Come capire che la funzione è di forma generale. Come determinare le funzioni pari e dispari

Indietro avanti

Attenzione! L'anteprima della diapositiva è solo a scopo informativo e potrebbe non rappresentare l'intera portata della presentazione. Se sei interessato a questo lavoro, scarica la versione completa.

Obiettivi:

• formare il concetto di funzioni pari e dispari, insegnare la capacità di determinare e utilizzare queste proprietà nello studio delle funzioni, nel tracciare;
• sviluppare l'attività creativa degli studenti, il pensiero logico, la capacità di confrontare, generalizzare;
• coltivare la diligenza, la cultura matematica; sviluppare capacità comunicative .

Attrezzatura: installazione multimediale, lavagna interattiva, dispense.

Forme di lavoro: frontale e di gruppo con elementi di ricerca e attività di ricerca.

Fonti di informazione:

1. Algebra classe 9 A.G. Mordkovich. Manuale.
2. Algebra Grado 9 A.G. Mordkovich. Libro delle attività.
3. Grado di algebra 9. Compiti per l'apprendimento e lo sviluppo degli studenti. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DURANTE LE LEZIONI

1. Momento organizzativo

Stabilire obiettivi e obiettivi della lezione.

2. Controllo dei compiti

N. 10.17 (Libro problema 9a elementare A.G. Mordkovich).

un) a = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 per X ~ 0,4
4. f(X) >0 a X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. La funzione aumenta con X € [– 2; + ∞)
6. La funzione è limitata dal basso.
7. a noleggio = - 3, a naib non esiste
8. La funzione è continua.

(Hai usato l'algoritmo di esplorazione delle funzionalità?) Diapositiva.

2. Controlliamo la tabella che ti è stata richiesta sulla diapositiva.

Riempi il tavolo
	Dominio	Zero di funzione	Intervalli di costanza		Coordinate dei punti di intersezione del grafico con Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Aggiornamento della conoscenza

– Vengono fornite le funzioni.
– Specificare il dominio di definizione per ciascuna funzione.
– Confronta il valore di ciascuna funzione per ogni coppia di valori di argomento: 1 e – 1; 2 e - 2.
– Per quale delle funzioni date nel dominio di definizione sono le uguaglianze f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (metti i dati nella tabella) Diapositiva

4. Nuovo materiale

- Durante questo lavoro, ragazzi, abbiamo rivelato un'altra proprietà della funzione, a voi sconosciuta, ma non meno importante delle altre: questa è l'uniformità e la stranezza della funzione. Annota l'argomento della lezione: "Funzioni pari e dispari", il nostro compito è imparare a determinare le funzioni pari e dispari, scoprire il significato di questa proprietà nello studio delle funzioni e del tracciamento.
Quindi, troviamo le definizioni nel libro di testo e leggiamo (p. 110) . Diapositiva

def. uno Funzione a = f (X) definito sull'insieme X viene chiamato anche, se per qualsiasi valore XЄ X in corso uguaglianza f (–x) = f (x). Dare esempi.

def. 2 Funzione y = f(x), definito sull'insieme X viene chiamato strano, se per qualsiasi valore XЄ X l'uguaglianza f(–х)= –f(х) è soddisfatta. Dare esempi.

Dove abbiamo incontrato i termini "pari" e "dispari"?
Quale di queste funzioni sarà pari, pensi? Come mai? Quali sono strani? Come mai?
Per qualsiasi funzione del modulo a= x n, dove nè un numero intero, si può sostenere che la funzione è dispari per nè dispari e la funzione è pari per n- anche.
– Visualizza funzioni a= e a = 2X– 3 non è né pari né dispari, perché le uguaglianze non sono soddisfatte f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Lo studio della questione se una funzione sia pari o dispari è chiamato studio di una funzione per parità. Diapositiva

Le definizioni 1 e 2 trattano i valori della funzione in x e - x, quindi si presume che la funzione sia definita anche al valore X, e a - X.

ODA 3. Se un numero insieme a ciascuno dei suoi elementi x contiene l'elemento opposto x, allora l'insieme Xè chiamato insieme simmetrico.

Esempi:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sono insiemi simmetrici e , [–5;4] sono non simmetrici.

- Anche le funzioni hanno un dominio di definizione - un insieme simmetrico? Quelli dispari?
- Se D( f) è un insieme asimmetrico, allora qual è la funzione?
– Quindi, se la funzione a = f(X) è pari o dispari, allora il suo dominio di definizione è D( f) è un insieme simmetrico. Ma è vero il contrario, se il dominio di una funzione è un insieme simmetrico, allora è pari o dispari?
- Quindi la presenza di un insieme simmetrico del dominio di definizione è una condizione necessaria, ma non sufficiente.
– Quindi, come possiamo studiare la funzione di parità? Proviamo a scrivere un algoritmo.

Diapositiva

Algoritmo per esaminare una funzione per parità

1. Determinare se il dominio della funzione è simmetrico. In caso contrario, la funzione non è né pari né dispari. Se sì, vai al passaggio 2 dell'algoritmo.

2. Scrivi un'espressione per f(–X).

3. Confronta f(–X).e f(X):

• Se f(–X).= f(X), allora la funzione è pari;
• Se f(–X).= – f(X), allora la funzione è dispari;
• Se f(–X) ≠ f(X) e f(–X) ≠ –f(X), allora la funzione non è né pari né dispari.

Esempi:

Studiare la funzione di parità a) a= x 5 +; b) a= ; in) a= .

Soluzione.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), insieme simmetrico.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funzione h(x)= x 5 + dispari.

b) y =,

a = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), insieme asimmetrico, quindi la funzione non è né pari né dispari.

in) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

opzione 2

1. L'insieme dato è simmetrico: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

Controllo reciproco diapositiva.

6. Compiti a casa: №11.11, 11.21,11.22;

Dimostrazione del significato geometrico della proprietà di parità.

*** (Assegnazione dell'opzione USE).

1. La funzione dispari y \u003d f (x) è definita sull'intera linea reale. Per qualsiasi valore non negativo della variabile x, il valore di questa funzione coincide con il valore della funzione g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Trova il valore della funzione h( X) = a X = 3.

7. Riassumendo

- (Matematica.) Viene chiamata una funzione y \u003d f (x) anche se non cambia quando la variabile indipendente cambia solo segno, ovvero se f (x) \u003d f (x). Se f (x) = f (x), allora la funzione f (x) è chiamata dispari. Ad esempio, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x è un esempio di funzione dispari. f(x) = x2 è un esempio di funzione pari. f(x) = x3 ... Wikipedia

Una funzione che soddisfa l'uguaglianza f (x) = f (x). Vedi Funzioni pari e dispari... Grande enciclopedia sovietica

F(x) = x è un esempio di funzione dispari. f(x) = x2 è un esempio di funzione pari. f(x) = x3 ... Wikipedia

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Funzioni speciali introdotte dal matematico francese E. Mathieu nel 1868 per risolvere problemi sull'oscillazione di una membrana ellittica. M.f. trovano impiego anche nello studio della propagazione delle onde elettromagnetiche in un cilindro ellittico... Grande enciclopedia sovietica

La richiesta "peccato" viene reindirizzata qui; vedi anche altri significati. La richiesta "sec" viene reindirizzata qui; vedi anche altri significati. "Seno" reindirizza qui; vedi anche altri significati... Wikipedia

anche, se per tutti \(x\) dal suo dominio è vero: \(f(-x)=f(x)\) .

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse \(y\):

Esempio: la funzione \(f(x)=x^2+\cos x\) è pari, perché \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Viene chiamata la funzione \(f(x)\). strano, se per tutti \(x\) dal suo dominio è vero: \(f(-x)=-f(x)\) .

Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine:

Esempio: la funzione \(f(x)=x^3+x\) è dispari perché \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Le funzioni che non sono né pari né dispari sono dette funzioni generiche. Questa funzione può sempre l'unico modo rappresentare come la somma di una funzione pari e dispari.

Ad esempio, la funzione \(f(x)=x^2-x\) è la somma di una funzione pari \(f_1=x^2\) e una funzione dispari \(f_2=-x\) .

\(\triangolo nero a destra\) Alcune proprietà:

1) Il prodotto e il quoziente di due funzioni della stessa parità è una funzione pari.

2) Il prodotto e il quoziente di due funzioni di diversa parità è una funzione dispari.

3) La somma e la differenza delle funzioni pari è una funzione pari.

4) La somma e la differenza delle funzioni dispari è una funzione dispari.

5) Se \(f(x)\) è una funzione pari, l'equazione \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) ha una radice univoca se e solo se, quando \(x =0\) .

6) Se \(f(x)\) è una funzione pari o dispari e l'equazione \(f(x)=0\) ha una radice \(x=b\) , allora questa equazione avrà necessariamente un secondo radice \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Una funzione \(f(x)\) è chiamata periodica su \(X\) se per qualche numero \(T\ne 0\) abbiamo \(f(x)=f(x+ T) \) , dove \(x, x+T\in X\) . Il più piccolo \(T\) , per il quale vale questa uguaglianza, è chiamato periodo principale (di base) della funzione.

Una funzione periodica ha un numero qualsiasi nella forma \(nT\) , dove \(n\in \mathbb(Z)\) sarà anche un punto.

Esempio: qualsiasi funzione trigonometricaè periodico;
per le funzioni \(f(x)=\sin x\) e \(f(x)=\cos x\) il punto principale è \(2\pi\) , per le funzioni \(f(x)= \mathrm( tg)\,x\) e \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) il periodo principale è \(\pi\) .

Per tracciare una funzione periodica, puoi tracciare il suo grafico su qualsiasi segmento di lunghezza \(T\) (periodo principale); quindi il grafico dell'intera funzione viene completato spostando la parte costruita di un numero intero di periodi a destra e a sinistra:

\(\blacktriangleright\) Il dominio \(D(f)\) della funzione \(f(x)\) è l'insieme costituito da tutti i valori dell'argomento \(x\) per cui la funzione ha senso (è definito).

Esempio: la funzione \(f(x)=\sqrt x+1\) ha un dominio di definizione: \(x\in

Compito 1 #6364

Livello di attività: Uguale all'esame di stato unificato

Per quali valori del parametro \(a\) l'equazione

ha una soluzione unica?

Nota che poiché \(x^2\) e \(\cos x\) sono funzioni pari, se l'equazione ha una radice \(x_0\) , avrà anche una radice \(-x_0\) .
Sia infatti \(x_0\) una radice, cioè l'uguaglianza \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) Giusto. Sostituisci \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Pertanto, se \(x_0\ne 0\) , l'equazione avrà già almeno due radici. Pertanto, \(x_0=0\) . Quindi:

Abbiamo due valori di parametro \(a\) . Nota che abbiamo utilizzato il fatto che \(x=0\) è esattamente la radice dell'equazione originale. Ma non abbiamo mai sfruttato il fatto che lui è l'unico. Pertanto, è necessario sostituire i valori risultanti del parametro \(a\) nell'equazione originale e verificare per quale esattamente \(a\) la radice \(x=0\) sarà effettivamente unica.

1) Se \(a=0\) , l'equazione assumerà la forma \(2x^2=0\) . Ovviamente, questa equazione ha solo una radice \(x=0\) . Pertanto, il valore \(a=0\) è adatto a noi.

2) Se \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , l'equazione assume la forma \ Riscriviamo l'equazione nella forma \ Perché \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), poi \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Pertanto, i valori del lato destro dell'equazione (*) appartengono al segmento \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Poiché \(x^2\geqslant 0\) , il lato sinistro dell'equazione (*) è maggiore o uguale a \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Pertanto, l'uguaglianza (*) può valere solo quando entrambi i lati dell'equazione sono uguali a \(\mathrm(tg)^2\,1\) . E questo significa questo \[\begin(casi) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(casi)\quad\Freccia destra-sinistra\quad x=0\] Pertanto, il valore \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ci si addice.

Risposta:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Compito 2 #3923

Livello di attività: Uguale all'esame di stato unificato

Trova tutti i valori del parametro \(a\) , per ognuno dei quali il grafico della funzione \

simmetrico rispetto all'origine.

Se il grafico di una funzione è simmetrico rispetto all'origine, allora tale funzione è dispari, cioè \(f(-x)=-f(x)\) è soddisfatta per ogni \(x\) dal dominio della funzione. Pertanto, è necessario trovare quei valori di parametro per i quali \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(allineato) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(allineato)\]

L'ultima equazione deve valere per tutti \(x\) dal dominio \(f(x)\) , quindi \(\sin(2\pi a)=0 \Freccia destra a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Risposta:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Compito 3 #3069

Livello di attività: Uguale all'esame di stato unificato

Trova tutti i valori del parametro \(a\) , per ognuno dei quali l'equazione \ ha 4 soluzioni, dove \(f\) è una funzione periodica pari con periodo \(T=\dfrac(16)3\) definito sull'intera linea reale e \(f(x)=ax^2\) per \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Compito degli iscritti)

Compito 4 #3072

Livello di attività: Uguale all'esame di stato unificato

Trova tutti i valori \(a\) , per ognuno dei quali l'equazione \

ha almeno una radice.

(Compito degli iscritti)

Riscriviamo l'equazione nella forma \ e considera due funzioni: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) e \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
La funzione \(g(x)\) è pari, ha un punto minimo \(x=0\) (e \(g(0)=49\) ).
La funzione \(f(x)\) per \(x>0\) è in diminuzione e per \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Infatti, per \(x>0\) il secondo modulo si espande positivamente (\(|x|=x\) ), quindi, indipendentemente da come si espande il primo modulo, \(f(x)\) sarà uguale a \ ( kx+A\) , dove \(A\) è un'espressione di \(a\) e \(k\) è uguale a \(-9\) o \(-3\) . Per \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Trova il valore \(f\) nel punto massimo: \

Affinché l'equazione abbia almeno una soluzione, è necessario che i grafici delle funzioni \(f\) e \(g\) abbiano almeno un punto di intersezione. Pertanto, hai bisogno di: \ Risolvendo questo insieme di sistemi, otteniamo la risposta: \\]

Risposta:

\(a\in \(-7\)\tazza\)

Compito 5 #3912

Livello di attività: Uguale all'esame di stato unificato

Trova tutti i valori del parametro \(a\) , per ognuno dei quali l'equazione \

ha sei diverse soluzioni.

Facciamo la sostituzione \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Quindi l'equazione assumerà la forma \ Scriveremo gradualmente le condizioni in cui l'equazione originale avrà sei soluzioni.
Si noti che l'equazione quadratica \((*)\) può avere al massimo due soluzioni. Qualsiasi equazione cubica \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) non può avere più di tre soluzioni. Pertanto, se l'equazione \((*)\) ha due diverse soluzioni (positiva!, poiché \(t\) deve essere maggiore di zero) \(t_1\) e \(t_2\) , quindi, fatto il contrario sostituzione, otteniamo: \[\left[\begin(raccolti)\begin(allineato) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(allineato)\end(raccolti)\destra.\] Poiché qualsiasi numero positivo può essere rappresentato in una certa misura come \(\sqrt2\), ad esempio, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), la prima equazione dell'insieme verrà riscritta nella forma \ Come abbiamo già detto, qualsiasi equazione cubica non ha più di tre soluzioni, quindi ogni equazione dell'insieme non avrà più di tre soluzioni. Ciò significa che l'intero set non avrà più di sei soluzioni.
Ciò significa che affinché l'equazione originale abbia sei soluzioni, l'equazione quadratica \((*)\) deve avere due soluzioni diverse e ciascuna equazione cubica risultante (dall'insieme) deve avere tre soluzioni diverse (e non una singola la soluzione di un'equazione dovrebbe coincidere con la quale - o per decisione della seconda!)
Ovviamente, se l'equazione quadratica \((*)\) ha una soluzione, non otterremo sei soluzioni per l'equazione originale.

Così, il piano di soluzione diventa chiaro. Scriviamo le condizioni che devono essere soddisfatte punto per punto.

1) Affinché l'equazione \((*)\) abbia due soluzioni diverse, il suo discriminante deve essere positivo: \

2) Abbiamo anche bisogno che entrambe le radici siano positive (perché \(t>0\) ). Se il prodotto di due radici è positivo e la loro somma è positiva, le radici stesse saranno positive. Pertanto, hai bisogno di: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\leftrightarrow\quad a<10\]

Pertanto, ci siamo già forniti di due distinte radici positive \(t_1\) e \(t_2\) .

3) Diamo un'occhiata a questa equazione \ Per cosa \(t\) avrà tre diverse soluzioni?
Considera la funzione \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Può essere moltiplicato: \ Pertanto, i suoi zeri sono: \(x=-1;2\) .
Se troviamo la derivata \(f"(x)=3x^2-6x\) , otteniamo due punti estremi \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Pertanto, il grafico si presenta così:


Vediamo che qualsiasi linea orizzontale \(y=k\) , dove \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) ha tre diverse soluzioni, è necessario che \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Quindi, hai bisogno di: \[\begin(casi) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Notiamo anche subito che se i numeri \(t_1\) e \(t_2\) sono diversi, allora i numeri \(\log_(\sqrt2)t_1\) e \(\log_(\sqrt2)t_2\) saranno essere diverso, quindi le equazioni \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) e \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) avrà radici diverse.
Il sistema \((**)\) può essere riscritto in questo modo: \[\begin(casi) 1

Pertanto, abbiamo determinato che entrambe le radici dell'equazione \((*)\) devono trovarsi nell'intervallo \((1;4)\) . Come scrivere questa condizione?
Non scriveremo esplicitamente le radici.
Considera la funzione \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Il suo grafico è una parabola con rami verso l'alto, che ha due punti di intersezione con l'asse delle ascisse (abbiamo scritto questa condizione nel paragrafo 1)). Come dovrebbe apparire il suo grafico in modo che i punti di intersezione con l'asse delle ascisse si trovino nell'intervallo \((1;4)\) ? Così:


In primo luogo, i valori \(g(1)\) e \(g(4)\) della funzione nei punti \(1\) e \(4\) devono essere positivi e, in secondo luogo, il vertice di anche la parabola \(t_0\ ) deve trovarsi nell'intervallo \((1;4)\) . Pertanto, il sistema può essere scritto: \[\begin(casi) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4

Pertanto, dobbiamo intersecare i valori del parametro \(a\) trovati nel 1°, 2° e 3° paragrafo e otterremo la risposta: \[\begin(casi) a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\\ a<10\\ 4

Funzioneè uno dei concetti matematici più importanti. Funzione: dipendenza dalle variabili a da una variabile X, se ogni valore X corrisponde a un singolo valore a. variabile X chiamato variabile o argomento indipendente. variabile a chiamata variabile dipendente. Tutti i valori della variabile indipendente (variabile X) formano il dominio della funzione. Tutti i valori che assume la variabile dipendente (variabile y), formano l'intervallo della funzione.

Grafico delle funzioni chiamano l'insieme di tutti i punti del piano delle coordinate, le cui ascisse sono uguali ai valori dell'argomento e le ordinate sono uguali ai valori corrispondenti della funzione, ovvero i valori di le variabili sono tracciate lungo l'asse delle ascisse X e i valori della variabile vengono tracciati lungo l'asse y y. Per tracciare una funzione, è necessario conoscere le proprietà della funzione. Le principali proprietà della funzione saranno discusse di seguito!

Per tracciare un grafico di funzione, ti consigliamo di utilizzare il nostro programma - Funzioni di rappresentazione grafica in linea. Se hai domande mentre studi il materiale in questa pagina, puoi sempre farle sul nostro forum. Inoltre sul forum verrai aiutato a risolvere problemi di matematica, chimica, geometria, teoria delle probabilità e molte altre materie!

Proprietà di base delle funzioni.

1) Ambito della funzione e gamma di funzioni.

L'ambito di una funzione è l'insieme di tutti i valori validi validi dell'argomento X(variabile X) per cui la funzione y = f(x) definito.
L'intervallo di una funzione è l'insieme di tutti i valori reali y che la funzione accetta.

Nella matematica elementare, le funzioni sono studiate solo sull'insieme dei numeri reali.

2) Funzione zeri.

I valori X, al quale y=0, è chiamato zeri di funzione. Queste sono le ascisse dei punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse x.

3) Intervalli di costanza di segno di una funzione.

Gli intervalli di costanza di segno di una funzione sono tali intervalli di valori X, su cui i valori della funzione y vengono chiamati solo positivi o solo negativi intervalli di costanza di segno della funzione.

4) Monotonia della funzione.

Una funzione crescente (in un certo intervallo) è una funzione in cui un valore maggiore dell'argomento di questo intervallo corrisponde a un valore maggiore della funzione.

Funzione decrescente (in alcuni intervalli): una funzione in cui un valore maggiore dell'argomento da questo intervallo corrisponde a un valore minore della funzione.

5) Funzioni pari (dispari)..

Una funzione pari è una funzione il cui dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine e per qualsiasi X f(-x) = f(x). Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y.

Una funzione dispari è una funzione il cui dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine e per qualsiasi X dal dominio di definizione l'uguaglianza f(-x) = - f(x). Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine.

Funzione pari
1) Il dominio di definizione è simmetrico rispetto al punto (0; 0), cioè se il punto un appartiene al dominio della definizione, quindi il punto -un appartiene anche al dominio della definizione.
2) Per qualsiasi valore X f(-x)=f(x)
3) Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse Oy.

funzione dispari ha le seguenti proprietà:
1) Il dominio di definizione è simmetrico rispetto al punto (0; 0).
2) per qualsiasi valore X, che appartiene al dominio di definizione, l'uguaglianza f(-x)=-f(x)
3) Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine (0; 0).

Non tutte le funzioni sono pari o dispari. Funzioni vista generale non sono né pari né dispari.

6) Funzioni limitate e illimitate.

Una funzione si dice limitata se esiste un numero positivo M tale che |f(x)| ≤ M per tutti i valori di x . Se non esiste un tale numero, la funzione è illimitata.

7) Periodicità della funzione.

Una funzione f(x) è periodica se esiste un numero T diverso da zero tale che per ogni x dal dominio della funzione, f(x+T) = f(x). Questo numero più piccolo è chiamato periodo della funzione. Tutte le funzioni trigonometriche sono periodiche. (Formule trigonometriche).

Funzione f si dice periodico se esiste un numero tale che per qualsiasi X dal dominio di definizione l'uguaglianza f(x)=f(x-T)=f(x+T). Tè il periodo della funzione.

Ogni funzione periodica ha un numero infinito di periodi. In pratica, di solito viene considerato il periodo positivo più piccolo.

I valori della funzione periodica vengono ripetuti dopo un intervallo pari al periodo. Viene utilizzato quando si tracciano grafici.

Definizione 1. La funzione viene chiamata anche (strano ) se insieme a ciascun valore della variabile
significato - X appartiene anche
e l'uguaglianza

Quindi, una funzione può essere pari o dispari solo quando il suo dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine delle coordinate sulla retta reale (numeri X e - X appartengono contemporaneamente
). Ad esempio, la funzione
non è né pari né dispari, poiché il suo dominio di definizione
non simmetrico rispetto all'origine.

Funzione
anche, perché
simmetrico rispetto all'origine delle coordinate e.

Funzione
strano perché
e
.

Funzione
non è né pari né dispari, poiché benchè
ed è simmetrico rispetto all'origine, le uguaglianze (11.1) non sono soddisfatte. Per esempio,.

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse UO, poiché se il punto

appartiene anche al grafico. Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine, perché se
appartiene al grafico, quindi il punto
appartiene anche al grafico.

Per dimostrare se una funzione è pari o dispari, sono utili le seguenti affermazioni.

Teorema 1. a) La somma di due funzioni pari (dispari) è una funzione pari (dispari).

b) Il prodotto di due funzioni pari (dispari) è una funzione pari.

c) Il prodotto di una funzione pari e dispari è una funzione dispari.

d) Se fè una funzione pari sul set X, e la funzione g definito sul set
, quindi la funzione
- anche.

e) Se fè una funzione dispari sul set X, e la funzione g definito sul set
e pari (dispari), quindi la funzione
- pari dispari).

Prova. Dimostriamo, ad esempio, b) e d).

b) Let
e
sono anche funzioni. Allora, quindi. Il caso delle funzioni dispari è considerato in modo simile
e
.

d) Let f è una funzione pari. Quindi.

Similmente si dimostrano le altre asserzioni del teorema. Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 2. Qualsiasi funzione
, definito sul set X, che è simmetrico rispetto all'origine, può essere rappresentato come la somma di una funzione pari e dispari.

Prova. Funzione
può essere scritto nel modulo

.

Funzione
è pari, perché
, e la funzione
è strano perché. In questo modo,
, dove
- anche, e
è una funzione dispari. Il teorema è stato dimostrato.

Definizione 2. Funzione
chiamato periodico se c'è un numero
, tale che per qualsiasi
numeri
e
appartengono anche al dominio di definizione
e le uguaglianze

Un tale numero T chiamato periodo funzioni
.

La definizione 1 implica che se T– periodo di funzione
, quindi il numero T anche è il periodo della funzione
(perché durante la sostituzione T sul - T l'uguaglianza è mantenuta). Usando il metodo dell'induzione matematica, si può dimostrare che se T– periodo di funzione f, poi e
, è anche un periodo. Ne consegue che se una funzione ha un periodo, allora ha infiniti periodi.

Definizione 3. Il più piccolo dei periodi positivi di una funzione è detto suo principale periodo.

Teorema 3. Se Tè il periodo principale della funzione f, allora i periodi rimanenti sono multipli di esso.

Prova. Supponiamo il contrario, cioè che ci sia un punto funzioni f (>0), non multiplo T. Poi, dividendo sul T con il resto, otteniamo
, dove
. Ecco perchè

questo è – periodo di funzione f, e
, il che contraddice il fatto che Tè il periodo principale della funzione f. L'asserzione del teorema segue dalla contraddizione ottenuta. Il teorema è stato dimostrato.

È noto che le funzioni trigonometriche sono periodiche. Periodo principale
e
è uguale a
,
e
. Trova il periodo della funzione
. Permettere
è il periodo di questa funzione. Quindi

(perché
.

oror
.

Significato T, determinato dalla prima uguaglianza, non può essere un punto, poiché dipende da X, cioè. è una funzione di X, non un numero costante. Il periodo è determinato dalla seconda uguaglianza:
. Ci sono infiniti periodi
il periodo positivo minimo si ottiene quando
:
. Questo è il periodo principale della funzione
.

Un esempio di una funzione periodica più complessa è la funzione di Dirichlet

Nota che se Tè un numero razionale, quindi
e
sono numeri razionali sotto razionale X e irrazionale quando irrazionale X. Ecco perchè

per qualsiasi numero razionale T. Pertanto, qualsiasi numero razionale Tè il periodo della funzione di Dirichlet. È chiaro che questa funzione non ha periodo principale, poiché esistono numeri razionali positivi arbitrariamente prossimi allo zero (ad esempio, un numero razionale può essere ottenuto scegliendo n arbitrariamente vicino a zero).

Teorema 4. Se funzione f impostato sul set X e ha un periodo T, e la funzione g impostato sul set
, quindi la funzione complessa
ha anche un periodo T.

Prova. Abbiamo quindi

cioè si dimostra l'asserzione del teorema.

Ad esempio, poiché cos X ha un periodo
, quindi le funzioni
avere un periodo
.

Definizione 4. Vengono chiamate le funzioni non periodiche non periodico .