Qual è il determinante del prodotto di tre matrici? Determinanti di matrici quadrate

Teorema. Siano A e B due matrici quadrate di ordine n. Quindi il determinante del loro prodotto è uguale al prodotto dei determinanti, cioè

| AB | = | A| | B|.

¢ Sia A = (a ij) n x n , B = (b ij) n x n . Consideriamo il determinante d 2 n di ordine 2n

d2n = | A | | B| (-1) 1 + ... + n + 1 + ... + n = | A | | B|.

Se mostriamo che il determinante di d 2 n è uguale al determinante della matrice C=AB, allora il teorema sarà dimostrato.

In d 2 n faremo le seguenti trasformazioni: a 1 riga aggiungiamo (n+1) riga moltiplicata per a 11; (n+2) stringa moltiplicata per 12, ecc. (2n) stringa moltiplicata per a 1 n . Nel determinante risultante, i primi n elementi della prima riga saranno zero e gli altri n elementi saranno così:

a 11 b 11 + a 12 b 21 + ... + a 1n b n1 = c 11;

a 11 b 12 + a 12 b 22 + ... + a 1n b n2 = c 12;

a 11 b 1n + a 12 b 2n + ... + a 1n b nn = c 1n.

Allo stesso modo, otteniamo zeri in 2, ..., n righe del determinante d 2 n, e gli ultimi n elementi in ciascuna di queste righe diventeranno gli elementi corrispondenti della matrice C. Di conseguenza, il determinante d 2 n è trasformato in un determinante uguale:

d2n = | C| (-1) 1 + ... + n + ... + 2n = |AB|. £

Conseguenza. Il determinante del prodotto di un numero finito di matrici quadrate è uguale al prodotto dei loro determinanti.

¢ La dimostrazione si effettua per induzione: | A 1 ... A i +1 | = | A 1 ... A i | | A i +1 | = ... = = | A1 | ... | A i +1 | . Questa catena di uguaglianze è corretta secondo il teorema. £

Matrice inversa.

Sia A = (a ij) n x n una matrice quadrata sul campo P.

Definizione 1. La matrice A si chiamerà singolare se il suo determinante è uguale a 0. La matrice A si dirà non singolare altrimenti.

Definizione 2. Sia AÎ P n . Chiameremo la matrice B Î P n inversa ad A se AB = BA=E.

Teorema (criterio di invertibilità della matrice). Una matrice A è invertibile se e solo se non è singolare.

¢ Sia A una matrice inversa. Allora AA -1 = E e, applicando il teorema sulla moltiplicazione dei determinanti, otteniamo | A | | A-1 | = | E | o | A | | A-1 | = 1. Pertanto, | A | N. 0.

Lascia, indietro, | A | ¹ 0. È necessario dimostrare che esiste una matrice B tale che AB = BA = E. Come B prendiamo la seguente matrice:

dove A ij è il complemento algebrico dell'elemento a ij. Poi

Va notato che il risultato sarà una matrice identità (basta utilizzare i Corollari 1 e 2 del teorema di Laplace § 6), cioè AB = E. Analogamente si dimostra che BA = E. £

Esempio. Per la matrice A, trova la matrice inversa o dimostra che non esiste.

det Esiste una matrice inversa A = -3. Adesso calcoliamo le addizioni algebriche.

UN 11 = -3 UN 21 = 0 UN 31 = 6

LA12 = 0 LA22 = 0 LA32 = -3

UN 13 = 1 UN 23 = -1 UN 33 = -1

Quindi, la matrice inversa è: B = =

Algoritmo per trovare la matrice inversa per la matrice A.

1. Calcola il det A.

2. Se è 0, la matrice inversa non esiste. Se det A non è uguale a 0, calcoliamo le addizioni algebriche.

3. Inseriamo le addizioni algebriche nei posti appropriati.

4. Dividi tutti gli elementi della matrice risultante per det A.

Esercizio 1. Scopri se la matrice inversa è unica.

Esercizio 2. Sia gli elementi della matrice A interi razionali. Gli elementi della matrice inversa saranno interi? numeri razionali?

Sistemi di equazioni lineari.

Definizione 1. Un'equazione della forma a 1 x 1 + ....+a n x n =b, dove a, ..., a n sono numeri; x 1 , ... , x n - incognite, chiamate equazione lineare con N sconosciuto.

S equazioni con N incognite è chiamato sistema S equazioni lineari con N sconosciuto, cioè

La matrice A, composta dai coefficienti per le incognite del sistema (1), è detta matrice del sistema (1).

.

X = - colonna delle incognite.

Colonna dei membri gratuiti.

In forma matriciale, il sistema è simile a: AX=B (2).

Una soluzione del sistema (1) è un insieme ordinato N numeri (α 1 ,…, α n) tali che se facciamo una sostituzione in (1) x 1 = α 1 , x 2 = α 2 ,…, x n = α n , allora otteniamo identità numeriche.

Definizione 2. Il sistema (1) si dice coerente se ammette soluzioni, incoerente altrimenti.

Definizione 3. Due sistemi si dicono equivalenti se i loro insiemi di soluzioni coincidono.

Esiste un modo universale per risolvere il sistema (1) - il metodo di Gauss (metodo di eliminazione sequenziale delle incognite), vedere pagina 15.

Consideriamo più in dettaglio il caso in cui s = n. Esiste il metodo di Cramer per risolvere tali sistemi.

Sia d = det,

d j è il determinante di d, in cui la jesima colonna è sostituita da una colonna di termini liberi.

Teorema (regola di Cramer). Se il determinante del sistema d ¹ 0, allora il sistema ha un'unica soluzione, ottenuta dalle formule:

x 1 = d 1 / d …x n = d n / d

¢L'idea della dimostrazione è riscrivere il sistema (1) sotto forma di un'equazione matriciale. Mettiamo

e consideriamo l'equazione AX = B (2) con una matrice colonna sconosciuta X. Poiché A, X, B sono matrici dimensionali nxn, nx1, nx1 Di conseguenza, il prodotto delle matrici rettangolari AX è definito e ha le stesse dimensioni della matrice B. Pertanto, l'equazione (2) ha senso.

La connessione tra il sistema (1) e l'equazione (2) è che cosa è una soluzione per un dato sistema se e solo se

la colonna è la soluzione dell'equazione (2).

In effetti, questa affermazione significa l'uguaglianza

=

Perché ,

dove A ij è il complemento algebrico dell'elemento a ij nel determinante d, allora

= ,

da dove (4).

Nell'uguaglianza (4) tra parentesi è scritta l'espansione in elementi della jesima colonna del determinante d j , che si ottiene dal determinante d dopo averlo sostituito

la colonna j è la colonna dei termini liberi. Ecco perché, x j = d j / d.£

Conseguenza. Se un sistema omogeneo di n equazioni lineari da N incognite ha soluzione diversa da zero, quindi il determinante di questo sistema uguale a zero.

ARGOMENTO 3. Polinomi in una variabile.

Commento. L'operazione di moltiplicazione di matrici è non commutativa, cioè Infatti, se il prodotto AB esiste, allora BA potrebbe non esistere affatto a causa della mancata corrispondenza delle dimensioni (vedi esempio precedente). Se esistono sia AB che BA, allora possono avere dimensioni diverse (se).

Per matrici quadrate dello stesso ordine, i prodotti AB e BA esistono e hanno la stessa dimensione, ma i loro elementi corrispondenti generalmente non sono uguali.

Tuttavia in alcuni casi i prodotti AB e BA coincidono.

Consideriamo il prodotto di una matrice quadrata A e una matrice identità E dello stesso ordine:

Otteniamo lo stesso risultato per il prodotto EA. Quindi, per ogni matrice quadrata A AE = EA = A.

Matrice inversa.

Definizione 3.7. Una matrice quadrata A si dice singolare se e non singolare se.

Definizione 3.8. Una matrice quadrata B è detta inversa di una matrice quadrata A dello stesso ordine se AB = BA = E. In questo caso si indica B.

Consideriamo la condizione per l'esistenza di una matrice inversa a quella data e il metodo per calcolarla.

Teorema 3.2. Perché esista una matrice inversa è necessario e sufficiente che la matrice originaria sia non singolare.

Prova.

1) Necessità: da allora (Teorema 3.1), quindi

2) Sufficienza: impostare la matrice nella seguente forma:

Allora qualsiasi elemento del prodotto (o) che non giace sulla diagonale principale è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) della matrice A per i complementi algebrici degli elementi di un'altra colonna e, quindi, è uguale a 0 (come determinante con due colonne uguali). Gli elementi sulla diagonale principale sono quindi uguali.

*=. Il teorema è stato dimostrato.

Commento. Formuliamo ancora una volta il metodo per calcolare la matrice inversa: i suoi elementi sono i complementi algebrici degli elementi della matrice trasposta A, divisi per il suo determinante.

Lezione 6

4.6 Determinante del prodotto di due matrici quadrate.

Prodotto di due matrici quadrate N-l'ordine è sempre definito. In questo caso è importante il seguente teorema.

Teorema. Il determinante del prodotto della matrice è uguale al prodotto dei determinanti delle matrici dei fattori:

Prova. Permettere

E
,

.

Creiamo un determinante ausiliario

.

Per corollario del teorema di Laplace abbiamo:

.

COSÌ,
, lo mostreremo
. Per fare ciò, trasformiamo il determinante come segue. Prima i primi P
, aggiungere a
-esima colonna. Poi il primo P colonne moltiplicate per
, aggiungere a
-esima colonna, ecc. Nell'ultimo passaggio a
verrà aggiunta la prima colonna P colonne moltiplicate per
. Di conseguenza, otteniamo il determinante

.

Espansione del determinante risultante utilizzando il teorema di Laplace in termini di quest'ultimo P colonne troviamo:

Quindi le uguaglianze sono dimostrate
E
, da cui consegue che
.

4.7.Matrice inversa

Definizione 1 . Sia data una matrice quadrata UN P-esimo ordine. Matrice quadrata
vengono chiamati dello stesso ordine inversione alla matrice UN, se , dove E-matrice identità P-esimo ordine.

Dichiarazione. Se esiste una matrice inversa della matrice UN, allora tale matrice è unica.

Prova. Supponiamo che la matrice
non è l'unica matrice inversa della matrice UN. Prendiamo un'altra matrice inversa B. Allora le condizioni sono soddisfatte

Diamo un'occhiata al lavoro
. Per lui esistono le uguaglianze

da cui ne consegue che
. Pertanto, l’unicità della matrice inversa è dimostrata.

Per dimostrare il teorema sull'esistenza di una matrice inversa, avremo bisogno del concetto di “matrice aggiunta”.

Definizione 2 . Sia data la matrice

.

i cui elementi sono complementi algebrici elementi matrici UN, chiamato annesso matrice in matrice UN.

Prestiamo attenzione al fatto che per costruire la matrice aggiunta CON elementi della matrice UNè necessario sostituirli con addizioni algebriche e quindi trasporre la matrice risultante.

Definizione 3. Matrice quadrata UN chiamato non degenerato , Se
.

Teorema. In ordine per la matrice UN aveva una matrice inversa
, è necessario e sufficiente che la matrice UN non era degenerato. In questo caso, la matrice
è determinato dalla formula

, (1)

Dove - addizioni algebriche di elementi di matrice UN.

Prova. Lasciamo la matrice UN ha una matrice inversa
. Allora le condizioni da cui segue sono soddisfatte. Dall'ultima uguaglianza otteniamo che i determinanti
E
. Questi determinanti sono legati dalla relazione
. Matrici UN E
non degeneri perché i loro determinanti sono diversi da zero.

Consideriamo ora la matrice UN non degenerato. Dimostriamo che la matrice UN ha una matrice inversa
ed è determinato dalla formula (1). Per fare questo, diamo un’occhiata al lavoro

matrici UN e la matrice ad esso associata CON.

Secondo la regola della moltiplicazione della matrice, l'elemento lavori
matrici UN E CON ha la forma: . Poiché la somma dei prodotti degli elementi io righe ai complementi algebrici degli elementi corrispondenti J- l'esima riga è uguale a zero in
e il determinante a
. Quindi,

Dove E- matrice identità P-esimo ordine. L’uguaglianza si dimostra in modo simile
. Così,

, che significa che
e matrice è l'inverso della matrice UN. Pertanto, la matrice non singolare UN ha una matrice inversa, che è determinata dalla formula (1).

Corollario 1 . Determinanti della matrice UN E
legati dalla relazione
.

Corollario 2 . Proprietà principale della matrice aggiunta CON alla matrice UNè espresso

uguaglianze
.

Corollario 3 . Determinante di una matrice non singolare UN e la matrice ad esso associata

CON vincolati dall’uguaglianza
.

Dall’uguaglianza segue il corollario 3
e proprietà dei determinanti, in base ai quali quando moltiplicati per P- l'esima potenza di questo numero. In questo caso

donde ne consegue che
.

Esempio. UN:

.

Soluzione. Determinante della matrice

diverso da zero. Quindi la matrice UN ha il contrario. Per trovarlo, calcoliamo prima i complementi algebrici:

,
,
,

,
,
,

,
.

Ora, usando la formula (1), scriviamo la matrice inversa

.

4.8. Trasformazioni elementari su matrici. Algoritmo di Gauss.

Definizione 1. Sotto trasformazioni elementari sopra la matrice dimensionale

comprendere i passaggi successivi.

Moltiplicare qualsiasi riga (colonna) di una matrice per qualsiasi numero diverso da zero.

Aggiungendo a qualsiasi io-esima riga della matrice di uno qualsiasi dei suoi J- -esima stringa moltiplicata per un numero arbitrario.

Aggiungendo a qualsiasi io l'esima colonna della matrice di uno qualsiasi dei suoi J- colonna-esima moltiplicata per un numero arbitrario.

Riorganizzazione delle righe (colonne) di una matrice.

Definizione 2. Matrici UN E IN chiameremo equivalente , se uno di essi può essere trasformato in un altro mediante trasformazioni elementari. Scriverò
.

L'equivalenza della matrice ha le seguenti proprietà:

Definizione 3 . Fatto un passo chiamata matrice UN avente le seguenti proprietà:

1) se io-la riga è zero, cioè è composto solo da zeri, quindi
-Anche la riga è zero;

2) se i primi elementi sono diversi da zero io e
le righe si trovano in colonne con numeri K E l, Quello
.

Esempio. Matrici

E

sono graduali e la matrice

non è scalinato.

Mostriamo come, utilizzando trasformazioni elementari, possiamo ridurre la matrice UN ad una vista a gradini.

Algoritmo gaussiano . Considera la matrice UN misurare
. Senza perdita di generalità possiamo presumerlo
. (Se nella matrice UN Se c'è almeno un elemento diverso da zero, riorganizzando le righe e poi le colonne, possiamo garantire che questo elemento cada all'intersezione della prima riga e della prima colonna.) Aggiungi alla seconda riga della matrice UN prima moltiplicato per , alla terza riga – la prima, moltiplicata per eccetera.

Di conseguenza lo otteniamo

.

Elementi nelle ultime novità
le linee sono determinate dalle formule:

,
,
.

Considera la matrice

.

Se tutti gli elementi della matrice sono pari a zero, quindi

e la matrice equivalente è a gradini. Se tra gli elementi della matrice almeno uno è diverso da zero, allora possiamo assumere senza perdita di generalità che
(questo può essere ottenuto riorganizzando le righe e le colonne della matrice ). In questo caso, trasformando la matrice proprio come una matrice UN, noi abbiamo

rispettivamente,

.

Qui
,
,
.

E
,
, … ,
. Nella matrice UN T linee e per portarlo in forma graduale nel modo indicato, non avrete bisogno di altro T passi. Quindi il processo potrebbe terminare alle K-esimo passo se e solo se tutti gli elementi della matrice

sono uguali a zero. In questo caso

E
,
, … ,
.

4.9. Trovare la matrice inversa utilizzando trasformazioni elementari.

Per matrice grandi formatiÈ conveniente trovare la matrice inversa utilizzando trasformazioni elementari sulle matrici. Questo metodo è il seguente. Scrivi la matrice composita
e secondo lo schema del metodo gaussiano, vengono eseguiti sulle righe di questa matrice (cioè contemporaneamente nella matrice UN e nella matrice E) trasformazioni elementari. Di conseguenza, la matrice UN viene convertito nella matrice identità e nella matrice E– nella matrice
.

Esempio. Trova la matrice inversa di una matrice

.

Soluzione. Scriviamo la matrice composita
e trasformarlo utilizzando trasformazioni elementari di stringa secondo il metodo gaussiano. Di conseguenza otteniamo:

.

Da queste trasformazioni concludiamo che

.

4.10 Rango della matrice.

Definizione. Numero intero R chiamato rango matrici UN, se ha un ordine minore R, diverso da zero e tutti i minori sono di ordine superiore R sono uguali a zero. Il rango della matrice sarà indicato dal simbolo
.

Il rango della matrice viene calcolato utilizzando il metodo minori confinanti .

Esempio. Utilizzando il metodo dei minori confinanti, calcolare il rango della matrice

.

Soluzione.

Il metodo sopra descritto non è sempre conveniente, perché... associato al calcolo di grandi dimensioni

numero di determinanti.

Dichiarazione. Il rango di una matrice non cambia durante le trasformazioni elementari delle sue righe e colonne.

L'affermazione indicata indica il secondo modo per calcolare il rango di una matrice. È chiamato col metodo delle trasformazioni elementari . Per trovare il rango di una matrice, è necessario utilizzare il metodo gaussiano per ridurla alla forma graduale, quindi selezionare il massimo minore diverso da zero. Spieghiamolo con un esempio.

Esempio. Usando le trasformazioni elementari, calcola il rango della matrice

.

Soluzione. Eseguiamo una catena di trasformazioni elementari secondo il metodo gaussiano. Di conseguenza, otteniamo una catena di matrici equivalenti.

Si denota il determinante di una matrice. In altre parole, il determinante di una matrice è la somma dei prodotti dell'insieme moltiplicata per il segno della sostituzione corrispondente.

Il determinante del secondo ordine è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale sottraendo il prodotto degli elementi della diagonale laterale.

Abbiamo la regola del triangolo:

Le proprietà più semplici dei determinanti

Il determinante di una matrice con una riga (colonna) zero è uguale a zero

Il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto degli elementi situati sulla diagonale principale

È una matrice triangolare se gli elementi sotto la diagonale principale sono zero.

Il determinante di una matrice diagonale è uguale al prodotto degli elementi situati sulla diagonale principale. Una matrice è diagonale se tutti gli elementi situati al di fuori della diagonale principale sono zero.

Proprietà fondamentali dei determinanti

campo degli scalari,

Prova:

indichiamo Se “attraversa” l’intero set, allora “attraversa” anche tutto, cioè

Quando si riorganizzano due colonne (righe) di una matrice, il suo determinante cambierà segno.

Prova:

I) Riorganizzazione delle colonne:

Sia una matrice ottenuta riordinando due colonne con numeri, dove. Consideriamo la trasposizione:

La trasposizione è una sostituzione dispari,

Nella dimostrazione useremo l’uguaglianza:

Se percorre l'intero insieme di valori, percorre anche tutti i valori e

II) Riarrangiamento delle corde

Sia ottenuto da una permutazione di due righe, quindi ottenuto da una permutazione di due colonne, quindi

III) Determinante di una matrice avente due righe (colonne) identiche uguali a zero

Prova:

Eseguiamo per un campo del genere dove

Commento

Trova la dimostrazione del caso nel libro di testo di Kulikova Algebra e teoria dei numeri

Lascia che ci siano due linee identiche con numeri e, dove, scambiamo le linee e otteniamo una matrice

Se due colonne identiche, la matrice trasposta ha due righe identiche

IV) Se tutti gli elementi di qualsiasi riga (colonna) della matrice vengono moltiplicati per, allora il determinante viene moltiplicato per

Prova:

Sia ottenuto dalla moltiplicazione per righe

da allora

Dimostrazione simile per le colonne

V) Determinante di una matrice le cui due righe (colonne) sono proporzionali a zero

Prova:

Lascia che le righe nella matrice siano proporzionali, cioè -string è uguale al prodotto di -string. Permettere

Per le colonne:

Sia ottenuto da, . Le colonne sono entrambe proporzionali e

VI) Se ogni elemento di una riga (colonna) di una matrice quadrata è la somma di due elementi, allora il determinante è uguale alla somma dei due determinanti. Nella matrice del primo determinante, nella riga (colonna), vengono scritti i primi termini e nella matrice del secondo determinante, vengono scritti i secondi termini. I restanti elementi delle matrici di questi determinanti sono gli stessi della matrice

Prova:

VII) Se aggiungi un'altra riga (colonna) moltiplicata per a qualsiasi riga (colonna) della matrice del determinante, il determinante non cambierà.

Prova:

Lo stesso per le colonne.

VIII) Se qualsiasi riga (colonna) della matrice lo è combinazione lineare altre righe (colonne), quindi il determinante

Prova:

Se una stringa è una combinazione lineare di altre stringhe, è possibile aggiungervi altre stringhe, moltiplicate per scalari in modo da ottenere una stringa zero. Il determinante di tale matrice è uguale a zero.

(prima moltiplichiamo la prima riga per -2 e la aggiungiamo con la seconda, poi per -3 e la aggiungiamo con la terza). Questa regola di riduzione alla forma triangolare viene utilizzata per i determinanti dell'ordine:

poiché il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto degli elementi situati sulla diagonale principale.

Se una matrice quadrata è il prodotto di alcune matrici (che possono essere rettangolari), allora è spesso importante poter esprimere la determinante del prodotto in termini di proprietà dei fattori. Il seguente teorema ne è un potente indicatore.

Minori e complementi algebrici.

Teoremi determinanti.

campo degli scalari,

sicuramente Il minore dell'elemento determinante dell'ordine è il determinante dell'ordine ottenuto cancellando la riga e la colonna.

Minori principali del determinante

Ci sono qualificazioni per i minori maggiori

Considera la matrice e calcola i suoi minori

Definizione. Il complemento algebrico di un elemento è un numero

Esempio: calcoliamo,

Prova:

(nella somma solo quei termini sono diversi da zero, dove)

Allora la sostituzione ha la forma: , dove. Abbiniamo la sostituzione, ad es.

Tale corrispondenza è chiamata mappatura uno-a-uno da un insieme di permutazioni a un insieme di permutazioni. Ovviamente hanno le stesse inversioni, il che significa che hanno la stessa parità e gli stessi segni

Se tutti gli elementi di qualsiasi riga (colonna) di una matrice sono uguali a zero, con la possibile eccezione di un elemento, allora il determinante della matrice è uguale al prodotto di questo elemento e del suo complemento algebrico

Prova:

Lascia che tutti gli elementi siano righe della matrice tranne l'elemento

riorganizzando righe e colonne, abbiamo spostato l'elemento nell'angolo in basso a destra, che significa righe e colonne. Il segno cambierà una volta, dopodiché il risultato sarà una matrice in cui tutti gli elementi dell'ultima riga tranne forse sono uguali a zero. Secondo il Lemma 1, perché

Il teorema di Lagrange

è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di qualsiasi colonna (riga) della matrice e del loro complemento algebrico. In altre parole: la scomposizione lungo la colonna della matrice ha la forma: , e la scomposizione lungo la riga della matrice:

Prova:

consideriamo la colonna -della matrice e scriviamola nella forma: , secondo la 6a proprietà dei determinanti:

matrice determinante matematica lagrangiana

La formula per la scomposizione nella riga di una matrice si dimostra in modo simile.

Teorema 2

Valgono le seguenti uguaglianze:

Consideriamo una matrice ottenuta da una matrice come segue: tutte le colonne della matrice, tranne la esima colonna, sono uguali a quelle della matrice. L'esima colonna della matrice coincide con la -esima colonna, quindi hanno due colonne identiche, quindi il determinante della matrice è uguale a zero, espandiamo il determinante della matrice nella -esima colonna.

Poi. La formula (2) è mostrata in modo simile.

Conseguenza:

Determinante del prodotto della matrice

campo degli scalari,

Sia la matrice elementare di ordine, allora l'uguaglianza è vera:

1) ., cioè ottenuto dalla matrice moltiplicando la riga per uno scalare. Determinante della matrice.

La matrice si ottiene moltiplicando la riga per uno scalare, quindi il determinante

Matrice ottenuta sommando a -row

• -matrici elementari
• 1), la dimostrazione segue dal Lemma 1

2), prova fornita dalla dichiarazione (1).

Teorema 1

Il determinante del prodotto di due matrici è uguale al prodotto dei loro determinanti, cioè

Prova:

Lasciamo che le righe della matrice siano linearmente indipendenti, allora esiste una catena di trasformazioni elementari

allora dal Lemma 2 segue che. Da cosa () abbiamo: , quindi

2) Le righe sono linearmente dipendenti, quindi esiste una catena di trasformazioni elementari che si traduce in una matrice a scaglioni che ha una riga zero, cioè , . Poi

Dal fatto che nel prodotto è presente anche una linea zero, perché

Condizioni necessarie e sufficienti affinché il determinante sia uguale a zero

campo degli scalari, - matrice sul campo

Teorema 1

le righe (colonne) della matrice sono linearmente dipendenti

Adeguatezza:

Se le righe (colonne) di una matrice sono linearmente dipendenti, allora alcune righe sono una combinazione lineare di altre righe (8 proprietà dei determinanti ciascuna)

Necessità:

Lascia stare. Dimostriamo che le righe sono linearmente dipendenti. Supponiamo che le stringhe siano linearmente indipendenti, allora esiste una catena di trasformazioni elementari che trasla. Da quanto dimostrato al punto II ne consegue che. Abbiamo ricevuto una contraddizione. Dimostriamo che se la riga della matrice è linearmente dipendente, ma (il numero di vettori colonna) è linearmente dipendente.

Teorema 2

Le seguenti condizioni sono equivalenti:

• 2) - linearmente dipendente
• 3) -reversibile
• 4) può essere rappresentato come prodotto di matrici elementari

Prova:

dimostrato nel Teorema 1

Partizionamento della matrice

Se matrice, matrice, matrice e matrice sono scritte nella forma

Quindi formano una matrice. In questo caso possono essere chiamati blocchi di matrice. E contrassegnato di conseguenza. La rappresentazione (1) è detta partizionamento della matrice.

Se il prodotto della matrice esiste ed è diviso in blocchi, e la partizione lungo le colonne della matrice corrisponde alla partizione lungo le righe della matrice, allora possiamo aspettarci che abbia blocchi dati dalla formula

Assumiamo quindi che il prodotto di matrici in termini di blocchi ottenuto da opportune partizioni dei fattori coincida formalmente con il prodotto di tali matrici in termini di elementi scalari. Mostriamolo con un esempio:

Esercizio 1. Permettere

Ciò può essere verificato mediante calcolo diretto

Teorema (1)

Lascia che la matrice da abbia blocchi, dove è una matrice, e la matrice da con blocchi di dimensione. Quindi ha blocchi

Prova. Nota che ogni prodotto esiste ed è una matrice. Pertanto, c'è e ci sarà una matrice. Per il fisso, ciascuno ha colonne e per il fisso, ciascuno ha righe, il che implica che i blocchi di una matrice.

Sia un elemento della matrice situato in una cella a blocco. Poiché esiste una somma di elementi nelle celle e nelle matrici, . Ma l'elemento della matrice in una cella è la somma dei prodotti degli elementi nella riga della matrice e degli elementi nella colonna della matrice. Inoltre, gli elementi della riga della matrice coincidono con alcuni elementi della riga in, cioè con, dove l'indice è determinato dalle disuguaglianze

Gli elementi della colonna della matrice saranno gli elementi in. Quindi,

Abbiamo definito l'ordine minore per il determinante. In generale, se tutte le righe tranne le righe e tutte le colonne tranne le colonne vengono rimosse da una matrice, allora il determinante della matrice risultante è chiamato matrice minore dell'ordine, quindi

Minori per i quali sono chiamati principali per la matrice. Se è una matrice, allora lo è, ad esempio, il complemento algebrico

Se una matrice quadrata è il prodotto di alcune matrici (che possono essere rettangolari), a volte è importante esprimere il determinante del prodotto in termini di proprietà dei fattori. Il seguente teorema è un potente risultato di questo tipo.