Fertilizzante dhe alimentazione

Konsideroni una funzione di shkak të variabili:

Poiché le variabili $x$ e $y$ sono indipendenti, per tale funzione possiamo introdurre il concetto di derivata parziale:

La derivata parziale della funzione $f$ nel punto $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ rispetto alla variabile $x$ è il limite

\[(((f)")_(x))=\nënset(\Delta x\në 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\majtas(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \djathtas))(\Delta x)\]

Mund të jetë e mundur të përkufizohet nga derivatet e rispetto alla variabile $y$:

\[(((f)")_(y))=\nënset(\Delta y\në 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \djathtas))(\Delta y)\]

In altre parole, per trovare la derivata parziale di una funzione di più variabili, è necessario fissare tutte le altre variabili tranne quella desiderata, e poi trovare la derivata ordinaria rispetto a questa variabile desiderata.

Ciò porta alla tecnica principale per il calcolo di tali derivat: presupporre semplicemente che tutte le variabili tranne questa siano costanti, quindi differenziare la funzione come si differenzierebbe una funzione “ordinaria” - con una variabile.

Për sempio:

$\fille(rreshtoj)& ((\majtas(((x)^(2))+10xy \djathtas))_(x))^(\prime )=((\majtas(((x)^(2 )) \djathtas))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\majtas(x \djathtas))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \djathtas))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \djathtas))^(\ primo ))_(y)+10x\cdot ((\majtas(y \djathtas))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x.

Oggi parleremo delle funzioni di più variabili e delle loro derivat parziali.

Innanzitutto, cos'è una funzione di più variabili?

Finora siamo abituati një konsideratë për një funksion të ardhur $y\left(x \djathtas)$ o $t\left(x \djathtas)$, oppure qualsiasi variabile e una sua singola funzione.

Ora avremo una funzione, ma diverse variabili.

Quando $y$ e $x$ cambiano, il valore della funzione cambierà.

Shfrytëzojeni, nëse $x$ raddoppia, il valore della funzione cambierà dhe se $x$ cambia, ma $y$ jo cambia, il valore della funzione cambierà nello stesso modo.

Naturalmente, una funzione di più variabili, proprio come una funzione di una variabile, può essere differenziata.

Tuttavia, poiché esistono diverse variabili, è possibile differenziare në bazë një variabili të larmishme.

Në questo caso sorgono regole teknike che non esistevano quando si differenziava una variabile.

Prima di tutto, quando calcoliamo la derivata di una funzione da qualsiasi variabile, dobbiamo indicare per quale variabile stiamo calcolando la derivata: questa è chiamata derivata parziale.

Për më tepër, abbiamo una funzione di due variabili dhe possiamo calcolarla sia në $x$ che në $y$, për shkak të derivatit parziali për variabile ciascuna.

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \djathtas))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\majtas(\frac(y)(x) \djathtas))^(\prime ))_(x)\]

Facciamolo di nuovo, poiché la radice non è $x$, ma qualche altra espressione, in questo caso $\frac(y)(x)$, quindi prima utilizzeremo il valore standard della tabella e poi, poiché la radice è non $x $, e un'altra espressione, dobbiamo moltiplicare la nostra derivata per un'altra di questa espressione rispetto alla stessa variabile.

Calcoliamo innanzitutto quanto segue:

\[((\left(\frac(y)(x) \djathtas))^(\prime ))_(x)=\frac((((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Torniamo alla nostra espressione e scriviamo:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \djathtas))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\majtas(\frac(y)(x) \djathtas))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \djathtas)\]

Fondamentalmente, questo è tutto.

Tuttavia è sbagliato lasciarlo in questa forma: una tale costruzione è scomoda da utilizzare per ulteriori calcoli, quindi trasformiamola un po':

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2)) \djathtas)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

La risposta è stata trovata.

Ora occupiamoci di $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \djathtas))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\ majtas(\frac(y)(x) \djathtas))^(\prime ))_(y)\]

Scriviamolo separatamente:

\[((\left(\frac(y)(x) \djathtas))^(\prime ))_(y)=\frac((((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Ora scriviamo:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \djathtas))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\majtas(\frac(y)(x) \djathtas))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

Questo esempio è allo stesso tempo più semplice e più complesso del precedente.

È più complicato perché ci sono più azioni, ma è più semplice perché non esiste la radice e, inoltre, la funzione è simmetrica rispetto a $x$ e $y$, cioè se scambiamo $x$ e $y$, la formula jo cambierà.

Questa osservazione semplificherà ulteriormente il nostro calcolo della derivata parziale, ovvero basta contarne uno e nel secondo scambiare semplicemente $x$ e $y$.

Andiamo al sodo:

\[(((z)")_(x))=((\majtas(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \djathtas ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \djathtas))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \djathtas)-xy((\majtas(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \djathtas))^(\prime ) )_(x))((\majtas(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \djathtas))^(2)))\]

Contiamo:

\[((\left(xy \djathtas))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \djathtas))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Tuttavia, studenti jo kapiscono questa notazione, quindi scriviamola in questo modo:

\[((\left(xy \djathtas))^(\prime ))_(x)=((\left(x \djathtas))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\majtas(y \djathtas))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Siamo quindi ancora una volta convinti dell'universalità dell'algoritmo delle derivate parziali: non importa come li calcoliamo, se tutte le regole vengono applicate correttamente, la risposta sarà la stessa.

Ora diamo un'occhiata a un'altra derivata parziale della nostra grande formula:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \djathtas))^(\prime ))_(x)=(\majtas((( x)^(2)) \djathtas))^(\prime ))_(x)+((\majtas(((y)^(2)) \djathtas))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Sostituiamo le espression risultanti nella nostra formula dhe otteniamo:

\[\frac(((\left(xy \djathtas))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ destra)-xy((\sinistra(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \destra))^(\prime ))_(x))((\sinistra (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \djathtas))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \djathtas)-xy\cdot 2x)((\majtas((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \djathtas))^(2)))=\]

\[=\frac(y\majtas(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \djathtas))((\ sinistra(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \destra))^(2)))=\frac(y\sinistra(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \djathtas))(((\majtas(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \djathtas))^(2 )))\]

A causa della simmetria, abbiamo calcolato questa espressione molto più velocemente.

Sfumature della soluzione

Per le derivat parziali funzionano tutte le formule standarde che usiamo per quelle ordinarie, vale a dire la derivata del quoziente.

Allo stesso tempo però emergono delle specificità: se konsideroni derivatet parziale në $x$, allora quando la otteniamo da $x$, la consideriamo come una costante, e qundi la sua derivata sarà pari a “zero” . Come nel caso dei derivati ordinari, il parziale (lo stesso) può essere calcolato da più diversi modi

.

Ad esempio, la stessa costruzione che abbiamo appena calcolato può essere riscritta come segue:

\[((\majtas(\frac(y)(x) \djathtas))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \djathtas)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \djathtas))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Allo stesso tempo, invece, puoi utilizare la formula della somma derivata.

Come sappiamo, è uguale alla somma delle derivat.

Naturalmente, una funzione di più variabili, proprio come una funzione di una variabile, può essere differenziata.

Ad esempio, scriviamo quanto segue:

\[((\majtas(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \djathtas))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Ora, sapendo tutto questo, proviamo a lavorare con espression più serie, poiché le derivate parziali reali non si limitano solo a polinomi e radici: ci sono anche la trigonometria, i logaritmi e la funzione esponenziale.

Ora faktiamolo.

Problemi con funzioni trigonometriche e logaritmi

Standardi i formulës Scriviamo le seguenti:

\[((\majtas(\sqrt(x) \djathtas))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\majtas(\cos x \djathtas))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Armati di questa conoscenza, proviamo a risolvere:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \djathtas))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \djathtas))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\ majtas (\cos \frac(x)(y) \djathtas))^(\prime ))_(x)=\]

Scriviamo una variabile separatamente:

Ancora una volta, calcoliamo un'spressione:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \djathtas))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \djathtas))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \destra)\]

Torniamo all'espressione originale dhe continuiamo la soluzione:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Ora scriviamo:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \djathtas))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\majtas(\frac(y)(x) \djathtas))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

Scriviamo la formula di cui abbiamo bisogno:

\[((\majtas(\ln x \djathtas))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Ora contiamo për $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \djathtas) \djathtas))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\majtas(x+\ln y \djathtas))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \majtas(1+0 \djathtas)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Trovato për $x$.

Contiamo për $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \djathtas) \djathtas))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\majtas(x+\ln y \djathtas))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \djathtas)=\frac(1)(y\majtas(x+\ln y \djathtas))\ ]

Sfumature della soluzione

Il problema è risolto.

Quindi, qualunque sia la funzione di cui prendiamo la derivata parziale, le regole rimangono le stesse, indipendentemente dal fatto che lavoriamo con la trigonometria, con le radici o con i logaritmi. Le regole classiche per lavorare con le derivat standard rimangono invariate, vale a dire la derivata della somma e della differenza, quoziente e.

funzione complessa

Formula përfundimtare si trova più spesso quando si risolvono problemi con le derivat parziali.

Li incontriamo quasi ovunque.

Non c'è mai stato un singolo compito in cui non ci siamo imbattuti in questo.

Ma quaunque sia la formula che usiamo, abbiamo ancora un ulteriore requisito da aggiungere, vale a dire la particolarità di lavorare con le derivate parziali.

Naturalmente, una funzione di più variabili, proprio come una funzione di una variabile, può essere differenziata.

Për cominciare, skriviamo la seguente formula:

\[((\majtas(((e)^(x)) \djathtas))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Conoscendo questo fatto, oltre alla derivata di una funzione complessa, proviamo a calcolare.

Ora lo risolverò in due modi diversi.

La prima e più ovvia è la derivata del prodotto:

\[(((z)")_(x))=((\majtas(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \djathtas) )^(\prime ))_(x)=((\majtas(((e)^(x)) \djathtas))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\majtas(((e)^(\frac(x)(y))) \djathtas))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\majtas(\frac(x)(y) \djathtas))^(\prime ))_(x)=\]

Risolviamo separatamente la seguente espressione:

\[((\left(\frac(x)(y) \djathtas))^(\prime ))_(x)=\frac((((((x)"))_(x))\cdot y-x .(((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2)) ) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Ritorniamo al nostro design origjinale dhe continuiamo con la soluzione:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\majtas(1 +\frac(1)(y)\destra)\]

Tutto, $x$ viene calcolato.

Tuttavia, come promesso, ora proveremo a calcolare questa stessa derivata parziale in modo diverso.

Një përrallë scopo, tenere presente quanto segue:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Scriviamolo così:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \djathtas))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \djathtas))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\majtas(x+\frac(x)(y) \djathtas))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \sinistra(1+\frac(1)(y) \destra)\]

Di conseguenza, abbiamo ricevuto esattamente la stessa risposta, ma la quantità di calcoli si è rivelata inferiore.

Sipas çmimit të mjaftueshëm, notare che durante l'esecuzione del prodotto è possibile aggiungere degli indicatori.

Ora contiamo për $y$:

\[(((z)")_(y))=((\majtas(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \djathtas) )^(\prime ))_(y)=((\majtas(((e)^(x)) \djathtas))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\majtas(((e)^(\frac(x)(y))) \djathtas))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \djathtas)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Naturalmente, questa stessa derivata potrebbe essere calcolata nel secondo modo, e la risposta sarebbe la stessa.

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \djathtas))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\majtas(\frac(y)(x) \djathtas))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

Contiamo për $x$:

\[(((z)")_(x))=((\majtas(x \djathtas))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \djathtas )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \djathtas) \djathtas))^(\prime ))_(x)=\]

Calcoliamo un'spressione separatamente:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \djathtas) \djathtas))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((x )^(2))+y)\cdot ((\majtas(((x)^(2))+y \djathtas))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Vazhdimi i një risolvere të kostos origjinale: $$

Questa dhe la risposta.

Resta da trovare per analogia utilizzando $y$:

\[(((z)")_(y))=((\majtas(x \djathtas))^(\prime ))_(y).\n \majtas(((x)^(2)) +y \djathtas)+x\cdot ((\majtas(\ln \majtas(((x)^(2))+y \djathtas) \djathtas))^(\prime ))_(y)=\]

Come sempre, calcoliamo un'spressione separatamente:

\[((\majtas(((x)^(2))+y \djathtas))^(\prime ))_(y)=((\majtas(((x)^(2)) \djathtas) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Vazhdoni një risolvere il progetto di bazë:

Tutto è stato calcolato.

Sfumature della soluzione

Come puoi vedere, a seconda di quale variabile viene presa per la differenziazione, le risposte sono completamente divers.

Ecco un esempio lampante di come la derivata della stessa funzione può essere calcolata in due modi diversi.

Guarda qui:

\[(((z)")_(x))=\majtas(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \djathtas)=( (\majtas(((e)^(x)) \djathtas))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\majtas(((e)^(\frac(x)(y))) \djathtas))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ sinistra(1+\frac(1)(y) \destra)\]

\[(((z)")_(x))=((\majtas(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \djathtas)) ^(\prime ))_(x)=((\majtas(((e)^(x+\frac(x)(y))) \djathtas))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\majtas(x+\frac(x)(y) \djathtas))^(\prime ))_(x)=\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \djathtas) \djathtas))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((x )^(2))+y)\cdot ((\majtas(((x)^(2))+y \djathtas))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cpika 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \djathtas) \djathtas))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\majtas(((x)^(2))+y \djathtas))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cpunëto 1\]

Si përfundim, për konsolidimin e kërkimit të materialeve, mund të sigurohet një ndryshim tjetër për shkak të esempi.

Problemi con funzioni trigonometriche e funzioni a tre variabili

Naturalmente, una funzione di più variabili, proprio come una funzione di una variabile, può essere differenziata.

Formula Scriviamo le seguenti:

\[((\majtas(((a)^(x)) \djathtas))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\majtas(((e)^(x)) \djathtas))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Risolviamo ora la nostra espressione:

\[(((z)")_(x))=((\majtas(((3)^(x\sin y)) \djathtas))^(\prime ))_(x)=(3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\majtas(x\cdot \sin y \djathtas))^(\prime ))_(x)=\]

Calcoliamo separatamente la seguente costruzione:

\[((\left(x\cdot \sin y \djathtas))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ sinistra(\sin y \destra))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Vazhdoni një risolvere l'espressione origjinale:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Questa è la riposta finale della variabile private su $x$.

Ora contiamo për $y$:

Sipas çmimit të mjaftueshëm, notare che durante l'esecuzione del prodotto è possibile aggiungere degli indicatori.

\[(((z)")_(y))=((\majtas(((3)^(x\sin y)) \djathtas))^(\prime ))_(y)=(3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\majtas(x\sin y \djathtas))^(\prime ))_(y)=\]

\[((\left(x\cdot \sin y \djathtas))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ sinistra(\sin y \djathtas))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Risolviamo la nostra costruzione fino alla fine:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \djathtas))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\majtas(\frac(y)(x) \djathtas))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Një pamje e parë, questo esempio può sembrare piuttosto complicato perché ci sono tre variabili.

Në mënyrë efektive, kërkimi i një video tutorial për të mësuar më parë.

Trova për $x$:

\[(((t)")_(x))=((\majtas(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \djathtas))^(\prime ) )_(x)=((\majtas(x\cdot ((e)^(y)) \djathtas))^(\prime ))_(x)+((\majtas(y\cdot ((e) ^(z)) \djathtas))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\majtas(x \djathtas))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y )) \djathtas))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Ora occupiamoci di $y$:

\[(((t)")_(y))=((\majtas(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \djathtas))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \djathtas))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \djathtas))^(\prime ))_(y)=\]

Ora non resta che trovare tramite $z$:

\[(((t)")_(z))=((\majtas(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \djathtas))^(\prime ))_(z)=((\majtas(x\cdot ((e)^(y)) \djathtas))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \djathtas))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\majtas(((e)^(z)) \djathtas))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Abbiamo calcolato la derivata terza, che completa la soluzione del secondo problema.

Sfumature della soluzione

Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato in questi due esempi.

L'unica cosa di cui siamo convinti è che la derivata di una funzione complessa viene utilizata spesso e, një seconda della derivata parziale che calcoliamo, otteniamo risposte divers.

Nell'ultimo compito ci è stato chiesto di comprendere una funzione di tre variabili contemporaneamente.

Non c'è niente di sbagliato in questo, ma alla fine eravamo convinti che fossero tutti significativamente diversi l'uno dall'altro.

1. Punti chiave Unë punoj në finale të video tutorialit nga oggi sono dhe seguenti: Le derivate parziali sono considerate alla stregua di quelle ordinarie, ma per calcolare la derivata parziale rispetto ad una variabile si considerano tutte le altre variabili comprese nella
2. questa funzione

, le prendiamo come costanti. Quando lavoriamo con le derivate parziali, utilizziamo le stesse formule standard delle derivat ordinarie: somma, differenza, derivata del prodotto e quoziente e, ovviamente, derivata di una funzione complessa. Natyrore, guardare questa lezione video da sola non è mjaftueshme per comprendere appieno questo argomento, quindi proprio ora sul mio sito web c'è una serie di problemi per quest video specificamente dedicato all'argomento di oggi: entra, scarica, risolvi problemi kontrolli i riposta.

E dopo, nessun problema con le derivat parziali né agli esami né in
lavoro indipendente

jo avrai. Naturalmente, questa non è l'ultima lezione di matematica superiore, quindi visita il nostro sito Web, aggiungi VKontakte, iscriviti a YouTube, metti mi piace e resta con noi!.

Gli studenti a tempo parziale, di regola, incontrano le derivate parziali nel 1° anno del 2° semestri. Inoltre, secondo le mie osservazioni, il compito di trovare le derivate parziali compare quasi semper nell'esame. Per efekt shtesë il seguente materiale per te necessario Essere in grado di trovare con maggiore o minore sicurezza le derivat “ordinarie” di funzioni di una variabile. Puoi imparare come gestire correttamente i derivati ​​· nelle lezioni Come trovare la derivata? E Derivata di un funzione complessa ..

Abbiamo anche bisogno di una tabella delle derivat funzioni elementari e le regole differenziazione, è più comforte se è a portata di mano in forma stampata. È është e mundur që materiale të riferimento nella faqe.

Formula dhe tabelle matematiche

Ripetiamo shpejte il concetto di funzione di due variabili, cercherò di limitarmi al minimo indispensabile.

Una funzione di due variabili viene solitamente scritta come, con le variabili chiamate variabili indipendenti O argomenti Esempio: – Funzione di due variabili. Një volte viene utilizata la notazione. Ci sono anche attività in cui viene utilizata la lettera invece di una lettera.

CON punto gjeometrike.

In termini di visione, una funzione di due variabili rappresenta molto spesso una superficie dello spazio tridimensionale (piano, cilindro, sfera, paraboloide, iperboloide, etj.).

Ma, në realtà, questo è di più gjeometria analitike e nella nostra axhenda

analisi matematica

, che non mi ha mai lasciato imbrogliare, il mio profesore universitario è il mio punto di forza.

Per prima cosa troviamo le derivat parziali del primo ordine.

Ce ne sono due.:
Dizajnimi
oppure – derivata parziale rispetto a “x”

oppure – derivata parziale rispetto a “y” Iniziamo con ..

Quando troviamo la derivata parziale rispetto a "x", la variabile è considerata una costante (numero costante)

Komento sulle azioni eseguite: (1) La prima cosa che facciamo quando troviamo la derivata parziale è concludere Tutto funzione tra parentesi sotto il primo.

con pedice Vëmendje, e rëndësishme!

NON PERDIAMO pedici durante il proceso di zgjidhje. Në questo caso, se disegni un "tratto" da qualche parte senza , l'insegnante, come minimo, può metterlo accanto al compito (mordere immediatamente parte del punto per disttenzione). (2) Usiamo le Regole differenziazione, . Per semplice esampio

come questo, entrambe le regole possono essere facilmente applicate in un unico passaggio.

Attenzione al primo termine: da allora

è considerata una costante e qualsiasi costante può essere eliminata dal segno della derivata , quindi lo mettiamo tra parentesi.Sioè, në questa situazione non è migliore di un numero normale..

Konsideroni ora il terzo termine: qui invece non c'è niente da togliere. Poiché è una costante, è anche una costante e in questo senso non è migliore dell'ultimo termine: "sette".

(3) Utilizziamo derivati ​​· tabulari e.

(4) Semplifichiamo o, come mi piace dire, “modifichiamo” la risposta.

Ora. Quando troviamo la derivata parziale rispetto a "y", allora la variabile:

konsideratë una costante (numero costante) (1) Usiamo le stesse regole differenziazione, . Nel primo termine togliamo la costante dal segno della derivata, nel secondo termine non possiamo togliere nulla perché è già una costante.(2) Utilizziamo la tabella delle derivat delle funzioni elementari. Cambiamo mentalmente tutte le “X” della tabella në “I”. Cioè, questa tabella è ugualmente valida per (e in effetti per quasi tutte le lettere). In particolare, le formule che utilizziamo assomigliano a questa: e .

! Shënim : Questo si riferisce alle direzioni che paralelo.

assi koordinimi
Për una migliore compressione, konsideratë un punto specifikeo sul piano dhe calcoliamo il valore della funzione (“altezza”) në esso:

– e ora immagina di essere qui (IN sipërfaqësor).

Calcoliamo la derivata parziale rispetto një "x" në një datë të punës: Il segno negativo della derivata “X” ci parla di rënie funziona në un punto nella direzione dell'asse delle ascisse. Në altre lirim me kusht, se facciamo un piccolo, piccolo (pafundësisht i vogël) passo verso la punta dell'asse

(paralel me një questo asse)

, poi scenderemo lungo la pendenza della superficie. Ora scopriamo la natura del “terreno” nella direzione dell'asse delle ordinate: La derivata rispetto alla “y” è quindi positiva in un punto nella direzione dell'asse della funzione

aumenta Nel primo termine togliamo la costante dal segno della derivata, nel secondo termine non possiamo togliere nulla perché è già una costante.. Per dirla semplicemente, qui ci aspetta una salita. Inoltre, la derivata parziale in un punto caratterizza

funzioni nella direzione corrispondente. Maggiore dhe il valore risultante modul – più la superficie è ripida, e viceversa, più è vicina allo zero, più la superficie è piatta. Quindi, nel nostro esempio, la “pendenza” in direzione dell’asse delle ascisse è più ripida della “montagna” në direzione dell’asse delle ordinate. Ma quelli erano due percorsi privati.È abbastanza chiaro che, dal punto in cui ci troviamo,

(e in generale da qualsiasi punto di una data superficie)

possiamo muoverci në qualche altra direzione.

C'è quindi interesse a creare una "mappa di navigazione" generale che ci informi sul "paesaggio" della superficiese është e mundur

në ogni punto

dominio di definicione di questa funzione

Ce ne sono due.:
lungo tutti dhe sentieri disponibili.
Di questo e di altre cose interessanti parlerò in una delle lezioni të njëpasnjëshme, ma per ora torniamo al lato tecnico della questione.
Sistematizziamo le regole elementari aplikoni: 1) Quando differenziamo rispetto a, la variabile è considerata una costante. 2) Quando la differenziazione viene effettuata secondo
Sistematizziamo le regole elementari aplikoni: 1) Quando differenziamo rispetto a, la variabile è considerata una costante., allora è considerata una costante.

3) Le regole e la tabella delle derivate delle funzioni elementari sono valide e applicabili per qualsiasi variabile (o qualsiasi altra) mediante la quale si effettua la differenziazione. la derivata seconda è la derivata della derivata prima.

Per comodità riscrivo le derivat parziali del primo ordine già trovate:

Innanzitutto, troviamo le derivat miste:

Come puoi vedere, tutto è semplice: prendiamo la derivata parziale e la differenziamo di nuovo, ma in questo caso - questa volta secondo la "Y".

Allo stesso modo:

NË esempi praktiki ci si può basare sulla seguente uguaglianza:

Përkundrazi, duke tërhequr derivatin miste del secondo ordine è molto easye verificare se abbiamo trovato correttamente le derivat parziali del primo ordine.

Trovare la derivata seconda rispetto a “x”.
Niente invenzioni, prendiamolo e differenziarlo nuovamente con “x”:

Allo stesso modo:

Va notato che quando si trova è necessario mostrare maggiore attenzione, poiché non esistono uguaglianze miracolose che le possano verificare.

Anche le derivate seconde trovano ampie applicazioni pratiche, in particolare vengon utilizzate nel problema della ricerca Estremi di una funzione di due variabili.

Ma ogni cosa ha il suo tempo:

Esempio 2

Calcolare le derivat parziali del primo ordine della funzione nel punto. Trova le derivat del secondo ordine. Questo è un sempió per necessario vendime të pavarura

(risposte alla fine della lezione). Se hai difficoltà a distinguere le radici, torna alla lezione:

Në përgjithësi, molto presto imparerai a trovare tali derivati ​​"al volo".

Mettiamo le mani su di più

esempi complessi

Esempio 3

Kontrollalo.

Annotare il differenziale totale del primo ordine.

Soluzione: Trovare le derivat parziali del primo ordine:

Attenzione al pedice: , accanto alla “X” non è vietato scrivere tra parentesi che è una costante.

Questa nota può essere molto utile per i principianti për lehtësimin e lundrimit në zgjidhjen e zgjidhjes. .

Komentet e fundit: .

(1) Spostiamo tutte le costanti oltre il segno della derivata.

In questo caso, e , e, quindi, il loro prodotto è considerato un numero costante.

Scriviamo il differenziale totale.

Nel contesto del compito in esame, non ha senso dire quale sia il differenziale totale di una funzione di due variabili.È e rëndësishme është se duhet të diferencohet në një problem të praktikës. Komplet diferencial

primo ordine

un funzione di due variabili ha la forma:

Në çast: Cioè, devi solo sostituire stupidamente le derivat parziali del primo ordine già trovate nella formula..

Në questa e in situazioni simili, è meglio scrivere i segni differenziali nei numeratori:

E secondo le ripetute richieste dei lettori,

differenziale completo del secondo ordine

Sembra questo:

Troviamo CON ATTENZIONE le derivatin “una lettera” nga 2° ordine:

e annotare il “mostro”, “attaccando” con cura i quadrati, il prodotto e senza dimenticare di raddoppiare la derivata mista: Non c'è problema se qualcosa sembra difficile; Puoi semper tornare alle derivat più tardi, dopo aver padroneggiato la tecnica differenziazione:

Esempio 4

Trovare le derivat parziali del primo ordine di una funzione

.

Kontrollalo.

Annotare il differenziale totale del primo ordine.

e annotare il “mostro”, “attaccando” con cura i quadrati, il prodotto e senza dimenticare di raddoppiare la derivata mista: .
Vediamo una serie di esempi con funzioni complesse:

Esempio 5

Trovare le derivat parziali del primo ordine della funzione.

Zgjidhja:

e annotare il “mostro”, “attaccando” con cura i quadrati, il prodotto e senza dimenticare di raddoppiare la derivata mista: .

Esempio 6

Annotare il differenziale totale. Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione). Non ti darò una soluzione completa perché è abbastanza semplice. Molto spesso, tutte le regole di cui sopra vengono applicate in combinazione. Esempio 7

(1) Usiamo la Regola per differenziare la somma .

Il secondo termine dipende SOLO da “x”, il che significa che è konsideratë una costante e tende a zero.

Per il terzo termine utiliziamo la Regola per differenziare una funzione complessa.

Per quei lettori che coraggiosamente sono arrivati​​quasi alla fine della lezione, per sollievo racconterò una vecchia battuta di Mekhmatov:

Un giorno, nello spazio delle funzioni, è apparso un derivato malvagio che ha iniziato a differenziare tutti.

Tutte le funzioni sono rrallë në tutte le direzioni, nessuno vuole trasformarsi!

E solo una funzione jo scappa.

Il derivato le si avvicina e le chiede:

- Perché non scappi da me?

e annotare il “mostro”, “attaccando” con cura i quadrati, il prodotto e senza dimenticare di raddoppiare la derivata mista: .

- Ah.

Ma non mi interessa, perché sono “e alla potenza di X”, e tu non mi farai niente!

Al che il derivato malvagio con un sorriso insidioso risponde: - È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero. Chiunque abbia capito lo scherzo padroneggia i derivati, almeno al livello “C”). Esempio 8 Questo è un esempio che puoi risolvere da solo.

La soluzione completa e l'esempio del problema si trovano alla fine della lezione. Esempio 8 Bene, questo è quasi tutto.

La soluzione completa e l'esempio del problema si trovano alla fine della lezione. - È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero. E pafundme, jo posso fare a meno di compiacere gli amanti della matematica con un altro esempio.

Non si tratta nemmeno di dilettanti, ognuno ha un diverso livello di preparazione matematica: ci sono persone (e jo così e rrallë) a cui piace competere con compiti più difficili. Tuttavia, l'ultimo esempio di questa lezione nuk është è tanto komplesso quanto macchinoso da un punto di vista computazionale. Ogni derivata parziale (di

X e da .

Se è è difficile concentrarsi per tenere traccia di dove si trova la costante nella funzione, nella bozza della soluzione dell'esempio, invece di una variabile con un valore fisso, puoi sostituire qualsiasi numero - quindi puoi dadam calcololaaria derivatare una funzione di una variabile.

Devi solo ricordarti di riportare la costante (una variabile con un valore fisso) al suo posto quando finisci il progetto finale.

La proprietà delle derivate parziali sopra descritta deriva dalla definizione di derivata parziale, che può comparire nelle domande d'esame. Për shembull, për njohjen e përkufizimit seguente, është e mundur për të riferuar teorinë.= Concetto di continuità della funzione(- È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero., Esempio 8 z

F Për shembull, për njohjen e përkufizimit seguente, është e mundur për të riferuar teorinë. = Concetto di continuità della funzione(- È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero., Esempio 8) në un punto è definito në modo simile a questo concetto per una funzione di una variabile.

Funzione Për shembull, për njohjen e përkufizimit seguente, është e mundur për të riferuar teorinë.) è detto continuo in un punto se

La differenza (2) dhe chiamata incremento totale della funzione Për shembull, për njohjen e përkufizimit seguente, është e mundur për të riferuar teorinë.= Concetto di continuità della funzione(- È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero., Esempio 8(si ottiene vijnë risultato degli incrementi di entrambi gli argomenti).

Si të dhënat e funzione Për shembull, për njohjen e përkufizimit seguente, është e mundur për të riferuar teorinë.) e punto - È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero. Se la funzione cambia Esempio 8 si verifikuar quando cambia solo uno degli argomenti, ad esempio,

, con un valore fisso di un altro argomento Concetto di continuità della funzione(- È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero., Esempio 8, la funzione riceverà un incremento - È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero..

chiamato incremento parziale della funzione Për shembull, për njohjen e përkufizimit seguente, është e mundur për të riferuar teorinë.) Di

Konsideroni un cambiamento di funzione

a seconda della modifica di uno solo degli argomenti, si passa effettivamente a una funzione di una variabile. Concetto di continuità della funzione(- È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero., Esempio 8 Shihni në fund të fundit - È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero. allora si chiama derivata parziale della funzione

(4)

) per argomento Për shembull, për njohjen e përkufizimit seguente, është e mundur për të riferuar teorinë. ed è indicato da uno dei simboli Esempio 8:

L'incremento parziale viene determinato në modo simile Concetto di continuità della funzione(- È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero., Esempio 8, la funzione riceverà un incremento Esempio 8:

(6)

Di

e derivata parziale

(Esempio 8 Esempio 1.

Soluzione.

(- È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero. Troviamo la derivata parziale rispetto alla variabile "x":

fisso);

Troviamo la derivata parziale rispetto alla variabile "y": fisso).

Come puoi vedere, non ha importanza quanto la variabile sia fissa: in questo caso è semplicemente un certo numero che è un fattore (come nel caso della derivata ordinaria) della variabile con cui troviamo la derivata parziale.

Se la variabile fissa non viene moltiplicata per la variabile con cui troviamo la derivata parziale, allora questa costante solitaria, non importa in quale misura, come nel caso della derivata ordinaria, svanisce. Esempio 2. (1; 2).

Të dhënat janë funksionale Esempio 8 Trova le derivat parziali (per X) e (per Y) e calcolare i loro valori nel punto):

.

OKB - È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero. la derivata del primo termine si trova come derivata della funzione esponenziale e la seconda come derivata di una costante:

Ora calcoliamo i valori di queste derivat parziali nel punto Esempio 2. (1; 2):

Puoi controllare la soluzione ai problemi delle derivate parziali su e da .

Esempio 3. Trovare le derivat parziali di una funzione

Soluzione.

(Esempio 8 - È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero. Në un solo passaggio troviamo - È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero., eja se l'argomento del seno fosse 5

(- È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero.: allo stesso modo compare 5 prima del segno della funzione); Esempio 8).

Puoi controllare la soluzione ai problemi delle derivate parziali su e da .

è fisso ed è in questo caso un moltiplicatore a

Le derivat parziali di una funzione di tre o più variabili sono i caktuar në modo simile. - È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero.; Esempio 8; ...; Se ogni insieme di valori ( T ) variabili indipendenti dall'insieme D corrisponde a un valore specifico tu da molti E corrisponde a un valore specifico Quello - È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero., Esempio 8, ..., Se ogni insieme di valori ( chiamata funzione di variabili corrisponde a un valore specifico= Concetto di continuità della funzione(- È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero., Esempio 8, ..., Se ogni insieme di valori ().

e denotare

Per le funzioni di tre o più variabili non esiste un'interpretazione geometrica.

Anche le derivate parziali di una funzione di più variabili vengono determinate e calcolate presupponendo che cambi solo una delle variabili indipendenti, mentre le altre rimangono fisse. Trovare le derivat parziali di una funzione

.

Esempio 4. Esempio 8 Essere in grado di trovare con maggiore o minore sicurezza le derivat “ordinarie” di funzioni di una variabile. Për shembull, për njohjen e përkufizimit seguente, është e mundur për të riferuar teorinë. Soluzione.

- È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero. Essere in grado di trovare con maggiore o minore sicurezza le derivat “ordinarie” di funzioni di una variabile. Për shembull, për njohjen e përkufizimit seguente, është e mundur për të riferuar teorinë. Soluzione.

- È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero. Essere in grado di trovare con maggiore o minore sicurezza le derivat “ordinarie” di funzioni di una variabile. Esempio 8 Soluzione.

fisso:

Trova tu stesso le derivat parziali e poi guarda le soluzioni

Esempio 5. Esempio 6.

Trovare le derivat parziali di una funzione. La derivata parziale di una funzione di più variabili ha la stessa cosa il significato meccanico è lo stesso della derivata di una funzione di una variabile

, è la velocità di variazione della funzione rispetto alla variazione di uno degli argomenti. Esempio 8. Valore quantitativo del flusso P passeggeri linee ferroviarie

può essere espresso da una funzione Valore quantitativo del flusso Pëllumb - numero di passeggeri, N – numero di residenti nei punti corrispondenti, R

– distanza tra i punti. Valore quantitativo del flusso ed è indicato da uno dei simboli – numero di residenti nei punti corrispondenti, Derivata parziale di una funzione

, uguale

mostra che la diminuzione del flusso di passeggeri è inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra punti corrispondenti con lo stesso numero di residenti nei punti. Valore quantitativo del flusso ed è indicato da uno dei simboli - numero di passeggeri, Derivata parziale di una funzione

Derivata parziale

Puoi controllare la soluzione ai problemi delle derivate parziali su e da .

Nel contesto del compito in esame, non ha senso dire quale sia il differenziale totale di una funzione di due variabili.

mostra che l'aumento del flusso di passeggeri è proporzionale al doppio del numero di residenti degli insediamenti alla stessa distanza tra i punti.

Il prodotto di una derivata parziale per l'incremento della corrispondente variabile indipendente è detto differenziale parziale.

(7)

I differenziali parziali sono indicati come segue: La somma dei differenziali parziali di tutte le variabili indipendenti dà il differenziale totale.

Soluzione.

Il risultato dell'utilizzo della formula (7):

Una funzione che ha un differenziale totale in ogni punto di un certo dominio si zare differenziabile in quel dominio.

Trova tu stesso il differenziale totale e poi guarda la soluzione

Proprio come nel caso di una funzione di una variabile, la differenziabilità di una funzione in un certo dominio implica la sua continuità in questo dominio, ma jo anasjelltas.

Formulamo senza dimostrazione una condizione mjaftueshme per la differenziabilità di una funzione. Teorema. Për shembull, për njohjen e përkufizimit seguente, është e mundur për të riferuar teorinë.= Concetto di continuità della funzione(- È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero., Esempio 8 Se la funzione

) ha derivat parziali vazhdoj

në una data regione, allora è differenziabile in questa regione e il suo differenziale è formula espresso dalla (7).

Si può dimostrare che, proprio come nel caso di una funzione di una variabile, il differenziale della funzione è la parte lineare principale dell'incremento della funzione, così nel caso di una funzione di più variabili, il differenziale linearerisaleto agli incrementi delle variabili indipendenti, fa parte dell'incremento totale della funzione.

(8)

Per una funzione di due variabili, l'incremento totale della funzione ha la form

pëllumb α e β sono infinitesimi në e .

Derivat parziali di ordine superiore Concetto di continuità della funzione(- È qui che ti sbagli, ti differenzierò per “Y”, quindi dovresti essere uno zero., Esempio 8 Derivat parziali e funzioni

) sono esse stesse alcune funzioni delle stesse variabili e, a loro volta, possono avere derivat rispetto a variabili divers, che si chiamano derivat parziali di ordine superiore.

Le derivat parziali vengono utilizzate nei problemi che coinvolgono funzioni di più variabili.

Le regole per la ricerca sono esattamente le stesse delle funzioni di una variabile, con l'unica differenza che una delle variabili deve essere considerata una costante (numero costante) al momento della differenziazione.

Formula

Le të derivatit parziali di una funzione di due variabili $ z(x,y) $ sono scritte nella seguente forma $ z"_x, z"_y $ e si trovano utilizzando le formulë:

Derivat parziali del primo ordine

$$ z"_x = \frac(\z i pjesshëm)(\x i pjesshëm) $$

$$ z"_y = \frac(\z pjesshme)(\pjesshme y) $$

Derivat parziali del secondo ordine

$$ z""_(xx) = \frac(\parziale^2 z)(\parziale x \parziale x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \pjesshëm y) $$

Derivato misto

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \pjesshëm y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\parziale^2 z)(\parziale y \parziale x) $$

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\ z) (\ pjesore x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\ z)(\ pjesshme y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) Sia $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, quindi le derivate parziali della funzione si trovano con la formula:

$$ \frac(\z i pjesshëm)(\ u pjesshëm) = \frac(\z i pjesshëm)(\ i pjesshëm x) \cdot \frac(\ x)(\ i pjesshëm) + \frac(\z i pjesshëm)( \pjesshëm y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\ z) (\ pjesshme v) = \frac(\ z) (\ pjesore x) \cdot \frac (\ x) (\ pjesore v) + \frac (\ z)( \pjesshme y) \cdot \frac(\pjesshme y)(\pjesshme v) $$

Rrjedh parziali di una funzione implicita

a) Sia $ F(x,y(x)) = 0 $, allora $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Sia $ F(x,y,z)=0 $, allora $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Esempi di soluzioni