d）x \u003d \\ mathrm（d）t %%、次に$$ \\ begin（array）（ll）\\ int \\ frac（\\ mathrm（d）x）（\\ sqrt（x ^ 2 + 4x + 5））＆\u003d \\ int \\ frac（\\ mathrm（d）t） （\\ sqrt（t ^ 2 + 1））\u003d \\\\＆\u003d \\ ln \\左| t + \\ sqrt（t ^ 2 + 1）\\右| + C \u003d \\\\＆\u003d \\ ln \\左| x + 2 + \\ sqrt（x ^ 2 + 4x + 5）\\右| + C. \\ end（配列）$$

もっと 難しいケース %% \\ int R \\ left（x、\\ sqrt（ax ^ 2 + bx + c）\\ right）\\ mathrm（d）x %%の形式の積分を見つけるには

このセクションでは、有理関数を統合する方法について検討します。 7.1。 簡単な情報 有理関数について最も単純な有理関数は、ti次の多項式です。 が実定数であり、a0Φ0である形式の関数。係数a0 \u003d 1 "である多項式Qn（x）は縮小と呼ばれます。 Q„（b）\u003d 0の場合、実数bは多項式Qn（z）の根と呼ばれます。実係数を持つすべての多項式Qn（x）は知られています。 ユニークな方法 は、p、qが実係数であり、2次因子には実根がないため、実線形因子に分解できない形式の実因子に分解されます。 同じ因数分解（存在する場合）を組み合わせ、簡単にするために、多項式Qn（x）が減少したと仮定すると、その因数分解を自然数である形式で記述できます。 多項式の次数Qn（x）はnに等しいので、すべての指数ui、...、qの2倍の合計を加算したすべての指数a、/ 3、...、Aの合計は次のようになります。 n：多項式の根aは、a \u003d 1の場合は単純または単一と呼ばれ、a\u003e 1の場合は複数と呼ばれます。 数aは、ルートaの多重度と呼ばれます。 多項式の他の根についても同じことが言えます。 有理関数f（x）または有理分数は、2つの多項式の比率であり、多項式Pm（x）とQn（x）には共通の因子がないと想定されます。 分子の多項式の次数が分母の多項式の次数よりも小さい場合、つまり有理分数は正しいと呼ばれます。 m nの場合、有理分数は正しくないと呼ばれます。この場合、多項式の除算の規則に従って分子を分母で除算すると、いくつかの多項式がある形式で表すことができ、^^は通常の有理分数です。 例1.有理分数は不規則な分数です。 「コーナー」で割ると、結果的になります。 ここに。 そして正しい分数。 定義。 最も単純な（または基本的な）分数は、次の4つのタイプの有理分数です。 実数、kは2以上の自然数であり、二乗三項式x2 + px + qには実数の根がないため、-2_2が判別式です。次の定理が代数で証明されます。 定理3.実係数を持つ通常の有理分数。その分母は規則に従って独自の方法で基本分数の合計に分解されます。有理関数の統合有理関数に関する簡単な情報基本分数の統合一般的なケース不合理関数の積分最初のオイラー置換2番目のオイラー置換3番目のオイラー置換この展開にはいくつかの実定数があり、そのいくつかはゼロに等しい場合があります。 これらの定数を見つけるために、等式（I）の右辺を最小公分母に減らし、次に、左辺と右辺の分子のxの同じ累乗での係数を等しくします。 これにより、線形方程式系が得られ、そこから目的の定数が見つかります。 ..。 未知の定数を見つけるこの方法は、未定義係数法と呼ばれます。 未知の定数を見つけるために別の方法を適用する方が便利な場合があります。これは、分子を等式化した後、xに関するアイデンティティが取得され、たとえば、引数xにいくつかの値が割り当てられるという事実にあります。根の値。その結果、定数を見つけるための方程式が得られます。 分母Q„（x）が実際の単純な根しかない場合は特に便利です。 例2.有理分数を単純分数に展開するこの分数は規則的です。 分母を食べた因子に分解します。分母の根は実数で異なるため、式（1）に基づいて、分数を最も単純なものに分解すると、係数Aの未知数の形式になります。2 ？、Cは2つの方法で見つかります。 最初の方法。 xの同じ累乗で係数を等しくします。 （自由期間）で、そしてアイデンティティの左側と右側で、私たちは得ます 線形システム 未知の係数を見つけるための方程式A、B、C：このシステムには独自の解Cがあります。 分母の根がi0でstvに引き裂かれているので、Tekは2 \u003d 2Aになり、A * 1になります。 r i 1、-1 * -B、wherece 5 * 1を取得します。 x i 2、2 \u003d 2Cを取得します。 whenceС»1であり、必要な分解は3の形式になります。最も単純な分数ではなく、有理分数4を復元します。 分母には\u200b\u200b2つの異なる二重根があります：多重度3のx \\ \u003d 0したがって、この分数の展開は最も単純な形式ではありません。右辺を共\u200b\u200b通の分母に減らすと、最初の方法が見つかります。 最後のアイデンティティの左側と右側のxの同じ累乗で係数を等しくします。 線形連立方程式が得られます。このシステムには独自の解があり、必要な展開は2番目の方法になります。 結果のIDでは、x \u003d 0に設定すると、1 a A2、またはA2 \u003d 1が得られます。 field * gay x \u003d -1、-3 i B）、またはBj i-3を取得します。 係数A \\およびB）aの見つかった値を代入する場合、アイデンティティは次の形式を取ります。またはx \u003d 0と仮定し、次にx \u003d -Iとします。 \u003d 0、B2 \u003d 0および。 したがって、B \\ \u003d 0です。したがって、再び例4を取得します。有理分数を基本分数に展開します。4関数x2 + 1はxの実数値に対して消えないため、分数の分母には実根がありません。 したがって、単純な分数への展開は、次の形式になります。これから、またはを取得します。 最後の等式の左側と右側のxのSshinak乗での係数を等しくすると、どこから見つけるかがわかります。したがって、場合によっては、作用することで単純な分数への展開をより速く簡単に取得できることに注意してください。他の方法で、不定係数の方法を使用せずに。 たとえば、例3の分数の展開を取得するには、分子Zx2で加算と減算を行い、以下に示すように除算を実行します。 7.2。 基本分数の積分上記のように、不規則な有理分数は、特定の多項式と通常の有理分数の合計として表すことができ（§7）、この表現は一意です。 多項式の積分は難しくないので、通常の有理分数の積分の問題を検討します。 通常の有理分数は最も単純な分数の合計として表すことができるため、その積分は最も単純な分数の積分に還元されます。 ここで、それらの統合の問題について考えてみましょう。 III。 3番目のタイプの最も単純な分数の積分を見つけるために、2次三項式から二項式の完全な二乗を選択しましょう。2番目の項からa2に等しく設定します。ここで、置換を行います。 次に、積分の線形特性を考慮に入れると、次のようになります。例5.積分を見つける4三項式x1 + Ax + 6には実根がないため、被積分関数は3番目のタイプの最も単純な分数です（判別式は負：、および分子には1次の多項式が含まれているため、次のように進めます。1）分母に完全な正方形を選択します。2）* 1つの積分で置換（ここでは3）を行います。 4番目のタイプの最も単純な部分は、上記のように置きます。 次に、右側の積分を取得し、それをAで示し、次のように変換します。右側の積分をパーツで統合し、有理関数の場所または統合を設定します。有理関数の簡単な情報単純な統合分数一般的な場合不合理関数の積分最初のオイラー置換2番目のオイラー置換3番目の置換オイラー任意のk \u003d 2、3、...の積分Jkを見つけることができるいわゆる再発式を取得しました。 確かに、積分J \\は表形式です。漸化式で、A \u003d 3を知って設定すると、Jjを簡単に見つけることができます。 最終結果では、tとaの代わりにxと係数pとqに関する式をどこにでも代入して、初期積分に対してxと与えられた数M、AH、p、qに関する式を取得します。 例8.Neyti積分「二乗三項式の判別式が負であるため、積分可能な関数は4番目のタイプの最も単純な分数です。 したがって、分母には実数の根がなく、分子は1次の多項式です。 1）分母に完全な正方形を割り当てます2）置換を行います：積分は次の形式を取ります：繰り返し式* \u003d 2、a3 \u003d 1と仮定すると、次のようになり、したがって、必要な積分は等しくなります。 一般的なケースppの結果から。 このセクションの1と2では、重要な定理がすぐに続きます。 定理！ 4.有理関数の不定積分は常に存在し（分数Qn（x）φ0の分母が存在する間隔で）、有限数の初等関数で表されます。つまり、それは代数和であり、そのメンバーは、乗算、有理分数、自然対数、およびアークタンジェントのみが可能です。 したがって、分数有理関数の不定積分を見つけるには、次のように動作する必要があります。1）有理分数が正しくない場合、分子を分母で割ると、部分全体が選択されます。 つまり、この関数は、多項式と通常の有理分数の合計として表されます。 2）次に、得られた正しい分数の分母が線形係数と2次係数の積に分解されます。 3）この通常の分数は、最も単純な分数の合計に分解されます。 4）積分の線形性と項目2の式を使用して、各項の積分は別々に求められます。 例7.積分Mを見つける分母は3番目のステップの多項式であるため、被積分関数は不適切な分数です。 その中のすべての部分を選び出します：したがって、私たちは持っています。 通常の分数の分母は、異なる実根のファイを持っています。したがって、単純な分数への分解は、次の形式になります。これから、次のことがわかります。 引数xの値を分母の根に等しくすると、このアイデンティティから次のことがわかります。したがって、必要な積分は例8に等しくなります。積分を見つける4被積分関数は通常の分数であり、その分母は次のようになります。 2つの異なる実根：多重度1のx-Оと多重度3のх\u003d 1したがって、被積分関数の単純な分数への展開は、この等式の右側を共通の分母に持ち込み、等式の両側をキャンセルする形式になります。この分母によって、またはを取得します。 このアイデンティティの左側と右側のxの同じ次数での係数を等しくします。ここから、がわかります。 展開の係数の見つかった値を代入すると、積分が得られます。例9.積分を見つけます4分数の分母には実数の根がありません。 したがって、被積分関数の最も単純な分数への展開は、次の形式になります。したがって、このアイデンティティの左側と右側のxの同じ累乗での係数を等しくすると、そこから、したがって、備考が見つかります。 与えられた例では、被積分関数はより簡単な方法で基本分数の合計として表すことができます。つまり、分数の分子で分母の二項式を選択し、次に用語ごとの除算を実行します。§8 。 無理関数の積分PmとU2がそれぞれ変数ub2、...の次数型の多項式である形式の関数は、ubu2jの異なる関数と呼ばれます...たとえば、2つの変数u1の2次の多項式u2は実定数の形式であり、例1、関数は変数zとyの有理関数です。これは、3次の多項式と5次の多項式の両方の関係を表し、関数はイチイ。 変数が変数xの関数である場合、関数]はサンプル関数の有理関数と呼ばれます。 関数はrとpvdikvlvの3行目の有理関数です。形式の関数はxと部首y / r1 + 1の有理関数ではありませんが、関数の有理関数です。例が示すように、非合理的な積分関数は必ずしも次のように表現されるとは限りません 初等関数 ..。 たとえば、アプリケーションでよく見られる積分は、初等関数では表現されません。 これらの積分は、それぞれ第1種と第2種の楕円積分と呼ばれます。 いくつかの置換の助けを借りて、無理関数の統合を有理関数の統合に減らすことができる場合を考えてみましょう。 1. R（x、y）がその引数xとyの有理関数である積分を見つける必要があると仮定します。 m£2-自然数; a、6、c、dは、ad --bc\u003e 0の条件を満たす実定数です（ad --be \u003d 0の場合、係数aとbは係数cとdに比例するため、比率はxに依存しません。したがって、 、この場合、被積分関数は変数xの有理関数になり、その積分は以前に検討されました）。 を設定して、この積分の変数を変更しましょう。ここから、変数xを新しい変数で表します。x\u003d -tの有理関数です。 さらに、または、簡略化した後、したがって、A1（t）が*の有理関数である場合、有理関数の有理関数と有理関数の積は有理関数であるためです。 有理関数を統合する方法を知っています。 次に、必要な積分はAtに等しくなります。 IVIt積分4被積分関数*関数はの有理関数です。 したがって、t \u003d Thenを設定します。有理関数の積分有理関数に関する簡単な情報基本分数の積分一般的な場合無理関数の積分最初のオイラー置換2番目のオイラー置換3番目のオイラー置換したがって、Primar5を取得します。関数を表すことができる積分を見つけます。 1 _ 1_の形式で、次の有理関数であることがわかります。これを考慮して、を置きます。 したがって、2。中脳下関数がその中の部首\\ / ax2 + bx + cをyで置き換えるような形式の整数を考えて、関数R（x）y）を取得します-引数xと両方に関して合理的y。 この積分は、オイラーの代入によって別の変数の有理関数の積分に還元されます。 8.1。 オイラーの最初の置換係数をa\u003e 0とします。または、xをの有理関数として見つけます。したがって、示された置換は*を介して有理的に表現されます。 したがって、どこに備考があります。 最初のオイラー置換は、例6の形式で取得することもできます。積分を見つけるしたがって、dxオイラー置換があり、Y8であることを示します。 2.オイラーの2番目の代入。三項式ax2 + bx + cの実数根λ]とx2が異なるとします（係数には任意の符号があります）。 この場合、次のように仮定します。x、dxn y / ax2 + be + cはtに関して有理的に表現されるため、元の積分は有理関数の積分になります。つまり、ここで問題が発生します。 最初のオイラー置換を使用して、それがtの有理関数であることを示します。 例7.Neyti積分dxM関数] -x1には異なる実根があります。 したがって、2番目の置換をオイラーに適用します。ここから、見つかったカットアウトをGiven？に代入します。In* gyvl; 8.3を取得します。 オイラーの3番目の変電所係数c\u003e 0とします。設定して変数を変更します。 1番目と2番目のオイラー置換は、積分を有理関数の積分に減らすのに十分であることに注意してください。 実際、判別式b2 -4ac\u003e 0の場合、二乗三項式ax + bx + cの根は実数であり、この場合、2番目のオイラー置換が適用可能です。 の場合、三項式ax2 + bx + cの符号は係数aの符号と一致し、三項式は正でなければならないため、a\u003e 0です。この場合、最初のオイラー置換が適用されます。 上記のタイプの積分を見つけるために、オイラー置換を使用することは必ずしもお勧めできません。オイラー置換では、目標に早くつながる他の積分方法を見つけることができるからです。 これらの積分のいくつかを考えてみましょう。 1.形式の積分を見つけるには、三項式の二乗から長い二乗を選択します。その後、置換を行い、係数aとPの符号が異なるか、両方とも正である場所を取得します。 の場合、および\u003e 0の場合、積分は対数になりますが、逆にアークサインになります。 いつ。 imtegrel4を見つけてください。 Prmmar9を取得すると仮定します。 x-を置くと、2になります。形式の積分は、次のように項目1から積分уに縮小されます。 導関数（） "\u003d 2を考慮して、分子でそれを選択します。4分子でラジカル式の導関数を明らかにします。（xなので、例9、3の結果を考慮に入れると、 。P„（x）が多項式のn次である形式の積分は、次の要素で構成される不定係数の方法で見つけることができます。等式が当てはまると仮定します。例10. Qn-i（ s）は、係数が不定の（n --1）次の多項式です。未知の係数を見つけるには|（1）の両側を微分します。次に、等式（2）の右辺を次の値に等しい共通の分母に還元します。左側の分母、つまりy / ax2 + bx + cは、（2）の両側をキャンセルします。これにより、両側に次数nの多項式があります。 （3）の左側と右側のxの同じ累乗での係数を等しくすると、n + 1の方程式が得られ、そこから必要な係数j4 *（fc \u003d 0,1,2、...、n ）。 それらの値を（1）の右辺に代入し、積分+сを見つけると、この積分の答えが得られます。 例11.積分を見つける私たちは、等式の両方のスーツを区別することを置きます。右側を共通の分母に持ってきて、それによって両側をキャンセルすると、アイデンティティまたはが得られます。 xの同じ累乗で係数を等しくすると、次の連立方程式が得られます\u003d次に、等式の右辺に積分が見つかります（4）。したがって、必要な積分は等しくなります。

形式の積分（m 1、n 1、m 2、n 2、…は整数です）。 これらの積分では、被積分関数は積分の変数とxの部首に関して有理数です。 これらは、x \u003d tsを代入することによって計算されます。ここで、sは分数の最小公分母です。...この変数変換により、すべての比率\u003d r 1、\u003d r 2、...は整数になります。つまり、積分は減少します。変数tの有理関数に：

形式の積分（m 1、n 1、m 2、n 2、…は整数です）。 これらの積分は置き換えられます：

ここで、sは分数の最小公分母であり、…は変数tの有理関数に還元されます。

次の形式の積分積分I1を計算するために、完全な正方形が根号の下に割り当てられます。

置換が適用されます：

その結果、この積分は表形式の積分に縮小されます。

積分I2の分子では、根号の下での式の微分が区別され、この積分は2つの積分の合計として表されます。

ここで、I1は上記で計算された積分です。

積分I3の計算は、次のように代入することにより、積分I1の計算になります。

フォームの積分このフォームの積分を計算する特定のケースは、前のセクションで検討されました。 それらを計算するいくつかの異なる方法があります。 三角関数の置換の使用に基づいて、これらの手法の1つを検討してください。

完全な正方形を選択し、変数を変更することによる二乗三項式ax 2 + bx + cは、次の形式で表すことができます。したがって、次の3種類の積分を考慮するだけで十分です。

積分置換

u \u003d ksint（またはu \u003d kcost）

sintとcostに関して有理関数の積分に還元されます。

形式の積分（m、n、pєQ、a、bєR）。 微分二項式の積分と呼ばれる考慮された積分は、次の3つの場合にのみ初等関数で表されます。

1）pєZの場合、置換が適用されます。

ここで、sは分数mとnの最小公分母です。

2）Zの場合、置換が使用されます。

ここで、sは分数の分母です。

3）Zの場合、置換が適用されます。

ここで、sは分数の分母です。

ザ・ オンライン計算機 、、の形式の無理数の積分を計算するのに役立ちます。

なりましょう -の有理関数 この関数、したがってその積分は、置換x \u003d t rによって合理化されます。ここで、rは、数値r 1、r 2、…、rnの最小公倍数です。 次に、dx \u003d rt r -1であり、積分はtの有理関数です。 同様に、被積分関数の場合 の有理関数があります 、次に、被積分関数は、tがr 1、r 2、…、rnの最小公倍数である置換によって合理化されます。 次に、元の式に代入して、tの有理関数を取得します。

例。 計算します。 2と3の最小公倍数は6です。 したがって、x \u003d t6を変更します。 次に、dx \u003d 6t 5dtおよび

不合理な機能の統合

非合理的な関数のクラスは非常に広いので、それらを統合する普遍的な方法はあり得ません。 この記事では、最も特徴的なタイプの非合理的な被積分関数を強調し、それらを積分の方法に対応させることを試みます。

微分符号を付ける方法を使用することが適切な場合があります。 たとえば、フォームの不定積分を見つけるとき、ここで p 有理分数です。

例。

不定積分を見つける .

決定。

それを見るのは難しいことではありません。 したがって、微分記号を使用して、不定積分の表を使用します。

回答：

.

13.分数線形置換

a、b、c、dが実数、a、b、...、d、gが自然数であるタイプの積分は、Kが最小公倍数である置換によって有理関数の積分に還元されます。分数の分母

確かに、置換はそれを意味し、

つまり、xとdxはtの有理関数で表されます。 さらに、分数の各累乗は、tの有理関数で表されます。

例33.4..。 積分を見つける

解決策：2/3と1/2の分母の最小公倍数は6です。

したがって、x + 2 \u003d t 6、x \u003d t 6 -2、dx \u003d 6t 5 dtとすると、したがって、

例33.5。 積分を見つけるための置換を指定します。

解決策：I1の場合は置換x \u003d t 2、I2の場合は置換

14.三角関数での置換

このタイプの積分は、次の三角関数の置換を使用して、三角関数に合理的に依存する関数の積分に縮小されます。x\u003d最初の積分のsint。 x \u003d 2番目の積分のtgt; 3番目の積分の場合。

例33.6。 積分を見つける

解決策：x \u003d 2 sin t、dx \u003d 2 cos tdt、t \u003d arcsin x / 2とします。 次に

ここで、被積分関数はxとに関する有理関数です。 部首の下の完全な正方形を選択して置換を行うと、示されたタイプの積分は、すでに考慮されているタイプの積分、つまり、タイプの積分に縮小されます。 これらの積分は、適切な三角関数を使用して計算できます。

例33.7。 積分を見つける

解決策：x 2 + 2x-4 \u003d（x + 1）2 -5なので、x + 1 \u003d t、x \u003d t-1、dx \u003d dtです。 したがって、 入れます

注：タイプの積分 置換x \u003d 1 / tを使用して見つけるのが便利です。

15.定積分

関数がセグメントに与えられ、それに不定積分があるとします。 違いは呼ばれます 定積分 セグメントごとに機能し、を示します。 そう、

違いは次の形式で書かれます ..。 数字は 統合の限界 .

たとえば、関数の不定積分の1つ。 したがって、

16 . cが定数で、関数（x）が可積分である場合、

つまり、定数係数cは、定積分の符号の外側に置くことができます。

▼関数の積分和をƒ（x）で構成してみましょう。 我々は持っています：

このことから、関数c（x）は[a; b]および式（38.1）が有効です。▲

2.関数ƒ1（x）とƒ2（x）が[a; b]で可積分である場合、それは[a;で可積分です。 b]それらの合計u

つまり、合計の積分は積分の合計に等しくなります。

▼
▲

プロパティ2は、任意の有限数の項の合計に拡張されます。

3.

このプロパティは、定義により取得できます。 この特性は、ニュートン-ライプニッツの公式によっても確認されます。

4.関数（x）が[a; b]およびa< с < b, то

つまり、セグメント全体の積分は、このセグメントの部分の積分の合計に等しくなります。 このプロパティは、定積分の加法性（または加法性プロパティ）と呼ばれます。

セグメント[a; b]を部分に分割する場合、分割点の数に点cを含めます（これは、積分合計の制限がセグメント[a; b]を部分に分割する方法とは無関係であるため実行できます）。 ）。 c \u003d x mの場合、積分和は2つの和に分割できます。

書き込まれた合計のそれぞれは、セグメント[a; b]、[a; s]および[s; b]。 最後の等式の限界をn→∞（λ→0）として渡すと、等式（38.3）が得られます。

プロパティ4は、点a、b、cの任意の配置に有効です（関数ƒ（x）は、結果の区間の最大値で可積分であると想定しています）。

したがって、たとえば、< b < с, то

（プロパティ4および3が使用されます）。

5.「平均定理」。 関数（x）がセグメント[a; b]、次に薄いcє[a; b]そのような

▼ニュートン・ライプニッツの公式により、

ここで、F "（x）\u003dƒ（x）。差F（b）-F（a）ラグランジュの定理（関数の有限増分に関する定理）に適用すると、次のようになります。

F（b）-F（a）\u003d F "（c）（b-a）\u003dƒ（c）（b-a）▲

ƒ（x）≥0のプロパティ5（「平均値の定理」）は単純です。 幾何平均：定積分の値は、いくつかのcє（a; b）の場合、高さƒ（c）で底辺b-aの長方形の面積です（図170を参照）。 数

セグメント上の関数ƒ（x）の平均値と呼ばれます[a; b]。

6.関数ƒ（x）がセグメント[a; b]、ここで< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼「平均値の定理」（プロパティ5）

ここで、cє[a; b]。 そして、すべてのxÎ[a;に対してƒ（x）≥0であるため。 b]、次に

ƒ（c）≥0、b-a\u003e 0。

したがって、ƒ（c）（b-a）≥0、つまり ▲

7.区間[a;の連続関数間の不等式 b]、（a

▼ƒ2（x）-ƒ1（x）≥0なので、< b, согласно свойству 6, имеем

または、プロパティ2によると、

不平等は区別できないことに注意してください。

8.積分の推定。 mとMがそれぞれ、セグメント上の関数y \u003dƒ（x）の最小値と最大値である場合[a; b]、（a< b), то

▼任意のxє[a; b]に対して、m≤ƒ（x）≤Мであるため、プロパティ7に従って、次のようになります。

プロパティ5を極値積分に適用すると、次のようになります。

▲

ƒ（x）≥0の場合、プロパティ8は幾何学的に示されます：曲線台形の領域は、底辺がである長方形の領域の間に囲まれ、高さはmとMに等しくなります（図を参照）。 171）。

9.定積分の係数は、被積分関数の係数の積分を超え\u200b\u200bません。

▼プロパティ7を明らかな不等式に適用-|ƒ（x）|≤ƒ（x）≤|ƒ（x）|、

したがって、次のようになります

▲

10.変数の上限に関する定積分の導関数は、積分の変数がこの制限に置き換えられた被積分関数に等しくなります。

図形の面積を計算することは、面積の理論で最も難しい問題の1つです。 学校の幾何学コースでは、円、三角形、ひし形などの基本的な幾何学形状の領域を見つけることを学びました。 ただし、はるかに多くの場合、より複雑な形状の領域の計算を処理する必要があります。 そのような問題を解決するとき、人は積分計算に頼らなければなりません。

この記事では、湾曲した台形の面積を計算する問題を検討し、幾何学的な意味でそれにアプローチします。 これにより、定積分と湾曲した台形の面積との直接的な関係を見つけることができます。

関数をしましょう y \u003d f（x） セグメントで連続 符号を変更しません（つまり、非負または非正）。 図 G線で囲まれている y \u003d f（x）、y \u003d 0、x \u003d a そして x \u003d bと呼ばれる 湾曲した台形..。 その面積を示しましょう S（G）.

湾曲した台形の面積を計算する問題に次のようにアプローチしましょう。 二乗図のセクションでは、湾曲した台形が二乗図であることがわかりました。 セグメントを分割した場合 オン n ドットで分けて指定 、およびポイントは、の場合、ダルブーの下限と上限の合計に対応する数値が入力されたと見なすことができるように選択する必要があります。 P と包括 Q の多角形 G.

したがって、分割点の数が増えると n、不等式に到達します。ここで、は任意に小さい正の数であり、 s そして S -特定のセグメントパーティションのダルブーの下限と上限の合計 ..。 別のエントリで ..。 したがって、明確なダルブー積分の概念に目を向けると、次のようになります。 .

最後の等式は、連続で非負の関数の定積分を意味します y \u003d f（x） 幾何学的な意味で、対応する湾曲した台形の領域を表します。 これは 定積分の幾何平均.

つまり、定積分を計算すると、線で囲まれた図形の領域が見つかります y \u003d f（x）、y \u003d 0、x \u003d a そして x \u003d b.

コメント。

関数の場合 y \u003d f（x） セグメントで非ポジティブ 、その後、湾曲した台形の領域は次のように見つけることができます .

例。

線で囲まれた形状の面積を計算します .

決定。

平面上に図形を作成しましょう：まっすぐ y \u003d 0 横軸と一致し、まっすぐ x \u003d -2そして x \u003d 3 は縦軸に平行であり、曲線は関数グラフの幾何学的変換を使用してプロットできます。

したがって、湾曲した台形の領域を見つける必要があります。 定積分の幾何平均は、必要な面積が定積分で表されることを示しています。 したがって、 ..。 この定積分は、ニュートン-ライプニッツの公式を使用して計算できます。