Significato geometrico del differenziale di una funzione di due variabili.

rasti $E \nëngrupi \mathbb(R)^(n)$. Dicono che $f$ lo ha fatto

Vendi Massimo nel punto $x_(0) \in E$, se esiste un intorno $U$ del punto $x_(0)$ përrallë che per ogni $x \in U$ la disuguaglianza $f\left(x\right ) \leqslant f è soddisfatto \left(x_(0)\djathtas)$. Viene chiamato il massimo locale< f\left(x_{0}\right)$.

rigoroz
, se l'intorno $U$ può essere scelto në modo che per ogni $x \in U$ diverso da $x_(0)$ si $f\majtas(x\djathtas) Përkufizimi Si $f$ një funksion i vërtetë i plotë për $E \nëngrup \mathbb(R)^(n)$.

Dicono che $f$ lo ha fatto

vendndodhja minimale

nel punto $x_(0) \in E$, se esiste un intorno $U$ del punto $x_(0)$ përrallë che per ogni $x \in U$ la disuguaglianza $f\left(x\right ) \geqslant f \left(x_(0)\djathtas)$.
Un minimo locale si zare stretto se si può scegliere un intorno $U$ përrallë për ogni $x \in U$ diverso da $x_(0)$ esiste $f\left(x\djathtas) > f\left(x_ ( 0)\destra)$.

L'estremo locale combina dhe concetti di minimo locale dhe massimo locale.
Teorema (kondizione e nevojshme per l'estremo di una funzione differenziabile)
Si $f$ një funksion i vërtetë i plotë për $E \nëngrup \mathbb(R)^(n)$. Se nel punto $x_(0) \in E$ la funzione $f$ ha un estremo locale in questo punto, allora $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Il differenziale uguale një barazvlerë zero al fatto che tutti sono uguali a zero, cioè $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$ Nel caso unidimensionale questo è – .

rigoroz
Indichiamo $\phi \left(t\djathtas) = ​​f \left(x_(0)+th\djathtas)$, dove $h$ è un vettore arbitrario. Funzione $\phi$ është definitivisht për vlerën e $t$ të mjaftueshëm piccoli në vlerën e assoluto. le funzioni $f$ sono quei punti në cui $f$ jo è differenziabile o è uguale një zero.

Se il punto è stazionario, non ne consegue che la funzione abbia un estremo in questo punto.
Esempio 1.

Sia $f \majtas(x,y\djathtas)=x^(3)+y^(3)$.
Quindi $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, quindi $\left(0,0\djathtas)$ è un punto stazionario, ma la funzione non ha estremi a questo punto.

Infatti $f \left(0,0\djathtas) = ​​0$, ma è facile vedere che in ogni intorno del punto $\left(0,0\djathtas)$ la funzione supozojmë sia valori positivi che negativi.
Esempio 2.

1. La funzione $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ha un punto stazionario nella sua origine, ma è chiaro che in questo punto non c'è alcun estremo.
2. Teorema (condizione mjaftueshme per l'estremo).

Mund të funksionojë $f$ për shkak të ndryshimit të volit në mënyrë të vazhdueshme të plotë për $E \nëngrup \mathbb(R)^(n)$.<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>Sia $x_(0) \in E$ un punto stazionario dhe $$\shfaqja e stilit Q_(x_(0)) \left(h\djathtas) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Allora
se $Q_(x_(0))$ – , allora la funzione $f$ nel punto $x_(0)$ ha un estremo locale, cioè un minimo se la forma è definita positiva e un massimo se la forma è definito negative;
se la forma kuadratica $Q_(x_(0))$ jo è definita, allora la funzione $f$ nel punto $x_(0)$ non ha estremi.<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$ 0. Quindi otteniamo $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^( 2) \lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\djathtas) \djathtas] = \frac(1)(2) t^( 2) \left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\djathtas) \djathtas].$$ Per $t>0$ mjaftueshem piccolo, la mano destra il lato è positivo.
Kjo do të thotë se duhet të vlerësohet në mënyrë të drejtë për $x_(0)$ funzione $f$ supozojmë vlerën $f \left(x\djathtas)$ maggiori di $f \left(x_(0)\djathtas)$.

Gjithçka stesso modo, troviamo che in qualsiasi intorno del punto $x_(0)$ në funzione $f$ supozojmë vlerën më të ulët në $f \left(x_(0)\djathtas)$.

Questo, insieme al precedente, do të thotë që $x_(0)$ në funzione $f$ nuk ka estremo.
Konsideroni një rast të veçantë për questo teorema për funzione $f \left(x,y\right)$ për shkak të variabili, definita in qualche intorno del punto $\left(x_(0),y_(0)\right )$ e aventi derivat parziali vazhdim del primo e del secondo ordine.

1. Supponiamo che $\left(x_(0),y_(0)\right)$ sia un punto stazionario e indichiamo $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\djathtas), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0 ), y_(0)\djathtas), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\djathtas ) .$$ Allora il teorema precedente supozoj la forma seguente.<0$;
2. Teorema<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Sia $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$.

Poi:

1. se $\Delta>0$, allora la funzione $f$ ha un estremo locale nel punto $\left(x_(0),y_(0)\right)$, cioè un minimo se $a_(11)> 0$ e massimo se $a_(11)
2. se $\Delta
3. Esempi di risoluzione dei problemi

1. Algoritmo per trovare l'estremo di una funzione di molte variabili:
   Trovare punti stazionari;

   Troviamo le derivat parziali di 1° ordine: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\ e pjesshme f)(\ e pjesshme y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ Komponimi dhe sistemi i risolviimit: $$\displaystyle \begin(rastet)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\fund(rastet) \Rightshigjeta \fillimi(rastet)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\fund(rastet) \Rightshigjeta \fillimi(rastet)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(rastet)$$ Dalla seconda equazione esprimiamo $x=4 \cdot y^(2)$ - sostituiamolo nella prima equazione: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \djathtas )^ (2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $y \majtas (8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Si otengono quindi 2 punti stazionari:
   1) $y=0 \Djathtas shigjeta x = 0, M_(1) = \majtas(0, 0\djathtas)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Djathtas y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Djathtas shigjetë x=1 , M_(2) = \sinistra(\frac(1)(2), 1\destra)$
   Kontrolli i kondicionit të mjaftueshëm për un estremo è soddisfatta:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x;
   \frac(\partial^(2) f)(\partial x \pjesshëm y)=-6;
   \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Për il punto $M_(1)= \majtas(0,0\djathtas)$:<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\djathtas)=0;
   B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \pjesshëm y) \left(0,0\djathtas)=-6;
   C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\djathtas)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36
   

2. 2) Për çdo $M_(2)$:
   Trovare punti stazionari;

   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\djathtas)=6;
   Sistemi i komponimit dhe risolviamo: $$\displaystyle \fillimi(rastet)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(rastet) \Shigjeta djathtas \fillimi(rastet)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\fund (rastet) \Rightshigjeta \fillimi (rastet) y = 2\\y + x = 1\fund(rastet) \Djathtas x = -1$$
   $M_(0)\majtas(-1, 2\djathtas)$ è un punto stazionario.
   Kontrolli i kondicionit të mjaftueshëm për l'estremo dhe disfatta: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\djathtas)=0 ;
   B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \pjesshëm y) \left(-1,2\djathtas)=2;<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\djathtas)=2;$$
   

$A \cpunto B — C^(2) = -4

Risposta: non ci sono estremi.

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La funzione $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ ha un estremo

Giusto

CALCOLO DIFFERENZIALE DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. Koncetti e definizioni në bazë.

Quando konsiderate le funzioni di più variabili, ci limiteremo a una descrizione dettagliata delle funzioni di due variabili, perché tutti i risultati ottenuti saranno validi per funzioni di un numero arbitrario di variabili. Se ciascuna coppia di numeri (x, y) indipendenti l'uno dall'altro da un certo insieme, secondo qualche regola, è associata a uno o più valori della variabile z, allora viene chiamata la variabile z funzione di due variabili. Se una coppia di numeri (x, y) corrisponde a un valore z, viene chiamata la funzione.

i padyshimtë, e se più di uno, allora –

polisemantico M 0 (x 0, y 0) di raggio r è l'insieme di tutti i punti (x, y) che soddisfano la condizione.

Viene chiamato il numero A të kufizuar funzione f(x, y) poiché il punto M(x, y) tende al punto M 0 (x 0, y 0), se per ogni numero e > 0 esiste un numero r > 0 tale che per ogni punto M (x , y), per cui la condizione è vera

anche la condizione è vera .

Scrivi:

Sia il punto M 0 (x 0, y 0) ad appartenere al dominio di definitione della funzione f(x, y). Quindi viene chiamata la funzione z = f(x, y). vazhdimësi

(1)

nel punto M 0 (x 0, y 0), se

ed il punto M(x, y) tende al punto M 0 (x 0, y 0) në mënyrë arbitrare. Se in qualsiasi punto la condizione (1) non è soddisfatta, allora viene chiamato questo punto punto di rottura

funzioni f(x, y).

Ciò può verificarsi nei seguenti casi:

1) La funzione z = f(x, y) non è definita nel punto M 0 (x 0, y 0).

2) Non c'è limite.

3) Questo limite esiste, ma non è uguale a f(x 0 , y 0). Proprietà delle funzioni di più variabili legate alla loro continuità.

Pronësia.

Se la funzione f(x, y, ...) è definita e continua in un dominio chiuso e limitato D, allora esiste almeno un punto in questo dominio

N(x 0 , y 0 , …), përrallë che per i restanti punti la disuguaglianza sia vera

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

così come il punto N 1 (x 01, y 01, ...), tale che per tutti gli altri punti la disuguaglianza è vera f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …) allora f(x 0 , y 0 , ...) = M - valore più alto funzioni e f(x 01 , y 01 , ...) = m –

valore più piccolo

3) Questo limite esiste, ma non è uguale a f(x 0 , y 0). funzioni f(x, y, …) nel dominio D.

Una funzione continua in un dominio chiuso e limitato D raggiunge il suo valore massimo almeno una volta e il suo valore minimo una volta.

Se la funzione f(x, y, …) è definita e continua in un dominio chiuso e limitato D, e M e m sono, rispettivamente, il valore più grande e più piccolo della funzione in questo dominio, allora per qualsiasi punto m O c 'è un punto

3) Questo limite esiste, ma non è uguale a f(x 0 , y 0). N 0 (x 0 , y 0 , …) përrallë che f(x 0 , y 0 , …) = m. In poche paraole, una funzione continua supozojmë nel dominio D tutti i valori intermedi tra M e m. Una conseguenza di questa proprietà può essere la resulte che se i numeri M e m hanno segni diversi, allora nel dominio D la funzione svanisce almeno una volta. .

3) Questo limite esiste, ma non è uguale a f(x 0 , y 0). Funzione f(x, y, …), vazhdim në un dominio chiuso e limitato D, limitato në zonën e kërkimit, ad es.

per ogni numero positivo e esiste un numero D > 0 tale che per due punti qualsiasi (x 1, y 1) e (x 2, y 2) della regione situata a distanza minore di D, vale la disuguaglianza

2. Derivat parziali. Derivat parziali di ordine superiore.

Sia data la funzione z = f(x, y) në qualche dominio.

.

Prendiamo un punto arbitrario M(x, y) dhe impostiamo l'incremento Dx sulla variabile x. Quindi viene chiamata la quantità D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y). incremento parziale della funzione në x.

Skriver Puoi

Poi si chiama

derivata parziale funzioni z = f(x, y) në x.

Përcaktimi:

La derivata parziale di una funzione rispetto a y viene determinata in modo simile. Senso geometrico

la derivata parziale (diciamo) è la tangente dell'angolo di inclinazione della tangente tracciata nel punto N 0 (x 0, y 0, z 0) alla sezione della siperficie dal piano y = y 0. Se una funzione f(x, y) è definita në qualche dominio D, allora anche le sue derivat parziali saranno definite nello stesso dominio o parte di esso.

Chiameremo questi derivati

Derivat parziali del primo ordine. Le derivat di quest funzioni saranno Derivat parziali del secondo ordine.

Continuando a differenziare le uguaglianze risultanti, otteniamo derivat parziali di ordine superiore. Rrjedh parziali della forma

eccetera.

sono chiamati

…………………

derivati ​​misti.

Teorema. Se la funzione f(x, y) e le sue derivate parziali sono definite e vazhdoj nel punto M(x, y) e nelle sue vicinanze, allora è vera la seguente relazione: Quelli.

le derivat parziali di ordine superiore non dipendono dall'ordine di differenziazione. I differenziali di ordine superiore sono definiti në modo simile. Qui n è la potenza simbolica della derivata, che viene sostituita dalla potenza reale dopo aver elevato ad essa l'espressione tra parentesi.

Komplet diferencial. Significato gjeometrike

differenziale kompleto.

Piano tangente e normale alla superficie.. L'espressione si chiama në rritje të plotë në funzioni f(x, y) në un punto (x, y), dove a 1 e a 2 sono funzioni infinitesime per Dх ® 0 e Dу ® 0, rispettivamente.

Komplet diferencial la funzione z = f(x, y) è detta parte lineare principale rispetto a Dх e Dу dell'incremento della funzione Dz nel punto (x, y). I differenziali di ordine superiore sono definiti në modo simile. .

Për një funzione di un numero arbitrario di variabili:

Allora otteniamo, utilizzando il teorema di Lagrange

Perché le derivate parziali sono vazhdim, quindi possiamo scrivere le uguaglianze:

Përkufizimi. L'espressione si chiama I differenziali di ordine superiore sono definiti në modo simile. Qui n è la potenza simbolica della derivata, che viene sostituita dalla potenza reale dopo aver elevato ad essa l'espressione tra parentesi.

Përkufizimi: Komplet diferencial la funzione z = f(x, y) è detta lineare principale rispetto agli incrementi Dх e Du della funzione Dz nel punto (x, y).

differenziale kompleto.

Esempio.

Trova il differenziale completo della funzione. Esempio.

Trovare il differenziale completo di una funzione

Significato geometrico del differenziale totale.

Piano tangente e normale alla superficie.

normale

piano tangente normale Siano N e N 0 punti di questa superficie.

Përkufizimi. Disegniamo una linea retta NN 0. Si chiama il piano che passa per il punto N 0 alla superficie se l'angolo tra la secante NN 0 e questo piano tende a zero, quando la distanza NN 0 tende a zero.

Normale

alla superficie nel punto N 0 c'è una linea retta passante per il punto N 0 perpendicolare al piano tangente a questa sipërfaqësor.

In ogni punto la superficie ha un solo piano tangente oppure non lo ha affatto.

derivata parziale Se la superficie è data dall'equazione z = f(x, y), dove f(x, y) è una funzione differenziabile nel punto M 0 (x 0, y 0), il piano tangente nel punto N 0 ( x 0 ,y 0, ( x 0 ,y 0)) kjo është e barabartë:

L'equazione della normale alla siperficie a questo punto è:

Esempio il differenziale totale di una funzione a due variabili f(x, y) nel punto (x 0, y 0) è l'incremento dell'applicata (koordinata z) del piano tangente alla superficie quando ci si sposta dal punto (x 0 , y 0) al punto (x 0 + Dx, y 0 + Dу).

Come puoi vedere, il significato geometrico del differenziale totale di una funzione di due variabili è un analogo spaziale del significato geometrico del differenziale di una funzione di una variabile.

Trova le equazioni del piano tangente e normale alla superficie

Nel punto M(1, 1, 1).

Ekuacioni i tangjentit të pianos:

Ekuacioni normal: Derivat parziali di ordine superiore. Sia presente un insieme X nello spazio. Ogni punto di questo insieme è determinato da un insieme di numeri che sono le koordinate di quel punto. .

Diremo che una funzione di n-variabili è data sull'insieme X se ogni punto secondo una certa legge è messo in accordo

singulare z, ciè Esempio: .

Përkufizimi: siano x 1, x 2, x 3 la lunghezza, la larghezza e la profondità della piscina. Rispetto a una variabile è la derivata di una funzione z rispetto alla variabile, calcolata a condizione che tutte le altre variabili rimangano costanti.

Derivata parziale.

Esempio

Per una funzione di due variabili possiamo quindi introdurre quattro derivat parziali del secondo ordine

1., si legge: due z due volte.

Teorema le derivat miste, pëllumb sono vazhdo, non dipendono dall'ordine in cui vengon calcolate le derivat.

Përcaktimi:

La derivata parziale di una funzione rispetto a y viene determinata in modo simile. Senso geometrico

la derivata parziale (diciamo) è la tangente dell'angolo di inclinazione della tangente tracciata nel punto N 0 (x 0, y 0, z 0) alla sezione della siperficie dal piano y = y 0. Se una funzione f(x, y) è definita në qualche dominio D, allora anche le sue derivat parziali saranno definite nello stesso dominio o parte di esso.

Chiameremo questi derivati

Komplet diferencial Ciò è vero per le derivat miste di qualsiasi ordine e per una funzione di qualsiasi numero di variabili. Le derivat di quest funzioni saranno Derivat parziali del secondo ordine.

Teorema Rrjedh parziali della forma

Se la funzione f(x, y) e le sue derivat parziali sono definite e vazhdoj nel punto M(x, y) e nelle sue vicinanze, allora vale la seguente relazione: . allora viene chiamato il punto M 0

punto minimo. Teorema ( Le condizioni necessarie estremo)

Se la funzione f(x,y) nel punto (x 0, y 0) ha un estremo, allora a questo punto entrambe le sue derivat parziali del primo ordine sono uguali a zero, oppure almeno una di esse non esiste. Chiameremo questo punto (x 0, y 0).

punto kritike Teorema (Condizioni mjaftueshme per un estremo)

Sia nell'intorno del punto kritiko (x 0, y 0) che la funzione f(x, y) abbia derivat parziali vazhdim fino al secondo ordine compreso.

Konsideroni shtypjen:

1) Se D(x 0 , y 0) > 0, allora nel punto (x 0 , y 0) la funzione f(x, y) ha estremo se

2) - 0, allora nel punto (x 0, y 0) la funzione f(x, y) non ha estremi

Se D = 0, jo si può trarre alcuna resulte sulla presenza di un estremo. Il significato geometrico del differenziale totale di una funzione di due variabili f(x, y) nel punto (x 0, y 0) è l'incremento dell'applicata (koordinata z) del piano tangente alla superficie quando ci si sposta dal punto ( x 0, y 0) al punto (x 0 + Dх, y 0 + Dу).

Derivat parziali di ordine superiore.

: Përkufizimi. Ciò è vero per le derivat miste di qualsiasi ordine e per una funzione di qualsiasi numero di variabili. Se una funzione f(x, y) è definita në qualche dominio D, allora anche le sue derivat parziali saranno definite nello stesso dominio o parte di esso. Chiameremo queste derivat derivat parziali del primo ordine.:

Le derivat di queste funzioni saranno derivat parziali del secondo ordine.

derivati ​​misti.

14. Continuando a differenziare le uguaglianze risultanti, otteniamo derivat parziali di ordine superiore.

piano tangente normale Siano N e N 0 punti di questa superficie.

Përkufizimi. Disegniamo una linea retta NN 0. Si chiama il piano che passa per il punto N 0 alla superficie se l'angolo tra la secante NN 0 e questo piano tende a zero, quando la distanza NN 0 tende a zero.

Normale

Se la superficie è data dall'equazione z = f(x, y), dove f(x, y) è una funzione differenziabile nel punto M 0 (x 0, y 0), normale nel punto N 0 (x 0 ,y 0, (x 0 ,y 0)) esiste e ha l'equazione:

Equazione della normale alla superficie a questo punto:

derivata parziale Se la superficie è data dall'equazione z = f(x, y), dove f(x, y) è una funzione differenziabile nel punto M 0 (x 0, y 0), il piano tangente nel punto N 0 ( x 0 ,y 0, ( x 0 ,y 0)) kjo është e barabartë:

L'equazione della normale alla siperficie a questo punto è:

16. Campo scalare e sue caratteristiche. Linee del livello, derivat nella direzione, gradiente del campo scalare.

Se ogni punto nello spazio è associato a una quantità scalare, allora si forma un campo scalare (ad esempio, un campo di temperatura, un campo di potenziale elettrico). Se vengono immesse le koordinate cartesiane, indicano anche o Il campo può essere piatto se è centrale (sferico)se

cilindrico se Superfici e linee livellate: le proprietà dei campi scalari possono essere studiate visivamente utilizzando superfici livellate. Si tratta di superfici dello spazio sulle quali supozojmë un valore costante.

La loro equazione è:

. Në un campo scalare piatto, le linee di livello sono curve su cui il campo supozojmë un valore costante: Në alcuni casi, le linee di livello possono degenerare në punti e le superfici livellate në punti e kurbë.

17. Derivata direzionale dhe gradiente di un campo scalare:

Sia il vettore unitario con koordine un campo scalare.

La derivata direzionale caratterizza la variazione del campo in una determinata direzione e si calcola utilizzando la formula La derivata direzionale è il prodotto scalare di un vettore e un vettore con koordinate<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(x0;y0).

Il valore della funzione nel punto di massimo (minimo) è chiamato massimo (minimo) della funzione.

(1) Il massimo e il minimo di una funzione si chiamano estremi.

Si noti che, per definizione, il punto estremo della funzione si trova all'interno del dominizione di definitione della funzione;

(2) massimo e minimo hanno un carattere locale (lokale): il valore della funzione nel punto (x0; y0) viene confrontato con i suoi valori nei punti mjaftueshëm vicini a (x0; y0). Nella regione D, una funzione può avere più estremi o nessuno.

Condizioni necessarie(1) e mjaftueshme (2) per l'esistenza:< 0; минимум, если А > 0;

Se nel punto N(x0;y0) la funzione differenziabile z=ƒ(x;y) ha un estremo, allora le sue derivat parziali in questo punto sono uguali a zero: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0)=0.< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Komento.

Significato geometrico del differenziale totale.

normale

piano tangente normale Siano N e N 0 punti di questa superficie.

Përkufizimi. Disegniamo una linea retta NN 0. Si chiama il piano che passa per il punto N 0 alla superficie se l'angolo tra la secante NN 0 e questo piano tende a zero, quando la distanza NN 0 tende a zero.

Normale

alla superficie nel punto N 0 c'è una linea retta passante per il punto N 0 perpendicolare al piano tangente a questa sipërfaqësor.

Una funzione può avere un estremo nei punti in cui almeno una delle derivate parziali non esiste.

derivata parziale Il punto në cui le derivat parziali del primo ordine della funzione z ≈ ƒ(x; y) sono uguali a zero, cioè f"x=0, f"y=0, è detto punto stazionario della funzione z.

L'equazione della normale alla siperficie a questo punto è:

Trova il differenziale completo della funzione. il differenziale totale di una funzione a due variabili f(x, y) nel punto (x 0, y 0) è l'incremento dell'applicata (koordinata z) del piano tangente alla superficie quando ci si sposta dal punto (x 0 , y 0) al punto (x 0 + Dx, y 0 + Dу).

I punti stazionari e i punti in cui non esiste almeno una derivata parziale sono detti punti kritiki

Trova le equazioni del piano tangente e normale alla superficie

Sia la funzione ƒ(x;y) in un punto stazionario (xo; y) e alcuni dei suoi dintorni abbiano derivat parziali vazhdim fino al secondo ordine compreso.

Calcoliamo nel punto (x0;y0) dhe valori A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) .

Denotiamo

Poi:

1. se Δ > 0, allora la funzione ƒ(x;y) nel punto (x0;y0) ha estremo: massimo se A

Trova il differenziale completo della funzione. 2.se Δ

3. Nel caso di Δ = 0, può esserci o meno un estremo nel punto (x0;y0).

Sono necessarie ulteriori ricerche.

L'equazione della normale alla siperficie a questo punto è:

il differenziale totale di una funzione a due variabili f(x, y) nel punto (x 0, y 0) è l'incremento dell'applicata (koordinata z) del piano tangente alla superficie quando ci si sposta dal punto (x 0 , y 0) al punto (x 0 +x, 0 +у).

Il differenziale totale della funzione dhe uguale a:

Il valore esatto di questa espressione è 1.049275225687319176.

20.5.

Përcaktimi:

La derivata parziale di una funzione rispetto a y viene determinata in modo simile. Senso geometrico

la derivata parziale (diciamo) è la tangente dell'angolo di inclinazione della tangente tracciata nel punto N 0 (x 0, y 0, z 0) alla sezione della siperficie dal piano y = y 0. Se una funzione f(x, y) è definita në qualche dominio D, allora anche le sue derivat parziali saranno definite nello stesso dominio o parte di esso.

Chiameremo questi derivati

Përkufizimi. Ciò è vero per le derivat miste di qualsiasi ordine e per una funzione di qualsiasi numero di variabili. Le derivat di quest funzioni saranno Derivat parziali del secondo ordine.

Continuando a differenziare le uguaglianze risultanti, otteniamo derivat parziali di ordine superiore. Rrjedh parziali della forma

eccetera.

sono chiamati

…………………

derivati ​​misti.