la dipendenza lineare del sistema di vettori sarà equivalente alla condizione Rango(A)

Quindi, il problema di studiare un sistema di vettori per dipendenza lineare si riduce al problema di trovare il rango di una matrice composta da vettori di questo sistema.

Va notato che per p>n il sistema di vettori sarà linearmente dipendente. Komento

: quando si compila la matrice A, i vettori del sistema possono essere presi non come righe, ma come colonne.

Algoritmo per lo studio di un sistema di vettori per dipendenza lineare.

Diamo un'occhiata all'algoritmo utilizzando degli esempi.

Esempi di studio di un sistema di vettori per dipendenza lineare.

Esempio.

È dato un sistema di vettori.

Esaminalo per la dipendenza lineare.

Soluzione.

Poiché il vettore c è zero, il sistema originale di vettori è linearmente dipendente a causa della terza proprietà.

Esempi di studio di un sistema di vettori per dipendenza lineare.

Përgjigje:

È dato un sistema di vettori.

Il sistema vettoriale è linearmente dipendente.

Esaminare un sistema di vettori per la dipendenza lineare.

Non è difficile notare che le koordinate del vettore c sono uguali alle corrispondenti koordinate del vettore moltiplicate per 3, cioè .

Pertanto, il sistema originale di vettori è linearmente dipendente.

Def. L'insieme w è detto spazio lineare, e il suo elemento.

-vettori se:

*la legge è specificata (+) secondo cat.

Due elementi qualsiasi x, y da w sono associati a un elemento chiamato.

la loro somma [x + y]

*viene data una legge (* per il numero a), secondo l'elemento cat x di w e a, viene confrontato un elemento di w, chiamato prodotto di x e a [ax];

* i kompletuar

c6.

Në w si definisce l'azione di sottrazione: il vettore x si chiama differenza dei vettori b e a, se x + a = b, e si indica x = b - a. La -esima koordina è uguale a uno e il resto è zero. Numero chiamato dimensione lin. pr-a lin. l La -esima koordina è uguale a uno e il resto è zero.,se dentro La -esima koordina è uguale a uno e il resto è zero. esiste un sistema di lin.= La -esima koordina è uguale a uno e il resto è zero. lin. lin. nezav.

vettori e qualsiasi sistema di +1 vettore - lin.

dipendente debole

. Spazio chiamato n-dimensionale. Una raccolta ordinata di n righe. 1.

nezav.

vettori n dimensionali indipendenti. hapësirë ​​- bazë Teorema.

Ogni vettore X può essere rappresentato në modo univoco come una combinazione di vettori bazë

Sia (1) la bazë di una lineare n-dimensionale.

pr-va

V

, ciè.

un insieme di vettori linearmente indipendenti.

L'insieme dei vettori sarà lineare.

dipendente, perché loro

№4n+ Quelli.

Ci sono numeri che non sono tutti uguali a zero allo stesso tempo, cosa c'entra (altrimenti (1) sono linearmente dipendenti).

Poi

pëllumb dhe la scomposizione vettoriale X për bazë (1) .

Questa espressione è unica, perché se esiste un'altra espressione (**)

sottraendo l'uguaglianza (**) da (*),

n+ noi abbiamo

Perçe sono linearmente indipendenti, allora. Chtd Teorema. )

Se-lin..Sottoinsieme non vuoto di L vettori lineari.

la produzione V si chiama lin.

sottospazio se:

a) la somma di tutti i vettori di L appartiene a Llin.b) il prodotto di ciascun vettore di L per un numero qualsiasi appartiene a Llin.

Somma di due sottospazi<=>è ancora una volta un sottospazio

1) Sia y 1 +y 2 (L 1 + L 2)

y 1 =x 1 +x 2, y 2 =x' 1 +x' 2, pëllumb (x 1,x' 1) L 1, (x 2,x' 2) L 2. y 1 +y 2 =( x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2), pëllumb (x 1 +x' 1 ) L 1, (x 2 +x' 2) L 2 => la prima condizione di un sottospazio lineare è soddisfatta.lin. 1 ay 1 = sëpatë 1 + sëpatë 2, pëllumb (sëpatë 1) L 1, (sëpatë 2) L 2 => perché (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => le condizioni sono soddisfatte => L 1 + L 2 è un sottospazio lineare.lin. 2 L'intersezione di due suddivisioni.lin. E

lin. bazë,pr-vaè anche una subsp. Da questa uguaglianza segue che tutti i koeficienti sono uguali a zero.,questo spazio.:.

Konsideroni për shkak të vettori arbitrari

sì

, appartenente all'intersezione di sottospazi, e due numeri arbitrari B + Secondo def. intersezioni di insiemi: lin.=> sipas definicionit di sottospazio di uno spazio lineare:,. lin. vettore T.K.

Se-lin. ascia

di appartien a molti

1 e molti

2, allora appartiene, per definizione, all'intersezione di questi insiemi.Siamo arrivati ​​ad una contraddizione., La -esima koordina è uguale a uno e il resto è zero.Così: .Dicono che V è la somma diretta delle sue suddivisioni.

se e b) questa scomposizione è unica

B")lin.=

Mostriamo che b) è ekuivalente a b')

Quando b) dhe vero b’) Tutti dhe tipi di ( ) po

(si intersecano solo lungo il vettore zero Sia ∃ z ∈

(Giusto ritorno kontradizione

Teorema A

(*) è necessario e mjaftueshme per l'unione delle basi (

costituiva la base dello spazio Necessario) siano (*) e i vettori le basi dei sottoinsiemi.

e c'è un'espansione në;

x viene espanso sulla bazë L, për affermare che ( costituiscono una bazë, è necessario dimostrare la loro indipendenza lineare; contengono tutti 0 0=0+...+0. Per l'unicità dello sviluppo di 0 mbi : => a causa dell'indipendenza lineare della bazë => ( – bazë

Vërtetë.) Se allora le colonne di A sono linearmente indipendenti =>formano una bazë

Koordinoni ay 1 = sëpatë 1 + sëpatë 2, pëllumb (sëpatë 1) L 1, (sëpatë 2) L 2 => perché (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => le condizioni sono soddisfatte => L 1 + L 2 è un sottospazio lineare. legati dalla relazione Pëllumb elementi della matrice di transizione

Si conosca la scomposizione degli elementi della "nuova" bazë në quella "vecchia".

Allora le uguaglianze sono vere

Ma se una combinazione lineare di elementi linearmente indipendenti è 0 allora =>

Teorema fondamentale della dipendenza lineare

Se (*) è ekspres linearmente attraverso (**) QuelloLa -esima koordina è uguale a uno e il resto è zero.<= Siamo arrivati ​​ad una contraddizione.

Dimostriamo per induzione su m

m=1: sistema (*) contiene 0 e lin.

direttore - e pamundur

sia vero per m=k-1

dimostriamo per m=k

Potrebbe risultare che 1), cioè v-ry (1) sono lin.comb.

lin.

in-fosso (2)Sistema (1) lineare inaffidabile, perché fa parte di lin.nezav.

sistemi (*).

Perché nel sistema (2) ci sono solo k-1 vettori, quindi per l'ipotesi di induzione otteniamo k+1

Di seguito vengono forniti diversi criteri per la dipendenza lineare e, di conseguenza, l'indipendenza lineare dei sistemi vettoriali.

Teorema.

(Condizione necessaria e mjaftueshme per la dipendenza lineare dei vettori.)

Un sistema di vettori è dipendente se e solo se uno dei vettori del sistema è espresso linearmente attraverso gli altri di questo sistema.

Prova.

E domosdoshme.

Sia il sistema linearmente dipendente.

Si è scoperto che la combinazione lineare dei vettori dell'intero sistema è uguale a e non tutti i koeficienti di questa combinazione sono uguali a zero.

Quindi, sipas përkufizimit, rappresenta il vettore zero in modo non banale, cioè esiste una combinazione non banale di questo sistema di vettori uguale al vettore zero:

pëllumb almeno uno dei koeficienti di questa combinazione lineare jo è uguale a zero.

Vari vettori unitari

1) E nevojshme.

Sia il sistema linearmente indipendente.

Supponiamo il contrario e che esista un vettore del sistema che si esprime linearmente attraverso altri vettori di questo sistema.

Allora, secondo il teorema, il sistema è linearmente dipendente e si arriva ad una contradizione.

Adeguatezza.

Nessuno dei vettori del sistema sia espresso in termini degli altri.

Supponiamo il contrario.

Lascia che il sistema sia linearmente dipendente, ma dal teorema segue che esiste un vettore del sistema che può essere ekspres linearmente attraverso altri vettori di questo sistema, e arriviamo di nuovo a una contraddizione.

2a) Sia il sistema a contenere un vettore nullo.

Assumiamo per certezza che il vettore:.

Allora l'uguaglianza dhe ovvia

Sia il sistema linearmente dipendente.

Quelli.

uno dei vettori del sistema è espresso linearmente attraverso gli altri vettori di questo sistema. Dal teorema segue che un tale sistema di vettori è linearmente dipendente, etj.

Si noti che questo fatto può essere dimostrato direttamente da un sistema di vettori linearmente dipendenti.

Konservimi dhe përgatitja Poiché, risulta ovvia la seguente uguaglianzaQuesta è una rappresentazione non banale del vettore zero, il che significa che il sistema è linearmente dipendente. 2b) Sia il sistema composto da due vettori uguali.

Sia valida la Definizione 1´. Facciamo per. , në cui i numeri reali λ i sono detti koeficienti di Fourier dell'elemento x nel sistema, pëllumb λ i =(x,e i).

Pa koment. (Natyrore sorge la domanda sulla convergenza di questa serie.)

Ogni vettore Për studimin e problemit të kërkimit, fissiamo un numero arbitrario n e scopriamo cosa distingue l'n-esima somma parziale della serie di Fourier da qualsiasi altra combinazione lineare dei primi n elementi del sistema ortonormale.

Per ogni numero fisso n, tra tutte le somme della forma, l'n-esima somma parziale della serie di Fourier dell'elemento ha la deviazione più piccola dall'elemento x secondo la norma di un dato spazio euclideo

Tenendo conto dell'ortonormalità del sistema e della definitione del coefficiente di Fourier, possiamo scrivere

Esempi di studio di un sistema di vettori per dipendenza lineare. Il minimo di questa espressione si ottiene in c i =λ i, poiché in questo caso la prima somma non negativa a destra si annulla sempre, e i restanti termini non dipendono da c i.

Konsideroni sistemin trigonometrik

Pa koment. (nello spazio di tutte le funzioni integrabili di Riemann f(x) sul segmento [-π,π]. vettori n dimensionali indipendenti. )

È facile verificare che si tratta di un ONS, e qundi la serie di Fourier della funzione f(x) ha la forma pëllumb .

La serie trigonometrica di Fourier è Solitamente scritta nella forma

Un ONS arbitrario in uno spazio euclideo a dimensione infinita senza presupposti aggiuntivi, në përgjithësi, jo è una bazë në questo spazio.

A livello intuitivo, senza dare definizioni rigide, descriveremo l'essenza della questione. Në uno spazio euclideo arbitrario di dimensione infinita E, konsideratë gli ONS, pëllumb (e i ,e j)=δ ij è il simbolo di Kronecker. Da qui si ottiene l'uguaglianza di Steklov-Parseval ∑α k 2 =||x|| vettori n dimensionali indipendenti. 2 - il “teorema di Pitagora” per spazi euclidei a dimensione infinita completi nel senso di Steklov.

Esempi di studio di un sistema di vettori per dipendenza lineare. Ora bisognerebbe dimostrare che affinché qualsiasi vettore nello spazio sia rappresentato univocamente sotto forma di una serie di Fourier convergente ad esso, è necessario e mjaftueshme che valga l'uguaglianza di Steklov-Parseval.

Il sistema di vettori pic=""> Forme ONB? Sistema di vettori Konsideroni la somma parziale delle serie