Análise harmônica de sinais periódicos. Notação matemática de vibrações harmônicas

A universalidade das oscilações harmônicas também reside no fato de que qualquer sinal periódico pode ser composto (neste caso eles dizem: sintetizado) apenas a partir de oscilações harmônicas com certas amplitudes, frequências e fases iniciais. O ramo da teoria do sinal que lida com a decomposição de sinais em componentes harmônicos é chamado de análise de sinal harmônico ou análise de Fourier. As principais disposições desta teoria são as seguintes.

Qualquer sinal periódico com período T pode ser representado pela soma de um certo conjunto de oscilações harmônicas com frequências circulares iguais a ωn \u003d nω1 \u003d 2πn / T, onde n é o número harmônico (número natural). Nesse caso, o harmônico com o número n \u003d 1 é chamado de harmônico fundamental, e os harmônicos com os números n\u003e 1 são chamados de harmônicos superiores. Em geral, o número de tais harmônicos pode ser infinito. O sinal representado pela soma dos harmônicos pode ser escrito como:

Os coeficientes an e bn da expressão (4.6) são determinados pela integração do sinal ao longo de um intervalo de tempo igual ao período de acordo com as regras

(4.8)

(4.9)

Representar um sinal periódico como um conjunto de componentes harmônicos é chamado de espectro. Essa decomposição de um sinal periódico também é chamada de série de Fourier. A expressão (4.6) pode ser apresentada de outra forma:

(4.10)

onde a amplitude An (4.11)

O espectro do sinal é representado graficamente como um conjunto de segmentos verticais começando no eixo das abcissas (no eixo da frequência). Nesse caso, a posição do segmento no eixo das abscissas (da origem) reflete a frequência do harmônico correspondente, e o comprimento do segmento corresponde à amplitude deste harmônico.

A operação de formar um sinal complexo a partir de um conjunto de harmônicos é chamada de síntese de sinal. Na prática, os sinais geralmente são sintetizados não com uma série infinita, mas com um conjunto limitado de harmônicos (é chamado de série de Fourier truncada). É claro que se o sinal for representado por um conjunto incompleto de harmônicos, sua forma será distorcida. Uma das tarefas da síntese de sinal é a formação de sinais com distorção aceitável a partir de um conjunto limitado de harmônicos.

Como exemplo, considere a formação de um sinal próximo a retangular a partir de uma série de Fourier truncada. A Figura 4.6 mostra os sinais obtidos pela soma dos primeiros harmônicos selecionados da série completa de Fourier. Na Figura 4.6, uma linha pontilhada mostra um meandro (sinal retangular simétrico) m (t), uma linha sólida - o nível do primeiro harmônico a1 (t) contido neste sinal. A Figura 4.6, b mostra o espectro do primeiro harmônico s1 (f). O espectro de uma oscilação harmônica (senoidal) contém apenas um componente com uma frequência f \u003d f1 \u003d 1 / Т, onde Т é o período de oscilação. Os períodos da onda quadrada original e seu primeiro harmônico são os mesmos.

Figura: 4.6 Formação de um sinal retangular a partir da soma dos primeiros harmônicos: a), c), e) - uma representação temporal dos primeiros harmônicos do meandro e sua soma; b), d), f) - representação espectral dos conjuntos correspondentes de harmônicos

Na Figura 4.6, a linha pontilhada mostra o primeiro e o terceiro harmônicos contidos no meandro, e a linha contínua é a soma deles. Observe que os sinais simétricos (incluindo o meandro) não têm harmônicos pares (mais precisamente, seus valores são zero). Os espectros dos três primeiros harmônicos são mostrados na Figura 4.6, d (o nível do segundo harmônico é igual a zero) A Figura 4.6, d mostra os primeiros quatro harmônicos diferentes de zero (ou seja, os harmônicos com números 1, 3, 5 e 7) e sua soma. A Figura 4.6, e mostra seus espectros.

A figura mostra que com o aumento do número de harmônicos, a forma do sinal sintetizado se aproxima cada vez mais de retangular, e a diferença entre uma onda quadrada e um sinal formado pela soma dos componentes harmônicos torna-se cada vez menor.

Em conclusão, deve-se acrescentar que apenas sinais periódicos podem ser expandidos em uma série de Fourier, enquanto o aparato de integrais de Fourier é usado para analisar sinais não periódicos.

Ao decompor um sinal periódico s(t) na série de Fourier em funções trigonométricas como o sistema ortogonal que tomamos

O intervalo de ortogonalidade em ambos os casos coincide com o período
funções s(t).

O sistema de funções (1.18) leva à forma trigonométrica da série de Fourier, e o sistema (1.19) - à forma complexa. Existe uma conexão simples entre os dois.

Vamos primeiro usar o sistema ortogonal (1.19). Em seguida, a série de Fourier deve ser escrita na forma

Conjunto de coeficientes de p A série de Fourier na base de funções trigonométricas é chamada espectro de frequenciasinal periódico. Coeficientes de série (1,20 ) de p são facilmente determinados usando as fórmulas fornecidas no parágrafo anterior.

Da fórmula (1.16) segue que

. (1.21)

Assim, independentemente de pnorma
. Usando a fórmula (1.9), obtemos

. (1.22)

Nas expressões (1.21) e (1.22), foi levado em consideração que as funções
corresponde a uma função conjugada complexa

Probabilidades de p no caso geral, são quantidades complexas. Substituindo em (1.22)

Partes cosseno (real) e seno (imaginária) do coeficiente de n definido por fórmulas

,
. (1.24)

Muitas vezes é conveniente escrever os coeficientes no formulário

, (1.25)

,
. (1.26), (1.27)

Módulo é uma função mesmo em relação a p, e o argumento mostrando isso é mesmo, um funções estranhas p.

A expressão geral (1.20) pode ser reduzida à forma

. (1.28)

Agora é fácil passar para a forma trigonométrica da série de Fourier. Selecionando da série (1.28) um \u200b\u200bpar de termos correspondendo a qualquer valor dado | n | , por exemplo | n | \u003d 2, e levando em consideração as relações
,
obtemos pela soma desses termos

A partir disso, pode-se perceber que na transição para a forma trigonométrica, a série (1.28) deve ser escrita da seguinte forma:

. (1.30)

O significado de dobrar os coeficientes de Fourier c n na série trigonométrica em p \u003e 1 torna-se claro considerando o diagrama vetorial (Fig. 1.3) correspondente a (1.29) para | n | \u003d 2. Função real
obtido como a soma das projeções no eixo horizontal OV dois vetores de comprimento | de n | girando com frequência angular
em direções mutuamente opostas. Um vetor de rotação no sentido anti-horário corresponde a uma frequência positiva e um vetor de rotação no sentido horário corresponde a uma frequência negativa . Após a transição para a forma trigonométrica, o conceito de "frequência negativa" perde seu significado. Coeficiente c Q não dobra, visto que no espectro de um sinal periódico a componente com frequência zero não tem um "duplo".

Em vez da expressão (1.30), a seguinte notação é frequentemente encontrada na literatura matemática e de engenharia de rádio:

além disso
.

Figura: 1.3. Representação de uma vibração harmônica na forma de dois complexos

componentes: com frequências positivas e negativas

A partir da comparação das expressões (1.31) e (1.30), pode-se ver que a amplitude p º harmônico E p está relacionado ao coeficiente | com n | série (1,28) pela relação

e
,
.

Assim, para todos os valores positivos p (incluindo e p = 0)

,
. (1.32)

Se o sinal é uma função mesmo em relação a t, ou seja, s(t)= s(-t), no registro trigonométrico da série, apenas os termos cosseno permanecem, uma vez que os coeficientes b p desaparecer de acordo com a fórmula (1.32). Para estranho relativamente tfunções s(t) , pelo contrário, os coeficientes desaparecem e p e a série consiste apenas de membros sinusoidais.

Duas características - amplitude e fase, ou seja, os módulos e argumentos dos coeficientes complexos da série de Fourier, determinam completamente a estrutura do espectro de frequência da oscilação periódica. Uma representação gráfica do espectro de amplitude dá uma representação visual da "largura" do espectro. Como exemplo, a Fig. 1.4.а, o espectro dos coeficientes | de p |, e na fig. 1,4, b - espectro de amplitude E p \u003d 2 | s p | para a mesma oscilação periódica. Para uma caracterização abrangente do espectro, tais construções devem ser complementadas com a especificação das fases iniciais de cada harmônico.

Figura: 1.4. Coeficientes da série de Fourier complexa (a) e trigonométrica (b) da função periódica do tempo

O espectro de uma função periódica é chamado linear ou discreto, uma vez que consiste em linhas separadas correspondentes a frequências discretas, etc.

O uso de oscilações periódicas complexas da série de Fourier para análise de harmônicos em combinação com o princípio de superposição é uma ferramenta eficaz para estudar o efeito de circuitos lineares na transmissão de sinais. Deve-se notar, no entanto, que determinar o sinal na saída do circuito a partir da soma dos harmônicos com as amplitudes e fases dadas não é uma tarefa fácil, especialmente se a convergência rápida da série de Fourier representando o sinal de entrada não for garantida. Os sinais mais comuns em engenharia de rádio não atendem a essa condição, e um grande número de harmônicos geralmente deve ser somado para reproduzir a forma de onda de forma satisfatória.

Registro matemático de vibrações harmônicas. Espectros de amplitude e fase de um sinal periódico. Espectro de uma seqüência periódica de pulsos retangulares. Integral interno em função da frequência. Espectros de sinais não periódicos.

Teste

Opção número 4

Análise de sinal espectral (harmônico)

Literatura

forma de onda harmônica espectral

A análise harmônica é um ramo da matemática que estuda as possibilidades de representar funções na forma de séries trigonométricas e integrais. O principal conceito em análise harmônica é a oscilação harmônica, que pode ser matematicamente escrita da seguinte forma:

onde Um, f0, 0 e 0 são a amplitude, frequência, frequência angular e fase inicial da oscilação, respectivamente.

A análise harmônica apresenta enésimo conceito harmônicos de oscilações periódicas de frequência u0, que novamente é entendida como uma oscilação harmônica com uma frequência n vezes maior que a frequência da oscilação harmônica fundamental.

O próximo conceito importante é o espectro do sinal. O espectro do sinal é entendido como a totalidade de seus componentes harmônicos. A introdução do conceito de espectro de sinal levou ao uso do nome de análise espectral para análise de sinal harmônico em aplicações técnicas.

1. Análise espectral de sinais periódicos

Como você sabe, qualquer sinal S (t) descrito por uma função periódica de tempo que satisfaça as condições de Dirichlet (os modelos de sinais reais as satisfazem) pode ser representado como uma soma de oscilações harmônicas, chamada de série de Fourier:

onde é o valor médio do sinal ao longo do período ou o componente constante do sinal;

Coeficientes da série de Fourier;

Freqüência fundamental (primeira freqüência harmônica); n \u003d 1,2,3, ...

O conjunto de valores de An e n (ou na expansão em termos de funções senoidais n) é chamado de espectro da função periódica. As amplitudes dos harmônicos An caracterizam o espectro de amplitude e as fases iniciais n (ou "n) caracterizam o espectro de fase.

Assim, o espectro de um sinal periódico é representado como uma componente constante e um número infinito de oscilações harmônicas (senoidal ou cosseno) com amplitudes e fases iniciais correspondentes. As frequências de todos os harmônicos são múltiplos da frequência fundamental. Isso significa que se um sinal periódico segue com uma frequência de, por exemplo, 1 kHz, então seu espectro pode conter apenas frequências de 0 kHz, 1 kHz, 2 kHz, etc. No espectro de tal sinal periódico, por exemplo, frequências de 1,5 kHz ou 1,2 kHz não podem estar presentes.

Na fig. 1. mostra os espectros de amplitude e fase de um certo sinal periódico. Cada componente harmônico é mostrado como segmentos verticais, os comprimentos dos quais (em uma determinada escala) são iguais a sua amplitude e fase. Como você pode ver, o espectro do sinal periódico é discreto ou, como dizem, linear.

Para simplificar os cálculos, em vez da forma trigonométrica de registro da série de Fourier, a forma complexa de seu registro é freqüentemente usada, cujos coeficientes combinam os coeficientes An e n:

O conjunto de amplitudes complexas n é chamado de espectro complexo do sinal periódico.

O cálculo dos espectros do sinal na região complexa é muito mais fácil, pois não há necessidade de considerar separadamente os coeficientes e a forma trigonométrica de registro da série de Fourier.

2. Espectro de uma sequência periódica de pulsos retangulares

Antes de considerar o espectro de uma seqüência periódica de pulsos retangulares, considere os parâmetros desses pulsos.

Os parâmetros de um único pulso são amplitude, duração do pulso, tempo de subida, tempo de queda, declínio (clivagem) do topo plano.

A amplitude de pulso Um é medida em volts.

A duração do pulso é medida na base, em níveis de 0,1Um ou 0,5Um. No último caso, a duração do pulso é chamada de ativo. A duração do pulso é medida em unidades de tempo.

A duração do tf frontal e do decaimento tc é medida no nível 0 - Um, ou no nível (0,1-0,9) Um. No último caso, a duração da ascensão e queda é chamada de ativa.

A clivagem de um topo plano é caracterizada por uma razão de clivagem \u003d? u / Hum,

onde? u é o valor de clivagem; Hum é a amplitude do pulso.

Os parâmetros do trem de pulso são período de repetição T, freqüência de repetição f, ciclo de trabalho Q, ciclo de trabalho, tensão média Uav e potência média Pav.

Período de repetição T \u003d tp + tp, onde T é o período, tp é a duração do pulso,
tp - duração da pausa. T, ti e tp são medidos em unidades de tempo.

A taxa de repetição f \u003d 1 / T é medida em hertz, etc.

O ciclo de trabalho Q \u003d T / ti é uma quantidade adimensional.

Fator de preenchimento \u003d ti / T - valor adimensional.

Tensão média

Prosseguimos considerando os espectros de amplitude e fase do sinal na forma de uma seqüência periódica de pulsos retangulares com duração e amplitude Um, seguidos de um período T (Fig. 2).

Vamos considerar o caso em que o meio do pulso é a origem do tempo. Então, no período, o sinal é descrito pela expressão

Amplitudes complexas de componentes harmônicos.

A função está alternando sinal e muda seu sinal para o oposto quando o argumento n1 muda pelo valor? Uh \u003d 2p / f, que corresponde ao incremento de fase por.

onde k é o número ordinal do intervalo na escala de frequência, contado a partir da frequência zero.

Assim, as amplitudes dos harmônicos, incluindo o componente DC, são determinadas pela expressão:

e fases - pela expressão \u003d 1, 2,3, ...

A função caracteriza a mudança no espectro de amplitude do sinal dependendo da frequência. Ele desaparece por múltiplos de seu argumento. Portanto, segue-se que harmônicos com número n \u003d, onde
\u003d 1,2,3, ... terá amplitudes zero, ou seja estar ausente do espectro.

Como você sabe, a proporção é chamada de ciclo de serviço do trem de pulso. Assim, o espectro da sequência sob consideração carecerá de harmônicos cujos números são múltiplos do ciclo de trabalho.

Se a origem da referência de tempo estiver associada ao início do pulso, então o espectro de amplitude permanecerá inalterado e as fases dos harmônicos, de acordo com a propriedade da transformada de Fourier, receberão um deslocamento de fase adicional nsh1f / 2. Como um resultado

As expressões para a forma trigonométrica de registro da série de Fourier ao contar o tempo a partir do meio e do início do pulso, respectivamente, têm a forma:

Na fig. 3. mostra os espectros de amplitude e fase da sequência considerada de pulsos retangulares com um ciclo de trabalho igual a dois.

Os espectros de fase são mostrados, respectivamente, quando o tempo é contado a partir do meio e do início do pulso. As linhas pontilhadas nos espectros de amplitude caracterizam o comportamento do módulo de densidade espectral de um único pulso.

A expressão para os valores das amplitudes e fases dos harmônicos é fácil de obter em uma forma conveniente para cálculos. Então, ao contar o tempo a partir do meio do pulso para um ciclo de trabalho igual a dois, temos

N \u003d 1,3,5,7, ...,

3. Espectros de alguns sinais periódicos

A Tabela 1 mostra os espectros de amplitude e fase, bem como as formas trigonométricas de registro da série de Fourier de alguns dos sinais periódicos mais comuns na prática.

Os sinais # 1 e # 2 são sequências de pulsos retangulares com um ciclo de trabalho de 2 e um componente constante zero e diferem apenas na origem do tempo. Observe que os espectros de amplitude desses sinais são os mesmos, mas os espectros de fase são diferentes.

Os sinais nº 3 e nº 4 são sequências de pulsos retangulares com

ciclo de trabalho, respectivamente, 3 e 3/2 e componente constante zero. Os espectros de amplitude desses sinais são os mesmos. Preste atenção ao fato de que para o sinal nº 3 em cada um dos intervalos Dsh \u003d 2p / f há dois harmônicos, e para o sinal nº 4 em cada um dos intervalos Dsh1 \u003d 2p / 2f há apenas um harmônico. A conclusão sobre a coincidência dos espectros de amplitude desses sinais também pode ser feita com base no fato de que quando o sinal # 3 é deslocado por T / 2, ele é inverso (ou seja, tendo o sinal oposto) em relação ao sinal 4.

O sinal # 5 é uma sequência de pulsos triangulares simétricos com componente constante zero. Ao escolher a referência de tempo, conforme mostrado na figura da tabela 3.1, todos os harmônicos têm fase inicial nula.

O sinal # 6 é uma sequência dos chamados pulsos dente de serra com um componente constante zero.

Os sinais nº 7 e nº 8 são sequências de pulsos que se aproximam com boa precisão dos sinais obtidos por retificação de onda completa e meia onda de sinais sinusoidais, respectivamente.

As linhas tracejadas nos espectros de amplitude dos sinais nº 1 - nº 8 mostram as densidades espectrais que caracterizam o comportamento do módulo de densidade espectral de pulsos únicos formando uma sequência.

O sinal nº 9 é uma oscilação com freqüência u0, modulada em amplitude pela oscilação com freqüência u. Tal sinal é chamado de oscilação modulada em amplitude. O fator m é chamado de fator de modulação de amplitude:

onde DU é a amplitude da mudança no envelope da oscilação modulada em amplitude.

4. Espectros de sinais não periódicos

Deixe o sinal não periódico ser descrito pela função S (t) dada em um intervalo de tempo finito t1< t < t2, которая удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютно интегрируема, т.е.

O último significa fisicamente que o sinal tem energia finita.

Suponha que o sinal S (t) seja convertido repetindo-o com um período arbitrário T\u003e t2-t1 em um sinal periódico S1 (t). Para este sinal, a expansão da série Fourier é aplicável:

Os coeficientes An, neste caso, serão quanto menores, quanto maior for o intervalo T, selecionado como o período. Deixando T tender ao infinito, no limite obtemos amplitudes infinitamente pequenas das componentes harmônicas. O número de componentes harmônicos incluídos na série de Fourier será infinitamente grande, pois como T tende para o infinito, a frequência fundamental do sinal u \u003d 2p / T tende para zero. Em outras palavras, a distância entre os harmônicos igual à frequência fundamental torna-se infinitesimal e o espectro torna-se contínuo.

Como resultado, em T, o sinal S1 (t) se transforma no sinal S (t), a freqüência 1 diminui para d e n1 se transforma na freqüência atual. Substituindo o somatório por integração, obtemos

A integral interna, que é uma função da frequência, é chamada de densidade espectral complexa ou característica espectral () do sinal S (t):

No caso geral, quando os limites t1 e t2 não são especificados

Assim, as representações de tempo e frequência de sinais não periódicos são vinculadas por um par de transformadas de Fourier.

A densidade espectral complexa pode ser representada nas seguintes formas:

() \u003d S () e-j () \u003d A () + jB (),

onde A () \u003d B () \u003d

() \u003d arctg.

A função S () é chamada de densidade espectral das amplitudes do sinal não periódico, e a função () é chamada de densidade espectral das fases.

Ao contrário do espectro de um sinal periódico, o espectro de um sinal não periódico é sólido (contínuo). Dimensão S () - amplitude / frequência, () - fase / frequência. Em cada frequência específica, a amplitude do componente correspondente é zero. Portanto, só podemos falar sobre os componentes harmônicos de amplitude, cujas frequências estão incluídas em uma pequena, mas finita faixa de frequência, + d.

Ressaltamos que a relação entre as representações de tempo e frequência do sinal, dada pela transformada de Fourier, existe apenas para a densidade espectral.

Literatura

Kasatkin A.S. Engenharia elétrica: livro didático. para universidades / A.S. Kasatkin, M.V. Nemtsov. - 11ª ed., Apagado. ; Neck MO. - M: Academy, 2007 .-- 539 p.

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Moskalenko V.V. "Acionamento elétrico automatizado". Livro didático para universidades. M .: Energoatomizdat, 1986.

"Engenharia Elétrica", ed. V.S. Pantyushina, M.: Escola Superior, 1976.

"Engenharia elétrica geral" ed. A.T. Blazhkina, L.: Energy, 1979.

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A análise harmônica é um ramo da matemática que estuda a representação de funções na forma de séries trigonométricas e integrais.

Em 1807, Jean Baptiste Joseph Fourier expressou a ideia de que a função periódica (2.1) pode ser representada como funções senoidal e / ou cosseno de diferentes frequências, multiplicadas por alguns coeficientes.

4.1.1. Invariância sinusóide

Se o sinal de entrada for uma oscilação harmônica (função do tempo seno / cosseno) (2.2)

então, o sinal de saída do sistema linear também será senoidal na mesma frequência, embora a amplitude e a fase inicial possam diferir dos valores originais. Assim, a forma de onda é preservada, uma vez que em um sistema linear com um sinal, apenas operações como multiplicação por um valor constante, diferenciação, integração, atraso e adição são possíveis.

Na prática, outros métodos de apresentação de sinais também são usados. Na exibição de sinais, juntamente com uma função sinusoidal, uma função exponencial complexa da forma

A Figura 4.1 ilustra uma representação gráfica dessa função.

Figura 4.1

A função reflete a posição do número complexo do círculo unitário no plano complexo, onde sua parte real é representada no eixo das abcissas e sua parte imaginária no eixo das ordenadas. A expressão corresponde a um ponto localizado no círculo unitário do plano complexo. A linha reta conectando este ponto com a origem do plano complexo forma um ângulo com o eixo real.O ponto se move em um círculo no sentido anti-horário com uma velocidade - por isso é chamado de frequência circular. Uma expressão é um vetor unitário cujo ângulo aumenta linearmente com o tempo em uma velocidade Expressão corresponde a um vetor cujo ângulo aumenta linearmente com o tempo na direção oposta e na mesma velocidade

* ,

então, são funções conjugadas.

4.1.2. Representação de uma função periódica por uma série de Fourier

O conceito básico em análise harmônica é vibração harmônica. Na análise harmônica, o conceito é introduzido n-ésimo harmônico de uma oscilação de frequência periódica, que é entendida como uma oscilação harmônica com uma frequência pvezes a frequência fundamental. Por exemplo, ele executa duas oscilações a cada segundo.

O próximo conceito importante é o espectro do sinal. O espectro do sinal é entendido como a totalidade de seus componentes harmônicos. A introdução do conceito de espectro de sinal levou ao uso do nome de análise espectral para análise de sinal harmônico em aplicações técnicas.

Como você sabe, qualquer sinal descrito por uma função periódica de tempo que satisfaça as condições de Dirichlet (modelos de sinais reais as satisfazem) pode ser representado como uma soma de oscilações harmônicas, chamada de série de Fourier:

onde - o valor médio do sinal ao longo do período ou o componente constante do sinal, (- conjunto de coeficientes

(4.3)

(4.4)

Das fórmulas (4.2 - 4.4) segue que a função pode ser representada pelo conjunto de números reais ().

4.1.3. Forma complexa da série de Fourier

Para simplificar os cálculos, em vez da forma trigonométrica de escrever a série de Fourier, sua forma complexa é freqüentemente usada. O cálculo dos espectros do sinal na região complexa é muito mais simples, já que não há necessidade de considerar separadamente os coeficientes da forma trigonométrica de registro da série de Fourier.

Levando em consideração as fórmulas de Euler

),

onde é uma função exponencial complexa,

Neste caso, é determinado pelo conjunto de números complexos

onde

A coleção de amplitudes complexas é chamada de espectro complexo do sinal periódico. A Figura 4.1 mostra a interpretação geométrica de um número complexo.

Figura 4.1

O ângulo reflete a orientação do vetor complexo em relação à direção do eixo real.

Uma coleção de valores e n chamado de espectro da função periódica. As amplitudes dos harmônicos caracterizam o espectro de amplitude, e as fases iniciais caracterizam o espectro de fase.

Assim, o espectro de um sinal periódico é representado como uma componente constante e um número infinito de oscilações harmônicas (senoidal ou cosseno) com as respectivas amplitudes e fases iniciais. As Figuras 4.1 e 4.2 mostram os espectros de amplitude e fase de um determinado sinal periódico.

Figura 4.1 - Espectro de amplitude do sinal

Figura 4.2 - Espectro de fase do sinal

Cada componente harmônico é representado por segmentos verticais, os comprimentos dos quais (em uma determinada escala) são iguais a sua amplitude e fase. Como você pode ver, o espectro do sinal periódico é discreto ou, como dizem, linear. As frequências de todos os harmônicos são múltiplos da frequência fundamental. Isso significa que se um sinal periódico segue com uma frequência de, por exemplo, 1 kHz, então seu espectro pode conter apenas frequências de 0 kHz, 1 kHz, 2 kHz, etc. No espectro de tal sinal periódico, por exemplo, frequências de 1,5 kHz ou 1,2 kHz não podem estar presentes.

4.2. transformada de Fourier

Quando uma função não é periódica (mas a área sob o gráfico de seu módulo é finita), ela pode ser expressa como uma integral de senos e / ou cossenos multiplicada por alguma função de peso, a saber

(4.5)

onde é a frequência circular contínua. Já que a transformação (4.5) é baseada em um conjunto de funções senoidais. Existe uma analogia entre a função e os coeficientes da série de Fourier. A função é chamada de espectro de frequência do sinal. indica o peso que é anexado à expressão

Definição 4.1. A transformada direta de Fourier (transformada de Fourier) de uma função contínua é chamada de função

. (4.6)

Valor da função no campo de sua definição é determinado integral sobre todos os valores da função. Por sua vez, os valores da função são multiplicados pelos senos e cossenos de diferentes frequências. A faixa de valores da variável, na qual a função assume seus valores, é chamada de domínio da frequência, uma vez que o valor da variável determina as frequências dos componentes da transformação. Os valores da variável também afetam as frequências, mas como esta variável é integrada, este efeito é o mesmo para todos os valores da variável.A transformada de Fourier pode ser representada por um prisma que decompõe a função em diferentes componentes dependendo do seu conteúdo de frequência. A transformada de Fourier descreve uma função usando um conjunto de suas frequências constituintes.

Definição 4.2. A função pode ser totalmente reconstruída usando a transformada inversa de Fourier (4.5).

Esta propriedade permite que você trabalhe no domínio de Fourier e depois retorne

no domínio temporário da definição de função sem perda de informação. Uma vez que qualquer função pode ser representada por uma coleção de sinusóides e / ou cossenos, a transformação linear de um sinal arbitrário pode ser analisada em três estágios:

- representar o sinal como uma combinação de sinusóides;

- calcular a resposta a cada um destes sinusóides individuais;

- combinar resultados individuais.

4.3. Sequência exponencial complexa discreta

Em sistemas digitais, os sinais são determinados apenas para valores de tempo discretos. Neste caso, o sinal (4.1), escrito como uma função exponencial complexa, é transformado da seguinte forma:

Para frequência normalizada

expressão (4.7) pode ser representada como

Definição 4.3. A função é chamada de sequência exponencial complexa discreta.

As partes real e imaginária da sequência (4.8) variam de forma senoidal dependendo de .. Por analogia com o tempo contínuo, o parâmetro é denominado frequência circular e expoente complexo discreto. Na fórmula (4.8), a frequência é medida em radianos.

4.3. Transformada de Fourier discreta de tempo

O par de transformadas de Fourier para o sinal amostrado tem a forma

, (4.8)

. (4.9)

Para simplificar a escrita das fórmulas da transformada de Fourier, a notação de frequência normalizada é então usada como Então a fórmula

(4.10)

define uma transformada direta discretizada de Fourier ou a transformada de Fourier de uma sequência também é chamada de função espectral. Por ser uma função periódica contínua de frequência, pode ser expressa por uma série de Fourier. A fórmula (4.10) é uma expansão de uma função periódica na forma de uma série de Fourier, na qual os coeficientes de Fourier são os valores das amostras da sequência.

(4.11)

chamada de transformada inversa de Fourier.

A transformada inversa de Fourier (4.11) pode ser interpretada como uma representação da sequência em termos de uma função periódica contínua de frequência. A sequência pode ser vista como uma superposição de sinais exponenciais com amplitudes complexas

Comente. Um par de transformadas de Fourier existe apenas quando a série (4.10) converge.

A transformada de Fourier de uma sequência na forma algébrica e exponencial é escrita como

O conjunto de valores e caracteriza o espectro de amplitude e espectro de fase da sequência

4,4. Transformada Discreta de Fourier

4.4.1. Funções exponenciais complexas discretas finitas

Como observado anteriormente, para descrever sistemas estacionários lineares discretos em análise espectral contínua, sequências exponenciais complexas discretas da forma

Este sistema de funções constitui um conjunto infinito contável e é definido em um intervalo de frequência infinito

A sequência exponencial pode ser especificada em um intervalo de tempo finito, onde é um número inteiro positivo. Então, a quantidade determina o período principal da sequência exponencial complexa discreta. Neste caso, o valor

- a frequência linear fundamental da sequência. Frequência circular fundamental

define o período de amostragem por frequência. O valor absoluto da frequência contínua A seguir, transformamos o sinal (4.14) da seguinte forma:

A transformada discreta de Fourier usa um sistema de funções exponenciais discretas complexas (DEF) definidas pela expressão

Vamos apresentar a notação ... Então

A variável é chamada de fator de viragem. Variáveis \u200b\u200baceitam valores inteiros Uma vez que o expoente de um número complexo com um sinal de mais, a função descreve um ponto que se move ao longo de um círculo no sentido horário. Na expressão (4.15), as variáveis \u200b\u200bde tempo e frequência mudam discretamente, em contraste com (4.14), onde o tempo muda discretamente e a frequência muda continuamente. Observe que o envelope de valor discreto de uma função corresponde a uma função. A Figura 4.3 ilustra uma representação gráfica dessa função.

Figura 4.3

Se a variável assume sequencialmente os valores de t por meio de etapas, o vetor complexo passa o radiano ou faz uma revolução no plano complexo. Enquanto gira, o vetor DEF ocupa apenas posições fixas no plano. Uma expressão é um vetor unitário em um plano complexo cujo ângulo aumenta linearmente com o tempo. O módulo de um número complexo é igual ao seu argumento

Exemplo 4.1. Sejam os valores da fase do vetor DEF para, respectivamente, iguais. Consequentemente, com um aumento na fase, o DEF aumenta linearmente.

Exemplo 4.2. Deixe os valores de fase do vetor DEF para, respectivamente, ser

Após 8 etapas, o vetor complexo passa um radiano ou faz duas revoluções no plano complexo ao mesmo tempo (exemplo 4.1)

onde está o intervalo de amostragem.

A taxa de aumento da fase do vetor DEF determina o número. Pode-se dizer que a fase do DEF aumenta com a taxa de radianos. No exemplo 4.2 com velocidade

A magnitude da fase completa em tempo discreto é determinada como

onde é a taxa de mudança da fase DEF ou a frequência desta função. Assim, a frequência do DEF é o número de revoluções realizadas pelo vetor DEF no intervalo de sua determinação

Exemplo 4.3. Cálculo dos valores DEF.

Decisão.

Decisão.

Decisão.

Decisão.

A Figura 4.4 mostra as posições do vetor DEF no plano complexo do Exemplo 4.3.

Figura 4.4

O sistema DEF é escrito na forma de uma matriz, cujas linhas são numeradas pela variável e as colunas da variável. Na interseção da -ésima linha e da -ésima coluna, o valor é escrito:

Por exemplo, para uma matriz tem a seguinte forma:

. (4.16)

Se substituirmos os valores numéricos da série de potências nesta matriz, então

. (4.17)

A Figura 4.5 mostra as posições do vetor DEF e seus valores no plano complexo, correspondentes à matriz (4.17).

Figura 4.5

4.4.2. Propriedades de funções exponenciais discretas

1. As funções são ortogonais;

(4.18)

Desde então

A consequência da propriedade da ortogonalidade é:

- o produto escalar de duas linhas diferentes da matriz, uma das quais deve ser um conjugado complexo, é igual a zero;

- o produto escalar de duas linhas idênticas da matriz, uma das quais deve ser um conjugado complexo, é igual.

Na verdade, a soma das unidades dará o número

A representação da matriz da propriedade de ortogonalidade é

,

onde – matriz de identidade.

2. Frequência:

se isso. (4.19)

Uma vez que os DEFs são funções periódicas, a matriz (4.16) pode ser reescrita com as fases mínimas formadas após subtrair um número inteiro de períodos do valor, ou seja,

Para a matriz DEF (4.16) com fases mínimas

3. Simetria.

A DEF é função de duas variáveis \u200b\u200be as conclusões sobre uma das variáveis \u200b\u200bsão válidas para a outra. Então

4. A matriz DEF inversa.

Da propriedade da ortogonalidade. Nós multiplicamos ambos os lados desta igualdade à esquerda por

5. Multiplicatividade:

- linha por linha

- por colunas

De fato,. Ao multiplicar quaisquer duas linhas (colunas) de uma matriz, uma linha (coluna) da mesma matriz é obtida. O número da linha (coluna) recebida é igual à soma dos números dos fatores.

4.4.3. Definição da transformada discreta de Fourier

A transformada direta discreta de Fourier (DFT) de uma sequência é definida como uma sequência discreta no domínio da frequência (forma exponencial)

onde é o índice DFT no domínio da frequência, é a sequência de entrada de tempo das amostras de sinal.

A transformada discreta de Fourier estabelece uma relação entre as representações de tempo e frequência do sinal quando ele é expandido em funções exponenciais discretas finitas.

O DFT inverso (IDFT) tem a seguinte forma:

A inversibilidade mútua das expressões (4.21) e (4.22) é provada por substituição, ou seja,

(4.23)

Como não depende de, alteramos a ordem da soma em (4.23),

(4.24)

Devido à ortogonalidade da DEF, a soma interna difere de zero apenas para Neste caso, o lado direito da expressão (4.24) é igual a

Forma trigonométrica de DFT:

Comente. A diferença fundamental entre a transformada de Fourier discretizada no tempo e a DFT é devido à natureza do sistema de funções e (), a saber:

- o envelope de valores discretos da função corresponde à função

- o intervalo de tempo final para configurar a função;

- estrutura periódica de leituras da sequência restaurada

4.4.4. Propriedades da transformação discreta de Fourier

1. Freqüência. A propriedade de periodicidade DEF leva às expressões

Realmente,

Geralmente é limitado a considerar um período de duração no domínio do tempo e no domínio da frequência. Isso permite que você determine a forma da matriz do DFT:

- DFT direto (4.25)

onde e - vetores

amostras da sequência de coeficientes espectrais e do sinal, respectivamente;

- DFT inverso. Usando a fórmula (4.20), obtemos

2. Linearidade. A classe de sistemas lineares é definida por operações lineares ou o princípio de superposição. Se ambas as sequências de entrada e, respectivamente, seus DFTs, então quando a sequência é alimentada para a entrada, o sistema é chamado de linear se e somente se

onde e são parâmetros constantes arbitrários (constantes). O espectro da sequência é

3. Invariância DFT em relação à mudança de tempo e frequência:

1. Invariância sob uma mudança de tempo cíclica. Se a sequência tiver um DFT, então o DFT da sequência é

Considere duas sequências e. As formas de sequência são mostradas na Figura 4.6.a, b.

Figura 4.6

Sequências DFT igualmente

.

Substituindo o índice de soma e introduzindo uma nova variável, obtemos

onde ) Então

Assim, quando um sinal discreto é deslocado no tempo, apenas as fases das funções discretas (espectro de fase) sofrem mudanças, o espectro de amplitude não muda.

2. Invariância de deslocamento de frequência. Se a sequência espectral corresponde à sequência quando a sequência é deslocada, a sequência original receberá um deslocamento de fase, ou seja,

Deixe ser O inverso DFT da sequência é

.

Substituindo o índice de soma e introduzindo uma nova variável, obtemos

onde ).

4. Teorema da convolução. Se as sequências originais do sinal amostram e possuem períodos finitos, sua convolução cíclica é determinada pela fórmula

, 𝑛 = 0, 1,…, 𝑁–1.

Como não depende de, alteramos a ordem da soma em (4.27).

. (4.28)

Usando a propriedade de invariância em relação à mudança de tempo cíclica, podemos escrever o componente da expressão (4.28) como

(4.29)

Assim, o espectro de convolução é igual ao produto dos espectros das sequências convolvidas. Os coeficientes de convolução são calculados com base no IDFT usando a fórmula

O Teorema (4.29) permite calcular os coeficientes de convolução usando o DFT pela fórmula

Para grandes valores de 𝑁, na prática, algoritmos eficientes para calcular a convolução usando transformadas rápidas de Fourier são usados.

5. Teorema da correlação. Por definição (2.13), a função de correlação de duas sequências finitas é igual a

, para 𝑛 \u003d 0, 1,…, 𝑁 - 1.

Vamos calcular o DFT da sequência

Como não depende de, alteramos a ordem da soma em (4.30).

. (4.31)

Usando a propriedade de invariância em relação a uma mudança cíclica no tempo, podemos escrever o componente da expressão (4.31) como

Assim, o espectro da função de correlação é igual ao produto dos espectros das sequências dobradas, e um dos espectros é obtido em conjugação complexa.

Os coeficientes da função de correlação são calculados com base no IDFT pela fórmula

O teorema (4.32) nos permite calcular os coeficientes da função de correlação usando o DFT pela fórmula

Na prática, são usados \u200b\u200balgoritmos eficientes para calcular a função de correlação usando transformadas rápidas de Fourier.

6. Teorema de Parseval. Deixe que as sequências sejam idênticas. Neste caso, o teorema de correlação é escrito como

.

Os coeficientes da função de correlação são calculados com base na expressão IDFT, ou seja,

(4.33)

No caso particular, para igualdade (4.33) se reduz à relação

,

(4.34)

De (4.34) segue que a energia do sinal calculada no domínio do tempo (em termos de variável) é igual à energia do sinal calculada no domínio da frequência. Cada quantidade representa a potência de um harmônico discreto com uma frequência numerada.

5. Tarefa preliminar

5.1. Calcule os valores DEF:

5,2 As funções do sistema DEF são escritas na forma de uma matriz com dimensões

5,3. Calcule o espectro do sinal amostrado mostrado na Figura 5.1 usando o DFT. Construa gráficos de espectro de amplitude e fase.

Figura 5.1

5,4 Usando os valores DFT obtidos, usando o IDFT, restaure os valores originais das amostras de sinal.

5.5. Calcule a função de autocorrelação (ACF) da seqüência. Trace o sinal de entrada e ACF.

5,6. Calcule a autoconvolução do gráfico de convolução do gráfico de sequência.

6. Tarefa de laboratório

6.1. Faça cálculos confirmando as propriedades de 1, 2, 5 funções exponenciais discretas.

6,2 Calcule o espectro do sinal amostrado (pág. 5.3), deslocado no tempo por intervalos de amostragem. Construa gráficos de sinal, espectro de amplitude e fase.

6.3. Usando os valores DFT obtidos, use o IDFT para restaurar os valores de leitura do sinal (Seção 6.2). Trace o sinal amostrado reconstruído.

6,4 Usando os dados iniciais obtidos do professor, calcule a função de correlação:

- por definição;

- usando o DFT. Construa um gráfico CF.

6,5. Usando os dados iniciais (seção 6.4), calcule a convolução:

- por definição;

- usando o DFT. Construa um gráfico de convolução.

6,6. Usando os dados iniciais (Seção 6.4), faça cálculos confirmando o teorema de Parseval.

7.1. Resolvendo as tarefas da tarefa preliminar.

7.2. Cálculos e gráficos do trabalho laboratorial.

7.3. Análise dos resultados e conclusões.

8. Perguntas de teste

8,1 Em que condições é possível representar um sinal contínuo por seus valores discretos?

8,2. O que a função de correlação (ACF, CCF) expressa?

8,3. Explique o método de análise espectral.

8.4. Explique o conceito de "espectro de sinal".

8,5. Explique o conceito de "decomposição de um sinal em uma série de Fourier".

8,6. Em que condições a precisão da aproximação de um sinal por uma série de Fourier aumenta?

8,7. Explique as diferenças entre uma função exponencial complexa, uma função exponencial complexa discreta e uma função exponencial complexa discreta finita.

8,8. Explique as propriedades do DEF.

8,9. Explique as propriedades do DFT.

8,10. Explique as diferenças entre as séries de Fourier, transformada de Fourier, transformada de Fourier discretizada no tempo e transformada de Fourier discreta.

Literatura

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8. Fundamentos de processamento digital de sinais: Um curso de palestras. A.I. Solonina, D.A. Ulakhovich e outros - SPb: BHV - Petersburgo, 2003.

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5. Transformada Rápida de Fourier

Existem duas classes de algoritmos para calcular a transformada de Fourier: transformada discreta ordinária de Fourier e transformada discreta rápida de Fourier (FFT). O algoritmo rápido permite que você calcule o DFT de maneira eficiente. Isso reduz o número de operações aritméticas realizadas, bem como a quantidade de memória necessária para calcular o DFT. Como resultado, muitas tarefas de análise espectral e processamento de sinais são resolvidas em tempo real, reduzindo a complexidade computacional.

5.1. Complexidade computacional da transformada discreta de Fourier

Considere a forma de matriz do DFT (4.25), (4.26):

- DFT direto,

- DFT inverso.

Se for uma sequência de valor complexo, para calcular um coeficiente DFT será necessário realizar multiplicações e adições de números complexos, ou seja, complexidade é estimada como

multiplicações complexas

adições complexas

2.4.3. Transformada discreta de Walsh-Hadamard

Deixe o sinal ser representado por um conjunto de suas leituras equidistantes). Expressões

formar um par de transformadas Walsh-Hadamard discretas na forma exponencial, a fórmula (13) é chamada de transformada direta de Walsh-Hadamard (DPA) e fornece o espectro do sinal na base de Walsh, a fórmula (14) é chamada de transformada inversa de Walsh-Hadamard.

A matriz de Hadamard é uma matriz quadrada ortogonal, cujos elementos são números reais 1 e -1. A matriz Hadamard mais simples é uma matriz de ordem dois:

Para construir uma matriz de ordem de Hadamard, a matriz e o seguinte teorema são usados: se for uma matriz de ordem de Hadamard, então

é uma matriz de ordem de Hadamard.

Usando a matriz de Hadamard, escrevemos as transformações (15) e (16) na forma de matriz:

onde B \u003d é o vetor dos coeficientes de transformação de Walsh-Hadamard;

S \u003d - vetor de amostras do sinal de entrada;

H é uma matriz de Hadamard de ordem N.

O cálculo pelas fórmulas (13), (14) requer N (N-1) operações. Existem algoritmos rápidos (transformações rápidas de Hadamard (FHTTs)) que requerem apenas operações N logN. Sua essência reside na partição da matriz de Hadamard em um produto de matrizes fracamente preenchidas. O processo de multiplicação pela matriz de Hadamard consiste na multiplicação sequencial por matrizes fracamente preenchidas.

Conclusão: As vantagens computacionais do ALCD sobre o ALCD são as seguintes: O ALCD requer N (N-1) operações, e o ALCD requer apenas N operações logN. Assim, a economia computacional é N (N-1) / N logN. Por exemplo, se N \u003d 1024, a recompensa é 1024 (1024-1) / 1024 log1024 \u003d 102,3 vezes.

2.4.4. Transformada discreta de cosseno

A transformação discreta do cosseno está diretamente relacionada ao DFT. A desvantagem do DFT é que os coeficientes espectrais são complexos por natureza. No entanto, é possível realizar tal transformação do conjunto de amostras do sinal X (n), em que apenas a parte real do kernel de transformação DFT é utilizada, ou seja, apenas membros associados ao cos. Usando a notação DFT, obtemos expressões para DCT direto (17) e reverso (18):

onde c (k) \u003d para k0,

A forma matricial do registro DCT é a seguinte:

DCT unidimensional direto

onde a matriz de um conjunto discreto de funções DCT de tamanho (NN);

É um vetor de coluna de amostras de sinal de tamanho (N1).

DCT unidimensional inverso

O DCT direto de um fragmento bidimensional da imagem (NN) é escrito como

onde é a matriz de coeficientes DCT espectrais de tamanho (NN);

- matriz de sinal de tamanho (NN);

- Matriz DCT de tamanho (NN) de acordo com a fórmula (19):

onde está a matriz DCT de tamanho (NN):

A transformação bidimensional direta de DCT em forma de matriz tem a forma:

A transformação inversa na forma de matriz é escrita como

2.4.5. Transformada discreta de Hartley

A transformada de Hartley (HR) também pertence à transformada ortogonal linear. Essa transformação está relacionada à transformada de Fourier, o resultado é expresso em números reais, mas ao contrário do cosseno, as transformadas direta e inversa de Hartley são as mesmas, o que pode fornecer economia de hardware.

O HRP unidimensional de avanço e reverso é escrito da seguinte forma:

onde cas () \u003d cos () + sin ();

Frequência circular;

está na hora.

A transformada discreta unidimensional de Hartley (DPC) tem a forma

onde .

A expressão (29) especifica os coeficientes de expansão (coeficientes de Hartley) de alguma função real g (n) em funções discretas e g (n) é dada em um conjunto discreto de argumentos n (0,1, ..., N-1).

Usando a propriedade de ortogonalidade de funções, pode-se obter uma expressão para a transformada discreta de Hartley unidimensional inversa (ODPC):

A forma matricial de escrever um DPH direto unidimensional tem a forma

onde \u003d é a matriz de um conjunto discreto de funções ortogonais DPC size (NN);

- vetor-coluna de coeficientes espectrais de tamanho DPC (N1);

- vetor-coluna de valores discretos (amostras) do sinal.

O DPH unidimensional inverso em forma de matriz é representado como:

LHP direto de um fragmento bidimensional de uma imagem com um tamanho (NN) é escrito como

onde é uma matriz de sinal de tamanho (NN);

- matriz de coeficientes espectrais tamanho DPC (NN);

– matriz quadrada Tamanho DPH (NN):

Observe que as matrizes de transformação da DPC direta e inversa são idênticas, pois \u003d.

Método espectral

Aplicando DFT para comparar matrizes (fragmentos de imagem):

a) Nós construímos a matriz do DFT direto

Transpor DFT central:

Ao mesmo tempo, todos os métodos conhecidos de paralelização de operações vetor-matriz são permitidos. Se usarmos a regra usual de multiplicação matriz-vetor, os cálculos dos vetores x e X requerem operações de multiplicação complexas e N (N-1) operações de adição complexas.

2. A transformação rápida de Fourier inclui um conjunto de algoritmos eficientes para calcular o DFT. A ideia por trás da FFT é inerentemente a seguinte. O valor N, que determina o comprimento da sequência de entrada de amostras, é decomposto em fatores, então DFTs individuais de comprimentos menores que N são calculados, a partir dos quais a sequência de saída é então formada. Existe a chamada divisão do algoritmo original em uma combinação de algoritmos semelhantes de tamanho menor. O FFT contém o número de operações multiplicativas (operações complexas de multiplicação), o número de operações aditivas (operações complexas de adição).

Conclusão: As vantagens computacionais do FFT sobre o DFT são as seguintes: O FFT contém operações de multiplicação complexas em oposição ao DFT, portanto a economia computacional é /. Por exemplo, se N \u003d 1024, a economia é de 204,8 vezes. O FFT contém operações de adição complexas em oposição a N (N-1) com DFT, então a economia computacional é N (N-1) /. Por exemplo, se N \u003d 1024, a economia é de 102,3 vezes.

Transcrição

1 Tópico 3 ANÁLISE HARMÔNICA DE SINAIS NÃO PERIÓDICOS Transformadas de Fourier diretas e inversas Características espectrais do sinal Espectro de frequência de amplitude e frequência de fase Características espectrais dos sinais mais simples Propriedades da transformada de Fourier Distribuição de energia no espectro de um sinal não periódico 3 A análise harmônica de transformada de Fourier pode ser estendida a sinais não periódicos que é determinado por alguma função (t) no intervalo [t, t] e é igual a zero fora deste intervalo (este sinal é mostrado na Fig. 3 por uma linha sólida) Vamos assumir que esta função satisfaz as condições de Dirichlet e é absolutamente integrável. Fig. 3 Uma função periódica formada por repetição (t ) Pegue um intervalo de tempo arbitrário de duração T, que inclui inteiramente o intervalo [t, t], e forme uma função periódica n (t) (tk T) k na qual a função (t) é repetida ao longo do intervalo T (um fragmento desta função é mostrado na Fig. 3). Obviamente tal que (t) lm (t) (3) T O periódico φ A função п (t) pode ser escrita como uma série de Fourier em forma complexa, onde п п () jttce, (3) T jt (33) c (t) edt Substituindo (33) em (3) e substituindo T, obtemos TT tjjt п () [[()] (34) tedet 8

2 Para obter uma representação espectral do sinal (t), substitua (34) por (3) e deixe T tender para o infinito. Em T, a frequência angular T se transforma em um incremento de frequência infinitamente pequeno d, a frequência do iº componente da série na frequência atual e a operação de soma pode ser substituído pela operação de integração. Como resultado, obtemos t (t) jte [() jed] d (35) t Levando em consideração que os valores de t e t não são definidos, para a integral interna em (35) introduzimos a notação X (j) (t) edtjt (36) A função X (j) é chamada de característica espectral do sinal () Expressão (35) levando em consideração (36) assume a forma (t) jt X (j) ed 9 t (37) As fórmulas (36) e (37) formam um par de transformações Fourier e estabelecer uma correspondência um a um entre a representação (t) do sinal no domínio do tempo e sua representação X (j) no domínio da frequência A Fórmula (36) é chamada de transformada direta de Fourier, e a função X (j) é a característica espectral do sinal (t) A Fórmula (37) permite realizar a transformação inversa e calcular o instantâneo valor do sinal (t), se sua característica espectral for conhecida X (j) Essas transformações são simbolicamente escritas como X (j) [(t)], (t) [X (j)] Característica espectral X (j) do sinal (t) no caso geral é uma função complexa de frequência Aplicando a conhecida fórmula de Euler, ela pode ser escrita na seguinte forma jt X (j) (t) edt (t) costdtj (t) stdt Real parte a () jb () X () ej () a () (t) costdt da característica espectral é função par frequência, e a parte imaginária b () (t) s t d t (38) é uma função ímpar da frequência Segue-se que o módulo da característica espectral X () X (j) a () b ()

3 é uma função par da frequência, e o argumento da característica espectral () a rg X (j) é uma função ímpar da frequência. Graficamente, a característica espectral X (j) do sinal (t) no caso geral pode ser representada como um hodógrafo no plano complexo (Fig. 3, a). No entanto mais frequentemente eles constroem as características espectrais de frequência de amplitude X () e frequência de fase () (Fig. 3, b, c) Considerando a simetria das características espectrais em valores positivos e negativos de frequência, eles geralmente são construídos apenas em valores positivos de frequência. : um hodógrafo, amplitude b, fase c Fórmula (37) da transformada inversa de Fourier usando a fórmula de Euler e a expressão (38) pode ser transformada para a seguinte forma: (t) [a () costb () st] d (39) 3 Características espectrais sinais não periódicos mais simples Característica espectral de um único pulso retangular Um pulso retangular com um ponto de referência alinhado com seu meio (Fig. 33, a) é descrito pela expressão t D p p e t, (t) D re ct p e t e t Aplicando a fórmula (36), encontramos jjjt D s () (3) j X (j) D edt (ee) D Característica espectral de um pulso retangular com o ponto de referência selecionado é uma função real (Fig. 33, b) O valor máximo de X (j) é alcançado quando pode ser calculado de acordo com a regra de L'Hôpital: X () D A característica espectral desaparece para os valores do argumento (onde qualquer inteiro (positivo ou negativo) 3),

4 Fig33 Características espectrais de um pulso retangular (a): b geral; em amplitude; fase d Com o aumento da duração do pulso, a distância entre os zeros da função X (j) diminui, ou seja, o espectro se estreita O valor de X () aumenta com a diminuição da duração do pulso, ao contrário, a distância entre os zeros da função X (j) aumenta, o que indica uma ampliação do espectro, e o valor de X () diminui. A característica espectral de amplitude X () de um pulso retangular é mostrada na Fig. 33, c. Ao construir a característica espectral de fase () (Fig. 33, d), cada mudança no sinal da função X (j) é levada em consideração pelo incremento de fase pela característica espectral da função delta A função delta (função de Dirac) é definida como segue: p p e t, (t) p p e t A função satisfaz a condição (t) dt, o que significa que a área de pulso é igual à unidade.Na prática, um sinal descrito por tal função é impossível. a função delta é um modelo matemático muito conveniente. Na Fig. 34, uma representação gráfica da função delta é mostrada na forma de um segmento vertical, para terminando com uma seta O comprimento deste segmento é tomado proporcional à área do pulso delta. Vamos encontrar a característica espectral da função delta. Para fazer isso, tome um pulso retangular descrito pela função v (t) (Figura 34, b) A duração do pulso é igual a, e a amplitude Portanto, a área do pulso é igual à unidade Vamos diminuir a duração do pulso a zero, enquanto sua amplitude tenderá ao infinito. Consequentemente, (t) lm v (t) 3

5 Fig34 Para a definição das características espectrais da função delta: uma função delta; b impulso retangular; c característica espectral A característica espectral de um pulso retangular é determinada pela expressão (3). Portanto, levando em consideração que A, obtemos a característica espectral da função delta s () X (j) lm. Assim, o pulso delta tem um espectro uniforme em todas as frequências (Fig. 34, c). característica do sinal exponencial Considere o sinal descrito pela função t (t) A e (t) com um valor real positivo do parâmetro (Fig. 35, a) A característica espectral do sinal exponencial é igual a AX (j) A eedtejjtjt A (j) t O hodógrafo da característica espectral é mostrado na Fig. 35, b Os espectros de amplitude e fase são determinados respectivamente pelas expressões: X () X (j) A () arg X (j) arctan (), Fig. 35 Para a determinação das características espectrais do impulso exponencial: um impulso exponencial; b característica espectral Característica espectral de um sinal de degrau Considere um sinal descrito por uma função de degrau (t) A (t) (3) 3

6 A função degrau (t) não é uma função absolutamente integrável, portanto, a fórmula para a transformada direta de Fourier não pode ser usada. No entanto, a função (3) pode ser representada como o limite da função exponencial: (t) A lm et Neste caso, a característica espectral X (j) pode ser definida como o limite características espectrais do sinal exponencial em: AX (j) lm A lm ja lm j At, o primeiro termo no lado direito desta expressão é igual a zero em todas as frequências, exceto onde vai para o infinito. Encontre a área dda rc tg () O limite do segundo termo o limite do primeiro termo é igual a () o que é óbvio. Portanto, finalmente obtemos X (j) () j 33 Propriedades básicas da transformada de Fourier Há uma correspondência um-a-um entre o sinal (t) e seu espectro X (j) Para resolver problemas práticos, é necessário saber a relação entre as mudanças no sinal e o correspondente mudanças nas características espectrais Considere as transformações de sinal mais importantes e as mudanças correspondentes características espectrais Linearidade da transformada de Fourier Se os sinais (t), (t) são transformáveis \u200b\u200bde Fourier e suas características espectrais são, respectivamente, funções X (j), X (j), e se, quantidades, independentes de t e, então as seguintes igualdades são válidas: (t) X (j), X (j) (t) Assim, uma combinação linear de sinais corresponde a combinação linear características espectrais desses sinais Característica espectral da derivada Se a função (t) que descreve o sinal e sua derivada y (t) ddt são transformáveis \u200b\u200bde Fourier e (t) tem uma característica espectral X (j), então a característica espectral da derivada d (t) Y (j ) j X (j) dt (3) 33

7 Assim, diferenciar um sinal em relação ao tempo é equivalente a uma operação algébrica simples de multiplicação da característica espectral por um fator j. Portanto, é comum dizer que o número imaginário j é um operador de diferenciação que atua no domínio da frequência Fórmula (3) é generalizado para o caso do espectro da derivada de ordem -ésima. É fácil mostrar que se a derivada y (t) d (t) dt é absolutamente integrável no intervalo (,), então Y (j) (j) X (j) Característica espectral da integral Se a função (t) que descreve o sinal, transformável de Fourier, tem uma característica espectral () t, então a característica espectral da integral y (t) () d é igual a X j e (t) dtt X (j) Y (j) () dj Assim, o fator (j) é um operador de integração no domínio da frequência. Esta propriedade se estende e nas integrais da multiplicidade. Característica espectral do sinal deslocado Seja um sinal (t) (Fig. 36, a) de forma arbitrária, existindo no intervalo [t, t] e tendo uma característica espectral X (j) Considere o mesmo sinal, mas aparecendo em um momento posterior e, portanto, descrito pela função (t) (t) Esta função é definida no intervalo [t, t] (Fig. 36, b) Fig36 Inicial (a) e "atrasada" (b ) sinais Se o sinal (t) é transformada de Fourier e tem uma característica espectral X (j), então a característica espectral do sinal "atrasado" (t) é igual a j X (j) (t) e X (j) No caso de um sinal "líder" ( t) (t) temos 34

8 j X (j) (te X (j) Mudança da característica espectral Se a função (t) é transformável de Fourier e tem a característica espectral X (j), então jate (t) X [j (a)], onde a é qualquer real não negativo número Compressão e expansão de sinais Seja dado o sinal (t) e sua característica espectral X (j) Vamos sujeitar esta função a uma mudança na escala de tempo, formando uma nova função (t) (kt), onde k é algum número real Na Fig. 37, por exemplo, gráficos do sinal , descrito pela função para os valores de Ф k 5 ;; 5 kt, (33) (t) ecoskt Fig37 Gráficos de sinais (33): a k; b k; c k 5 É fácil ver que em k o sinal é "comprimido" (Fig. 37 , b), e em k "esticando" o sinal (Figura 37, c) Pode-se mostrar que a característica espectral do sinal (t) é determinada pela expressão X (j) (kt) X (j) kk. Desta expressão segue-se que quando o sinal é comprimido no eixo do tempo, seu espectro se expande por um fator de k vezes o mesmo valor no eixo da frequência. O módulo da característica espectral diminui por um fator de k pa h Quando o sinal é alongado no tempo, ou seja, em k, há um estreitamento do espectro e um aumento no módulo da característica espectral. Característica espectral do produto dos sinais. Sejam dois sinais descritos pelas funções (t) e (t) Formar um sinal Se os sinais () t e () t são transformáveis \u200b\u200bde Fourier e suas características espectrais são, respectivamente, () y (t) é determinado pela expressão y (t) (t) (t) X j e () X j, então a característica espectral do sinal 35

9 Teorema de Parseval Se as funções () Y (j) F (t) (t) X [j ()] X (j) dt e () t são transformáveis \u200b\u200bde Fourier e suas características espectrais são respectivamente iguais a () X j e () convergem é absoluta, então a igualdade X j se mantém, e as integrais X (j) d, X (j) d (t) (t) dt X (j) X (j) d (34) A fórmula (34) nos permite encontrar a integral em limites infinitos a partir do produto de duas funções, realizando as operações correspondentes com as características espectrais das funções. Após transformações simples, a fórmula (34) pode ser escrita na forma real (t) (t) dt X (j) X (j) cos [() ()] d Se (t ) (t) (t), então X (j) X (j) X (j) e de (34) obtemos uma igualdade, que é chamada de forma Parseval: (t) dt X (j) d X ( j) d Invertibilidade da transformada de Fourier É fácil ver que as fórmulas para a transformada de Fourier direta e inversa jt X (j) (t) edtjt (t) X (j) ed são muito semelhantes entre si. Por esta razão, todos os "pares" de transformações têm espelho próximo imagens Vamos mostrar isso com um exemplo Como mostrado acima, um pulso retangular descrito pela função (t) tem uma característica espectral D p p e t, p p e t e t s () X (j) D Por outro lado, se sujeitarmos a transformada direta de Fourier ao sinal 36

10 obtemos D s (t) y (t) t D p p e, Y (j) p p e u 34 Distribuição de energia no espectro de um sinal não periódico Largura espectral prática O valor E (t) dt é chamado de energia do sinal. a energia é liberada em um resistor com resistência Ohm, se uma tensão é aplicada aos seus terminais (t) Usando a fórmula de Parseval, a energia do sinal pode ser expressa através de sua característica espectral: (35) E (t) dt X (j) d X (j) d Razão ( 35) permite determinar a energia do sinal integrando o quadrado do módulo da resposta espectral ao longo de toda a faixa de frequência. Além disso, esta relação mostra como a energia do sinal é distribuída em diferentes componentes de frequência. Pode ser visto a partir dele que a energia cai em um intervalo de frequência infinitamente pequeno. Portanto, a função d E 37 X (j) d N () X (j) pode ser chamada de característica espectral da energia do sinal (t) Caracteriza a distribuição da energia do sinal por seus componentes harmônicos. No processo de resolução de problemas práticos, análise ae síntese de sinais usando a transformada de Fourier, é necessário limitar o intervalo de frequência no qual a característica espectral é construída. Este intervalo de frequência [,], chamado de largura prática do espectro, contém os componentes que são essenciais para este estudo. Ao determinar a largura prática do espectro do sinal para uma dada intensidade de componentes harmônicos usar a característica espectral de amplitude O valor da amplitude dos harmônicos é selecionado a partir da condição de que com os componentes diretos não excedam um determinado valor Do ponto de vista da energia, a largura prática do espectro do sinal não periódico é estimada a partir da faixa de frequência, dentro da qual a parte esmagadora da energia do sinal está concentrada de acordo com a fórmula (35 ) a energia do sinal concentrada na banda de frequência de a pr será pr

11 pr EX jd () Dependendo dos requisitos para a parcela de energia útil, o sinal e a largura prática do espectro são selecionados Exemplo Um pulso retangular descrito pela função Energia do sinal é (t) D p p e t, p p e t e t E (t) dt D dt D A característica espectral de um pulso retangular foi encontrada acima: s () X (j) D (36) Seja D, então de acordo com (36) E Integração do quadrado do módulo da característica espectral na faixa de frequência [,] dá uma estimativa da energia do pulso E Perguntas do teste Especifique a principal diferença fundamental entre os espectros de sinais periódicos e não periódicos Explique o significado físico dos espectros de amplitude e fase de um sinal não periódico 3 Explique o que acontece com o espectro de um sinal não periódico quando a polaridade do último muda para o oposto 4 Como os espectros de um único pulso e uma sequência periódica dos mesmos pulsos estão relacionados? 5 Como os espectros de amplitude e fase do sinal mudarão durante sua diferenciação (integração)? 6 Explique a relação entre os espectros de amplitude e fase de um determinado sinal e um sinal atrasado por uma quantidade 7 Explique como a característica espectral (39) de um pulso retangular mudará se a duração do pulso for 8 Mostre que o princípio de superposição é válido para a transformada de Fourier 9 Qual é o significado físico Igualdade de Parseval? O que significa o conceito de largura de espectro prática e por que foi introduzido? 38

Semestre de outono do ano letivo Tópico 3 ANÁLISE HARMÔNICA DE SINAIS NÃO PERIÓDICOS Transformadas de Fourier direta e inversa Característica espectral do sinal Espectro de frequência de amplitude e frequência de fase

54 Aula 5 Transformada de Fourier e o método espectral para a análise de circuitos elétricos Plano de espectros de funções aperiódicas e da transformada de Fourier Algumas propriedades da transformada de Fourier 3 Método espectral

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CIÊNCIA DA FEDERAÇÃO DA RÚSSIA Orçamento do Estado Federal da Instituição de Ensino Superior Profissional "NATIONAL RESEARCH TOMSK POLYTECHNICAL

54 Aula 5 Transformada de Fourier e o método espectral para análise de circuitos elétricos Plano de espectros de funções aperiódicas e transformada de Fourier 2 Algumas propriedades da transformada de Fourier 3 Método espectral

43 Aula 5 TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E MÉTODO ESPECTRAL DE ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS Plano de espectros de funções aperiódicas e transformada de Fourier Algumas propriedades da transformada de Fourier 3 Método espectral

Yastrebov NI Kaf TOR, RTF, KPI Análise espectral de sinais não periódicos () T Anteriormente, obtivemos uma série de Fourier para um sinal periódico em uma forma complexa: () jω C & e, onde C & jω () e Como o integral

Transformada de Fourier em óptica Em matemática, está provado que uma função periódica () com um período T, satisfazendo certos requisitos, pode ser representada por uma série de Fourier: a a cos n b sn n, onde / n, a

43 Aula 4 CADEIAS DE CORRENTE PERIÓDICA NÃO SINUSOIDE Forma trigonométrica da série de Fourier Forma complexa da série de Fourier 3 Coeficientes que caracterizam funções não sinusoidais periódicas 4 Conclusão

4. Análise de circuitos sob influências não harmônicas. Quase qualquer vibração real pode ser decomposta em um conjunto de vibrações harmônicas. De acordo com o princípio da superposição, a ação de cada harmônico

Transformada de Fourier em óptica Em matemática, está provado que qualquer função periódica () com período T pode ser representada pela série de Fourier: a a cos b s onde / a cos d b s d / / a e b são os coeficientes da série de Fourier

Aula 6 CIRCUITOS DE CORRENTE PERIÓDICA NÃO SINUSOIDE Plano Forma trigonométrica da série Fourier Série Fourier na forma complexa Espectro de frequência complexo 3 Potências em circuitos de Coeficientes de corrente não senoidal,

64 Aula 6 MÉTODO OPERACIONAL DE ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS Plano Transformada de Laplace Propriedades da transformada de Laplace 3 Método do operador de análise de circuitos elétricos 4 Determinação do original pelo conhecido

43 Aula 6 CADEIAS DE CORRENTE PERIÓDICA NÃO SINUSOIDE Forma trigonométrica da série de Fourier Forma complexa da série de Fourier 3 Coeficientes que caracterizam funções não sinusoidais periódicas 4 Conclusão

3 Aula 4 CADEIAS DE CORRENTE PERIÓDICA NÃO SINUSOIDE Plano Forma trigonométrica da série de Fourier Forma complexa da série de Fourier 3 Coeficientes que caracterizam funções não sinusoidais periódicas 4 Conclusões

Aula Série de números Sinais de convergência Série de números Sinais de convergência Uma expressão infinita de uma seqüência numérica + + + +, composta de termos infinitos, é chamada de série de números.

Tópico ANÁLISE HARMÔNICA DE SINAIS PERIÓDICOS Sistema básico de funções harmônicas Série trigonométrica de Fourier Amplitude e espectro de fase de um sinal periódico Fundo histórico Complexo

Trabalho laboratorial 4 ESTUDO DA COMPOSIÇÃO ESPECTRAL DE VIBRAÇÕES PERIÓDICAS NÃO SINUSOIDAIS 4 Forma trigonométrica da série de Fourier Se a função não sinusoidal periódica atende às condições de Dirichlet,

Sinais. A tarefa. Análise das características de tempo e frequência de sinais de impulso Exemplo .. Usando as propriedades da transformada de Fourier, encontre uma expressão analítica para o espectro de um sinal de impulso analógico () mostrado

Tópico 5 SISTEMAS ESTACIONÁRIOS LINEARES Propriedades dos sistemas estacionários lineares: linearidade, estacionariedade, viabilidade física Equação diferencial Função de transferência Função de transferência de frequência

CONTEÚDO Série de Fourier 4 O conceito de uma função periódica 4 Polinômio trigonométrico 6 3 Sistemas ortogonais de funções 4 Série trigonométrica de Fourier 3 5 Série de Fourier para funções pares e ímpares 6 6 Expansão

Parte 4 EXPANSÕES ESPECTRAIS DE PROCESSOS ALEATÓRIOS 41 INTEGRAIS DE QUATRO-ESTILTJES A integral de Stieltjes é usada para expansões espectrais de funções aleatórias. Portanto, damos a definição e algumas propriedades

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Processos transitórios - abordagem do operador. Método de Fourier Sistema de transmissão de distorção - por exemplo B Q (A) - deixe uma entrada uma saída Sistemas reais - são casuais - obedecem ao princípio de causalidade, ou seja,

Aula 8 33 SISTEMAS ESTACIONÁRIOS UNIDIMENSIONAIS APLICAÇÃO DA TRANSFORMA DE FOURIER 33 Descrição de sinais e sistemas Descrição de sinais Para descrever sinais determinísticos, a transformada de Fourier é usada:

Função delta Definição de uma função delta Seja uma função finita infinitamente diferenciável (ou seja, a função principal). Escreverá:. A. A função delta de Dirac é um funcional linear contínuo

7. Alguns sistemas básicos de l Em sistemas com tempo discreto, um lugar importante é ocupado por sinais discretos definidos em intervalos finitos. Esses sinais são vetores dimensionais no espaço

97 Aula 0 APLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS PARA O CÁLCULO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS (MÉTODO DE AMPLITUDES COMPLEXAS) Plano Método de amplitudes complexas Resistência e condutividade complexa 3 Cálculo do estado estacionário senoidal

Tópico 0 Série trigonométrica de Fourier Série de Fourier para uma função periódica com período T 0) s cos) d N d d) s) cos) 0 Série trigonométrica de Fourier Série de Fourier para uma função com período T 0 s cos) d d d) s,

Vibrações elétricas forçadas. Corrente alternada Considere as oscilações elétricas que ocorrem quando há um gerador no circuito, cuja força eletromotriz muda periodicamente.

Representação Espectral de Sinais Ph.D., Professor Associado da Universidade Estadual de Moscou, Departamento do CMC Métodos matemáticos Previsão de representação espectral de sinais Aula 4 Moscou,

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Aula 4. Igualdade de Parseval. Propriedade mínima dos coeficientes de expansão. Forma complexa da linha..4. Igualdade de Parseval Deixe o sistema de funções reais g (), g (), ..., g (), ... ser ortogonal e

6 Série de Fourier 6 Sistemas ortogonais de funções Série de Fourier em um sistema ortogonal de funções As funções ϕ () e ψ (), definidas e integráveis \u200b\u200bem um intervalo [,], são chamadas ortogonais neste intervalo se

Tópico 8 SISTEMAS DISCRETOS LINEARES O conceito de um sistema discreto Métodos para descrever sistemas discretos lineares: equação de diferença, função de transferência, resposta ao impulso, função de transferência de frequência

Problema 1. Vamos definir os dados iniciais: O intervalo de expansão é igual a [-τ / 2; τ / 2]. O número de coeficientes espectrais é n \u003d 5. Amplitude do sinal: Sinal de entrada: Fig. 1. Linha do tempo do sinal. 1 1. Vamos escrever as fórmulas

A tarefa. Análise das características de tempo e frequência de sinais periódicos. Exemplo .. α De acordo com o espectro conhecido do sinal de pulso () u (), o espectro do sinal periódico T () mostrado na Fig ..: () ()

1. Principais características dos sinais determinísticos Em tecnologia, o termo "sinal" significa uma quantidade que de alguma forma reflete o estado de um sistema físico. Na engenharia de rádio, um sinal é chamado

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4,11. Propriedades da transformação de Laplace. 1) Correspondência um para um: s (S И (2) Linearidade da transformada de Laplace: s И () И 1 (s2 (S1 S2 (e também 3) Analiticidade S И (): se s (satisfaz

Variante N 3 N mod (N) 4 N mod NN 9 3 N 3 mod N N 8. Analise o estado estacionário do circuito usando o método de amplitudes complexas. A amplitude A e a fase inicial do sinal harmônico U em (t) absorvem a linha

Parte 5 MÉTODOS PARA DETERMINAR AS FUNÇÕES DE DENSIDADE ESPECTRAL As funções de densidade espectral podem ser determinadas de três maneiras equivalentes diferentes, que serão discutidas nas seguintes seções:

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4,4. Análise espectral das vibrações mais simples. Pulso retangular / / d, / s, / sin sin A densidade espectral de um único pulso coincide com o envelope das linhas espectrais de uma sequência periódica

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Apêndice 4 Oscilações elétricas forçadas Corrente alternada As seguintes informações teóricas podem ser úteis na preparação para o trabalho de laboratório 6, 7, 8 no laboratório "Eletricidade e magnetismo"

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