Dácia
08.08.2020

Polinômios no campo de números complexos. Composição de um polinômio no campo de números racionais Composição de um polinômio no campo de números complexos

No campo dos números reais, qualquer polinômio irridutível de uma variável tem grau 1 ou 2, e o polinômio de 2° grau é irridutível no campo R se e só se tem um discriminante negativo, por exemplo, o polinômio é irridutível no campo de números reali, então seu discriminante é negativo.

O critério de Eisenstein é um critério para a irriducibilidade de um polinômio, dado o nome do matemático tedesco Ferdinand Eisenstein. Não nostante o nome (tradicional), se trata de um segno, ou de uma condição suficiente - mas por nula necessária, como você pode apoiar, com base no significado matemático da palavra "critério"

Teorema (critério de Eisenstein). Sia un polinomio sull'anello fattoriale R ( n>0), e por qualquer elemento irriducível p são satisfeitas as seguintes condições:

Não divisível por p,

Divisão por p,por chiunque eu a partir de dal 0 prima n- 1,

Não divisível por.

Allora il polynomio e irriducibile over F campo di anelli privado R.

Conseguenza. Seus quaisquer campos de números algébricos são um polinômio irriducível de qualquer grau predeterminado; por sempio, un polinômio, pomba n>1e pЇ um número primo.

Considere exemplos de aplicação deste critério quando R é o anel de números internos e F é o campo de números racionais.

Exemplo:

O polinômio é irridutível em Q.

O polinômio da divisão do cerco é irredutível. Na verdade, se é ridículo, allora também o polinômio é ridículo, e então todos os seus coeficientes, tranne il primo, são binomiali, cioè são divisíveis para p, e o último coeficiente `amém p e, além disso, não é divisível pelo critério de Eisenstein, ao contrário de todas as hipóteses.

A seguir cinco polinomi dimostrano alcune proprietà elementari dei polinomi irriducibili:

Sull'anello Z degli interi i primi due polinomi sono riducibili, gli ultimi due sono irriducibili. (O termo não é definido como um polinômio em seus números internos).

Sul campo Q dei numeri razionali, i primi tre polinomi sono riducibili, gli altri due sono irriducibili.

Sopra o campo R números reais, i primi quattro polinomi sono riducibili, ma è irriducibile. No campo dos números reais, os polinômios lineares e os polinômios quadráticos sem raízes reais são irriducibili. Por exemplo, a composição de um polinômio no campo de números reais tem a mesma forma. Entrambi e fattori nesta expansão são polinomi irriducibili.

Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. Infatti, todo polinômio não costante em C pode ser scomposto como segue:

pomba n- o grau do polinômio, un- o coeficiente principal, - os raios do polinômio. Portanto, os únicos polinômios irriducibili em C são polinômios lineares (o teorema fundamental da álgebra).

Qual número complexo define um ponto no piano. Gli argomenti se encontrar em um piano completo, e os valores de f-ii se encontrar em um outro piano completo.

F(z)- complexo complexo variável. Continue com as funções completas de uma variável complexa, em particular a classe das funções.

Def: Uma função complexa de uma variável complexa e esta continua se, tal como .+

senso geométrico no seguinte:

Especifica um cerco para piano complexo, centrado em z0, com raggio< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .

Teorema 1: O polinômio f(z) foi aprovado. C(z) é continua em todo ponto do piano complexo.

Corolário: o módulo de um polinômio no campo de números complexos é uma função contínua.

Teorema 2: - um anel de polinômio com coeficientes complexos, quindi valores tali che.

Teorema 3. (com aumento ilimitado do módulo de um polinômio):

Teorema de base da álgebra:

Qualsiasi polinomio no campo de números complexos não de grau 0 tem uma base no campo de números complexos.

(Usamos as seguintes afirmações na divulgação):

D: 1. Se a n =0, então z=0 é a base de f(z).

2. se n 0, , allora per il Teorema 3, la disuguaglianza definisce una regione nel piano complesso que giace al di fuori del cerchio di raggio S. Non ci sono radici nesta região, porque pertinente, os radici del polinomio f(z ) vanno cercate all'interno della regione .



Considere o T1. não consegue que a função f(z) seja contínua. De acordo com o teorema de Weierstrass, avaliou seu mínimo em um ponto da região chiusa, cioè. Dizemos que o ponto é um ponto mínimo. Porque 0 E, allora, porque al di fuori dell'area E do valor de f-ii, allora z 0 é o ponto de mínimo, todo o piano completo. Mostriamos que f(z 0)=0. Suponhamos que isso não seja o caso, quindi do Lema de Alembert, obtemos uma contradição, porque z 0 ponto mínimo.

Chiusura algébrica:

Def: Un campo P é este algebricamente chiuso se ha almeno una raiz neste campo.

Teorema: O campo de números complexos é algebricamente chiuso. (d-in deriva do teorema fundamental da álgebra).

Os campos de números racionais e reais não são algebricamente chiusi.

Descomponibilidade:

Teorema: qualquer polinômio, no campo de números complexos, de grau maior de 1, pode ser combinado em um produto de fatores lineares.

Corolário 1. Um polinômio de grau n tem exatamente uma raiz no campo de números complexos.

Próximos 2: qualquer polinômio no campo de números completos de grau maior de 1 é sempre ridículo.

Def: Numeri plurali C\R, cioè i numeri della forma a + bi, dove b non è guale a 0 - sono chiamati immaginari.


2. Polinômios em um campo. MCD de dois polinômios e algoritmos de Euclide. Composição de um polinômio em um produto de fatores irritáveis ​​e sua unicidade.

definitivamente. Polinomio (polinomio) dall'ignoto X sopra o campo R chiamata Somma algebrica di potenze intere não negativo X, preso com qual coeficiente do campo R.

Pomba aiÎP o

I polinomi sono chiamati pari, se meus coeficientes forem guali alle correspondenti potenze delle incognite.

Se você definir o grau de um polinômio. O valor é maior do que o componente ignorado, cujo coeficiente é diferente de zero.

Designado: N(f(x))=n

L'insieme di tutti e polinomi em um campo R denotado: P[x].

Os polinômios de grau zero coincidem com os elementos do campo R, diferente de zero é um polinômio nulo, seu grau é indefinido.

Operações em polinômios.

1. Acrescentar.

Sia n³s, allora , N(f(x)+g(x))=n=max(n,s).

<P[x],+>

  1. a operação de adição é amissível e a autorização deriva da autorização da adição de elementos do campo
  2. Associação
  3. elemento nulo
  4. polinômio oposto a esse dado
  5. comutatividade

- grupo abeliano

2. Moltiplicação.

Explorando a estrutura algébrica<P[x],*>

  1. a operação é fatível, porque o campo é uma operação de multiplicação. A autorização deriva da autorização das operações no campo R.
  2. Associação
  3. identidade polinomial
  4. solo e polinomi al grado zero são invertíveis

<P[x],*>- semigrupo com elemento de identidade (manóide)

Le leggi distributivo valgono, quindi<P[x],+,*>é um anel comutativo com identidade.

Divisibilidade dos polinômios

APS: polinômio f(x), f(x)íP[x], P– o campo é divisível por um polinômio g(x), g(x)≠0, g(x)íP[x], se um conto polinômio existe h(x)нP[x] conto che f(x)=g(x)h(x)

Propriedade divisibilidade:

Exemplo:, divida por uma coluna mcd = ( x+3)

Teorema da divisão com resto: Por todos os polinomi f (x), g(x)íP[x], existe um único polinômio q(x)e r(x) conto che f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x)) ó r(x)=0.

Idea Dock: consideração devido aos casos existentes n livelo g(x)) e dividindo f (X) su g (X). A autorização é uma prova de contradição.

APS: f (x) e g(x), f(x), g(x)íP[x], h(x)íP[x] si Chiama MCD f (x)por exemplo (x) Se

Algoritmo de Euclides

Escrevemos o processo de divisão sucessiva

f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1)

g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2)

r 1 (x)= r 2 (x) q 3 (x)+r 3 (x) (3) ecc.

r k-2 (x)= r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k)

r k-1 (x)= r k (x) q k+1 (x) (k+1)

mcd(f(x),g(x))=d(x)=r k (x)

Idéia da demonstração: mostriamos che 1 )f(x):(total) d(x)e g(x):(total) d(x); 2) f(x):(total) h(x)e g(x):(total) h(x) eis mostriamo d(x):( interamente) h(x).

Apresentação linear do MCD

T:se d(x) - MCD do polinômio f (x) eg(x), allora ci sono i polynomi v (x) e você(x)íP[x], que cosa f(x)você(x)+g(x)v(x)=d(x).

Def: f(x) e g(x)íP[x] hanno sempre divisori comuni, cioè polinomi di grado zero coincidenti com o campo P; se não ci são outros divisores comuns, então f(x) e g(x) são coprimi. (símbolo: (f(x),g(x))=1)

T:f (X)e g(x) coprimo i.i.t.c. esistono polinomi v(x) e u(x)nP[x] tali che f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

Propriedade dos polinomi coprimi

  1. (f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, ou seja (f(x),g(x)*q(x))=1
  2. f(x)*g(x):(intero)h(x) e (f(x),g(x))=1, ou g(x):( intero)h(x)
  3. f(x):(intero)g(x), f(x):(intero)h(x) e ( g(x),h(x))=1, portanto f(x):(interamente) g(x)*h(x)

APS: Você chama o polinômio f(x), f(x)íP[x]. citar seu campo P pode ser composto por fatores e cujos graus são maiores de 0 e menores do grau f(x), cioè

f (x)=f1 (x)f2 (x), pomba eu me formei f 1 e f 2 >0,

A ridicularização dos polinômios depende do campo, o que é considerado. Um polinômio é irridutível (um polinômio que não é considerado um fator de grau inferior) no campo Q, e é ridiculável no campo R.

Propriedade dos polinômios irriducibili:

  1. Um polinômio de grau zero é ridículo em qualquer campo
  2. Se polinômio f(x) não portano em campo R, então o polinômio a f(x) inoltre não é dado no campo R.
  3. Siano e polinomi f (X) e p(x) sopra o campo R, e p(x) e irridubile sul campo R, poi ci sou casi

1) polinômio f (X) e p(x) coprimo

2) f(x):(total) p(x)

Um campo F si dice algebricamente chiuso se un qualunque polinomio di grado positivo su F ha radice in F.

Teorema 5.1 (teorema de base da álgebra polinomial). O campo de números é complexo e algebricamente definido.

Conseguença 5 .1.1. Al di sopra UMA FESTA DAL esistono polinomi irriducibili di solo primo grado.

Corolário 5.1.2. Polinômio n esimo grado sopra UMA FESTA DAL Isso ha n complexo de radici.

Teorema 5.2. Se  é uma raiz complexa de um polinômio f com coeficientes reais, mesmo que o complexo combinado seja uma raiz f.

Conseguença 5 .2.1. Al di sopra R esistono polinomi irriducibili di solo primo ou secondo grado.

Corolário 5.2.2. Radici imaginação de um polinômio sobre R divisi in coppie di coniugati complessi.

Exemplo 5.1. Fattorizzare in fattori irriducibili sopra UMA FESTA DAL e mais R polinômio X 4 + 4.

Decisão. Abbiamo

X 4 + 4 =X 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (X 2 + 2) 2 – 4X 2 = (X 2 – 2X+ 2)(X 2 + 2X+ 2) –

decomposição finita R. Encontrando de maneira solitária os radicais completos de polinômios de segundo grau entre parenteses, você obtém uma composição sobre UMA FESTA DAL:

X 4 + 4 = (X – 1 – eu) (X – 1 + eu) (X + 1 – eu) (X + 1 + eu).

Exemplo 5.2. Construímos um polinômio de grau mínimo com coeficientes reais de raios 2 e 1 + eu.

Decisão. Segundo o Corolário 5.2.2, o polinômio deve ter raízes 2, 1 - eu e 1+ eu. Seus coeficientes podem ser encontrados usando a fórmula da Vieta:

 1 \u003d 2 + (1 - eu) + (1 +eu) = 4;

 2 \u003d 2 (1 - eu) + 2(1 + eu) + (1 – eu)(1 + eu) = 6;

 3 \u003d 2 (1 - eu)(1 + eu) = 4.

Daqui f =X 3 – 4X 2 + 6X– 4.

Exercício.

5.1. Fattorizzare in fattori irriducibili sopra UMA FESTA DAL e mais R polinômio:

un) X 3 – 6X 2 + 11X – 6;

b) X 4 – 10X 2 + 1.

5.2. Traçar um polinômio de grau mínimo com coeficientes reais com base dupla de 1 e base simples de 1 – 2 eu.

6. Polinomia no campo dos números racionais

Teorema 6.1 (critérios de Eisenstein). Permettere f = uma 0 +um 1 x+...+ un n X né um polinômio com coeficientes internos. Se existe um conto número primo p que cosa un 0 , un 1 , … , un n-1 divisão por p, un n não divisível por p,un 0 não é divisível por p 2, quindi f não é ridículo no campo dos números racionais.

Exercício 6.1. Mostrar a irriducibilità finita P polinômio:

un) f= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X+3;b) f= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.

Teorema 6.2. Permettere é uma fração irredutível que é a raiz de um polinômio f = un 0 + un 1 X + … + un n X n um coeficiente interi. Quindi

    un 0  p, un nq;

    f(1)  pq,f(–1)  p+q.

Este teorema permite resolver o problema de encontrar raízes racionais de um polinômio e coeficientes internos. Por isso, determinamos todos os divisores do termo livre e do coeficiente principal e, portanto, construímos todos os tipos de frações irriducibili. Todas as raízes racionais são contidas nestas frações. O esquema de Horner pode ser utilizado para determinar. Para evitar a utilização de cálculos nesse caso, use a afirmação 2) do Teorema 6.2.

Exemplo 6.1. Encontre os raios racionais de um polinômio

f = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.

Decisão. Escrevemos todas as frações e os numeradores p são os divisores 18 e os denominadores q- divisori 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Li controlamos segundo o esquema Horner:

Comentário

f(1) = –21  p-q

f(–1) = –3  p+q

X 1 = –2

X 2 = 3/2

Encontre a raiz X 1 = -2 e dividindo o polinômio por X+ 2, obtemos um polinômio com um novo termo livre –9 (e seus coeficientes são sottolineati). Os numeradores dos restos das raízes devono são divisores deste número e das frações que não são suficientes para esta condição podem ser excluídos do elemento. Os valores internos são excluídos porque não são adequados para a condição f(1)p – q ó f(–1)p + q. Ad exemplo, por 3 anos p = 3, q= 1, e a condição f(1) = –21p – q(assim como a segunda condição).

Allo este modo, encontre a raiz X 2 \u003d 3/2, combinamos um polinômio com um novo termo livre 3 e um coeficiente sênior de 1 (quando a raiz é frazionária, e os coeficientes do polinômio resultantes devem ser ridotti). Nessun numero rimanente dell'elenco può più essere la sua radice e l'elenco delle radici razionali è esaurito.

Os radicais encontrados devem ser controlados para serem aplicados.

Se no processo de risoluzione você chegar a um polinômio de segundo grau e o elemento das frações não estiver ainda esaurito, os raízes rimanenti podem ser encontrados usando a fórmula solitária como raízes de um trinômio quadrado.

Exercício 6.2. Encontre raios racionais de um polinômio

un) X 3 – 6X 2 + 15X– 14;

b) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;

em 2 X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;

e) 4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.

Polinômio irridutívelÉ um polinômio que não pode ser complicado em polinômio não banal. Os polinômios irriducibili são elementos irriducibili de um anel de polinomi.

Um polinômio irridutível em um campo é um polinômio Dalle variabili sul campo é um elemento simples do anel , então, não pode ser representado como um produto, pomba e são polinômios com coeficientes de, que são diversos dos custos.

Um polinômio de seu campo F é isso irriducível (semplicidade) se tem um grau positivo e não há divisores não banais (cioè, qualsiasi divisore è associado ad esso ou all'unità)

Sugestão 1

Permettere R- irridutível uné um qualquer polinômio do anel F[x]. Allora neanche R dividir un, ó R e un sou coprimi.

Sugestão 2

Permettere f∈ F[x], e o grau de f = 1, então f é um polinômio irridutível.

Por sempio: 1. Obtenha um polinômio x+1 no campo Q. Seu grau é 1, o que significa que é irriducível.

2. x2 +1 é irridutível, porque não há raízes

SNL. Solução do sistema. Sistemas congiunti, incompatibili, definiti e indefiniti. Sistemas equivalentes

Um sistema de equações lineares em um campo F com variação x1,…xn é um sistema de forma

un 11 X 1 +… + uma 1n X n=b 1

………………………..

un m1 X 1 +… + uma homem X n=b eu

pomba sim,b eu∈ F, m é o número de equações, e é o número de incógnito. Resumindo, este sistema pode ser escrito como segue: ai1x1 +… + a em X n=b eu (io = 1,…m.)

Este SLE é uma condição com variabilidade livre x 1,….хn.

I SLN são divididos em incompatibilidades (não há soluções) e congiunti (definitivas e indefinidas). Um sistema de visualização compatível se ele definitivamente tiver uma solução única; se há sempre devido soluções diversas, allora si dice indefinito.

Ad exemplo: sul campo Q

x + y \u003d 2 - sistema incompatível

x - y \u003d 0 - dado definido (x, y \u003d ½)

2x + 2y \u003d 2 - dado indefinido

Dois sistemas LO são equivalentes às soluções destes sistemas coincidentes, ou seja, qualquer solução de um sistema é uma solução contemporânea de um outro. Se você puder obter um sistema equivalente a este:



1. substituindo uma das equações com esta equação, multiplicada por qualquer número diferente de zero.

2. substitua uma das equações pela soma desta equação por uma outra equação do sistema.

A solução do SLE foi executada com o método de Gauss.

45* Transformações elementares de sistemas de equações lineares (slu). Método de Gauss.

definitivamente.Transformações elementares S.L.U n-Xia as seguintes transformações:

1. Multiplicação de uma das equações do sistema para um elemento diferente do zero do campo.

2. Adicione uma das equações do sistema de uma outra equação, multiplicada pelo elemento de campo.

3. Adicione ao sistema ou exclua do sistema uma equação diferente de zero 0*х1+0*х2+…+0*хn=0

4. Equações de scambio

SugestãoSe você tiver o sistema (**) ou o sistema (*) com ajuda de um número finito. Transformações elementares. Quindi sistema (**) ~ sistema (*). (doca Senza)

Vice Ao escrever um sistema de equações lineares, usamos a notação matricial.

a11 a12 ... a1n em1

a21 a22 ... a2n v2

………………….... …

Am1 am2... amn locanda

Exemplo: 1) 2x1 - x3 = 1 2 0 -1 1

x1 - x2 - x3 = 0 1 -1 -1 0

3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2

2) 1 0 1 x1=1

0 1 2x2=2

3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3

0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3

Método de Gauss

Sugestão Lascia che il sistema (*)

(a) se todos os termos liberi são uguali a 0 todos os vk=0 mn-in soluções = F n

(b) k inc=0 0x1+0x2+…+0xn= inc=0 (nessa solução)

2. não todos aij = 0

(a) se o sistema tiver uma equação da forma 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0

(b) se não existir tal equação b1. Escludiamos as equações diversas de zero. Encontramos o índice mais pequeno i1, que não tem todos os coeficientes em xij=0.

0……0……….. …. A segunda coluna com zero é i1.

0……0…..*=0….. ….

0……0 ...……… …

1. Organizando as equações, vamos deixar que a1i1 = 0

0 ..... 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(assegnação) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* a2i1

A2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1….. ….. ( calpestato

0…. 0… à2i1… 0…..0..0… …. Matriz)

0 ........... 0 .... ami1.. ... ……………… …. ………………… ….

0….0 ..ami1…0……0…………0….

Depois de um número finito de passos, obtemos que o sistema contém uma equação da forma 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0oppure

0……0 1………….. L1 “corsa Gauss in avanti” 0....0 1...0..0 .....0........0... .. "inversão"

0.....0 0.....1..... L2 0....0 0.....1........0.... .... .0.... ..Gauss”

0 .......00.......0....1 L2 0....0 0......0........1... . .....0.... ..

.............................. .... ............................................ ..

0........0 0 ............0..1 Lc 0....0 0.......0....... ..0....0.....1 ..

As variáveis ​​xi1, ...... xik são chamadas de principais, as outras são livres.

k=n => c-a definido

K c-a indefinido. Todas as variáveis ​​​​livres podem ser atribuídas aos valores derivados e podem ser calculadas e os valores das variáveis ​​​​principais.

2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0

1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1

3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2

  • Algoritmos para multiplicar e dividir números no sistema numérico decimal
  • Determinação dos desvios médios e do contorno e do número necessário de seleções
  • Rispondi Motovil no livro de Peter Skarga "Sull'unità della Chiesa di Dio" 1577(?) - o primeiro polêmico de Ostrozky no centro.
  • Domanda n. 1. Evaporação da umidade e decomposição dos carbonatos em um forno alto. Termodinâmica da decomposição dos carbonatos.
  • TUTTI i gradi mancanti (e (o) i termini liberi) sem lacunas são escritas em ENTRAMBI e polinomi com coeficiente zero.

    • Viene chiamato un polinomio sull'anello degli interi primitivo, se o máximo divisor comum de seus coeficientes for 1. Um polinômio com coeficientes racionais é representado unicamente como produto de um número racional positivo, chamado conteúdo polinômio e polinômio primitivo. O produto de polinômio primitivo é um polinômio primitivo. Isso implica que se um polinômio de coeficientes internos é ridículo no campo dos números racionais, então é ridículo no anel interno. Portanto, o problema da classificação de um polinômio em fatores irriducibili no campo dos números racionais causa um problema semelhante no anel interno.

    É um polinômio com coeficiente interno e conteúdo 1, e é sua raiz racional. Representamos a raiz do polinômio como uma fração irridutível. Polinômio f(X) é apresentado como um produto de polinomi primitivi. Di Consenza,

    A. o numerador é o divisor,

    B. denominador - divisor

    C. por qualsiasi número intero K significado f(K) é um número intero que pode ser dividido sem o resto de ( bb-un).

    Esta propriedade permite livrar-se do problema de encontrar as raízes racionais de um polinômio e uma enumeração finita. Um exemplo semelhante é usado na expansão do polinômio f um fator irriducibili no campo dos números racionais com o método de Kronecker. Se polinômio f(X) vivo n diamo, allora uno dei fattori ha al massimo una laurea n/2. Indichiamo este fato com g(X). Pois todos os coeficientes de polinômios são números internos, para qualquer número interno un significado f(un) e divisibile senza resto per g(un). Scegliamo m = 1+n/2 números internos distintos un ei, eu=1,…,eu. Por números g(un i) existe um número finito de possibilidades (o número de divisores de qualquer número diferente de zero é finito), então existe um número finito de polinômios que pode ser esse divisor f(X). Depois de efetuar uma enumeração completa, mostramos a irriducibilidade do polinômio ou o expandimos em um produto do devido polinômio. Apliquemos o esquema indicado a ciascun fattore finché tutti e fattori diventano polinomi irriducibili.

    A irritação de alguns polinômios no campo dos números racionais pode ser estável usando um critério simples de Eisenstein.

    Permettere f(X) é um polinômio no anel interno. Se é um número primo p que cosa



    I. Todos os coeficientes do polinômio f(X), e a exclusão do coeficiente do grau mais alto é dividida por p

    II. O coeficiente de grau mais alto não é divisível por p

    III. O termo livre não é divisível por

    Poi il polinômio f(X) é irridutível no campo dos números racionais.

    Observe que o critério de Eisenstein fornece condições suficientes para a irritação da polinomia, mas não é necessário. Embora o polinômio seja irritável no campo dos números racionais, mas não se enquadra no critério de Eisenstein.

    O polinômio, segundo o critério de Eisenstein, é irridutível. Conseqüentemente, no campo dos números racionais existe um polinômio de grau irridutível n,pomba n qualsiasi numero natural maior de 1.
    Artigos casuais