2 хувьсагчийн функцын дифференциалын геометр утга. Бүрэн дифференциал

$ E \\ дэд олонлог \\ mathbb (R) ^ (n) $. $ F $ байна гэж хэлсэн орон нутгийн дээд хэмжээ $ X_ (0) \\ цэг дээр E $, хэрэв $ x_ (0) $ цэгийн $ U $ хөрш байгаа бол бүх $ x \\ in U $ -ын тэгш бус байдал $ f \\ зүүн (x \\ баруун) \\ leqslant f \\ зүүн (x_ (0) \\ баруун) $.

Орон нутгийн дээд хэмжээг нэрлэдэг хатуу Хэрэв $ U $ орчныг сонговол $ x_ (0) $ -аас бусад $ x \\ in U $ -н хувьд $ f \\ зүүн (x \\ баруун)< f\left(x_{0}\right)$.

Тодорхойлолт
$ F $ нь $ E \\ subset \\ mathbb (R) ^ (n) $ олонлог дээрх бодит функц байг. $ F $ байна гэж хэлсэн орон нутгийн доод хэмжээ $ X_ (0) \\ цэг дээр E $, хэрэв $ x_ (0) $ цэгийн $ U $ хөрш байгаа бол $ x \\ in U $ -ын тэгш бус байдал $ f \\ left (x \\ right) \\ geqslant f \\ зүүн (x_ (0) \\ баруун) $.

$ U_ $ орчмыг $ x_ (0) $, $ f \\ зүүн (x \\ баруун)\u003e f \\ зүүн (x_ ( 0) \\ баруун) $.

Орон нутгийн экстремум нь орон нутгийн хамгийн бага ба хамгийн дээд түвшний ойлголтуудыг нэгтгэдэг.

Теорем (ялгагдах функцийн экстремумын зайлшгүй нөхцөл)
$ F $ нь $ E \\ subset \\ mathbb (R) ^ (n) $ олонлог дээрх бодит функц байг. Хэрэв $ x_ (0) \\ цэгийн Е $ -д $ f $ функц энэ цэг дээр локал экстремум байгаа бол $$ \\ text (d) f \\ left (x_ (0) \\ right) \u003d 0. $$ Тэгш байдал дифференциал нь бүгд тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. $$ \\ displaystyle \\ frac (\\ хэсэгчилсэн f) (\\ хэсэгчилсэн x_ (i)) \\ зүүн (x_ (0) \\ баруун) \u003d 0. $$

Нэг хэмжээст тохиолдолд энэ нь. Бид $ \\ phi \\ зүүн (t \\ баруун) \u003d f \\ зүүн (x_ (0) + th \\ баруун) $ гэж тэмдэглэнэ, энд $ h $ бол дурын вектор юм. $ \\ Phi $ функцийг үнэмлэхүй утга дахь $ t $ хангалттай бага утгад тодорхойлдог. Нэмж дурдахад $ \u200b\u200b(\\ phi) '\\ зүүн (t \\ баруун) \u003d \\ текст (d) f \\ зүүн (x_ (0) + th \\ баруун) h $ байна.
$ F $ нь x $ 0 $ цэг дээр хамгийн их байх ёстой. Тиймээс $ t \u003d 0 $ -ын $ \\ phi $ функц нь локал максимумтай байх ба Ферматын теоремоор $ (\\ phi) '\\ left (0 \\ right) \u003d 0 $ байна.
Тиймээс бид $ df \\ left (x_ (0) \\ right) \u003d 0 $, өөрөөр хэлбэл $ x_ (0) $ цэг дээр $ f $ функц тэгтэй тэнцүү $ h $ вектор дээр.

Тодорхойлолт
Дифференциал тэг байх цэгүүд, i.e. бүх хэсэгчилсэн деривативууд нь тэгтэй тэнцүү байгаа зүйлийг хөдөлгөөнгүй гэж нэрлэдэг. Чухал цэгүүд $ f $ функцийг $ f $ ялгаагүй, эсвэл тэгтэй тэнцүү цэгүүдийг нэрлэдэг. Хэрэв цэг нь хөдөлгөөнгүй бол энэ нь функц нь энэ үед экстремумтай байна гэсэн үг биш юм.

Жишээ 1.
$ F \\ зүүн (x, y \\ баруун) \u003d x ^ (3) + y ^ (3) $ байна. Дараа нь $ \\ displaystyle \\ frac (\\ хэсэгчилсэн f) (\\ хэсэгчилсэн x) \u003d 3 \\ cdot x ^ (2) $, $ \\ displaystyle \\ frac (\\ хэсэгчилсэн f) (\\ хэсэгчилсэн у) \u003d 3 \\ cdot y ^ (2) ) тул $ \\ зүүн (0,0 \\ баруун) $ нь хөдөлгөөнгүй цэг боловч функц нь энэ цэг дээр экстремумгүй болно. Үнэндээ $ f \\ зүүн (0,0 \\ баруун) \u003d 0 $, гэхдээ $ \\ зүүн (0,0 \\ баруун) $ цэгийн аль ч хөршид функц нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авдаг болохыг харахад хялбар байдаг.

Жишээ 2.
$ F \\ left (x, y \\ right) \u003d x ^ (2) - y ^ (2) $ функц нь суурин цэг болох эхлэлтэй боловч энэ цэг дээр экстремум байхгүй нь тодорхой байна.

Теорем (экстремумын хангалттай нөхцөл).
$ F $ функцийг $ E \\ дэд олонлог \\ mathbb (R) ^ (n) $ нээлттэй олонлог дээр хоёр удаа тасралтгүй ялгаж байг. $ X_ (0) \\ in E $ нь хөдөлгөөнгүй цэг, $$ \\ displaystyle Q_ (x_ (0)) \\ зүүн (h \\ баруун) \\ equiv \\ sum_ (i \u003d 1) ^ n \\ sum_ (j \u003d 1) ^ n \\ frac (\\ хэсэгчилсэн ^ (2) f) (\\ хэсэгчилсэн x_ (i) \\ хэсэгчилсэн x_ (j)) \\ зүүн (x_ (0) \\ баруун) h ^ (i) h ^ (j). $$ Дараа нь

1. хэрэв $ Q_ (x_ (0)) $ - бол $ x_ (0) $ цэг дээрх $ f $ функц нь локал экстремумтай, өөрөөр хэлбэл хэлбэр эерэг бол хамгийн бага, хэрэв хэлбэр нь сөрөг бол хамгийн их байх болно;
2. хэрэв $ Q_ (x_ (0)) $ квадрат хэлбэрийг тодорхойлоогүй бол $ x_ (0) $ цэг дээрх $ f $ функцэд экстремум байхгүй болно.

Тейлорын томъёоны дагуу өргөтгөлийг ашиглая (12.7 х 292). $ X_ (0) $ цэг дээрх эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн уламжлалууд нь тэгтэй тэнцүү тул $$ \\ displaystyle f \\ left (x_ (0) + h \\ right) −f \\ left (x_ (0) \\ right) \u003d \\ \\ зүүн (x_ (0) + \\ theta h \\ right) h ^ (i) h ^ (j), $$ хаана $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $, ба $ \\ epsilon \\ left (h \\ right) \\ rightarrow 0 $ for $ h \\ rightarrow 0 $, тэгвэл баруун тал нь хангалттай бага урттай $ h $ векторын хувьд эерэг байх болно.
Тиймээс бид $ x_ (0) $ цэгийн зарим тэгшитгэлд $ f \\ зүүн (x \\ баруун)\u003e f \\ зүүн (x_ (0) \\ баруун) $ тэгшитгэлгүй, зөвхөн $ x \\ neq x_) тэнцүү гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. (0) $ (бид $ x \u003d x_ (0) + h $ \\ right-ийг тавьдаг). Энэ нь $ x_ (0) $ цэг дээр функц нь орон нутгийн хатуу минимумтай байх тул бидний теоремын эхний хэсэг батлагдана гэсэн үг юм.
Одоо $ Q_ (x_ (0)) $ нь тодорхойлогдоогүй хэлбэр байна гэж бодъё. Дараа нь $ h_ (1) $, $ h_ (2) $ векторууд байх бөгөөд $ Q_ (x_ (0)) \\ left (h_ (1) \\ right) \u003d \\ lambda_ (1)\u003e 0 $, $ Q_ (x_ (0)) \\ зүүн (h_ (2) \\ баруун) \u003d \\ lambda_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Дараа нь бид $$ f \\ зүүн (x_ (0) + th_ (1) \\ баруун) −f \\ зүүн (x_ (0) \\ баруун) \u003d \\ frac (1) (2) \\ зүүн [t ^ (2) \\ зүүн [\\ lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) \\ epsilon \\ left (th_ (1) \\ right) \\ right). $$ Хангалттай жижиг $ t\u003e 0 $ бол баруун тал эерэг байна. $ X_ (0) $ цэгийн аль ч хэсэгт $ f $ функц нь $ f \\ left (x_ (0) \\ right) $ -аас их утгыг $ f \\ left (x \\ right) $ гэсэн утгыг авна гэсэн үг юм.
Үүнтэй адилаар, $ x_ (0) $ цэгийн аль ч хэсэгт $ f $ функц нь $ f \\ left (x_ (0) \\ right) $ -аас бага утгыг авдаг. Энэ нь өмнөхтэй хамт $ x_ (0) $ цэг дээр $ f $ функцэд экстремум байхгүй гэсэн үг юм.

$ \\ Зүүн (x_ (0), y_ (0) \\ right) $ цэгийн зарим хөршид тодорхойлогдсон хоёр хувьсагчийн $ f \\ left (x, y \\ right) $ функцын хувьд энэ теоремийн онцгой тохиолдлыг авч үзье. эхний ба хоёрдугаар тушаалын хэсэгчилсэн деривативууд. $ \\ Зүүн (x_ (0), y_ (0) \\ баруун) $ нь хөдөлгөөнгүй цэг бөгөөд $$ \\ displaystyle a_ (11) \u003d \\ frac (\\ хэсэгчилсэн ^ (2) f) (\\ хэсэгчилсэн x "гэж тэмдэглэе). ^ (2)) \\ зүүн (x_ (0), y_ (0) \\ баруун), a_ (12) \u003d \\ frac (\\ хэсэгчилсэн ^ (2) f) (\\ хэсэгчилсэн x \\ хэсэгчилсэн y) \\ зүүн (x_ ( 0), y_ (0) \\ баруун), a_ (22) \u003d \\ frac (\\ хэсэгчилсэн ^ (2) f) (\\ хэсэгчилсэн y ^ (2)) \\ зүүн (x_ (0), y_ (0) \\ баруун ). $$ Дараа нь өмнөх теорем нь дараах хэлбэрийг авна.

Теорем
$ \\ Delta \u003d a_ (11) \\ cdot a_ (22) - a_ (12) ^ 2 $ байна. Дараа нь:

1. хэрэв $ \\ Delta\u003e 0 $ бол $ f $ функц нь $ \\ зүүн (x_ (0), y_ (0) \\ right) $ цэг дээр локал экстремумтай байх ба $ a_ (11)\u003e 0 $ байх ёстой. , хэрэв $ a_ (11)<0$;
2. хэрэв $ \\ Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Олон хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох алгоритм:

1. Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олох;
2. Бүх хөдөлгөөнгүй цэгүүдээс 2-р эрэмбийн дифференциалыг ол
3. Хэд хэдэн хувьсагчийн функцын экстремумд хангалттай нөхцлийг ашиглан бид хөдөлгөөнгүй цэг бүрт хоёр дахь эрэмбийн дифференциалыг авч үзье.

1. $ F \\ left (x, y \\ right) \u003d x ^ (3) + 8 \\ cdot y ^ (3) + 18 \\ cdot x - 30 \\ cdot y $ гэсэн экстремумын функцийг шалгана уу.
   Шийдвэр

   1-р эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олоорой: $$ \\ displaystyle \\ frac (\\ хэсэгчилсэн f) (\\ хэсэгчилсэн x) \u003d 3 \\ cdot x ^ (2) - 6 \\ cdot y; f) (\\ хэсэгчилсэн y) \u003d 24 \\ cdot y ^ (2) - 6 \\ cdot х. $$ Системийг шийдэж: $$ \\ displaystyle \\ begin (case) \\ frac (\\ хэсэгчилсэн f) (\\ хэсэгчилсэн x) \u003d 0 \\\\\\ frac (\\ хэсэгчилсэн f) (\\ хэсэгчилсэн у) \u003d 0 \\ төгсгөл (тохиолдол) \\ Rightarrow \\ эхлэх (тохиолдол) 3 \\ cdot x ^ (2) - 6 \\ cdot y \u003d 0 \\\\ 24 \\ cdot y ^ (2) - 6 \\ cdot x \u003d 0 \\ end (case) \\ Rightarrow \\ begin (case) x ^ (2) - 2 \\ cdot y \u003d 0 \\\\ 4 \\ cdot y ^ (2) - x \u003d 0 \\ end (case) $$ 2-р тэгшитгэлээс $ x \u003d 4 \\ cdot y ^ (2) $ - 1-р тэгшитгэл дэх орлуулагчийг илэрхийлнэ үү: $$ \\ displaystyle \\ left (4 \\ cdot y ^ (2) \\ right ) ^ (2) -2 \\ cdot y \u003d 0 $$ $$ 16 \\ cdot y ^ (4) - 2 \\ cdot y \u003d 0 $$ $$ 8 \\ cdot y ^ (4) - y \u003d 0 $$ $$ y \\ зүүн (8 \\ cdot y ^ (3) -1 \\ баруун) \u003d 0 $$ Үүний үр дүнд 2 хөдөлгөөнгүй цэгийг авна.
   1) $ y \u003d 0 \\ Rightarrow x \u003d 0, M_ (1) \u003d \\ зүүн (0, 0 \\ баруун) $;
   2) $ \\ displaystyle 8 \\ cdot y ^ (3) -1 \u003d 0 \\ Rightarrow y ^ (3) \u003d \\ frac (1) (8) \\ Rightarrow y \u003d \\ frac (1) (2) \\ Rightarrow x \u003d 1 , M_ (2) \u003d \\ зүүн (\\ frac (1) (2), 1 \\ баруун) $
   Экстремумын хангалттай нөхцлийн биелэлтийг шалгаж үзье.
   $$ \\ displaystyle \\ frac (\\ хэсэгчилсэн ^ (2) f) (\\ хэсэгчилсэн x ^ (2)) \u003d 6 \\ cdot x; \\ frac (\\ хэсэгчилсэн ^ (2) f) (\\ хэсэгчилсэн x \\ хэсэгчилсэн у) \u003d - 6; \\ frac (\\ хэсэгчилсэн ^ (2) f) (\\ хэсэгчилсэн y ^ (2)) \u003d 48 \\ cdot y $$
   1) $ M_ (1) \u003d \\ зүүн (0,0 \\ баруун) $ цэгийн хувьд:
   $$ \\ displaystyle A_ (1) \u003d \\ frac (\\ хэсэгчилсэн ^ (2) f) (\\ хэсэгчилсэн x ^ (2)) \\ зүүн (0,0 \\ баруун) \u003d 0; B_ (1) \u003d \\ frac (\\ хэсэгчилсэн ^ (2) f) (\\ хэсэгчилсэн x \\ хэсэгчилсэн у) \\ зүүн (0,0 \\ баруун) \u003d - 6; C_ (1) \u003d \\ frac (\\ хэсэгчилсэн ^ (2) f) (\\ хэсэгчилсэн y ^ (2)) \\ зүүн (0,0 \\ баруун) \u003d 0; $$
   $ A_ (1) \\ cdot B_ (1) - C_ (1) ^ (2) \u003d -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) $ M_ (2) $ цэгийн хувьд:
   $$ \\ displaystyle A_ (2) \u003d \\ frac (\\ хэсэгчилсэн ^ (2) f) (\\ хэсэгчилсэн x ^ (2)) \\ зүүн (1, \\ frac (1) (2) \\ баруун) \u003d 6; B_ (2) \u003d \\ frac (\\ хэсэгчилсэн ^ (2) f) (\\ хэсэгчилсэн x \\ хэсэгчилсэн у) \\ зүүн (1, \\ frac (1) (2) \\ баруун) \u003d - 6; C_ (2) \u003d \\ frac (\\ хэсэгчилсэн ^ (2) f) (\\ хэсэгчилсэн y ^ (2)) \\ зүүн (1, \\ frac (1) (2) \\ баруун) \u003d 24; $$
   $ A_ (2) \\ cdot B_ (2) - C_ (2) ^ (2) \u003d 108\u003e 0 $, тиймээс $ M_ (2) $ цэг дээр экстремум байгаа бөгөөд $ A_ (2)\u003e 0 $, тэгвэл энэ бол хамгийн бага хэмжээ юм.
   Хариулт: $ \\ displaystyle M_ (2) \\ left (1, \\ frac (1) (2) \\ right) $ цэг нь $ f $ функцийн хамгийн бага цэг юм.
   

2. $ F \u003d y ^ (2) + 2 \\ cdot x \\ cdot y - 4 \\ cdot x - 2 \\ cdot y - 3 $ экстремумын функцийг шалгана уу.
   Шийдвэр

   Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олох: $$ \\ displaystyle \\ frac (\\ хэсэгчилсэн f) (\\ хэсэгчилсэн x) \u003d 2 \\ cdot y - 4; $$ $$ \\ displaystyle \\ frac (\\ хэсэгчилсэн f) (\\ хэсэгчилсэн у) \u003d 2 \\ cdot y + 2 \\ cdot x - 2. $$
   Системийг зохиож шийдье: $$ \\ displaystyle \\ begin (case) \\ frac (\\ хэсэгчилсэн f) (\\ хэсэгчилсэн x) \u003d 0 \\\\\\ frac (\\ хэсэгчилсэн f) (\\ хэсэгчилсэн у) \u003d 0 \\ төгсгөл (тохиолдол)) 1 \\ end (case) \\ Rightarrow x \u003d -1 $$
   $ M_ (0) \\ зүүн (-1, 2 \\ баруун) $ бол хөдөлгөөнгүй цэг юм.
   Экстремумын хангалттай нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгаж үзье: $$ \\ displaystyle A \u003d \\ frac (\\ хэсэгчилсэн ^ (2) f) (\\ хэсэгчилсэн x ^ (2)) \\ зүүн (-1,2 \\ баруун) \u003d 0; B \u003d \\ frac (\\ хэсэгчилсэн ^ (2) f) (\\ хэсэгчилсэн x \\ хэсэгчилсэн у) \\ зүүн (-1,2 \\ баруун) \u003d 2; C \u003d \\ frac (\\ хэсэгчилсэн ^ (2) f) (\\ хэсэгчилсэн y ^ (2)) \\ зүүн (-1,2 \\ баруун) \u003d 2; $$
   $ A \\ cdot B - C ^ (2) \u003d -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Хариулт: туйлшрал байхгүй.
   

Хугацааны хязгаар: 0

Навигаци (зөвхөн ажлын дугаар)

4 асуултын 0 нь бөглөгдсөн

Мэдээлэл

Дөнгөж сая уншсан “Олон хувьсагчийн функцын орон нутгийн экстрема” сэдвийн талаархи мэдлэгээ шалгахын тулд энэхүү шалгалтыг аваарай.

Та өмнө нь шалгалтаа аль хэдийн өгсөн байсан. Та үүнийг дахин эхлүүлэх боломжгүй.

Туршилт ачаалж байна ...

Шалгалтыг эхлүүлэхийн тулд та нэвтрэх эсвэл бүртгүүлэх шаардлагатай.

Үүнийг эхлүүлэхийн тулд та дараахь тестүүдийг бөглөх ёстой.

үр дүн

Зөв хариулт: 4-ийн 0

Чиний цаг:

Цаг дууслаа

Та 0 онооноос 0 оноо авлаа (0)

Таны үр дүн тэргүүлэгчдийн самбарт бичигдсэн байна

1. Хариултын хамт
2. Үзсэн гэж тэмдэглэсэн

Даалгавар 4-ийн 1

1 .

Оноо: 1

$ F $ функцийг экстремийн хувьд шалгана уу: $ f \u003d e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 \\ cdot y ^ (2)) $

Зөв


Буруу


1. 4-ийн 2-р асуулт

   2 .

   Оноо: 1

   $ F \u003d 4 + \\ sqrt ((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2)) $ функц үү?

   Зөв

ҮНДСЭН ХУВИЙН ҮЙЛ АЖИЛЛАГААНЫ ЯЛГААН ТООЦОО.

Үндсэн ойлголт, тодорхойлолт.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийг авч үзэхдээ бид хоёр хувьсагчийн функцын нарийвчилсан тодорхойлолтыг хязгаарлах болно бүх үр дүн нь дурын тооны хувьсагчийн функцэд хүчинтэй байх болно.

Хэрэв зарим дүрмийн дагуу зарим олонлогийн бие биенээсээ хараат бус хосууд (x, y) нь z хувьсагчийн нэг буюу хэд хэдэн утгатай холбоотой байвал z хувьсагчийг дуудна. хоёр хувьсагчийн функц.

Хэрэв хос тоонууд (x, y) нь нэг z-тэй тохирч байвал функцийг дуудна хоёрдмол утгагүй, хэрэв нэгээс илүү бол - хоёрдмол утгатай.

Хамрах хүрээ z функцийг z функц байдаг хосуудын цуглуулга (x, y) гэж нэрлэдэг.

Ойролцоо цэгМ радиусын М 0 (x 0, y 0) нь нөхцлийг хангасан бүх цэгүүдийн (x, y) олонлог юм.

А тоог дууддаг хязгаар f (x, y) функц нь M (x, y) цэгийн хувьд M 0 (x 0, y 0) цэг рүү чиглэнэ, хэрэв e\u003e 0 тоо бүрийн хувьд r\u003e 0 тоо байх тул M (x, y) нөхцөл

нөхцөл бас үнэн .

Тэд бичдэг:

М 0 (х 0, у 0) цэгийг f (x, y) функцын тодорхойлолтын мужид хамааруулъя. Дараа нь z \u003d f (x, y) функц дуудагдана Үргэлжилсэн М 0 цэг дээр (x 0, y 0), хэрэв

(1)

энд M (x, y) цэг дур мэдэн M 0 (x 0, y 0) цэг рүү чиглэнэ.

Хэрэв нөхцөл (1) аль ч үед хангагдаагүй бол энэ цэгийг дуудна тасрах цэгf (x, y) функц. Энэ нь дараах тохиолдолд байж болно:

1) z \u003d f (x, y) функцийг M 0 (x 0, y 0) цэг дээр тодорхойлоогүй болно.

2) Хязгаарлалт байхгүй.

3) Энэ хязгаар байгаа боловч f (x 0, y 0) -тэй тэнцүү биш байна.

Үргэлжилсэн байдалтай холбоотой хэд хэдэн хувьсагчийн функцын шинж чанарууд.

Хөрөнгө. Хэрэв f (x, y, ...) функцийг хаалттай, хязгаарлагдсан D домэйнд тодорхойлж, тасралтгүй хийвэл энэ домэйнд дор хаяж нэг цэг байх болно

N (x 0, y 0, ...), үлдсэн цэгүүд нь тэгш бус байдлыг хангах болно

f (x 0, y 0, ...) ³ f (x, y, ...)

мөн N 1 цэг (x 01, y 01, ...), бусад бүх цэгүүдийн хувьд тэгш бус байдал

f (x 01, y 01, ...) £ f (x, y, ...)

дараа нь f (x 0, y 0, ...) \u003d M - хамгийн том үнэ цэнэ функцууд ба f (x 01, y 01, ...) \u003d m - хамгийн бага үнэ цэнэd домэйн дэх f (x, y, ...) функц.

Хаалттай, хязгаарлагдсан D домэйны тасралтгүй функц нь дор хаяж нэг удаа хамгийн бага, нэг удаа хамгийн бага утгад хүрдэг.

Хөрөнгө. Хэрэв f (x, y, ...) функц нь хаалттай хязгаарлагдсан D домэйнд тодорхойлогдох ба тасралтгүй байх ба M ба m нь тус тусын функцын хамгийн том ба хамгийн бага утга байвал m Î цэгийн хувьд цэг байх болно.

F 0 (x 0, y 0,…) \u003d m байхаар N 0 (x 0, y 0,…).

Энгийнээр хэлбэл тасралтгүй функц нь D домэйны M ба m хоорондох бүх завсрын утгыг авдаг. Энэ шинж чанарын үр дагавар нь хэрэв M ба m тоонууд эсрэг тэмдгүүд байвал D домэйнд функц дор хаяж нэг удаа алга болно гэсэн дүгнэлт байж болно.

Хөрөнгө. F (x, y, ...) функц, хаалттай хязгаарлагдсан D домэйнд тасралтгүй, хязгаарлагдмал Хэрэв энэ бүсэд K тоо байгаа бол тухайн бүс нутгийн бүх цэгүүдийн хувьд тэгш бус байдал үүсэх болно .

Хөрөнгө. Хэрэв f (x, y, ...) функцийг хязгаарлагдмал хязгаарлагдмал D домэйнд тодорхойлж, тасралтгүй хийвэл энэ нь жигд тасралтгүй энэ хэсэгт, өөрөөр хэлбэл аливаа эерэг e тоонд D\u003e 0 тоо байх бөгөөд ингэснээр D-ээс бага зайд байрлах мужийн аль ч хоёр цэг (x 1, y 1) ба (x 2, y 2) тэнцвэргүй байх болно.

2. Хэсэгчилсэн дериватив. Дээд эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд.

Z \u003d f (x, y) функцийг зарим домэйнд өгье. M (x, y) дурын цэгийг аваад Dx өсөлтийг x хувьсагч дээр тохируулна уу. Дараа нь D x z \u003d f (x + Dx, y) - f (x, y) хэмжигдэхүүнийг дуудна функцын хэсэгчилсэн өсөлт x.

Та бичиж болно

.

Дараа нь дуудсан хэсэгчилсэн деривативz \u003d f (x, y) функц x-д.

Зориулалт:

Y-тэй холбоотой функцын хэсэгчилсэн деривативыг мөн адил тодорхойлсон болно.

Геометрийн утгахэсэгчилсэн дериватив (жишээлбэл) гадаргуугийн хэсэгт y \u003d y 0 хавтгайгаар N 0 (x 0, y 0, z 0) цэг дээр зурсан шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенс юм.

Хэрэв f (x, y) функцийг зарим D домэйнд тодорхойлсон бол түүний хэсэгчилсэн деривативууд мөн ижил муж эсвэл түүний хэсэгт тодорхойлогдоно.

Бид эдгээр деривативуудыг нэрлэх болно эхний дарааллын хэсэгчилсэн деривативууд.

Эдгээр функцын деривативууд байх болно хоёр дахь дарааллын хэсэгчилсэн деривативууд.

Олсон тэгш байдлыг үргэлжлүүлэн ялгаж, бид илүү өндөр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативыг олж авдаг.

Маягтын хэсэгчилсэн деривативууд гэх мэт. гэж нэрлэдэг холимог дериватив.

Теорем. Хэрэв f (x, y) функц ба түүний хэсэгчилсэн деривативуудыг M (x, y) цэг ба түүний хөрш цэг дээр тодорхойлж, тасралтгүй тодорхойлсон бол хамаарал нь үнэн болно.

Тэд. дээд эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд нь ялгах дарааллаас хамаардаггүй.

Өндөр захиалгын ялгааг ижил төстэй тодорхойлдог.

…………………

Энд n нь деривативын бэлгэдлийн зэрэг бөгөөд илэрхийлэлийг хаалтанд өсгөсний дараа бодит зэрэг нь солигдоно.

Бүрэн дифференциал. Геометрийн утга бүрэн дифференциал. Шүргэх хавтгай ба гадаргуу хэвийн.

Илэрхийлэлийг дууддаг бүрэн өсөлтфункцууд f (x, y) (x, y) цэг дээр, 1 ба a 2 нь Dх ® 0 ба Dу ® 0 гэсэн хязгааргүй функцууд юм.

Бүрэн дифференциалz \u003d f (x, y) функцийг (x, y) цэг дээр Dz функцийн өсөлтийн Dx ба Dy-д хамаарах үндсэн шугаман хэсэг гэж нэрлэдэг.

Дурын тооны хувьсагчийн функцын хувьд:

Жишээ 3.1. Олох бүрэн дифференциал функцууд.

ТодорхойлолтF (x, y) функцын хувьд Dz \u003d f (x + Dx, y + Dy) - f (x, y) илэрхийлэлийг нэрлэдэг. бүрэн өсөлт .

Хэрэв f (x, y) функц нь тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай бол

Дараа нь бид Лагранжийн теоремыг ашиглана

Учир нь хэсэгчилсэн деривативууд тасралтгүй үргэлжлэх тул бид тэгшитгэлийг бичиж болно:

Тодорхойлолт. Илэрхийлэлийг дууддаг бүрэн өсөлтфункцууд f (x, y) (x, y) цэг дээр, 1 ба a 2 нь Dх ® 0 ба Dу ® 0 гэсэн хязгааргүй функцууд юм.

Тодорхойлолт: Бүрэн дифференциалz \u003d f (x, y) функцийг (x, y) цэг дээр Dz функцийн өсөлтийн Dx ба Dy-д хамаарах үндсэн шугаман гэж нэрлэдэг.

Дурын тооны хувьсагчийн функцын хувьд:

Жишээ... Функцийн нийт дифференциалыг ол.

Жишээ. Функцийн нийт дифференциалыг олох

Нийт дифференциалын геометрийн утга.

Шүргэх хавтгай ба гадаргуу хэвийн.

хэвийн

шүргэгч онгоц

N ба N 0 өгөгдсөн гадаргуугийн цэгүүд байг. NN 0 шулуун шугамыг зурцгаая. N 0 цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайг нэрлэдэг шүргэгч онгоц секундын NN 0 ба энэ хавтгайн хоорондох өнцөг тэг рүү, NN 0 зай тэг болох хандлагатай байвал гадаргуу руу.

Тодорхойлолт. Хэвийнn 0 цэг дээрх гадаргуу руу энэ гадаргуутай шүргэх хавтгайд перпендикуляр N 0 цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам гэж нэрлэдэг.

Аль ч үед гадаргуу нь зөвхөн нэг шүргэгч хавтгайтай, эсвэл огт байхгүй байдаг.

Хэрэв гадаргууг z \u003d f (x, y) тэгшитгэлээр өгвөл f (x, y) нь М 0 (х 0, у 0) цэг дээр ялгагдах функц бөгөөд N 0 цэг дээрх шүргэгч хавтгай (x 0, y 0, ( x 0, y 0)) байгаа ба тэгшитгэлтэй байна:

Энэ цэг дээрх гадаргуугийн хэвийн тэгшитгэл нь:

Геометрийн утга f (x, y) хоёр хувьсагчийн функцын нийт дифференциал (x 0, y 0) цэг нь (x 0, y 0) цэгээс (x 0 + Dx) цэг рүү шилжих үед шүргэгч хавтгайн гадаргуугийн хэрэглээний (координат z) өсөлт юм. y 0 + Dy).

Таны харж байгаагаар хоёр хувьсагчийн функцын нийт дифференциалын геометр утга нь нэг хувьсагчийн функцын дифференциал геометрийн утгын орон зайн аналог юм.

Жишээ Шүргэх хавтгай ба гадаргуу дээр хэвийн тэгшитгэлийг ол

M цэг дээр (1, 1, 1).

Шүргэх хавтгай тэгшитгэл:

Ердийн тэгшитгэл:

Дээд эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд.

Орон зайд X олонлог байг. Энэ олонлогийн цэг бүрийг энэ цэгийн координат болох тооны багцаар тодорхойлно. N хувьсагчийн функц нь цэг бүр бол X олонлог дээр өгөгдсөн гэж бид хэлдэг тодорхой хуулийн дагуу эгнээнд тавьдаг ганц z, өөрөөр хэлбэл .

Жишээ: х 1, х 2, х 3 - усан сангийн урт, өргөн, гүнийг зөвшөөрнө үү. Дараа нь бид усан сангийн гадаргууг олдог.

N-хувьсах функц цэг дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг хэрэв энэ цэг дээрх функцын хязгаар нь хязгаарын цэг дээрх функцийн утгатай тэнцүү бол, i.e. .

Тодорхойлолт: хэсэгчилсэн дериватив функц хувьсагчийн хувьд бусад бүх хувьсагчид тогтмол байх нөхцлөөр тооцоолсон хувьсагчийн талаар z функцын дериватив гэж нэрлэдэг.

Хувийн дериватив.

Жишээ

Хоёр хувьсагчийн функцын хувьд хоёрдахь дарааллын дөрвөн хэсэгчилсэн деривативыг танилцуулж болно

1., уншина уу: хоёр z, хоёр удаа.

Теорем холимог деривативууд, тэдгээр нь тасралтгүй үргэлжлэх тул деривативуудыг тооцоолох дарааллаас хамаардаггүй. Энэ нь дурын эрэмбийн холимог уламжлал болон хэдэн тооны хувьсагчийн функцэд хамаатай.

Хэрэв f (x, y) функцийг зарим D домэйнд тодорхойлсон бол түүний хэсэгчилсэн деривативууд мөн ижил муж эсвэл түүний хэсэгт тодорхойлогдоно.

Бид эдгээр деривативуудыг нэрлэх болно эхний дарааллын хэсэгчилсэн деривативууд.

Эдгээр функцын деривативууд байх болно хоёр дахь дарааллын хэсэгчилсэн деривативууд.

Олсон тэгш байдлыг үргэлжлүүлэн ялгаж, бид илүү өндөр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативыг олж авдаг.

Тодорхойлолт Маягтын хэсэгчилсэн деривативууд гэх мэт. гэж нэрлэдэг холимог дериватив.

ТеоремХэрэв f (x, y) функц ба түүний хэсэгчилсэн деривативуудыг M (x, y) цэг ба түүний хөрш цэг дээр тодорхойлж, тасралтгүй тодорхойлсон бол хамаарал нь үнэн болно.

дараа нь М 0 цэгийг дуудна хамгийн бага цэг.

Теорем (экстремумын зайлшгүй нөхцөл) Хэрэв (x 0, y 0) цэг дээрх f (x, y) функц экстремумтай бол энэ үед түүний эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн уламжлалын аль аль нь тэгтэй тэнцүү эсвэл тэдгээрийн дор хаяж нэг нь байхгүй болно.

Энэ цэгийг (x 0, y 0) дуудах болно чухал цэг.

Теорем (экстремумын хангалттай нөхцөл) Критик цэгийн ойролцоо (x 0, y 0) функц f (x, y) хоёр дахь дарааллыг багтаасан тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай гэж үзье. Энэ илэрхийллийг авч үзье.

1) Хэрэв D (x 0, y 0)\u003e 0 бол (x 0, y 0) цэг дээр f (x, y) функц нь экстремумтай байвал

2) - 0, дараа нь (x 0, y 0) цэг дээр f (x, y) функц экстремумгүй болно

Хэрэв D \u003d 0 бол экстремум байгаа эсэх талаар дүгнэлт хийх боломжгүй юм.

(X 0, y 0) цэг дээрх хоёр хувьсагчийн f (x, y) функцийн нийт дифференциалын геометрийн утга нь (x 0, y 0) цэгээс (x 0 +) цэг рүү шилжих үед шүргэгч хавтгайгийн гадаргуугийн хэрэглээний (координат z) өсөлт юм. Dx, y 0 + Dy).

Дээд эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд. :Хэрэв f (x, y) функцийг зарим D домэйнд тодорхойлсон бол түүний хэсэгчилсэн деривативууд мөн ижил муж эсвэл түүний хэсэгт тодорхойлогдоно. Бид эдгээр деривативуудыг эхний дарааллын хэсэгчилсэн деривативууд гэж нэрлэнэ.

Эдгээр функцын деривативууд нь хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд байх болно.

Олсон тэгш байдлыг үргэлжлүүлэн ялгаж, бид илүү өндөр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативыг олж авдаг. Тодорхойлолт. Маягтын хэсэгчилсэн деривативууд гэх мэт. холимог дериватив гэж нэрлэдэг. Шварцын теорем:

Хэрэв f.m.s.-ийн дээд тушаалын хэсэгчилсэн деривативууд. тасралтгүй, дараа нь ижил дараалалтай холимог деривативууд нь зөвхөн ялгах дарааллаар \u003d өөр хоорондоо ялгаатай байна.

Энд n нь деривативын бэлгэдлийн зэрэг бөгөөд илэрхийлэлийг хаалтанд өсгөсний дараа бодит зэрэг нь солигдоно.

14. Шүргэх хавтгайн тэгшитгэл ба гадаргуу дээрх хэвийн!

N ба N 0 өгөгдсөн гадаргуугийн цэгүүд байг. NN 0 шулуун шугамыг зурцгаая. N 0 цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайг нэрлэдэг шүргэгч онгоц секундын NN 0 ба энэ хавтгайн хоорондох өнцөг тэг рүү, NN 0 зай тэг болох хандлагатай байвал гадаргуу руу.

Тодорхойлолт. Хэвийнn 0 цэг дээрх гадаргуу руу энэ гадаргуутай шүргэх хавтгайд перпендикуляр N 0 цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам гэж нэрлэдэг.

Аль ч үед гадаргуу нь зөвхөн нэг шүргэгч хавтгайтай, эсвэл огт байхгүй байдаг.

Хэрэв гадаргууг z \u003d f (x, y) тэгшитгэлээр өгсөн бол f (x, y) нь M 0 (x 0, y 0) цэг дээр ялгагдах функц юм. шүргэгч онгоц цэг дээр N 0 (x 0, y 0, (x 0, y 0)) байгаа бөгөөд тэгшитгэлтэй байна:

Энэ цэг дээрх гадаргуугийн хэвийн тэгшитгэл:

Геометрийн утга f (x, y) хоёр хувьсагчийн функцын нийт дифференциал (x 0, y 0) цэг нь (x 0, y 0) цэгээс (x 0 + Dx) цэг рүү шилжих үед шүргэгч хавтгайн гадаргуугийн хэрэглээний (координат z) өсөлт юм. y 0 + Dy).

Таны харж байгаагаар хоёр хувьсагчийн функцын нийт дифференциалын геометр утга нь нэг хувьсагчийн функцын дифференциал геометрийн утгын орон зайн аналог юм.

16. Скаляр талбар ба түүний шинж чанарууд. Ур-н шугамууд, чиглэл дэх деривативууд, скаляр талбайн градиент.

Хэрэв орон зайн цэг бүрт скаляр хэмжигдэхүүн хуваарилагдсан бол скаляр талбар гарч ирнэ (жишээлбэл, температурын орон, цахилгаан потенциалын орон). Хэрэв декартын координатыг оруулсан бол мөн эсвэл гэж тэмдэглэнэ Төв бол талбар тэгш байж болно (бөмбөрцөг хэлбэртэй) бол цилиндр хэлбэртэй бол

Түвшин гадаргуу ба шугам: Скаляр талбайн шинж чанарыг тэгш гадаргуу ашиглан дүрслэх боломжтой. Эдгээр нь тогтмол утга авдаг орон зайн гадаргуу юм. Тэдний тэгшитгэл: ... Хавтгай скаляр талбарт түвшний шугамууд нь талбар нь тогтмол утгыг авдаг муруй юм. Зарим тохиолдолд тэгш түвшний шугамууд цэгүүд рүү, гадаргууг тэгш өнцөгт болон муруй болгож тэгшлэх боломжтой.

Чиглэлийн үүсмэл ба скаляр талбайн градиент:

Координаттай нэгжийн векторыг скаляр талбар болгоё. Чиглэлийн дериватив нь тухайн чиглэл дэх талбайн өөрчлөлтийг тодорхойлж, томъёогоор тооцоолно. Чиглэлийн дериватив нь вектор ба координаттай векторын цэгийн үржвэр юм. , үүнийг функцийн градиент гэж нэрлэдэг ба тэмдэглэнэ.Учир нь , ба өнцгийн хоорондох өнцөг, дараа нь вектор нь талбайн хамгийн хурдан өсөх чиглэлийг зааж өгөх ба түүний модуль нь энэ чиглэлд үүссэн деривативтай тэнцүү байна. Градиентийн бүрэлдэхүүн хэсэг нь хэсэгчилсэн дериватив тул дараахь градиент шинж чанарыг олж авахад хялбар байдаг.

17. FMT-ийн экстремма FMT-ийн орон нутгийн экстремум, түүний оршин тогтноход шаардлагатай, хангалттай нөхцөл. Хамгийн том, хамгийн жижиг f.m.p. олон талт хаалттай газар.

Z \u003d ƒ (x; y) функцийг D домэйнд N (x0; y0) цэгээр тодорхойлъё.

(X0; y0) цэг (xo; yo) -ээс бусад (x; y) цэг бүрийн хувьд d-хөрш байгаа бол (x0; y0) цэгийг z \u003d ƒ (x; y) функцын хамгийн их цэг гэж нэрлэдэг. энэ хөршөөс тэгш бус байдал ƒ (x; y)<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ (x0; y0). Функцийн хамгийн их (хамгийн бага) цэг дээрх утгыг функцийн хамгийн их (хамгийн бага) гэж нэрлэдэг. Функцийн хамгийн их ба доод хэмжээг түүний экстрема гэж нэрлэдэг. Тодорхойлолтын дагуу функцийн экстремум цэг нь функцийн талбарт байрладаг болохыг анхаарна уу; хамгийн дээд ба доод хэмжээ нь локал (орон нутгийн) шинж чанартай байна: функцийн утгыг (x0; y0) (x0; y0) -тай хангалттай ойрхон цэгүүд дээрх утгатай харьцуулна. D домэйнд функц нь хэд хэдэн экстремумтай эсвэл байхгүй байж болно.

Шаардлагатай (1) ба хангалттай (2) нөхцлүүд:

(1) Хэрэв N (x0; y0) цэг дээр ялгагдах функц z \u003d ƒ (x; y) экстремумтай бол түүний энэ цэг дэх хэсэгчилсэн уламжлалууд нь тэгтэй тэнцүү байна: ƒ "x (x0; y0) \u003d 0, ƒ" y (x0; y0 ) \u003d 0. Тайлбар. Функц нь хэсэгчилсэн деривативын ядаж нэг нь байхгүй цэгүүдэд экстремумтай байж болно. Z ≈ ƒ (x; y) функцын эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тэгтэй тэнцүү байх цэгийг, өөрөөр хэлбэл f "x \u003d 0, f" y \u003d 0-ийг z функцын хөдөлгөөнгүй цэг гэж нэрлэдэг.

Хөдөлгөөнгүй цэгүүд ба дор хаяж нэг хэсэгчилсэн дериватив байхгүй цэгүүдийг эгзэгтэй цэгүүд гэнэ

(2) Хөдөлгөөнгүй цэг (xo; yo) болон түүний ойр орчмын зарим хэсэгт (x; y) функц нь хоёр дахь дарааллыг багтаасан тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай гэж үзье. Бид (x0; y0) цэг дээр A \u003d f "" xx (x0; y0), B \u003d ƒ "" xy (x0; y0), C \u003d ƒ "" yy (x0; y0) утгуудыг тооцоолно. Бид тэмдэглэж байна Дараа нь:

1. Хэрэв Δ\u003e 0 бол (x0; y0) цэг дээрх ƒ (x; y) функц экстремумтай байна: хэрэв А< 0; минимум, если А > 0;

2. Хэрэв Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

3. Δ \u003d 0 тохиолдолд (x0; y0) цэг дээрх экстремум байхгүй эсвэл байхгүй байж болно. Илүү их судалгаа хийх шаардлагатай байна.

Шүргэх хавтгай ба гадаргуу хэвийн.

шүргэгч онгоц

N ба N 0 өгөгдсөн гадаргуугийн цэгүүд байг. NN 0 шулуун шугамыг зурцгаая. N 0 цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайг нэрлэдэг шүргэгч онгоц секундын NN 0 ба энэ хавтгайн хоорондох өнцөг тэг рүү, NN 0 зай тэг болох хандлагатай байвал гадаргуу руу.

Тодорхойлолт. Хэвийнn 0 цэг дээрх гадаргуу руу энэ гадаргуутай шүргэх хавтгайд перпендикуляр N 0 цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам юм.

Аль ч тохиолдолд гадаргуу нь зөвхөн нэг шүргэгч хавтгайтай, эсвэл огт байхгүй байдаг.

Хэрэв гадаргууг z \u003d f (x, y) тэгшитгэлээр өгвөл f (x, y) нь М 0 (x 0, y 0) цэг дээр ялгагдах функц бөгөөд N 0 цэг дээрх шүргэгч хавтгай (x 0, y 0, ( x 0, y 0)) байгаа ба тэгшитгэлтэй байна:

Энэ цэг дээрх гадаргуугийн хэвийн тэгшитгэл нь:

Геометрийн утга f (x, y) хоёр хувьсагчийн функцын нийт дифференциал (x 0, y 0) цэг нь (x 0, y 0) цэгээс (x 0 + x) цэг рүү шилжих үед шүргэгч хавтгайн гадаргуугийн хэрэглээг (координат z) өсгөхийг хэлнэ. , y 0 + y).

Таны харж байгаагаар хоёр хувьсагчийн функцын нийт дифференциалын геометр утга нь нэг хувьсагчийн функцын дифференциал геометрийн утгын орон зайн аналог юм.

Жишээ. Шүргэх хавтгай ба гадаргуу дээр хэвийн тэгшитгэлийг ол

m цэг дээр (1, 1, 1).

Шүргэх хавтгай тэгшитгэл:

Ердийн тэгшитгэл:

20.4. Нийт дифференциал ашиглан тооцоолсон тооцоо.

F (x, y) функцийг (x, y) цэг дээр ялгавартай болгоё. Энэ функцын нийт өсөлтийг олж мэдье.

Хэрэв та энэ томъёоны илэрхийлэлийг орлуулбал

дараа нь бид ойролцоогоор томъёог авна.

Жишээ. X \u003d 1, y \u003d 2, z \u003d 1 дээрх функцын утга дээр үндэслэн ойролцоо утгыг тооцоолно уу.

Өгөгдсөн илэрхийллээс бид x \u003d 1.04 - 1 \u003d 0.04, y \u003d 1.99 - 2 \u003d -0.01,

z \u003d 1.02 - 1 \u003d 0.02.

U (x, y, z) \u003d функцийн утгыг ол

Хэсэгчилсэн деривативыг олох:

U функцын нийт дифференциал нь:

Энэ илэрхийлэлийн яг утга нь 1.049275225687319176 байна.

20.5. Дээд эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд.

Хэрэв f (x, y) функцийг зарим D домэйнд тодорхойлсон бол түүний хэсэгчилсэн уламжлалыг ижил домэйнд эсвэл түүний хэсэгт тодорхойлно.

Бид эдгээр деривативуудыг нэрлэх болно эхний дарааллын хэсэгчилсэн деривативууд.

Эдгээр функцын деривативууд байх болно хоёр дахь дарааллын хэсэгчилсэн деривативууд.

Олсон тэгш байдлыг үргэлжлүүлэн ялгаж, бид илүү өндөр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативыг олж авдаг.

Тодорхойлолт. Маягтын хэсэгчилсэн деривативууд гэх мэт. гэж нэрлэдэг холимог дериватив.

Теорем. Хэрэв f (x, y) функц ба түүний хэсэгчилсэн уламжлалуудыг M (x, y) цэг ба түүний хөрш цэг дээр тодорхойлж, тасралтгүй тодорхойлсон бол хамаарал нь үнэн болно.

Тэд. дээд эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд нь ялгах дарааллаас хамаардаггүй.

Өндөр захиалгын ялгааг ижил төстэй тодорхойлдог.

…………………

Энд n нь деривативын бэлгэдлийн зэрэг бөгөөд илэрхийлэлийг хаалтанд өсгөсний дараа бодит зэрэг нь солигдоно.