Цэгүүдийн координатыг олох гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Координат ба векторын координат

Цэгүүдийн координатыг би хэрхэн олох вэ?

Цэгийн координатыг олох ур чадвар нь зөвхөн математикийн асуудлыг шийдвэрлэхэд төдийгүй амьдралд хэрэгтэй болно. Эцсийн эцэст энэ бол газрын зураг дээр навигаци хийх, зураг төсөл боловсруулах, зарим график редакторт ажиллах, тэр ч байтугай далайн тулаан тоглох чадвар юм. Энэ нийтлэлд цэгүүдийн координатыг хэрхэн олох талаар мэдээлэл өгдөг.

Математикийн тэнхлэгүүд

Цэгийн координат нь түүний байрлалыг тодорхойлох хэмжигдэхүүн юм.Цэгийг хавтгай дээр эсвэл гурван хэмжээст орон зайд байрлуулж болно. Аливаа онгоц хоёр хэмжээст байдаг. Математикийн хувьд энэ нь газарзүйн байршил, өргөрөг, уртрагийн хувьд абцисса ба ординат юм. Математикийн тэнхлэгийг жишээ болгон авч, цэгүүдийн координатыг хэрхэн олох талаар дүн шинжилгээ хийх болно. Хавтгай дээрх цэгийн координатыг олохын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

Хэрэв танд орон зайн цэгийн координатыг хэрхэн яаж олох вэ гэсэн асуудал тулгарсан бол энэ нь анхны харцаар харахад хэцүү биш юм. Үнэт зүйлсийн тодорхойлолтыг ялгаатай болгодог зүйл бол нэмэлт тэнхлэгийг нэвтрүүлэх явдал юм. Энэ нь таны цэг 2 биш 3 координаттай байх болно. Ихэвчлэн математикийн хувьд гуравдахь тэнхлэгийг Z гэж нэрлэдэг. Хэрэв та цэгийн координатыг олох шаардлагатай бол перпендикуляр дагуу X, Y ба Z тэнхлэгүүдийг орхи. Эдгээр нь хүссэн утгууд байх болно.

Газрын зураг дээрх координатыг зааж өгөөрэй

Газрын зураг эсвэл бөмбөрцөг дээрх цэгүүдийн координатыг маш төстэй байдлаар тодорхойлдог. Зөвхөн энэ тохиолдолд тэдгээрийг градусаар зааж өгдөг. Манай гаригийг хэвтээ шугамууд, паралель ба босоо голчид гэж хуваадаг. Зэрэгцээ байдлын утгыг өргөрөг, меридиануудыг уртраг гэж нэрлэдэг.

Өргөрөг

Экваторыг өргөргийн лавлах цэг болгон авсан бөгөөд энэ нь гаригийг тал хувааж буй шугам юм Өргөрөг 0 0. Экваторын дээгүүр байрлах өргөргийг хойд, доороо өмнөд гэж нэрлэдэг. Өргөргийн утгыг тохируулахын тулд цэг байрлах параллелийн утгыг харна уу.

Уртраг

Уртрагийн лавлах цэг нь гол меридиан юм. Баруун талын бүх уртргийг зүүн, баруун талаас зүүн гэж нэрлэдэг. Координатын утгыг цэг байрлаж байгаа голчидын тоогоор тодорхойлно.

Газарзүйн онцлог шинж чанаруудыг өргөрөг (хойд эсвэл өмнөд) ба уртраг (зүүн эсвэл баруун) -аар бүртгэдэг. Жишээлбэл, Москвагийн солбицол дараах байдалтай байна: хойд өргөргийн 55 0, зүүн уртрагийн 37 0.

Тэгш өнцөгт координатын системийг тодорхойлох арга

Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системийг гурван аргаар тохируулж болохыг та мэдэж байгаа: 1-р арга нь системийн төвийн байрлалыг тогтоодог - өөрөөр хэлбэл O, OX тэнхлэгийг зурж, түүний эерэг чиглэлийг зааж, OY тэнхлэгийг системийн төрөлд нийцүүлэн OX тэнхлэгт перпендикуляр зурна. эсвэл зүүн тийш) OY тэнхлэгийн эерэг чиглэлийг зааж, тэнхлэгийн дагуу координатын хуваарийг тохируулна.

Хэрэв координатын тэнхлэгүүд байгаа бол ямар ч С цэгийн координатыг тодорхойлохын тулд та эхлээд перпендикуляраа энэ цэгээс координатын тэнхлэгүүд рүү буулгаж дараа нь эдгээр перпендикуляруудын уртыг хэмжих хэрэгтэй; OX тэнхлэгтэй перпендикуляр урт нь Y координаттай тэнцүү, OY тэнхлэгтэй перпендикуляр урт нь цэгийн X координат байна (Зураг 1).

XOY системээс гадна XOY системээс гарал үүслийг O "(Xo" \u003d dx, Yo "\u003d dy) цэг рүү шилжүүлж координатын тэнхлэгүүдийг цагийн зүүний дагуу b өнцгөөр эргүүлэх замаар олж авдаг X" O "Y системийг ашиглаж болно.

XOY-ээс X "O" Y "шилжих шилжилтийг дараахь томъёогоор гүйцэтгэнэ.

Урвуу шилжилтийн хувьд томъёог ашиглана.

• 2-р аргыг параллель шугамын харилцан перпендикуляр хоёр системээр гүйцэтгэдэг; шулуунуудын хоорондох зай ижил бөгөөд эдгээр шугамууд нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель гэж тооцогддог бөгөөд харгалзах координатын утга нь мөр тус бүрт гарын үсэг зурна (координатын сүлжээг авна).
• Гурав дахь арга нь хоёр тогтмол цэгийн координатын тоон утгыг заана.

Эхний аргыг ерөнхийдөө хүлээн зөвшөөрдөг; геодезийн хувьд энэ аргыг Гауссын тэгш өнцөгт координатын бүсийн системийг тогтооход ашигладаг.

Байрзүйн зураглал, төлөвлөгөөнд Гауссын тэгш өнцөгт координатын системийг хоёр дахь аргаар зааж өгсөн болно.

Газар дээр тэгш өнцөгт координатын системийг гурав дахь аргаар тохируулсан болно; координатуудтай хэд хэдэн судалгааны цэгүүдийг олж, эдгээр цэгүүдтэй харьцуулсан шинэ цэгүүдийн байрлалыг ямар ч хэмжилт хийж тодорхойлж болно.

Гурван үндсэн хэмжээс

Хавтгай дээр өнцөг ба зайг хэмжиж болно.

Өнцгийг гурван цэгээр тогтооно: нэг цэг нь өнцгийн орой, үлдсэн хоёр цэг нь өнцгийн 1 ба 2-р талын чиглэлийг засна. Хамгийн энгийн тохиолдолд гурваас нэгээс доошгүй цэг нь координатгүй, өөрөөр хэлбэл тодорхойлогдох боломжтой; ерөнхийдөө тодорхойлогдох нэг цэг, хоёр цэг эсвэл гурвуулаа байж болно.

Зайг хоёр цэгээр тогтоодог бөгөөд ерөнхийдөө нэг цэг эсвэл хоёуланг нь тодорхойлж болно.

Энэ хэсэгт нэг цэгийн координатыг тодорхойлохын тулд өнцөг эсвэл зайн хэмжилтийг хийх хамгийн энгийн тохиолдлыг авч үзнэ. Өнцгийг хэмжихдээ тодорхойлох цэгийг өнцгийн орой дээр, эсвэл хажуугийнх нь аль нэгэнд байрлуулж болох тул бидний үзэж байгаагаар хавтгай дээр гурван өөр хэмжилт байдаг бөгөөд үүнийг бид анхан шатны гэж нэрлэнэ.

А цэгийн өнцгийг мэдэгдэж буй чиглэлийн өнцөг bAB ба чиглэлийг тодорхойлсон P цэгийн хоорондох X4, Y4 координатуудаар хэмждэг (Зураг 2).

AP чиглэлийн b чиглэлтэй өнцгийг томъёогоор авна

P цэгийн байрлалын шугам гэж нэрлэгддэг шулуун шугамын хувьд XOY системд тэгшитгэл бичиж болно.

Энэ тэгшитгэлд X ба Y нь шулуун шугамын дурын цэгүүдийн, түүний дотор P цэгүүдийн координатууд боловч P цэгийн хоёр координатыг олоход ийм тэгшитгэлүүдийн нэг нь хангалтгүй юм.

S зайг A цэгээс мэдэгдэж байгаа XA, YA координаттай P цэг хүртэл хэмжинэ.Геометрийн дамжлагаас харахад P цэг нь S радиусын тойрог дээр байрлаж, A цэгийг тойрон эргэлдэж, P цэгийн байрлалын шугам гэж нэрлэгддэг (Зураг 3). Тойргийн тэгшитгэл нь:

Энэ тэгшитгэлд X ба Y нь тойрог дээрх дурын цэгүүдийн, түүний дотор P цэгүүдийн координатууд боловч цэгийн хоёр координатыг олохын тулд ийм тэгшитгэлийн нэг нь хангалтгүй болно.

Тодорхойлогдсон P цэг дэх өнцгийг чиглэлүүдийн хооронд мэдэгдэж буй координаттай хоёр цэгээр хэмждэг; энэ хэмжилтийг 8-р зүйлд авч үзсэн болно.

P цэгийн X ба Y координатыг хоёр тэгшитгэлийн хамтарсан шийдлээс олж болно, тиймээс гурван хэмжилтийн хослолыг хоёроор нь хэмжиж, геодезийн огтлолцол гэж нэрлэгддэг цэгийн координатыг тодорхойлох хамгийн энгийн аргуудыг олж авна. (2.4) төрлийн хоёр тэгшитгэл - шулуун өнцгийн огтлолцол, хэлбэрийн хоёр тэгшитгэл (2.5) - шугаман огтлолцол, нэг хэлбэрийн тэгшитгэл (2.4) ба нэг хэлбэрийн тэгшитгэл (2.5) туйлын огтлолцол, тодорхойлсон цэг дээрх өнцгийн хоёр хэмжилт - урвуу өнцгийн огтлолцол.

Хэмжлийн бусад хослолыг хосолсон огтлолцол гэж нэрлэдэг.

Гурван үндсэн хэмжигдэхүүн тус бүр нь координатын системүүдийн хувьд өөрчлөгддөггүй бөгөөд энэ нь янз бүрийн зураг дээрх огтлолцлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог бөгөөд P цэгийн тогтмол A ба B цэгүүдтэй харьцуулахад байрлалыг графикаар тодорхойлдог.

Серифийг шийдвэрлэх аналитик арга бол тодорхойлох цэгийн координатыг тооцоолох явдал юм. Үүнийг гүйцэтгэсэн хэмжилтэд харгалзах хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдэж эсвэл орой нь хоёр эхлэлийн цэг, тогтоосон цэг болох гурвалжинг шийдэж гүйцэтгэж болно (товчлохын тулд бид энэ аргыг гурвалжингийн арга гэж нэрлэнэ).

Аливаа геодезийн барилга байгууламжид гурван төрлийн өгөгдлийг ялгах нь заншилтай байдаг: анхны өгөгдөл (анхны цэгүүдийн координат, анхны чиглэлийн чиглэлтэй өнцөг гэх мэт); энэ өгөгдлийг ихэвчлэн нөхцөлт алдаагүй, хэмжигдэхүйц зүйл гэж үздэг; хэмжсэн элемент бүрийг ихэвчлэн хэмжлийн дундаж квадрат алдаа, үл мэдэгдэх (эсвэл тодорхойлогдох) элементүүд дагалддаг; эдгээр элементүүдийг тусгайлан боловсруулсан алгоритмын дагуу олох ёстой бөгөөд тэдгээрийн утгыг хэмжилтийн алдаа ба тухайн барилгын геометрээс хамаарч зарим алдаатай олж авна.

Алтан гадас

Туйлын огтлолцол дээр эхний өгөгдөл нь А цэгийн координат ба AB чиглэлийн өнцөг (эсвэл В цэгийн координат), хэмжсэн элементүүд нь хэвтээ өнцөг в (mв өнцгийг хэмжих дундаж квадрат алдаа) ба S зай (түүний хэмжилтийн харьцангуй алдаа mS / S \u003d 1 / T ), үл мэдэгдэх элементүүд нь P цэгийн X, Y координат юм (Зураг 4).

Эхний өгөгдөл: XA, YA, bAB

Хэмжсэн зүйл: Б, С.

Үл мэдэгдэх элементүүд: X, Y

График шийдэл. АВ чиглэлээс В өнцгийг хажуу тийш нь хойшлуулаад AQ шулуун шугамыг зураад, дараа нь зураг (төлөвлөгөө эсвэл газрын зураг) масштабын А цэгийн эргэн тойронд S радиустай тойргийн нум зур; шулуун ба нумын огтлолцлын цэг нь хүссэн P цэг юм.

Аналитик шийдэл. AR чиглэлийн өнцөг b нь дараахьтай тэнцүү байна.

Шулуун шугам А - томъёо (4) ба А радиусын тойргийн тэгшитгэлийг A - томъёо (5) -д бичье.

P цэгийн X ба Y координатыг олохын тулд та эдгээр хоёр тэгшитгэлийг систем болгон хамтад нь шийдвэрлэх хэрэгтэй. Эхний тэгшитгэлээс (Y - YA) утгыг хоёрдугаарт оруулан (X - XA) 2-ийг хаалтны гадна байрлуулна.

(X - XA) 2 * (1 + tg2 b) \u003d S2.

Бид илэрхийлэлийг (1 + tg2b) 1 / Cos2b-ээр орлуулж дараахь зүйлийг авна.

(X - XA) 2 \u003d S2 * Cos2b, хаанаас X - XA \u003d S * Cosb.

Энэ утгыг эхний тэгшитгэлд (6) оруулан дараахь зүйлийг авна уу.

Y - YA \u003d S * Sinb.

Координатын ялгаа (X - XA) ба (Y - YA) -ийг ихэвчлэн нэмэгдэл гэж нэрлэдэг ба DX ба DY-г илэрхийлдэг.

Тиймээс туйлын огтлолцлыг дараахь томъёогоор өвөрмөцөөр шийддэг.

координатын гурвалсан гурвалжуулалт

Хавтгай дахь шууд геодезийн асуудал

Геодезийн хоёр стандарт асуудал байдаг: хавтгай дахь шууд геодезийн асуудал ба хавтгай дахь урвуу геодезийн асуудал.

Шууд геодезийн асуудал бол хоёрдахь цэгийн X2, Y2 координатуудын тооцоо бөгөөд хэрэв эхний цэгийн X1, Y1 координатууд байвал эдгээр цэгүүдийг холбосон шулууны b ба S урт нь мэдэгдэж байвал. Шууд геодезийн асуудал нь туйлын огтлолцлын нэг хэсэг бөгөөд түүний шийдлийн томъёог томъёоны багцаас авна (7):

Хавтгай дээрх урвуу геодезийн асуудал

Урвуу геодезийн асуудал бол мэдэгдэж буй X1, Y1 ба X2, Y2 координатуудтай хоёр цэгийг холбосон шугамын b ба S уртын тооцоо юм (Зураг 5).

Координатын тэнхлэгүүдтэй параллель хөлтэй, тэгш өнцөгт гурвалжинг гипотенузын адил 1-2 сегмент дээр байгуулъя. Энэ гурвалжинд гипотенуз нь S, хөл нь 1 ба 2 цэгүүдийн координатын өсөлттэй тэнцүү (DX \u003d X2 - X1, DY \u003d Y2 - Y1) ба хурц өнцгүүдийн нэг нь 1-2-р шугамын rumbus-тай тэнцүү байна.

Хэрэв D X 00 ба D Y 00 бол бид сайн мэддэг томъёог ашиглан гурвалжинг шийднэ.

Энэ зургийн хувьд 1-2-р шугамын чиглэл нь хоёрдугаар улиралд байгаа тул (22) дээр үндэслэн дараахь зүйлийг олно уу.

1-2-р шугамын чиглэлтэй өнцгийг олох ерөнхий журамд хоёр үйлдлийг багтаана: дөрөвний тоог D\u003e X ба DY координатуудын өсөлтийн тэмдгээр тодорхойлох, хамаарлын томъёог (22) ашиглан b-ийг улирлын тооны дагуу тооцоолох.

Тооцооллын зөв байдлыг хянах нь тэгш байдлын биелэлт юм.

Хэрэв DX \u003d 0.0 бол S \u003d іDYі;

ба D \u003d\u003e 0 үед b \u003d 90o 00 "00",

b \u003d 270o 00 "00" DY дээр< 0.

Хэрэв DY \u003d 0.0 бол S \u003d іДXі болно

ба D \u003d\u003e 0 дээр b \u003d 0o 00 "00",

b \u003d DX дээр 180o 00 "00"< 0.

Автомат горимд (компьютерийн програмуудад) урвуу асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд өнцгийн шүргэгчийг агуулаагүй өөр нэг алгоритмийг ашиглаж болох ба тэг хуваагдлыг хасна.

хэрэв DY \u003d\u003e 0o бол b \u003d a,

хэрэв DY< 0o, то б = 360o - a.

Булангийн шил

Нэгдүгээрт, шулуун өнцгийн огтлолцлын ерөнхий гэж нэрлэгддэг в1 ба в2 өнцгүүд нь мэдэгдэж байгаа чиглэлийн өнцгөөр тус бүрээс нь чиглэлээс нь мэдэгдэж байгаа координаттай хоёр цэгт хэмжигдэх үед авч үзье (Зураг 6).

Эхний өгөгдөл: XA, YA, bAC,

Хэмжих элементүүд: 1, 2-т

Үл мэдэгдэх элементүүд: X, Y

Хэрэв bAC ба bBD-ийг тодорхой заагаагүй бол та урвуу геодезийн асуудлыг эхлээд A ба C цэгүүдийн хооронд, дараа нь B ба D цэгүүдийн хооронд шийдвэрлэх хэрэгтэй.

График шийдэл. АС чиглэлээс дамжуулагчийг ашиглан b1 өнцгийг тохируулаад AP шулуун шугамыг зур; BD чиглэлээс в2 өнцгийг хойш тавиад BP шулуун шугамыг зур; эдгээр шугамын огтлолцлын цэг нь шаардлагатай P цэг юм.

Аналитик шийдэл. Энд огтлолцлын ерөнхий тохиолдолд тохирох хувилбар алгоритм байна.

aP ба BP шугамын чиглэлтэй өнцгийг тооцоолох

шулуун шугамын хоёр тэгшитгэл бич

aP Y - YA шугамын хувьд \u003d tan1 * (X - XA), BP Y - YB шугамын \u003d tan2 * (X - XB) (2.16)

хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдэж, үл мэдэгдэх X ба Y координатыг тооцоолох:

Шулуун өнцгийн огтлолцлын онцгой тохиолдол нь b1 ба b2 өнцгүүдийг AB ба BA чиглэлээс хэмжиж, b1 өнцөг нь зөв, b2 өнцөг нь зүүн тийш (ерөнхий тохиолдолд хоёр өнцөг нь зүүн гар талтай) тохиолдолд тооцно. 7.

Гурвалжингийн аргаар өнцгийн огтлолцлын шийдэл нь огтлолцлын онцгой тохиолдолтой тохирч байна. Энэ тохиолдолд шийдлийн дараалал дараах байдалтай байна: А ба В цэгүүдийн хоорондох урвуу бодлогыг шийдэж, ABAB чиглэлийн өнцөг ба b шугамын уртыг авч, уулзварын өнцөг гэж нэрлэдэг P орой дээрх r өнцгийг тооцоолж,

aPB гурвалжны синусын теоремыг ашиглан:

aP (S1) ба BP (S2) талуудын уртыг тооцоолж b1 ба b2 чиглэлтэй өнцгийг тооцоолно уу:

шууд цэгээс А цэгээс Р цэг хүртэл, хяналтын цэгээс Б цэгээс Р цэг хүртэл шийдвэрлэх.

Шулуун өнцгийн огтлолцлын онцгой тохиолдолд X ба Y координатыг тооцоолохын тулд та Янг томъёог ашиглаж болно.

Энэ нь өнцгийн шугамын ерөнхий тохиолдлоос тусгай тохиолдол руу шилжихэд хялбар байдаг; Үүнийг хийхийн тулд та эхлээд А ба В цэгүүдийн хоорондох урвуу геодезийн асуудлыг шийдэж, AB шугамын bAB чиглэлийн өнцгийг олж аваад, дараа нь A ба B оройнуудад APB гурвалжны өнцгийг тооцоолох хэрэгтэй.

BAP \u003d bAB - (bAC + b1) ба ABP \u003d (bBD + c2) - bBA.

Машины тооллогын хувьд шулуун өнцгийн огтлолцлыг шийдвэрлэх бүх арга нь янз бүрийн шалтгаанаар тохиромжгүй байдаг. Компьютер дээр огтлолцох ерөнхий тохиолдлыг шийдвэрлэх боломжтой алгоритмуудын нэг нь дараахь үйлдлүүдийг агуулдаг: b1 ба b2 чиглэлтэй өнцгүүдийг тооцоолох, A цэгээс гаралтай орон нутгийн координатын системийг "O" Y "нэвтрүүлэх ба AP шугамын дагуу O" X "тэнхлэгтэй ба А ба В цэгүүдийн координат ба XOY системээс X "O" Y "систем хүртэлх чиглэлийн b1 ба b2 өнцгийг дахин тооцоолох (Зураг 8):

X "A \u003d 0, Y" A \u003d 0,

(24), AP ба BP шулуунуудын тэгшитгэлийг X "O" Y "системд бичиж:

ба эдгээр тэгшитгэлүүдийн хамтарсан шийдэл:

x "ба Y" координатын X "O" Y "системээс XOY систем рүү орчуулах:

Ctgb2 "\u003d - Ctgg ба r огтлолцлын өнцөг нь үргэлж 0о-оос их тул (27) шийдэл үргэлж байдаг.

Шугаман сериф

XA, YA координат мэдэгдэж байгаа А цэгээс S1-ийг тодорхойлсон P цэг хүртэл хэмжиж, мэдэгдэж байгаа XB, YB координаттай B цэгээс S2 хүртэлх зайг P цэг хүртэл хэмжив.

График шийдэл. А цэгийн эргэн тойронд S1 радиустай (зургийн хуваарь дээр), B цэгийн эргэн тойронд S2 радиустай тойрог зур; тойргийн огтлолцлын цэг нь хүссэн цэг юм; Хоёр тойрог хоёр цэг дээр огтлолцдог тул асуудал хоёр шийдэлтэй байна (Зураг 9).

Эхний өгөгдөл: XA, YA, XB, YB,

Хэмжих элементүүд: S1, S2,

Үл мэдэгдэх элементүүд: X, Y.

Аналитик шийдэл. Аналитик шийдлийн хоёр алгоритмыг авч үзье, нэг нь гараар тоолох (гурвалжингийн аргыг ашиглах), нөгөө нь машинаар тоолох.

Гараар тоолох алгоритм нь дараахь алхамуудаас бүрдэнэ.

а ба В цэгүүдийн хоорондох урвуу геодезийн асуудлыг шийдэж, ABAB гурвалжин дахь в1 ба в2 өнцгүүдийг косинусын теоремоор тооцоолж, AB шугамын bAB чиглэлтэй өнцөг ба b уртыг авна.

огтлолцлын өнцгийг тооцоолох r

aP ба BP талуудын чиглэлтэй өнцгийн тооцоо:

aB шугамын баруун талд байрлах P цэг

aB шугамын зүүн талд P цэг

шууд геодезийн асуудлыг А цэгээс Р цэг, В цэгээс Р цэг хүртэл шийдвэрлэх:

1-р шийдэл

2-р шийдэл

Хоёр шийдлийн үр дүн хоорондоо тохирч байх ёстой.

Шугаман огтлолцлын машины шийдлийн алгоритм нь дараахь үйлдлүүдээс бүрдэнэ: А ба В цэгүүдийн хоорондох урвуу геодезийн асуудлыг шийдэж, ABAB чиглэлийн өнцөг ба b шугамын уртыг олж, A цэг ба O "X тэнхлэгээс гаралтай орон нутгийн координатын системийг нэвтрүүлж X" O "Y". "AB шугамын дагуу чиглүүлж, XOY системээс X" O "Y" систем хүртэлх А ба В цэгүүдийн координатыг дахин тооцоолох:

x "O" Y "систем дэх тойргийн тэгшитгэл бичих:

хоёрдахь тэгшитгэл дэх хаалтыг өргөж, эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь тэгшитгэлийг хасах эдгээр тэгшитгэлүүдийн хамтарсан шийдэл:

Хэрэв шаардлагатай цэг нь AB шугамын зүүн талд байвал (39) томъёонд "-" тэмдгийг, баруун талд байгаа бол "+" тэмдгийг авна.

X "O" Y "системээс P цэгийн X" ба Y "координатыг (2) томъёоны дагуу XOY системд шилжүүлэх:

Урвуу өнцгийн сериф

Анхан шатны хэмжилтүүд нь мэдэгдэж байгаа XA, YA ба XB, YB координатуудтай хоёр цэгийн A ба B чиглэлийн хоорондох P цэг дэх өнцгийн хэмжилтийг багтаана (Зураг 10). Гэсэн хэдий ч энэхүү хэмжилт нь онолын хувьд нэлээд төвөгтэй болж хувирсан тул бид үүнийг тусад нь авч үзэх болно.

A, B, P гэсэн гурван цэгээр тойрог зурцгаая. Сургуулийн геометрийн дамжлагаас харахад тойрог дээрх оройтой өнцөг нь тулгуурласан нумын тэн хагасаар хэмжигдэнэ. Нэг нуман дээр тулгуурласан төвийн өнцгийг бүх нумаар хэмждэг тул 2б-тэй тэнцүү байх болно (Зураг 10).

А ба В цэгүүдийн хоорондох b зайг мэдэгдэж байгаа гэж үздэг бөгөөд тэгш өнцөгт гурвалжин FCB-ээс тойргийн R радиусыг олох боломжтой.

Тойргийн тэгшитгэл нь:

энд XC ба YC нь тойргийн төвийн координат юм. Тэдгээрийг А ба В цэгүүдээс С цэг хүртэл шулуун өнцөгт ба шугаман огтлолцлыг шийдвэрлэж тооцоолж болно (Тэгшитгэл (42) -т X ба Y нь тойрог дээрх дурын цэгүүдийн, түүний дотор P цэгүүдийн координатууд боловч нэг цэгийн P цэгийн хоёр координатыг олох болно. ийм тэгшитгэл хангалтгүй юм.

Урвуу өнцгийн огтлолцлыг P цэгийн координатыг b1 ба b2 хоёр өнцөгт тодорхойлж, чиглэлүүдийн хоорондох тогтоосон P цэг дээр мэдэгдэж байгаа A, B, C координаттай гурван цэгээр хэмжсэн арга гэж нэрлэдэг (Зураг 11).

График шийдэл. Болотовын урвуу өнцгийн огтлолцлыг график аргаар шийдвэрлэх аргыг танилцуулъя. Ил тод цаасан хуудсан дээр (мөрдөх цаас) та b1 ба b2 булангуудыг нийтлэг P оройгоор бүтээх хэрэгтэй; дараа нь мөшгих цаасыг зураг дээр тавиад хөдөлгөнө, мөшгих цаасан дээрх булангийн чиглэлийг зураг дээрх A, B, C цэгүүдээр дамжуулж байгаа эсэхийг шалгаарай; Зураас руу чиглүүлэгч цааснаас P-г тодорхой зааж өгнө.

Эхний өгөгдөл: XA, YA, XB,

Хэмжсэн элементүүд: b1, b2.

Үл мэдэгдэх элементүүд: X, Y.

Аналитик шийдэл. Өнцгийн урвуу огтлолцлын аналитик шийдэл нь түүнийг илүү энгийн бодлогууд болгон задлах, жишээлбэл, 2 тэгш өнцөгтийн огтлолцол ба нэг шугаман, эсвэл 3 шугаман огтлолцол гэх мэт задардаг. Шинжилгээний шийдлийн 10 гаруй аргыг мэддэг боловч бид зөвхөн нэгийг нь гурван шугаман серифийн дараалсан уусмалаар авч үзэх болно.

P цэгийн байрлал мэдэгдэж байна гэж үзье, нэг нь A, B, P цэгүүдээр дамжин R1 радиустай, B, C, P цэгүүдээр дамжин R2 радиустай хоёр тойрог зурна уу (Зураг 11). Эдгээр тойргийн радиусыг (41) томъёогоор олж авна.

Хэрэв O1 ба O2 цэгүүдийн тойргийн төвүүдийн координатыг мэддэг бол P цэгийн координатыг шугаман огтлолцлын томъёогоор тодорхойлж болно: O1 цэгээс R1 зай, O2 цэгээс R2 зай.

O1 төвийн координатуудыг R1 зайн дагуух А ба В цэгүүдээс шугаман огтлолцох томъёогоор олж болох бөгөөд хоёр шийдлээс в1 өнцгийн утгатай тохирохыг авах хэрэгтэй: хэрэв в1<90o, то точка O1 находится справа от линии AB, если в1>90o, дараа нь O1 цэг нь AB шугамын зүүн талд байна.

O2 төвийн координатуудыг B ба C цэгүүдээс R2 зайнаас огтлолцсон шугаман томъёогоор олох бөгөөд боломжтой хоёр шийдлээс нэг шийдлийг ижил дүрмийн дагуу сонгоно.<90o, то точка O2 находится справа от линии BC, если в2>90o, O2 цэг нь МЭӨ шугамын зүүн талд байна.

Хоёр тойрог нэг нэгдэж, огтлолцох цэгүүд байхгүй тул A, B, C, P дөрвөн цэгүүд нэг тойрог дээр байвал асуудал шийдэлгүй болно.

Хосолсон серифүүд

Серифийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзэхэд хэмжилтийн тоог онолын хувьд хамгийн бага (хоёр хэмжилт) байхаар тооцож, үр дүнд хүргэсэн.

Практик дээр нэг цэгийн X ба Y координатыг олохын тулд дүрмээр зай, өнцгийн хоёр биш гурван ба түүнээс дээш хэмжилтийг хийдэг бөгөөд эдгээр хэмжилтийг эхлэлийн цэгүүд болон тогтоосон цэгүүдэд гүйцэтгэдэг; ийм серифүүдийг хосолсон гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд хэмжилтийг хянах боломжтой болох нь тодорхой бөгөөд үүнээс гадна асуудлыг шийдвэрлэх нарийвчлал нэмэгдэх болно.

Асуудалд оруулсан онолын хувьд хамгийн бага хэмжээнээс хэтэрсэн хэмжээ бүрийг илүүдэл гэж нэрлэдэг; энэ нь нэг нэмэлт шийдлийг бий болгодог. Илүүдэл хэмжилтгүйгээр геодезийн уулзварыг ихэвчлэн дан гэж нэрлэдэг бөгөөд илүүдэл хэмжилттэй огтлолцлыг олон тооны гэж нэрлэдэг.

Илүүдэл хэмжилт байгаа тохиолдолд үл мэдэгдэх зүйлийг тооцоолох ажлыг тохируулгын аргаар гүйцэтгэдэг. Олон тооны серифийг хатуу тэгшитгэх алгоритмуудыг компьютерийн автомат тооллогод ашигладаг; гараар тоолоход хялбаршуулсан тохируулгын аргыг ашигладаг.

Аливаа олон огтлолцлыг (n хэмжилт) тохируулах хялбаршуулсан арга нь эхлээд бие даасан ганц огтлолцлын бүх боломжит хувилбаруудыг үүсгэх, шийдвэрлэх (тэдгээрийн тоо n-1-тэй тэнцүү), дараа нь - цэгийн координатын дундаж утгыг бүх үр дүнгээс, хэрэв өөр хоорондоо ялгаатай байвал зөвшөөрөгдсөн хэмжээгээр.

Цэгэн байрлалын алдаа

Нэг хэмжээст орон зайд (шулуун дээр) цэгийн байрлалыг нэг X координатын утгаар тогтоож, Mp цэгийн байршлын алдаа нь энэ координатын mx root дундаж квадрат алдаатай тэнцүү байна. Цэгийн жинхэнэ байрлал нь (X - t * mx) - (X + t * mx) интервалд, өөрөөр хэлбэл X утгын хоёр талд байж болно; практикт t хүчин зүйлийг ихэвчлэн 2.0 эсвэл 2.50 гэж тохируулдаг.

Хоёр хэмжээст орон зайд (гадаргуу дээр) цэгийн байрлалыг хоёр координатын утгаар тогтоож, цэгийн байрлалын алдааг энэ чиглэл дэх чиглэл ба байрлалын алдаа гэсэн хоёр утгаар зааж өгөх ёстой. Цэгийн жинхэнэ байрлал байрлах геометрийн дүрс нь өөр өөр хэлбэртэй байж болно; бүх тохиолдолд цэгийн байрлал дахь алдаа ижил байх тохиолдолд онцгой тохиолдолд R \u003d Mp радиустай тойрог гарна.

Хоёр хэмжээсийн цэгийн байрлалыг хоёр байрлалын шугамын огтлолцол дээр олж авна. Хэмжсэн S зайн хувьд байрлалын шугам нь эхлэх цэг A дээр төвлөрсөн S радиустай тойрог юм (Зураг 2.12а); анхны А цэг дээрх оройтой в хэмжсэн өнцгийн хувьд - анхны AB шугам руу в өнцгөөр шулуун шугам (Зураг 2.12б).

Хэмжилтийн алдаанаас болж "байрлалын зурвас" гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлэх шаардлагатай байна. М-ийн дундаж квадрат алдаатай хэмжсэн S зайн хувьд энэ нь радиустай (S - ms) ба (S + ms) хоёр тойргийн хооронд 2 * ms өргөнтэй дугуй бүс (цагираг) юм; mв алдаатай хэмжсэн в өнцгийн хувьд энэ нь А цэг дээр оройтой, 2 * мв оройн өнцөгтэй нарийн гурвалжин юм. Цэгийн байршлын шугам нь байрлалын туузны тэгш хэмийн тэнхлэг юм (Зураг 12).

Зураг: 12. P цэгийн байрлалын шугам ба "байрлалын зурвас": a) хэмжсэн зайд, b) хэмжсэн өнцгийн хувьд.

"Хэмжлийн алдааны вектор" гэсэн ойлголтыг танилцуулж, V-ээр тэмдэглэе. Хэмжсэн зайны хувьд Vs векторыг AP шугамын дагуу (шулуун эсвэл хойшоо) чиглүүлж, vs \u003d ms модултай байна; хэмжсэн өнцгийн хувьд Vv векторыг AP шугаманд перпендикуляр чиглүүлж (зүүн буюу баруун тийш) hv \u003d S * mv / s модультай бөгөөд S \u003d A * P байна.

P цэг нь хоёр байрлалын шугамын уулзвар дээр байрлалтай, хоёр байрлалын зурвас дээр үүссэн 4-гоны байрлалын төв юм (Зураг 13).

Зураг: 13.4 - байрлалын өнцөг: а) шугаман огтлолцол, б) шулуун өнцгийн огтлолцол,

Энэ үндсэн 4 гоныг параллелограмм гэж үзэж болно, учир нь түүний дотор тойргийн нумыг шүргэгчийн сегментээр, өнцгийн ялгаатай талыг байрлалын шугамтай параллель шулуун шугамын хэсгүүдээр сольж болно. P цэгээс 4-гоны хил хязгаар хүртэлх зай ижил биш бөгөөд энэ нь P цэгийн янз бүрийн чиглэлд байрласан алдаанууд өөр өөр байгааг харуулж байна.

Байршлын шугамууд нь байрлалын 4-гоныг 4 тэнцүү хэсэгт хуваадаг бөгөөд үүнийг бид r ба (180o - r) оройн өнцөг бүхий алдааны параллелограмм гэж нэрлэдэг бөгөөд энд r (180o - r) нь V1 ба V2 алдааны векторуудын хоорондох өнцөг юм. Параллелограммуудын алдааны өндөр нь h1 ба h2 векторуудын модулиудтай тоон хувьд тэнцүү тул параллелограммуудын талыг сайн мэддэг томъёогоор олж авна.

Алдааны параллелограмын мэдэгдэж буй талууд ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг r (180o - r), та түүний диагональ хоёрын уртыг тооцоолж болно: богино - d1 ба урт - d2:

Тиймээс зургаан чиглэлд цэгийн байрлал дахь алдааг (Зураг 14) энгийн томъёогоор илэрхийлнэ; бусад бүх чиглэлд томъёо илүү төвөгтэй байх болно.

P цэгийг тодорхойлох нарийвчлалын ерөнхий шинж чанарын хувьд та P цэгийн байршлын алдааны дундаж утгыг тооцоолох хэрэгтэй: R тойргийн радиус, түүний талбай (p * R2) нь P цэгийн байрлалын параллелограммтай тэнцүү байна (4 * a * b * Sing),

урт диагональ чиглэлтэй давхцаж "хамгийн сул чиглэл" дэх байршлын алдаа гэж:

алдааны параллелограмын урт ба богино диагоналийн дундаж квадрат байдлаар:

Практик дээр гуравдахь хувилбарыг бусад уулзалтаас илүү олон удаа ашигладаг бөгөөд нэг уулзварын нарийвчлалыг үнэлэхэд томъёог хялбархан олж авдаг.

туйлын огтлолцол (зураг 4):

өнцгийн сериф (зураг 6, 7):

шугаман огтлолцол (зураг 9):

өнцгийн хоцрогдол (Зураг 11).

Энэ серифт P байрлалын алдааны томъёоны баруун гар талд гурван нэр томъёо байх ёстой.

o1 цэгийн A ба B гаралтаас (mO1) шугаман огтлолцлын алдаа, B ба C гаралтаас O2 цэгийн шугаман огтлолцлын алдаа (mO2), O1 ба O2 (mP) цэгүүдээс P цэгийн шугаман огтлолцлын алдаа,

Ховилын өнцөг r нь хамаарна харилцан тохиролцоо BC ба BA шугамууд ба B1 ба B2 өнцгүүд; инжирийн хувьд 11 энэ өнцгийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Практикт олон тохиолдлын хувьд P цэгийн жинхэнэ байрлалыг Р цэг дээр төвлөрсөн МП радиус тойрог дотор байна гэж үзэхэд хатуу онолын хувьд авч үзсэн шалгуурыг радиаль алдаа гэж нэрлэдэг. Нэмж дурдахад энэ онолд "алдааны эллипс" (2-р эрэмбийн муруй), "алдааны эллипс" (4-р эрэмбийн муруй) гэх мэт илүү төвөгтэй шалгууруудыг ашигладаг.

N\u003e 2 хэмжигдэхүүний тоогоор (олон ховилын дагуу) P цэгийг тэнцвэржүүлсэн хэмжлийн утгатай тохирох n байрлалын шугамын уулзвар дээр авна; огтлолцсон байрлалын судлууд 2 * n-gon үүсгэдэг. P цэгийн байрлал дахь хамгийн том алдааг P цэгээс энэ олон өнцөгтийн хамгийн дээд орой хүртэлх зайгаар тодорхойлно. Зураг 14-б нь P цэгийн байршлын алдааг бууруулахад гуравдахь хэмжээсийн гүйцэтгэх үүргийг харуулсан болно; Дашрамд хэлэхэд энэ зураг дээр хоёр дахь хэмжилт нь цэгийн байршлын алдааны утгад бараг ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй.

Гаригийн гадаргуу дээрх цэг бүр нь тодорхой байрлалтай бөгөөд өргөрөг, уртрагийн өөрийн координаттай тохирч байдаг. Энэ нь өргөрөгт тохирсон паралелиар уртраг хариуцдаг меридианы бөмбөрцөг нумын уулзвар дээр байрладаг. Үүнийг координатын системийн тодорхойлолттой градус, минут, секундээр илэрхийлсэн хос өнцгийн утгуудаар заана.

Өргөрөг ба уртраг гэдэг нь хавтгай эсвэл бөмбөрцгийн газарзүйн чиглэлийг байрзүйн зураг болгон хөрвүүлдэг. Цэгийг илүү нарийвчлалтай байрлуулахын тулд түүний далайн түвшнээс дээш өндөрт тооцогдох бөгөөд ингэснээр та үүнийг гурван хэмжээст орон зайд олох боломжтой болно.

Өргөрөг ба уртраг

Өргөрөг, уртрагийн координатаар цэг олох шаардлага нь аврагчид, геологчид, цэргийн хүмүүс, далайчид, археологчид, нисгэгчид, жолооч нарын үүрэг, мэргэжлээс үүдэлтэй боловч жуулчид, аялагчид, хайгч, судлаачдад хэрэгтэй байж магадгүй юм.

Өргөрөг гэж юу вэ, түүнийг хэрхэн олох вэ

Өргөрөг гэдэг нь объектоос экваторын шугам хүртэлх зай юм. Өнцгийн нэгжээр хэмжсэн (градус, мөндөр, минут, секунд гэх мэт). Газрын зураг эсвэл бөмбөрцөг дээрх өргөрөгийг экватортой параллель тойрог дүрслэн, туйлууд руу нарийссан цагиргуудаар нэгдэх шугамыг хэвтээ зэрэгцүүлэн харуулав.

Өргөргийн шугамууд

Тиймээс тэд хойд өргөргийг ялгаж салгасан болно - энэ бол экватороос хойд зүгт дэлхийн гадаргуугийн бүх хэсэг, мөн өмнөд хэсэг юм - энэ бол экватороос өмнө гаригийн гадаргуугийн бүхэл бүтэн хэсэг юм. Экватор нь тэг, хамгийн урт параллель юм.

• Экваторын шугамаас хойд туйл хүртэлх параллелуудыг 0 ° -аас 90 ° хүртэлх эерэг утга гэж үздэг бөгөөд 0 ° нь өөрөө экватор, 90 ° нь хойд туйлын орой юм. Тэднийг хойд өргөрөг (N) гэж тооцдог.
• Экватораас өмнөд туйл руу чиглэсэн параллелуудыг 0 ° -90 ° хүртэлх сөрөг утгаар зааж өгдөг бөгөөд -90 ° бол өмнөд туйлын байршил юм. Тэднийг өмнөд өргөрөг (S) гэж тооцдог.
• Бөмбөрцөг дээр параллелуудыг бөмбөгийг тойрон хүрээлж буй дугуйлан хэлбэрээр дүрсэлсэн бөгөөд тэдгээр нь туйл руу ойртох тусам багасдаг.
• Нэг паралель дээрх бүх цэгүүдийг ижил өргөрөгөөр, гэхдээ өөр өөр уртрагуудаар тэмдэглэнэ.
  Газрын зураг дээр тэдгээрийн масштаб дээр үндэслэн параллелууд нь хэвтээ, муруй, зураас хэлбэртэй байдаг - масштабын хэмжээ бага байх тусам паралель зураасыг илүү шулуун зурж, том байх тусам муруй болно.

Санаж байна уу! Тухайн газар нутаг экватор руу ойртох тусам өргөрөг нь бага байх болно.

Уртраг гэж юу вэ, түүнийг хэрхэн олох вэ

Уртраг гэдэг нь тухайн байршлын Гринвичтэй харьцуулсан байрлалыг, өөрөөр хэлбэл гол гол шугамыг хасах хэмжээг хэлнэ.

Уртрагийн шугам

Уртраг нь өнцгийн нэгжээр хэмжихдээ мөн адил 0, 180 °, зүүн буюу баруун гэсэн угтвартай хэмжигддэг.

• Гринвичийн гол гол гол нь дэлхийн бөмбөрцгийг босоо байдлаар хүрээлж, хоёр туйлыг дайран өнгөрч, баруун ба зүүн хагаст хуваана.
• Гринвичээс баруун зүгт (дэлхийн бөмбөрцгийн баруун хэсэгт) тус бүрийг баруун уртраг (w) гэж тодорхойлно.
• Гринвичээс зүүн тийш хамгийн зүүн, дэлхийн бөмбөрцгийн зүүн хэсэгт байрлах хэсэг тус бүр нь зүүн уртрагийн тэмдэглэгээг агуулна.
• Нэг голын дагуу цэг бүрийг олох нь ганц уртрагтай боловч өөр өргөрөгтэй байна.
• Меридиануудыг нуманд муруй босоо судал хэлбэрээр зурагладаг. Газрын зургийн масштабын хэмжээ бага байх тусам меридианы зурвас илүү шулуун болно.

Газрын зураг дээрх өгөгдсөн цэгийн координатыг хэрхэн олох

Ихэнх тохиолдолд та газрын зураг дээр хамгийн ойрын хоёр параллел ба меридиануудын хооронд байрлах цэгийн координатыг олж мэдэх хэрэгтэй. Ойролцоо өгөгдлийг нүдээр сонирхож буй газрын зураг дээр зурсан зураасуудын хоорондох градусын дарааллыг үнэлж, дараа нь тэдгээрийн хүссэн зайг харьцуулах замаар олж авч болно. Нарийвчлалтай тооцоолохын тулд танд захирагчтай харандаа эсвэл луужин хэрэгтэй болно.

• Эхний өгөгдлийн хувьд бид параллелийн тэмдэглэгээг гол цэг рүү хамгийн ойрхон авч үзье.
• Дараа нь бид тэдгээрийн судлын хоорондох алхамыг градусаар харна уу.
• Дараа нь бид газрын зургийн дагуух алхамуудын хэмжээг см-ээр харна.
• Бид өгөгдсөн цэгээс хамгийн ойрын параллел хүртэлх зайг см-ээр хэмжиж, энэ шугам ба зэргэлдээх хоорондох зайг хэмжиж, градус болгон хөрвүүлээд ялгааг нь харгалзан томоос нь хасах, эсвэл жижиг рүү нэмэх.
• Тиймээс бид өргөрөг авдаг.

Жишээ! Манай талбай байрладаг 40 ° ба 50 ° параллелуудын хоорондох зай нь 2 см эсвэл 20 мм бөгөөд тэдгээрийн хоорондох алхам нь 10 ° байна. Үүний дагуу 1 ° нь 2 мм-тэй тэнцүү байна. Бидний цэгийг дөчин параллелаас 0.5 см эсвэл 5 мм-ээр хасав. Бид ойролцоох параллелийн утга дээр нэмэх шаардлагатай 5/2 \u003d 2.5 ° хэмжигдэхүүний градусыг олно: 40 ° + 2.5 ° \u003d 42.5 ° - энэ бол өгөгдсөн цэгийн хойд өргөрөг юм. Дэлхийн бөмбөрцгийн өмнөд хэсэгт тооцоо төстэй боловч үр дүн нь сөрөг байна.

Үүний нэгэн адил, бид уртрагийг олж мэднэ.Хэрэв хамгийн ойр голчид Гринвичээс хол байгаа бөгөөд өгөгдсөн цэг нь ойрхон байвал, хэрэв меридиан Гринвичтэй ойрхон, цэг нь хол байгаа бол бид зөрүүг хасна.

Хэрэв зөвхөн луужин олдсон бол сегмент бүрийг үзүүрээр нь засаж, зайг хуваарьт шилжүүлнэ.

Дэлхийн бөмбөрцгийн гадаргуу дээрх координатын тооцоог ижил төстэй аргаар гүйцэтгэдэг.

Координатаар газар олох хамгийн сайн үйлчилгээ

Байршлаа олох хамгийн хялбар арга бол Google газрын зурагтай шууд ажилладаг үйлчилгээний PC хувилбар руу орох явдал юм. Олон хэрэгслүүд хөтөч дээр өргөрөг, уртраг оруулах үйл явцыг хялбарчилж өгдөг. Хамгийн сайныг нь авч үзье.

Газрын зураг ба чиглэл

Нэмж дурдахад, Газрын зураг ба чиглэл нь зөвхөн нэг товчлуур дээр дарж газрын зураг дээрх байршлын координатыг үнэгүй тодорхойлох боломжийг олгодог. "Миний координатыг олох" дээр дарж, үйлчилгээ нь даруй тэмдэглэгээг байрлуулж, өргөрөг, уртраг, мянга хүртэл уртраг, мөн өндрийг тодорхойлно.

Нэг сайт дээр та суурин газруудын хоорондох зайг эсвэл тухайн нутаг дэвсгэрийн талбайг хэмжих, маршрут зурах эсвэл аяллын хугацааг тооцоолох боломжтой. Энэхүү үйлчилгээ нь аялагч, сонирхдог хэрэглэгчдэд аль алинд нь хэрэгтэй.

Mapcoordinates.net

Mapcoordinates.net ашигтай хэрэгсэл нь дэлхийн аль ч бүсэд цэгийн координатыг олж мэдэх боломжийг олгодог. Энэхүү үйлчилгээ нь Google газрын зурагтай нэгдсэн боловч хялбаршуулсан интерфэйстэй тул бэлтгэлгүй хэрэглэгч ч ашиглах боломжтой юм.

"Хайлт" гэж бичсэн уг хэрэгслийн хаягийн мөрөнд өргөрөг, уртраг авахыг хүссэн газрынхаа хаягийг оруулна уу. Координаттай газрын зураг хүссэн байршилд маркерын хамт гарч ирнэ. Сонгосон цэгийн өргөрөг, уртраг, өндрийг тэмдэглэгээний дээр харуулах болно.

Харамсалтай нь Mapcoordinates.net нь тэдгээрийн координатыг мэдэж цэг хайхад тохиромжгүй юм. Гэсэн хэдий ч урвуу процедурын хувьд энэ нь маш тохиромжтой хэрэгсэл юм. Энэхүү үйлчилгээ нь олон хэл, түүний дотор орос хэлийг дэмждэг.

Google газрын зургийг ашиглан хөтөчөөр дамжуулан газрын зураг дээр координатаар хайх

Хэрэв та ямар нэгэн шалтгаанаар хялбаршуулсан үйлчилгээнд биш харин шууд Google газрын зураг дээр ажиллахыг илүүд үзэж байвал энэ заавар танд ашигтай байх болно. Google газрын зураг ашиглан координат хайх нь өмнөх аргуудаас арай илүү төвөгтэй боловч хурдан бөгөөд амархан эзэмшдэг.

Тухайн газрын яг координатыг олж мэдэхийн тулд дараахь энгийн зааврыг дагана уу.

Компьютер дээрээ үйлчилгээг нээнэ үү. Хөнгөн биш (тусгай аянганы дүрсээр тэмдэглэсэн) горимыг идэвхжүүлсэн байх нь чухал бөгөөд ингэхгүй бол мэдээлэл авах боломжгүй болно;

Хулганы баруун товчийг ашиглан танд хэрэгтэй цэг эсвэл цэг байрлах газрын зургийн хэсгийг дарна уу;

Гарч ирсэн цэснээс "Энд юу байна?" Сонголтыг шалгана уу;

Дэлгэцийн доод хэсэгт гарч ирэх табыг үзээрэй. Энэ нь өргөрөг, уртраг, өндрийг харуулах болно.

Мэдэгдэж буй газарзүйн координатыг ашиглан газрыг тодорхойлохын тулд өөр журам шаардагдана.

1. Google газрын зургийг компьютер дээрээ бүрэн горимоор нээх;

   Дэлгэцийн дээд хэсэгт байрлах хайлтын мөрөнд та координат оруулах боломжтой. Үүнийг дараахь форматаар хийж болно: градус, минут, секунд; градус ба аравтын минут; аравтын градус;

"Enter" товчлуурыг дарахад шаардлагатай газарт газрын зураг дээр тусгай тэмдэглэгээ гарч ирнэ.

Google Maps үйлчилгээг ашиглахад хамгийн чухал зүйл бол газарзүйн координатыг зөв тодорхойлох явдал юм. Картууд нь цөөхөн хэдэн өгөгдлийн форматыг таньдаг тул дараах оруулах дүрмийг анхаарч үзээрэй.

Зэрэг оруулахдаа тусгай тэмдэгтийг “d” биш харин “°” ашиглана уу;

Та бүхэл ба бутархай хэсгүүдийн хооронд тусгаарлагч болгон таслалыг бус цэгийг ашиглах ёстой, эс тэгвэл хайлтын мөр нь байр өгөх боломжгүй болно;

Эхлээд өргөрөг, дараа нь уртргийг заана. Эхний параметрийг -90-90 хооронд, хоёр дахь нь -180-аас 180 хооронд бичсэн байх ёстой.

Компьютерийн гар дээр тусгай тэмдэгт олоход хэцүү байдаг бөгөөд шаардлагатай дүрмийн жагсаалтыг дагаж мөрдөхөд маш их хүчин чармайлт шаардагдана. Тусгай хэрэгслүүдийг ашиглах нь илүү хялбар байдаг - бид эдгээр хэсэгт хамгийн сайныг нь дээрх хэсэгт жагсаав.

Андройд үйлдлийн систем дээр өргөрөг, уртрагийн дагуу газар хайж байна

Ихэнхдээ зөөврийн компьютер эсвэл хувийн компьютерээс хол байгаа координатын байршлыг олох шаардлагатай байдаг. Андройд платформ дээр ажилладаг Google Maps мобайл аппликешн туслах болно. Ихэнхдээ энэ нь маршрутыг төлөвлөх эсвэл тээврийн хэрэгслийн хөдөлгөөний хуваарийг олоход ашиглагддаг боловч хөтөлбөр нь цэг эсвэл цэгийн байршлыг олоход тохиромжтой байдаг.

Та Google Play дээрх албан ёсны хуудсан дээрээс Android програмыг татаж авах боломжтой. Энэ нь орос хэл дээр болон англи... Програмыг суулгасны дараа доорх зааврыг дагана уу.

Google газрын зургийг төхөөрөмж дээрээ нээгээд газрын зураг гарч ирэхийг хүлээнэ үү;

Таныг сонирхож буй газрыг хайж олох. Үүн дээр дарж, тусгай тэмдэглэгээ гарах хүртэл барь;

Дэлгэцийн дээд хэсэгт хайлтын хайрцаг болон тухайн газрын бүх координат бүхий цонх гарч ирнэ;

Хэрэв та координатаар биш харин эсрэгээр байраа олох хэрэгтэй бол хөдөлгөөнт төхөөрөмж дээрх арга нь компьютер дээрх өөр хувилбараас ялгаатай биш юм.

Үйлчилгээний мобайл хувилбар нь компьютер дээр ажилладагтай адил хүссэн газраа нарийвчлан судлах, яг координатаа олох, эсвэл эсрэгээр мэдэгдэж буй өгөгдлөөс хаягийг таних боломжийг олгоно. Энэ бол гэртээ болон замд тохиромжтой арга юм.

Энэ нийтлэлд бид геометрийн олон асуудлыг энгийн арифметик болгож багасгах боломжийг олгох нэг "шидэт саваа" -ны талаар ярилцаж эхлэх болно. Энэхүү "саваа" нь таны амьдралыг ихээхэн хөнгөвчлөх боломжтой, ялангуяа орон зайн зураг, хэсэг гэх мэтийг өөртөө итгэлгүй хандах тохиолдолд энэ бүхэн тодорхой төсөөлөл, практик ур чадвар шаарддаг. Энд авч үзэх арга нь бүх төрлийн геометрийн хийц, үндэслэлээс бараг бүрэн хийсвэрлэх боломжийг танд олгоно. Арга гэж нэрлэдэг "Координатын арга"... Энэ нийтлэлд бид дараахь асуултуудыг авч үзэх болно.

1. Координатын хавтгай
2. Хавтгай дахь цэгүүд ба векторууд
3. Хоёр цэгээс вектор байгуулах
4. Векторын урт (хоёр цэгийн хоорондох зай)
5. Дунд цэгийн координат
6. Векторуудын цэгэн бүтээгдэхүүн
7. Хоёр векторын хоорондох өнцөг

Координатын аргыг яагаад ингэж нэрлэдэг болохыг та аль хэдийн таамаглаж байсан гэж бодож байна? Тэрээр геометрийн объектуудтай биш, харин тэдгээрийн тоон шинж чанаруудтай (координатууд) ажилладаг тул ийм нэр авсан нь үнэн юм. Өөрчлөлт нь геометрээс алгебр руу шилжих боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь координатын системийг нэвтрүүлэхэд оршино. Хэрэв анхны зураг хавтгай байсан бол координат нь хоёр хэмжээст, хэрэв зураг нь гурван хэмжээст бол координат нь гурван хэмжээст болно. Энэ нийтлэлд бид зөвхөн хоёр хэмжээст хэргийг авч үзэх болно. Өгүүллийн гол зорилго нь координатын аргын зарим үндсэн техникийг хэрхэн ашиглахыг заах явдал юм (эдгээр нь заримдаа USE-ийн B хэсэгт планиметрийн талаархи асуудлуудыг шийдвэрлэхэд ашигтай байдаг). Энэ сэдвийн дараагийн хоёр хэсэг нь С2 асуудлыг шийдвэрлэх арга замын талаар ярилцах болно (стереометрийн асуудал).

Координатын аргыг хэлэлцэж эхлэх нь хаанаас логиктой вэ? Координатын системийн тухай ойлголтоос гарсан байх. Анх түүнтэй хэзээ уулзаж байснаа санаарай. Жишээлбэл, 7-р ангид шугаман функц байдаг тухай сурч мэдсэн юм шиг санагддаг. Та үүнийг цэг бүрээр барьсан гэдгийг сануулъя. Чи санаж байна уу? Та дурын тоог сонгож томъёонд оруулан ингэж тооцоолов. Жишээлбэл, if, then, if, then гэх мэтээр та эцэст нь юу олж авсан бэ? Та координаттай оноо авсан: ба. Дараа нь та "хөндлөн" (координатын систем) зурж, түүн дээр масштабыг сонгож (нэгж сегмент болгон хэдэн нүдтэй болно), үүн дээр авсан цэгүүдээ тэмдэглээд дараа нь шулуун шугамаар холбосон бөгөөд үр дүн нь функцийн график болно.

Танд илүү нарийвчлан тайлбарлах хэд хэдэн зүйлийг энд оруулав.

1. Та тав тухтай байдлыг хангах үүднээс нэг сегментийг сонгосон тул зураг дээрх бүх зүйл эвтэйхэн, нягт нийцэж байна

2. Тэнхлэг нь зүүнээс баруун тийш, тэнхлэг нь доороос дээшээ явдаг гэж үздэг

3. Тэдгээрийг тэгш өнцөгтөөр огтлолцох ба огтлолцох цэгийг гарал үүсэл гэж нэрлэдэг. Үүнийг үсгээр тэмдэглэсэн болно.

4. Цэгийн координатыг тэмдэглэхдээ жишээлбэл, зүүн талд хаалтанд цэгийн тэнхлэгийн дагуу координат, баруун талд тэнхлэгийн дагуу орно. Ялангуяа энэ нь зүгээр л цэг дээр гэсэн үг юм

5. Координатын тэнхлэг дээр дурын цэгийг тохируулахын тулд түүний координатыг (2 тоо) зааж өгөх хэрэгтэй.

6. Тэнхлэг дээр хэвтэж байгаа аливаа цэгийн хувьд

7. Тэнхлэг дээр хэвтэж байгаа аливаа цэгийн хувьд

8. Тэнхлэгийг abscissa тэнхлэг гэж нэрлэдэг

9. Тэнхлэгийг y тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

Одоо дараагийн алхамаа тантай хамт хийцгээе: хоёр цэгийг тэмдэглэ. Эдгээр хоёр цэгийг сегменттэй холбож үзье. Сумаа цэгээс цэг хүртэл зурж байгаа юм шиг сумаа тавиад үзье, өөрөөр хэлбэл бид сегментээ чиглүүлье!

Чиглүүлэгч шугамыг өөр юу гэж нэрлэдэгийг санаарай. Тийм ээ, үүнийг вектор гэдэг!

Тиймээс, хэрэв бид цэгийг цэгтэй холбовол, эхлэл нь А цэг, төгсгөл нь Б цэг, дараа нь бид вектор авна. Та бас 8-р ангидаа энэ формацийг хийж байсан, санаж байна уу?

Векторуудыг цэгүүд шиг хоёр тоогоор тэмдэглэж болох юм: эдгээр тоонуудыг векторын координатууд гэж нэрлэдэг. Асуулт нь: векторын координатыг олохын тулд векторын эхлэл ба төгсгөлийн координатыг мэдэх нь бидэнд хангалттай гэж та бодож байна уу? Тийм ээ! Үүнийг маш энгийн байдлаар хийдэг:

Тиймээс векторын цэг нь эхлэл ба а төгсгөл тул вектор дараахь координатуудтай байна:

Жишээлбэл, хэрэв, дараа нь векторын координат

Одоо эсрэгээр нь хийж, векторын координатыг олъё. Үүний тулд бид юуг өөрчлөх хэрэгтэй вэ? Тийм ээ, та эхлэл ба төгсгөлийг солих хэрэгтэй: одоо векторын эхлэл цэг дээр, төгсгөл нь цэг дээр байх болно. Дараа нь:

Сайн хараарай, векторууд ямар байна вэ? Тэдний ялгаа нь зөвхөн координатын тэмдэг юм. Тэд эсрэгээрээ байна. Энэ баримтыг ингэж бичдэг заншилтай байдаг:

Заримдаа, аль цэг нь векторын эхлэл, аль нь төгсгөл болохыг тодорхой заагаагүй бол векторыг хоёр том үсгээр биш харин нэг жижиг үсгээр тэмдэглэнэ, жишээлбэл:

Одоо бага зэрэг дадлага хийх өөрөө өөртөө дараахь векторуудын координатыг олоорой.

Баталгаажуулалт:

Одоо асуудлыг арай илүү шийд:

Энэ цэг дээр на-ча-ломтой вектор нь ко-ди-на-титэй байдаг. Nay-di-тэдгээр abs-cis-su цэгүүд.

Үүнтэй ижил төстэй байдал нь цэгийн координат байг. Дараа нь

Би векторын координат гэж юу болохыг тодорхойлох замаар системийг бүтээсэн. Дараа нь цэг нь координаттай байна. Бид абциссисыг сонирхож байна. Дараа нь

Хариулт:

Та векторуудаар өөр юу хийж чадах вэ? Тийм ээ, бараг бүх зүйл ердийн тоотой адилхан (та хувааж болохгүй, гэхдээ та хоёр аргаар үржүүлж болно, үүний нэгийг бид энд дараа нь авч үзэх болно)

1. Векторуудыг хооронд нь нэмж болно
2. Векторуудыг бие биенээсээ хасаж болно
3. Векторыг дурын тэгээс бусад тоогоор үржүүлж (эсвэл хувааж) болно
4. Векторуудыг хооронд нь үржүүлж болно

Эдгээр бүх үйлдлүүд нь маш тодорхой геометрийн дүрслэлтэй байдаг. Жишээлбэл, нэмэх ба хасах гурвалжин (эсвэл параллелограмм) дүрэм:

Векторыг үржүүлж эсвэл тоогоор хуваахад чиглэлээ тэлэх, багасгах эсвэл чиглэлээ өөрчлөх:

Гэсэн хэдий ч координатаар юу болж байгааг бид эндээс сонирхох болно.

1. Хоёр векторыг нэмэх (хасах) үед бид тэдгээрийн координатын элементийг элементээр нэмж (хасдаг). Өөрөөр хэлбэл:

2. Векторыг тоогоор үржүүлэх (хуваах) үед түүний бүх координатыг дараахь тоогоор үржүүлнэ (хуваана).

Жишээлбэл:

· Ко-ор-ди-нат век-то-ра-ийн нийлбэр.

Эхлээд вектор тус бүрийн координатыг олъё. Тэд хоёулаа ижил гарал үүсэлтэй - гарал үүслийн цэг. Тэдний төгсгөлүүд өөр өөр байдаг. Дараа нь ,. Одоо векторын координатыг тооцоолъё Дараа нь үүссэн векторын координатын нийлбэр нь болно.

Хариулт:

Одоо дараахь асуудлыг өөрөө шийд:

Векторын координатын нийлбэрийг ол

Бид шалгаж байна:

Одоо дараахь асуудлыг авч үзье координатын хавтгай... Тэдний хоорондох зайг хэрхэн олох вэ? Эхний цэг нь, хоёр дахь нь байг. Тэдгээрийн хоорондын зайг тэмдэглэе. Илүү тодорхой болгохын тулд дараахь зургийг зурцгаая.

Би юу хийчихэв ээ? Эхлээд би холбогдсон оноо ба, мөн цэгээс би тэнхлэгтэй параллель шугам, цэгээс тэнхлэгтэй параллель шугам татав. Тэд нэг цэг дээр огтлолцож, гайхалтай дүр төрхийг бий болгосон уу? Энэ нь юугаараа онцлог вэ? Тийм ээ, та бид хоёр тэгш өнцөгт гурвалжингийн бараг бүх зүйлийг мэддэг. Пифагорын теорем бол мэдээжийн хэрэг. Хайсан сегмент нь энэ гурвалжны гипотенуз ба сегментүүд нь хөл юм. Цэгийн координат гэж юу вэ? Тийм ээ, тэдгээрийг зураг дээрээс олоход хялбар байдаг: хэрчмүүд тэнхлэгүүдтэй параллель тул тэдгээрийн уртыг олоход хялбар байдаг: хэрвээ та сегментүүдийн уртыг тус тус тэмдэглэвэл дараа нь

Одоо Пифагорын теоремыг ашиглая. Бид хөлний уртыг мэддэг, гипотенузыг олох болно.

Тиймээс хоёр цэгийн хоорондох зай нь координатаас ялгаатай квадратуудын нийлбэрийн үндэс болно. Эсвэл хоёр цэгийн хоорондох зай нь тэдгээрийг холбосон шугамын урт юм. Цэгүүдийн хоорондох зай нь чиглэлээс хамааралгүй болохыг харахад хялбар байдаг. Дараа нь:

Үүнээс бид дараах гурван дүгнэлтийг гаргаж байна.

Хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолох бяцхан дасгал хийцгээе.

Жишээлбэл, хэрэв бол, ба хоорондын зай

Эсвэл өөрөөр явъя: векторын координатыг ол

Векторын уртыг олоорой.

Таны харж байгаагаар ижил зүйл!

Одоо жаахан дасгал хий:

Даалгавар: заасан цэгүүдийн хоорондох зайг олох:

Бид шалгаж байна:

Эдгээр нь арай өөр сонсогдож байгаа боловч ижил томъёоны хувьд өөр хоёр асуудлыг энд оруулав.

1. Зууны төгсгөлийн урттай Nay-di-te дөрвөлжин.

2. Най-ди-те-р зууны урт дөрвөлжин оготно

Та тэдэнтэй амархан хийсэн гэж бодож байна уу? Бид шалгаж байна:

1. Мөн энэ нь анхаарал хандуулах болно) Бид векторуудын координатыг аль хэдийн олсон бөгөөд өмнө нь:. Дараа нь вектор нь координаттай байна. Түүний уртын квадрат нь:

2. Векторын координатыг ол

Дараа нь түүний уртын квадрат нь болно

Ямар ч төвөгтэй зүйл алга, тийм үү? Энгийн арифметик, үүнээс өөр зүйл байхгүй.

Дараахь ажлуудыг хоёрдмол утгагүйгээр ангилах боломжгүй бөгөөд ерөнхий мэдлэг, энгийн зураг зурах чадвартай байдаг.

1. Абсисса тэнхлэгтэй, огтлолцсон, нэг-ня-ю-шч-цэгээс өнцөгт Nay-di-te синус.

болон

Бид энд юу хийх гэж байна вэ? Та тэнхлэгийн хоорондох өнцгийн синусыг олох хэрэгтэй. Синусыг яаж хайхаа бид хаанаас мэддэг вэ? Тэгш өнцөгт гурвалжинд. Тэгэхээр бид юу хийх хэрэгтэй вэ? Энэ гурвалжинг барь!

Цэгийн координатууд нь ба тул сегмент нь тэнцүү, хэрчмээр байна. Бид өнцгийн синусыг олох хэрэгтэй. Синус бол эсрэг хөлний гипотенузтай харьцуулсан харьцаа гэдгийг сануулъя

Бидний хийх зүйл юу үлдсэн бэ? Гипотенузыг ол. Та үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Би хоёр дахь замаар явах болно:

Хариулт:

Дараагийн даалгавар нь танд бүр ч хялбар мэт санагдах болно. Тэр цэгийн координат дээр.

Зорилт 2. Пер-пен-ди-ку-ларыг цэгээс abs-ciss тэнхлэг рүү буулгана. Nay-di-te abs-cis-su os-no-va-nia per-pen-di-ku-la-ra.

Зураг зурцгаая.

Перпендикулярын суурь нь абцисса тэнхлэг (тэнхлэг) -ийг гатлах цэг бөгөөд миний хувьд энэ цэг юм. Энэ нь координаттай болохыг харуулж байна. Бид abscissa - өөрөөр хэлбэл "X" бүрэлдэхүүн хэсгийг сонирхож байна. Энэ нь тэнцүү юм.

Хариулт: .

Зорилт 3. Өмнөх бодлогын нөхцөлд цэгээс координатын тэнхлэг хүртэлх зайны нийлбэрийг ол.

Хэрэв цэгээс тэнхлэг хүртэлх зай ямар байгааг мэддэг бол даалгавар нь ерөнхийдөө анхан шатны байдаг. Та мэдэж байна уу? Би найдаж байна, гэхдээ би одоо ч гэсэн танд сануулж байна:

Жаахан өндөрт байрлах миний зураг дээр би ийм перпендикуляр аль хэдийн зурчихсан байна уу? Энэ нь аль тэнхлэгт хамаарах вэ? Тэнхлэг рүү. Түүний урт нь хэдтэй тэнцүү вэ? Энэ нь тэнцүү юм. Одоо тэнхлэгт перпендикуляр зурж, уртыг нь олоорой. Энэ нь тэнцүү байх болно, тийм үү? Дараа нь тэдний нийлбэр тэнцүү байна.

Хариулт: .

Асуудал 4. Бодлогын 2-р нөхцөлд абцисса тэнхлэгтэй харьцуулсан цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн ординатыг ол.

Та тэгш хэм гэж юу болохыг зөн совиндоо ойлгосон гэж бодож байна уу? Олон объектод байдаг: олон барилга, ширээ, онгоц, олон геометрийн дүрс: бөмбөг, цилиндр, дөрвөлжин, ромб гэх мэт. Бүдүүнгээр хэлбэл тэгш хэмийг дараахь байдлаар ойлгож болно: зураг нь хоёр (ба түүнээс дээш) ижил хагасаас бүрдэнэ. Энэ тэгш хэмийг тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Дараа нь тэнхлэг гэж юу вэ? Энэ бол дүрсийг харьцангуй ярихад тэнцүү талыг нь "огтолж" болох шугам юм (энэ зураг дээр тэгш хэмийн тэнхлэг нь шулуун шугам юм):

Одоо асуудалдаа эргэн орцгооё. Бид тэнхлэгийн дагуу тэгш хэмтэй цэг хайж байгаагаа мэддэг. Дараа нь энэ тэнхлэг нь тэгш хэмийн тэнхлэг юм. Тиймээс бид цэгийг тэмдэглэх хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр тэнхлэг нь сегментийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана. Ийм цэгийг өөрөө тэмдэглэж үзээрэй. Одоо миний шийдэлтэй харьцуулаарай:

Та ч бас тэгсэн үү? Сайн байна! Олдсон цэг дээр бид ординатыг сонирхож байна. Тэр тэнцүү

Хариулт:

Одоо надад хэдэн секундын тухай бодсоны дараа ординаттай харьцуулбал А цэгийн тэгш хэмтэй цэгийн абцисс ямар байх вэ? Таны хариулт юу вэ? Зөв хариулт: .

Ерөнхийдөө дүрмийг дараах байдлаар бичиж болно.

Абцисса тэнхлэгтэй харьцуулсан цэг рүү тэгш хэмтэй цэг нь координаттай байна.

Ординатын тэнхлэгийн цэг рүү тэгш хэмтэй цэг нь координаттай байна.

Одоо бол бүр аймаар байна даалгавар: цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн координатыг эхлэлтэй харьцуулан олох. Та эхлээд өөрөө бодоод, дараа нь миний зурсан зургийг үзээрэй!

Хариулт:

Одоо параллелограмын асуудал:

Бодлого 5: Оноо нь ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Nay-di-te эсвэл-di-na-tu оноо.

Та энэ асуудлыг логик ба координатын арга гэсэн хоёр аргаар шийдэж болно. Би эхлээд координатын аргыг хэрэглэж, дараа нь та өөрөөр яаж шийдэж болохыг танд хэлье.

Энэ цэгийн абцисса нь гэдэг нь тодорхой байна. (энэ нь цэгээс абцисса тэнхлэг рүү татсан перпендикуляр дээр байрладаг). Бид ординатыг олох хэрэгтэй. Бидний дүрс нь параллелограмм болохыг далимдуулъя. Хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан сегментийн уртыг ол.

Бид цэгийг тэнхлэгтэй холбосон перпендикулярыг доошлуулдаг. Уулзварын цэгийг үсгээр тэмдэглэнэ.

Сегментийн урт нь. (бид энэ асуудлыг хэлэлцсэн асуудлыг өөрөө олоорой), дараа нь сегментийн уртыг Пифагорын теоремоор олно уу.

Сегментийн урт нь түүний ординаттай яг ижил байна.

Хариулт: .

Өөр нэг шийдэл (Би үүнийг дүрсэлсэн зургийг л өгөх болно)

Шийдлийн явц:

1. Удирдамж

2. Цэгийн координат ба уртыг олох

3. Үүнийг батал.

Дахиад нэг сегментийн урт таавар:

Эдгээр цэгүүд нь Xia ver-shi-na-mi tre-coal-ni-ka гарч ирдэг. Най-ди-те бол түүний дунд шугамын урт буюу парал-лел-ной юм.

Гурвалжны дунд шугам гэж юу байдгийг санаж байна уу? Дараа нь энэ даалгавар нь таны хувьд энгийн зүйл юм. Хэрэв та санахгүй байгаа бол би танд сануулах болно: гурвалжны дунд шугам нь эсрэг талын хоёрын дунд цэгийг холбосон шугам юм. Энэ нь суурийн зэрэгцээ, түүний хагастай тэнцүү байна.

Суурь нь шугаман хэсэг юм. Уртыг нь эрт хайх хэрэгтэй байсан, тэнцүү байна. Дараа нь дунд шугамын урт нь хагас ба тэнцүү байна.

Хариулт: .

Тайлбар: энэ асуудлыг өөр аргаар шийдэж болох бөгөөд дараа нь бид бага зэрэг хандах болно.

Энэ хооронд танд зориулагдсан хэд хэдэн даалгавар байна, эдгээрийг хэрэгжүүл, маш энгийн боловч координатын аргыг ашиглан "гараа авахад" тусална!

1. Оноо нь ver-shi-na-mi tra-petsii юм. Nay-di-te бол түүний дунд шугамын урт юм.

2. Цэгүүд ба are-la-is-Xia ver-shi-na-mi pa-ra-le-lo-gram-ma. Nay-di-te эсвэл-di-na-tu оноо.

3. Nay-di-te урт нь зүсэгдсэн, хамтарсан дан-nya-yu-shch-go цэг ба

4. Ко-ор-ди-нат-ной хавтгай дээрх үзэсгэлэнтэй fi-gu-ry-ийн Nay-di-te хэсэг.

5. na-cha-le ko-or-di-nat төвтэй тойрог цэгээр дамжин өнгөрдөг. Най-ди-te түүний ра-ди-бид.

6. Тэгш өнцөгт-нүүрс-никийн эргэн тойронд дүрсэлсэн сан-ной тойргийн най-ди-те ра-ди-ус, co-ro-go-ийн оройнууд нь хамтын ажиллагаатай -di-na-you хамтран малын эмч-гэхдээ

Шийдэл:

1. Трапецийн дунд шугам нь түүний суурийн хагас нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. Суурь нь тэнцүү, суурь нь тэнцүү байна. Дараа нь

Хариулт:

2. Энэ асуудлыг шийдэх хамгийн хялбар арга бол үүнийг анзаарах явдал юм (параллелограмм дүрэм). Векторуудын координатыг тооцоолох нь тийм ч хэцүү биш юм. Вектор нэмэх үед координатууд нэмэгддэг. Дараа нь координаттай. Векторын гарал үүсэл нь координаттай цэг тул цэг нь ижил координаттай байна. Бид ординатыг сонирхож байна. Энэ нь тэнцүү юм.

Хариулт:

3. Бид хоёр цэгийн хоорондох зайг томъёоны дагуу даруй ажиллана.

Хариулт:

4. Зургийг хараад надад хэлээч, аль хоёр дүрсний хооронд сүүдэрлэсэн хэсэг нь "хавчуулагдсан" вэ? Энэ нь хоёр талбайн хооронд хавчуулагдсан байдаг. Дараа нь шаардагдах зургийн талбай нь жижиг дөрвөлжинг хассан том квадратын талбайтай тэнцүү байна. Жижиг дөрвөлжингийн тал нь цэгүүдийг холбосон шулуун хэсэг бөгөөд түүний урт нь юм

Дараа нь жижиг дөрвөлжин талбай нь

Бид том дөрвөлжинтэй ижил зүйлийг хийдэг: түүний тал нь цэгүүдийг холбосон хэсэг бөгөөд түүний урт нь юм

Дараа нь том талбайн талбай нь

Шаардлагатай зургийн талбайг дараахь томъёогоор олно.

Хариулт:

5. Хэрэв тойрог нь координатын гарал үүслийг төв болгож цэгээр дайран өнгөрвөл түүний радиус нь сегментийн урттай яг тэнцүү байх болно (зураг зурж, яагаад энэ нь ойлгомжтой болохыг ойлгох болно). Энэ сегментийн уртыг олъё.

Хариулт:

6. Тэгш өнцөгтийг тойрсон тойргийн радиус нь диагоналийн хагастай тэнцүү гэдгийг мэддэг. Хоёр диагоналын аль нэгнийх нь уртыг олъё (тэгш өнцөгт дээр тэд тэнцүү байна!)

Хариулт:

Та бүх зүйлийг шийдсэн үү? Үүнийг олох нь тийм ч хэцүү биш байсан биз дээ? Энд дүрмийг дүрсэлсэн дүрс хийх боломжтой бөгөөд үүнээс бүх өгөгдлийг "унших" хэрэгтэй.

Бидэнд маш бага зүйл үлдсэн. Миний ярихыг хүсч буй өөр хоёр зүйл шууд утгаараа байна.

Энэ энгийн асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе. Хоёр оноо өгье. Сегментийн дунд цэгийн координатыг ол. Энэ асуудлын шийдэл нь дараах байдалтай байна: цэгийг хүссэн дунд цэг болгож, дараа нь координаттай байна.

Өөрөөр хэлбэл: дунд цэгийн координат \u003d сегментийн харгалзах координатын арифметик дундаж.

Энэ дүрэм нь маш энгийн бөгөөд ихэвчлэн оюутнуудад хүндрэл учруулдаггүй. Ямар даалгавар, түүнийг хэрхэн ашиглаж байгааг харцгаая.

1. Nay-di-te or-di-na-tu-re-di-us, cut-co-uni-nya-yu-shch-go цэг ба

2. Оноо нь-la-yut-sya ver-shi-na-mi-you-rekh-coal-no-ka. Nay-di-te or-di-na-tu pe-re-se-ch-niya түүний dia-go-na-lei.

3. Ко-то-ро-го-гийн орой, нүүрс-но-ка орчмыг дүрсэлсэн-сан-ной тойргийн тойргийн төв-тра-абс-цис-су. хамтарч ажиллах эмч-гэхдээ.

Шийдэл:

1. Эхний асуудал бол зүгээр л сонгодог зүйл юм. Бид сегментийн дунд хэсгийг тодорхойлохын тулд даруй ажиллана. Энэ нь координаттай. Ординат нь.

Хариулт:

2. Өгөгдсөн дөрвөлжин нь параллелограмм (тэр ч байтугай ромб!) Болохыг харахад хялбар байдаг. Та үүнийг хажуугийн уртыг тооцоолж, хооронд нь харьцуулж нотолж болно. Зэрэгцээ байдлын талаар би юу мэддэг вэ? Түүний диагональ нь огтлолцлын цэгээр хоёр дахин багасдаг! Аа! Тэгэхээр диагональ огтлолцох цэг нь юу вэ? Энэ бол аль ч диагоналийн дунд хэсэг юм! Би, ялангуяа диагональыг сонгох болно. Дараа нь цэг нь координаттай байна Цэгийн ординат нь.

Хариулт:

3. Тэгш өнцөгтийн тойрог тойргийн төв нь юутай давхцдаг вэ? Энэ нь түүний диагональуудын огтлолцох цэгтэй давхцаж байна. Тэгш өнцөгтийн диагональуудын талаар та юу мэддэг вэ? Тэд тэнцүү бөгөөд огтлолцлын цэгийг хоёр дахин багасгасан. Даалгаврыг өмнөх рүү нь багасгасан. Жишээлбэл, диагональыг ав. Хэрэв тойрог тойрсон төв бол дунд нь гэсэн үг юм. Координат хайж байна: Абскисса тэнцүү байна.

Хариулт:

Одоо өөрөө жаахан дасгал хий, би асуудал болгоны хариуг л өгье, ингэснээр та өөрийгөө сорьж үзээрэй.

1. Nai-di-te ra-di-us тойрог, гурвалжингийн эргэн тойронд дүрсэлсэн-сан-ной, co-to-ro-go-ийн оройнууд co-or-di-тай байна. -мистергүй

2. Nay-di-te or-di-na-tu тойргийн төв тра, гурвалжин-никийн эргэн тойронд дүрсэлсэн-сан-ной, ко-то-ро-го-гийн орой солбицол

3. abs-cissa тэнхлэгтэй зэрэгцүүлэн цэгцлэхэд төвтэй тойрог яаж байх ёстой вэ?

4. Nay-di-te or-di-na-tu тэнхлэг ба дахин огтлох цэгүүд, co-uni-nya-yu-shch-go цэг ба

Хариултууд:

Та амжилтанд хүрсэн үү? Би үүнд үнэхээр найдаж байна! Одоо - сүүлчийн түлхэлт. Ялангуяа одоо болгоомжтой байгаарай. Миний одоо тайлбарлах материал нь шууд хамааралтай биш юм энгийн ажлууд В хэсгийн координатын аргын талаар, гэхдээ энэ нь С2 бодлогын хаа сайгүй байдаг.

Миний амлалтын аль нь хараахан биелээгүй байна вэ? Би векторууд дээр ямар үйлдлүүдийг танилцуулахаа амлаж байснаа санаж, эцэст нь алийг нь нэвтрүүлсэн бэ? Би юу ч мартсан уу? Би мартсан! Векторыг үржүүлэх нь юу гэсэн үг болохыг тайлбарлахаа мартав.

Векторыг вектороор үржүүлэх хоёр арга байдаг. Сонгосон аргаас хамааран бид янз бүрийн шинж чанартай объектуудыг авах болно.

Вектор бүтээгдэхүүн нь нэлээд төвөгтэй байдаг. Үүнийг хэрхэн хийх, юунд зориулагдсан болохыг бид дараагийн өгүүллээр ярилцах болно. Энэ хэсэгт бид цэгэн бүтээгдэхүүн дээр анхаарлаа төвлөрүүлэх болно.

Үүнийг тооцоолох хоёр арга бий:

Таны таамаглаж байснаар үр дүн ижил байх ёстой! Эхлээд эхний арга замыг авч үзье.

Координатын хувьд цэгийн бүтээгдэхүүн

Олох: - нийтлэг цэг бүтээгдэхүүний тэмдэглэгээ

Тооцооллын томъёо дараах байдалтай байна.

Энэ нь цэгийн үржвэр \u003d векторуудын координатын үржвэрүүдийн нийлбэр юм!

Жишээ:

Nai di te

Шийдвэр:

Вектор тус бүрийн координатыг олъё.

Бид цэгийн бүтээгдэхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Хариулт:

Харахад үнэхээр төвөгтэй зүйл алга!

За одоо өөрөө үзээрэй:

Nay-di-te scalar-noe pro-iz-ve-de-vek-to-moat ба

Та чадсан уу? Магадгүй та жижиг загас барихыг анзаарсан уу? Шалгаж үзье:

Векторуудын координат нь өмнөх даалгавартай ижил байна! Хариулт:.

Координатаас гадна векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар цэгийн бүтээгдэхүүнийг тооцоолох өөр арга бий.

Ба векторуудын хоорондох өнцгийг заана.

Энэ нь цэгийн үржвэр нь векторын уртын хоорондох өнцгийн косинусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Энэ хоёрдахь томъёо бидэнд яагаад хэрэгтэй вэ, хэрэв эхнийх нь хамаагүй хялбар бол, дор хаяж түүнд косинус байхгүй болно. Бид векторуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн олохыг эхний ба хоёр дахь томъёоноос гаргаж авахад шаардлагатай байна!

Дараа нь векторын уртын томъёог санаарай!

Дараа нь хэрэв би энэ өгөгдлийг цэгийн бүтээгдэхүүний томъёонд орлуулах юм бол би дараахь зүйлийг авна.

Гэхдээ өөрөөр хэлбэл:

Тэгэхээр та бид хоёр юу авсан юм бэ? Хоёр векторын хоорондох өнцгийг тооцоолох томъёо одоо бидэнд байна! Заримдаа товчлохын тулд ингэж бичдэг:

Энэ нь векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолох алгоритм дараах байдалтай байна.

1. Цэгэн бүтээгдэхүүнийг координатын хувьд тооцоолно уу
2. Векторуудын уртыг олж, тэдгээрийг үржүүл
3. 1-р цэгийн үр дүнг 2-р цэгийн үр дүнд хуваана

Жишээн дээр дасгал хийцгээе:

1. Nay-di-зууны хоорондох өнцөг. Хариултыг нь гра-ду-сах хэлээр өг.

2. Өмнөх бодлогын нөхцөлд векторуудын хоорондох косинусыг ол

Үүнийг хийцгээе: Би танд эхний асуудлыг шийдвэрлэхэд туслах болно, дараа нь өөрөө хийхийг хичээ! Би зөвшөөрч байна? Дараа нь эхэлье!

1. Эдгээр векторууд бол бидний эртний танилууд юм. Бид тэдгээрийн цэгэн бүтээгдэхүүнийг аль хэдийн тоолсон бөгөөд тэнцүү байсан. Тэдний координат нь:,. Дараа нь бид тэдгээрийн уртыг олж мэднэ.

Дараа нь бид векторуудын хоорондох косинусыг хайж байна.

Өнцгийн косинус гэж юу вэ? Энэ бол булан юм.

Хариулт:

Одоо хоёрдахь асуудлыг өөрөө шийд, дараа нь бид харьцуулах болно! Би зөвхөн маш богино шийдлийг өгөх болно.

2. координаттай, координаттай байна.

Ба, дараа нь векторуудын хоорондох өнцөг байг

Хариулт:

Шалгалтын ажлын В хэсгийн координатын арга, векторууд дээр шууд асуудал гардаг нь ховор тохиолддог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч C2 асуудлын дийлэнх хэсгийг координатын системийг нэвтрүүлснээр хялбархан шийдвэрлэх боломжтой. Тиймээс та энэ нийтлэлийг үндэс суурь гэж үзэж болох бөгөөд үүний үндсэн дээр бид шийдэх ёстой нэлээд төвөгтэй бүтээн байгуулалтыг хийх болно. хэцүү даалгаварууд.

Зохицуулалт ба векторууд. ДУНД РУВАН

Та бид координатын аргыг үргэлжлүүлэн судалж байна. Сүүлийн хэсэгт бид дараахь зүйлийг зөвшөөрөх хэд хэдэн чухал томъёог гаргаж авав.

1. Векторын координатыг олох
2. Векторын уртыг олох (өөр хувилбар: хоёр цэгийн хоорондох зай)
3. Векторуудыг нэмэх, хасах. Тэдгээрийг бодит тоогоор үржүүл
4. Шугамын сегментийн дунд цэгийг ол
5. Векторуудын цэгийн үржвэрийг тооцоолох
6. Векторуудын хоорондох өнцгийг ол

Мэдээжийн хэрэг, бүх 6 координатын арга нь тохирохгүй. Энэ бол аналитик геометр гэх мэт шинжлэх ухааны үндэс суурь бөгөөд та үүнийг их сургуульд мэдэж авах болно. Асуудлыг нэг муж улсад шийдвэрлэх боломжийг танд олгох суурийг л барихыг хүсч байна. шалгалт. Бид Б хэсгийн даалгавруудыг олж мэдсэн Одоо чанарын хувьд шинэ түвшинд шилжих цаг болжээ! Энэ нийтлэлийг эдгээр асуудлуудыг шийдвэрлэх аргад зориулах болно. Энэхүү оновчтой байдлыг тухайн асуудалд юуг олох шаардлагатай, мөн ямар дүрс өгснөөр тодорхойлдог. Асуултууд дараахь тохиолдолд би координатын аргыг ашиглах болно.

1. Хоёр онгоцны хоорондох өнцгийг ол
2. Шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцгийг ол
3. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол
4. Цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол
5. Цэгээс шугам хүртэлх зайг олох
6. Шулуун шугамаас хавтгай хүртэлх зайг ол
7. Хоёр шулуун шугамын хоорондох зайг ол

Хэрэв бодлогын тайлбарт өгөгдсөн зураг бол хувьсгалын бие юм бол (бөмбөг, цилиндр, конус ...)

Координатын аргын тохиромжтой хэлбэрүүд нь:

1. Тэгш өнцөгт параллелепипед
2. Пирамид (гурвалжин, дөрвөлжин, зургаан өнцөгт)

Бас миний туршлага дээр координатын аргыг ашиглах нь зохисгүй юм:

1. Хөндлөн огтлолын талбайг хайж олох
2. Биеийн хэмжээг тооцоолох

Гэсэн хэдий ч координатын аргын хувьд "таагүй" гурван нөхцөл байдал практик дээр нэлээд ховор тохиолддог гэдгийг нэн даруй тэмдэглэх хэрэгтэй. Ихэнх ажлуудад тэр таныг аврагч болж чадна, ялангуяа хэрэв та гурван хэмжээст байгууламжид тийм ч хүчтэй биш бол (заримдаа нэлээд төвөгтэй байдаг).

Миний дээр дурдсан бүх тоо хэд вэ? Тэд хавтгай биш болсон, жишээлбэл, дөрвөлжин, гурвалжин, тойрог гэх мэт, гэхдээ гурван хэмжээст! Үүний дагуу бид хоёр хэмжээст биш, харин гурван хэмжээст координатын системийг авч үзэх хэрэгтэй. Үүнийг бүтээхэд хялбар байдаг: зөвхөн абцисса ба ординат тэнхлэгүүдээс гадна бид өөр нэг тэнхлэгийг хэрэглэнэ. Зураг нь тэдний харьцангуй байрлалыг бүдүүвчилсэн байдлаар харуулав.

Тэд бүгд харилцан перпендикуляр бөгөөд нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд үүнийг бид гарал үүсэл гэж нэрлэнэ. Абцисса тэнхлэгийг урьдын адил ординатын тэнхлэг, оруулсан тэнхлэгийг тэмдэглэнэ.

Хэрэв өмнө нь хавтгай дээрх цэг бүрийг абцисса ба ординат гэсэн хоёр тоогоор тодорхойлдог байсан бол орон зайн цэг бүрийг абцисса, ординат, хэрэглэх гэсэн гурван тоогоор тодорхойлсон болно. Жишээлбэл:

Үүний дагуу цэгийн абцисса нь тэнцүү, ординат нь ба өргөдөл гаргагч нь тэнцүү байна.

Заримдаа цэгийн абциссисыг цэгийг абцисса тэнхлэгт проекцлэх, ординат нь цэгийн ординат тэнхлэгт проекц гэж нэрлэгддэг ба хамаарал нь цэгийн хэрэглээний тэнхлэгт тусах проекц юм. Тиймээс цэгийг зааж өгсөн бол координаттай цэг:

цэгийг хавтгай руу проекцлэх гэж нэрлэдэг

цэгийг хавтгай руу проекцлэх гэж нэрлэдэг

Байгалийн асуулт гарч ирж байна: хоёр хэмжээст тохиолдолд гаргасан бүх томъёо орон зайд хүчинтэй юу? Хариулт нь тийм ээ, тэд шударга, адилхан харагдаж байна. Бага зэрэг дэлгэрэнгүй мэдээлэл авахыг хүсвэл. Та аль нь болохыг аль хэдийн таамагласан гэж бодож байна. Бид өргөдөл гаргах тэнхлэгийг хариуцдаг бүх томъёогоор нэг томъёолол нэмэх хэрэгтэй болно. Тухайлбал.

1. Хэрэв хоёр цэг өгсөн бол:

• Векторын координат:
• Хоёр цэгийн хоорондох зай (эсвэл векторын урт)
• Сегментийн дунд хэсэг нь координаттай байна

2. Хэрэв хоёр вектор өгөгдсөн бол: ба, дараа нь:

• Тэдний цэгэн бүтээгдэхүүн нь:
• Векторуудын хоорондох өнцгийн косинус нь:

Гэсэн хэдий ч орон зай тийм ч хялбар биш юм. Таны төсөөлж байгаагаар өөр нэг координатыг нэмж оруулснаар энэ орон зайд "амьдардаг" тоонуудын спектрийн янз бүрийн төрлийг бий болгодог. Цаашид хүүрнэхийн тулд би шулуун шугамын заримыг "ерөнхийлөн" танилцуулах хэрэгтэй. Энэхүү "ерөнхий ойлголт" нь онгоц юм. Онгоцны талаар та юу мэддэг вэ? Асуултанд хариулж үзээрэй, онгоц гэж юу вэ? Үүнийг хэлэхэд маш хэцүү байна. Гэсэн хэдий ч бид бүгдээрээ хэрхэн харагдаж байгааг зөн билгээрээ төсөөлдөг.

Бүдүүн хэлээр хэлбэл энэ бол сансар огторгуй руу чиглэсэн төгсгөлгүй "навч" түлхэлт юм. "Хязгааргүй байдал" гэдэг нь онгоц бүх чиглэлд үргэлжилдэг, өөрөөр хэлбэл түүний талбай нь хязгааргүй хэмжээтэй тэнцүү гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч "хуруугаараа" энэхүү тайлбар нь онгоцны бүтцийн талаар өчүүхэн ч ойлголт өгөхгүй байна. Бид үүнийг сонирхох болно.

Геометрийн үндсэн аксиомуудын нэгийг санацгаая.

• шулуун шугам нь хавтгай дээрх хоёр өөр цэгээр дайрч өнгөрөх бөгөөд зөвхөн нэг нь:

Эсвэл орон зай дахь түүний хамтрагч:

Мэдээжийн хэрэг, өгөгдсөн хоёр цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн яаж гаргахаа санаж байгаа нь тийм ч хэцүү биш юм: хэрэв эхний цэг нь координаттай бол: ба хоёр дахь нь шулуун шугамын тэгшитгэл дараах байдалтай байна:

Та 7-р ангидаа үүнийг даван туулж байсан. Орон зайд шулуун шугамын тэгшитгэл дараах байдалтай байна: координаттай хоёр цэгтэй болъё, тэгвэл тэдгээрийн дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл дараахь хэлбэртэй байна.

Жишээлбэл, шулуун шугам цэгүүдийг дайран өнгөрнө.

Үүнийг хэрхэн ойлгох ёстой вэ? Үүнийг дараах байдлаар ойлгох хэрэгтэй: хэрэв координат нь дараахь системийг хангаж байвал цэг шулуун дээр байрлана.

Шулуун тэгшитгэлийг бид тийм ч их сонирхохгүй байх, гэхдээ шугамын чиглүүлэгч векторын маш чухал ойлголтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. - өгөгдсөн шугаман дээр эсвэл түүнтэй параллель хэвтэж байгаа тэгээс бусад вектор.

Жишээлбэл, хоёр вектор нь шулуун шугамын чиглүүлэгч юм. Шулуун шугам дээр хэвтэж байгаа цэг, түүний чиглүүлэгч вектор болъё. Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг би дахиж сонирхохгүй байх болно, гэхдээ чиглүүлэгч вектор гэж юу болохыг санах хэрэгтэй байна! Дахин: энэ нь шугаман дээр эсвэл түүнтэй параллель хэвтэж байгаа ямар ч тэг бус вектор юм.

Татах өгөгдсөн гурван цэг дээрх хавтгайн тэгшитгэл нь тийм ч ач холбогдолгүй болсон бөгөөд ихэвчлэн ахлах сургуулийн курст энэ асуудлыг авч хэлэлцдэггүй. Гэхдээ дэмий хоосон! Координатын аргыг нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглахад энэ техник нь амин чухал юм. Гэсэн хэдий ч, та шинэ зүйлийг сурах хүсэл эрмэлзэлтэй байна гэж бодож байна уу? Түүгээр ч үл барам та аналитик геометрийн явцад ихэвчлэн судалдаг арга зүйгээ мэддэг болсон тул их сургуулийн багшдаа сэтгэгдэл төрүүлэх боломжтой болно. Тиймээс эхэлье.

Хавтгай тэгшитгэл нь хавтгай дээрх шулуун тэгшитгэлээс нэг их ялгаатай биш бөгөөд дараахь хэлбэртэй байна.

зарим тоо (бүгд биш тэгтэй тэнцүү), мөн хувьсагчууд, жишээлбэл: гэх мэт. Таны харж байгаагаар хавтгайн тэгшитгэл нь шулуун шугамын (шугаман функц) тэгшитгэлээс нэг их ялгаатай биш юм. Гэсэн хэдий ч та бид хоёрын хэлснийг санаж байна уу? Хэрэв бид нэг шулуун дээр хэвтэхгүй гурван цэг байвал хавтгайн тэгшитгэл тэднээс өвөрмөц байдлаар сэргээгддэг гэж хэлсэн. Гэхдээ яаж? Би танд тайлбарлахыг хичээх болно.

Хавтгай тэгшитгэл нь:

Мөн цэгүүд нь энэ хавтгайд хамаарах бөгөөд цэг бүрийн координатыг хавтгайн тэгшитгэлд орлуулахдаа бид зөв таних тэмдэгийг олж авах ёстой.

Тиймээс үл мэдэгдэх зүйлтэй ч гэсэн гурван тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай болж байна! Дилемма! Гэсэн хэдий ч та үүнийг үргэлж бодож болно (үүнийг хуваах хэрэгтэй). Тиймээс бид гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийг олж авна.

Гэсэн хэдий ч бид ийм системийг шийдэхгүй, харин үүнээс үүдэлтэй нууцлаг илэрхийлэлийг бичих болно.

Өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл

\\ [\\ зүүн | (\\ эхлэх (массив) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\\\ (y - (y_0) ) & ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\\\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \\ төгсгөл (массив)) \\ баруун | \u003d 0 \\]

Зогс! Энэ юу вэ? Зарим ер бусын модуль! Гэсэн хэдий ч, таны өмнө харж буй объект нь модультай ямар ч холбоогүй болно. Энэ объектыг гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогч гэж нэрлэдэг. Одооноос эхлэн хавтгай дээрх координатын аргыг авч үзэхдээ эдгээр тодорхойлогчидтой олонтаа тааралдах болно. Гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогч гэж юу вэ? Хачирхалтай нь энэ бол зүгээр л тоо юм. Тодорхойлогчтой ямар тодорхой тоог харьцуулахаа ойлгох хэрэгтэй.

Эхлээд гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг илүү ерөнхий хэлбэрээр бичье.

Зарим тоо хаана байна. Үүнээс гадна эхний индексээр бид мөрийн дугаар, индексээр баганын дугаарыг хэлнэ. Жишээлбэл, үүнийг хэлнэ өгсөн дугаар хоёр дахь эгнээ ба гурав дахь баганын уулзвар дээр зогсож байна. Дараагийн асуултыг тавъя: ийм тодорхойлогчийг яг яаж тооцоолох гэж байна вэ? Энэ нь бид яг ямар тоог тохирох вэ? Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн хувьд гурвалжны эвристик (харааны) дүрэм байдаг бөгөөд дараах байдалтай байна.

1. Гол диагоналийн элементүүдийн үржвэр (зүүн дээд булангаас баруун доод тал хүртэл) эхний гурвалжныг "перпендикуляр" бүрдүүлж буй элементүүдийн үржвэр, гол диагональ руу хоёр дахь гурвалжин "перпендикуляр" үүсгэдэг элементүүдийн гол диагональ бүтээгдэхүүн.
2. Хоёрдогч диагоналийн элементүүдийн үржвэр (баруун дээд булангаас зүүн доод тал хүртэл) эхний гурвалжныг "перпендикуляр" бүрдүүлж буй элементүүдийн үржвэр, хоёрдогч гурвалжин "перпендикуляр" бүрдүүлсэн элементүүдийн хоёрдогч диагональ бүтээгдэхүүнээс
3. Дараа нь тодорхойлогч нь алхам ба алхам дээр авсан утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна

Хэрэв бид энэ бүх зүйлийг тоогоор бичвэл дараахь илэрхийлэл гарна.

Гэсэн хэдий ч та тооцоолох аргыг энэ хэлбэрээр цээжлэх шаардлагагүй бөгөөд зөвхөн гурвалжинг хадгалж үлдэхэд юу нэмдэг, юу юунаас хасагддаг тухай ойлголтыг хадгалахад л хангалттай).

Гурвалжингийн аргыг жишээн дээр үзүүлье.

1. Тодорхойлогчийг тооцоолно уу.

Юу нэмж, хасахаа тодорхойлъё.

"Нэмэх" -тэй хамт ирдэг нэр томъёо:

Энэ бол гол диагональ юм: элементүүдийн бүтээгдэхүүн

Эхний гурвалжин, "үндсэн диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн үржвэр нь

Хоёрдахь гурвалжин, "үндсэн диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн үржвэр нь

Гурван тоо нэмнэ үү:

"Хасах" -тай ирдэг нэр томъёо

Энэ бол хажуугийн диагональ юм: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь

Эхний гурвалжин, "хажуугийн диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн үржвэр нь

Хоёрдахь гурвалжин, "хажуугийн диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн үржвэр нь

Гурван тоо нэмнэ үү:

Нэмэх нөхцлүүдийн нийлбэрээс хасах нөхцлүүдийн нийлбэрээс хасах л үлдэх болно.

Энэ замаар,

Таны харж байгаагаар гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчдыг тооцоолоход төвөгтэй, ер бусын зүйл байхгүй. Зөвхөн гурвалжингийн талаар санаж, арифметик алдаа гаргахгүй байх нь чухал юм. Одоо өөрийгөө тооцоолж үзээрэй.

Бид шалгаж байна:

1. Үндсэн диагональтай перпендикуляр эхний гурвалжин:
2. Гол диагональтай перпендикуляр хоёр дахь гурвалжин:
3. Дээрх нөхцлүүдийн нийлбэр:
4. Хажуугийн диагональтай перпендикуляр эхний гурвалжин:
5. Хажуугийн диагональтай перпендикуляр хоёр дахь гурвалжин:
6. Хасах нөхцлийн нийлбэр:
7. Нөхцөлүүдийн нийлбэрийг хасах хасах нөхцлүүдийн нийлбэр:

Энд хоёр тодорхойлогч хүчин зүйл байна, тэдгээрийн утгыг өөрөө тооцоолоод хариулттай харьцуул.

Хариултууд:

Энэ бүгд давхцсан уу? Гайхалтай, тэгвэл та цаашаа явж болно! Хэрэв бэрхшээлтэй тулгарвал миний зөвлөгөө бол Интернет дээр тодорхойлогчийг онлайнаар тооцоолох олон програмууд байдаг. Танд хэрэгтэй зүйл бол өөрөө тодорхойлогч зүйлээ гаргаж ирээд өөрөө тооцоолоод дараа нь програмын тооцоолж байгаа зүйлтэй харьцуулах явдал юм. Үр дүн нь давхцаж эхлэх хүртэл. Энэ мөч удахгүй ирэхгүй гэдэгт би итгэлтэй байна!

Одоо өгөгдсөн гурван цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийн талаар ярихдаа би тодорхойлсон тодорхойлогч руугаа эргэж оръё.

Танд шаардагдах зүйл бол түүний утгыг шууд тооцоолох (гурвалжин аргыг ашиглан) үр дүнг тэг болгох явдал юм. Мэдээжийн хэрэг, тэдгээр нь хувьсагч тул тэдгээрээс хамааралтай зарим илэрхийлэлийг олж авах болно. Чухам энэ илэрхийлэл нь нэг шулуун дээр хэвтэхгүй өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл болно!

Үүнийг энгийн жишээн дээр тайлбарлая.

1. Цэгүүдээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг байгуул

Эдгээр гурван цэгийн тодорхойлогчийг бид бүрдүүлж өгдөг.

Хялбаршуулъя:

Одоо бид үүнийг гурвалжны дүрмээр шууд тооцоолно.

\\ [(\\ зүүн | (\\ эхлэх (массив) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\\\ (y - 2) & 0 & 1 \\\\ (z + 1) & 5 & 0 \\ төгсгөл (массив))) \\ cdot 5 \\ cdot 6 -) \\]

Тиймээс цэгүүдээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэл нь:

Одоо нэг асуудлыг өөрөө шийдэж үзээрэй, дараа нь бид үүнийг хэлэлцэх болно.

2. Цэгүүдээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг ол

Одоо шийдлийн талаар ярилцъя.

Бид тодорхойлогчийг бүрдүүлж өгдөг.

Бид түүний утгыг тооцоолно.

Дараа нь хавтгай тэгшитгэл нь дараахь хэлбэртэй байна.

Эсвэл багасгах замаар бид дараахь зүйлийг авна.

Одоо өөрийгөө хянах хоёр ажил байна:

1. Гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг байгуул.

Хариултууд:

Энэ бүхэн давхцсан уу? Дахин хэлэхэд, хэрэв тодорхой бэрхшээл тулгарвал миний зөвлөгөө бол та толгойноосоо гурван цэг авч (нэг шулуун дээр хэвтэхгүй байх магадлал өндөртэй), та тэдгээрийн дагуу хавтгай барь. Дараа нь та өөрийгөө онлайнаар шалгана уу. Жишээлбэл, сайт дээр:

Гэсэн хэдий ч тодорхойлогчдын тусламжтайгаар бид зөвхөн хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулах болно. Зөвхөн векторын хувьд цэгийн бүтээгдэхүүнийг тодорхойлдоггүй гэж би танд хэлсэн гэдгийг санаарай. Холимог бүтээгдэхүүнээс гадна вектор бүтээгдэхүүн бас бий. Хэрэв хоёр векторын цэгийн үржвэр нь тоо бол хоёр векторын векторын үржвэр нь вектор байх бөгөөд энэ вектор нь өгөгдсөнтэй перпендикуляр болно:

Үүнээс гадна түүний модуль нь байх болно талбайтай тэнцүү векторууд дээр барьсан параллелограмм ба. Цэгээс шулуун шугам хүртэлх зайг тооцоолохын тулд бидэнд энэ вектор хэрэгтэй болно. Бид яаж тоолох вэ? хөндлөн бүтээгдэхүүн векторууд ба тэдгээрийн координатууд өгөгдсөн бол? Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч нь бидний тусламжид дахин ирдэг. Гэхдээ вектор бүтээгдэхүүний тооцооны алгоритм руу шилжихээс өмнө би уянгын жижиг дигресс хийх ёстой.

Энэхүү задрал нь үндсэн векторуудтай холбоотой юм.

Эдгээрийг бүдүүвчилсэн байдлаар зураг дээр харуулав.

Тэднийг яагаад үндсэн гэж нэрлэдэг гэж та бодож байна вэ? Баримт нь:

Эсвэл зураг дээр:

Энэ томъёоны хүчинтэй байдал нь тодорхой байна, учир нь:

Вектор бүтээгдэхүүн

Одоо би хөндлөн бүтээгдэхүүнийг танилцуулж эхэлж болно:

Хоёр векторын векторын үржвэр нь дараах дүрмийн дагуу тооцоолсон вектор юм.

Одоо хөндлөн бүтээгдэхүүнийг тооцоолох зарим жишээг өгье.

Жишээ 1: Векторуудын хөндлөн үржвэрийг ол.

Шийдэл: Би тодорхойлогч үүсгэдэг.

Би үүнийг тооцоолж байна:

Одоо үндсэн векторуудын талаар бичихээс би векторын ердийн тэмдэглэгээнд эргэн орно.

Энэ замаар:

Одоо үзээрэй.

Чи бэлэн үү? Бид шалгаж байна:

Уламжлал ёсоор хоёр хяналтын даалгавар:

1. Дараах векторуудын хөндлөн үржвэрийг олоорой.
2. Дараах векторуудын хөндлөн үржвэрийг олоорой.

Хариултууд:

Гурван векторын холимог бүтээгдэхүүн

Надад хэрэгтэй хамгийн сүүлийн бүтэц бол гурван векторын холимог бүтээгдэхүүн юм. Энэ нь скаляр шиг тоо юм. Үүнийг тооцоолох хоёр арга бий. - тодорхойлогчоор, - холимог бүтээгдэхүүнээр дамжуулан.

Тухайлбал, гурван вектортой болцгооё.

Дараа нь гурван векторын холимог бүтээгдэхүүнийг дараахь байдлаар тооцоолж болно.

1. - өөрөөр хэлбэл холимог бүтээгдэхүүн гэдэг нь өөр хоёр векторын хөндлөн үржвэрээр векторын цэгийн үржвэр юм

Жишээлбэл, гурван векторын холимог бүтээгдэхүүн нь:

Үүнийг кросс бүтээгдэхүүнээр дамжуулан өөрөө тооцоолж үзээд үр дүн нь таарч байгаа эсэхийг шалгаарай!

Дахин хэлэхэд бие даасан шийдлийн хоёр жишээ:

Хариултууд:

Системийн сонголтыг зохицуулах

Одоо бид геометрийн стереометрийн нарийн төвөгтэй асуудлуудыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх мэдлэгийн баазтай болсон. Гэсэн хэдий ч, тэдгээрийн шийдлийн жишээнүүд, алгоритмууд руу шууд орохоосоо өмнө өөр нэг асуулт дээр анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй гэж би бодож байна. тодорхой дүрсийн координатын системийг сонгох. Эцсийн эцэст энэ нь координатын системийн харьцангуй байрлал ба орон зай дахь дүрсийг сонгох явдал бөгөөд эцэст нь тооцоо хичнээн төвөгтэй болохыг тодорхойлох болно.

Энэ хэсэгт бид дараах хэлбэрүүдийг харж байгааг сануулъя.

1. Тэгш өнцөгт параллелепипед
2. Шулуун призм (гурвалжин, зургаан өнцөгт ...)
3. Пирамид (гурвалжин, дөрвөлжин)
4. Тетраэдр (гурвалжин пирамидтай адил)

Тэгш өнцөгт хайрцаг эсвэл кубын хувьд би танд дараахь бүтцийг санал болгож байна.

Энэ бол би дүрсийг "буланд" байрлуулах болно. Куб ба паралелепипипед нь маш гоё хэлбэртэй байдаг. Тэдний хувьд та түүний оройн координатыг үргэлж амархан олох боломжтой. Жишээлбэл, хэрэв (зураг дээр харуулсны дагуу)

дараа нь оройн координатууд дараах байдалтай байна.

Мэдээжийн хэрэг та үүнийг санах шаардлагагүй, гэхдээ куб эсвэл тэгш өнцөгт параллелепипедийг хэрхэн яаж байрлуулахыг санаж байх нь зүйтэй юм.

Шулуун призм

Призм бол илүү хор хөнөөлтэй тоо юм. Та үүнийг сансарт янз бүрийн аргаар байрлуулж болно. Гэсэн хэдий ч дараахь сонголт миний хувьд хамгийн хүлээн зөвшөөрөгдсөн юм шиг санагдаж байна.

Гурвалжин призм:

Өөрөөр хэлбэл, бид гурвалжингийн талуудын аль нэгийг бүхэлд нь тэнхлэгт байрлуулсан бөгөөд оройнуудын нэг нь гарал үүсэлтэй давхцаж байна.

Зургаан өнцөгт призм:

Энэ нь нэг орой нь гарал үүсэлтэй давхцаж, талуудын нэг нь тэнхлэг дээр байрладаг.

Дөрвөн өнцөгт ба зургаан өнцөгт пирамид:

Нөхцөл байдал нь кубтай төстэй: суурийн хоёр тал нь координатын тэнхлэгүүдтэй, оройнуудын нэг нь гарал үүсэлтэй нийцдэг. Цорын ганц жижиг бэрхшээл бол цэгийн координатыг тооцоолох явдал юм.

Зургаан өнцөгт пирамидын хувьд - зургаан өнцөгт призмтэй ижил. Гол үүрэг бол оройн координатыг олох явдал юм.

Тетраэдр (гурвалжин пирамид)

Нөхцөл байдал нь миний гурвалжин призмд өгсөнтэй маш төстэй юм: нэг орой нь гарал үүсэлтэй давхцаж, нэг тал нь координатын тэнхлэг дээр байрладаг.

Одоо та бид хоёр асуудлыг шийдвэрлэхэд ойрхон байна. Өгүүллийн эхэнд хэлсэн үгнээс та дараахь дүгнэлтийг гаргаж болно: ихэнх С2 бодлогуудыг өнцгийн асуудал ба зайны асуудал гэсэн 2 ангилалд хуваадаг. Нэгдүгээрт, бид өнцөг олох асуудлыг авч үзэх болно. Эдгээр нь эргээд дараахь ангилалд хуваагдана (бэрхшээл нэмэгдэх тусам):

Булан хайж байна

1. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох
2. Хоёр онгоцны хоорондох өнцгийг олох

Эдгээр даалгавруудыг дараалан авч үзье: хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олохоос эхэл. Та бид хоёр үүнтэй төстэй жишээг өмнө нь шийдэж байсан уу гэдгийг санаарай. Бидэнд үүнтэй төстэй зүйл байсан гэдгийг санаарай ... Бид хоёр векторын хоорондох өнцгийг хайж байсан. Хоёр вектор өгөгдсөн бол би танд сануулах болно: ба дараа нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь харьцаанаас хамаарна:

Одоо бид хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох зорилготой байна. "Хавтгай зураг" руу хандъя.

Хоёр шулуун шугам огтлолцох үед бид хэдэн булан авсан бэ? Олон зүйл. Үнэн, тэдний зөвхөн хоёр нь тэгш бус, харин бусад нь босоо байрлалтай байдаг (тиймээс тэдэнтэй давхцдаг). Тэгэхээр бид хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ямар өнцгөөр авч үзэх ёстой вэ: эсвэл? Энд дүрэм нь: хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг нь үргэлж градусаас ихгүй байна... Энэ бол хоёр өнцгөөс бид өнцгийг үргэлж хамгийн бага хэмжээсээр сонгох болно. Энэ зураг дээр хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг тэнцүү байна. Тэр болгонд хоёр өнцгийн хамгийн жижиг хэсгийг олох гэж зовохгүй байхын тулд зальтай математикчид модулийг ашиглахыг санал болгов. Тиймээс хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

Анхааралтай уншигчийн хувьд танд нэг асуулт байх ёстой байсан: бид өнцгийн косинусыг тооцоолох ёстой эдгээр тоонуудыг хаанаас олж авдаг вэ? Хариулт: бид тэдгээрийг шулуун шугамын векторуудаас авах болно! Тиймээс хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох алгоритм дараах байдалтай байна.

1. Бид томъёо 1-ийг хэрэглэдэг.

Эсвэл илүү дэлгэрэнгүй:

1. Эхний шулуун шугамын векторын координатыг хайж байна
2. Бид хоёрдахь шулуун шугамын векторын координатыг хайж байна
3. Бид тэдгээрийн цэгэн бүтээгдэхүүний модулийг тооцдог
4. Эхний векторын уртыг хайж байна
5. Бид хоёрдахь векторын уртыг хайж байна
6. 4-р цэгээс гарсан үр дүнг 5-р цэгээс үржүүлж үржүүлнэ
7. 3-р цэгийн үр дүнг 6-р цэгийн үр дүнд хуваа. Бид шугамуудын хоорондох өнцгийн косинусыг авна
8. Хэрэв энэ үр дүн нь өнцгийг яг тооцоолох боломжийг олгож байгаа бол үүнийг хайх хэрэгтэй
9. Үгүй бол бид урвуу косинусаар бичдэг

Одоо асуудалд шилжих цаг болжээ: Би эхний хоёрын шийдлийг нарийвчлан харуулах болно, өөр нэг шийдлийг богино хэлбэрээр танилцуулах болно, сүүлийн хоёр асуудлын хувьд би зөвхөн хариулт өгөх болно.

Даалгавар:

1. Зөв tet-ra-ed-re, nay-di-you-so-that tet-ra-ed-ra ба med-di-a-noy bo-kov нүүрний хоорондох өнцөг.

2. Баруун гартай зургаан нүүрсний ной пи-ра-ми-де-д os-no-va-nia-ийн талууд тэнцүү, хавирга нь тэнцүү, шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох ба.

3. Зөв дөрвөн ширхэг нүүрсний пи-ра-ми-дигийн бүх ирмэгийн урт нь хоорондоо тэнцүү байна. Шулуун шугамын хоорондох өнцөг ба хэрвээ та огтлолцсон бол пи-ра-ми-дийг өгсөн бол цэг нь se-re-di-na her bo-ko- хоёр дахь хавирга

4. Най-ди-те нь шулуун шугамын хоорондох өнцөг байхаар кубын ирмэг дээр би-че-на цэгээс.

5. Point - шулуун шугамын хоорондох шулуун Nay-di-te өнцгийн ирмэг дээрх se-re-di-өнцөг ба.

Би даалгавруудыг ийм дарааллаар байрлуулсан нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Координатын аргад шилжиж эхлэх хараахан амжаагүй байхад би хамгийн "асуудалтай" тоонуудад дүн шинжилгээ хийж, хамгийн энгийн кубтай харьцах боломжийг танд үлдээе! Аажмаар та бүх тоонуудтай хэрхэн яаж ажиллахаа сурах хэрэгтэй болно, би сэдвээс сэдэв хүртэлх даалгаврын нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлэх болно.

Асуудлыг шийдэж эхэлье:

1. Тетраэдрийг зураад координатын системд миний өмнө санал болгосны дагуу байрлуул. Тетраэдр нь тогтмол байдаг тул түүний бүх нүүр (суурийг оруулаад) тогтмол гурвалжин хэлбэртэй байдаг. Бидэнд хажуугийн уртыг өгдөггүй тул би үүнийг тэнцүү авч чадна. Бидний тетраэдр хичнээн "сунах" -аас өнцөг нь үнэхээр хамаарахгүй гэдгийг та ойлгож байна гэж би бодож байна? Би бас тетраэдр дээр өндөр ба медиан зурна. Замдаа би түүний суурийг зурах болно (энэ нь бас бидэнд ашигтай байх болно).

Би хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй. Бид юу мэддэг вэ? Бид зөвхөн цэгийн координатыг мэддэг. Энэ нь бид цэгүүдийн координатыг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм. Одоо бид бодож байна: цэг нь гурвалжны өндрийн (эсвэл биссектрис эсвэл медиануудын) огтлолцох цэг юм. Цэг бол дээш өргөгдсөн цэг юм. Энэ цэг нь сегментийн дунд хэсэг юм. Дараа нь эцэст нь олох хэрэгтэй: цэгийн координат:.

Хамгийн энгийн: цэгийн координатаас эхэлье. Зургийг харна уу: Цэгийн хэрэглээ тэгтэй тэнцэх нь тодорхой байна (цэг хавтгай дээр байрладаг). Түүний ординат нь (дундаж - оноос хойш) тэнцүү байна. Түүний абциссыг олох нь илүү хэцүү байдаг. Гэхдээ үүнийг Пифагорын теорем дээр үндэслэн хялбархан хийдэг: Гурвалжинг авч үзье. Түүний гипотенуз нь тэнцүү бөгөөд нэг хөл нь тэнцүү Дараа нь:

Эцэст нь бид:.

Одоо цэгийн координатыг олъё. Түүний хэрэглээ дахин тэгтэй тэнцэх нь тодорхой бөгөөд түүний ординат нь цэгийнхтэй ижил байна. Түүний абциссисыг олъё. Хэрэв та үүнийг санаж байгаа бол үүнийг үл тоомсорлож хийдэг тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийг пропорциональ байдлаар огтлолцох цэгээр хуваанадээрээс тоолох. Оноос хойш, дараа нь сегментийн урттай тэнцэх цэгийн шаардагдах абцисс нь дараахь тэнцүү байна. Тиймээс цэгийн координатууд тэнцүү байна.

Цэгийн координатыг олъё. Түүний абцисса ба ординат нь цэгийн абцисса ба ординаттай давхцаж байгаа нь тодорхой байна. Өргөдөл гаргагч нь сегментийн урттай тэнцүү байна. - энэ бол гурвалжингийн нэг хөл юм. Гурвалжингийн гипотенуз нь хэрчим юм. Үүнийг миний тодоор онцолсон зүйлээс хайж олох болно.

Point нь шугамын дунд цэг юм. Дараа нь сегментийн дунд цэгийн координатын томъёог санах хэрэгтэй.

Одоо бид чиглүүлэгч векторуудын координатыг хайж болно.

За, бүх зүйл бэлэн байна: бид бүх өгөгдлийг томъёонд орлуулна.

Энэ замаар,

Хариулт:

Ийм "аймшигтай" хариултуудаас таныг айлгах ёсгүй: С2 асуудлын хувьд энэ бол ердийн практик юм. Энэ хэсгийн "сайхан" хариултыг би гайхах нь дээр. Түүнчлэн, таны ажигласнаар би Пифагорын теорем ба тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийн өмчөөс өөр зүйлд бараг ханддаггүй байсан. Энэ бол стереометрийн асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд би хамгийн бага хэмжээтэй стереометрийг ашигласан. Үүний ашиг нь нэлээд төвөгтэй тооцооллоор хэсэгчлэн "унтардаг". Гэхдээ тэд нэлээд алгоритмтай!

2. Ердийн зургаан өнцөгт пирамидыг координатын систем ба түүний суурийн хамт зурцгаая.

Бид ба шугамын хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй. Тиймээс бидний даалгавар цэгүүдийн координатыг олоход буурч байна. Бид жижиг зургаас сүүлийн гурвын координатыг олох бөгөөд цэгийн координатаар дамжуулан оройн координатыг олох болно. Бөөнөөр ажиллана, гэхдээ та үүнийг эхлүүлэх хэрэгтэй!

a) Координат: түүний хэрэглээ ба ординат нь тэг байх нь тодорхой байна. Абциссисыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Харамсалтай нь, үүнд бид зөвхөн гипотенузийг мэддэг бөгөөд энэ нь тэнцүү юм. Бид хөлийг олохыг хичээх болно (хөлний хоёр дахин урт нь цэгийн abscissa-ийг бидэнд өгөх нь тодорхой байна). Бид түүнийг яаж олох вэ? Пирамидын суурь дээр ямар дүрс байгааг санацгаая? Энэ бол ердийн зургаан өнцөгт юм. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь бүх тал, бүх өнцөгтэй гэсэн үг юм. Би ийм нэг буланг олох ёстой. Санаа байна уу? Олон санаа байна, гэхдээ дараахь томъёо байдаг:

Тогтмол n-гоны өнцгийн нийлбэр нь .

Тиймээс тогтмол зургаан өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь градустай тэнцүү байна. Дараа нь өнцгүүд тус бүртэй тэнцүү байна.

Бид зургийг дахин харлаа. Сегмент нь өнцгийн биссектрисер болох нь тодорхой байна. Дараа нь өнцөг нь градустай тэнцүү байна. Дараа нь:

Дараа нь хаана.

Тиймээс энэ нь координаттай байна

b) Одоо бид цэгийн координатыг хялбархан олж чадна.

в) Цэгийн координатыг ол. Түүний абцисса нь сегментийн урттай давхцаж байгаа тул энэ нь тэнцүү байна. Ординатыг олох нь бас тийм ч хэцүү биш: хэрэв бид цэгүүдийг хооронд нь холбож, шулуун шугамын огтлолцох цэгийг тэмдэглэвэл. (DIY энгийн барилга). Тэгвэл В цэгийн ординат нь сегментүүдийн уртын нийлбэртэй тэнцүү байна. Гурвалжинг дахин харцгаая. Дараа нь

Дараа нь дараа нь цэг нь координаттай байна

d) Одоо цэгийн координатыг ол. Тэгш өнцөгтийг авч үзээд цэгийн координатууд нь дараах байдалтай байна.

e) Оройн цэгийн координатыг олох хэвээр байна. Түүний абцисса ба ординат нь цэгийн абцисса ба ординаттай давхцаж байгаа нь тодорхой байна. Өргөдөл гаргагчийг олъё. Түүнээс хойш. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Асуудлын мэдэгдлийн дагуу хажуугийн ирмэг. Энэ бол миний гурвалжны гипотенуз юм. Дараа нь пирамидын өндөр нь хөл юм.

Дараа нь цэг нь координаттай байна:

За, миний сонирхсон бүх цэгийн координат надад байна. Шулуун шугамын векторуудын координатыг хайж байна.

Бид эдгээр векторуудын хоорондох өнцгийг хайж байна.

Хариулт:

Дахин хэлэхэд энэ асуудлыг шийдвэрлэхдээ би ердийн n-гоны өнцгийн нийлбэрийн томъёоноос гадна тэгш өнцөгт гурвалжны косинус ба синусыг тодорхойлохоос өөр нарийн заль мэхийг ашиглаагүй.

3. Пирамид дахь хавирганы уртыг дахин бидэнд өгөхгүй тул би тэдгээрийг нэгтэй тэнцүү гэж үзье. Ийнхүү зөвхөн хажуу талынхаас гадна БҮХ ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү байх тул пирамидын ба би квадрат байрладаг ба хажуугийн нүүр нь тогтмол гурвалжин юм. Асуудлын текстэнд өгөгдсөн бүх өгөгдлийг тэмдэглэж, ийм пирамид, түүний суурийг хавтгай дээр дүрсэлье.

Бид хоорондох өнцгийг хайж байна. Цэгүүдийн координатыг хайж байхдаа би маш товч тооцоог хийх болно. Та тэдгээрийг "тайлах" хэрэгтэй болно:

b) - сегментийн дунд хэсэг. Түүний координат:

в) Би сегментийн уртыг Пифагорын теоремоор гурвалжингаар олох болно. Би үүнийг Пифагорын теоремоор гурвалжин хэлбэрээр олох болно.

Координат:

d) - сегментийн дунд хэсэг. Түүний координатууд тэнцүү байна

e) Векторын координат

е) векторын координат

g) өнцөг хайж байна:

Куб бол хамгийн энгийн дүрс юм. Чи түүнийг бие даан шийдэж чадна гэдэгт би итгэлтэй байна. 4, 5-р асуудлын хариулт дараах байдалтай байна.

Шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцгийг олох

За, энгийн ажлуудын цаг дууслаа! Одоо жишээ нь бүр ч төвөгтэй болно. Шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцгийг олохын тулд бид дараах байдлаар ажиллана.

1. Гурван цэгээс бид хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулна
   ,
   гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг ашиглан.
2. Шулуун шугамын векторын координатыг хоёр цэгээр хайж байна.
3. Бид шулуун шугам ба хавтгайн хоорондох өнцгийг тооцоолох томъёог хэрэглэнэ.

Таны харж байгаагаар энэ томъёо нь хоёр шугамын хоорондох өнцгийг олоход ашигладаг байсантай маш төстэй юм. Баруун талын бүтэц нь яг адилхан бөгөөд зүүн талдаа бид одоо синусыг хайж байна, харин өмнөх шигээ косинус биш. Нэг муухай үйлдэл нэмсэн - онгоцны тэгшитгэл хайх.

Хойшлуулахгүй байцгаая жишээний шийдэл:

1. Шилдэг гол шагнал боловч бид no-em-тэнцүү боловч ядуу-ren-ny гурвалжин-nick You-so-that-we are тэнцүү. Шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцөг

2. Баруун Nay-di-te-ээс тэгш өнцөгт pa-ra-le-le-pi-pe-de-д шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцөг

3. Зургаан нүүрсний зөв призмд бүх ирмэгүүд тэнцүү байна. Шулуун шугам ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг.

4. Най-ди-те өнцгийн баруун талаас os-no-va-ni-e бүхий баруун гар гурвалжин пи-ра-ми-де, об-ра-зо-ван хавтгай ястай os-no-va-nia ба шулуун, про-хо-дя-ши нь хавирганы хоорондох хөндлөвч ба

5. Оройтой ердийн дөрвөн булантай пирамидын бүх хавирганы урт нь хоорондоо тэнцүү байна. Nay-di-te бол шулуун шугам ба хавтгайн хоорондох өнцөг, хэрэв цэг нь se-re-di-na bo-ko-th ribs pi-ra-mi-dy юм.

Дахин хэлэхэд би эхний хоёр асуудлыг нарийвчлан шийдвэрлэх болно, гурав дахь нь товчхон бөгөөд сүүлчийн хоёрыг та нар өөрсдөө шийдэхээр үлдээв. Түүнээс гадна та гурвалжин, дөрвөлжин пирамидуудтай харьцаж байсан боловч призмтэй хараахан харьцаж үзээгүй байна.

Шийдэл:

1. Призмийг мөн түүний суурийг дүрсэлье. Үүнийг координатын системтэй нэгтгэж, асуудлын тайлбарт өгөгдсөн бүх өгөгдлийг тэмдэглэе.

Пропорцийг үл тоомсорлож байгаад хүлцэл өчье, гэхдээ асуудлыг шийдсэнд энэ нь тийм ч чухал биш юм. Онгоц бол миний призмийн зөвхөн "арын хана" юм. Ийм хавтгайн тэгшитгэл нь дараахь хэлбэртэй байна гэж таахад хялбар байдаг.

Гэхдээ үүнийг шууд харуулах боломжтой:

Энэ хавтгай дээрх дурын гурван цэгийг сонгож үзье.

Онгоцны тэгшитгэлийг бичье.

Танд зориулсан дасгал: энэ тодорхойлогчийг өөрөө тооцоол. Та үүнийг хийсэн үү? Дараа нь хавтгай тэгшитгэл нь дараахь хэлбэртэй байна.

Эсвэл зүгээр л

Энэ замаар,

Жишээг шийдэхийн тулд би шулуун шугамын чиглүүлэгч векторын координатыг олох хэрэгтэй. Цэг нь гарал үүсэлтэй давхцаж байгаа тул векторын координат нь ердөө л цэгийн координаттай давхцах болно.Ингэхийн тулд эхлээд цэгийн координатыг олно.

Үүнийг хийхийн тулд гурвалжинг авч үзье. Оргилоос өндрийг (энэ нь медиан ба биссектрис юм) зурцгаая. Учир нь цэгийн ординат нь болно. Энэ цэгийн абциссисыг олохын тулд сегментийн уртыг тооцоолох хэрэгтэй. Пифагорын теоремоор бид дараахь зүйлийг хийсэн.

Дараа нь цэг нь координаттай байна:

Оноо бол "босгосон" цэг юм.

Дараа нь векторын координат:

Хариулт:

Таны харж байгаагаар ийм асуудлыг шийдвэрлэхэд үндсэндээ хэцүү зүйл байхгүй. Үнэн хэрэгтээ энэ процесс нь призм гэх мэт хэлбэрийн "шулуун байдлыг" улам хялбарчилж өгдөг. Одоо дараагийн жишээнд шилжье.

2. Параллелепипед, дотор нь хавтгай ба шулуун шугам зураад доод суурийг нь тусад нь зур.

Нэгдүгээрт, бид хавтгай тэгшитгэлийг олно уу: Үүнд байрлах гурван цэгийн координат:

(эхний хоёр координатыг ойлгомжтой байдлаар олж авдаг бөгөөд цэгээс зураг дээрээс хамгийн сүүлийн координатыг амархан олох боломжтой). Дараа нь бид хавтгай тэгшитгэлийг зохиов.

Бид тооцоолно:

Бид чиглүүлэгч векторын координатыг хайж байна: Түүний координат нь цэгийн координаттай давхцаж байгаа нь ойлгомжтой биз дээ? Би координатыг хэрхэн олох вэ? Эдгээр нь програмын тэнхлэгийн дагуу нэг цэгээр өргөгдсөн цэгийн координатууд юм! ... Дараа нь бид шаардлагатай өнцгийг хайж байна:

Хариулт:

3. Ердийн зургаан өнцөгт пирамид зураад дараа нь хавтгай ба шугам зур.

Энд хавтгай зурах нь хүртэл асуудалтай байгаа бөгөөд энэ асуудлыг шийдэх нь битгий хэл координатын арга нь хамаагүй! Гол давуу тал нь олон талт байдал юм.

Онгоц гурван цэгээр дамжин өнгөрдөг:. Бид тэдгээрийн координатыг хайж байна.

нэг). Сүүлийн хоёр цэгийн координатыг өөрөө зур. Зургаан өнцөгт пирамидтай холбоотой асуудлыг шийдэх нь танд тустай!

2) Бид хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулав.

Бид векторын координатыг хайж байна. (гурвалжин пирамидын асуудлыг дахин үзнэ үү!)

3) өнцөг хайж байна:

Хариулт:

Таны харж байгаагаар эдгээр ажлуудад ер бусын хэцүү зүйл байхгүй. Та зөвхөн үндэстээ маш болгоомжтой хандах хэрэгтэй. Сүүлийн хоёр асуудлын хувьд би зөвхөн хариулт өгөх болно.

Асуудлыг шийдвэрлэх арга техник нь хаа сайгүй ижил байдаг: гол үүрэг бол оройн координатыг олж, тэдгээрийг зарим томъёонд орлуулах явдал юм. Өнцгийг тооцоолох өөр нэг асуудалтай асуудлуудыг авч үзэх нь бидэнд үлдэх болно:

Хоёр онгоцны хоорондох өнцгийг тооцоолох

Шийдлийн алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. Эхний хавтгайн тэгшитгэлийг гурван цэгээр хайж байна.
2. Бусад гурван цэгийн хувьд бид хоёрдахь хавтгайн тэгшитгэлийг хайж байна.
3. Бид дараахь томъёог хэрэглэнэ.

Таны харж байгаагаар томъёо нь өмнөх хоёр томъёотой маш төстэй бөгөөд бид шулуун ба шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцгийг хайж олсон болно. Тиймээс үүнийг санах нь танд хэцүү биш байх болно. Ажлын дүн шинжилгээнд шууд оръё:

1. Баруун гар талын гурвалжин призмын os-no-va-nia-ийн нэг зуун ро-на тэнцүү, том нүүрний диа-го-нал тэнцүү байна. Nay-di-тэдгээр нь призмын хавтгай ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг юм.

2. Зөв дөрвөн нүүрс-нүүрс-ной пи-ра-ми-де-д сүргийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна, хавтгай ба хавтгайн хоорондох өнцгийн синусыг ол. to-stu, pro-ho-dya-shchey per per-pen-di-ku-lar-гэхдээ шулуун.

3. Зөв дөрвөн рех-нүүрсний призмд os-but-va-nia-ийн талууд тэнцүү, талууд нь тэнцүү байна. Ме-чэ-ээс ирмэг дээр. Sti-mi хавтгай ба хоорондох өнцгийг ол

4. Баруун дөрвөн булангийн призмд os-no-va-nia-ийн талууд тэнцүү, хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү байна. Ней-ди-те нь хавтгай-ст-ми ба хоорондох өнцөг байхаар би-че-цэгээс ирмэг дээр.

5. Хавтгайн хоорондох өнцгийн nai-di-te ko-si-nus шоо дотор

Асуудлын шийдэл:

1. Би ердийн (суурин дээр тэгш өнцөгт гурвалжин байна) гурвалжин призм зураад түүн дээр бодлогын тайланд гарч буй хавтгайг тэмдэглэв.

Бид хоёр хавтгайн тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй: Суурийн тэгшитгэл нь өчүүхэн юм: та харгалзах тодорхойлогчийг гурван цэгээр зохиож болно, гэхдээ би тэгшитгэлийг нэг дор зохиох болно.

Одоо тэгшитгэл нь цэгийн координаттай байна цэгийг олж мэдье - гурвалжны медиан ба өндөр тул Пифагорын теоремоор гурвалжингаас олоход хялбар байдаг. Дараа нь цэг нь координаттай байна: Тухайн цэгийн хэрэглээг олоорой Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье

Дараа нь бид эдгээр координатыг авна: Бид хавтгай тэгшитгэлийг хийдэг.

Бид онгоцны хоорондох өнцгийг тооцоолно.

Хариулт:

2. Зураг зурах:

Хамгийн хэцүү зүйл бол перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх энэхүү нууцлаг онгоц гэж юу болохыг ойлгох явдал юм. Хамгийн гол нь энэ юу вэ? Хамгийн гол нь анхааралтай байх явдал юм! Үнэхээр мөр нь перпендикуляр юм. Шулуун шугам нь мөн перпендикуляр юм. Дараа нь эдгээр хоёр шугамаар дайран өнгөрөх хавтгай нь шулуун дээр перпендикуляр байх бөгөөд дашрамд хэлэхэд цэгээр дамжин өнгөрнө. Энэ онгоц нь пирамидын оройгоор дамждаг. Дараа нь хүссэн онгоц - Мөн онгоцыг бидэнд аль хэдийн өгсөн болно. Бид цэгүүдийн координатыг хайж байна.

Цэгийн цэгийн координатыг ол. Жижиг зургаас цэгийн координат дараах байдалтай байна гэж хэлэхэд хялбар байдаг: Пирамидын оройн координатыг олоход одоо юу үлдсэн бэ? Та түүний өндрийг тооцоолох хэрэгтэй. Үүнийг ижил Пифагорын теоремыг ашиглан хийж байна. Нэгдүгээрт, (суурь дээр дөрвөлжин хэлбэртэй жижиг гурвалжингаас үл хамааран) үүнийг батал. Нөхцөл байдлаас хойш бид:

Одоо бүх зүйл бэлэн байна: оройн координат:

Бид онгоцны тэгшитгэлийг бүрдүүлж өгдөг.

Та тодорхойлогч хүчин зүйлийг тооцоолоход аль хэдийн онцгой болжээ. Та амархан авах боломжтой:

Эсвэл өөр (хэрэв бид хоёр хэсгийг хоёуланг нь үндэсээр үржүүлбэл)

Одоо бид хавтгай тэгшитгэлийг оллоо.

(Та онгоцны тэгшитгэлийг хэрхэн яаж олж авдгаа та мартаагүй байгаа биз дээ? Хэрэв та энэ хасах зүйл хаанаас ирснийг ойлгохгүй байгаа бол онгоцны тэгшитгэлийн тодорхойлолт руу буцна уу! Үүнээс өмнө координатын гарал үүсэл нь миний хавтгайд харьяалагддаг байсан юм!)

Бид тодорхойлогчийг тооцоолно.

(Та онгоцны тэгшитгэл нь цэгүүдээр дамжин өнгөрөх шулуун тэгшитгэлтэй давхцаж байгааг харж болно! Яагаад гэдгийг бод!)

Одоо бид өнцгийг тооцоолж байна.

Бид синусыг олох хэрэгтэй:

Хариулт:

3. Зальтай асуулт: Та тэгш өнцөгт призм гэж юу вэ? Энэ бол зүгээр л таны сайн мэддэг параллелепипед юм! Нэн даруй зураг зур! Бүр суурийг тусад нь дүрслэхгүй байх боломжтой бөгөөд энд ашиг тус багатай:

Онгоцыг өмнө нь тэмдэглэсэнчлэн тэгшитгэл хэлбэрээр бичсэн болно.

Одоо бид онгоц хийдэг

Бид тэр даруй онгоцны тэгшитгэлийг бүрдүүлнэ.

Өнцөг хайж байна:

Одоо сүүлийн хоёр асуудлын хариулт:

За, одоо завсарлага авах цаг боллоо, яагаад гэвэл чи бид хоёр мундаг, гайхалтай ажил хийсэн шүү дээ!

Координат ба векторууд. Ахисан түвшин

Энэ нийтлэлд бид тантай координатын аргыг ашиглан шийдэж болох өөр нэг ангиллын асуудлыг авч үзэх болно. Тухайлбал, бид дараах тохиолдлуудыг авч үзэх болно.

1. Хөндлөн шугамуудын хоорондын зайг тооцоолох.

Эдгээр ажлуудын нарийн төвөгтэй байдал нэмэгдэхийн хэрээр би захиалсан. Үүнийг олоход хамгийн хялбар нь болж хувирав цэгээс хавтгай хүртэлх зай, хамгийн хэцүү зүйл бол олох явдал юм огтлолцох шугам хоорондын зай... Мэдээжийн хэрэг, боломжгүй зүйл гэж үгүй! Хойшлуулалгүй, эхний асуудлуудыг нэн даруй авч үзье.

Цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд юу хэрэгтэй вэ?

1. цэгийн координат

Тиймээс бид шаардлагатай бүх өгөгдлийг олж авмагц дараахь томъёог хэрэглэнэ.

Сүүлийн хэсэгт миний ярилцсан өмнөх асуудлуудаас хавтгай тэгшитгэлийг хэрхэн яаж хийдэг болохыг та аль хэдийн мэдэж байх ёстой. Даалгаврууддаа даруй орцгооё. Схем нь дараах байдалтай байна: 1, 2 - Би танд шийдвэрлэхэд тусална, зарим талаар нарийвчлан 3, 4 - зөвхөн хариултыг та өөрөө шийдвэр гаргаж, харьцуулж үзээрэй. Эхэлцгээе!

Даалгавар:

1. Шоо өгсөн. Кубын ирмэгийн урт нь. Nay-di-te зай-i-ni нь se-re-di-us-аас хавтгай хүртэл sti хүртэл

2. Баруун-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-th side-of the side-ro-na os-no-va-nia нь тэнцүү байна. Nay-di-цэгээс хавтгай-sti хүртэлх зай, хаана хавирга байна.

3. os-no-va-ni бүхий баруун гар гурвалжин пи-ра-ми-де-д бо-ковын ирмэг тэнцүү, хажуу-ro-na нь no-no-va- тэнцүү байна. Nai-di-te зай-i-nye дээрээс онгоц хүртэл.

4. Зөв зургаан өнцөгт призмд бүх ирмэгүүд тэнцүү байна. Nay-di-te зай-i-nye цэгээс хавтгай хүртэл.

Шийдэл:

1. Нэгжийн ирмэгтэй шоо зурж, хэсэг ба хавтгай байгуулж, сегментийн дунд хэсгийг үсгээр тэмдэглэ

.

Хялбараас эхэлье: цэгийн координатыг ол. Түүнээс хойш (сегментийн дунд цэгийн координатыг санаарай!)

Одоо бид хавтгайн тэгшитгэлийг гурван цэгээр бүрдүүлж байна

\\ [\\ зүүн | (\\ begin (array) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\\\ y & 1 & 0 \\\\ z & 1 & 1 \\ end (array)) \\ right | \u003d 0 \\]

Одоо би зай хайж эхэлж болно:

2. Бид бүх өгөгдлийг тэмдэглэсэн зураг дээрээс дахин эхлээрэй!

Пирамидын хувьд суурийг нь тусад нь зурах нь ашигтай байх болно.

Би сарвуутай тахиа шиг зурсан нь хүртэл энэ асуудлыг хялбархан шийдвэрлэхэд саад болохгүй!

Одоо цэгийн координатыг олоход хялбар боллоо

Цэгийн координатаас хойш

2. А цэгийн координат нь сегментийн дунд цэг тул, тэгвэл

Бид хавтгай дээрх өөр хоёр цэгийн координатыг ямар ч асуудалгүйгээр олох боломжтой бөгөөд хавтгайн тэгшитгэлийг үүсгээд хялбаршуулна уу.

\\ [\\ зүүн | (\\ зүүн | (\\ эхлэх (массив) (* (20) (c)) x & 1 & (\\ frac (3) (2)) \\\\ y & 0 & (\\ frac (3) (2)) \\\\ z & 0 & (\\ frac ( (\\ sqrt 3)) (2)) \\ end (array)) \\ right |) \\ right | \u003d 0 \\]

Цэг нь координаттай тул бид зайг тооцоолно:

Хариулт (маш ховор!):

За, үүнийг ойлгов уу? Энд бүх зүйл өмнөх хэсэгт тантай хамт авч үзсэн жишээнүүд шиг техникийн шинжтэй юм шиг санагдаж байна. Тиймээс та тэр материалыг эзэмшсэн бол үлдсэн хоёр асуудлыг шийдэх нь танд хэцүү биш байх болно гэдэгт би итгэлтэй байна. Би зүгээр л хариулт өгөх болно.

Шулуун шугамаас хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох

Үнэндээ энд шинэ зүйл алга. Шулуун ба хавтгайг бие биетэйгээ хэрхэн харьцуулж байрлуулах вэ? Тэд бүх боломжуудтай: огтлолцох, эсвэл шулуун шугам нь хавтгайтай параллель байна. Шулуун шугамаас энэ шулуун огтлолцсон хавтгай хүртэлх зай ямар зайтай гэж та бодож байна вэ? Ийм зай тэгтэй тэнцэх нь энд тодорхой харагдаж байна. Сонирхолгүй хэрэг.

Хоёр дахь тохиолдол нь илүү зальтай юм: энд зай нь аль хэдийн тэг биш байна. Гэхдээ шугам нь хавтгайтай параллель тул шугамын цэг бүр энэ хавтгайгаас ижил зайд байрлана.

Энэ замаар:

Энэ нь миний даалгавар өмнөх рүүгээ багассан гэсэн үг юм: бид шулуун шугамын аль ч цэгийн координатыг хайж, хавтгайн тэгшитгэлийг хайж, цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцдог. Үнэндээ ийм даалгавар шалгалтанд маш ховор тохиолддог. Би зөвхөн нэг л асуудлыг олж чадсан бөгөөд үүнд өгөгдөл нь координатын арга нь төдийлөн хамааралгүй байсан юм!

Одоо өөр, илүү чухал асуудлуудын анги руу шилжье.

Шулуун хүртэлх цэгийн зайг тооцоолох

Бидэнд юу хэрэгтэй вэ?

1. Бидний алсын зайг хайж буй цэгийн координатууд:

2. Шулуун шугам дээр хэвтэж байгаа дурын цэгийн координат

3. Шулуун шугамын чиглүүлэгч векторын координат

Бид ямар томъёог ашигладаг вэ?

Өгөгдсөн бутархайн хуваарь нь таны хувьд юу гэсэн үг вэ, тиймээс тодорхой байх ёстой: энэ бол шулуун шугамын чиглүүлэгч векторын урт юм. Энд маш зальтай тоологч байна! Энэ илэрхийлэл нь векторын вектор үржвэрийн модуль (урт) ба хөндлөн үржвэрийг хэрхэн тооцоолохыг хэлнэ гэсэн үг бөгөөд бид ажлын өмнөх хэсэгт судалж үзсэн болно. Мэдлэгээ сэргээгээрэй, тэд одоо бидэнд маш их хэрэгтэй болно!

Тиймээс асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм дараах байдалтай байна.

1. Бид зайгаа хайж буй цэгийн координатыг хайж байна.

2. Бид зайгаа хайж буй шулуун шугамын аль ч цэгийн координатыг хайж байна.

3. Векторыг бүтээх

4. Шулуун шугамын чиглүүлэгч векторыг байгуул

5. Хөндлөн бүтээгдэхүүнийг тооцоолох

6. Үүссэн векторын уртыг хайж байна.

7. Зайг тооцоолох:

Бид маш их ажил хийдэг, жишээ нь нэлээд төвөгтэй байх болно! Тиймээс одоо бүх анхаарлаа төвлөрүүл!

1. Дана бол баруун талын вил-ная гурвалжин пи-ра-ми-да юм. Нэг зуун ро-на-ос-но-ва-ниа пи-ра-ми-диг тэнцүү, чи-тэгвэл тэнцүү байна. Бо-ко-р хавирганы se-re-di-ny-ээс шулуун шугам хүртэлх цэгүүдийн хоорондох зай, i-nie, эдгээр цэгүүд нь хавирга ба хавирганы se-re-di-ny юм. малын эмч гэхдээ.

2. Хавирганы урт ба тэгш өнцөгт pa-ral-le-le-pi-pe-da нь co-vet-n-but ба Nay-di-te зайтай тэнцүү байна. дээрээс дээш шулуун руу

3. Зургаан нүүрсний зөв призмд сүргийн бүх ирмэгүүд нь цэгээс шулуун хүртэлх зайтай тэнцүү байна.

Шийдэл:

1. Бид бүх өгөгдлийг тэмдэглэсэн цэвэрхэн зураг зурна.

Бид тантай хамт олон ажил хийдэг! Нэгдүгээрт, бид юу хайж, ямар дарааллаар үгээр тайлбарлахыг хүсч байна.

1. цэгүүдийн координат ба

2. Цэгийн координат

3. цэгүүдийн координат ба

4. Векторуудын координат ба

5. Тэдний хөндлөн бүтээгдэхүүн

6. Векторын урт

7. Вектор бүтээгдэхүүний үржвэр

8. хүртэлх зай

Бидэнд маш их ажил байна! Бид ханцуй шамлан доошоо бууна!

1. Пирамидын өндрийн координатыг олохын тулд цэгийн координатыг мэдэх хэрэгтэй.Түүний хэрэглээ нь тэг, ординат нь Абскиссатай тэнцүү, энэ нь хэсгийн урттай тэнцүү юм.Тэнцэр талт гурвалжны өндөр тул хамааралтайгаар хуваагдана, дээрээс нь тоолно. Эцэст нь бид координатыг авлаа:

Координат

2. - сегментийн дунд хэсэг

3. - сегментийн дунд хэсэг

Дунд цэг

4. Координат

Векторын координат

5. Бид хөндлөн бүтээгдэхүүнийг тооцоолно.

6. Векторын урт: хамгийн хялбар арга бол сегментийг гурвалжны дунд шугам болгон орлуулах бөгөөд энэ нь суурийн талтай тэнцүү гэсэн үг юм. Тэгэхээр тэр.

7. Бид вектор бүтээгдэхүүний уртыг авч үзье.

8. Эцэст нь бид зайг олно:

Хүү, энэ бол боллоо! Үнэнийг хэлэхэд уламжлалт аргаар (барилгын аргаар) энэ асуудлыг шийдэх нь илүү хурдан байх болно. Гэхдээ энд би бүх зүйлийг бэлэн алгоритм болгон бууруулсан! Шийдлийн алгоритм нь танд ойлгомжтой гэж бодож байна уу? Тиймээс үлдсэн хоёр асуудлыг өөрөө шийдвэрлэж өгөхийг танаас хүсье. Хариултуудыг харьцуулж үзье?

Дахин хэлэхэд би эдгээр асуудлыг барилгын аргаар шийдвэрлэх нь илүү хялбар (хурдан) бөгөөд координатын аргыг ашиглахгүй байх явдал юм. Би энэ шийдлийг зөвхөн танд "юу ч гүйцээхгүй" боломжийг олгодог бүх нийтийн аргыг харуулахын тулд харуулсан.

Эцэст нь асуудлын сүүлийн ангиллыг авч үзье.

Гарсан шугамуудын хоорондын зайг тооцоолох

Энд асуудал шийдвэрлэх алгоритм нь өмнөхтэй төстэй байх болно. Бидэнд байгаа зүйл:

3. Эхний ба хоёр дахь шулуун шугамын холболтын аливаа вектор:

Шулуун шугамын хоорондох зайг бид хэрхэн олох вэ?

Томъёо нь дараах байдалтай байна.

Тооцоологч нь холимог бүтээгдэхүүний модуль (бид үүнийг өмнөх хэсэгт танилцуулсан), мөн хуваарь нь өмнөх томъёоныхтой ижил байна (шулуун шугамын чиглүүлэгч векторын үржвэрийн модуль, бидний хайж буй зай).

Би үүнийг танд сануулах болно

дараа нь зайны томъёог дараах байдлаар бичиж болно:

Тодорхойлогчийг хуваагч хэлбэрээр хуваадаг төрөл зүйл! Үнэнийг хэлэхэд надад энд хошигнох цаг алга! Энэ томъёо нь үнэндээ маш төвөгтэй бөгөөд нэлээд төвөгтэй тооцоонд хүргэдэг. Хэрэв би чиний оронд байсан бол би үүнийг зөвхөн эцсийн арга хэрэгсэл болгон ашиглах болно!

Дээрх аргыг ашиглан хэд хэдэн асуудлыг шийдвэрлэхийг хичээцгээе.

1. Зөв гурвалжин призмд сүргийн бүх ирмэгүүд тэгш, шулуун шугамын хоорондох зайг ол.

2. Баруун гар талын гурвалжин призмийг харгалзан үзвэл хамтын сүргийн os-no-va-tion-ийн бүх ирмэгүүд Se-c-c тэнцүү бөгөөд бурханаар дамжин өнгөрдөг. хавирга ба se-re-di-худаг хавирга yav-la-et-sya square-ra-tom. Шулуун бид хоёрын хоорондох зай

Би эхнийхийг нь шийдэж, үүн дээр үндэслэн та хоёр дахьийг нь шийднэ!

1. Призм зураад шулуун шугамыг тэмдэглээд ба

C цэгийн координат: дараа нь

Координат

Векторын координат

Координат

Векторын координат

Векторын координат

\\ [\\ left ((B, \\ overrightarrow (A (A_1)) \\ overrightarrow (B (C_1))) \\ right) \u003d \\ left | (\\ эхлэх (массив) (* (20) (л)) (\\ эхлэх (массив) (* (20) (в)) 0 ба 1 ба 0 \\ төгсгөл (массив)) \\\\ (\\ эхлэх (массив) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \\ төгсгөл (массив)) \\\\ (\\ эхлэх (массив) (* (20) (c)) (\\ frac ((\\ sqrt 3)) (2)) & (- \\ frac (1) (2)) & 1 \\ end (array)) \\ end (array)) \\ right | \u003d \\ frac ((\\ sqrt 3)) (2) \\]

Бид векторуудын хоорондох хөндлөн бүтээгдэхүүнийг авч үздэг

\\ [\\ overrightarrow (A (A_1)) \\ cdot \\ overrightarrow (B (C_1)) \u003d \\ left | \\ begin (массив) (l) \\ эхлэх (массив) (* (20) (c)) (\\ overrightarrow i) & (\\ overrightarrow j) & (\\ overrightarrow k) \\ end (array) \\\\\\ begin (array) ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \\ end (array) \\\\\\ begin (array) (* (20) (c)) (\\ frac ((\\ sqrt 3)) (2)) & (- \\) - \\ frac ((\\ sqrt 3)) (2) \\ overrightarrow k + \\ frac (1) (2) \\ overrightarrow i \\)

Одоо бид түүний уртыг тооцоолж байна.

Хариулт:

Одоо хоёр дахь даалгавраа анхааралтай хийж үзээрэй. Үүний хариулт нь:.

Координат ба векторууд. Товч тодорхойлолт ба үндсэн томъёо

Вектор бол чиглэсэн шугаман хэсэг юм. - векторын эхлэл, - векторын төгсгөл.
Векторыг эсвэл гэж тэмдэглэнэ.

Үнэмлэхүй утгавектор - векторыг төлөөлөх сегментийн урт. Үүнийг зааж өгсөн болно.

Векторын координат:

,
векторын төгсгөлүүд хаана байна \\ displaystyle a.

Векторуудын нийлбэр :.

Векторын бүтээгдэхүүн:

Цэгийн вектор бүтээгдэхүүн:

Векторуудын скаляр үржвэр нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар тэдгээрийн үнэмлэхүй утгуудын үржвэртэй тэнцүү байна.

YouClever-ийн оюутан болох,

Математикийн OGE эсвэл USE-д бэлтгэх,

YouClever хичээлд хязгааргүй нэвтрэх эрх аваарай ...

Видео хичээл “Газарзүйн өргөрөг ба газарзүйн уртраг. Газарзүйн солбицол ”нь газарзүйн өргөрөг, газарзүйн уртрагийн талаар ойлголт авахад тань туслах болно. Багш газарзүйн координатыг хэрхэн зөв тодорхойлохыг хэлж өгнө.

Газарзүйн өргөрөг- экватораас өгөгдсөн цэг хүртэлх градусын нумын урт.

Объектын өргөргийг тодорхойлохын тулд энэ объект байрлах параллелийг олох шаардлагатай.

Жишээлбэл, Москвагийн өргөрөг хойд зүгт 55 градус, 45 минут байна, үүнийг дараах байдлаар бичсэн болно: Москва 55 ° 45 "N; Нью Йоркийн өргөрөг - 40 ° 43" N; Сидней - 33 ° 52 "С.

Газарзүйн уртрагийг голчид тодорхойлдог. Уртраг нь баруун (0 меридианаас 180 меридиан хүртэл) ба зүүн (0 меридиан зүүнээс 180 меридиан хүртэл) байж болно. Уртраг градус, минутаар хэмжигддэг. Газарзүйн уртраг нь 0-ээс 180 градусын хооронд хэлбэлздэг.

Газарзүйн уртраг- анхны голчоос (0 градус) өгөгдсөн цэгийн голч хүртэл градусын экваторын нумын урт.

Гринвичийн голчид (0 градус) -ийг гол голчид гэж үздэг.

Зураг: 2. Уртраг тодорхойлох ()

Уртрагийг тодорхойлохын тулд тухайн объект байрлаж байгаа голчийг олох хэрэгтэй.

Жишээлбэл, Москвагийн уртраг 37 градус, зүүн уртрагийн 37 минутын зайг ингэж бичсэн байна: 37 ° 37 "зүүн уртраг; Мехико хотын уртраг 99 ° 08" баруун уртраг.

Зураг: 3. Газарзүйн өргөрөг ба газарзүйн уртраг

Дэлхийн гадаргуу дээрх объектын байрлалыг зөв тодорхойлохын тулд түүний өргөрөг, газарзүйн уртргийг мэдэх шаардлагатай.

Газарзүйн координат- өргөрөг ба уртраг ашиглан дэлхийн гадаргуу дээрх цэгийн байрлалыг тодорхойлох хэмжигдэхүүнүүд.

Жишээлбэл, Москва нь дараахь газарзүйн координатуудтай: 55 ° 45 "хойд өргөрөг, 37 ° 37" зүүн уртраг. Бээжин хот нь дараахь солбицолтой байна: 39 ° 56 ′ N. 116 ° 24 ′ Өргөргийн утгыг эхлээд тэмдэглэнэ.

Заримдаа аль хэдийн тодорхойлсон координатын дагуу объектыг олох шаардлагатай байдаг тул эхлээд энэ объект аль бөмбөрцөгт байрлаж байгааг таамаглах хэрэгтэй.

Гэрийн даалгавар

12, 13-р догол мөр.

1. Өргөрөг ба уртраг гэж юу вэ?

Ном зүй

Үндсэн

1. Газарзүйн анхан шатны сургалт: Сурах бичиг. 6 cl-ийн хувьд Ерөнхий боловсрол. байгууллагууд / T.P. Герасимова, Н.П. Неклюкова. - 10 дахь хэвлэл, хэвшмэл ойлголт. - М .: Бустард, 2010. - 176 х.

2. Газарзүй. 6-р анги: атлас. - 3-р хэвлэл, хэвшмэл ойлголт. - М.: Бустард, ДИК, 2011. - 32 х.

3. Газар зүй. 6-р анги: атлас. - 4-р хэвлэл, хэвшмэл ойлголт. - М.: Бустард, ДИК, 2013. - 32 х.

4. Газарзүй. 6 кл.: Үргэлжлэх картууд. - М.: DIK, Bustard, 2012. - 16 х.

Нэвтэрхий толь бичиг, толь бичиг, лавлах ном, статистикийн цуглуулга

1. Газарзүй. Орчин үеийн зурагтай нэвтэрхий толь бичиг / A.P. Горкин. - М.: Росмен-Пресс, 2006. - 624 х.

Улсын шалгалт, шалгалтанд бэлдэх уран зохиол

1. Газарзүй: анхан шатны сургалт. Тестүүд. Сурах бичиг. 6-р ангийн оюутнуудад зориулсан гарын авлага. - М.: Хүмүүнлэг. хэвлэл төв VLADOS, 2011. - 144 х.

2. Тест. Газарзүй. 6-10 анги: Сургалтын гарын авлага / А.А. Летягин. - М.: ООО "Агентлаг" KRPA "Олимп": "Astrel", "AST", 2001. - 284 х.

Интернет дээрх материалууд

1. Сурган хүмүүжүүлэх хэмжилтийн холбооны хүрээлэн ().

2. Оросын газарзүйн нийгэмлэг ().