보간 방법 공식 예제 솔루션. 두 값 사이의 보간 공식

보간, 보간 (...에서 위도 inter – polis - « 스무딩, 리퍼브, 리뉴얼; 변형»)-계산 수학에서 사용 가능한 이산 알려진 값 집합에서 수량의 중간 값을 찾는 방법입니다. "보간법"이라는 용어는 John Wallis가 그의 논문 "The Arithmetic of the Infinite"(1656)에서 처음 사용했습니다.

기능 분석에서 선형 연산자의 보간은 Banach 공간을 특정 범주의 요소로 간주하는 섹션입니다.

과학 및 공학 계산에 직면 한 많은 사람들은 종종 경험적으로 또는 무작위로 얻은 일련의 값으로 작업해야합니다. 원칙적으로 이러한 세트를 기반으로 다른 획득 값을 높은 정확도로 수신 할 수있는 함수를 구성 할 필요가 있습니다. 이 문제를 근사라고합니다. 보간은 생성 된 함수의 곡선이 사용 가능한 데이터 포인트를 정확히 통과하는 일종의 근사치입니다.

보간에 가까운 문제도 있습니다. 복잡한 기능 또 다른 간단한 기능입니다. 특정 함수가 성능 계산에 너무 복잡하면 여러 지점에서 그 값을 계산할 수 있으며, 그로부터 더 간단한 함수를 구축, 즉 보간 할 수 있습니다. 물론 단순화 된 함수를 사용한다고해서 원래 함수와 동일한 결과가 나오지는 않습니다. 그러나 일부 문제 클래스에서는 단순성과 계산 속도에서 얻은 이득이 결과의 결과 오류보다 클 수 있습니다.

또한 언급 할 가치가있는 것은 연산자 보간으로 알려진 완전히 다른 종류의 수학적 보간입니다. 연산자 보간에 대한 고전적 작업에는 다른 많은 작업의 기초가되는 Riesz-Thorin 정리와 Marcinkiewicz 정리가 포함됩니다.

정의

일부 영역 D (\\ displaystyle)에서 일치하지 않는 점 시스템 xi (\\ displaystyle x_ (i)) (i ∈ 0, 1,…, N (\\ displaystyle i \\ in (0,1, \\ dots, N))) D) ... 함수 f (\\ displaystyle f)의 값은 다음 지점에서만 알 수 있습니다.

Y i \u003d f (x i), i \u003d 1,…, N. (\\ displaystyle y_ (i) \u003d f (x_ (i)), \\ quad i \u003d 1, \\ ldots, N.)

보간 문제는 주어진 함수 클래스에서 함수 F (\\ displaystyle F)를 찾는 것입니다.

F (x i) \u003d y i, i \u003d 1,…, N. (\\ 디스플레이 스타일 F (x_ (i)) \u003d y_ (i), \\ quad i \u003d 1, \\ ldots, N.)

• 포인트 x i (\\ displaystyle x_ (i))가 호출됩니다. 보간 노드, 그리고 그들의 총체 성은 보간 그리드.
• 쌍 (x i, y i) (\\ displaystyle (x_ (i), y_ (i)))이 호출됩니다. 데이터 점수 또는 기준점.
• "인접한"값의 차이 Δ x i \u003d x i-x i-1 (\\ displaystyle \\ Delta x_ (i) \u003d x_ (i) -x_ (i-1))- 보간 그리드 단계... 가변적 일 수도 있고 일정 할 수도 있습니다.
• 기능 F (x) (\\ displaystyle F (x))- 보간 기능 또는 보간.

예

1. 아래에 설명 된 것과 같은 테이블 함수가 있다고 가정합니다.이 함수는 x (\\ displaystyle x)의 여러 값에 대해 f (\\ displaystyle f)의 해당 값을 결정합니다.

X (\\ 디스플레이 스타일 x) f (x) (\\ 디스플레이 스타일 f (x))

보간법은 지정된 지점과 다른 지점에서 이러한 함수가 가질 수있는 값 (예 : 엑스 = 2,5).

지금까지 다양한 보간 방법이 있습니다. 가장 적합한 알고리즘의 선택은 선택한 방법의 정확성, 사용 비용, 보간 기능의 부드러운 정도, 필요한 데이터 포인트 수 등 질문에 대한 답변에 따라 다릅니다.

2. 중간 값을 찾습니다 ( 선형 보간).

15.5 + (6378-6000) 8000-6000 ∗ (19.2-15.5) 1 \u003d 16.1993 (\\ displaystyle? \u003d 15.5 + (\\ frac ((6378-6000)) (8000-6000)) * (\\ frac ((19.2- 15.5)) (1)) \u003d 16.1993)

프로그래밍 언어

y \u003d 3 x + x 2 (\\ displaystyle y \u003d 3x + x ^ (2))에 대한 선형 보간의 예. 사용자는 1에서 10까지의 숫자를 입력 할 수 있습니다.

포트란

C ++

보간 방법

최근 접 이웃 보간

가장 간단한 보간 방법은 최근 접 이웃 보간입니다.

다항식에 의한 보간

실제로 다항식에 의한 보간이 가장 자주 사용됩니다. 이것은 주로 다항식이 계산하기 쉽고 분석적으로 파생물을 찾기가 쉽고 다항식 집합이 연속 함수 공간 (Weierstrass 정리)에서 조밀하다는 사실 때문입니다.

• 선형 보간
• 뉴턴의 보간 공식
• 유한 차분 법
• IMN-1 및 IMN-2
• 라그랑주 다항식 (보간 다항식)
• Aitken의 계획
• 스플라인 기능
• 큐빅 스플라인

역 보간 (y에서 x 계산)

• 라그랑주 다항식
• 뉴턴 공식을 사용한 역 보간
• 역 가우스 보간

여러 변수의 함수 보간

• 쌍 선형 보간
• 쌍 입방 보간

기타 보간 방법

• 유리 보간
• 삼각 보간

관련 개념

• 외삽-지정된 간격 (곡선 확장)을 벗어난 지점을 찾는 방법
• 근사-근사 곡선을 만드는 방법

역 보간

그래프가 배열의 점 (xi, yi)을 통과하는 공간 C2의 함수 클래스, i \u003d 0, 1 ,. ... ... , 미디엄.

결정. 지지점 (xi, f (xi))을 통과하고 언급 된 공간에 속하는 모든 함수 중 S00 (a) \u003d S00 (b) \u003d 0 경계 조건을 만족하는 3 차 스플라인 S (x)를 제공합니다. 극한 (최소) 기능 I (f).

실제로 문제는 주어진 함수 값으로 인수 값을 찾는 데 종종 발생합니다. 이 문제는 역 보간법으로 해결됩니다. 주어진 함수가 단조롭다면, 역 보간은 함수를 인수로 바꾸고 그 반대로 바꾼 다음 보간하는 방식으로 수행하는 것이 가장 쉽습니다. 주어진 함수가 단조롭지 않으면이 기술을 사용할 수 없습니다. 그런 다음 함수와 인수의 역할을 변경하지 않고이 보간 공식을 작성합니다. 인수의 알려진 값을 사용하고 함수가 알려져 있다고 가정하고 인수에 대한 결과 방정식을 풉니 다.

첫 번째 기법을 사용할 때 나머지 추정치는 직접 보간과 동일하며 직접 함수의 미분 만 역함수의 미분으로 대체되어야합니다. 두 번째 방법의 오차를 추정 해 봅시다. 함수 f (x)가 주어지고 Ln (x)은 노드 x0, x1, x2에서이 함수에 대해 구성된 라그랑주 보간 다항식입니다. ... ... , xn 다음에

f (x)-Ln (x) \u003d (n + 1)! (x-x0). ... ... (x-xn).

f (¯x) \u003d y¯ (y¯가 주어짐)에 대한 x¯ 값을 찾아야한다고 가정합니다. 방정식 Ln (x) \u003d y¯를 풀 것입니다. x¯ 값을 얻습니다. 이전 방정식으로 대체하면 다음을 얻을 수 있습니다.

마지막 표현은 다음을 의미합니다.

| x¯-x¯ | 6m1 (n + 1)! | $ n (x¯) | ...

물론이 경우에는 방정식 Ln (x) \u003d y¯를 정확히 풀 었다고 가정합니다.

보간을 사용하여 테이블 작성

보간 이론은 함수 테이블 컴파일에 적용됩니다. 이러한 문제를받은 수학자는 계산을 시작하기 전에 여러 질문을 풀어야합니다. 계산이 수행되는 공식을 선택해야합니다. 이 공식은 사이트마다 다를 수 있습니다. 일반적으로 함수 값을 계산하는 공식은 번거롭기 때문에 일부 참조 값을 얻은 다음 하위 표를 작성하여 표를 압축하는 데 사용됩니다. 함수에 대한 참조 값을 제공하는 공식은 다음 하위 표와 함께 원하는 테이블 정밀도를 제공해야합니다. 상수 단계로 테이블을 생성해야하는 경우 먼저 해당 단계를 결정해야합니다.

뒤로 처음 이전 다음 마지막 점프 제목 색인

대부분의 경우 함수 테이블은 선형 보간이 가능하도록 구성됩니다 (즉, Taylor 공식의 처음 두 항을 사용하는 보간). 이 경우 나머지는

R1 (x) \u003d f00 (ξ) h2t (t-1).

여기서 ξ는 x가 위치한 인수의 인접한 두 테이블 값 사이의 간격에 속하고 t는 0과 1 사이에 있습니다. 제품 t (t-1)는 가장 큰 계수를 사용합니다

t \u003d 12에서의 값.이 값은 14입니다. 그래서,

중간 값의 실제 계산에서이 오류 (방법의 오류) 옆에 여전히 치명적인 오류와 반올림 오류가 있음을 기억해야합니다. 앞서 살펴본 것처럼 선형 보간에서의 치명적인 오류는 함수의 표로 작성된 값의 오류와 같습니다. 반올림 오류는 계산 도구와 계산 프로그램에 따라 다릅니다.

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주제 색인

두 번째 순서의 분리 된 차이, 첫 번째 순서의 8, 8

스플라인, 15

보간 노드, 4

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/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / 보간 방법

표 형식 데이터 보간 공식

조건으로부터 HXR (Q, t)의 양이 중간이다 100 t 및 300 t.

(예외: Q가 조건에 따라 100 또는 300이면 보간이 필요하지 않습니다).

와이 영형 -상태의 초기 NHR 양 (톤)

(문자 Q에 해당)

와이 1 – 보다 작은

(표 11-16에서, 보통 100).

와이 2 – 더 톤 단위의 NHR 금액에 가장 가까운 값

(표 11-16에서, 보통 300).

엑스 1 와이 1 (엑스 1 반대편에 위치 와이 1 ), km.

엑스 2 -오염 된 공기 구름 (T t)의 전파 깊이에 대한 표 형식 값 와이 2 (엑스 2 반대편에 위치 와이 2 ), km.

엑스 0 -필수 값 디 티 적당한 와이 영형 (공식에 따라).

예.

NHR-염소; Q \u003d 120t;

SVSP 유형 (수직 공기 저항 정도)-반전.

찾다 디 티 -오염 된 공기 구름의 확산 깊이에 대한 표 형식 값

표 11-16을 살펴보고 귀하의 상태 (염소, 반전)에 해당하는 데이터를 찾습니다.

표 11이 적합합니다.

값 선택 와이 1 , 와이 2, 엑스 1 , 엑스 2 . 중대한 -우리는 풍속 1m / s를 취하고 온도는 20оС입니다.

선택한 값을 공식에 \u200b\u200b대입하고 엑스 0 .

중대한 -다음과 같은 경우 계산이 정확합니다. 엑스 0 그 사이 어딘가에 중요 할 것이다 엑스 1 , 엑스 2 .

1.4. 라그랑주 보간 공식

보간 생성을위한 라그랑주 제안 알고리즘

표 (1)에 따른 기능은 구성을 제공합니다 보간 다항식 Ln (x) 형식

분명히, (10)에 대한 조건 (11)의 충족은 보간 문제 설명의 조건 (2)의 충족을 결정합니다.

다항식 li (x)는 다음과 같이 작성됩니다.

공식 (14)의 분모에있는 단일 요소가 아닙니다. 0과 같음... 상수 ci의 값을 계산 한 후이를 사용하여 주어진 지점에서 보간 된 함수의 값을 계산할 수 있습니다.

공식 (13) 및 (14)를 고려한 라그랑주 보간 다항식 (11)의 공식은 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

1.4.1 라그랑주 공식에 의한 수동 계산 구성

Lagrange 공식을 직접 적용하면 동일한 유형의 많은 계산이 이루어집니다. 작은 차원의 테이블의 경우 이러한 계산은 수동 및 프로그램 환경에서 모두 수행 할 수 있습니다.

첫 번째 단계에서는 수동으로 수행되는 계산 알고리즘을 고려할 것입니다. 미래에는 동일한 계산이 환경에서 반복되어야합니다.

Microsoft Excel 또는 OpenOffice.org Calc.

그림에서. 도 6은 4 개의 노드로 정의 된 보간 함수의 초기 테이블의 예를 보여준다.

그림 6. 보간 된 함수의 4 개 노드에 대한 초기 데이터가 포함 된 테이블

표의 세 번째 열에는 공식 (14)로 계산 된 계수 qi의 값을 기록합니다. 아래는 n \u003d 3에 대한 이러한 공식의 기록입니다.

q0 \u003d Y0 / (x0-x1) / (x0-x2) / (x0-x3) q1 \u003d Y1 / (x1-x0) / (x1-x2) / (x1-x3) (16) q2 \u003d Y2 / ( x2-x0) / (x2-x1) / (x2-x3) q3 \u003d Y3 / (x3-x0) / (x3-x1) / (x3-x2)

수동 계산 구현의 다음 단계는 수식 (13)에 의해 수행되는 값 li (x) (j \u003d 0,1,2,3)의 계산입니다.

고려중인 4 개의 노드가있는 테이블의 변형에 대해 다음 공식을 작성해 보겠습니다.

l0 (x) \u003d q0 (x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1 (x) \u003d q1 (x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2 (x) \u003d q2 (x-x0) (x-x1) (x-x3), (17) l3 (x) \u003d q3 (x-x0) (x-x1) (x-x2) ...

다항식 li (xj) (j \u003d 0,1,2,3)의 값을 계산하고 테이블 셀에 기록해 봅시다. 공식 (11)에 따른 함수 Ycalc (x)의 값은 li (xj)의 값을 행으로 합산하여 얻을 수 있습니다.

계산 된 값의 열 li (xj)과 valuesYcalculated (x)의 열을 포함하는 테이블 형식이 그림 8에 나와 있습니다.

그림: 8. 인수 xi의 모든 값에 대해 공식 (16), (17) 및 (11)에 따라 수행 된 수동 계산 결과 테이블

그림에 표시된 표의 형성을 완료했습니다. 8, 공식 (17) 및 (11)을 사용하여 인수 X의 모든 값에 대해 보간 된 함수의 값을 계산할 수 있습니다. 예를 들어 X \u003d 1의 경우 li (1)의 값을 계산합니다 (i \u003d 0,1,2,3) :

l0 (1) \u003d 0.7763; l1 (1) \u003d 3.5889; l2 (1) \u003d-1.5155; l3 (1) \u003d 0.2966.

li (1)의 값을 합하면 Yinterp (1) \u003d 3.1463 값을 얻습니다.

1.4.2. Microsoft Excel 프로그램 환경에서 Lagrange 공식에 의한 보간 알고리즘 구현

보간 알고리즘의 구현은 수동 계산에서와 같이 계수 qi를 계산하기위한 공식을 작성하여 시작됩니다. 9는 인수, 보간 함수 및 계수 qi의 주어진 값을 가진 테이블의 열을 보여줍니다. 이 표의 오른쪽에는 계수 qi의 값을 계산하기 위해 C 열의 셀에 작성된 공식이 있습니다.

вС2 : "\u003d B2 / ((A2-A3) * (A2-A4) * (A2-A5))"Æ q0

вС3 : "\u003d B3 / ((A3-A4) * (A3-A5) * (A3-A2))"Æ q1

вС4 : "\u003d B4 / ((A4-A5) * (A4-A2) * (A4-A3))"Æ q2

вС5 : "\u003d B5 / ((A5-A2) * (A5-A3) * (A5-A4))"Æ q3

그림: 9 qi 계수 및 계산 공식 표

수식 q0을 C2 셀에 입력하면 C3에서 C5까지 셀을 통해 확장됩니다. 그런 다음이 셀의 공식은 (16)에 따라 그림에 표시된 형식으로 조정됩니다. 아홉.

공식 (17)을 구현하여 D, E, F 및 G 열의 셀에 li (x) (i \u003d 0,1,2,3) 값을 계산하는 공식을 작성합니다. 값 l0 (x0) 우리는 공식을 작성합니다.

\u003d $ C $ 2 * ($ A2- $ A $ 3) * ($ A2- $ A $ 4) * ($ A2- $ A $ 5),

우리는 l0 (xi) (i \u003d 0,1,2,3) 값을 얻습니다.

참조 형식 $ A2를 사용하면 E, F, G 열을 통해 수식을 확장하여 li (x0) (i \u003d 1,2,3)을 계산하기위한 계산 수식을 생성 할 수 있습니다. 수식을 행 아래로 끌면 인수 열 인덱스가 변경되지 않습니다. li (x0) (i \u003d 1,2,3)을 계산하려면 공식 l0 (x0)을 늘린 후 공식 (17)로 수정해야합니다.

H 열에 수식으로 li (x)를 합산하는 Excel 수식을 입력하십시오.

(11) 알고리즘.

그림에서. 도 10은 Microsoft Excel 환경에서 구현 된 표를 보여준다. 얻은 대각 행렬 li (xj) (i \u003d 0,1,2,3), (j \u003d 0,1,2,3)은 그림 2에 표시된 결과를 반복하며 공식의 정확성을 나타냅니다. 테이블의 셀과 수행 된 계산 작업에 기록됩니다. 8, 원래 테이블의 노드에서 보간 된 함수의 값과 일치하는 값의 열.

그림: 10. 값 표 li (xj) (j \u003d 0,1,2,3) 및 Ycal (xj)

일부 중간 지점에서 값을 계산하려면 충분합니다.

a6 셀부터 시작하여 A 열의 셀에 보간 함수의 값을 결정하려는 인수 X의 값을 입력합니다. 가장 밝은 부분

l0 (xn)에서 Ycalc (xn)까지 셀 테이블의 마지막 (5 번째) 행에서 선택한 셀에 기록 된 공식을 마지막을 포함하는 행으로 늘립니다.

인수 x의 주어진 값.

그림에서. 도 11은 함수의 값이 x \u003d 1, x \u003d 2 및 x \u003d 3의 세 지점에서 계산되는 표를 보여줍니다. 소스 데이터 테이블의 행 번호와 함께 추가 열이 테이블에 추가되었습니다.

그림: 11. 라그랑주 공식에 의한 보간 함수 값 계산

보간 결과를보다 명확하게 표시하기 위해 인수 X의 오름차순 값 열, 함수 Y (X)의 초기 값 열 및 열을 포함하는 테이블을 구성합니다.

보간 공식을 사용하는 방법과 열역학 (열 공학) 문제를 해결할 때 어떤 공식을 사용하는지 알려주세요.

이반 셰 스타코 비치

가장 간단하지만 종종 정확하지 않은 보간은 선형입니다. 이미 두 개의 알려진 점 (X1 Y1)과 (X2 Y2)가 있고 X1과 X2 사이에있는 일부 X의 날 Y 값을 찾아야하는 경우. 그러면 공식은 간단합니다.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
그건 그렇고,이 공식은 X1..X2 간격의 한계를 벗어난 X 값에도 적용되지만 이것은 이미 외삽이라고 불리며이 간격에서 상당한 거리에서 매우 큰 오류를 제공합니다.
다른 많은 장군이 있습니다. 보간 방법-교과서를 읽거나 인터넷과 주변을 뒤지는 것이 좋습니다.
그래픽 보간 방법도 배제되지 않습니다-알려진 점을 통해 수동으로 그래프를 그리고 그래프 Y에서 필요한 X 찾기를 위해 그래프를 그립니다.;)

소설

두 가지 의미가 있습니다. 그리고 대략적인 의존성 (선형, 2 차, ..)
이 함수의 그래프는 두 지점을 통과합니다. 중간 어딘가에 의미가 필요합니다. 글쎄, 당신은 표현합니다!
예를 들면. 표에서 22 도의 온도에서 포화 증기압은 120,000 Pa이고 26,124,000 Pa입니다. 그런 다음 23도 121000 Pa의 온도에서.

보간 (좌표)

지도 (이미지)에 좌표 그리드가 있습니다.
알려진 피벗 포인트 (n\u003e 3)가 있습니다. x, y 값 -좌표는 픽셀, 좌표는 미터입니다.
좌표를 픽셀 단위로 알고 미터 단위의 좌표 중간 값을 찾아야합니다.
선형 보간이 적합하지 않습니다. 선 외부에 너무 많은 오류가 있습니다.
다음과 같이 : (Xc-오 단위의 좌표, Xp-오 단위의 좌표, Xc3-oh 단위의 필수 값)
Xc3 \u003d (Xc1-Xc2) / (Xp1-Xp2) * (Xp3-Xp2) + Xc2
Yc3 \u003d (Yc1-Yc2) / (Yp1-Yp2) * (Yp3-Yp2) + Yc2

두 개가 아니라 N 개의 알려진 제어점을 고려하여 Xc와 Yc를 찾는 동일한 공식을 찾는 방법은 무엇입니까?

조카 펀 로우 드

작성된 공식으로 판단하면 좌표계의 축이 픽셀과 미터로 일치합니까?
즉, 독립적으로 보간 된 Xp-\u003e Xc 및 독립적으로 Yp-\u003e Yc. 그렇지 않은 경우 2 차원 보간 Xp, Yp-\u003e Xc 및 Xp, Yp-\u003e Yc를 사용해야하므로 작업이 다소 복잡해집니다.
또한 Xp와 Xc 좌표는 어떤 식 으로든 관련이 있다고 가정합니다.
의존성의 본질이 알려져있는 경우 (또는 예를 들어 Xc \u003d a * Xp ^ 2 + b * Xp + c라고 가정),이 의존성의 매개 변수 (감소 된 의존성 a, b, c) 회귀 분석 (방법 최소 제곱)을 사용하여 얻을 수 있습니다. 이 방법에서 특정 종속성 Xc (Xp)를 설정하면 참조 데이터에 대한 종속성의 매개 변수에 대한 공식을 얻을 수 있습니다. 이 방법을 사용하면 특히 선형 관계주어진 데이터 세트에 가장 적합한 것입니다.
단점 :이 방법에서는 Xp GCP 데이터에서 얻은 Xc 좌표가 지정된 좌표와 다를 수 있습니다. 예를 들어, 실험 지점을 따라 그려진 근사 선은 이러한 지점 자체를 정확히 통과하지 못합니다.
정확한 일치가 필요하고 종속성의 특성을 알 수없는 경우 보간 방법을 사용해야합니다. 수학적으로 가장 간단한 것은 제어점을 정확히 통과하는 라그랑주 보간 다항식입니다. 그러나 제어점이 많은이 다항식의 수준이 높고 보간 품질이 좋지 않기 때문에 사용하지 않는 것이 좋습니다. 장점은 비교적 간단한 공식입니다.
스플라인 보간을 사용하는 것이 좋습니다. 이 방법의 핵심은 인접한 두 점 사이의 각 섹션에서 조사 된 종속성이 다항식으로 보간되고 두 간격이 결합되는 점에 평활도 조건이 기록된다는 것입니다. 이 방법의 장점은 보간 품질입니다. 단점-인출이 거의 불가능 일반 공식, 알고리즘 적으로 각 섹션에서 다항식의 계수를 찾는 것이 필요합니다. 또 다른 단점은 2D 보간으로 일반화하기 어렵다는 것입니다.

선택한 그리드 노드의 테이블 값과 일치해야하는 경우 시스템을 얻습니다.

매개 변수를 결정할 수있는이 매개 변수 선택 방법을 보간이라고합니다 (더 정확하게는 라그랑주 보간). 사용 된 그리드 노드의 수에 따라 보간을 1 점, 2 점 등으로 부릅니다.

매개 변수에 비선형 적으로 의존하는 경우 보간을 비선형이라고합니다. 이 경우 시스템 (1)에서 매개 변수를 찾는 것은 어려운 작업이 될 수 있습니다. 이제 우리는 선형 보간이 매개 변수에 선형 적으로 의존 할 때 고려할 것입니다. 즉, 소위 일반화 다항식으로 표현 될 수 있습니다.

분명히, 함수는 선형 적으로 독립적으로 간주 될 수 있습니다. 그렇지 않으면 합과 매개 변수의 항 수가 줄어들 수 있습니다. 기능 시스템에 한 가지 더 제한을 가해 야합니다. (2)를 (1)에 대입하면 매개 변수를 결정하기 위해 다음과 같은 선형 방정식 시스템을 얻습니다.

보간 문제가 항상 고유 한 솔루션을 갖기 위해서는 노드 배열 (중에 일치하는 노드가없는 한)에 대해 시스템 (3)의 결정자가 0이 아닌 것이 필요합니다.

요구 사항 (4)를 충족하는 함수 시스템을 Chebyshev라고합니다. 따라서 선형 보간을 위해서는 일부 체비 쇼프 함수 시스템에서 일반화 된 다항식을 구성해야합니다.

선형 보간의 경우 일반 다항식이 가장 편리합니다. 키보드 머신과 컴퓨터 모두에서 쉽게 계산되기 때문입니다. 이론상 삼각 다항식 및 지수에 의한 보간을 자세히 고려하지만 다른 함수 시스템은 현재 거의 사용되지 않습니다. 따라서 함수의 표로 작성된 값을 통해 일반화 된 다항식 (2)의 표현을 제시하지 않습니다.이 표현을 유도하는 것은 어렵지 않습니다.

가장 간단하고 가장 일반적으로 사용되는 로컬 보간 형식은 다음과 같습니다. 선형 보간... 주어진 포인트 ( 엑스 나는 , 와이 나는) ( 나는 \u003d 0.1, ..., n)는 직선 세그먼트로 연결되며 기능 에프(엑스)는 이러한 점에 정점이있는 폴리 라인으로 접근합니다.

일반적으로 각 선분의 방정식은 다릅니다. n 개의 간격 ( 엑스 나는 - 1, 엑스 나는), 각각에 대해 두 점을 통과하는 직선 방정식이 보간 다항식의 방정식으로 사용됩니다. 특히 i 번째 구간의 경우 점을 통과하는 직선의 방정식을 쓸 수 있습니다 ( 엑스 나는 -1, 와이 나는 -1 ) 및 ( 엑스 나는 , 와이 나는), 같이

a i \u003d

따라서 선형 보간을 사용할 때 먼저 인수 x의 값이 속하는 간격을 결정한 다음이를 공식 (*)으로 대체하고이 지점에서 함수의 근사값을 찾아야합니다.

그림 3-3-선형 보간 의존성 그래프.

1. 전문적인 문제 해결

우리는 실험 데이터를 유지합니다

ORIGIN : \u003d 0 데이터 배열의 시작-0부터 계산

나는: \u003d 1..6 배열의 요소 수

실험 데이터는 두 개의 벡터로 구성됩니다.

내장 MathCad 함수로 보간

선형 보간

Lf (x i) : \u003d linterp (x, y, x)

3 차 척추 보간

CS : \u003d cspline (x, y)

실험 데이터에서 큐빅 스플라인 만들기

Lf (x i) : \u003d linterp (x, y, x i)

B- 스플라인 보간

보간 순서를 설정합니다. 벡터 u는 벡터보다 (n-1) 개의 요소를 가져야합니다. 엑스첫 번째 요소는 첫 번째 요소보다 작거나 같아야합니다. 엑스마지막은 마지막 x보다 크거나 같습니다.

BS : \u003d bspline (x, y, u, n)

실험 데이터에 따라 B- 스플라인 만들기

BSf (x i) : \u003d (BS, x, y, x i)

하나의 좌표 평면에서 모든 근사 함수의 그래프를 작성합니다.

그림 4.1- 하나의 좌표 평면에있는 모든 근사 함수 그래프.

결론

함수의 보간은 계산 수학에서 중요한 역할을합니다. 구축 주어진 기능 다른 (원칙적으로 더 간단 함), 그 값은 특정 수의 포인트에서 주어진 함수의 값과 일치합니다. 더욱이, 보간은 실용적, 이론적 의미를 모두 가지고 있습니다. 실제로 문제는 예를 들어 일부 실험 과정에서 얻은 표 형식 값에서 연속 함수를 복원 할 때 종종 발생합니다. 많은 함수를 계산하려면 다항식 또는 분수 유리 함수로 근사하는 것이 효과적입니다. 보간 이론은 미분 방정식과 적분 방정식을 해결하기위한 방법을 얻기 위해 수치 적분을위한 구적 공식의 구성 및 연구에 사용됩니다. 다항식 보간의 주된 단점은 가장 편리하고 자주 사용되는 그리드 중 하나 인 등거리 노드가있는 그리드에서 불안정하다는 것입니다. 문제가 허용된다면 Chebyshev 노드가있는 메시를 선택하여이 문제를 해결할 수 있습니다. 보간 노드를 자유롭게 선택할 수 없거나 노드 선택에 너무 까다 롭지 않은 알고리즘이 필요한 경우 합리적인 보간이 다항식 보간에 대한 적절한 대안이 될 수 있습니다.

스플라인 보간의 장점은 계산 알고리즘의 빠른 처리 속도를 포함합니다. 스플라인은 조각 별 다항식 함수이고 보간 중에는 현재 고려중인 단편에 속하는 적은 수의 측정 지점에서 데이터가 동시에 처리되기 때문입니다. 보간 된 표면은 다양한 스케일의 공간 가변성을 설명하며 동시에 매끄 럽습니다. 후자의 상황에서는 분석 절차를 사용하여 표면의 형상과 토폴로지를 직접 분석 할 수 있습니다.

함수 방정식을 찾는 도구입니다. Lagrange Interpolating Polynomial은 점 좌표가있는 곡선에 해당하는 방정식을 찾는 방법입니다.

질문에 대한 답변

dCode는 Lagrangian 방법을 사용하여 다항식 보간 알려진 점 (x, y) 값을 사용하여 원본을 다시 찾습니다.

예 : 점 \\ ((x, y) \\) : \\ ((0,0), (2,4), (4,16) \\)에 대한 지식으로 다항식 라그랑주 보간법은 \\ ( y \u003d x ^ 2 \\). 공제되면, 보간 함수 \\ (f (x) \u003d x ^ 2 \\)는 \\ (x \u003d 3 \\), 여기서 \\ (f (x) \u003d 9 \\)의 값을 추정 할 수 있습니다.

라그랑주 보간 방법을 사용하면 다항식 함수의 근사치를 잘 구할 수 있습니다.

dCode에서 온라인으로 사용할 수있는 Neville 보간과 같은 다른 보간 공식 (Lagrange / Rechner 대신)이 있습니다.

이 Q & A를 편집 할 수 있습니다 (새 정보 추가, 번역 개선 등). "itemscope \u003d" "itemtype \u003d"http://schema.org/Question "\u003e

라그랑주 보간에 대한 제한은 무엇입니까?

계산의 복잡성이 포인트 수에 따라 증가하기 때문에 프로그램은 25 개의 좌표로 제한됩니다 (Q에 고유 한 x 값 포함).

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소스 코드

dCode는 Lagrange Interpolating Polynomial 온라인 스크립트의 소스 코드에 대한 소유권을 보유합니다. 명시적인 오픈 소스 라이선스 (크리에이티브 커먼즈 / 무료로 표시), 모든 알고리즘, 애플릿, 스 니펫, 소프트웨어 (변환기, 솔버, 암호화 / 복호화, 인코딩 / 디코딩, 암호화 / 해독, 번역기) 또는 모든 기능 (변환, 해결, 해독 dCode가 권리를 소유 한 모든 정보 언어 (PHP, Java, C #, Python, Javascript, Matlab 등)로 작성된, 암호화, 해독, 암호화, 디코딩, 코드, 번역)은 무료로 공개되지 않습니다. PC, iPhone 또는 Android에서 오프라인 사용을 위해 온라인 Lagrange Interpolating Polynomial 스크립트를 다운로드하려면 가격 견적을 요청하십시오.

보간은 중간 값을 찾는 방법입니다. 함수 변수 이미 알려진 몇 가지 값으로. 처음으로 "보간법"이라는 공식이 John Wallis에 의해 과학 에세이 "The Arithmetic of the Infinite"에서 소개되었습니다.

선형 보간

보간의 가장 간단한 경우는 "선형", 즉 주어진 두 지점에서 값을 찾는 것입니다. 이 계산 프로세스는 선형 함수로 간주 할 수 있으므로 계산을보다 시각적으로 만들 수 있습니다. 좌표계에 함수를 적용하는 것을 근사치라고합니다. 이렇게하려면 좌표 축에서 알려진 점을 통과하는 직선을 그려야합니다. X 가로 좌표를 알면서 처음 두 점 사이에있는 원하는 값을 그래픽으로 찾을 수 있다는 것은 논리적입니다. 원하는 값의 X 좌표가 알려진 값 (X 1, X 2) 밖에 있으면 계산 과정을 외삽이라고합니다.

계산기를 사용하면 다른 두 기능의 X 및 Y 좌표와 가로 좌표를 알고 원하는 값의 Y 좌표 값을 결정할 수 있습니다. 계산하려면 주어진 두 점 X 1, Y 1 및 X 2, Y 2의 값을 입력하고 원하는 점의 X 좌표도 지정해야합니다. 그러면 서비스가 자동으로 계산 방법을 결정하고 수행합니다. 그것.

선형 보간 공식

다음 공식이 계산에 사용됩니다.

계산 예

주어진 : 두 점 A (3; 1.5)와 B (6; 5)의 좌표.
찾기 : 횡좌표 4.5 인 점 C의 세로 좌표.

그 후 값을 지정된 공식으로 대체합니다.

Y \u003d 5 + (1.5-5) / (3-6) (4.5-6) \u200b\u200b\u003d 5 + (-3.5) / (-3) (-1.5) \u003d 3.25.