Come calcolare l'area di un segmento e l'area di un segmento di una sfera.

Casa

L'area di un segmento circolare è uguale alla differenza tra l'area del settore circolare corrispondente e l' area del triangolo formato dai raggi del settore corrispondente al segmento e dalla corda che delimita il segmento.

Esempio 1

La lunghezza della corda che sottende il cerchio è pari al valore a.

La misura in gradi dell'arco corrispondente alla corda è 60°.

Trova l'area del segmento circolare.

Soluzione

Un triangolo formato da due raggi e una corda è isoscele, quindi l'altezza tracciata dal vertice dell'angolo al centro al lato del triangolo formato dalla corda sarà anche la bisettrice dell'angolo al centro, dividendolo a metà, e l'analte , dividendo la corda a metà.

Sapendo che il seno dell'angolo è uguale al rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa, possiamo calcolare il raggio:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, pëllumb h è l'altezza tracciata dal vertice dell'angolo al centro alla corda. Secondo il teorema di Pitagora h=√(R²-a²/4)= √3*a/2. Di conseguenza, S▲=√3/4*a².

L'area del segmento, calcolata come Sreg = Sc – S▲, è pari a:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

Sostituendo

valore numerico

Invece del valore a si può facilmente calcolare il valore numerico dell'area del segmento.

Esempio 2

Il raggio del cerchio è uguale ad a.

Sapendo che il seno dell'angolo è uguale al rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa, possiamo calcolare il raggio:

La misura in gradi dell'arco corrispondente al segmento è 60°.

Trova l'area del segmento circolare.

Zgjidhja:

Zona e vendosjes do të korrigjohet në një të dhënë të anglisë për të llogaritur formularin e seguente: Sc = πa²/360°*60° = πa²/6,. Anche in quei tempi lontani, i Greci scoprirono che un'area è una parte continua di una superficie, limitata su tutti i lati da un contorno chiuso. Questo è un valore numerico in cui viene misurato

unità kuadrat . L'area è una caratteristica numerica sia delle figure geometriche piatte (planimetriche) che delle superfici dei corpi nello spazio (volumetriche).

Attualmente, non si trova solo all'interno

kurrikula skolastike

nelle lezioni di geometria e matematica, ma anche nell'astronomia, nella vita quotidiana, nell'edilizia, nello sviluppo del design, nell'industria manifatturiera e in molte altre attività umane.

Molto spesso ricorriamo al calcolo delle aree dei segmenti su un terreno personale quando progettiamo un'rea paesaggistica o durante dhe lavori di ristrutturazione di un design ultramoderno delle stanze.

Pertanto, la conoscenza dei metodi per il calcolo delle varie aree sarà utile semper e ovunque.

Per calcolare l'area di un segmento circolare e di un segmento sferico, è necessario comprendere i termini geometrici che saranno necessari durante il processo di calcolo.

Prima di tutto, un segmento di cerchio è un frammento di una figura circolare piatta, che si trova tra l'arco di cerchio e la corda che lo taglia.

Questo concetto non deve essere confuso con la figura del settore. Queste sono cose completamente të ndryshme., occorre calcolare la differenza tra l'area del settore in cui è inscritto il segmento, e la cui base è la corda del segmento: S1=S2-S3, dove S1 è l'area del segmento, S2 è l'area del settore e S3 è l'area del triangolo.

Puoi utilizzare una formula approssimativa per calcolare l'area di un segmento circolare: S=2/3*(a*h), dove a è la base del triangolo oppure h è l'altezza del segmento, che è il risultato della differenza tra il raggio del cerchio e

2. L'area di un segmento diverso da un semicerchio si calcola come segue: S = (π R2:360)*α ± S3, pëllumbi π R2 è l'area del cerchio, α è la misura in gradi dell'angolo al centro, che contiene l'arco del segmento di cerchio, S3 è l'area del triangolo che si è formato tra i due raggi di il cerchio e la corda, che ha un angolo nel punto centrale del cerchio e due vertici nei punti di contatto dei raggi con il cerchio.

Se l'angolo α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 gradë, segno più applicato.

3. Puoi calcolare l'area di un segmento usando altri metodi usando la trigonometria. Di norma, come base viene preso un triangolo. Se

angolo centrale misurata in gradi, allora è accettabile la seguente formula: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, pëllumb R2 è il quadrato del raggio del cerchio, α è la misura in gradi del raggio centrale Angolo . 4. Për calcolare l'area di un segmento utilizzando

funzioni trigonometriche

, si può usare un'altra formula, purché l'angolo al centro sia misurato in radianti: S= R2 * (α - sin α)/2, pëllumb R2 è il quadrato del raggio del cerchio, α è la misura in gradi dell 'angolo centrale angolo.

• Il cerchio, le sue parti, le loro dimensioni e relazioni sono cose con cui un gioielliere incontra costantente.
• Anelli, braccialetti, kasta, tubi, sfere, spirali: bisogna realizzare molte cose rotonde.
• Come puoi calcolare tutto questo, soprattutto se hai avuto la fortuna di saltare lezioni di geometria a scuola?..
• Diamo prima un'occhiata a quali parti ha un cerchio e come vengono chiamate.
• Un cerchio è una linea che racchiude un cerchio.
• Un arco è una parte di un cerchio.

Il raggio è un segmento che collega il centro di una circonferenza con un punto qualsiasi della circonferenza.

Una corda è un segmento che collega due punti su una circonferenza.

• Trova la lunghezza dello sviluppo di una qualsiasi parte dell'anello (braccialetto).
• Dati il ​​diametro e la corda (opsioni: diametro e angolo al centro), trovare la lunghezza dell'arco.
• C'è un disegno su un piano, devi scoprirne le dimensioni in proiezione dopo averlo piegato in un arco.

Dati la lunghezza e il diametro dell'arco, trovare la lunghezza della corda.

Scopri l'altezza della parte ottenuta piegando un pezzo piatto in un arco. Opzioni dati sorgente: lunghezza e diametro dell'arco, lunghezza dell'arco e corda; Trova l'altezza del segmento.

La vita ti darà altri esempi, ma questi li ho fatti solo per mostrare la necessità di impostare alcuni due parametri per trovare tutti gli altri. Questo è ciò che faremo. Vale a dire, prenderemo cinque parametri del segmento: D, L, X, φ e H. Quindi, scegliendo da essi tutte le possibili coppie, li considereremo come dati iniziali e troveremo tutto il resto tramite un brainstorming.

Per non appesantire invano il lettore,

soluzioni dettagliate

Non li fornirò, ma fornirò solo i risultati sotto forma di formule (ne parlerò nei casi in cui non esiste una soluzione formale). ;
E ancora una nota: sulle unità di misura. Tutte le quantità, tranne l'angolo al centro, sono misurate nelle stesse unità astratte. .

Ciò significa che se, ad esempio, si specifica un valore in milimetri, non è necessario specificare l'altro in centimetri e i valori risultanti verranno misurati negli stessi milimetri (e aree in

milimetri kuadrati
E ancora una nota: sulle unità di misura. Tutte le quantità, tranne l'angolo al centro, sono misurate nelle stesse unità astratte. .

Poiché la corda divide il cerchio in due segmenti, questo problema non ha una, ma due soluzioni.

Për të dytën e dytë, dhe domosdoshmërisht domosdoshmëri l'angolo α nelle formule precedenti con l'angolo.

milimetri kuadrati
3. Dato il diametro D e l'angolo al centro φ lunghezza della corda .

;

milimetri kuadrati
3. Dato il diametro D e l'angolo al centro φ Tutte le quantità, tranne l'angolo al centro, sono misurate nelle stesse unità astratte. .

altezza del segmento

4. Dati il ​​'diametro D e l'altezza del segmento H
3. Dato il diametro D e l'angolo al centro φ lunghezza della corda .

6. Data la lunghezza dell'arco L e l'angolo al centro φ

; ;
diametër; .

8. Data la lunghezza della corda X e l'angolo al centro φ

; ;
; .

lunghezza dell'arco

diametër; ;
altezza del segmento .

9. Data la lunghezza della corda X e l'altezza del segmento H

diametër;

angolo centrale

10. Dato l'angolo al centro φ e l'altezza del segmento H

;
diametri
lunghezza dell'arco;
lunghezza della corda

Il lettore attento non ha potuto fare a meno di notare che mi sono perse due opzioni:

5. Data la lunghezza dell'arco L e la lunghezza della corda X
7. Data la lunghezza dell'arco L e l'altezza del segmento H ;
Questi sono solo quei due spiacevoli casi in cui il problema non ha una soluzione che possa essere scritta sotto forma di formula. ;
E il compito non è così raro. ;

Ad esempio, hai un pezzo piatto di lunghezza L e vuoi piegarlo në modo che la sua lunghezza diventi X (o la sua altezza diventi H).

Che diametro dovrei prendere per il mandrino (traversa)?

Pyetja e problemit për të hequr qafe ekuacionin e risoluzionit:; - opsioni 5;

- opsioni 7

Questa figura si trova tra la corda e l'arco di cerchio.

Questo è un segmento che giace all'interno di un cerchio e che collega due punti scelti arbitrariamente su di esso.

Quando tagli parte di un cerchio con una corda, puoi konsideroni figurën e duhur: questo è il nostro segmento e un treangolo isoscele, i cui lati sono i raggi del cerchio.

L'area di un segmento può essere trovata come differenza tra le aree di un settore circolare e questa trekëndësh izoscelular.

L'area di un segmento può essere trovata in diversi modi.

Diamo un'occhiata a loro në modo più dettagliato.

Formula per l'area di un segmento circolare utilizzando il raggio e la lunghezza dell'arco del cerchio, l'altezza e la baze del triangoloS = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot a2 1 ​ ⋅ S=R⋅2 1 ​ ⋅ s −h⋅

OKB R.R. R
- raggio del cerchio; ss S
- lunghezza dell'arco; h h H
- altezza di un treangolo isoscele; h⋅ un a

Esempio

La lunghezza della corda che sottende il cerchio è pari al valore a.

Dato un cerchio, il suo raggio è numericamente pari a 5 (cm), l'altezza, che porta alla base del triangolo, è pari a 2 (cm), la lunghezza dell'arco è 10 (cm). Trova l'area di un segmento circolare.5
R=5 R=5 R=2
h = 2 h = 2 h =1 0

s = 10 s = 10

s =Për calcolare l'area ci shërbejë solo la bazë del triangolo.2 ⋅ Troviamolo utilizzando la formulën:​ = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) ​ = 8

A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot R-h))=2\cdot\ sqrt(2\cdot(2\cdot 5-2))=8

un =S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot a2 1 ​ ⋅ S=R⋅2 1 ​ ⋅ s −Për calcolare l'area ci shërbejë solo la bazë del triangolo.2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ​ ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 h ⋅ (2 ⋅ R - h)

Ora puoi calcolare l'area del segmento: S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot- (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17

(vedi mq.)

Përgjigje:S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot a2 17 cmq. 2 ​ ⋅ (α − Formula për zonën e un segmento circolare dati il ​​'raggio del cerchio e l'angolo al centro

OKB R.R. R
S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alfa-\sin(\alfa)) α R pekato (α)).

α\alfa

La lunghezza della corda che sottende il cerchio è pari al valore a.

- l'angolo al centro tra due raggi che sottendono la corda, Trova l'area di un segmento circolare.7
misurato në radiantiα = 3 0 ∘

Trova l'area di un segmento circolare se il raggio del cerchio è 7 (cm) e l'angolo al centro è 30 gradi. R=7 R=7 π α = 3 0 ∘ \alfa=30^(\circ)
Convertiamo prima l'angolo in gradi in radianti.3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ 1 8 0 ∘ π ​ = 6 π ​ Da

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin ⁡ (π 6)) ≈ 0,57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\ alfa- \sin(\alfa))=\frac(49)(2)\cdot\Big(\frac(\pi)(6)-\sin\Big(\frac(\pi)(6)\Big) \Big )\rreth 0,57S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot a2 17 cmq. 2 ​ ⋅ (α − pekato(α)) =2 4 9 ​ ⋅ ( 6 π ​ − pekato ( 6 π ​ ) ) ≈ 0 . 5 7 h ⋅ (2 ⋅ R - h)

Ora puoi calcolare l'area del segmento: 0,57 cmq.