暖房、換気、光
22.07.2020

すべての定義の制限はゼロプラスです。 不確実性を開示することで限界を解決する

種と種類の不確実性は、限界を解決するときに開示する必要がある最も一般的な不確実性です。

学生に出くわす限界までのタスクのほとんどは、そのような不確実性を伴うだけです。 それらを明らかにするために、より正確には、あいまいさを避けるために、限界記号の下で式の形式を変換するためのいくつかの人工的な方法があります。 これらの手法は次のとおりです。分子と分母を変数の最大の累乗で項ごとに除算し、隣接する式で乗算し、2次方程式と簡略化された乗算式の解を使用してその後の削減のために因数分解します。

種の不確実性

例1。

n は2に等しいため、分子と分母を項で除算します。

.

式の右側にコメントします。 矢印と数字は、置換後の分数の傾向を示しています。 n 無限大の値。 ここでは、例2のように、次数 n 分子よりも分母の方が多く、その結果、分数全体が無限に小さい値または「超少数」になる傾向があります。

答えが得られます。無限になりがちな変数を持つこの関数の限界はに等しいです。

例2。 .

決定。 ここで変数の最高度 バツ は1に等しいため、分子と分母を項で除算します バツ:

.

ソリューションの過程についての解説。 分子では、3次のルートの下で「x」を駆動し、最初の次数（1）が変更されないように、ルートと同じ次数、つまり3を割り当てます。このエントリには矢印と追加の番号がないので、試してください。 精神的には、前の例と同様に、「x」を無限大に置き換えた後、分子と分母の式が何を目指しているかを判断します。

私たちは答えを得ました：無限になりがちな変数を持つこの関数の限界はゼロに等しいです。

種の不確実性

例3。不確実性を明らかにし、限界を見つけます。

決定。 分子はキューブ間の差です。 学校の数学コースからの省略された乗算の式を使用してそれを因数分解しましょう：

分母は二次三項であり、二次方程式を解くことによって因数分解します（もう一度二次方程式を解くことへの参照）：

変換の結果として得られた式を書いて、関数の限界を見つけましょう。

例4。 不確実性を明らかにし、限界を見つける

決定。 指数限界定理はここでは適用できません。

したがって、分数を同じように変換します。分子と分母に分母の二項共役を乗算し、次のようにキャンセルします。 バツ +1。 定理1の結果によれば、式を取得し、それを解くと、目的の限界が見つかります。


例5。 不確実性を明らかにし、限界を見つける

決定。 直接値の置換 バツ \u003d 0インチ 与えられた機能 0/0の形式の不確実性につながります。 それを明らかにするために、同じ変換を実行し、結果として目的の制限を取得します。

例6。 計算する

決定： 限界定理を使用します

回答： 11

例7。 計算する

決定： この例では、分子と分母の制限は0です。

; ..。 したがって、商の限界に関する定理は適用できません。

分子と分母を因数分解して、ゼロになりがちな共通の因数で分数をキャンセルし、したがって、定理3の適用を可能にします。

分子の二乗三項を次の式で展開します。ここで、x1とx2は三項の根です。 因子と分母に展開したら、分数を（x-2）でキャンセルし、定理3を適用します。

回答：

例8。 計算する

決定： では、分子と分母は無限大になる傾向があるため、定理3を直接適用すると、不確実性を表す式が得られます。 この種のあいまいさを取り除くには、分子と分母を引数の最高度で割ります。 この例では、で割る必要があります バツ:

回答：

例9。 計算する

決定： x 3:

回答： 2

例10。 計算する

決定： 分子と分母が無限大になる傾向がある場合。 分子と分母を引数の最高度で割ります。 x 5:

=

分数の分子は1になり、分母は0になる傾向があるため、分数は無限大になる傾向があります。

回答：

例11。 計算する

決定： 分子と分母が無限大になる傾向がある場合。 分子と分母を引数の最高度で割ります。 x 7:

回答： 0

派生物。

引数xに関する関数y \u003d f（x）の派生物引数xの増分xに対する増分yの比率の制限は、引数の増分がゼロになる傾向があるときに呼び出されます。 この制限が有限の場合、関数 y \u003d f（x）点xで微分可能と呼ばれます。 この制限が存在する場合、彼らはその機能が y \u003d f（x） 点xに無限の導関数があります。

基本の派生物 基本機能:

1. （定数）\u003d 09.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

差別化ルール：

で）

例1。 関数の導関数を見つける

決定： 第2項の導関数が分数の微分規則に従って見つかった場合、第1項は複雑な関数であり、その導関数は次の式で求められます。

どこ その後

式を解くときに使用された：1、2、10、a、c、d。

回答：

例21。 関数の導関数を見つける

決定： 両方の用語- 複雑な機能、ここで、最初の場合、および2番目の場合、、

回答：

派生アプリケーション。

1. 速度と加速

関数s（t）に記述させます ポジション 時間tにおける特定の座標系のオブジェクト。 次に、関数s（t）の一次導関数は瞬時になります 速度 オブジェクト：
v \u003d s ′\u003d f′（t）
関数s（t）の2次導関数は瞬時です 加速度 オブジェクト：
w \u003d v ′\u003d s′ ′\u003d f′ ′（t）

2. 接線方程式
y − y0 \u003d f ′（x0）（x − x0）、
ここで、（x0、y0）は接点の座標であり、f '（x0）は接点での関数f（x）の導関数の値です。

3. 正規方程式
y − y0 \u003d −1f ′（x0）（x − x0）、

ここで、（x0、y0）は法線が描かれる点の座標であり、f '（x0）はこの点での関数f（x）の導関数の値です。

4. 機能の増減
f ′（x0）\u003e 0の場合、関数は点x0で増加します。 下の図では、関数はxとして増加しています x2。
f ′（x0）の場合<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1 f ′（x0）\u003d 0または導関数が存在しない場合、この基準では、点x0での関数の単調性の性質を判断できません。

5. 関数の局所極値
関数f（x）には 極大 点x1で、この近傍からのすべてのxについて、不等式f（x1）≥f（x）が成り立つような点x1の近傍が存在する場合。
同様に、関数f（x）は ローカルミニマム 点x2で、この近傍からのすべてのxについて、不等式f（x2）≤f（x）が成り立つような点x2の近傍が存在する場合。

6. 重要なポイント
ポイントx0は 重要なポイント その中の導関数f '（x0）がゼロに等しいか、存在しない場合、関数f（x）。

7. 極値の存在の最初の十分な指標
関数f（x）が、ある間隔（a、x1]ですべてのxに対して増加（f '（x）\u003e 0）し、減少する場合（f'（x）<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0）間隔$からのすべてのx

例3
$ \\ lim \\ Limits_（x \\ to -1）\\ frac（x ^ 2-1）（x + 1）$を解きます
決定

いつものように、制限記号の下の式に$ x $の値を代入することから始めます。

$$ \\ lim \\ Limits_（x \\ to -1）\\ frac（x ^ 2-1）（x + 1）\u003d \\ frac（（-1）^ 2-1）（-1 + 1）\u003d \\ frac（ 0）（0）$$

次は何ですか？ 結果はどうあるべきですか？ これは不確実であるため、これはまだ答えではなく、計算を続けます。 分子には多項式があるので、学校以来誰もが知っている式を使用して、それを因子に因数分解します$$ a ^ 2-b ^ 2 \u003d（a-b）（a + b）$$。 覚えていますか？ 優れた！ さあ、曲に適用してください:)

分子$ x ^ 2-1 \u003d（x-1）（x + 1）$

上記の変換を前提として、解決を続けます。

$$ \\ lim \\ Limits_（x \\ to -1）\\ frac（x ^ 2-1）（x + 1）\u003d \\ lim \\ Limits_（x \\ to -1）\\ frac（（x-1）（x + 1））（x + 1）\u003d $$

$$ \u003d \\ lim \\ Limits_（x \\ to -1）（x-1）\u003d --1-1 \u003d -2 $$
回答
$$ \\ lim \\ Limits_（x \\ to -1）\\ frac（x ^ 2-1）（x + 1）\u003d -2 $$

最後の2つの例の限界を無限大に押し上げて、不確実性を考えてみましょう。$ \\ bigg [\\ frac（\\ infty）（\\ infty）\\ bigg] $

例5
$ \\ lim \\ Limits_（x \\ to \\ infty）\\ frac（x ^ 2-1）（x + 1）$を評価します
決定

$ \\ lim \\ Limits_（x \\から\\ infty）\\ frac（x ^ 2-1）（x + 1）\u003d \\ frac（\\ infty）（\\ infty）$

何をすべきか？ どうなる？ 不可能は可能ですので、慌てる必要はありません。 分子と分母のxを取り出して、それを減らす必要があります。 次に、制限を計算してみてください。 しようとしています...

$$ \\ lim \\ Limits_（x \\ to \\ infty）\\ frac（x ^ 2-1）（x + 1）\u003d \\ lim \\ Limits_（x \\ to \\ infty）\\ frac（x ^ 2（1- \\ frac （1）（x ^ 2）））（x（1+ \\ frac（1）（x）））\u003d $$

$$ \u003d \\ lim \\ Limits_（x \\から\\ infty）\\ frac（x（1- \\ frac（1）（x ^ 2）））（（1+ \\ frac（1）（x）））\u003d $$

例2の定義を使用し、xを無限大に置き換えると、次のようになります。

$$ \u003d \\ frac（\\ infty（1- \\ frac（1）（\\ infty）））（（1+ \\ frac（1）（\\ infty）））\u003d \\ frac（\\ infty \\ cdot 1）（1+ 0）\u003d \\ frac（\\ infty）（1）\u003d \\ infty $$
回答
$$ \\ lim \\ Limits_（x \\ to \\ infty）\\ frac（x ^ 2-1）（x + 1）\u003d \\ infty $$

制限を計算するためのアルゴリズム

それでは、分析された例を簡単に要約し、制限を解決するためのアルゴリズムを作成しましょう。

  1. 限界記号に続く式の点xを代入します。 特定の数、つまり無限大が得られた場合、制限は完全に解決されます。 それ以外の場合は、「ゼロをゼロで除算する」または「無限大を無限大で除算する」という不確実性があり、命令の次の段落に進みます。
  2. 「ゼロをゼロで割った」という曖昧さを排除するには、分子と分母を因数分解する必要があります。 同様のものを減らします。 式のポイントxを制限記号の下に置き換えます。
  3. 不確実性が「無限大を無限大で割ったもの」である場合、分子とxの分母の両方を最大限に取り出します。 Xを減らす。 制限の下から残りの式にx値を代入します。

この記事では、数学コースで一般的に使用される制限を解決するための基本を学びました。 もちろん、これらは審査官によって提供されるすべてのタイプの問題ではなく、最も単純な制限にすぎません。 次の記事では、他の種類のタスクについて説明しますが、先に進むには、最初にこのレッスンを学ぶ必要があります。 ルーツ、度がある場合の対処方法について説明し、極小の同等の機能、すばらしい限界、L'Hôpitalの法則を研究します。

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