Trova il limite usando la regola lopital. 리미트 디 펀지오네, 레골라 로피탈

La regola dice che se funzioni NS(NS) 전자 NS(NS) hanno la seguente serie di condizioni:

포이 씨 ... Inoltre il teorema vale anche per altre basi (di quella indicata verrà data una dimostrazione).

스토리아

Il modo per svelare questo tipo di incertezza è stato pubblicato da Lopital nel suo saggio "Analisi dell'Infinitesimale", pubblicato nell'anno. Nella prefazione a quest'opera, Lopital sottolinea che non ha esitato a utilizzare le scoperte di Leibniz e dei fratelli Bernoulli e "non ha nulla contro di loro che rivendicano il loro diritto d'autore per ciò . vogliono" Johann Bernoulli ha rivendicato l'intera composizione di L'Hôpital nella sua interezza, e in particolare, dopo la morte di L'Hôpital, ha pubblicato un'opera con il notevole titolo "Miglioramento del mio metodo ne pubblicimatoando" il valore di una frazione, il cui numeratore e denominatore a volte scompaiono."

프로바

일 라포르토 델리 인피니시미

Dimostriamo il teorema per il caso in cui i limiti delle funzioni sono uguali a zero (la cosiddetta incertezza della forma).

포이셰 스티아모 고려안도 펀치오니 NS이자형 NS솔로 넬 주스토 메조 콰르티에르 포라토 델 푼토 취소, possiamo ridefinirli continuamente a questo punto: 하자 NS(취소) = NS(취소) = 0 ... 프렌디아몬 운 포 ' NS dal semiquartiere thinkato e applicare il teorema di Cauchy al segmento. Con questo teorema si ottiene:

엄마 NS(취소) = NS(취소) = 0 , perciò .

스타일 = "라르게짜 마시마: 98%; 알테짜: 자동; 라르게짜: 자동;" src = "/ immagini / wiki / 파일 / 56 /.png" border = "0"> per il limite finale e lo stile = "최대 너비: 98%; altezza: auto; larghezza: auto;" src = "/ immagini / wiki / 파일 / 101 /.png" border = "0"> 무한대당,

che è la definizione del limite del rapporto di funzioni.

Il rapporto tra l'infinitamente grande

Dimostriamo il teorema delle incertezze della forma.

Sia, per cominciare, il limite del rapporto delle derivate sia finito e uguale a 유엔... 포이, 멘트레 시 스포르차 NS당 취소 a destra, questa relazione può essere scritta come 유엔+ α, 비둘기 α - (1). Scriviamo 퀘스트 조건:

리파리아모 NS da un segmento e applicare il teorema di Cauchy a tutti NS달 세그멘토:

당 NS아바스탄자 비치노 다 취소, l'espressione ha senso; il limite del primo fattore del membro destro è 우갈레 아 우노(페르체 NS(NS) 전자 NS(NS) 소노 코스탄티, e NS(NS) 전자 NS(NS)는 모든'무한) 경향이 있습니다. Quindi, questo fattore è uguale a 1 + β, dove è una funzione Infinitysimale come NS당 취소술라 데스트라. Scriviamo la definizione di questo fatto usando lo stesso significato della definizione di α:

Abbiamo trovato che il rapporto delle funzioni può essere rappresentato nella forma (1 + β) ( 유엔+ α), 전자 ... Per ogni dato dato, si può trovare tale che il modulo della Differentenza del rapporto delle funzioni e 유엔에라 마이너, il che significa che il limite del rapporto di funzioni è realmente uguale a 유엔 .

세일리미트 유엔è 인피니토 (diciamo che è uguale a più infinito), 알로라

(x)) (g "(x))> 2M)" 스타일 = "larghezza massima: 98%; altezza: auto; larghezza: auto;" src = "/ immagini / wiki / 파일 / 101 /.png" 테두리 = "0">.

Nella definizione di prenderemo; il primo fattore del membro di destra sarà maggiore di 1/2 per NS아바스탄자 비치노 다 취소 e poi 스타일 = "최대-라르게짜: 98%; 알테짜: 자동; 라르게짜: 자동;" src = "/ immagini / wiki / 파일 / 50 /.png" 테두리 = "0">.

기본적으로, le dimostrazioni sono simili a quelle date.

에스엠피 디

(솔로 se numeratore e denominatore ENTRAMBI 힘줄 a 0; oa; oa.)

폰다지오네 위키미디어. 2010.

Guarda qual è la "regola di Lopital" in altri dizionari:

Denominazione storicamente scorretta di una delle regole di base per la divulgazione delle incertezze. 엘.피. Fu ritrovato da I. Bernoulli e da questi comunicato a G. Lopital (vedi Lopital), che pubblicò questa regola nel 1696. Vedi Espressioni incerte ... 그란데 백과사전

Divulgazione delle incertezze della forma riducendo il limite del rapporto delle funzioni al limite del rapporto delle derivate delle funzioni 사려 깊은. Quindi, per il caso in cui le funzioni reali f e g sono Reservation nell'intorno perforato di lato destro del punto numerico ... ... 백과사전 델라 마테마티카

La regola di Bernoulli L'Hôpital è un metodo per trovare i limiti delle funzioni, rivelando le incertezze della forma e. Il teorema che giustifica il metodo afferma che in determinate condizioni il limite del rapporto di funzioni 우갈레 알 리미트 relazioni dei loro derivati. ... ... 위키피디아

V 아날리시 마테마티카 La regola di L'Hôpital è il metodo per trovare i limiti delle funzioni, che rivela le incertezze della forma 0/0 e. Il teorema che giustifica il metodo afferma che in determinate condizioni il limite del rapporto delle funzioni è uguale al limite ... ... Wikipedia

In analisi matematica, la regola di L'Hôpital è chiamata il metodo per trovare i limiti delle funzioni, che rivela le incertezze della forma 0/0 e. Il teorema che giustifica il metodo afferma che in determinate condizioni il limite del rapporto delle funzioni è uguale al limite ... ... Wikipedia

In analisi matematica, la regola di L'Hôpital è chiamata il metodo per trovare i limiti delle funzioni, che rivela le incertezze della forma 0/0 e. Il teorema che giustifica il metodo afferma che in determinate condizioni il limite del rapporto delle funzioni è uguale al limite ... ... Wikipedia

Una branca della matematica che studia le derivate ei Differentenziali di funzioni e le loro applicazioni allo studio delle funzioni. Il design di D. e. in una disciplina matematica indipendente associata ai nomi di I. Newton e G. Leibniz (seconda meta del 17 ... 그란데 백과사전 소비에티카, V.V. 이블레프. Il manuale delinea la teoria del calcolo diffenziale e integrale di funzioni di più variabili con esempi, problemi ed esercizi con risposte. Oltre alle tradizionali domande di analisi ...

Nella seguente: il rapporto delle funzioni f (x) e g (x), poiché x tende al punto a, è uguale al corrispondente limite del rapporto delle derivate di queste funzioni. In questo caso, il valore di g (a) non è uguale a zero, così come il valore della sua derivata in questo punto (g '(a)). Anche il limit g'(a). 모든 것의 무한한 가능성에 대한 정의. Quindi, puoi scrivere(vedi 그림 1):

La regola di L'Hôpital ci permette di eliminare ambiguità come zero per zero e 배당금 l'infinito per infinito (, [∞ / ∞] Se a livello delle prime derivate la questione non è ancora risolta, le derivate di ordine secondo o anche maggiore 도브레베로 에세레 우사토.

Esempio 1. Trova il limite come x ten a 0 del rapporto sin ^ 2 (3x) / tan (2x) ^ 2.
Qui f(x) = sin ^ 2(3x), g(x) = tg(2x) ^ 2.f '(x) = 2 3sin3xcos3x = 6sin3xcos3x, g'(x) = 4x / cos ^ 2(2x) ^ 2.lim (f '(x) / g'(x)) = lim (6sin3x / 4x), poiché cos (0) = 1. (6sin3x) '= 18cos3x, (4x)' = 4. Quindi(베디) 그림 2):

Esempio 2. Trova il limite all'infinito della frazione razionale (2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 1) / (x ^ 3 + 4x ^ 2 + 5x + 7). Cerchiamo il rapporto delle derivate 소수. 퀘스토 è (6x ^ 2 + 6x) / (3x ^ 2 + 8x + 5). 파생 상품 당 (12x + 6) / (6x + 8). Per il terzo, 12/6 = 2(vedi 그림 3).

Il resto delle incertezze, a prima vista, non può essere rivelato utilizzando la regola L'Hôpital, poiché non contengono relazioni di funzioni. Tuttavia, alcune trasformazioni algebriche estremamente semplici possono aiutare ad eliminarle. Innanzitutto, lo zero può essere moltiplicato per infinito. Qualsiasi funzione q (x) → 0 come x → a può essere riscritta come
q (x) = 1 / (1 / q (x)) e qui (1 / q (x)) →.

에스엠피오 3.
Trova il limite (vedi fig. 4)
questo caso, c'è un'in'incertezza pari a zero moltiplicata per infinito. Trasformando questa espressione, otterrai: xlnx = lnx / (1 / x), ovvero un rapporto della forma [∞-∞]. Applicando la regola di L'Hôpital, si ottiene il rapporto delle derivate (1 / x) / (- 1 / x2) = - x. Poiché x ten a zero, il limite di soluzione sarà la risposta: 0.

L'incertezza della forma [∞-∞], si rivela se intentiamo la diffenza di eventuali frazioni. Portando questa Differentenza a un denominatore comune, ottieni un certo rapporto di funzioni.

incertezze di tipo 0 ^ ∞, 1 ^ ∞, ∞ ^ 0 sorgono quando si calcolano i limiti delle funzioni di tipo p (x) ^ q (x). In questo caso, viene applicata una diffenziazione preliminare. Quindi il logaritmo del limite A desiderato 가정, la forma di un prodotto, possibilmente con un denominatore già pronto. In caso contrario, puoi utilizzare la tecnica dell'esempio 3. La cosa principale è non dimenticare di scrivere la risposta finale nella forma e ^ A (vedi 그림 5).

La derivata della funzione non cade molto lontano e, nel caso delle regole di L'Hôpital, cade esattamente nella stessa direzione della funzione originale. Questa circostanza aiuta a rivelare incertezze della forma 0/0 o ∞ / ∞ e alcune altre incertezze che sorgono durante il calcolo 제한 il rapporto tra Due funzioni Infinitysimali o infinitamente grandi. Il calcolo è notevolmente semplificato con questa regola (in effetti, due regole e note ad esse):

Come Mostra la Formula Sopra, quando si calcola il limite del rapporto di Due funzioni Infinitysime o infinitamente grandi, il limite del rapporto di Due funzioni può essere sostituito dal limite del loro rapporto 파생물 e quindi ottenere un certo risultato.

Passiamo a Formulazioni più 정확한 delle regole de L'Hôpital.

Regola di L'Hôpital per il caso del limit di due quantità Infinitysimali... Lascia che le funzioni NS(NS) 전자 NS(NS 취소... 고유한 알 푼토 취소 취소 derivata di una funzione NS(NS) 비 è uguale 0( NS"(NS 취소 sono ugali tra loro e ugali a zero:

.

Regola di L'Hôpital per il caso del limite di due quantità infinitamente grandi... Lascia che le funzioni NS(NS) 전자 NS(NS) qualche intorno del punto의 hanno derivate(cioè diffenziabili) 취소... 고유한 알 푼토 취소포소노 오 메노 아베레 파생어. Inoltre, in prossimità del punto 취소 derivata di una funzione NS(NS) 비 è uguale 0( NS"(NS) ≠ 0) e i limiti di queste funzioni in quanto x tende al valore della funzione nel punto 취소 sono ugali tra loro e ugali all'infinito:

.

Allora il limite del rapporto di queste funzioni è uguale al limite del rapporto delle loro derivate:

In altre parole, per incertezze della forma 0/0 o ∞ / ∞, il limite del rapporto di Due funzioni è uguale al limite del rapporto delle loro derivate, se quest'ultima esiste (finita, cioè uguale a un certo in numero, , cioè uguale all'infinito).

오세르바지오니.

1. Le regole di L'Hôpital si applicano anche quando le funzioni NS(NS) 전자 NS(NS) non sono definiti per NS = 취소.

2.Se, nel calcolo del limite del rapporto delle derivate delle funzioni NS(NS) 전자 NS(NS) di nuovo arriviamo a un'incertezza della forma 0/0 o ∞ / ∞, quindi le regole di L'Hôpital dovrebbero essere appplicate più volte (almeno Due volte).

3. Le regole di L'Hôpital sono applicabili anche quando l'argomento delle funzioni (x) non Tend a un numero finito 취소, e all'infinito( NS → ∞).

Le incertezze di altri tipi possono essere ridotte anche alle incertezze del tipo 0/0 e ∞ / ∞.

Divulgazione delle incertezze dei tipi "zero diviso zero" e "infinito diviso infinito"

에스엠피오 1.

NS= 2개의 리술타 in un'incertezza della forma 0/0. Pertanto, la derivata di ciascuna funzione e otteniamo

La derivata del polinomio è stata calcolata al numeratore al denominatore - derivata di una funzione logaritmica complessa... Prima dell'ultimo segno di uguale, il solito 제한, sostituendo due invece di x.

에스엠피오 2. Calcola il limite del rapporto di Due funzioni usando la regola di L'Hôpital:

솔루치오네. 소스투치오네 데이터 펀지온의미 NS

에스엠피오 3. Calcola il limite del rapporto di Due funzioni usando la regola di L'Hôpital:

솔루치오네. 데이터 펀치오네의 Sostituzione di un valore NS= 0 risulta in un'incertezza della forma 0/0. Pertanto, calcoliamo le derivate delle funzioni al numeratore al denominatore e otteniamo:

에스엠피오 4.칼콜라레

솔루지오네. La sostituzione del valore x uguale a più infinito nella funzione data porta ad un'incertezza della forma ∞ / ∞. Pertanto, applichiamo la regola di L'Hôpital:

논평. Passiamo agli esempi in cui la regola di L'Hôpital deve essere applicata Due volte, cioè per arrivare al limite dei rapporti delle derivate seconde, poiché il limite del rapporto delle derivate Prime è un'incertezza0 / .0 della forma

Applica tu stesso la regola di L'Hôpital e poi vedi la soluzione

Divulgazione delle incertezze della forma "0 볼트 인피니토"

에스엠피오 12.칼콜라레

.

솔루치오네. 노이 아비아모

Questo empio usa l'identità trigonometrica.

Divulgazione di incertezze dei tipi "zero alla potenza di zero", "infinito alla potenza di zero" e "uno alla potenza di infinito"

Le incertezze della forma, o sono solitamente ridotte alla forma 0/0 o ∞ / ∞ usando il logaritmo di una funzione della forma

Per calcolare il limite di un'espressione, si dovrebbe usare un'identità logaritmica, un caso speciale di cui è la proprietà logaritmica .

Utilizzando l'identità logaritmica e la proprietà di continuità della funzione (per andare oltre il segno limite), il limite dovrebbe essere calcolato come segue:

Separatamente, dovresti trovare il limite di espressione nell'esponente e costruire 이자형알 그라도 리스콘트라토.

에스엠피오 13.

솔루치오네. 노이 아비아모

.

.

에스엠피오 14. Calcola usando la regola di L'Hôpital

솔루치오네. 노이 아비아모

Calcoliamo il limite di espressione nell'esponente

.

.

에스엠피오 15. Calcola usando la regola di L'Hôpital

이스트루치오니

Il calcolo diretto dei limiti è associato, prima di tutto, ai limiti del razionale Qm (x) / Rn (x), dove Q e R sono polinomi. Se il limite viene calcolato come x → a (a è un numero), può sorgere incertezza, ad empio. eliminarlo 당, dividi numeratore denominatore per (x-a). Ripetere l'operazione fino alla scomparsa dell'incertezza. La Divisione dei polinomi avviene più o meno allo stesso modo della divisione dei numeri. Si basa sul fatto che divisione e moltiplicazione sono operazioni inverse. Un empio è mostrato in Fig. 1.

응용 프로그램 제한 노트. 그림의 La Formula per il primo limite notevole è mostrata. 2a. 응용 프로그램에 따라 porta l'espressione del tuo empio nella forma appropriata. Questo può semper essere fatto in modo puramente algebrico o per variazione di variabili. La cosa principale - non dimenticare che se il seno proviene da kx, anche il denominatore è kx. Un esempio è mostrato in Fig. Inoltre, se teniamo conto che tgx = sinx / cosx, cos0 = 1, allora, di conseguenza, appare(vedi Fig.2b). arcsin(sinx) = x e arctan(tgx) = x. Pertanto, ci sono altre due conseguenze (그림 2c. E 2d). È emersa una gamma abbastanza ampia di metodi.

Applicazione del Secondo limite notevole (vedi Fig.3a) 제한 사항은 제한 사항에 따라 제한됩니다. Per risolvere i problemi corrispondenti, è 충분한 trasformare la condizione in una struttura corrispondente al tipo di limite. Ricorda che quando elevi a un potere di un'espressione che è già in qualche potere, i loro indicatori si moltiplicano. Un empio è mostrato in Fig. 2.Applicare la sostituzione α = 1 / x e ricavare la conseguenza dal secondo limite notevole (그림 2b). Avendo logaritmato entrambe le parti di questo corollario in base a, si arriva al secondo corollario, compreso per a = e (vedi Fig.2c). Fai la sostituzione a ^ x-1 = y. 알로라 x = 로그(a)(1 + y). Poiché x는 0에 가깝고 ache y는 0에 가깝습니다. Si pone quindi anche una terza conseguenza (vedi Fig.2d).

무한대 등가 응용 프로그램 무한대 소노 등가 a x → a se il limite del loro rapporto α (x) / γ (x) è uguale a uno. 무한대 사용 가능, 무한대 작성 γ(x) = α(x) + o(α(x)). o (α (x)) è 무한 피콜로 알토 오딘마이너 디 α(x). 기준에 따라 (x → a) o (α(x)) / α(x) = 0 Il metodo consente di semplificare notevolmente il processo di Ricerca dei limiti, rendendolo più trasparente.

Immagina uno stormo di passeri con gli occhi sporgenti. 아니요, questo non è un tuono, non un uragano, e nemmeno un ragazzino con una fionda in mano. È solo che un'enorme, enorme palla di cannone vola in mezzo ai pulcini. 에사타멘테 르 레골 디 로피탈 affrontare i limiti in cui vi è incertezza o.

Le regole di L'Hôpital sono un metodo molto potente che permette di eliminare in modo Rapido ed efficace le incertezze indicator, non è un caso che un cliché stabile si trovi spesso nelle raccolte di problemi, sui test ", calolasui test , 논 우산도 라 레골라 디 로피탈". Il requisito evidenziato in grassetto può essere attribuito con la coscienza pulita a qualsiasi limite di lezioni 리미티. 에스엠피 디 솔루치오니, 리미티 메라빌리오시. 메토디 디 리솔루치오네 데이 리미티, 등가노테볼리, dove si incontra l'incertezza "da zero a zero" 또는 "da infinito a infinito". Anche se il compito è Formulato brevemente - "calcola i limiti", è implicitamente implicito che utilizzerai tutto ciò che desideri, ma non le regole di L'Hôpital.

Ci sono due regole in total e sono molto simili tra loro, sia nell'essenza che nel metodo di applicazione. 올트레 agli esempi diretti sul'argomento, studieremo anche materiale aggiuntivo che sarà utility nell'ulteriore studio dell'analisi matematica.

Immediatamente farò una riserva che le regole saranno date in una forma concisa "pratica", e se devi superare la teoria, ti consiglio di Farre riferimento al libro di testo per calcoli più rigorosi.

라 프리마 레골라 디 로피탈

고려 르 funzioni 체 무한 피콜로 ad un certo punto. Se c'è un limite alla loro relazione, allora per eliminare l'incertezza, puoi prendere 로 인한 파생물- dal 분자와 dal 분모. 큐에서: , 질문 è.

노타 : 제한적 지원, 제한적 적용 가능.

코사 세게 다 콴토 소프라?

per prima cosa, devi essere in grado di trovare 파생 상품, e meglio è - meglio è =)

두 번째 luogo에서 le derivate sono prese SEPARATAMENTE dal numeratore e SEPARATE dal denominatore. Si prega di non confondere con la regola per differentenziare il quoziente !!!

E, in terzo luogo, "X" può lottare ovunque, anche all'infinito, se solo c'è incertezza.

Torniamo all'Esempio 5 del primo articolo 수 제한, in cui si è ottenuto il seguente risultato:

La Prima regola di L'Hôpital si applica all'incertezza 0: 0:

Come puoi vedere, la diffenziazione del numeratore e del denominatore ci ha portato a una risposta di mezzo giro: abbiamo trovato du semplici derivate, le abbiamo sostituite con un "due" e si è scoperto che l'incertezza!

Non è raro quando le regole di L'Hôpital devono essere sequenza due o più volte (questo vale anche per la seconda regola). Esempio 2 lezione에 대한 Tiriamo fuori 수이 메라빌리오시 리미티:

두에 베이글 시 스탄노 라프레단도 디 누오보 술 레토 아 카스텔로. Applichiamo la regola di L'Hôpital:

Si prega di notare che nel primo passaggio viene preso il denominatore derivata di una funzione composta... Successivamente, eseguiamo una serie di semplificazioni intermedie, in particolare, eliminiamo il coseno, indicando che ten all'unità. L'incertezza non è stata eliminata, quindi applichiamo nuovamente la regola di L'Hôpital(seconda riga).

Ho scelto deliberatamente non l'empio più semplice in modo da poter condurre un piccolo autotest. Se non è del tutto chiaro come sono stati trovati 파생물, dovresti rafforzare la tua tecnica di Differentenziazione, se il focus con il coseno non è chiaro, torna a 리미티 메라빌리오시... Non vedo molto in Merito ai commenti passo passo, dal momento che ho già parlato di derivati ​​e limiti in modo 충분 요소 dettagliato. La novità dell'articolo risiede nelle regole stesse e in alcune soluzioni techniche.

Come già notato, nella maggior parte dei casi non è necessario utilizzare le regole di L'Hôpital, ma spesso è consigliabile utilizzarle per una verifica approssimativa della soluzione. Spesso, ma non semper. Quindi, ad empio, l'empio appena 고려 è molto più redditizio da verificare 메라비글리오스 등가물.

La Seconda regola di L'Hôpital

Il fratello 2 sta battletendo contro due to otto addormentati. 알로 스테소 모드:

Se c'è un limite alla relazione 무한대 그란데 al punto di funzioni :, quindi per eliminare l'incertezza, puoi prendere 정당한 파생 상품- SEPARARE dal 분자 e SEPARARE dal 분모. 큐에서: , 질문 è 디퍼렌치안도 분자 전자 분모, il valore del limite non cambia.

노타 : il limit deve esistere

Di nuovo, in vari esempi pratici il significato può essere diverso, 무한 압축. È Importante che ci sia incertezza.

Controlliamo l'Esempio # 3 델라 프리마 레지오네: ... Usiamo la seconda regola di L'Hôpital:

Non appena si parlerà di colossi, analizzeremo due limiti canonici:

에스엠피오 1

콜라 한정

Non è facile ottenere una risposta con i metodi "soliti", quindi, per svelare l'indeterminazione "da infinito a infinito", usiamo la regola di L'Hôpital:

코지, funzione lineare di ordine di crescita superiore al logaritmo con base maggiore di uno(기타.). Naturalmente, gradi più alti "trascina" tali logaritmi의 anche "x". Infatti, la funzione cresce piuttosto lentamente e la sua 오라리오и più piatto rispetto alla stessa "x".

에스엠피오 2

콜라 한정

Un altro colpo 친숙합니다. Al fine di eliminare l'ambiguità, utilizziamo la regola L'Hôpital, inoltre, Due volte di seguito:

Funzione esponenziale, con base maggiore di uno(기타.) Di un ordine di crescita Superiore a una funzione di potenza con un grado positivo.

제한 시밀리 시 인콘트라노 듀란테 스튜디오 컴플리토 델레 펀지오니, vale a dire, 콴도 시 트로바 아신토티 디 그라피시... Si notano anche in alcune attività su 테오리아 델라 확률... Ti consiglio di prendere nota dei Due esempi thinkati, questo è uno dei pochi casi in cui non c'è niente di meglio che diffenziare numeratore denominatore.

Più avanti nel testo, non distinguerò tra la prima e la seconda regola de L'Hôpital, ciò è stato fatto solo allo scopo di strutturare l'articolo. 일반적으로, dal mio punto di vista, è alquanto dannoso numerare inutilmente assiomi, teoremi, regole, proprietà matematiche, poiché frasi come "secondo il Corollario 3 al Teorema 19 ..." sono information solo particolaoambito di un ... un'altra fonte di informazione, lo stesso sarebbe "Corollario 2 e Teorema 3". Tali dichiarazioni sono formali e easyi solo per gli autori stessi. 이상, è meglio riferirsi all'essenza di un fatto matematico. L'eccezione sono i termini storicamente stabiliti, ad empio, 프리모 메라빌리오소 리미트영형 세컨드로 메라빌리오소 리미트.

Continuiamo a sviluppare un tema che ci è stato suggerito da un membro dell'Accademia delle scienze di Parigi, il Marchese Guillaume François de L'Hôpital. L'articolo acquisisce una colorazione pratica pronunciata e in un compito abbastanza comune richiede:

riscaldarci, affrontiamo un paio di piccoli passeri:

에스엠피오 3

Il limite può essere semplificato in anticipo eliminando il coseno, però rispetta la condizione e Differentenzia Immediateatamente numeratore e denominatore:

Nel processo stesso di trovare i derivati, non c'è nulla di non standard, quindi, nel denominatore, il solito 레골라 디 디퍼렌치오네라보리 .

레셈피오 사려라토 è 리졸토 에 도포 리미티 메라빌리오시, un caso simile è trattato alla fine dell'articolo sui limiti difficili.

에스엠피오 4

Calcola il limite con la regola di L'Hôpital

Questo è un empio per 무소속... 호 스케르자토 베네 =)

Una situazione tipica è quando, dopo la diffenziazione, si ottengono frazioni di tre o quattro piani:

에스엠피오 5

Calcola il limite usando la regola di L'Hôpital

라플리카치오네 시 프로포네 다 솔라 노트북 등가물, mail percorso è rigidamente predefinito della condizione:

Dopo la Differentenziazione, consiglio vivamente di sbarazzarsi della frazione a più piani e di fare le massime semplificazioni.... Naturalmente, gli Studenti più avanzati possono saltare l'ultimo passaggio e scrivere immediateatamente: , ma entro certi limiti anche gli studenti eccellenti si confonderanno.

에스엠피오 6

Calcola il limite usando la regola di L'Hôpital

에스엠피오 7

Calcola il limite usando la regola di L'Hôpital

Questi sono esempi per una soluzione fai-da-te. Nell'Esempio 7, nulla può essere semplificato, la frazione è troppo semplice dopo la diffenziazione. Ma nell'Esempio 8, dopo aver applicato la regola L'Hôpital, è altamente desiderabile sbarazzarsi della struttura a tre piani, poiché i calcoli non saranno i più 편의성. Soluzione completa e risposta alla fine del tutorial. 세 하이 디피콜타 - 타볼라 삼각법아이타레.

E le semplificazioni sono assolutamente necessary quando, dopo la diffenziazione, l'incertezza 논 엘리미나토.

에스엠피오 8

Calcola il limite usando la regola di L'Hôpital

안다레:

È interessante notare che l'incertezza iniziale dopo la prima diffenziazione si è trasformata in incertezza e la regola di L'Hôpital viene ulterior applicata con Calma. Notare anche come dopo ogni "avvicinamento" la frazione di quattro piani viene eliminata e le Costanti vengono estratte dal segno limite. Negli esempi più semplici, è più utility non sopportare le costanti, ma quando il limite è complesso, semplifichiamo tutto, tutto, tutto. L'insidia dell'empio risolto risiede anche nel fatto che per , a, quindi, durante l'eliminazione dei seni, non sorprende confondersi nei segni. Nella penultima riga, i seni non avrebbero potuto essere uccisi, ma l'empio è piuttosto difficile, perdonabile.

L'altro giorno mi sono imbattuto in un compito interessante:

에스엠피오 9

Ad essere onesti, dubitavo un po 'di quanto questo limite sarebbe stato uguale. 오세요 dimostrato sopra, la "x" è di un ordine di crescita superiore al logaritmo, ma "trascinerà" il cubo del logaritmo? Cerca di capire da solo chi vincerà.

Sì, le regole di L'Hôpital non sono solo sparre ai passeri da un cannone, ma anche un lavoro scrupoloso…

응용 프로그램에 따라 le regole di L'Hôpital, le incertezze della specie sono ridotte a bagel o otto stanchi.

La rappresaglia con incertezza è 토론 in dettaglio negli Esempi n. 9-13 델라 레지오네 메토디 디 리솔루치오네 데이 리미티... 동기 부여 형식에 따른 사전 계획:

에스엠피오 10

Calcola il limite di una funzione usando la regola di L'Hôpital

Nella prima fase, portiamo l'espressione a un denominatore comune, trasformando così l'incertezza in incertezza. E poi carichiamo la regola di L'Hôpital:

Qui, a proposito, è il caso in cui è inutile toccare un'espressione a quattro piani.

L'incertezza, inoltre, non-resiste a trasformarsi in o:

에스엠피오 11

Calcola il limite di una funzione usando la regola di L'Hôpital

Il limite qui è unilaterale e tali limiti sono già stati Discussi nel manuale 그래픽과 고유한 기능... ricorderete, grafico del logaritmo "classico" non esite a sinistra dell'asse, quindi possiamo avvicinarci allo zero solo da destra로 오세요.

Le regole di L'Hôpital per i limiti unilaterali funzionano, ma prima devi affrontare l'incertezza. Al primo passaggio, creiamo una frazione di tre piani, ottenendo l'incertezza, quindi la soluzione segue uno schema modello:

Dopo aver Differentenziato numeratore e denominatore, eliminiamo la frazione di quattro piani per semplificare. Di conseguenza, è stata disegnata l'incertezza. Ripetiamo il trucco: di nuovo creiamo la frazione di tre piani e applichiamo nuovamente la regola di L'Hôpital all'incertezza risultante:

조속히.

Si potrebbe tentare di ridurre il limite original original:

Ma, in primo luogo, la derivata nel denominatore è più difficile e, in secondo luogo, non ne uscirà nulla di buono.

코지, Prima di risolvere esempi simili, è necessario analizzare(verbalmente o su bozza) QUALE incertezza è più vantaggioso ridurre - "제로 제로" oa "무한대에서 인피니토".

A loro volta, compagni di bevute e compagni più esotici vengono portati alla luce. Il metodo di trasformazione è semplice e standard.