Eja calcolare l'area di un calcolatore treangolare.

rasti

Concetto di zona

Il concetto di area di qualsiasi figura geometrica, in particolare un triangolo, sarà associato a una figura come un quadrato. Per unità di zone di qualsiasi figura geometrica prenderemo l'area di un quadrato il cui lato è uguale a uno.

Për kompletimin e ricordiamo due proprietà fondamentali per il concetto di aree delle figure geometriche. Pronësia 1:

Se le figure geometriche sono uguali, anche le loro aree sono uguali.

Pronësia 2:

Qualsiasi figura può essere divisa në figurën più.

Inoltre, l'area della figura originale è uguale alla somma delle aree di tutte le sue figure costituenti.

Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio 1

Ovviamente, nga një lati del triangolo è la diagonale di un rettangolo, un lato del quale ha una lunghezza di $5$ (poiché ci sono celle da $5$), dhe l'altro è $6$ (poiché ci sono celle da $6$) .

Pertanto, l'area di questo triangolo sarà uguale alla metà di tale rettangolo.

Zona e Rettangolo è

Quindi l'area del triangolo è uguale a

Kostoja: 15 dollarë.

Successivamente, konsideroni metoda të ndryshme për trovare le aree dei triangoli, vale a dire utilizzando l'altezza e la base, utilizzando la formula di Erone e l'area di un triangolo equilatero.

Come trovare l'area di un triangolo utilizzando l'altezza e la base

Teorema 1

L'area di un triangolo può essere trovata come la metà del prodotto della lunghezza di un lato per l'altezza di quel lato.

Matematicamente sembra così

$S=\frac(1)(2)αh$

pëllumb $a$ è la lunghezza del lato, $h$ è l'altezza che lo raggiunge.

Prova.

Konsideroni një trekëndësh $ABC$ në cui $AC=α$.

Da questo lato viene disegnata l'altezza $BH$, che è uguale a $h$.

Costruiamolo fino al quadrato $AXYC$ vjen në Figura 2.

Zona e rettangolo $AXBH$ è $h\cdot AH$ dhe zona e rettangolo $HBYC$ è $h\cdot HC$.

Kostoja: 40,5 dollarë.

Formula e Erone

Teorema 2

Se ci vengono dati tre lati di un triangolo $α$, $β$ e $γ$, la sua area può essere trovata come segue

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Qui $ρ$ indica il semiperimetro di questo triangolo.

Come trovare l'area di un triangolo utilizzando l'altezza e la base

Konsideroni la seguente figura:

Per il teorema di Pitagora, dal triangolo $ABH$ si ottiene

Dal triangolo $CBH$, sekondë il teorema di Pitagora, abbiamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Da queste due relazioni si ottiene l'uguaglianza

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Poiché $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, allora $α+β+γ=2ρ$, che significa

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2)$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Sipas Teoremës 1, Oteniamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Su Internet puoi trovare oltre 10 formule per calcolare l'area di un triangolo. Molte di esse vengono utilizzate in problemi con i lati e gli angoli noti di un triangolo.

Tuttavia, ci sono una serie di esempi complessi in cui, a seconda delle condizioni dell'assegnazione, sono noti solo un lato e gli angoli di un triangolo, oppure il raggio di un cerchio circoscritto o inscritto e un'al.
Në questi casi nuk është e mundur të aplikohet një formula e thjeshtë.
Formula fornite di seguito ti permetteranno di risolvere il 95% dei problemi në cui devi trovare l'area di un triangolo.

Passiamo ora një konsideratë e formulës së delle aree comuni.
Konsideroni il triangolo mostrato nella figura seguente
Nella figura e sotto nelle formule vengono introdotte le designazioni classiche di tutte le sue caratteristiche.
a,b,c – lati del triangolo,
R – raggio del cerchio circoscritto,
r – raggio del cerchio inscritto,

h[b],h[a],h[c] – citat tracciate secondo i lati a,b,c.

alfa, beta, hamma – angoli vicini ai vertici.

Formula e bazës për zonën e trekëndëshit
1. L'area è uguale alla metà del prodotto del lato del triangolo e dell'altezza abbassata su questo lato.

2. Se teniamo conto che l'altezza di un triangolo passante per il lato adiacente è espressa dalla dipendenza

Quindi la prima formula dell'area è seguita dalle seconde dello stesso tipo

Osserva attentamente le formule: sono facili da ricordare, poiché il lavoro coinvolge due lati e l'angolo tra di loro. Se designiamo correttamente i lati e gli angoli del triangolo (come nella figura sopra), otterremo due lati a, b e l'angolo dhe connesso al terzo

Con (hamma).

3. Per gli angoli di un triangolo la relazione è vera

La dipendenza consente di utilizzare le seguenti formule per l'area di un triangolo nei calcoli:

Esempi di questa dipendenza sono estremamente rari, ma devi ricordare che esiste una formula del genere.

4. Se si conoscono il lato e due angoli adiacenti, l'area viene trovata con la formula

5. La formula per l'area in termini di lato e cotangente di angoli adiacenti è la seguente

Riorganizzando gli indici è possibile ottenere dipendenze per altre parti.

6. La formula dell'area seguente viene utilizzata nei problemi in cui i vertici di un triangolo sono specificati sul piano mediante koordinate. Në questo caso l'area è pari alla metà del determinante preso modulo.
7.Formula di Erone

utilizzato negli esempi con i lati noti di un triangolo.

Për prima cosa trova il semiperimetro del triangolo

E quan përcaktimin e zonës së përdorimit të formulës

O

Viene spesso utilizzato nel codice dei programmi di calcolo.

8. Se tutte le altezze del triangolo sono note, l'area è determinata dalla formula

È difficile calcolare su una calcolatrice, ma nei pacchetti MathCad, Mathematica e Maple l'area è “tempo due”.

9. Le seguenti formule utilizano i raggi noti dei cerchi inscritti e circoscritti.

Në veçanti, se si conoscono il raggio e i lati del triangolo, oppure il suo perimetro, allora l'area si calcola secondo la formula

10. Negli esempi in cui vengono forniti i lati e il raggio o il diametro del cerchio circoscritto, l'area si trova utilizzando la formula
11. La seguente formula determina l'area di un triangolo in termini di lato e angoli del triangolo. E infine - casi speciali:

Zona e një trekëndëshi retangolo=

con le gambe a e b pari alla metà del loro prodotto

Për përcaktimin e zonës së trekëndëshit, mund të përdoret formulë e larmishme.

Tra tutti i metodi, quello più semplice e utilizzato è quello di moltiplicare l'altezza per la lunghezza della base e poi dividere il risultato per due.

Tuttavia, questo metodo non è l'unico.

Di seguito puoi leggere come trovare l'area di un triangolo utilizzando formula të ndryshme.

• Separatamente, esamineremo i modi per calcolare l'area di tipi specifici di triangoli: rettangolari, isosceli ed equilateri.
• Acompagniamo ogni formula con una breve spiegazione che ti aiuterà a comprenderne l'essenza.
• Metodi universali per trovare l'area di un triangolo
• Le formule seguenti utilizano notazioni speciali.
• Decifreremo ciascuno di essi:
• a, b, c – le lunghezze dei tre lati della figura che stiamo considerando;
• r è il raggio del cerchio inscrivibile nel nostro triangolo;
• R è il raggio del cerchio che si può descrivere attorno ad esso;

α è l'ampiezza dell'angolo formato dai lati b e c;

β è l'ampiezza dell'angolo tra a e c;

γ è l'ampiezza dell'angolo formato dai lati aeb;

h è l'altezza del nostro triangolo, abbassata dall'angolo α al lato a;

p – metà della somma dei lati a, b e c.

Secondo questa formula, il valore di cui abbiamo bisogno può essere trovato dividendo il prodotto dei lati della figura per 4 raggi del cerchio descritto attorno ad essa.

Queste formule sono universali, poiché consentono di determinare l'area di qualsiasi treangolo (shkallë, izoscele, equilatero, rettangolare).

Questo può essere fatto utilizzando calcoli più complessi, sui quali non ci soffermeremo in dettaglio.

Aree di triangoli con proprietà teknike

Come trovare l'area di un triangolo rettangolo?

La particolarità di questa figura è che i suoi due lati sono contemporaneamente le sue altezze.

rasti

Concetto di zona

Il concetto di area di qualsiasi figura geometrica, in particolare un triangolo, sarà associato a una figura come un quadrato. Per unità di zone di qualsiasi figura geometrica prenderemo l'area di un quadrato il cui lato è uguale a uno.

Për kompletimin e ricordiamo due proprietà fondamentali per il concetto di aree delle figure geometriche. Pronësia 1:

Se le figure geometriche sono uguali, anche le loro aree sono uguali.

Pronësia 2:

Qualsiasi figura può essere divisa në figurën più.

Inoltre, l'area della figura originale è uguale alla somma delle aree di tutte le sue figure costituenti.

Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio 1

Ovviamente, nga një lati del triangolo è la diagonale di un rettangolo, un lato del quale ha una lunghezza di $5$ (poiché ci sono celle da $5$), dhe l'altro è $6$ (poiché ci sono celle da $6$) .

Pertanto, l'area di questo triangolo sarà uguale alla metà di tale rettangolo.

Zona e Rettangolo è

Quindi l'area del triangolo è uguale a

Kostoja: 15 dollarë.

Successivamente, konsideroni metoda të ndryshme për trovare le aree dei triangoli, vale a dire utilizzando l'altezza e la base, utilizzando la formula di Erone e l'area di un triangolo equilatero.

Come trovare l'area di un triangolo utilizzando l'altezza e la base

Teorema 1

L'area di un triangolo può essere trovata come la metà del prodotto della lunghezza di un lato per l'altezza di quel lato.

Matematicamente sembra così

$S=\frac(1)(2)αh$

pëllumb $a$ è la lunghezza del lato, $h$ è l'altezza che lo raggiunge.

Prova.

Konsideroni një trekëndësh $ABC$ në cui $AC=α$.

Da questo lato viene disegnata l'altezza $BH$, che è uguale a $h$.

Costruiamolo fino al quadrato $AXYC$ vjen në Figura 2.

Zona e rettangolo $AXBH$ è $h\cdot AH$ dhe zona e rettangolo $HBYC$ è $h\cdot HC$.

Kostoja: 40,5 dollarë.

Formula e Erone

Teorema 2

Se ci vengono dati tre lati di un triangolo $α$, $β$ e $γ$, la sua area può essere trovata come segue

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Qui $ρ$ indica il semiperimetro di questo triangolo.

Come trovare l'area di un triangolo utilizzando l'altezza e la base

Konsideroni la seguente figura:

Per il teorema di Pitagora, dal triangolo $ABH$ si ottiene

Dal triangolo $CBH$, sekondë il teorema di Pitagora, abbiamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Da queste due relazioni si ottiene l'uguaglianza

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Poiché $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, allora $α+β+γ=2ρ$, che significa

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2)$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Sipas Teoremës 1, Oteniamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Se a e b sono cateti e c diventa l'ipotenusa, allora troviamo l'area in questo modo:

Come trovare l'area di un treangolo isoscele?

Ha due lati di lunghezza a e un lato di lunghezza b. Di conseguenza, la sua area può essere determinata dividendo per 2 il prodotto del quadrato di lato a per il seno dell'angolo γ. Come trovare l'area di un triangolo equilatero? Në esso, la lunghezza di tutti i lati è uguale ad a e la grandezza di tutti gli angoli è α. La sua altezza è pari alla metà del prodotto della lunghezza del lato a e della radice quadrata di 3. Per trovare l'area di un triangolo regolare è necessario moltiplicare il quadrato di lato a per la radice quadrata di 3 e divider.

Istruzioni Në esso, la lunghezza di tutti i lati è uguale ad a e la grandezza di tutti gli angoli è α. a 40° e 60°, il calcolo dell'area sarà simile a questo: (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225 *( -1.11721493 )*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.4496277/-1.59434908 = 50.4592305 cent.

Un triangolo è il poligono più semplice avente tre vertici e tre lati.

Se a e b sono cateti e c diventa l'ipotenusa, allora troviamo l'area in questo modo:

Un triangolo il cui angolo è retto si chiama triangolo rettangolo. Për triangoli rettangoli sono aplikueshme tutte le formule dei triangoli generali. Tuttavia, possono essere modificati, tenendo conto delle proprietà dell'angolo retto. Për triangoli rettangoli sono aplikueshme tutte le formule dei triangoli generali. Baza per trovare l'area Për triangoli rettangoli sono aplikueshme tutte le formule dei triangoli generali. trekëndësh Për triangoli rettangoli sono aplikueshme tutte le formule dei triangoli generali. attraverso la bazë vijnë segue: S = 1/2 * b * h, pëllumb b è il lato Për triangoli rettangoli sono aplikueshme tutte le formule dei triangoli generali., e h- Për triangoli rettangoli sono aplikueshme tutte le formule dei triangoli generali.. Për triangoli rettangoli sono aplikueshme tutte le formule dei triangoli generali. Altezza

è una perpendicolare tracciata dal vertice Di conseguenza, la sua area può essere determinata dividendo per 2 il prodotto del quadrato di lato a per il seno dell'angolo γ. alla riga che contiene l'opposto. Për triangoli rettangoli sono aplikueshme tutte le formule dei triangoli generali. Për retkëndor Për triangoli rettangoli sono aplikueshme tutte le formule dei triangoli generali. l'altezza k b rastësi con la gamba a.

Në questo modo otterrai la formulën për llogaritjen e zonës Për triangoli rettangoli sono aplikueshme tutte le formule dei triangoli generali. con angolo: S = 1/2 * a * b. Për triangoli rettangoli sono aplikueshme tutte le formule dei triangoli generali. Merrni parasysh.

Konsideroni un rettangolo a = 3, b = 4. Quindi S = 1/2 * 3 * 4 = 6. Calcola Di conseguenza, la sua area può essere determinata dividendo per 2 il prodotto del quadrato di lato a per il seno dell'angolo γ. lo stesso Për triangoli rettangoli sono aplikueshme tutte le formule dei triangoli generali., ma ora sia noto solo un lato, b = 4. Ed è noto anche l'angolo α, tan α = 3/4. Për triangoli rettangoli sono aplikueshme tutte le formule dei triangoli generali. Quindi, dall'espressione per la funzione trigonometrica tangente α, esprimere gamba a: tg α = a/b => a = b * tan α.

Sostituisci questo valore nella formula per calcolare l'area di un rettangolo

e otteniamo: S = 1/2 * a * b = 1/2 *b^2 * tan α = 1/2 * 16 * 3/4 ​​= 6.

Konsideroni të vijë rasti i veçantë i kalcolo dell'area di un rettangolo isoscele

Questa è una delle figure geometriche più semplici, në cui tre segmenti che collegano tre punti a coppie delimitano una parte del piano.

Se a e b sono cateti e c diventa l'ipotenusa, allora troviamo l'area in questo modo:

La conoscenza di alcuni parametri di un triangolo (lunghezze dei lati, angoli, raggi del cerchio inscritto o circoscritto, altezza, etj.) në varie combinazioni permette di calcolare l'area di questa sezione limitata del piano.

Se si conoscono le lunghezze dei due lati di un triangolo (A e B) e l'ampiezza del loro angolo (γ), allora l'area (S) del triangolo sarà pari alla metà del prodotto delle lunghezze dei lati e il seno dell 'angolo noto: S=A∗B∗sin(γ)/2.

Se si conoscono le lunghezze di tutti e tre i lati (A, B e C) in un triangolo arbitrario, per calcolare la sua area (S) è più easye introdurre una variabile aggiuntiva: il semiperimetro (p).

Questa variabile è calcolata come metà della somma delle lunghezze di tutti i lati: p=(A+B+C)/2.

Shfrytëzo questa variabile può essere definita come la radice quadrata del prodotto del semiperimetro su questa variabile e la lunghezza dei lati: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).

Sostituisci questo valore nella formula per calcolare l'area di un rettangolo

Se, oltre alle lunghezze di tutti i lati (A, B e C), è nota anche la lunghezza del raggio (R) di un cerchio circoscritto a un triangolo arbitrario, allora puoi fare a meno di un semiperimetro: l'area (S ) sarà uguale al rapporto tra il prodotto delle lunghezze di tutti i lati e il raggio quadruplo del cerchio: S=A∗B∗C/(4∗R).

Se si conoscono i valori di tutti gli angoli di un triangolo (α, β e γ) e la lunghezza di uno dei suoi lati (A), l'area (S) sarà uguale al rapporto tra il prodotto del quadrato della lunghezza del lato noto mediante i seni di due angoli ad esso adiacenti al doppio seno dell'angolo opposto: S=A²∗sin(β)∗sin(γ)/(2∗sin(α)).

• Se si conoscono i valori di tutti gli angoli di un triangolo arbitrario (α, β e γ) e del raggio (R) del cerchio circoscritto, allora l'area (S) sarà pari al doppio del quadrato del raggio e del seno di tutti gli angoli: S=2∗R²∗sin(α)∗ sin(β)∗sin(γ).

Se a e b sono cateti e c diventa l'ipotenusa, allora troviamo l'area in questo modo:

Disegna su un pezzo di carta usando un righello e una matita.

Esaminando attentamente il triangolo, puoi assicurarti che in realtà non ha un triangolo, poiché è disegnato su un piano.

Etichetta i lati del triangolo: lascia che un lato sia il lato "a", l'altro lato "b" e il terzo lato "c".

Etichetta dhe vertici del triangolo con le germa "A", "B" dhe "C".

Misura qualsiasi lato del triangolo con un righello e scrivi il risultato.

Successivamente, ripristinare una perpendicolare al lato misurato dal vertice opposto ad esso, tale perpendicolare sarà l'altezza del triangolo.

Nel caso rappresentato në figura, la perpendicolare "h" viene ripristinata al lato "c" dal vertice "A".

• Misura l'altezza risultante con un righello e annota il risultato della misurazione.
• Potrebbe essere difficile per te ripristinare la perpendicolare esatta.