Todas as definições de limites são zero mais. Resolva e limite a descoberta de incertezas

A incerteza do tipo e da espécie é a incerteza mais comum que deve ser observada quando você se liberta e limita.

A maior parte dos problemas limita os contratos dos alunos com conteúdo próprio e incerto. Para revelar, mais precisamente, para evitar incertezas, existem diversas técnicas artificiais para transformar o tipo de expressão até o limite do sinal. Esta técnica é a seguinte: divisão dos termos pelos termos do numerador e do denominador pela potência mais alta da variável, multiplicação pela expressão combinada e fatoração pela redução sucessiva usando soluções de equações quadráticas e fórmulas de multiplicação abreviadas.

Incerteza da espécie

Exemplo 1.

Nè guale a 2. Portanto, dividimos o numerador e o denominador por término por:

.

Comenta o último destruidor da expressão. Freqüência e números que indicam o que ocorre nas frações após a instituição N Che significa infinito. Qui, come nell'esampio 2, il titolo N Há mais denominador do que numerador, porque a interfração tende a ser infinitamente pequena ou “super piccola”.

Obtemos a resposta: o limite desta função é variável, tendendo ao infinito e ao mesmo tempo.

Exemplo 2. .

Solução. Qual é a potência mais alta da variável Xé guale a 1. Portanto, dividimos o numerador e o denominador término por término por X:

.

Comentário sobre o estado de avanço da decisão. No numerador inserimos o “x” abaixo da raiz do terceiro grau e afinamos o seu grau original (1) rimanga invariado, gli assegniamo lo stesso grado da raiz, cioè 3. Non ci sono frecce o numeri aggiuntivi in ​​​​esta voz, quindi prove mentalmente, mas por analogia com o exemplo anterior, determine a cosa tendo as expressões no numerador e no denominador depois de substituir o infinito em vez de “x”.

Vamos responder à resposta: o limite desta função é variável, tendendo ao infinito e par a zero.

Incerteza da espécie

Exemplo 3. Descubra a certeza e encontre o limite.

Solução. O numerador é a diferença de cubos. Fattorizziamolo utilizando a fórmula de moltiplicação abreviada do curso de matemática escolar:

O denominador contém um trinômio quadrático, que nos leva a resolver uma equação quadrática (ancorar uma volta e unir a resolução de equações quadráticas):

Escrevemos a expressão obtida como resultado da transformação e encontramos o limite da função:

Exemplo 4. Bloqueie a incerteza e encontre o limite

Solução. O teorema do limite do quociente não se aplica aqui, pois

Portanto, transformamos a fração em modo idêntico: multiplicando o numerador e o denominador pelo binômio coniugato ao denominador e riduciamo di X+1. Segundo o corolário do Teorema 1, obtemos uma expressão, resolvendo o que encontramos no limite desejado:

Exemplo 5. Bloqueie a incerteza e encontre o limite

Solução. Sociedade Direta de Valor X= 0V função de dados porta ad un'incertezza della forma 0/0. Para rivelarlo, eseguiamos transformações idênticas e tudo bem para obter o limite desejado:

Exemplo 6. Calcular

Solução: Usamos os teoremas dos seus limites

Resposta: 11

Exemplo 7. Calcular

Solução: neste exemplo, os limites do numerador e do denominador são iguais a 0:

; . Vamos dizer, então, que o teorema do limite do quociente não pode ser aplicado.

Faturamos numerador e denominador para eliminar a fração de um fator com tendência a zero e, em seguida, torna possível a aplicação do Teorema 3.

Expandimos o trinômio quadrado ao numerador usando a fórmula, pomba x 1 e x 2 são as raízes do trinômio. Tendo o fatorado e o denominador, elimine a fração de (x-2), e aplique o Teorema 3.

Resposta:

Exemplo 8. Calcular

Solução: Quando o numerador e o denominador tendem ao infinito, então, aplicando diretamente o Teorema 3, obtemos a expressão, que representa a incerteza. Para eliminar os erros deste tipo, você deve dividir o numerador e o denominador pela potência mais alta do argumento. Neste exemplo, devi dividere per X:

Resposta:

Exemplo 9. Calcular

Solução: x3:

Resposta: 2

Exemplo 10. Calcular

Solução: Quando o numerador e o denominador tendem ao infinito. Dividimos o numerador e o denominador pela potência mais alta do argumento, isso é x5:

=

O numerador da fração tende a 1, o denominador tende a 0, e a fração tende ao infinito.

Resposta:

Exemplo 11. Calcular

Solução: Quando o numerador e o denominador tendem ao infinito. Dividimos o numerador e o denominador pela potência mais alta do argumento, isso é x7:

Resposta: 0

Derivado.

Derivada da função y = f(x) corresponde ao argumento xè chiamato limite del rapporto tra il suo incremento y e l'incremento x dell'argomento x, quando l'incremento dell'argomento tende a zero: . Se este limite é finito, coloque a função y =f(x) Si dice diferenciável no ponto x. Se este limite existe, você deve saber qual é a função y =f(x) há uma derivada infinita no ponto x.

Derivados de base funções elementares:

1. (custo)=0 9.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Regras de diferenciação:

V)

Exemplo 1. Encontre a derivada de uma função

Solução: Se a derivada do segundo termo for encontrada usando a regra de diferenciação das frações, então o primeiro termo é uma função completa, a derivada se encontrada com a fórmula:

Pomba ,Poi

Durante a liberação, use a seguinte fórmula: 1,2,10,a,c,d.

Resposta:

Exemplo 21. Encontre a derivada de uma função

Solução: ambos os terminais – funções completas, pomba para o primo , , e para o segundo , , allora

Resposta:

Aplicações derivadas.

1. Velocidade e aceleração

Lasciamo che la funzione s(t) descriva posição oggetto em qualche sistema de coordenadas ao tempo t. Coloque a derivação antes da função s(t) e instantânea velocita ovo:
v=s′=f′(t)
A derivata segunda da função s(t) representa a distância aceleração ovo:
C=v′=s′′=f′′(t)

2. Equação tangente
y−y0=f′(x0)(x−x0),
pomba (x0,y0) é a coordenada do ponto tangente, f′(x0) é o valor da derivada da função f(x) no ponto tangente.

3. Equação normal
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

pomba (x0,y0) é a coordenada do ponto em que ela é traçada normalmente, f′(x0) é o valor da derivada da função f(x) neste ponto.

4. Função crescente e decrescente
Se f′(x0)>0, a função aumenta no ponto x0. Nella figura segue a função aumenta com x x2.
Se f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Se f′(x0)=0 ou a derivada não existe, esse critério não permite determinar a natureza da monotonicidade da função no ponto x0.

5. Estreitos locais de uma função
A função f(x)ha Local de Massimo no ponto x1, existe um cenário do ponto x1 que para todos os x deste ponto vale a disunguaglianza f(x1)≥f(x).
Neste modo, a função f(x) ha local mínimo no ponto x2, existe um cenário do ponto x2 que para todos os x deste ponto vale a disunguaglianza f(x2)≤f(x).

6. Pontos críticos
O ponto x0 e ponto crítico função f(x), se a derivada f′(x0) nesse conteúdo é igual a zero ou não existe.

7. O primeiro sinal é suficiente para a resistência de um extremo
Se a função f(x) aumenta (f′(x)>0) para cada x em um certo intervalo (a,x1] e diminui (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) per tutti gli x dell'intervallo $

Espalhamos infinitamente o limite máximo devido ao exemplo e consideramos a certeza: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Algoritmo para calcular os limites

Então, aproveitamos brevemente os exemplos e criamos um algoritmo para resolver e limitar:

1. Substitui o ponto x expressão que segue o sinal limite. Se você obtiver um certo número ou infinito, o limite será totalmente garantido. Altrimenti abbiamo l’incertezza: “zero diviso zero” ou “infinito diviso infinito” e passiamo ai passi sucessivi delle istruzioni.
2. Para eliminar a incerteza de "zero divisão zero", é necessário registrar o numerador e o denominador. Ridurre quelli simili. Substitui o ponto x expressão abaixo do sinal limite.
3. Se a incerteza é “infinito diviso per infinito”, então eliminamos o numerador que o denominador x na máxima misura. Accorciamo le X. Substituímos os valores de x até o limite da expressão rimante.

Neste artigo eu aprendi o básico para resolver e limitar, especialmente usado no curso de Calcolo. É claro que estes não são todos os tipos de problemas propostos pelos examinadores, mas apenas os limites mais simples. Conversamos sobre outros tipos de empregos nos próximos artigos, mas primeiro devemos aprender esta lição para obter vantagem. Discutiamos su cosa fare se ci sono radici, gradi, studio di funzioni equivalentes infinitesimali, limiti notevoli, regola di L'Hopital.

Se você não correr o risco de cair sozinho e no limite, não entre em pânico. Siamo sempre felici di aiutarti!

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