La distanza tra 2 punti nello spazio.

Domanda risposta
La distanza tra due punti su un piano.

Sistemi di koordinon

Ogni punto A del piano è caratterizzato dalle sue koordinate (x, y).

Coincidono con le koordinate del vettore 0A che esce dal punto 0 - origine delle koordinate.

Siano A e B punti arbitrari del piano con koordinate (x 1 y 1) e (x 2, y 2), rispettivamente.

Allora il vettore AB ha ovviamente delle koordinate (x 2 - x 1, y 2 - y 1).

È noto che il quadrato della lunghezza di un vettore è uguale alla somma dei quadrati delle sue koordinate.

Pertanto, la distanza d tra i punti A e B, o, che è lo stesso, la lunghezza del vettore AB, è determinata dalla condizione d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2. d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 α .

La formula risultante consente di trovare la distanza tra due punti qualsiasi sul piano, se si conoscono solo le koordinate di questi punti

Ogni volta che parliamo di koordinate di un punto particolare del piano, intendiamo un sistema di koordinate x0y ben definito.

Në përgjithësi, il sistema di koordinate su un piano può essere scelto in diversi modi. α Quindi, al posto del sistema di koordinatave x0y, si può considerare il sistema di koordinatave x"0y", che si ottiene ruotando i vecchi assi delle koordinate attorno al punto iniziale 0 α Antiorario

frecce all'angolo

Se un certo punto del piano nel sistema di koordinata x0y aveva koordinata (x, y), nel nuovo sistema di koordinata x"0y" avrà koordinata të ndryshme (x, y").

Ad esempio, konsideratë il punto M, situato sull'asse 0x e separato dal punto 0 ad una distanza di 1.

Ovviamente, nel sistema di koordinata x0y questo punto ha koordinate (cos

, pekato

), e nel sistema di koordinata x"0y" le koordinata sono (1,0).

Le koordinate di due punti qualsiasi sul piano A e B dipendono da come è specificato il sistema di koordinate in questo piano.

III.

Nel sistema di koordinata x0y, i punti M e N hanno rispettivamente koordinata (1, 0) e (0,1). / Trova le koordinate di questi punti nel nuovo sistema di koordinate, che si ottiene ruotando i vecchi assi attorno al punto iniziale di un angolo di 30° in senso antiorario.

IV.

Nel sistema di koordinata x0y, i punti M e N hanno koordinata (2, 0) e (\

3/2, - 1/2) rispettivamente.

Trova le koordinate di questi punti nel nuovo sistema di koordinate, che si ottiene ruotando i vecchi assi attorno al punto iniziale di un angolo di 30° in senso orario.

Sia, (Figura 2.3).

Necessario per trovare.

Figura 2.3.

La distanza tra due punti.

Dal rettangolare secondo il teorema di Pitagora abbiamo

Questo è ,

Questa formula è valida per qualsiasi posizione di punti e.

II.

Divisione di un segmento a questo riguardo:

Permetre,.È necessario trovare, giacendo sul segmento e dividendolo in un dato rapporto (Figura 2.4.).

- Figura 2.4.

Divisione di un segmento a questo riguardo.

Dalla somiglianza ~, cioè da pëllumb.

Allo stesso modo. Così, – formula për pjesëtimin e një segmenti në lidhjen a.

Se poi

– koordinon del centro del segmento. Komento. Le formule derivat possono essere generalizzate al caso di un sistema di koordinate cartesiane spaziali rettangolari. Lasciamo che i punti,. Poi

– formula per trovare la distanza tra i punti e. Formula për pjesëtimin e një segmenti në lidhje.

– Oltre a quelli cartesiani, sul piano e nello spazio è possibile costruire un gran numero di altri sistemi di koordinon, ovvero modi per caratterizzare la posizione di un punto su un piano o nello spazio utilizzando due o tre parametri numerici (koordinata). , Konsideroni alcuni dei sistemi di koordinat esistenti. Su un aereo è possibile determinare

sistema di koordinate polare

, che viene utilizzato, in particolare, nello studio dei movimenti rotazionali.

Troviamo la relazione tra le koordinate rettangolari e polari (Figura 2.6).

Figura 2.6.

Relazione tra sistemi di koordinate rettangolari e polari.

Konsideroni remo l'origine del sistema di koordinat rettangolari come il polo e il raggio sarà l'asse polare.

Supponiamo - in un sistema di koordinate cartesiane rettangolari e - in un sistema di koordinate polari.

Troviamo la relazione tra le koordinate rettangolari e polari.

Permetre,. Da rettangolare e da rettangolare.

Quindi, le formule Esprimere le koordinate rettangolari di un punto in termini delle sue koordinate polari.

La relazione inversa è formule espressa dalle L'angolo polare può essere determinato anche dalla formula, avendo precedentemente determinato dalle koordinate rettangolari in quale quadrante si trova il punto.

Esempio 1.

Trova le koordinate polari di un punto. Soluzione.

La relazione inversa è formule espressa dalle Calcoliamo;

L'angolo polare si trova dalle condizioni:

Pertanto, quindi.

Esempio 2. Trova le koordinate rettangolari del punto.

Calcoliamo

Noi abbiamo.

Nello spazio tridimensionale, oltre al sistema di koordinate cartesiane rettangolari, vengono spesso utilizzati sistemi di koordinon cilindriche e sferiche.

Sistemi i cilindrit koordinativ

è un sistema di koordinate polari nel piano, a cui si aggiunge un asse spaziale perpendicolare a questo piano (Figura 2.7).

La posizione di qualsiasi punto è caratterizzata da tre numeri - le sue koordinate cilindriche: , dove e sono le koordinate polari (raggio polare e angolo polare) della proiezione del punto sul piano in cui è scelto il sistema di koordinate' polari, l che è uguale alla distanza dal punto al piano specificato.

Permetre,. Figura 2.7.

Sistemi i cilindrit koordinativ Può essere costruito come segue.

Scegliamo l'asse polare nel piano.

Attraverso il punto tracciamo una linea retta perpendicolare al piano (normale).

Quindi a qualsiasi punto dello spazio possono essere associati tre numeri reali, dove è la distanza dal punto a, è l'angolo tra l'asse e la proiezione del segmento sul piano, ed è è l'angolo tra la normale e il segmento.

Notare che... Se posizioniamo il piano nel piano e scegliamo l'asse polare in modo che coincida con la direzione positiva dell'asse e selezioniamo l'asse come normale (Figura 2.9), otteniamo formule che collegano questi due sistemi di Figura 2.9. Relazione tra cartesiano sferico e rettanglare

sistemi di koordinon Scalari sasior,

oppure gli scalari sono completamente caratterizzati dal loro valore numerico nel sistema di unità scelto. Kuantità vettoriali oppure i vettori, oltre al loro valore numerico, hanno anche una direzione. Ad esempio, se diciamo che il vento soffia con una velocità di 10 m/sec, allora introdurremo un valore scalare della velocità del vento, ma se diciamo che il vento da sud-ovest soffia con una velocità di 10 m/s questo caso la velocità del vento sarà già un vettore. Vettore chiamato segmento diretto avente una certa lunghezza, cioè un segmento di una certa lunghezza, in cui uno dei punti limite è preso come inizio e il secondo come fine. Indicheremo il vettore con oppure (Figura 2.10). La lunghezza di un vettore è indicata con il simbolo o ed è chiamata modulo del vettore. Viene chiamato un vettore la cui lunghezza è 1 veçuar .

Il vettore si chiama zero , se il suo inizio e la sua fine coincidono, ed è indicato con θ o .

Il vettore zero non ha una direzione specifica e ha una lunghezza Guale një zero .

Definiamo le operazioni tregojnë sui vettori. Siano due vettori e sia dato. Prendiamo un punto arbitrario O e costruiamo un vettore e tracciamo il vettore dal punto A. Quindi viene chiamato il vettore che collega l'inizio del primo termine del vettore con la fine del secondo sasia questi vettori sono indicati con.

Viene chiamata la regola considerata per trovare la somma dei vettori regole del triangolo .

(Figura 2.11).

Tracciamo il vettore e il vettore dal punto. Costruiamo un paralelogramma su questi vettori come sui lati. La somma sarà il vettore, che è la diagonale del paralelogramma tracciato dal vertice. Questa regola per trovare la somma si chiama

regole del paralelograma La somma di qualsiasi numero finito di vettori può essere ottenuta utilizzando la regola della linea spezzata (Figura 2.13). Da un punto arbitrario tracciamo un vettore, poi tracciamo un vettore, etj. Il vettore che collega l'inizio del primo alla fine dell'ultimo è la somma

vettori di dati, ad es. Guale një zero . Ovviamente, se la fine dell'ultimo termine del vettore koincidence con l'inizio del primo, allora la somma dei vetori è uguale al vettore nullo. :

Për dallim

Due vettori ed è chiamato tale vettore, la cui somma con il vettore sottratto dà il vettore.

Da qui

regola per costruire un vettore differenza

(Figura 2.14).

Dal punto tracciamo il vettore e il vettore.

Il vettore che collega le estremità del vettore minuendo e del vettore sottraendo e diretto dal sottraendo al vettore minuendo è la differenza.

Prodotto di un vettore

S.U. numero reale λ è un vettore collineare al vettore, ha lunghezza e stessa direzione del vettore se, e direzione opposta al vettore se. Inserito oltre i vettori hanno numero realeè uguale a zero purché non tutti i numeri λ 1, λ 2, ..., λ n siano uguali a zero. Il sistema di vettori (2.1) si chiama linearmente indipendenti , se la loro combinazione lineare è uguale a zero solo se tutti i numeri λ i = 0 (). Si può guxoj një përkufizim tjetër Inserito dipendenza lineare Il sistema di vettori (2.1) si chiama .

vettori.

Il sistema di vettori (2.1) si chiama

, se qualsiasi vettore di questo sistema è espresso linearmente in termini degli altri, altrimenti il ​​'sistema di vettori (2.1)

Per i vettori che giacciono nel piano valgono le seguenti affermazioni.

10.

Tre vettori qualsiasi su un piano sono linearmente dipendenti. 20. Se il numero di questi vettori sul piano è maggiore di tre, allora sono anche linearmente dipendenti.

trenta.

Affinché due vettori su un piano siano linearmente indipendenti è necessario e mjaftueshme che siano jo collineari.

Pertanto, il numero massimo di vettori linearmente indipendenti sul piano è due.

I vettori sono chiamati

Krahasohuni , se giacciono sullo stesso piano o sono paralele allo stesso piano. Per i vettori spaziali valgono le seguenti affermazioni. 10. Ogni quattro vettori dello spazio sono linearmente dipendenti. 20. Se il numero di questi vettori nello spazio è maggiore di quattro, allora sono anche linearmente dipendenti. trenta. Affinché tre vettori siano linearmente indipendenti è necessario e mjaftueshme che siano jo komplanari.

Pertanto, il numero massimo di vettori linearmente indipendenti nello spazio è tre.

Viene chiamato qualsiasi sottosistema massimale di vettori linearmente indipendenti attraverso il quale si esprime qualsiasi vettore di questo sistema Quando vengono sommati due vettori, vengono aggiunte le loro koordinate corrispondenti.

Quando un vettore viene moltiplicato per un numero, tutte le sue koordinate vengono moltiplicate per quel numero.

Quindi, se e, allora, pëllumb, e pëllumb, λ è un certo numero. Tipicamente, l'insieme di tutti dhe vettori nel piano, ridotti a un'origine comune, con le operazioni lineari introdotte, è indicato con V 2, e l'insieme di tutti dhe vettori nello spazio, ridotti a un'origine comune, indicato con V 3. Gli insiemi V2 e V3 si chiamano

spazi di vettori geometrici. Angolo tra i vettori

ed è chiamato l'angolo più piccolo () di cui uno dei vettori deve essere ruotato fino a coincidere con il secondo dopo aver portato questi vettori ad un'origine comune. Prodotto scalare due vettori sono chiamati numero, Guale al prodotto

moduli di questi vettori per il coseno dell'angolo compreso tra loro.

Il prodotto scalare di vettori e è indicato con, o Se l'angolo tra i vettori e è uguale a, allora CON

punto gjeometrike Në termini di vista, il prodotto scalare dei vettori è uguale al prodotto del modulo di un vettore e della proiezione su di esso di un altro vetore. Dall'uguaglianza (2.2) segue che Da qui kondizione di ortogonalità di due vettori: .

shkak vettori

E

sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è uguale a zero, cioè

Il prodotto scalare di vettori non è un'operazione lineare perché il suo risultato è un numero, non un vettore.

Proprietà del prodotto scalare.

1º.

– komutatività. 2º. :

– distributività.

3º.

– associatività rispetto ad un fattore numerico. 4º.- proprietà di un quadrato scalare. Përkufizimi është në pronësi të 4º lunghezza del vettore

Sia data una base nello spazio V 3, dove i vettori sono vettori unitari (si chiamano vettori unitari), la direzione di ciascuno di essi coincident con la direzione positiva degli assi koordini Ox, Oy, Oz della koordina cartesiana rettangolare sistema.

Espandiamo il vettore spaziale V 3 secondo questa base (Figura 2.15):

Tarifa Lascia. Moltiplicando questi vettori come polinomi e tenendo conto che otteniamo un'espressione per la ricerca:

prodotto scalare in forma di koordinate

Quelli. 2º. :

il prodotto scalare di due vettori è uguale alla somma dei prodotti accopiati di koordinate con lo stesso nome. Da (2.6) e (2.4) segue la formule per trovare:

Dalle (2.6) dhe (2.7) është një formula për përcaktimin

Angolo tra i vettori Una terna di vettori si zare ordinata se viene indicato quale di essi è considerato il primo, quale è considerato il secondo e quale è considerato il terzo. Ordinato tre vettori chiamato Giusto , se dopo averli portati ad un'origine comune dall'estremità del terzo vettore, il giro più breve dal primo al secondo vettore viene effettuato in senso antiorario.

Altrimenti si chiama tripla di vettori

Sinistra.

Ad esempio, nella Figura 2.15, i vettori, , formano la terna destra di vettori, mentre i vettori, , formano la terna sinistra di vettori.

Në modo simile viene introdotto il concetto di sistema di koordinate destro e sinistro nello spazio tridimensionale.

Grafica vettoriale

vettore per vettore è un vettore (altra notazione) che:

1) ha lunghezza, pëllumb è l'angolo tra i vettori e; 2) perpendicolare ai vettori e (), cioè è perpendicolare al piano in cui si trovano i vettori e; Sipas përkufizimit, troviamo il prodotto vetoriale dei vettori unitari delle koordinate , , : Se , , allora le koordinate del prodotto vettoriale di un vettore e di un vettore sono determinate dalla formula: Dalla definitione segue significato gjeometrike

prodotto vettoriale

:modulo vettoriale

uguale gjithë' zonë paralelograma costruito su vettori e.

La relazione inversa è formule espressa dalle Pronësia e prodotto vetoriale:

4 0 .

L'angolo formato dalle diagonali del parallelogramma si indica con.

Quindi dalla formula del prodotto scalare di vettori abbiamo:

Quindi,.

Përdorni pronësinë e prodotto vettoriale, kalimin e zonës së paralelogramit: Siano dati tre vettori, e. Immaginiamo che il vettore venga moltiplicato vettorialmente per e il vettore e il vettore risultante vengano moltiplicati scalarmente per il vettore, determinando così il numero.

Si chiama vettore-scalare o lavoro misto tre vettori e.

Indicato con o.

Scopriamolo

significato geometrico del prodotto misto (Figura 2.18). Sia, , jo i krahasueshëm.

Costruiamo un parallelepipedo su questi vettori come sugli spigoli.

Il prodotto vetoriale è un vettore il cui modulo è uguale all'area del paralelogramma (baza e parallelepipedo), costruito sui vettori ed è diretto perpendicolarmente al piano del parallelogramma. Prodotto scalare (uguale al prodotto del modulo del vettore e della proiezione su).

L'altezza del parallelepipedo costruito è il valore assoluto di questa proiezione. Di conseguenza, il valore assoluto del prodotto misto di tre vettori è uguale al volume del parallelepipedo costruito sui vettori, e, cioè. Da qui, il volume di una piramide triangolare costruita sui vettori viene calcolato dalla formula.

Ne notiamo alcuni altri

proprietà di un prodotto misto Siano dati tre vettori, e. vettori.

1 o. Il segno del prodotto è positivo se i vettori, , e formano un sistema con lo stesso nome di quello principale, negativo altrimenti. Veramente , il prodotto scalare è positivo se l'angolo compreso tra ed è acuto e negative se l'angolo è ottuso. 1 o. Il segno del prodotto è positivo se i vettori, , e formano un sistema con lo stesso nome di quello principale, negativo altrimenti. Con un angolo acuto compreso tra e , i vettori e si trovano su un lato rispetto alla base del parallelepipedo, e quindi, dall'estremità del vettore, la rotazione da a sarà visibile allo stesso modo che dall'estremità del parallelepipedo. vettore, cioè in senso positivo (antiorario). A

Angolo Ottuso si chiama insieme di numeri, sostituendoli nelle equazioni del sistema al posto delle corrispondenti incognite, ogni equazione del sistema si trasforma in un'identità. Un sistema che non ha soluzione si chiama i papajtueshëm, O polemika . .

Un sistema che ha almeno una soluzione si zare giunto Il sistema congiunto si chiama certo , se ha una soluzione unica. Se un sistema coerente ha più di una soluzione, allora viene chiamato incerto . Un sistema omogeneo è semper coerente poiché ha almeno una soluzione nulla. Viene chiamata un'espressione per le incognite da cui si può ottenere qualsiasi soluzione specifica del sistema (Viene chiamata un'espressione per le incognite da cui si può ottenere qualsiasi soluzione specifica del sistema vendimi i përgjithshëm

, e qualsiasi soluzione specifica del sistema è la sua

zgjidhje private . i papajtueshëm, Due sistemi con le stesse incognite ekuivalente ), se ciascuna soluzione di uno di essi è una soluzione dell'altro o entrambi i sistemi sono incoerenti. :

Konsideroni metodi per risolvere sistemi di equazioni lineari.

Uno dei metodi principali per risolvere sistemi di equazioni lineari è

Metodo di Gauss,

metodo sequenziale

përjashtim delle incognite.

L'essenza di questo metodo è ridurre un sistema di equazioni lineari a una forma graduale.

In questo caso è necessario eseguire le seguenti equazioni:

Si noti che poiché nel metodo di Gauss tutte le trasformazioni vengono eseguite sui koeficienti delle equazioni incognite e sui termini liberi, në praktikë questo metodo viene solitamente applicato ad una matrice composta da matrice composta da coefficienti dicoefficienti terminii dico.

Quindi, le formule Questa matrica dhe detta estesa.

La relazione inversa è formule espressa dalle Utilizzando trasformazioni elementari, questa matrice viene ridotta a una forma graduale.

~ *) ~ **) ~ ***)

Quindi, utilizzando la matrice risultante, si ricostruisce il sistema e ad esso si applicano tutti i ragionamenti precedenti.

Përdorni koordinatat, përcaktoni pozicionin e një oggetto su

globo . Koordinata sono tregon gjatësinë dhe gjatësinë.

Le latitudini sono misurate dalla linea dell'equatore su entrambi i lati.

La longitudine viene misurata dal meridiano fondamentale est o ovest, rispettivamente, si ottiene la longitudine orientale o ocidentale.

Il modo più semplice è utilizare una calcolatrice per calcolare la lunghezza tra due punti.

Nel motore di ricerca del browser, è necessario impostare dhe seguenti parametri di ricerca: në linjë - për llogaritjen e koordinatave të distancave.

Nel calcolatore online dhe vlerat e gjatësisë dhe gjatësisë vengono inseriti nei campi di interrogazione per la prima dhe la seconda koordina.

Durante il calcolo, il calcolatore online ha dato il risultato: 3.800.619 m.

Il metodo successivo è più laborioso, ma anche più visivo.

Unë programohem në këtë mënyrë dhe mund të krijoj funksione të përdorshme për koordinimin dhe gabimin e distancave të përfshira në aplikimin e mëposhtëm: BaseCamp (jo moderne analoge nga programi MapSource), Google Earth, SAS.Planet. Tutti dhe programmi di cui sopra sono disponibili per qualsiasi utente della rete. Për më tepër, për llogaritjen e distancës së koordinatave të duhura në Google Earth, dhe është e nevojshme të krijohet etiketa e duhur për të treguar koordinimin e parë dhe të dytë të punës. per quanto riguarda la misurazione della distanza, è necessario conoscere la scala (unità di lunghezza) në cui verranno effettuate le misurazioni.

Pertanto, il problema di trovare la distanza da un punto all'altro viene solitamente konsideratë su una linea di koordinon o në një sistem të koordinuar karteziane rettangolari në piano ose nello spazio tridimensionale.

In altre parole, molto spesso devi calcolare la distanza tra i punti utilizzando le loro koordinate.

Në questo articolo ricorderemo innanzitutto come viene determinata la distanza da punto a punto su una linea koordina.

Successivamente, zgjidhet formulë për llogaritjen e distancave për shkak të punimeve në piano ose në një hapësirë ​​të dytë të datës së koordinatave.

Si përfundim, konsideroni në dettaglio le soluzioni ad esempi e problemi tipici. Navigazione della page. La distanza tra due punti su una linea di koordinat. Definiamo innanzituto la notazione.

Indicheremo la distanza dal punto A al punto B vijnë .

Da ciò possiamo konkludoj che

la distanza dal punto A con koordinate al punto B con koordinate è uguale al modulo della della differenza di koordinate

, questo è,

per qualsiasi posizione di punti sulla linea koordina. Distanza da punto a punto su un piano, formula.

Otteniamo una formula per calcolare la distanza tra i punti e data in un sistema di koordinate cartesiane rettangolari su un piano.

A seconda della posizione dei punti A e B, sono possibili le seguenti opzioni. Se i punti A e B coincidono, la distanza tra loro è zero. Se i punti A e B giacciono su una retta perpendicolare all'asse delle ascisse, allora i punti coincidono e la distanza è uguale alla distanza. Nel paragrafo precedente abbiamo scoperto che la distanza tra due punti su una linea koordina è uguale al modulo della differenza tra le loro koordinate, quindi,

. Quindi,. .

La formula risultante për trovare la distanza tra i punti può essere utilizzata quando i punti A e B coincidono o giacciono su una linea retta perpendicolare a uno degli assi delle koordinate.

Infatti, se A e B coincidono, allora.

Se i punti A e B giacciono su una linea retta perpendicolare all'asse del Bue, allora. Se A e B giacciono su una retta perpendicolare all'asse Oy, allora . .

Distanza tra punti nello spazio, formula. Introduciamo nello spazio il sistema di koordinat rettangolari Oxyz. Prendiamo una formula per trovare la distanza da un punto .

al punto Në përgjithësi, i punti A e B non giacciono su un piano parallelo a uno dei koordinimi i pianit.

Disegniamo attraverso i punti A e B piani perpendicolari agli assi koordini Ox, Oy e Oz. I punti di intersezione di questi piani con gli assi delle koordinate ci daranno proiezioni dei punti A e B su questi assi. .

Indichiamo le proiezioni

• La distanza richiesta tra i punti A e B è la diagonale del parallelepipedo rettangolare mostrato në figura.
• Për kostotruzione, le dimensioni di questo parallelepipedo sono uguali
• E.

Nel corso della geometria

Scuola superiore

È stato dimostrato che il quadrato della diagonale di un parallelepipedo rettangolare è uguale alla somma dei quadrati delle sue tre dimensioni, quindi. Sulla bazë delle informazioni contenute nella prima sezione di questo articolo, possiamo scrivere le seguenti uguaglianze, quindi, da dove lo prendiamo?

Në questo articolo esamineremo i modi per determinare teoricamente la distanza da un punto all'altro e utilizzando l'esempio di attività teknike.

Për cominciare, prezantimi i përkufizimit alcune.

Përkufizimi 1 Distanza tra punti

è la lunghezza del segmento che li collega, sulla scala esistente. È necessario impostare una scala per avere un'unità di lunghezza di misura. Pertanto, sostanzialmente il problema di trovare la distanza tra i punti viene risolto utilizzando le loro koordinon su una linea di koordinon, në un piano di koordinon o in uno spazio tridimensionale.

Dati iniziali: linea koordina O x e un punto arbitrario A che giace su di essa Qualsiasi punto sulla linea ha un numero reale: lascia che sia un certo numero per il punto A

xA,

è anche la koordina del punto A.

Në përgjithësi possiamo dire che la lunghezza di un certo segmento viene valutata rispetto ad un segmento preso come unità di lunghezza su una determinata scala. Se il punto A korrigjohet një numero reale intero, separando sequenzialmente dal punto O al punto lungo la retta O A segmenti - unità di lunghezza, possiamo determinare la lunghezza del segmento O A dal numero totale di segmenti unitari messi da parte. Ad esempio, il punto Një korridor në numrin 3: për arritjen e punto O, dovrai separare tre segmenti unitari.

Se il punto A ha koordinata -4, i segmenti unitari sono disposti në modo simile, ma in una direzione diversa e negative. Quindi, nel primo caso, la distanza O A è pari a 3; nel secondo caso O A = 4. Se il punto A ha ardhur koordina arsyetimi numero

, quindi dall'origine (punto O) mettiamo da parte un numero intero di segmenti unitari, e quindi la sua parte necessaria.

• Ma geometricamente non è semper possibile effettuare una misurazione.

• Ad esempio, sembra difficile tracciare la frazione 4 111 sulla linea delle koordinate.

• Përdorimi i metodës sopra, pozicioni në një linjë të re< 0 .

In questo caso è ovvio che la lunghezza del segmento stesso non può essere negative, quindi, utilizzando il segno del modulo, scriviamo la distanza dal punto O al punto A con la koordina xA: OA = xA

Risultà vera la seguente affermazione: la distanza da un punto all'altro sarà uguale al modulo della differenza di koordinate. Quelli. xA Da qui per i punti A e B che giacciono sulla stessa linea di koordinon per qualsiasi posizione e aventi koordinate corrispondenti

x B: OKB B = x B - x OKB.

Dati iniziali: punti A e B che giacciono su un piano in un sistema di koordinat rettangolari O x y con date koordinate: A (x A, y A) e B (x B, y B).

Tracciamo le perpendicolari passanti per i punti A e B agli assi koordinat O x e O y e otteniamo come risultato i punti di proiezione: A x, A y, B x, B y.

Në bazë alla posizione dei punti A e B sono quindi possibili le seguenti opzioni:

Se i punti A e B coincidono, la distanza tra loro è zero;

Se i punti A e B giacciono su una retta perpendicolare all'asse O x (asse delle ascisse), allora i punti coincidono e |

A B |

= |

AyBy |

.

Per una situazione in cui i punti A e B giacciono su una linea retta perpendicolare all'asse x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Nel caso in cui i punti A e B giacciano su una retta perpendicolare all'asse delle ordinate:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Dati iniziali: un sistema di koordinatave rettangolari O x y z con punti arbitrari che giacciono su di esso con le data e koordinatave A (x A, y A, z A) e B (x B, y B, z B).

È necessario determinare la distanza tra questi punti.

Consideriamo il caso generale in cui i punti A e B non giacciono su un piano paralelo a uno dei piani koordinat.

Disegniamo piani perpendicolari agli assi delle koordinate passanti per i punti A e B e otteniamo i corrispondenti punti di proiezione: A x , A y , A z , B x , B y , B z

La distanza tra i punti A e B è la diagonale del parallelepipedo risultante.

Secondo la costruzione delle misure di questo parallelepipedo: A x B x , A y B y e A z B z

Dal corso di geometria sappiamo che il quadrato della diagonale di un parallelepipedo è uguale alla somma dei quadrati delle sue dimensioni.

Mbështetja e bazës në questa affermazione, otteniamo l'uguaglianza: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Utilizzando le resulti ottenute in precedenza, scriviamo quanto segue: A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A Trasformiamo l'espressione:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Finalja

formula per determinare la distanza tra punti nello spazio

sara simile a questo:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

I punti coincidono;

Si trovano su un asse delle koordinate o su una linea retta paralela a uno degli assi delle koordinate.

1. Esempi di risoluzione di problemi sulla ricerca della distanza tra punti
2. Esempio 1

Dati iniziali: vengono fornite una linea di koordinat dhe punti che giacciono su di essa con le koordinata A (1 - 2) e B (11 + 2).

È necessario trovare la distanza dal punto di origine O al punto A e tra i punti A e B.

Dati iniziali: vengono forniti un sistema di koordinat rettangolari e due punti che giacciono su di esso A (1, - 1) e B (λ + 1, 3).

Si trovano su un asse delle koordinate o su una linea retta paralela a uno degli assi delle koordinate.

λ è un numero reale.

È necessario trovare tutti i valori di questo numero ai quali la distanza A B sarà uguale a 5.

Per trovare la distanza tra i punti A e B, devi utilizare la formula A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Sostituendo i valori delle koordinate reali, otteniamo: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Usiamo anche la condizione esistente che A B = 5 e quindi l'uguaglianza sarà vera:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Përgjigje: A B = 5 se λ = ± 3.

Si trovano su un asse delle koordinate o su una linea retta paralela a uno degli assi delle koordinate.

Esempio 3

Dati iniziali: uno spazio tridimensionale è specificato nel sistema di koordinat rettangolari O x y z e i punti A (1, 2, 3) e B - 7, - 2, 4 che si trovano in esso.

Për zgjidhjen e problemit të përdorimit të formulës A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Sostituendo i valori reali, otteniamo: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9