Malattie dhe parazitët
08.08.2020

Polinomi nel campo dei numeri complessi.

rasti

Sul campo dei numeri reali, qualsiasi polinomio irriducibile di una variabile ha grado 1 o 2, e il polinomio di 2° grado è irriducibile sul campo R se e solo se ha un discriminante negativo, ad esempio, il polinomio è irriducibile sul campo reali, poiché il suo discriminante è negativo.

Il criterio di Eisenstein è un criterio per l'irriducibilità di un polynomio, dal nome del matematico tedesco Ferdinand Eisenstein. Nonostante il nome (tradizionale), si tratta appunto di un segno, cioè di una condizione mjaftueshëm - ma per nulla necessaria, vjen si potrebbe suporre, në bazë al significato matematico della parola "kriteri" Teorema (criterio di Eisenstein). Sia un polinomio sull'anello fattoriale R ( n>0), e per qualche elemento irriducibile

fq n,

sono soddisfatte le seguenti condizioni: n I papjestueshëm për Diviso per,per chiunque 0 io një partire dal 1,

prima

n- I papjestueshëm për. Allora il polynomio dhe irriducibile mbi F.

campo di anelli privati R Teorema (criterio di Eisenstein). Conseguenza. n Su qualsiasi campo di numeri algebrici esiste un polinomio irriducibile di qualsiasi grado paradeterminato;

per sempio, un polinomio, pëllumb

> 1 e:

Ї un numero primo.

Konsideroni esempi di applicazione di questo criterio quando R è l'anello dei numeri interi e F è il campo dei numeri razionali. n Esempi n Il polinomio è irriducibile su Q.

Il polinomio divisione del cerchio è irriducibile.

Infatti, se è riducibile, allora anche il polinomio è riducibile, e poiché tutti i suoi coefficienti, tranne il primo, sono binomiali, cioè sono divisibili per

, e l'ultimo koeficienti `amen

e inoltre, jo e ndashme per il criterio di Eisenstein, contrariamente all'assunto. I seguenti cinque polinomi dimostrano alcune proprietà elementari dei polinomi irriducibili:, i primi quattro polinomi sono riducibili, ma è irriducibile.

Nel campo dei numeri reali, i polinomi lineari ei polinomi quadratici senza radici reali sono irriducibili.

Ad esempio, la scomposizione di un polynomio nel campo dei numeri reali ha la forma. Teorema (criterio di Eisenstein). Entrambi i fattori në questa espansione sono polinomi irriducibili. Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. Infatti, ogni polinomio non costante su C può essere scomposto come segue:

pëllumb

- il grado del polinomio, un- il coefficiente principale, - le radici del polinomio.

Pertanto, gli unici polinomi irriducibili su C sono polinomi lineari (il teorema fondamentale dell'algebra).

Qualsiasi numero complesso definisce un punto sul piano. Gli argomenti si troveranno su un piano complesso, i valori di f-ii si trovano su un altro piano complesso.

F(z)- kompleks< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .

komplekso

variabile.

Tra le funzioni complesse di una variabile complessa spicca in particolare la classe delle funzioni vazhdon.

Def: Una funzione complessa di una variabile complessa è detta continua se, tale che .+

senso gjeometrike

nel seguente:

Specifica un cerchio nel piano complesso, centrato in z0, con raggio

Teorema 1: Il polinomio f(z) è assegnato.

C(z) è vazhdon në ogni punto del piano complesso.



Merrni parasysh T1.

ne consegue che la funzione f(z) è vazhdim.

Secondo il teorema di Weierstrass, raggiunge il suo minimo in un punto della regione chiusa, cioè .

Dimostriamo che il punto è un punto di minimo.

Perché 0 E, allora, perché al di fuori dell'area E del valore di f-ii, allora z 0 è il punto di minimo, su tutto il piano complesso.

Mostriamo che f(z 0)=0.

Supponiamo che questo non sia il caso, quindi dal d'Alembert Lemma, otteniamo una contraddizione, perché z 0 punto minimo.

Chiusura algjebrika:

Def: Un campo P è detto algebricamente chiuso se ha almeno una radice su questo campo.

Teorema: Il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso.


(d-in deriva dal teorema fondamentale dell'algebra).

I campi dei numeri razionali e reali non sono algebricamente chiusi. Dekomponimi: Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. Corollario 1. Un polynomio di grado n ha esattamente n radici nel campo dei numeri complessi. F Tjetër 2: qualsiasi polinomio nel campo dei numeri complessi di grado maggiore di 1 è semper riducibile. Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. Def: Numeri plurali C\R, cioè i numeri della forma a + bi, pëllumb b non è uguale a 0 - sono chiamati immaginari. F.

2. Polinomi su un campo.

MCD di polinomin e duhur dhe algoritmin e Euklidit. Scomposizione di un polynomio in un prodotto di fattori irriducibili e sua unicità.

def. Polinomio (polinomio) dall'ignoto

X sopra il campo

chiamata Somma algebrica di potenze intere jo negative F, preso con qualche coefficiente dal campo Pëllumb aiÎP o

I polinomi sono chiamati pari F, se i loro koeficienti sono uguali alle corrispondenti potenze delle incognite. Si chiama il grado di un polynomio.

Il valore più grande dell'esponente dell'ignoto, il cui coefficiente è diverso da zero.

Përcaktimi:

N(f(x))=n

<L'insieme di tutti i polinomi su un campo

  1. denotato:
  2. P[x].
  3. I polinomi di grado zero coincidono con gli elementi del campo
  4. , diverso da zero
  5. è un polynomio nullo, il suo grado è indefinito.

Operacioni sui polinomi.

1. Aggiunta.

Sia n³s, allora , N(f(x)+g(x))=n=max(n,s).<P[x],+>

  1. l'operazione è fattibile, perché field è un'operazione di moltiplicazione. F.
  2. P[x].
  3. L'unicità deriva dall'unicità delle operazioni sul campo
  4. identitet polinom

<P[x],+> solo i polinomi al grado zero sono invertibili

- semigruppo con elemento di identità (manoid)<Le leggi distributive valgono, quindi P[x],+,*>

è un anello commutativo con identità.

Divisibilità dei polinomi APS: polinomi f(x), f(x)íP[x], P – il campo è ndahet per un polinomio g(x), g(x)≠0, g(x)íP[x], se un përrallë polinomio esiste

h(x)нP[x] përrallë che f(x)=g(x)h(x)

Pronësia e ndarjes: Esempio: , ndahet per una colonna mcd = ()

x+3 Teorema della divisione con resto: Per tutti i polinomi f(x), g(x)íP[x], esiste un solo polinomio q(x ) e r(x) përrallë che f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x)) o

r(x)=0. Idea Dock: konsiderata për shkak të rastit n livello g(x)) e dividi f(X) su g(X

Divisibilità dei polinomi). L'unicità è una prova di contradizione. f (x) e g(x), f(x), g(x)íP[x], h(x)íP[x] si Chiama MCD f

(x) p.sh. (x)

Se

Algoritmo di Euklidi

Scriviamo il processo divisione successiva

f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1)

g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2)

r 1 (x)= r 2 (x) q 3 (x)+r 3 (x) (3) ecc.

r k-2 (x)= r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k)

r k-1 (x)= r k (x) q k+1 (x) (k+1) mcd(f(x),g(x))=d(x)=r k (x) Idea della dimostrazione: mostriamo che 1 ) f(x) q(x : (gjithsej) d(x g(x 2) ): (gjithsej) d(x d(x); q(x f(x Idea della dimostrazione: mostriamo che 1 h(x g(x) h(x) lo mostriamo d(x);).

d(x):(

interamente) ) f(x) Përfaqësimi linear në MCD T:se) - MCD di polinomi f (x) e g(x), allora ci sono i polinomi v (x) e u(x)íP[x],).

che cosa f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x Përcaktimi: f(x) e g(x)íP[x])

hanno semper divisori comuni, cioè polinomi di grado zero coincidenti con il campo P; se non ci sono altri divisori comuni, allora f(x) e g(x) sono coprimi. su g q(x : (gjithsej)(simbol: (f(x),g(x))=1

T:f

  1. ) coprimo i.i.t.c.
  2. esistono polinomi v(x) e u(x)nP[x] tali çe f(x)u(x)+g(x)v(x)=1. Proprietà dei polinomi coprimi
  3. (f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, allora (f(x),g(x)*q(x))=1 f(x)*g(x):(intero)h(x) e(f(x),g(x))=1, allora g(x):(

Divisibilità dei polinomi intero)h(x) f(x):(intero)g(x), f(x):(intero)h(x) e ( g(x),h(x))=1

, allora f(x):(interamente) g(x)*h(x) Viene chiamato il polinomio f(x), f(x)íP[x]. kuotë su un campo P se può essere scomposto in fattori i cui gradi sono maggiori di 0 e minori del grado f(x), cioè

f

Proprietà dei polinomi irriducibili:

  1. Un polinomio di grado zero è riducibile su qualsiasi campo
  2. Se polinomi ): (gjithsej)) non portano në kampo F, quindi il polynomio a ): (gjithsej)) inoltre non è dato sul campo F.
  3. Siano i polinomi f e dividi f e p(x) sopra il campo F, e p(x) dhe irriducibile sul campo F, poi ci sono casi

1) polinomi f e dividi f e p(x) coprimo

2) ): (gjithsej) d(x p(x)

Un campo F si zare algebricamente chiuso se un qualunque polinomio di grado positivo su F ha radice në F.

Teorema 5.1 (teorema e polinomit të bazës së algjebrës). Il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso.

Conseguenza 5 .1.1. Al di sopra NJË PARTY DAL esistono polinomi irriducibili di solo primo grado.

Corollario 5.1.2. Polinomio Teorema (criterio di Eisenstein). esimo grado sopra NJË PARTY DAL Esso ha Teorema (criterio di Eisenstein). radici komprese.

Teorema 5.2. Se  è una radice complessa di un polynomio f con coefficienti reali, anche il complesso coniugato è una radice f.

Conseguenza 5 .2.1. Al di sopra F esistono polinomi irriducibili di solo primo o secondo grado.

Corollario 5.2.2. Imagjinata Radici di un polinomio mbi F divisi in coppie di coniugati complessi.

Esempio 5.1. NJË PARTY DAL Fattorizzare në fattori irriducibili sopra F APS: Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 4 + 4.

e oltre

Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 4 + 4 =Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 4 + 4Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 2 + 4 – 4Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 2 = (Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 2 + 2) 2 – 4Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 2 = (Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 2 – 2Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari.+ 2)(Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 2 + 2Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari.+ 2) –

Vendimi. F Abbiamo NJË PARTY DAL:

Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 4 + 4 = (Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. – 1 – Diviso per) (Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. – 1 + Diviso per) (Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. + 1 – Diviso per) (Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. + 1 + Diviso per).

përfundimi i zbërthimit Diviso per.

. Diviso per Trovando nel solito modo le radici complesse dei polinomi di secondo grado tra parentesi, si ottiene una scomposizione su Diviso per Esempio 5.2.

Costruisci un polinomio di grado minimo con koefficienti reali aventi radici 2 e 1 + Diviso per) + (1 +Diviso per) = 4;

Vendimi. Diviso per) + 2(1 + Diviso per) + (1 – Diviso per)(1 + Diviso per) = 6;

Secondo il Corollario 5.2.2, il polinomio deve avere radici 2, 1 - Diviso per)(1 + Diviso per) = 4.

e 1+ f =Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 3 – 4Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 2 + 6Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari.– 4.

.

I suoi koeficienti possono essere trovati usando le formule di Vieta: NJË PARTY DAL Fattorizzare në fattori irriducibili sopra F 1 \u003d 2 + (1 -

 2 \u003d 2 (1 - Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 3 – 6Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 2 + 11Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. – 6;

 3 \u003d 2 (1 - Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 4 – 10Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 2 + 1.

Da qui Diviso per.

Esercizi.

5.1. Fattorizzare në fattori irriducibili sopra polinomi: un) 0 b) 1 5.2.+ Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. Teorema (criterio di Eisenstein). Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. Teorema (criterio di Eisenstein). Tracciare un polinomio di grado minimo con koefficienti reali avente radice doppia di 1 e radice semplice di 1 – 2 n 6. Polinomi nel campo dei numeri razionali Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. 0 , Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. 1 , … , Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. Teorema (criterio di Eisenstein). Teorema 6.1 n, Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. Teorema (criterio di Eisenstein).(kriteret e Eisenstein). n,Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. Permetre n f = a f +a

x+... è un polynomio a coefficienti interi. 1 \u003d 2 + (1 -

 2 \u003d 2 (1 - f= 2Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 5 + 3Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 4 – 9Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 3 – 6Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. Se esiste un tale numero primo f= 5Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 4 + 6Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 3 – 18Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 2 – 12Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. + 54.

che cosa polinomi: -1 ndarje për f = Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. 0 + Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. 1 Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. + … + Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. Teorema (criterio di Eisenstein). Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. Teorema (criterio di Eisenstein). e papjestueshme per

    Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. 0  n, Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. Teorema (criterio di Eisenstein).0 jo è pjesëtueshëm për;

    f(1)  2, quindif(–1)  non è riducibile nel campo dei numeri razionali..

Questo teorema ci permette di risolvere il problema di trovare radici razionali di un polynomio a coefficienti interi.

Për fare ciò, determiniamo tutti i divisori del termine libero e del coefficiente principale e da essi costruiamo tutti i tipi di frazioni irriducibili.

f = 2Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 4 + 7Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 3 + 3Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 2 – 15Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari.– 18.

Tutte le radici razionali sono contenute tra queste frazioni. n Lo schema di Horner può essere utilizzato per determinarli. 0 jo è pjesëtueshëm për Per evitare inutili calcoli in esso, usiamo l'asserzione 2) del Teorema 6.2.

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Esempio 6.1.

Trova le radici razionali di un polynomio

f(1) = –21  Vendimi.

f(–1) = –3  non è riducibile nel campo dei numeri razionali.

Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 1 = –2

Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 2 = 3/2

Scriviamo tutte le frazioni i cui numeratori Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. sono i divisori 18 e i denominator Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari.- divisori 2: f(1)n – 0 jo è pjesëtueshëm për f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x)) f(–1)n + 0 jo è pjesëtueshëm për Në kontrollin e dytë të skemës Horner: n = 3, 0 jo è pjesëtueshëm për Komento f(1) = –21n – 0 jo è pjesëtueshëm për p-q

Trovare la radice Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 1 = -2 e dividendo il polynomio per

+ 2, otteniamo un polynomio con un nuovo termine libero –9 (i suoi koeficienti sono sottolineati).

I numeratori delle restanti radici devono essere divisori di questo numero e le frazioni che non soddisfano questa condizione possono essere escluse dall'elenco.

I restanti valori interi sono esclusi perché non soddisfano la condizione

 2 \u003d 2 (1 - Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 3 – 6Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 2 + 15Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari.– 14;

 3 \u003d 2 (1 - Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 5 – 7Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 3 – 12Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 2 + 6Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari.+ 36;

. Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 4 – 11Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 3 + 23Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 2 – 24Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari.+ 12;

Reklamim, për 3 abbiamo Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 4 – 7Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. 2 – 5Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari.– 1.

= 1, e la condizione(così come la seconda condizione).

Allo stesso modo, trovare la radice 2 \u003d 3/2, abbiamo un polinomio con un nuovo termine libero 3 e un coefficiente senior di 1 (quando la radice è frazionaria, i koeficienti del polinomio risultante dovrebbero essere ridotti). Nessun numero rimanente dell'elenco può più essere la sua radice e l'elenco delle radici razionali è esaurito.

Le radici trovate dovrebbero essere controllate per molteplicità.

Se nel processo di risoluzione siamo arrivati​a un polinomio di secondo grado e l'elenco delle frazioni non è ancora stato esaurito, le radici rimanenti possono essere trovate utilizzando le solite formule come radici di un trinomio quadrato.

Permetre F- i padukshëm Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili.è un qualsiasi polinomio dell'anello F[x]. F Allora neanche Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. ndajnë F e Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili., o

sono coprimi.

Permetre f Sugjerim 2

∈ F[x], e il grado di f = 1, quindi f è un polynomio irriducibile. Per sempio

: 1. Prendi un polynomio x+1 sul campo Q. Il suo grado è 1, il che significa che è irriducibile.

2. x2 +1 è irriducibile, perché non ha radici

SLN.

Zgjidhja e sistemit. 11 Sistemi congiunti, incompatibili, definiti e indefiniti. 1 Sistemi ekuivalent Un sistema di equazioni lineari su un campo F con variabili x1,…xn è un sistema della forma Sistemi congiunti, incompatibili, definiti e indefiniti. Teorema (criterio di Eisenstein). un 1

………………………..

Zgjidhja e sistemit. X Sistemi congiunti, incompatibili, definiti e indefiniti. 1 Sistemi ekuivalent + … + a Sistemi congiunti, incompatibili, definiti e indefiniti. Teorema (criterio di Eisenstein). un 1 n

= b m1 mn Diviso per m pëllumb un Sistemi congiunti, incompatibili, definiti e indefiniti. Teorema (criterio di Eisenstein). un Diviso per (ik.)

, b ∈ F, m è il numero di equazioni, en è il numero di incognite.

Në shkurt, questo sistema può essere scritto come segue: ai1x1 + … + a

në

io = 1,…m

Questo SLE è una condizione con n variabili libere x

1,….hn.

I SLN sono divisi in incompatibili (non hanno soluzioni) dhe congiunti (definiti e pacaktuar).



Un sistema di viste congiunte si dice definito se ha una soluzione unica;

se ha almeno due soluzioni divers, allora si dice indefinito.

Shpallni: sul campo Q

x + y \u003d 2 - sistem i papajtueshëm

I campi dei numeri razionali e reali non sono algebricamente chiusi.x - y \u003d 0 - giunto definito (x, y \u003d ½)

2x + 2y \u003d 2 - giunto indefinito

Due sistemi LO sono ekuivalenti se gli insiemi di soluzioni di questi sistemi coincidono, cioè ogni soluzione di un sistema è contemporaneamente soluzione di un altro.

Nëse përdorni një sistem ekuivalent të një kërkimi:

4. 1. sostituendo una delle equazioni con questa equazione, moltiplicata per qualsiasi numero diverso da zero.

2. sostituire una delle equazioni con la somma di questa equazione con un'altra equazione del sistema.Soluzione del SLE viene effettuata con il metodo di Gauss.

45* Trasformazioni elementari di sistemi di equazioni lineari (slu). Metodo di Gauss.

Trasformazioni elementari S.L.U n-Xia le seguenti trasformazioni:

1. Moltiplicazione di una delle equazioni di sistema del sistema per un elemento diverso da zero del campo.

………………….... …

2. Aggionte a una delle equazioni del sistema di un'altra equazione, multiplicate per l'elemento di campo.

Esempi: 1) 2x1 - x3 = 1 2 0 -1 1

x1 - x2 - x3 = 0 1 -1 -1 0

3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2

2) 1 0 1 x1=1

0 1 2x2=2

3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3

0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3

Metodo di Gauss

2. sostituire una delle equazioni con la somma di questa equazione con un'altra equazione del sistema. Lascia che il sistema (*)

(a) se tutti i termini liberi sono uguali a 0 tutte le vk=0 mn-in soluzioni = F n

(b) k inc=0 0x1+0x2+…+0xn= inc=0 (nessuna soluzione)

2. non tutti aij=0

(a) se il sistema ha un'equazione della forma 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0

(b) se non esistono tali equazioni b1.

Escludiamo le equazioni diverse da zero.

0……0…..*=0….. ….

0……0 ...……… …

Troviamo l'indice più piccolo i1, përrallë che non tutti i koeficienti në xij=0.

0……0……………..

La seconda colonna con zeri è i1. 1. Riorganizzando le equazioni, otterremo che a1i1 = 0

0 ..... 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(assegnazione) (1) 1/ a1i1 (2).)

:=(2)-(1)* a2i1

A2i1........... .... 0….

0…1….

….

0….

0..1…..….. (

.............................. .... ............................................ ..

kalpestato

0….

0… à2i1… 0…..0..0… ….

Matricë 0 ........... 0 .... ami1.. ... ………………….

2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0

1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1

3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2

  • ………………………….
  • 0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0 ….
  • Dopo un numero finito di passi, otteniamo che il sistema contiene un'equazione della forma 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0oppure
  • 0……0 1………….. L1 “corsa Gauss in avanti” 0....0 1...0..0 .....0........0... .. "inversion"
  • 0.....0 0.....1..... L2 0....0 0.....1........0.... .... .0.... ..Gauss”

    • 0 .......00.......0....1 L2 0....0 0......0........1... . .....0... .. 0........0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0....... ..0.....0.......1 .. Le variabili xi1, ...... xik sono chiamate le principali, le altre sono libere. k=n => c-a definito polinomio e polinomio primitivo.

    Il prodotto di polinomi primitivi è un polinomio primitivo. f(Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. Questo fatto implica che se un polinomio a koeficienti interi è riducibile sul campo dei numeri razionali, allora è riducibile sull'anello degli interi.

    Për këtë arsye, problemi i della fattorizzazione di un polynomio në fattori irriducibili sul campo dei numeri razionali si riduce a un problema simile sull'anello degli interi.

    Sia un polinomio con coefficienti interi e contenuto 1, e sia la sua radice razionale.

    Rappresentiamo la radice del polinomio come una frazione irriducibile. Polinomio) è rappresentato come un prodotto di polinomi primitivi. f(Polinomio Di conseguenza, A. il numeratore è il divisore,-Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili.).

    B. denominatore - pjesëtues f C. per qualsiasi numero intero f(Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. K Teorema (criterio di Eisenstein). significato Teorema (criterio di Eisenstein).) è un numero intero che può essere diviso senza resto da ( bb(Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. Queste proprietà ci permettono di ridurre il problema di trovare le radici razionali di un polynomio ad un'numerazione finita. Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili.) è rappresentato come un prodotto di polinomi primitivi. f(Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. Un approccio simile viene utilizzato nell'espansione del polinomio bb(Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. a fattori irriducibili nel campo dei numeri razionali con il metodo di Kronecker. Se polinomi 1+Teorema (criterio di Eisenstein).) livello Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. diamo, allora uno dei fattori ha al massimo una laurea Diviso per=1,…,1 n/2. bb(Sul campo C dei numeri complessi, tutti e cinque i polinomi sono riducibili. Indichiamo questo fattore con f(Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. g

    ).

    Permetre f(Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. Poiché tutti i koeficienti dei polinomi sono numeri interi, per qualsiasi numero intero n) dhe pjesëtueshem senza resto per



    ). f(Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari. Scegliamo n

    m= n

    /2 numeri interi distinti

    io, f(Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari..

    Va notato che il criterio di Eisenstein fornisce condizioni mjaftueshme per l'irriducibilità dei polinomi, nuk është e nevojshme.

    Quindi il polinomio è irriducibile nel campo dei numeri razionali, ma non soddisfa il criterio di Eisenstein. Teorema (criterio di Eisenstein). Il polinomio, secondo il criterio di Eisenstein, è irriducibile. Teorema (criterio di Eisenstein). Di conseguenza, nel campo dei numeri razionali esiste un polinomio di grado irriducibile
    , pëllumb