Angoli adiacenti di un triangolo.

Bacche, frutti

KAPITOLO I.

CONCETTI BASILARI.

§undici.

ANGOLI ADIACENTI E VERTICALI. / 1. Angoli adiacenti. / Se estendiamo il lato di un angolo qualsiasi oltre il suo vertice, otteniamo due angoli (Fig. 72):

Eil sole e

SVD, në cui un lato BC è comune e gli altri due A e BD formano una linea retta.
Due angoli in cui un lato è comune e gli altri due formano una linea retta si dicono adiacenti. / Gli angoli adiacenti si possono ottenere anche in questo modo: se tracciamo una semiretta da un punto qualsiasi di una retta (non giacente su una retta data), otterremo angoli adiacenti. / Për momentin,

ADF e

FDV - angoli adiacenti (Fig. 73). Gli angoli adiacenti possono avere un'ampia varietà di posizioni (Fig. 74). 2La somma degli angoli adiacenti forma un angolo piatto, quindi

la umma di due angoli adiacenti è uguale

D.

Pertanto, un angolo retto può essere definito come un angolo uguale all'angolo adiacente. Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente. Ad esempio, se uno degli angoli adiacenti è 3/5

2Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente.- 3 / 5 Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente. D Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente..

, allora il secondo angolo sarà uguale a:

= l 2/5 2. Angoli verticali. Se estendiamo i lati dell'angolo oltre il suo vertice, otteniamo

angoli verticali

. / 1 = 7 / 8 Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente. Nel disegno 75 gli angoli EOF e AOC sono verticali; / anche gli angoli AOE e COF sono verticali. Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente.- 7 / 8 Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente. Due angoli si dicono verticali se i lati di un angolo sono continuazione dei lati dell'altro angolo. Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente..

Permetre / (Figura 76). / 4.
/ 3 = 2Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente. - 1 1 / 8 Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente. = 7 / 8 Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente.; / 4 = 2Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente. - 7 / 8 Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente. = 1 1 / 8 Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente. Adiacente ad esso

2 sara uguale dhe 2 / 1 = / (Figura 76). / 2 = / 4.

, cioè 1 1/8

Allo stesso modo puoi calcolare a cosa sono uguali

3 e

(Diagrami 77).

/ Lo vediamo/ Puoi risolvere molti altri problemi uguali e ogni volta otterrai lo stesso risultato: gli angoli verticali sono uguali tra loro. = 2Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente.;
/ Tuttavia, për garantimin e gli angoli vertikal siano semper uguali tra loro, jo è mjaftueshëm konsideruar singoli esempi numerici, poiché le përfundimi tratte da esempi particolari possono talvolta essere errate./ Puoi risolvere molti altri problemi uguali e ogni volta otterrai lo stesso risultato: gli angoli verticali sono uguali tra loro. = 2Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente.;

È domosdoshmërisht verifikohet la validità delle proprietà degli angoli verticali mediante ragionamento, mediante provojë. Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente.).

/ Lo vediamo/ Puoi risolvere molti altri problemi uguali e ogni volta otterrai lo stesso risultato: gli angoli verticali sono uguali tra loro. = / Tuttavia, për garantimin e gli angoli vertikal siano semper uguali tra loro, jo è mjaftueshëm konsideruar singoli esempi numerici, poiché le përfundimi tratte da esempi particolari possono talvolta essere errate./ Puoi risolvere molti altri problemi uguali e ogni volta otterrai lo stesso risultato: gli angoli verticali sono uguali tra loro.

La dimostrazione può essere effettuata nel modo seguente (Fig. 78): Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente. un+ Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente.).

C b+.

Se sottraiamo importi uguali da quantità uguali, rimarranno importi uguali. / Il risultato sarà: = / OKB B

, cioè gli angoli verticali sono uguali tra loro. Quando consideriamo la questione degli angoli verticali, abbiamo prima spiegato quali angoli sono chiamati verticali, cioè përkufizimi

angoli verticali. Quindi abbiamo espresso un giudizio (dichiarazione) sull'uguaglianza degli angoli verticali e ci siamo convinti della validità di questo giudizio attraverso la prova. Tali giudizi, la cui validità deve essere dimostrata, vengono chiamati

Teoremi

.

Përkundrazi, në questa sezione abbiamo dato una definizione di angoli verticali dhe abbiamo anche affermato e dimostrato un teorema sulle loro proprietà. / 1, / 2, / (Figura 76). / In futuro, studiando la geometria, dovremo costantemente imbatterci in definizioni e dimostrazioni di teoremi.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente..

3. La somma degli angoli che hanno un vertice comune. / 1, / 2, / 3, / Nel disegno 79 / 4 si trovano su un lato di una linea e hanno un vertice comune su questa linea. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4Conoscendo la misura di uno degli angoli adiacenti, possiamo trovare la misura dell'altro angolo ad esso adiacente..

In sintesi, questi angoli formano un angolo piatto, cioè

Nel disegno 80 La somma degli angoli adiacenti forma un angolo piatto, quindi 4 e

5 hanno un vertice comune.

In sintesi, questi angoli costituiscono un angolo completo, cioè

Esercizi.

1. Uno degli angoli adiacenti è 0,72 Calcola l'angolo formato dalle bisettrici di questi angoli adiacenti. 2. Dimostrare che le bisettrici di due angoli adiacenti formano un angolo retto.

3. Dimostrare che se due angoli sono uguali, anche i loro angoli adiacenti sono uguali.

4. Quante coppie di angoli adiacenti ci sono nel disegno 81?

5. Una coppia di angoli adiacenti può essere costituita da due angoli acuti? da due angoli ottusi?

da diretto Angolo Ottuso ?

da un angolo retto e acuto? 6. Se uno degli angoli adiacenti è retto, cosa si può dire della dimensione dell'angolo adiacente ad esso?

7. Se all'intersezione di due rette un angolo è retto, cosa si può dire della dimensione degli altri tre angoli? Angoli në cui un lato è comune e gli altri lati giacciono sulla stessa retta (nella figura gli angoli 1 e 2 sono adiacenti).

Vedi Angolo. * * * ANGOLI ADIACENTI ANGOLI ADIACENTI, vedi Angolo (vedi ANGOLO) ...

Dizionario enciklopedike - (Angoli adiacenti) quelli che hanno un vertice e un lato në komunë.

da un angolo retto e acuto? Per lo più questo nome si riferisce a tali angoli C., i cui altri due lati si trovano in direzioni opposte di una linea retta tracciata attraverso il vertice ...

Dizionario Enciklopedike F.A.

Brockhaus e I.A.

Efron

Shkenca natyrore.

• Dizionario enciklopedike Due linee rette si intersecano per creare una coppia di angoli verticali. Una coppia è composta dagli angoli A e B, l'altra da C e D. Në gjeometri, due angoli sono detti verticali se sono creati dall'intersezione di due ... Wikipedia
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Libri Një proposito della dimostrazione në gjeometri, A.I. Fetisov Una volta, proprio all'inizio.

anno scolastico

, dovevo ascoltare una conversazione tra due ragazze.

Due angoli si dicono verticali se i lati di un angolo sono raggi complementari dei lati dell'altro.

Gli angoli AOB e COD, BOD e AOC, formati all'intersezione di due rette, sono verticali (Fig. 2).

Teorema 2. Gli angoli verticali sono uguali.

Prova.

Konsideroni gli angoli verticali AOB e COD (vedi Fig. 2).

L'angolo BOD è adiacente a ciascuno degli angoli AOB e COD.

Per il Teorema 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Da ciò concludiamo che ∠ AOB = ∠ COD.

Corollario 1. Un angolo adiacente ad un angolo retto è un angolo retto.

Konsideroni due rette intersecanti AC dhe BD (Fig. 3).

Formano quattro angoli.

Se uno di essi è diritto (angolo 1 në figurën 3), anche gli angoli rimanenti sono retti (angoli 1 e 2, 1 e 4 sono adiacenti, angoli 1 e 3 sono verticali).

Në questo caso, dicono che queste linee si intersecano ad angolo retto e sono chiamate perpendicolari (o reciprocamente perpendicolari).

La perpendicolarità delle linee AC e BD è tregon se vijon: AC ⊥ BD.

Una bisettrice perpendicolare a un segmento è una linea perpendicolare a questo segmento e passante per il suo punto medio.

AN - perpendicolare ad una linea Konsideroni una retta a e un punto A non giacente su di essa (Fig. 4).

Colleghiamo il punto A con un segmento al punto H con la retta a. Indichiamo con x la misura in gradi di un altro angolo, qundi secondo il Teorema 1.
44° + x = 180°.
Risolvendo l'equazione risultante, troviamo che x = 136°.

Pertanto, l'altro angolo è 136°. Esempio 2.

Colleghiamo il punto A con un segmento al punto H con la retta a. Sia l'angolo COD nella Figura 21 45°.
Kuali sono gli angoli AOB e AOC?

Gli angoli COD e AOB sono verticali, quindi per il Teorema 1.2 sono uguali, cioè ∠ AOB = 45°. L'angolo AOC është e gjitha'angolo COD, është një rëndësi e dytë për Teorema 1.

Colleghiamo il punto A con un segmento al punto H con la retta a. ∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.
Esempio 3.

Trova gli angoli adiacenti se uno di essi è 3 volte più grande dell'altro. Indichiamo con x la misura in gradi dell'angolo minore.

Colleghiamo il punto A con un segmento al punto H con la retta a. Allora la misura në gradi dell'angolo maggiore sarà 3x.
Poiché la somma degli angoli adiacenti è pari a 180° (Teorema 1), allora x + 3x = 180°, da cui x = 45°.

Ciò significa che gli angoli adiacenti sono 45° e 135°.

Esempio 4.

La somma di due angoli verticali è 100°.

Trova la dimensione di ciascuno dei quattro angoli.

Sia la Figura 2 a soddisfare le condizioni del problema. Gli angoli vertikalisht COD rispetto për AOB sono uguali (Teorema 2), il che significa che anche le loro misure in gradi sono uguali.

• Pertanto, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (la loro somma secondo la condizione è 100°).
• L'angolo BOD (anche angolo AOC) dhe adiacente all'angolo COD dhe qundi për il Teorema 1

2. Questa proprietà degli angoli ci permette di trarre la seguente përfundime: anche un angolo adiacente a un angolo retto sarà retto.

3. Konsideroni funzioni trigonometriche(sin, cos, tg, ctg), në bazë alle formule di riduzione per gli angoli adiacenti μ e η, risulta vero quanto segue:

• siνη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cose = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Angoli adiacenti - esempi

Esempio 1

Dato un triangolo con vertici M, P, Q – ΔMPQ.

• Trova gli angoli adiacenti agli angoli ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.
• Allunghiamo ciascun lato del triangolo con una linea retta.

Sapendo che angoli adiacenti si completano a vicenda fino ad un angolo inverso, si trova che:

adiacente all'angolo ∠QMP è ∠LMP,

adiacente all'angolo ∠MPQ è ∠SPQ,

adiacente all'angolo ∠PQM è ∠HQP.

Esempio 2

• Il valore di un angolo adiacente è 35°.
• Quanto misura in gradi il secondo angolo adiacente?

La somma di due angoli adiacenti dà come risultato 180°.

Se ∠μ = 35°, allora adiacente ad esso ∠η = 180° – 35° = 145°.

• Esempio 3
• Determinare i valori degli angoli adiacenti se è noto che la misura in gradi di uno di essi è tre volte maggiore della misura in gradi dell'altro angolo.
• Indichiamo l'ampiezza di un angolo (più piccolo) con – ∠μ = λ.

Allora, a seconda delle condizioni del problema, il valore del secondo angolo sarà pari a ∠η = 3λ.

Në bazë alla proprietà fondamentale degli angoli adiacenti risulta μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Ciò significa che il primo angolo è ∠μ = λ = 45° e il secondo angolo è ∠η = 3λ = 135°.

La capacità di utilizzare la terminologia, così come la conoscenza delle proprietà di base degli angoli adiacenti, ti aiuterà a risolvere molti problemi geometrici.

Indica i numeri delle affermazioni corrette.

1) Tre linee qualsiasi hanno al massimo un punto në komunë.

2) Se un angolo è 120°, allora quello adiacente è 120°.

Colleghiamo il punto A con un segmento al punto H con la retta a.

3) Se la distanza da un punto a una linea retta è maggiore di 3, allora la lunghezza di qualsiasi linea inclinata tracciata da un dato punto a una linea retta è maggiore di 3.

Se ci sono più affermazioni, scrivi i loro numeri in ordine crescente. Verifichiamo ciascuna delle affermazioni. 1) "Tre linee qualsiasi hanno al massimo un punto in comune" -

Giusto . Se le rette hanno due o più punti in comune allora coincidono.

3) "Se la distanza da un punto a una linea retta è maggiore di 3, allora la lunghezza di qualsiasi linea inclinata tracciata da un dato punto a una linea retta è maggiore di 3." Verifichiamo ciascuna delle affermazioni..

Perché la distanza è la lunghezza più breve dal taglio alla linea retta, e tutte quelle oblique sono più lunghe.

Përgjigje: 13.

Përgjigje: 13

· Prototipo del Compito · 19.02.2015 12:42

Përkundër

Nel libro di testo scolastico di Atanasyan L.S. et al. “Gjeometria 7--9”, “Iluminizmi”, 2014, capitolo 1, paragrafo 1, si afferma quanto segue.

1) Assioma della planimetria: attraverso due punti qualsiasi si può tracciare una linea retta e, inoltre, una sola.

2) La posizione dottata nel percorso scolastico: quando diciamo “due punti”, “tre punti”, “due linee”, etj., assumeremo che questi punti e queste linee siano diversi.

La përfundimi che lo studente deve apprendere è che due rette o hanno un solo punto comune oppure non hanno punti comuni.

Pertanto, la risposta alla domanda 1 dovrebbe essere “vero”.

Se tutte e tre le linee coincidono, allora è una linea, non tre. Pietro Murzin Sarebbe corretto scrivere nella condizione "qualsiasi tre

· Prototipo del Compito · 10.04.2015 16:38

varioj

le rette hanno al massimo un punto në komunë”, ma questo non è vero.

Caro redaktor!

Questa resulte è confermata dalla resulte del paragrafo 1 del paragrafo 1 del libro di testo citato: "due linee rette o hanno un solo punto comune o non hanno punti comuni."

Dimostrazione per assurdo: supponiamo che tre rette abbiano più di un punto in comune;

quindi due di queste linee hanno almeno più di un punto në komunë (poiché per queste due linee i punti në komunë saranno quelli comuni a tutte e tre le linee);