Como encontrar o gradiente de uma função. Gradiente de uma função de dados

Conceito derivação direcional considerado por funções devidas e três variáveis. Para compreender o significado da derivação direcional e é necessário confrontar a derivação para definição

Quindi,

Agora podemos encontrar a derivação direta desta função usando sua fórmula:

E agora - compiti. Forneça uma função diferente, mas apenas com as devidas variações, mas o vettore di direzione é especificado de maneira leggermente diversa. Quindi dovrai maduro de novo álgebra veterinária .

Exemplo 2. Encontre a derivada de uma função em um ponto M0 (1; 2) na direção do veterinário, pomba M1 - ponto com coordenada (3; 0).

O veto que especifica a direção da derivação pode ser fornecido na forma como no exemplo seguinte - na forma espansione in versori degli assi coordenação, este é um argumento familiar no início da álgebra veterinária.

Exemplo 3. Encontre a derivada de uma função ao ponto M0 (1; 1; 1) na direção do veterinário.

Solução. Troviamos e coseni direzionali del vettore

Troviamos le derivate parziali della funzione nel punto M0 :

Portanto, podemos encontrar a derivação direta desta função usando sua fórmula:

.

Função gradiente

Gradiente de uma função mais variável em um ponto M0 característica da direção de grande crescimento desta função no ponto M0 e a entidade deste crescimento massivo.

Como encontrar o gradiente?

É necessário determinar um vettore le cui proiezioni sugli assi coordinati eu valorizo derivado parziali, esta função no ponto correspondente:

.

Cioè, deve funcionar representação de um veterinário por meio de veterinários unitários de assi coordenados, em cuja derivação parcial corresponde ao seu caso, ela é multiplicada por cada unidade.

Considere a fórmula para a derivada de uma função escalar na direção λ

Os segundos dados são fornecidos pelo veterinário unitário diretamente para o raggio λ.

Escolhamos as seguintes opções como as coordenadas saranno e os valores das derivadas parziali no ponto selecionado P(x, y, z).

Este vettore é chamado gradiente da função u (x, y, z) ed é indicado com graduação o

Definição. O gradiente de uma função u(x, y, z) é um veto às suas preferências são os valores dos derivados parciais desta função, então

A derivada de uma função em uma direção de dados é semelhante ao produto escalar do gradiente da função e do verso desta direção.

Expandindo o produto escalar e obter

,

pomba φ é o formato angolo do vettore laurea e ragio λ.

Raggiunge il massimo valore

Portanto, é o valor máximo da derivada em um dado TR, e a direção gradativa coincide com a direção do raio emergente do TR, até que a função mude mais rapidamente.

Estabilizamos uma conexão na direção do gradiente da função e na superfície do campo escalar.

Teorema. O gradiente da função u (x,y,z) coincide com o ponto normal da superfície da pianola do campo escalar que passa por este ponto.

Prova. Escolhemos um arbitrário P 0 (x 0, y 0, z 0).

Equação da superfície

livelo passante

isso será u(x,y,z)= ,

você0 = você(x0, y0, z0)

A equação normal nesta superfície será

Não consegue que a direção do veterinário seja normal, que há projeções , e o gradiente da função u (x, y, z) em t P 0, ecc.

Portanto, a pendência em ciascun ponto é perpendicular ao piano tangente à superfície da piano que passa por este ponto, e sua posição neste piano é zero.

Quindi: A derivação em qualquer direção tangente à superfície da piano que passa por um ponto de dados é igual a zero.

Propriedade da base da função gradiente:

2) grau , pomba C – Custo

4)grau

Toda a propriedade foi divulgada usando a definição de gradiente de uma função.

Exemplo. No ponto M(1, 1, 1) você encontra a direção da mudança máxima no campo escalar e a entidade dessa mudança.

Pendenza funções– uma grandeza vettorial, cuja determinação está associada à determinação dos derivados parciais da função. A direção do gradiente indica o crescimento mais rápido da função de um ponto acima do campo escalar.

Instruções

1. Para resolver o problema do gradiente de uma função usando um método de cálculo diferencial, você pesquisará os derivados parciais do primo ou do risco com três variações. Se assumirmos que a função é esta e toda a sua derivação parziali abbiano é a propriedade de continuidade no domínio de definição da função.

2. O gradiente é um vetor, cuja direção indica a direção de aumento mais rápido da função F. Para fazer isso, o gráfico foi selecionado devido aos pontos M0 e M1, que são as pontas do vetor. A entidade do gradiente é iguale ao nível de aumento da função do ponto M0 ao ponto M1.

3. A função é diferenciada em todos os pontos deste vettore depois das proiezioni del vettore sugli assi coordinati son tutte sue derivate parziali; Então a fórmula do gradiente será semelhante a esta: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, dove i, j, k é a coordenada do vetor unitário. Em outras palavras, o gradiente de uma função é um vettore sua coordenada é a derivada parziali grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Exemplo 1. Seus dados são a função F = sin(x z?)/y. É necessário ajustar o gradiente no ponto (?/6, 1/4, 1).

5. Solução. Determine a derivada parcial do risco para uma variável variável: F'_х = 1/y сos(х z?) z?; F'_y = sin(x z?) (-1) 1/(y?); '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Substituímos os valores famosos da coordenada do ponto: F’_x = 4 сos(?/6) = 2?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.

7. Aplique a fórmula do gradiente da função:grad F = 2?3 i – 8 j + 2?/?3 k.

8. Exemplo 2. Encontre a coordenada do gradiente da função F = y arсtg (z/x) no ponto (1, 2, 1).

9. Solução.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 аrсtg(z/х) = аrсtg 1 = ?/4;F'_z = 0 аrсtg(z/х) + y (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

O gradiente de campo escalar é uma quantidade vetorial. Para encontrá-lo, é necessário determinar todos os componentes do veto correspondente, com base no conhecimento da divisão do campo escalar.

Instruções

1. Leia em um livro de texto de matemática superior qual é o gradiente de um campo escalar. Como sabemos, esta quantidade vettorial tem uma direção caracterizada pela maior velocidade de decaimento da função escalar. Esta interpretação desta quantidade vettorial é justificada pela expressão para determinar os componentes.

2. A pontuação que você tem é determinada pela grandeza de seus componentes. Os componentes de um vetor estão na realidade desse vetor em um ou outro conjunto de coordenadas. Portanto, se você considerar o espaço tridimensional, o vettore deve ter três componentes.

3. Anote como determinar os componentes de um vetor que é o gradiente de um campo determinado. Todas as coordenadas do conto vettore são guali à derivada do potencial escalar risco de todas as variáveis ​​​​de cui se você estiver calculando a coordenada. Além disso, se você calcular o componente “x” do vetor do gradiente do campo, deverá diferenciar a função escalar correspondente à variável “x”. Se você pregar um notário, a derivata deve ser parziale. Isso significa que durante a diferenciação, os restos variáveis ​​​​que não são coincidentes nesse devono são considerados custos.

4. Escreva uma expressão para o campo escalar. Como é notado, este termo implica soltar uma função escalar de mais variável, que também tem quantidade escalar. O número de variações de uma função escalar é limitado pelas dimensões do espaço.

5. Diferencie a função escalar separadamente de acordo com cada variável. Di conseguenza, otterrai três novas funções. Escreva qualquer função de expressão para avaliar o gradiente do campo escalar. Toda a funcionalidade suprimida é realmente um indicador para um veto unitário de uma coordenação de dados. Portanto, o vetor do gradiente final deve aparecer como um polinômio com componentes sob a forma de derivação da função.

Quando você considera questões importantes sobre a representação do gradiente, é comum pensar em todas as funções como campos escalares. Ocorrerá depois que você inserir a notação oportuna.

Avrai bisogno

• - estrondo;
• - pena.

Instruções

1. Essa função é especificada por três argumentos u=f(x, y, z). A derivação parcial de uma função, por exemplo, riso a x, é definitivamente como a derivação riso a esse argumento, ottenuta fissando e rimando argumentos. Semelhante a outros argumentos. A notação para a derivação parcial é escrita na forma: df/dx = u’x ...

2. A diferença total será igual a du=(df/dx)dx+ (df/dy)dy+(df/dz)dz As derivadas parziali podem ser tanto quanto derivadas nas direções degli assi delle coordenada. Se você tiver o problema de encontrar a derivação correspondente à direção de um dado vetado no ponto M(x, y, z) (não mencione que a direção s é determinada no verso s^o). Nesse caso, a diferença vettorial dos argumentos (dx, dy, dz) = (äscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. Guardando o panorama diferencial completo du, podemos concluir que a derivação na direção s no ponto M é guale a: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alpha)+ ((дf/дy)|M) сos ( beta) +((df/dz)|M) cos(gamma).Se s= s(sx,sy,sz), na direção correta (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma)) vengono calculado (veja Fig. 1a).

4. A definição da derivação direcional, considerando o ponto M como uma variável, pode ser escrita na forma de um produto escalar: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gama)))=(grad u, s^o). Esta expressão será obrigatória para um campo crescente. Se uma função é considerada facilmente, usar gradf é um vetor de coordenadas coincidentes com a derivada parcial f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Aqui (i, j, k) são os vettori unitari degli assi de coordenadas em um sistema de coordenadas cartesianas rettangolari.

5. Se usarmos o operador veterinário diferencial hamiltoniano, então o grau pode ser escrito como a multiplicação deste operador veterinário para a escala f (veja Fig. 1b). No ponto de vista do agrupamento entre gradf e a derivata direzionale, l'uguaglianza (gradf, s^o)=0 é aceitável se estes vettori forem ortogonali. Conseqüentemente, o grau é definido especificamente como a direção das metamorfoses mais rápidas do campo escalar. E no ponto de vista das operações diferenciais (gradf é uma dessas), a propriedade da graduação é exatamente a propriedade das funções de diferenciação. Em particular, se f=uv, allora gradf=(vgradu+u gradv).

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Pendenza Este é um instrumento que, sem editor gráfico, restaura uma silhueta com uma transição gradual de uma cor para o outro. Pendenza Você pode ousar uma silhueta, o resultado do volume, imitar a iluminação, o bagliore da luz na superfície de um objeto ou o resultado de um tramonto no fundo de uma fotografia. Esta ferramenta é amplamente utilizada, então você pode elaborar fotos ou criar ilustrações e é muito importante aprender como usá-lo.

Avrai bisogno

• Computador, editor gráfico Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net ou outros.

Instruções

1. Abri uma imagem do programa ou faça uma nova. Crie uma silhueta ou selecione a área desejada na imagem.

2. Ative o instrumento esfumado na barra de instrumentos do editor gráfico. Posicione o cursor do mouse no ponto interno da área ou no sagoma selecionado, você iniciará a primeira cor do gradiente. Clique e mantenha previamente o botão sinistro do mouse. Coloque o cursor no ponto onde deseja que a fumaça mude na cor final. Ative o botão sinistro do mouse. A silhueta selecionada será restaurada com um retorno esfumaçado.

3. Pendenza Você pode definir a transparência, as cores e seu relacionamento em um ponto determinado do resgate. Para isso, faça a melhor modificação do gradiente. Para abrir a melhor modificação no Photoshop, clique no exemplo do gradiente no painel Opções.

4. A conclusão que se segue mostra as opções de resgate disponíveis sob a forma de exemplos. Para modificar uma das opções, selecione-a com um clique do mouse.

5. Na parte inferior da parte fina, você visualiza um exemplo de gradiente sob a forma de uma escala de amplificador, onde você encontra cursores. Os cursores indicam o ponto e o gradiente deve ter o padrão de comparação especificado e no intervalo entre os cursores a cor passa uniformemente da cor especificada no primeiro ponto à cor do ponto 2°.

6. Os cursores situados na parte superior da escala definem a transparência do gradiente. Para modificar a transparência, clique no dispositivo de escorrimento avançado. Abaixo da escala aparecerá um campo onde será inserido o grau de transparência rico em porcentagem.

7. Eu cursori na parte inferior da escala definida e as cores do gradiente. Clicar em um desses pode selecionar a cor desejada.

8. Pendenza Você pode ter diversas cores de transição. Para definir uma outra cor, clique no espaço livre na parte inferior da escala. Um outro cursor aparecerá nele. Dategli il colore richiesto. A escala mostrará um exemplo de gradiente com um ponto maior. Você pode mover os cursores pressionando o botão sinistro do mouse para obter a combinação desejada.

9. Pendenza Não há nenhum tipo de tipologia que possa ousar formar uma silhueta desenhada. Por exemplo, para dar uma certa forma de um palla, você usa um gradiente radial, enquanto para dar uma forma para saber, você usa um gradiente para a forma de um. Para ousar a superfície da ilusão da conversão, é possível usar um gradiente em forma de espectro e um gradiente em forma de diamante que pode ser usado para criar luz.

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No curso de matemática escolástica, sabíamos que um vettore sobre um piano e um segmento orientado. Il suo inizio e la sua multa hanno devido coordenado. A coordenada do vetor será calculada sottraendo a coordenada inicial da coordenada final.

O conceito de vettore pode ser este no espaço n-dimensional (em vez da coordenada devida ci saranno n coordenada).

Pendenza grad z da função z = f(x 1, x 2, ...x n) é o veto da derivada parziali da função em um ponto, que é veto com coordenadas.

Você pode mostrar que o gradiente de uma função caracteriza a direção do crescimento mais rápido de uma função em um ponto.

Por exemplo, pela função z = 2x 1 + x 2 (ver Figura 5.8), o gradiente em qualquer ponto é a coordenada (2; 1). Você pode construí-lo em um avião diversos modos, prendendo qualquer ponto como início do vettore. Por exemplo, você pode conectar o ponto (0; 0) ao ponto (2; 1), ou o ponto (1; 0) ao ponto (3; 1), ou o ponto (0; 3) ao ponto (2; 4) ) ), ou então via. (Vedi Figura 5.8). Todos os vettori foram construídos neste modo coordenada avranno (2 – 0; 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Na Figura 5.8, você vê claramente que o nível da função aumenta na direção do gradiente, então a linha de nível construída corrige os valores de nível 4 > 3 > 2.

Figura 5.8 - Gradiente da função z = 2x 1 + x 2

Consideremos um outro exemplo: a função z = 1/(x 1 x 2). O gradiente desta função não será sempre o mesmo em pontos diversos, então sua coordenada será determinada pela fórmula (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

A Figura 5.9 mostra a linha de nível da função z = 1/(x 1 x 2) para os níveis 2 e 10 (a linha 1/(x 1 x 2) = 2 é indicada com uma linha traçada, e a linha
1/(x 1 x 2) = 10 – linha contínua).

Figura 5.9 - Gradientes da função z = 1/(x 1 x 2) em vários pontos

Prendimos o exemplo do ponto (0.5; 1) e calculamos o gradiente neste ponto: (-1/(0.5 2 *1); -1/(0.5*1 2)) = (-4; - 2). Se notar que o ponto (0.5; 1) está na linha de nível 1/(x 1 x 2) = 2, porque z = f(0.5; 1) = 1/(0.5*1) = 2. Para representar o veto ( -4; -2) na Figura 5.9, juntamos o ponto (0.5; 1) com o ponto (-3.5; -1), porque
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Prendimos um outro ponto nesta linha de nível, por exemplo, o ponto (1; 0.5) (z = f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). Calcoliamo a este ponto il gradiente
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Para representá-lo na Figura 5.9, colemos o ponto (1; 0,5) com o ponto (-1; -3,5), porque (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).

Prendimos um outro ponto nesta linha de nível, mas só agora em um quarto de coordenada não positiva. Por exemplo, ponto (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Il gradiente a este ponto sarà guale a
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Representação na Figura 5.9 juntando o ponto (-0,5; -1) com o ponto (3,5; 1), então (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4; 2).

1 0 O gradiente é direcionado perpendicularmente à superfície piana (ou toda a linha de nível se o campo for pianeggiante).

2 0 O gradiente está direcionado em direção ao aumento da função de campo.

3 0 O módulo do gradiente é geralmente derivado de maior escala na direção em um ponto de dados do campo:

Esta propriedade fornece uma característica invariável do gradiente. Dicono que o vettore gradU indica a direção e a entidade da mudança máxima no campo escalar em um ponto de dados.

Observação 2.1. Se a função U(x,y) for uma função de variação variável, selecione o veto

Giace no piano ossi.

Siano U=U(x,y,z) e V=V(x,y,z) diferem no ponto M 0 (x,y,z). Allora valgono le seguintenti guaglianze:

a)grado()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = , V ;

e) gradU( = gradU, dove , U=U() tem um resultado derivado a .

Exemplo 2.1.É dado a função U=x 2 +y 2 +z 2. Determina o gradiente da função no ponto M(-2;3;4).

Solução. Segundo a fórmula (2.2) vamos usar

A superfície deste campo escalar é a família da esfera x 2 +y 2 +z 2 , o vettore gradU=(-4;6;8) é veterinário normal aerei.

Exemplo 2.2. Encontre o gradiente do campo escalar U=x-2y+3z.

Solução. Segundo a fórmula (2.2) vamos usar

A superfície plana de um campo de dados escalar é plana

x-2y+3z=C; o vettore gradU=(1;-2;3) é o veto normal dos pianos desta família.

Exemplo 2.3. Encontre a maior pendência do rialzo superficial U=x e no ponto M(2;2;4).

Solução. Abbiamo:

Exemplo 2.4. Encontre o padrão unitário normal na superfície plana do campo escalar U=x 2 +y 2 +z 2 .

Solução. A superfície plana de um campo de dados escalar x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

O gradiente é direcionado perpendicularmente à superfície da piano, então

Defina o padrão normal na superfície da piano no ponto M(x,y,z). Para um veto normal unitário, obtemos a expressão

Exemplo 2.5. Encontre o gradiente do campo U=, pomba e sono vettori costanti, r é o raggio vettore del punto.

Solução. Permettere

Poi: . Com a regra de diferenciação do determinante otteniamo

Quindi,

Exemplo 2.6. Encontre o gradiente de distância, pomba P(x,y,z) é o ponto do campo estudado, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) é um ponto fixo.

Solução. Abbiamo -vettore direção unitária.

Exemplo 2.7. Encontre o ângulo entre os gradientes das funções no ponto M 0 (1,1).

Solução. Encontramos os gradientes dessas funções no ponto M 0 (1,1), que usamos

; Dall'uguaglianza si determina l'angolo tra gradU e gradV nel punto M 0

Quindi =0.

Exemplo 2.8. Encontre a derivação da direção, o raggio vettore é guale a

Solução. Encontre o gradiente desta função:

Substituindo la (2.5) nella (2.4), otteniamo

Exemplo 2.9. Encontre no ponto M 0 (1;1;1) a direção da mudança mais grande no campo escalar U=xy+yz+xz e a entidade dessa mudança mais grande nesse ponto.

Solução. A direção da maior variação no campo é indicada pelo vettore grad U(M). O que encontramos:

E isso significa... Este vettore determina a direção do aumento máximo deste campo no ponto M 0 (1;1;1). A entidade da variação do campo maior para este ponto é semelhante a

Exemplo 3.1. Encontrei a linha vettorial do campo veterinário em que é um veterinário costante.

Solução. Abbiamo cosi

Muitos numeradores e denominadores da primeira fração por x, a segunda por y, a terceira por z e acréscimos de término por término. Usando a propriedade das proporções, obtemos

Quindi xdx+ydy+zdz=0, o que significa

x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -custo>0. Agora multiplicando o numerador e o denominador da primeira fração (3.3) por c 1, o segundo por c 2, a terceira por c 3 e somando término por término, otteniamo

Pomba da 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

E, quindi, con 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . Um custo de 2.

As equações mais detalhadas das linhas veterinárias

Esta equação mostra quais linhas vettoriais são obtidas da interseção da esfera em um centro comunal de origem com áreas perpendiculares ao veto. Não consegue que as linhas vettoriais sejam cerchi e cui centri si trovano su una retta passante per l'origine na direção do vettore c. I piani dei cerchi sono perpendicolari alla linea specificata.

Exemplo 3.2. Encontre a linha do campo vettorial passante para o ponto (1,0,0).

Solução. Equações diferenciais de imagens veterinárias

Quindi Abbiamo. Solução da primeira equação. Depois de introduzirmos o parâmetro t, vamos dizer que neste caso a equação assume a forma o dz=bdt, da qual z=bt+c 2.