Guxoni një përkufizim të modulit të një numerik dhe në kuptimin gjeometrik.

Riscaldamento, ventilacion, luce

a è il numero stesso.

Numri i modulit:

|a| =un Modulo për një numër të plotë. Supponiamo che ci sia numero kompleso , che si scrive in forma algjebrika z=x+i·y Pëllumb X E sì

- numeri reali, che rappresentano la parte reale e quella immaginaria di un numero complesso Supponiamo che ci sia z

, a è l'unità imaginaria. .

Modulo për një numër të plotë

• è la radice quadrata aritmetica della somma dei quadrati delle parti reale e imaginaria di un numero complesso.
• Il modulo di un numero complesso z è indicato come segue, il che significa che la definitione del modulo di un numero complesso può essere scritta come segue:

  Pronësia e modulit të një numri të plotë. Dominio di përkufizimin: l'intero piano complesso. Intervallo di valori:

  Altro fatto e rëndësishme:

  il modulo jo è mai negativo . Qualunque numero prendiamo, positivo o negativo, il suo modulo risulta semper positivo (o, in casi estremi, zero). Ecco perché il modulo viene spesso chiamato valore assoluto di un numero. Nëse kombinoni përkufizimin e modulit për një numër pozitiv dhe negativ, duke përdorur një përkufizim global të modulit për tutti dhe numer.

  Vale a dire: il modulo di un numero è uguale al numero stesso se il numero è positivo (o zero), oppure uguale al numero opposto se il numero è negativo.

  Puoi scriverlo vjen sipas formulës:

  C'è anche un modulo zero, ma c'è semper

  Oltre alla definitione puramente algebrica, ne esiste una geometrica.

  Diciamo che ci sono due punti sulla linea numerica: $((x)_(1))$ e $((x)_(2))$.

  Në këtë rast, l'espressione $\majtas|

  ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ è semplicemente la distanza tra i punti specificati.

  Oppure, se preferisci, la lunghezza del segmento che collega questi punti:

  Il modulo è la distanza tra i punti su una linea numerica

  Questa definitione implica anche che il modulo sia semper non negative.

  Ma basta definizioni e teoria: passiamo alle equazioni reali :).

  Formula e bazës

  Ok, abbiamo risolto la definition.

  Ma questo non ha reso le cose più facili.

  Ejani risolvere equazioni contenenti proprio questo modulo?

  Calma, semplicemente qetë.

  Cominciamo dalle cose più semplici.

  Konsideroni qualcosa del genere:

  \[\sinistra|

  x\destra|=3\]

  Quindi il modulo di $x$ и 3. A cosa potrebbe essere uguale $x$?

  \[\sinistra|

  2x+1 \destra|=5\Frecciadestra 2x+1=5\]

  E gjithë'improvviso si scopre che l'espressione submodulare $2x+1$ è Davvero Positiva - è uguale al numero 5. Cioè possiamo risolvere in sicurezza questa equazione: la radice risultante sarà una parte dellaris:

  Coloro che sono particolarmente diffidenti possono provare a sostituire la radice trovata nell'equazione originale e assicurarsi che sotto il modulo ci sia davvero un numero positivo.

  Konsideroni ora il caso di un'spressione submodulare negative:

  \[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& \majtas| 2x+1 \djathtas|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\Rightarrow -2x-1=5 \Freccia destra 2x+1=-5\] Ops! Ancora una volta, tutto è chiaro: abbiamo assunto che $2x+1 \lt 0$, e di conseguenza abbiamo ottenuto che $2x+1=-5$ - in effetti, questa è l'espressione

  meno di zero

  .

  Risolviamo l'equazione risultante, sapendo già per certo che la radice trovata sarà adatta a noi:

  Në total, abbiamo ricevuto ancora una volta për shkak të përgjigjes: $x=2$ dhe $x=3$.

  Sì, la quantità di calcoli si è rivelata leggermente maggiore rispetto alla semplicissima equazione $\majtas|

  x \right|=3$, ma sostanzialmente non è cambiato nulla.

  Quindi forse esiste una sorta di algoritmo universale?

  Sì, un tale algoritmo esiste.

  E ora lo analizzeremo.

  Eliminimi i segno del modulo

  Diamo l'equazione $\majtas|

  f\left(x \right) \right|=a$, e $a\ge 0$ (altrimenti, come già sappiamo, non ci sono radici).

  Quindi puoi eliminare il segno del modulo utilizzando la seguente regola:

  \[\fillim(rreshtoj)& 7-5x=13\Djathtas -5x=6\Djathtas x=-\frac(6)(5)=-1,2;

  \\& 7-5x=-13\Freccia destra -5x=-20\Freccia destra x=4.

  \\\ fine(alinea)\]

  Ancora un paio di righe e la risposta è pronta!

  Come ho detto, non c'è nulla di complicato nei moduli.

  Devi solo ricordare alcune regole.

  Pertanto, andiamo avanti e iniziamo con compiti veramente più complessi. Il caso di una variabile a destra Konsideroni ora questa equazione:

  \[\sinistra|

  3x-2 \destra|=2x\]

  Questa equazione è fondamentalmente diversa da tutte le precedenti.

  Eja?

  E il fatto che a destra del segno uguale c'è l'espressione $2x$ - e non possiamo sapere in anticipo se sia positivo o negative.

  Tarifa Cosa në questo caso?

  Innanzitutto dobbiamo capirlo una volta per tutte

  se il lato destro dell'equazione risulta essere negative, l'equazione non avrà radici

  - sappiamo già che il modulo non può essere uguale a un numero negativo.

  Në secondo luogo, se la parte destra è ancora positiva (o uguale a zero), puoi agire esattamente vijnë prima: apri semplicemente il modulo separatamente con un segno più e separatamente con un segno meno.

  Për këtë arsye, formula e një rregullimi për funksionimin arbitrar $f\left(x \djathtas)$ e $g\left(x \djathtas)$:

  \[\sinistra|

  f\ majtas(x \djathtas) \djathtas|=g\majtas(x \djathtas)\Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(rreshtoj)& f\majtë(x \djathtas)=\pm g\majtas (x \djathtas ), \\& g\majtas(x \djathtas)\ge 0. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

  E si risolve esattamente nello stesso modo:

  \[\sinistra|

  ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \djathtas|=x-((x)^(3))\Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(rreshtoj)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \majtas(x-((x)^(3)) \djathtas), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

  Ci occuperemo della disuguaglianza più tardi: në qualche modo è troppo malvagia (in effetti, è semplice, ma non la risolveremo).

  Per ora è meglio occuparsi delle equazioni risultanti.

  Konsideroni il primo caso: questo è quando il modulo viene Espanso con un segno più:

  \[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

  Bene, è un gioco da ragazzi che devi raccogliere tutto da sinistra, portare quelli simili e vedere cosa succede.

  E questo è ciò che accade:

  \[\filloj(rreshtoj)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3));

  \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0;

  \\\ fine(alinea)\]

  Togliamo il fattore comune $((x)^(2))$ tra parentesi e otteniamo un'equazione molto semplice:

  \[((x)^(2))\majtas(2x-3 \djathtas)=0\Djathtas shigjeta \majtas[ \fillimi(rreshtoj)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\fund (alineare) \djathtas.\]

  \[((x)_(1))=0;\katër ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

  Qui abbiamo sfruttato jo e rëndësishme pronësore del prodotto, për cilësinë e abbiamo scomposto il polinomio originale: il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero.

  Affrontiamo ora esattamente nello stesso modo la seconda equazione, che si ottiene espandendo il modulo con il segno meno:

  \[\filloj(rreshtoj)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\majtas(x-((x)^(3)) \djathtas);

  \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3));

  Come puoi vedere, anche in questo caso non c'era nulla di complicato: le equazioni con moduli vengono semper risolte utilizzando un algoritmo.

  Devi solo avere una buona conoscenza dei polinomi e delle disuguaglianze.

  Passiamo quindi a compiti più complessi: non ci sarà già uno, ma due moduli.

  Equazioni con due moduli Fino ad ora abbiamo studiato solo le equazioni più semplici: c'era un modulo e qualcos'altro. Abbiamo inviato questo “qualcos'altro” në un'altra parte della disuguaglianza, lontano dal modulo, në modo che alla fine tutto si riducesse a un'equazione della forma $\left|

  f\left(x \djathtas) \djathtas|=g\left(x \djathtas)$ o anche più semplice $\majtas|

  f\sinistra(x \destra) \destra|=a$. Mami asilo

  finito: è ora di considerare qualcosa di più serio.

  Cominciamo con equazioni come questa:

  \[\sinistra|

  f\sinistra(x \destra) \destra|=\sinistra|

  g\sinistra(x \destra) \destra|\]

  Questa è un'equazione della forma "modulo uguale modulo".

  Fondamentalmente

  punto e rëndësishme

  è l'assenza di altri termini e fattori: solo un modulo a sinistra, un altro modulo a destra - e niente di più.

  Qualcuno ora penserà che tali equazioni siano più difficili da risolvere di quelle che abbiamo studiato finora.

  Con la seconda equazione tutto è un po’ più interessante, ma anche molto, molto semplice:

  Come puoi vedere, tutto è stato risolto letteralmente in un paio di righe: non ci aspettavamo nient'altro da un'equazione lineare :).

  Di conseguenza, la riposta finale è: $x=1$.

  Si ka ardhur?

  E vështirë?

  Ovviamente nr.

  Proviamo qualcos'altro:

  \[\sinistra|

  x-1 \destra|=\sinistra|

  ((x)^(2))-3x+2 \destra|\]

  Ancora una volta abbiamo un'equazione della forma $\left|

  f\sinistra(x \destra) \destra|=\sinistra|

  g\sinistra(x \destra) \destra|$.

  Pertanto lo riscriviamo immediatamente, rivelando il segno del modulo:

  \[((x)^(2))-3x+2=\pm \sinistra(x-1 \destra)\]

  Forse qualcuno ora chiederà: “Ehi, che sciocchezza?

  Perché "più-meno" appare nell'espressione della mano destra e non in quella sinistra?" Calmati, ora ti spiego tutto. In effetti, in senso buono avremmo dovuto riscrivere la nostra equazione come segue:

  Quindi devi aprire le parentesi, spostare tutti i termini su un lato del segno uguale (poiché l'equazione, ovviamente, sarà quadrata in entrambi i casi), e quindi trovare le radici.

  Ma devi ammetterlo: quando "più-meno" appare prima di tre termini (specialmente quando uno di questi termini è un'espressione quadratica), sembra in qualche modo più complicato della situazione in cui "più-meno" appare prima di solo due termini .

  Ma nulla ci impedisce di riscrivere l'equazione originale come segue:.

  La presenza di radici identiche per varianti diverse di espansione del modulo fa sì che i polinomi originari siano fattorizzati, e tra questi fattori ce ne sarà sicuramente uno comune.

  Veramente: \[\filloj(rreshtoj)& \majtas| x-1 \destra|=\sinistra|

  ((x)^(2))-3x+2 \djathtas|;

  \\& \sinistra|

  x-1 \destra|=\sinistra|

  \majtas(x-1 \djathtas)\majtas(x-2 \djathtas) \djathtas|.

  \\\ fine(alinea)\]

  Una delle proprietà del modulo: $\majtas|

  a\cdot b \destra|=\sinistra| a \djathtas|\cdot \majtas| b \djathtas|$ (vërtetë il modulo del prodotto

  Guale al prodotto

  moduli), quindi l'equazione originale può essere riscritta come segue:

  \[\sinistra|

  x-1 \destra|=\sinistra|

  Jo, nuk è un errore di battitura: è un vantaggio tra i moduli.

  Dobbiamo trovare një kuanto $x$ la somma di due moduli è uguale a zero :).

  A keni problem të komunikoni?

  Ma il problema è che ogni modulo è un numero positivo o, in casi estremi, zero.

  Cosa succede se aggiungi due numeri positivi?

  Ovviamente di nuovo un numero positivo:

  \[\fillim(lidh)& 5+7=12 \gt 0;

  \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0;

  \\& 5+0=5 \gt 0. \\\fund (rreshtoj)\]

  L'ultima riga potrebbe darti un'idea: l'unica volta in cui la somma dei moduli è zero è se ogni modulo è zero:

  \[\sinistra|

  x-((x)^(3)) \destra|+\sinistra|

  ((x)^(2))+x-2 \djathtas|=0\Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(rreshtoj)& \majtas| x-((x)^(3)) \djathtas|=0, \\& \sinistra| ((x)^(2))+x-2 \destra|=0 \\\fund(alinea) \destra.\]

  Në realtà, questa ambiguità è l'intero problema: poiché il numero sotto il modulo cambia (dipende dalla variabile), non ci è chiaro se sia positivo o negative.

  Ma cosa succede se inizialmente richiedi che questo numero sia positivo?

  Ad esempio, richiediamo che $3x-5 \gt 0$ - në kërkimin e një numri të plotë të modulit të kërkesës për të hequr një numër të madh të modulit dhe eliminimin e plotë të modulit:

  Pertanto, la nostra equazione si trasformerà in un'equazione lineare, che può essere facilmente risolta:

  È vero, tutti questi pensieri hanno senso solo alla condizione $ 3x-5 \gt 0 $: noi stessi abbiamo introdotto kërkimin e kërkuar për rivelare inequivocabilmente il modulo.

  Për të, përshtatur $x=\frac(5)(3)$ trovato në kërkimin e kushteve dhe kontrollit:

  Risulta che per il valore specificato di $x$ il nostro requisito non è soddisfatto, perché l'espressione risulta essere uguale a zero e abbiamo bisogno che sia strettamente maggiore di zero.

  Triste. :(

  Ma va bene!

  Dopotutto, kjo është një alternativë tjetër: $3x-5 \lt 0$.

  Inoltre: esiste anche il caso $3x-5=0$ - anche questo deve essere considerato, altrimenti la soluzione sarà i paplotë.

  Konsideroni çmimin 3x-5 $ \lt 0$:

  Ovviamente il modulo si aprirà con il segno meno.

  Ma poi si prezantoj una situazione strana: sia a sinistra che a destra nell'equazione originale spunterà la stessa espressione:

  
  Mi chiedo a quanto $x$ l'espressione $5-3x$ sarà uguale all'spressione $5-3x$?

  Risposta finale totale: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Non è molto comune vedere schifezze del genere nella risposta a un'equazione abbastanza semplice (essenzialmente lineare) modulo , davvero?

  Qualcos'altro è molto più i rëndësishëm: abbiamo appena analizzato un algoritmo universale per risolvere un'equazione con un modulo!

  1. E questo algoritmo përbëhet nga nei seguenti passaggi:
  2. Uguagliare është një modul zero ciascun nell'equazione.
  3. Otteniamo diverse equazioni;

  Risolvi tutte queste equazioni e segna le radici sulla linea numerica.

  Di conseguenza, la linea retta verrà divisa in più intervalli, in ciascuno dei quali tutti i moduli si riveleranno in modo univoco;

  Risolvi l'equazione originale per ciascun intervallo e combina le tue risposte.

  1. È tutto!
  2. Rimane solo una domanda: cosa fare con le radici ottenute nel passaggio 1?
  3. Diciamo che abbiamo due radici: $x=1$ e $x=5$.

  Ndarja e linjës numerike në 3 pezzi:

  Ndarja e linjës numerike në intervali utilizzando dhe punti

  Quindi quali sono gli intervalli? È chiaro che ce ne sono tre: Quello più a sinistra: $x \lt 1$ - l'unità stessa non è inclusa nell'intervallo;

  Centrale: $1\le x \lt 5$ - qui uno è incluso nell'intervallo, ma cinque non è incluso;

  Più a destra: $x\ge 5$ - cinque è incluso solo qui!

  Il modulo è zero e il modulo di qualsiasi numero positivo è .

  
  

  Se l'argomento è negative, dopo aver aperto le parentesi il suo segno cambia da meno a più.

  
  
  

  Sulla bazë di ciò si konkludoj che i moduli degli opposti sono uguali: |-x|

  
  

  = |x|

  
  

  =x.

  Il modulo di un numero complesso si trova dalla formula: |a|

  = √b² + c², e |a + b|

  ≤ |a|

  + |b|.

  Se hai un'attività in cui non è specificata la condizione per Espandere le parentesi del modulo, non è necessario eliminarle: questo sarà il risultato finale.