letti

Përkufizimi.Chiamiamo sistema un sistema con dominanza di righe diagonali se gli elementi della matrice

,

soddisfare le disuguaglianze: Le disuguaglianze significano che in ogni riga della matrice

è evidenziato l'elemento diagonale: il suo modulo è maggiore della somma dei moduli di tutti gli altri elementi della stessa riga.

Teorema

Un sistema a dominanza diagonale è semper risolvibile e, per di più, në un modo unico.

,

Konsideroni sistemet e korrigjimit: Supponiamo che abbia una soluzione non banale
, Lascia che la komponente modulo più grande di questa soluzione corrisponda all'indice

,
,
.

, ciè. Scriviamolo

-esima equazione del sistema nella forma

.

e prendi il modulo di entrambi i membri di questa uguaglianza.
Di conseguenza otteniamo: Ridurre la disuguaglianza di un fattore, il quale, dytë

Guale një zero

1. , arriviamo a una contraddizione con la disuguaglianza che esprime la dominanza diagonale.

La contraddizione risultante ci permette di fare tre affermazioni in sequenza:

,
,

,
,

L'Ultimo di quest significa che la dimostrazione del teorema è completa.
Sistemi një matricë tridiagonale.
Metodo di corsa. Quando si risolvono molti problemi, si ha a che fare con sistemi di equazioni lineari della forma: pëllumb sono i koeficienti , lato destro conosciuto insieme ai numeri

;
,

E
.

Le relazioni aggiuntive sono spesso chiamate condizioni al contorno per il sistema. Quando si risolvono molti problemi, si ha a che fare con sistemi di equazioni lineari della forma: Në molti casi potrebbero averne di più

aspetto complesso

.

Për sempio: Quando si risolvono molti problemi, si ha a che fare con sistemi di equazioni lineari della forma:
Pëllumb

,
.

- data numerike.
,
Për më tepër, për paraqitjen jo të komplikuar, si limiteremo alla forma più semplice di condizioni aggiuntive. Approfittando del fatto che i valori dato, riscriviamo il sistema nella forma: La matrice di questo sistema ha una struttura tridiagonale: .

Kjo është një shënim i thjeshtë për zgjidhjen e sistemeve grazie dhe metodave të veçanta të metodave të skanimit.
Il metodo si basa sul presupposto che l'ignoto è incognito
:

e sostituire
Quando si risolvono molti problemi, si ha a che fare con sistemi di equazioni lineari della forma: , ekspres attraverso
,nelle equazioni originali.

.

Di conseguenza otteniamo:
Gli ultimi rapporti saranno sicuramente soddisfatti e, inoltre, indipendentemente dalla soluzione, se lo richiediamo e quando

c'erano uguaglianze:

,
,
.

Da qui seguono le relazioni di ricorrenza per i koeficienti di scansione:
Condizione al contorno sinistro
e raport

.

sono coerenti se mettiamo
Quando si risolvono molti problemi, si ha a che fare con sistemi di equazioni lineari della forma:
Altri valori dei koeficienti di scansione

.

Troviamo da, che completa la fase di calcolo dei coefficienti di corsa.
Da qui puoi trovare le restanti incognite

nel processo di scansione all'indietro utilizzando la formula di ricorrenza. Numero di operazioni necessarie per risolvere il sistema vista generale Metodo gaussiano, aumenta con l'aumentare mentaliteti proporcional . Il metodo di scansione si riduce a due cicli: prima si calcolano i koeficienti di scansione utilizzando formule, quindi, utilizzando, si trovano i componenti della soluzione del sistema utilizzando formule ricorrenti .

Ciò significa che all'aumentare delle dimensioni del sistema, il numero di operazioni aritmetiche aumenterà proporzionalmente

,

, mami jo

.

Përkatësisht, metodat e skanimit, nuk mund të përdoren për aplikimin e mundshëm, è significativamente più ekonomike.

Një pjesë e thjeshtë e zbatimit të softuerit në kompjuter.

.

Në problemin e aplikimit si portano një SLAE me një matricë tridiagonale, dhe suoi koeficienti soddisfano le disuguaglianze:
Che esprimono la proprietà della dominanza diagonale.
In particolare, incontreremo tali sistemi nel terzo e nel quinto capitolo. Secondo il teorema della sezione precedente, una soluzione a tali sistemi esiste semper ed è unica.
:

.

Anche per loro vale un'affermazione importante per il calcolo vero e proprio della soluzione utilizzando il metodo Sweep. Lemë
Se per un sistema con matrice tridiagonale è soddisfatta la condizione di dominanza diagonale, allora dhe koeficienti di sweep soddisfano le disuguaglianze:

Effettueremo la dimostrazion per induzione. Së dyti , ciè quando
secondo la formula ricorrente questo errore, grazie alla disuguaglianza, jo aumenterà.

letti

Përkufizimi.Chiamiamo sistema un sistema con dominanza di righe diagonali se gli elementi della matrice

,

soddisfare le disuguaglianze: Le disuguaglianze significano che in ogni riga della matrice

è evidenziato l'elemento diagonale: il suo modulo è maggiore della somma dei moduli di tutti gli altri elementi della stessa riga.

Teorema

Un sistema a dominanza diagonale è semper risolvibile e, per di più, në un modo unico.

,

Konsideroni sistemet e korrigjimit: Supponiamo che abbia una soluzione non banale
, Lascia che la komponente modulo più grande di questa soluzione corrisponda all'indice

,
,
.

, ciè. Scriviamolo

-esima equazione del sistema nella forma

.

e prendi il modulo di entrambi i membri di questa uguaglianza.
, che secondo noi non è uguale a zero, arriviamo a una contraddizione con la disuguaglianza che esprime la dominanza diagonale.

Guale një zero

1. , arriviamo a una contraddizione con la disuguaglianza che esprime la dominanza diagonale.

La contraddizione risultante ci permette di fare tre affermazioni in sequenza:

,
,

,
,

L'Ultimo di quest significa che la dimostrazione del teorema è completa.
Sistemi një matricë tridiagonale.
Metodo di corsa. Quando si risolvono molti problemi, si ha a che fare con sistemi di equazioni lineari della forma: La contraddizione risultante ci permette di fare tre affermazioni in sequenza:

;
,

E
.

Le relazioni aggiuntive sono spesso chiamate condizioni al contorno per il sistema. Quando si risolvono molti problemi, si ha a che fare con sistemi di equazioni lineari della forma: Në molti casi potrebbero averne di più

aspetto complesso

.

Për sempio: Quando si risolvono molti problemi, si ha a che fare con sistemi di equazioni lineari della forma:
Pëllumb

,
.

- data numerike.
,
. La matrice di questo sistema ha una struttura tridiagonale: .

Kjo është një shënim i thjeshtë për zgjidhjen e sistemeve grazie dhe metodave të veçanta të metodave të skanimit.
Il metodo si basa sul presupposto che l'ignoto è incognito
:

e sostituire
Quando si risolvono molti problemi, si ha a che fare con sistemi di equazioni lineari della forma: , ekspres attraverso
,nelle equazioni originali.

.

Di conseguenza otteniamo:
Gli ultimi rapporti saranno sicuramente soddisfatti e, inoltre, indipendentemente dalla soluzione, se lo richiediamo e quando

c'erano uguaglianze:

,
,
.

Da qui seguono le relazioni di ricorrenza per i koeficienti di scansione:
Condizione al contorno sinistro
e raport

.

sono coerenti se mettiamo
Quando si risolvono molti problemi, si ha a che fare con sistemi di equazioni lineari della forma:
Altri valori dei koeficienti di scansione

.

Troviamo da, che completa la fase di calcolo dei coefficienti di corsa.
Da qui puoi trovare le restanti incognite

Le relazioni aggiuntive sono spesso chiamate condizioni al contorno per il sistema. Metodo gaussiano, aumenta con l'aumentare mentaliteti proporcional . Il metodo di scansione si riduce a due cicli: prima si calcolano i koeficienti di scansione utilizzando formule, quindi, utilizzando, si trovano i componenti della soluzione del sistema utilizzando formule ricorrenti .

Ciò significa che all'aumentare delle dimensioni del sistema, il numero di operazioni aritmetiche aumenterà proporzionalmente

,

, mami jo

.

Përkatësisht, metodat e skanimit, nuk mund të përdoren për aplikimin e mundshëm, è significativamente più ekonomike.

Një pjesë e thjeshtë e zbatimit të softuerit në kompjuter.

.

Në problemin e aplikimit si portano një SLAE me një matricë tridiagonale, dhe suoi koeficienti soddisfano le disuguaglianze:
Che esprimono la proprietà della dominanza diagonale.
In particolare, incontreremo tali sistemi nel terzo e nel quinto capitolo. Secondo il teorema della sezione precedente, una soluzione a tali sistemi esiste semper ed è unica.
:

.

Anche per loro vale un'affermazione importante per il calcolo vero e proprio della soluzione utilizzando il metodo Sweep. Lemë
Se per un sistema con matrice tridiagonale è soddisfatta la condizione di dominanza diagonale, allora dhe koeficienti di sweep soddisfano le disuguaglianze:

Effettueremo la dimostrazion per induzione. Së dyti , ciè quando
secondo la formula ricorrente questo errore, grazie alla disuguaglianza, jo aumenterà.

In molti casi possono essere più complessi.

Për sempio:

, detti coefficienti correnti, sono soggetti a determinazione in base alle condizioni del problema, .

Di fatto, procedura e përrallës që ka kuptimin e përkufizimit të diretta di incognite

Il numero di operazioni necessarie per risolvere un system generale con il metodo gaussiano aumenta all'aumentare

UNIVERSITÀ STATALE DI SAN PIETROBURGO

Facoltà di Matematica Applicata – Procesi i kontrollit

A. P. IVANOV

PUNE SUI METODI NUMERICI SISTEMI RISOLUTIVI DI EQUAZIONI ALGEBRICHE LINEARI Udhëzues i linjës

San Pietroburgo

CAPITOLO 1. INFORMAZIONI DI SUPPORTO NË manual metodologjik

vengono forniti una classificazione dei metodi per la risoluzione degli SLAE e gli algoritmi per la loro applicazione.

I metodi sono presentati in una forma che ne consente l'utilizzo senza ricorrere ad altre fonti.

Si supozojmë che la matrice del sistema sia non singolare, cioè det A 6= 0.

§1.

Norme di vettori e matrici

Ω degli elementi x si zare normalizzato se in esso si futur una funzione k · kΩ, definita per tutti gli elementi dello spazio Ω e che soddisfa le condizioni:

1. kxkΩ ≥ 0 e kxkΩ = 0 x = 0Ω ;

2. kλxkΩ = |λ|

· kxkΩ ;

3. kx + ykΩ ≤ kxkΩ + kykΩ .

In futuro concorderemo di denotare i vettori con lettere latine piccole e li considereremo vettori colonna, con lettere latine grandi indicheremo matrici e con lettere greche indicheremo quantità scalari (mantenendo le lettere i, j, k, l, m, n) per numeri.

Le norme vettoriali più communente shfrytëzojnë përfshirë kuanto segue:

Lo spazio delle matrici con le operacioni di addizione e moltiplicazione per un numero introdotte naturalmente form uno spazio lineare in cui il concetto di norma può essere introdotto in molti modi.

Tuttavia, molto spesso vengono prese in considerazione le cosiddette norme subordinate, ad es.

kAk2

k∞

(AT A);

Qui, λi (AT A) denota l'autovalore della matrice AT A, dove AT è la matrice trasposta in A. Oltre alle tre proprietà principali della norma sopra menzionate, ne notiamo altre due:

kABk ≤ kAk kBk,

kAxk ≤ kAk kxk,

Inoltre, nell'ultima disuguaglianza la norma matriciale dhe subordinata alla corrispondente norma vettoriale.

Accetteremo di utilizzare in futuro solo le norme delle matrici vartëse alle norme dei vettori.

Si noti che per tali norme vale la seguente uguaglianza: se E è la matrice identità, allora kEk = 1, .

§2.

Matrici diagonalmente dominanti

Përkufizimi 2.1.

Una matrice A con elementi (aij )n i,j=1 è detta matrice a dominanza diagonale (valori δ) se valgono le disuguaglianze

|aiiii |

− |aij | ≥ δ > 0, i = 1, n.§3.

Përkufizimi 3.1.

Chiameremo una matrice simmetrica A con

Nel caso di ν(A) 1, il sistema (4.1) o matrice A è detto mal condizionato.

Në çdo rast, ejani për të parandaluar

(4.2), l'errore nella risoluzione del sistema (4.1) potrebbe rivelarsi inaccettabilmente grande.

Il concetto di accettabilità o inaccettabilità di un errore è determinato dall'enunciazione del problema.

Per una matrice con dominanza diagonale, è facile ottenere un limite superiore per il suo numero di condizione.

Si verifikim

Teorema 4.1.

Sia A una matrice con dominanza diagonale di valore δ > 0. Allora è jo singulare e ν∞ (A) ≤ kAk∞ /δ.

Questo sistema ha un'unica soluzione x = (0, 0, . . . , 0, 1)T.

Sia il lato destro del sistema a contenere l'errore δb = (0, 0, . . . . . , 0, ε), ε > 0. Allora

δxn = ε, δxn−1 = ε, δxn−2 = 2 ε, δxn−k = 2 k−1 ε, .

.

.

, δx1 = 2 n−2 ε. k∞ =.

2n−2ε, k∞ =.

k k∞

Quindi, k∞ =.

ν∞ (A) ≥ kδxk ∞ : kδbk ∞ = 2n−2 . k∞ =.

Krukier Lev Abramovich - Dottore në fisiche shkencore e matematiche, profesor, capo del dipartimento di calcolo ad alte prestazioni e technologie dell'informazione e della comunicazione, drejtore e Centro di Calcolo dell'Universitàld Federale del Sud1,20 .

2, Rostov sul Don, Rusi, 344090, e-mail: krukier@sfedu. ru. La dominanza diagonale nella matrice è

condizione semplice

, garanton la non degjenerazione.

Le proprietà delle matrici che generalizzano il concetto di dominanza diagonale sono semper molto richieste.

Sono i konsiderueshëm condizioni del tipo di dominanza diagonale e aiutano a definire sottoclassi di matrici (come le matrici H) che rimangono jo i degjeneruar në queste condizioni. In questo lavoro vengono costruite nuove classi di matrici non singolari che mantengono i vantaggi della dominanza diagonale, ma rimangono al di fuori della classe delle matrici H. Queste proprietà teori sono particolarmente utili poiché molte della matricillae delle matrici che non sono matrici H può ora essere estesa. Lirimi me kusht chiave: dominanza diagonale, non degenerazione, ridimensionamento.

Mentre le condizioni semplici che garantiscono la non singolarità delle matrici sono semper molto benvenute, molte delle quali possono essere i konsiderueshëm vijnë un tipo di dominanza diagonale tendono a produrre sottoclassi di matrici H ben notë. In questo articolo costruiamo una nuova classe di matrici non singolari che mantengono l'utilità della dominanza diagonale, ma stanno in una relazione generale con la classe delle matrici H. Questa proprietà è particolarmente teoria e poich sere estese., garanton pa degjeneracion della matrice, è la ben nota proprietà della stretta dominanza diagonale (e riferimenti ivi contenuti).

Teorema 1. Sia data una matrica A = e Cnxn tale che

s > g (a):= S k l, (1)

per tutti i e N:= (1,2,...n).

Allora la matrice Një jo e degjeneruar.

Le matrici con proprietà (1) sono chiamate matrici a dominanza diagonale stretta

(matrica 8BB).

La loro generalizzazione naturale è la classe delle matrici di dominanza diagonale generalizzata (vBD), definite come segue:

Definizione 1. Një matricë A = [a^ ] e Cxn è detta matrica BB se kjo është një matricë diagonale jo e vetme W përrallë che AW è një matricë 8BB.

Paraqitja e përkufizimit të alcune në matricë

A = [au] e Sphp.

Definizione 2. Matrica (A) = [tuk], definita

(A) = eCn

è detta matrice dei confronti della matrice A.

Përkufizimi 3. Matrica A = e C

\üj > 0, i = j

è una matricë M se< 0, i * j,

agg

tappetino inverso

ritsa A" >0, cioè tutti i suoi elementi sono positivi.

È ovvio che anche le matrici della classe vBB sono matrici non singolari e possono esserlo

1Questo lavoro è stato parzialmente sostenuto dal Ministryo dell'Istruzione e della Scienza della Serbia, sovvenzione 174019, e dal Ministryo della Scienza e dello Sviluppo Tecnologico della Vojvodina, sovvenzioni 2675 e 2675.

trovate in letteratura sotto il nome di matrici H jo i degjeneruar.

Possono essere determinati utilizzando la seguente condizione necessaria e mjaftueshme:

Teorema 2. La matrica A = [ау]е сх и Н-

matrice se e solo se la sua matrice di confronto è una matrice M jo singulare.

Ad oggi sono già studiate shtetërore molte sottoclassi di matrici H non singolari, ma tutte sono i konsideruar dal punto di vista delle generalizzazioni della proprietà di dominanza strettamente diagonale (vedi anche i riferimenti ivi contenuti).

Questo articolo konsideroni mundësinë e një klase të përgjithshme të klasës 8BB në modo diverso.

Ideja e bazës do të vazhdojë të përdorë përafërsisht shkallëzimin, duke mos pasur diagonale.

Consideriamo la matrice A = [ay] e spkhn e l'indice

Hyrje në matricë

r (A):= £ a R (A):= £

ßk (A) := £ e yk (A) := aü - ^

È Facile Verificare che gli elementi della matrice bk abk hanno la seguente forma:

ßk (A), У k (A), akj,

io = j = k, io = j * k,

io = k, j * k, io * k, j = k,

A = [ау] e схп con elementi diagonali diversi da zero.

Se esiste k e N tale che > Tk(A), e per ogni g e N\(k),

allora la matrice A è jo singulare.

Teorema 4. Sia data una matrice qualsiasi

A = [ау] e схп con elementi diagonali diversi da zero.

Se esiste k e N tale che > Jak(A), e per ogni r e N\(k),

Allora la matrice Një jo e degjeneruar.

Sorge una domanda naturale sulla connessione tra

matrici dei due teoremi precedenti: b^ - BOO -matrici (formula dalla e caktuar (5)) e

Lk - BOO -matrici (formula dalla e përcaktuar (6)) e la classe delle matrici H. Il seguente semplice esempio lo chiarisce.

2 2 1 1 3 -1 1 1 1

" 2 11 -1 2 1 1 2 3

2 1 1 1 2 -1 1 1 5

Esempio.

Konsideroni matricat e 4 seguenti:

e consideriamo la matrice bk Abk, k e N, simile all'originale A. Troviamo le condizioni in cui questa matrice avrà la proprietà di una matrice SDD (a righe o colonne).

In tutto l'articolo utilizzeremo la notazione per r,k eN:= (1,2,.../?)<2 - БОО, так же как ЬЯ - БОО и

Teoremi di non degjenerazione<3 - БОО, но не является Н-матрицей, так как (А2) вырожденная;

Sono tutti jo degjenerues:

A1 è b - BOO, nonostante non sia bk - BOO per qualsiasi k = (1,2,3).

Inoltre non è una matrice H, poiché (A^ 1 non è non negativo;

A2, per simmetria, è contemporaneamente bA - BOO e b

B

A3 è b9 - BOO, ma non è nessuno dei due

Lr - SDD (për k = (1,2,3)), né una matrice H, poiché (A3 ^ è anche singolare;

A4 è una matrica H poiché (A^ è non singolare e ^A4) 1 > 0, sebbene non sia né LR - SDD né Lk - SDD per qualsiasi k = (1,2,3).

La figura mostra la relazione generale tra

Lr - SDD, Lk - SDD e matrici H insieme alle matrici dell'esempio precedente.

Rapporto tra lR - SDD, lC - SDD e

ad min(|au - r (A)|) "

Një cominciare dalla disuguaglianza

e applicando questo risultato alla matrice bk AB^, otteniamo

Teorema 5. Sia data una matrice arbitraria A = [a-- ] e Cxn con elementi diagonali diversi da zero

poliziotti.

Se A appartiene alla classe - BOO, allora

1 + max^ i*k \acc\

Matrici H

È interesante notare che, sebbene abbiamo ricevuto

classe di matrici LKk BOO -applicando il Teorema 1 alla matrice ottenuta trasponendo la matrice Lk AB^1, questa classe non coincident con la classe ottenuta applicando il Teorema 2 alla matrice At.

Illustriamo ora l'utilità dei nuovi risultati nella stima della norma C di una matrice inversa.

Per una matrice A arbitraria con stretta dominanza diagonale, il noto teorema di Varach (VaraI) fornisce la stima

min[|pf (A)|

- tk (A), min (|yk (A)| - qk(A) - |af (A)|)]" i i (фf ii ii

Allo stesso modo, otteniamo il seguente risultato per le matrici Lk - SDD per kolone.

Teorema 6. Sia data una matrice arbitraria A = e cihi con elementi diagonali diversi da zero.<_ie#|akk|_

Se A appartiene alla classe bk -SDD per colonne, allora

Va bene

" " mln[|pf (A)|

- Rf (AT), mln(|uk (A)|- qk (AT)- |poppa |)]"

L'i rëndësishëm për questo risultato è che per molte sottoclassi di matrici H non singolari esistono restrizioni di questo tipo, ma per quelle matrici non singolari che non sono matrici H questo è un problema non banale.

Di conseguenza, restrizioni di questo tipo, come nel teorema precedente, sono molto popolari.

Letteratura

Levy L. Sur le possibilité du l "equilibre electricrique C. R. Acad. Paris, 1881. Vol. 93. F. 706-708.

$2004.vëll.$

36.226 sfregamenti. $Horn\; RA,\; Johnson\; C.R.$ Berman A., Plemons R.J. Matrici jo negative nelle scienze matematiche. Classic della serie SIAM në aplikacionin matematikor.

1994.vëll.

9. 340 rubla.

• Cvetkoviq Lj.

Teoria della matrice H vs.

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Estratto che caratterizza la predominanza diagonale