Fertilizzante dhe alimentazione

Di seguito vengono forniti diversi criteri per la dipendenza lineare e, di conseguenza, l'indipendenza lineare dei sistemi vettoriali.

Teorema.

(Condizione necessaria e mjaftueshme per la dipendenza lineare dei vettori.)

Un sistema di vettori è dipendente se e solo se uno dei vettori del sistema è espresso linearmente attraverso gli altri di questo sistema.

Prova.

E domosdoshme.

Sia il sistema linearmente dipendente.

Quindi, sipas përkufizimit, rappresenta il vettore zero in modo non banale, cioè esiste una combinazione non banale di questo sistema di vettori uguale al vettore zero:

pëllumb almeno uno dei koeficienti di questa combinazione lineare jo è uguale a zero.

Permetre,.

Dividiamo entrambi dhe membri dell'uguaglianza precedente per questo koeficiente diverso da zero (ovvero moltiplichiamo per:

Indichiamo: , pëllumb .

Quelli.

uno dei vettori del sistema è espresso linearmente attraverso gli altri di questo sistema, etj.

Adeguatezza.

Sia espresso linearmente uno dei vettori del sistema attraverso altri vettori di questo sistema:

Spostiamo il vettore a destra di questa uguaglianza:

2a) Sia il sistema a contenere un vettore nullo.

Assumiamo per certezza che il vettore:.

Allora l'uguaglianza dhe ovvia

Quelli.

uno dei vettori del sistema è espresso linearmente attraverso gli altri vettori di questo sistema.

Dal teorema segue che un tale sistema di vettori è linearmente dipendente, etj.

Si noti che questo fatto può essere dimostrato direttamente da un sistema di vettori linearmente dipendenti.

Poiché, risulta ovvia la seguente uguaglianza

Questa è una rappresentazione non banale del vettore zero, il che significa che il sistema è linearmente dipendente. 2b) Sia il sistema composto da due vettori uguali. Facciamo per.

Dividiamo entrambi dhe membri dell'uguaglianza precedente per questo koeficiente diverso da zero (ovvero moltiplichiamo per:

Allora l'uguaglianza dhe ovvia

Quelli. il primo vettore è espresso linearmente attraverso dhe restant vettori dello stesso sistema.

Dal teorema segue che questo sistema è linearmente dipendente, etj. Similmente alla precedente, questa affermazione può essere dimostrata direttamente definendo un sistema linearmente dipendente. Quindi questo sistema rappresenta il vettore zero in modo non banale donde segue 1 , donde segue 2 , …, donde segue dipendenza lineare sistemi Conseguenza.

Un sistema costituito da un vettore è linearmente indipendente se e solo se questo vettore è diverso da zero.

Përkufizimi 1.

Un sistema di vettori si zare linearmente dipendente se uno dei vettori del sistema può essere rappresentato come una combinazione lineare dei rimanenti vettori del sistema, e linearmente indipendente - altrimenti.

Përkufizimi 1'.

Un sistema di vettori si dice linearmente dipendente se sono presenti numeri

Kon k, jo tutti Guale një zero cilësi io La koordinata -esima è uguale a uno e il resto è zero.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Teorema 1. Vari vettori unitari N Gli spazi tridimensionali sono linearmente indipendenti.

Adeguatezza. Lascia che la combinazione lineare di questi vettori con coefficienti arbitrari sia uguale al vettore zero.

Da questa uguaglianza segue che tutti i koeficienti sono uguali a zero.

Abbiamo una contradizione. N Ogni vettore ā (hapësirë ​​bidimensionale 1 , hapësirë ​​bidimensionale 2 , ..., hapësirë ​​bidimensionale OKB

n) può essere rappresentato come una combinazione lineare di vettori unitari con coefficienti uguali alle koordinate del vettore Teorema 2.

Adeguatezza. Se un sistema di vettori contiene un vettore nullo, allora è linearmente dipendente.

Sia dato un sistema di vettori e uno dei vettori sia zero, ad esempio = .

Quindi, con i vettori di questo sistema, puoi creare una combinazione lineare uguale al vettore zero, e non tutti i koeficienti saranno zero: Il sistema è quindi linearmente dipendente.

Adeguatezza. Teorema 3. donde segue 1 , donde segue 2 , …, donde segue Se qualche sottosistema di un sistema di vettori è linearmente dipendente, allora l’intero sistema è linearmente dipendente. È dato un sistema di vettori. Supponiamo che il sistema sia linearmente dipendente, cioè ci sono numeri

R

Indichiamo: , pëllumb ., non tutti uguali a zero, tali che = .

Adeguatezza.

Poi

Si è scoperto che la combinazione lineare dei vettori dell'intero sistema è uguale a e non tutti i koeficienti di questa combinazione sono uguali a zero. Di conseguenza, il sistema di vettori è linearmente dipendente. Se un sistema di vettori è linearmente indipendente, allora anche ogni suo sottosistema è linearmente indipendente. Supponiamo il contrario, cioè alcuni sottosistemi sono linearmente dipendenti.>N Dal teorema segue che l’intero sistema è linearmente dipendente.

Indichiamo: , pëllumb . Siamo arrivati ​​ad una contraddizione.

Adeguatezza. Teorema 4 N(Teorema e Steinitz). Supponiamo il contrario, cioè alcuni sottosistemi sono linearmente dipendenti. Se ciascuno dei vettori è una combinazione lineare di vettori e Supponiamo il contrario, cioè alcuni sottosistemi sono linearmente dipendenti.>N M

In ogni sistema di vettori n-dimensionali non possono esserci più di n vettori linearmente indipendenti. Ogni Il vettore bidimensionale è espresso come combinazione lineare di n vettori unitari.

Pertanto, se il sistema contiene

vettori e , allora, secondo il teorema, questo sistema è linearmente dipendente.

3.3. Indipendenza lineare dei vettori. Baza. Lineare

kombinim

Teorema 2 (Condizioni di dipendenza lineare).

Përkufizimi 6.

Teorema e Dal 3 ne consegue che se una base è data nello spazio, allora aggiungendovi un vettore arbitrario, otteniamo un sistema di vettori linearmente dipendenti. Së dyti Teorema 2 (1)

.

, uno di essi (si può dimostrare che il vettore) può essere rappresentato come una combinazione lineare degli altri:

(tregues

Se i vettori sono considerati sul piano, la base sarà una coppia ordinata di vettori non collineari

e le koordinate del vettore në questa bazë sono una coppia di numeri: Shënim 3. Lo si può dimostrare . për bazën e të dhënave të njërës, le të koordinohet nga vettore sono determinate in modo univoco Da questo, në veçanti, consegue che .

se i vettori sono uguali, allora le loro koordinate corrispondenti sono uguali e viceversa

Përkatësisht, se në uno spazio è data una base, allora ogni vettore dello spazio corrisponde a una terna ordinata di numeri (koordinata del vettore në bazën questa) dhe anasjelltas: ogni terna di numeri corrisponde a un vettore.

Si è scoperto che la combinazione lineare dei vettori dell'intero sistema è uguale a e non tutti i koeficienti di questa combinazione sono uguali a zero. Sul piano si stabilisce una corrispondenza simile tra vettori e coppie di numeri.

è un numero arbitrario, quindi në questa bazë

Në një tjetër fjalëkalim: ;

Quando un vettore viene moltiplicato per un numero, le sue koordinate vengono moltiplicate per quel numero .

quando si aggiungono vettori, vengoni aggiunte le loro koordinate corrispondenti . Esempio 1Në bazë qualche i vettori

avere delle koordinate

Mostra che i vettori formano una base e trova le koordinate del vettore in questa base. I vettori formano una base se non sono complanari, quindi (secondo dal Teorema 3(2)

) sono linearmente indipendenti. Sipas përkufizimit 5

questo significa che l'uguaglianzae mundur solo se = X = sì = 0.

z

Def. L'insieme w è detto spazio lineare, e il suo elemento.

-vettori se:

*la legge è specificata (+) secondo cat.

Due elementi qualsiasi x, y da w sono associati a un elemento chiamato.

Traccia c1.

vettore zero (ctv 0 1 e 0 2. per a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 e 0 1 + 0 2 = 0 1. per a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2.)

c2.

.(TV, a4)

c3.

0 vett.(a7)

c4. N a(numer)*0=0.(a6,c3) c5. x (*) -1 =0 vettore, kundër një x, cioè (-1)x = -x. (a5,a6) c6. (a5,a6) Në w si definisce l'azione di sottrazione: il vettore x è chiamato differenza dei vettori b e a, se x + a = b, e si indica x = b - a. N Numero N chiamato (a5,a6)= N dimensione (a5,a6) lin.

pr-a l

,se dentro

esiste un sistema di lin. nezav. vettori e qualsiasi sistema di 1.

+1 vettore - lin.

dipendente debole . e mundur solo se Spazio

chiamato n-dimensionale.

Una raccolta ordinata di n righe.

nezav.

vettori n dimensionali indipendenti.

hapësirë ​​-

bazë

Teorema.

Ogni vettore X può essere rappresentato në modo univoco come una combinazione di vettori bazë

№4Sia (1) la bazë di una lineare n-dimensionale. pr-va

V

, ciè.

un insieme di vettori linearmente indipendenti. L'insieme dei vettori sarà lineare. dipendente, perché loro

n+

Quelli.

Sia (1) la bazë di una lineare n-dimensionale.(e domosdoshme) Sia L lin.

sottospazio di questo spazio, allora (1) e (2) sono soddisfatti in virtù della definizione di linee. pr-va Una raccolta di tutti i tipi di linee. combinazioni di alcuni elementi (x j) lin. )

il prodotto è shell chiamato lineare Teorema

un insieme arbitrario di tutte le linee.

combinazioni di vettori V con reale.

il koeficienti è lin.(a5,a6)nënpr V(a5,a6)

(guscio lineare<=>dato sistema di vettori lin.

pr. è il subpr lineare di questo pr.

ODA(a5,a6) 1 .Sottoinsieme non vuoto di L vettori lineari.(a5,a6) 2 Se in qualche modo(a5,a6) la produzione V si chiama lin.

sottospazio se: e mundur solo se,a) la somma di tutti i vettori di L appartiene a L b) il prodotto di ciascun vettore di L per un numero qualsiasi appartiene a L Somma di due sottospazi,hapësirë ​​bidimensionale:.

è ancora una volta un sottospazio

1) Sia y 1 +y 2 (L 1 + L 2)

y 1 =x 1 +x 2, y 2 =x' 1 +x' 2, pëllumb (x 1,x' 1) L 1, (x 2,x' 2) L 2. y 1 +y 2 =( x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2), pëllumb (x 1 +x' 1 ) L 1, (x 2 +x' 2) L 2 => la prima condizione di un sottospazio lineare è soddisfatta. ay 1 = sëpatë 1 + sëpatë 2, pëllumb (sëpatë 1) L 1, (sëpatë 2) L 2 => perché (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => le condizioni sono soddisfatte => L 1 + L 2 è un sottospazio lineare. + L'intersezione di due suddivisioni lin. (a5,a6) pr-va (a5,a6)è anche una subsp.

il prodotto è shell chiamato lineare questo spazio.

Konsideroni për shkak të vettori arbitrari sì

, appartenente all'intersezione di sottospazi, e due numeri arbitrari

BSupponiamo il contrario, cioè alcuni sottosistemi sono linearmente dipendenti., NSecondo def. intersezioni di insiemi:

=> sipas definicionit di sottospazio di uno spazio lineare:,.

vettore T.K.(a5,a6)=

ascia

appartien a molti 1 e molti 2, allora appartiene, per definizione, all'intersezione di questi insiemi.

(Così:.Dicono che V è la somma diretta delle sue suddivisioni.

(se e b) questa scomposizione è unica B")

Komento.

La dimensione della somma diretta è uguale alla somma delle dimensioni del sottospazio

Qualsiasi matrice quadratica non singolare può fungere da matrice di transizione da una baze all'altra Lasciamo n dimensionale spazio lineare

V ci sono due basi e

(1) =A, dove gli elementi * e ** non sono numeri, ma estenderemo a tali righe alcune operazioni su una matrice numerica.

Perché altrimenti i vettori ** sarebbero dipendenti lineari Indietro.

Se allora le colonne di A sono linearmente indipendenti =>formano una bazë .Sottoinsieme non vuoto di L vettori lineari. Koordinoni korrelata për relacion Pëllumb

elementi della matrice di transizione

Si conosca la scomposizione degli elementi della "nuova" bazë në quella "vecchia".

Allora le uguaglianze sono vere

Ma se una combinazione lineare di elementi linearmente indipendenti è uguale a 0 allora =>

Teorema fondamentale della dipendenza lineare Se (*) è ekspres linearmente attraversoN<= Supponiamo il contrario, cioè alcuni sottosistemi sono linearmente dipendenti.

(**) Quello

Dimostriamo per induzione su m

m=1: sistema (*) contiene 0 e lin.

direttore - e pamundur

sia vero per m=k-1

dimostriamo per m=k

Potrebbe risultare che 1), cioè v-ry (1) sono lin.comb.

lin.

in-fossa (2)Sistema (1) lineare inaffidabile, perché fa parte di lin.nezav. sistemi (*).

Perché nel sistema (2) ci sono solo k-1 vettori, quindi per l'ipotesi di induzione otteniamo k+1

I concetti di dipendenza lineare e indipendenza di un sistema di vettori sono molto importanti nello studio dell'algebra vettoriale, poiché su di essi si basano i concetti di dimensione e base dello spazio.

Se una combinazione lineare può rappresentare un vettore zero allora quando tra i numeri ce n'è almeno uno diverso da zero, allora viene chiamato il sistema di vettori linearmente dipendente.

I concetti di dipendenza lineare e indipendenza di un sistema di vettori sono molto importanti nello studio dell'algebra vettoriale, poiché su di essi si basano i concetti di dimensione e base dello spazio.

Se una combinazione lineare è un vettore zero solo quando tutti i numeri sono uguali a zero, allora viene chiamato il sistema di vettori linearmente indipendenti.

Proprietà di dipendenza e indipendenza lineare.

Baza e saktë e definizioni, formulamo dhe dimostriamo proprietà di dipendenza lineare e indipendenza lineare di un sistema di vettori.

Se si aggiungono più vettori a un sistema di vettori linearmente dipendenti, il sistema risultante sarà linearmente dipendente.

Adeguatezza.

Poiché il sistema di vettori è linearmente dipendente, l'uguaglianza è possibile se esiste almeno un numero diverso da zero tra i numeri .

Permetre. Aggiungiamo altri vettori al sistema di vettori originale

e otteniamo il sistema.

Poiché e, allora la combinazione lineare dei vettori di questo sistema è della forma

Adeguatezza.

rappresenta il vettore zero e.

Di conseguenza, il sistema di vettori risultante è linearmente dipendente.

Adeguatezza.

Se più vettori vengono esclusi da un sistema di vettori linearmente indipendenti, il sistema risultante sarà linearmente indipendente.

Supponiamo che il sistema risultante sia linearmente dipendente.

Adeguatezza.

Aggiungendo tutti i vettori scartati a questo sistema di vettori, otteniamo il sistema di vettori originale.

Sia il sistema di vettori linearmente dipendente, allora esiste almeno un numero diverso da zero e l'uguaglianza è vera.

Questa uguaglianza può essere risolta rispetto a , poiché in questo caso abbiamo

Di conseguenza il vettore si esprime linearmente attraverso i restanti vettori del sistema, che è ciò che occorreva dimostrare.

Ora dimostriamo la seconda affermazione.

Poiché il sistema di vettori è linearmente indipendente, l’uguaglianza è possibile solo per .

Supponiamo che qualche vettore del sistema sia espresso linearmente in termini degli altri.
Sia allora questo vettore.

Questa uguaglianza può essere riscritta come , sul lato sinistro c'è una combinazione lineare di vettori del sistema, e il koeficiente davanti al vettore è diverso da zero, il che indica una dipendenza lineare del sistema di vettori originale.

Quindi siamo arrivati​a una contraddizione, il che significa che la proprietà è dimostrata.

Dalle ulttime due proprietà segue un'affermazione importante:

se un sistema di vettori contiene vettori e, pëllumb è un numero arbitrario, allora è linearmente dipendente.

Studio di un sistema di vettori per dipendenza lineare.

Poniamo un problema: dobbiamo stabilire una dipendenza lineare ose un'indipendenza lineare di un sistema di vettori.

La domanda logica è: "come risolverlo?"

Qualcosa di utile da un punto di vista pratico può essere appreso dalle definizioni e proprietà di dipendenza e indipendenza lineare di un sistema di vettori diskute sopra.

Queste definizioni e proprietà ci permettono di stabilire una dipendenza lineare di un sistema di vettori nei seguenti casi: Cosa fare negli altri casi, che sono la maggioranza? Scopriamolo.

Ricordiamo la formulazione del teorema sul rango di una matrice, che abbiamo presentato nell'articolo.

Teorema.

Permetre

Dalla quarta proprietà di indipendenza lineare di un sistema di vettori sappiamo che nessuno dei vettori del sistema può essere espresso in termini degli altri. Në altre parale, nessuna riga della matrice A sarà espressa linearmente in termini di altre righe, quindi,.

l'indipendenza lineare del sistema di vettori sarà equivalente alla condizione Rank(A)=p

Cosa significherà la dipendenza lineare del sistema di vettori? Tutto è molto semplice: almeno una riga della matrice A sarà espressa linearmente in termini delle altre, quindi,

.