Come trovare il gradiente di una funzione.

Fiori nelle serre Concetto derivata direzionale

considerato per funzioni di due e tre variabili.

Per comprendere il significato della derivata direzionale è necessario confrontare le derivate per definitione

Quindi, Ora possiamo trovare la derivata direzionale di questa funzione utilizzando la sua formula: .

E ora - kompiti. Fornisce una funzione non di tre, ma solo di due variabili, ma il vetore di direzione è specificato in modo leggermente diverso. Quindi dovrai ripeterlo di nuovo0 (1; 2) veterinare algjebër Quindi dovrai ripeterlo di nuovo1 Esempio 2.

Trovare la derivata di una funzione in un punto M nella direzione del vettore, pëllumb

- punto con koordinate (3; 0). Il vettore che specifica la direzione della derivata può essere fornito nella forma come nell'esempio seguente - nella forma espansione në versori degli assi koordinim Quindi dovrai ripeterlo di nuovo0 (1; 1; 1) , ma questo è un argomento familiare fin dall'inizio dell'algjebra vettoriale.

Esempio 3.

Trova la derivata di una funzione Quindi dovrai ripeterlo di nuovo0 :

al punto

.

nella direzione del vettore.

Soluzione. Quindi dovrai ripeterlo di nuovo0 Troviamo i coseni direzionali del vettore Quindi dovrai ripeterlo di nuovo0 Troviamo le derivat parziali della funzione nel punto

Për shembull, possiamo trovare la derivata direzionale di quest funzione utilizzando la sua formule:

Funzione gradiente Gradiente di una funzione di più variabili in un punto caratterizza la direzione di massima crescita di questa funzione nel punto e l'entità di questa crescita massima. Come trovare il gradiente?

.

È necessario determinare un vettore le cui proiezioni sugli assi koordini sono i valori

derivat parziali

, questa funzione nel punto corrispondente:

Cioè, dovrebbe funzionare

rappresentazione di un vettore mediante vettori unitari degli assi koordinuar

, në cui la derivata parziale corrispondente al suo asse viene moltiplicata per ciascuna unità. Konsideroni formulën për derivatet e një shkalle të funksionimit dhe nella direzione λ

La derivata di un funzione në una të dhëna direzione è uguale al prodotto scalare del gradiente della funzione dhe del versore di questa direzione.

Espandendo il prodotto scalare si ottiene

,

pëllumb φ è l'angolo formato dal vettore laurea e raggio λ.

Raggiunge il massimo valore

Quindi, esiste il valore massimo della derivata in un dato TR, e la direzione grad u rastësi con la direzione del raggio emergente dal TR, lungo il quale la funzione cambia più velocemente.

Stabiliamo una connessione tra la direzione del gradiente della funzione dhe le superfici piane del campo scalare.

Teorema. Il gradiente della funzione u (x,y,z) në ciascun punto rastësi con la normale alla siperficie piana del campo scalare che passa per questo punto.

Prova. Scegliamo un t arbitrario P 0 (x 0, y 0, z 0).

Equazione della superficie

livello passante

cioè sarà u(x,y,z)= ,

u0 = u(x0, y0, z0)

L'equazione della normale a questa siperficie sarà

Ne consegue che la direzione del vettore normale, che ha proiezioni , и il gradiente della funzione u (x, y, z) në t P 0, ecc.

Pertanto, la pendenza në ciascun punto è perpendicolare al piano tangente alla superficie piana che passa per questo punto, cioè la sua proiezione su questo piano è zero.

Quindi: La derivata në qualsiasi direzione tangente alla superficie piana che passa per un dato punto è uguale a zero.

Pronësia e bazës së funksionit të gradientit:

2) grado , pëllumb C - Kostoja

4)grado

Tutte le proprietà vengono dimostrate utilizzando la definizione del gradiente di una funzione.

Esempio. Nel punto M(1, 1, 1) trovare la direzione del massimo cambiamento nel campo scalare e l'entità di questo cambiamento.

Pendenza funzioni– una grandezza vettoriale, la cui determinazione è associata alla determinazione delle derivate parziali della funzione.

La direzione del gradiente indica il percorso di crescita più rapida della funzione da un punto all'altro del campo scalare.

1. Istruzioni

2. Il gradiente è un vettore, la cui direzione indica la direzione dell'aumento più rapido della funzione F. Per fare ciò, sul grafico vengono selezionati due punti M0 e M1, che sono gli estremi del vettore.

3. L'entità del gradiente è uguale al tasso di aumento della funzione dal punto M0 al punto M1.

4. La funzione è differenziabile in tutti i punti di questo vettore quindi le proiezioni del vettore sugli assi koordini sono tutte sue derivate parziali;

5. Quindi la formula del gradiente sarà simile a questa: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, dove i, j, k sono le koordinate del vettore unitario.

6. In altre parole, il gradiente di una funzione è un vettore le cui koordinate sono le sue derivat parziali grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

7. Esempio 1. Sia data la funzione F = sin(x z?)/y.

8. È necessario rilevarne il gradiente nel punto (?/6, 1/4, 1).

9. Soluzione. Determinare le derivat parziali rispetto a variabile ciascuna: F'_х = 1/y сos(х z?) z?; F'_y = sin(x z?) (-1) 1/(y?); '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

Sostituiamo i famosi valori delle koordinate del punto: F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3;

La direzione del gradiente indica il percorso di crescita più rapida della funzione da un punto all'altro del campo scalare.

1. F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8;

2. F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.

3. Annota come vengono determinate le componenti di un vettore che è il gradiente di un determinato campo.

4. Tutte le koordinate di tale vettore sono uguali alla derivata del potenziale scalare rispetto alla variabile di cui si sta calcolando la koordina.

5. Sioè, se devi calcolare la komponente "x" del vettore del gradiente di campo, allora devi differenziare la funzione scalare rispetto alla variabile "x".

Si prega di notare che la derivata deve essere parziale.

Ciò significa che durante la differenziazione, le restanti variabili che non sono coinvolte në essa devono essere costanti të vëmendshëm.

• Scrivi un'spressione per il campo scalare.
• Come è noto, questo termine implica soltanto una funzione scalare di più variabili, che sono anch'esse quantità scalari.

La direzione del gradiente indica il percorso di crescita più rapida della funzione da un punto all'altro del campo scalare.

1. Il numero di variabili di una funzione scalare è limitato dalla dimensione dello spazio.

2. Differenziare la funzione scalare separatamente rispetto a variabile ciascuna.

3. Di conseguenza, otterrai tre nuove funzioni. Scrivi qualsiasi funzione nell'espressione per il vettore del gradiente del campo scalare. du, possiamo konkludoj che la derivata nella direzione s nel punto M è uguale a: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alfa)+ ((df/dy)|M) cos ( beta) +((df/dz)|M) cos(gama).Se s= s(sx,sy,sz), allora la direzione coseni (cos(alfa), cos(beta), cos(gama)) vengono calcolati (vedi Fig. 1a).

4. Përkufizimi i derivateve të direzionale, konsideron il punto M una variabile, può essere riscritta nella forma di un prodotto scalare: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alfa) , cos(beta), cos (gama)))=(grad u, s^o).

5. Questa espressione sarà oggettiva per un campo scalare.

Se una funzione è considerata facilmente, allora gradf è un vettore avente koordinate coincidenti con le derivat parziali f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k.

Pendenza Qui (i, j, k) sono i vettori unitari degli assi di koordinon në një sistem të koordinatave karteziane rettangolari. Pendenza Se usiamo l'operatore vetoriale differenziale hamiltoniano, allora gradf può essere scritto come la moltiplicazione di questo operatore vetoriale per lo scalare f (vedi Fig. 1b).

Ciò significa che durante la differenziazione, le restanti variabili che non sono coinvolte në essa devono essere costanti të vëmendshëm.

• Dal punto di vista del collegamento tra gradf e la derivata direzionale, l'uguaglianza (gradf, s^o)=0 è accetabile se questi vettori sono ortogonali.

La direzione del gradiente indica il percorso di crescita più rapida della funzione da un punto all'altro del campo scalare.

1. Di conseguenza, gradf è spesso definito come la direzione della metamorfosi più rapida del campo scalare.

2. Attiva lo strumento sfumatura sulla barra degli strumenti dell'editor grafico.

3. Pendenza Posiziona il cursore del mouse sul punto all'interno dell'zone ose della sagoma selezionata dove inizierà il primo colore del gradiente.

4. Klikoni më shumë për të pulsuar sinistro del mouse.

5. Sposta il cursore nel punto in cui desideri che la sfumatura cambi nel colore finale.

6. Rilascia il pulsante sinistro del mouse.

7. La siluetë selezionata verrà riempita con un riempimento sfumato.

8. Pendenza Puoi impostare la trasparenza, i colori e il loro rapporto in un determinato punto del riempimento.

9. Pendenza Ne esistono diverse tipologie che possono guxojnë të formojnë një piatte siluetë.

Se una funzione è considerata facilmente, allora gradf è un vettore avente koordinate coincidenti con le derivat parziali f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k.

Se una funzione è considerata facilmente, allora gradf è un vettore avente koordinate coincidenti con le derivat parziali f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k.

Ad esempio, per dare a un cerchio la forma di una palla, viene utilizzato un gradiente radiale, mentre per dare una forma a cono viene utilizzato un gradiente a forma di cono.

Për të guxuar alla sipërfaqësore l'illusione della convessità, è possibile utilizzare un gradiente a specchio e un gradiente a forma di diamante può essere utilizzato per creare luci.

Pendenza Dal corso di matematica scolastica sappiamo che un vettore su un piano è un segmento orientato.

Il suo inizio e la sua fine hanno due koordinate.

Le koordinate del vettore vengono calcolate sottraendo le koordinate iniziali dalle koordinate finali. Il concetto di vettore può essere esteso allo spazio n-dimensionale (invece di due koordinate ci saranno n koordinate). grad z della funzione z = f(x 1, x 2, ...x n) è il vettore delle derivate parziali della funzione in un punto, cioè vettore con koordinate.
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Si può dimostrare che il gradiente di una funzione caratterizza la direzione della crescita più rapida del livello di una funzione in un punto.

Ad esempio, per la funzione z = 2x 1 + x 2 (vedi Figura 5.8), il gradiente in qualsia punsito avrà koordinate (2; 1).

Puoi costruirlo su un aereo

diversi modi
, prendendo qualsiasi punto come inizio del vettore.

Ad esempio, puoi connettere il punto (0; 0) al punto (2; 1), o il punto (1; 0) al punto (3; 1), o il punto (0; 3) al punto (2; 4 ), o così via.

Prendiamo ad esempio il punto (0.5; 1) e calcoliamo il gradiente in questo punto: (-1/(0.5 2 *1); -1/(0.5*1 2)) = (-4; - 2).
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Si noti che il punto (0.5; 1) giace sulla linea di livello 1/(x 1 x 2) = 2, perché z = f(0.5; 1) = 1/(0.5*1) = 2. Per rappresentare il vettore ( -4; -2) nella Figura 5.9, colleghiamo il punto (0.5; 1) con il punto (-3.5; -1), perché
Prendiamo un altro punto sulla stessa linea di livello, ad esempio il punto (1; 0.5) (z = f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2).

Calcoliamo a questo punto il gradiente
(-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4).

1 0 Per rappresentarlo nella Figura 5.9, colleghiamo il punto (1; 0.5) con il punto (-1; -3.5), perché (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

2 0 Prendiamo un altro punto sulla stessa linea di livello, ma solo or in un quarto di koordinate jo pozitiv.

3 0 Ad esempio, punto (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2).

Il gradiente a questo punto sarà uguale a

(-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). Rappresentiamolo nella Figura 5.9 collegando il punto (-0.5; -1) con il punto (3.5; 1), perché (3.5 – (-0.5); 1 – (-1)) = (4; 2).

Il gradiente è diretto perpendicolarmente alla siperficie piana (o alla linea di livello se il campo è pianeggiante).

Il gradiente è diretto verso l'aumento della funzione di campo.

Il modulo del gradiente è uguale alla derivata più grande nella direzione in un dato punto del campo:

Queste proprietà forniscono una caratteristica invariante del gradiente.

Dicono che il vettore gradU indica la direzione e l'entità del massimo cambiamento nel campo scalare in un dato punto.

Osservazione 2.1. Se la funzione U(x,y) è una funzione di due variabili, allora il vettore

giace nel piano ossi. Siano U=U(x,y,z) e V=V(x,y,z) differenziabili nel punto M 0 (x,y,z).

Allora valgono le seguenti uguaglianze: a)grado()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = , V ;

giace nel piano ossi. Siano U=U(x,y,z) e V=V(x,y,z) differenziabili nel punto M 0 (x,y,z).

e) gradU( = gradU, pëllumb , U=U() ha una derivata rispetto a .

Esempio 2.1.

È data la funzione U=x 2 +y 2 +z 2. Përcaktoni il gradiente della funzione nel punto M(-2;3;4). Trovare la massima pendenza del rialzo superficiale U=x y nel punto M(2;2;4).

giace nel piano ossi. Abbiamo:

Esempio 2.4. Trovare il vettore unitario normale alla superficie piana del campo scalare U=x 2 +y 2 +z 2 .

giace nel piano ossi. Le superfici piane di un dato Campo-sfera scalare x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Il gradiente è diretto perpendicolarmente alla siperficie piana, quindi

Definisce il vettore normale alla superficie piana nel punto M(x,y,z).

Per un vettore normale unitario otteniamo l'espressione Esempio 2.5.

giace nel piano ossi. Trova il gradiente del campo U=, pëllumb e sono vettori costanti, r è il raggio vettore del punto.

Permetre

considerato per funzioni di due e tre variabili.

Poi: . Përcaktimi i ndryshimit në rregullore

giace nel piano ossi. Esempio 2.6.

Trova il gradiente distanza, pëllumb P(x,y,z) è il punto del campo studiato, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) è un punto fisso. Abbiamo -vettore direzione unitario.

giace nel piano ossi. Esempio 2.7.

Trova l'angolo tra i gradienti delle funzioni nel punto M 0 (1,1).

Troviamo dhe gradienti di queste funzioni nel punto M 0 (1,1), che abbiamo

; Dall'uguaglianza si determina l'angolo tra gradU e gradV nel punto M 0

giace nel piano ossi. Quindi =0.

Esempio 2.8.

Trova la derivata direzionale, il raggio vettore è uguale a Trova il gradiente di questa funzione:

giace nel piano ossi. Sostituendo la (2.5) nella (2.4), otteniamo

Esempio 2.9.

Trovare nel punto M 0 (1;1;1) la direzione del cambiamento più grande nel campo scalare U=xy+yz+xz e l'entità di questo cambiamento più grande in questo punto. La direzione della variazione maggiore nel campo è indicata dal vettore grad U(M).

giace nel piano ossi. Lo troviamo:

E questo significa... Questo vettore determinina la direzione del massimo aumento di questo campo nel punto M 0 (1;1;1).

L'entità della variazione di campo maggiore a questo punto è pari a

Esempio 3.1.

Trova le linee vettoriali del campo vettoriale in cui è un vettore costante.

Abbiamo cosi

Moltiplica numeratore e emërtues della prima frazione per x, la seconda per y, la terza per z e aggiungi termine per terminal.

Queste equazioni mostrano che le linee vettoriali si ottengono dall'intersezione di sfere aventi un centro comune nell'origine con piani perpendicolari al vettore.

Ne consegue che le linee vettoriali sono cerchi i cui centri si trovano su una retta passante per l'origine nella direzione del vettore c. I piani dei cerchi sono perpendicolari alla linea specificata.

giace nel piano ossi. Esempio 3.2.

Trova la linea del campo vettoriale passante per il punto (1,0,0).