Letti ne serre

Calcoli approssimativi utilizzando il differenziale Në questa lezione esamineremo un problema comune sul calcolo approssimativo del valore di una funzione utilizzando un differenziale

.

Qui e più avanti parleremo di differenziali del primo ordine; per brevità spesso dirò semplicemente “differentziale”. Il problema dei calcoli approssimativi utilizzando i differenziali ha un rigoroso algoritmo di soluzione e, pertanto, non dovrebbero sorgere particolari difficoltà. L'unica cosa è che ci sono piccole insidie ​​che verranno anche ripulite. Quindi sentiti libero di tuffarti prima a capofitto. Inoltre, la faqe kontiene formulë për trovare l'gabim assoluto e relativo dei calcoli. Il materiale è molto utile, poiché in altri problemi è necessario calcolare gli errori. Fisici, dov'è il vostro applauso? =) Per padroneggiare con successo gli esempi, devi essere in grado di trovare le derivat di funzioni almeno a un livello intermedio, quindi se non sei completamente in grado differenziare, inizia con la lezione

Come trovare la derivata?

Consiglio anche la lettura dell'articolo

I problemi più semplici con le derivat , vale a dire i paragrafit su come trovare la derivata in un punto

E

trovare il differenziale nel punto
.

Dai mezzi tecnici, avrai bisogno di un microcalcolatore con varie funzioni matematiche. Ju mund të përdorni Excel, në kërkim të një rasti të përshtatshëm. Il laboratorio è composto da due parti:

Nel primo paragrafo regna la funzione di una variabile.

Come tutti sanno, si indica con o con.

Per questo compito è molto più i përshtatshëm për t'u përdorur në notazione dytë. Passiamo direttamente a un esempio popolare che si incontra spesso nella pratica:

Esempio 1

Zgjidhja: Kopjimi i formulës nga lavoro per il calcolo approssimativo utilizzando la differenza nel tuo taccuino: Cominciamo a capirlo, qui tutto è semplice!

Il primo passo è creare una funzione. Në bazë alla condizione, si propone di calcolare radice kub
dal numero: , quindi la funzione corrispondente ha la forma: .

Dobbiamo përdor formulën për të arritur vlerën e duhur. Guardiamo lato sinistro formule, e mi viene in mente che il numero 67 deve essere rappresentato nella forma. Qual è il modo più semplice per farlo?

Raccomando il seguente algoritmo: Calcola questo valore su una calcolatrice: – si è rivelato essere 4 con la coda, questa è una linea guida importante per la soluzione.

Selezioniamo un valore “buono” vijnë

in modo che la radice venga rimossa completamente

.

Naturalmente, questo valore dovrebbe essere
Quanto più vicino possibile

a 67. In questo caso: .

Veramente: .

Shënim: se la selezione presenta ancora difficoltà, basta guardare il valore calcolato (in questo caso

), prendere la parte intera più vicina (in questo caso 4) ed elevarla alla potenza richiesta (in questo caso ).

Di conseguenza verrà effettuata la selezione desiderata: . Se, quindi l'incremento dell'argomento: .

Quindi, il numero 67 è rappresentato come una somma

Innanzitutto, calcoliamo il valore della funzione nel punto.

Në realtà, questo è già stato fatto prima:

Il differenziale në formulën un punto si trova dalla: - Puoi anche copiarlo sul tuo quaderno. Dalla formula segue che devi prendere la derivata prima: E trova il suo valore nel punto: Così:

Alcuni potrebbero essersi chiesti perché questo compito è necessario se tutto può essere calcolato con qetë dhe saktësi su una calcolatrice?

Sono d'accordo, il compito è stupido e ingenuo.

La somma di due angoli adiacenti dà come risultato 180°.

Ma proverò a giustificarlo un po’.

Innanzitutto, il compito illustra il significato della funzione differenziale. Në secondo luogo, nei tempi antichi, una calcolatrice era qualcosa di simile a un elicottero personale nei tempi moderni.

Per questo compito è molto più i përshtatshëm për t'u përdorur në notazione dytë. Io stesso ho visto come un computer delle dimensioni di una strof fu buttato fuori da un istituto politecnico locale da qualche parte nel 1985-86 (radioamatori arrivarono correndo da tutta la città con cacciaviti, e dopo un paio d'oreralosta kompjuter la custodia unità).
C'erano anche oggetti d'antiquariato nel nostro dipartimento di fisica e matematica, sebbene fossero di dimensioni più piccole, circa delle dimensioni di una scrivania. È così che i nostri antenati hanno lottato con metodi di calcoli approssimativi.

Anche una carrozza trainata da cavalli è un mezzo di trasporto.

Në un modo o nell'altro, il problema rimane nel corso standard della matematica superiore e dovrà essere risolto. Questa è la risposta principale alla tua domanda =)

al punto.

Calcola un valore più accurato di una funzione in un punto utilizzando un microcalcolatore, valuta l'errore assoluto e relativo dei calcoli.

In effetti, lo stesso compito, può essere facilmente riformulato come segue: “Calcola il valore approssimativo

shfrytezoj un differenziale"

Përdorimi i formulave të njohura:

Në këtë rast, ju mund të përdorni vetëm funksione të tjera:

. Ancora una volta, vorrei attirare la vostra attenzione sul fatto che è più comodo da usare.

Il valore deve essere presentato nel modulo. Bene, qui è più semplice, vediamo che il numero 1.97 è molto vicino a “due”, quindi suggerisce se stesso. Equindi: .

Përdorni formulën Ancora una volta, vorrei attirare la vostra attenzione sul fatto che è più comodo da usare.
, calcoliamo il differenziale nello stesso punto.

Viene visualizzato l'gabim relativo në përqindje cilësore Il risultato approssimativo si discosta dal valore esatto.

Kjo është një version i della formula senza moltiplicare për il 100%, në praktikën e saj kuazi semper la versione sopra për përqindje. Dopo un breve accenno, torniamo al nostro problema, in cui abbiamo calcolato il valore approssimativo della funzione

utilizzando un differenziale.
Calcoliamo il valore esatto della funzione utilizzando un microcalcolatrice:

, në senso stretto, il valore è ancora approssimativo, ma lo konsidereremo accurato.

Tali problemi si verificano.
Kalimi i gabimit të caktuar:

Quindi, il numero 67 è rappresentato come una somma Calcoliamo l'errore relativo:

, sono stati ottenuti millesimi di punto përqinduale, quindi il differenziale ha fornito solo un'ottima approssimazione.

, errore di calcolo assoluto, errore di calcolo relativo

Il seguente esempio per una soluzione indipendente: Esempio 4

Calcolare approssimativamente il valore di una funzione utilizzando un differenziale

al punto.

Calcola un valore più accurato della funzione in un dato punto, stima l'errore assoluto e relativo dei calcoli.

Un esempio approssimativo del progetto finale e la risposta alla fine della lezione.

Il seguente esempio per una soluzione indipendente: Molte persone hanno notato che in tutti gli esempi considerati compaiono le radici.

Ciò non è casuale; nella maggior parte dei casi il problema in esame offfre effettivamente funzioni con radici.

Ma per i lettori sofferenti, ho trovato un piccolo esempio con l'arcoseno:

Esempio 5

Per questo compito è molto più i përshtatshëm për t'u përdorur në notazione dytë. al punto Questo esempio breve ma informativo può essere risolto anche da te. E mi sono riposato un po' affinché con rinnovato vigore potessi considerare il compito speciale:

Esempio 6

Calcola approssimativamente utilizzando il differenziale, arrotondando il risultato a due cifre decimali.

Cosa c'è di nuovo nel compito? Kondizione richiede l'arrotondamento del risultato një dhjetore të duhur..

Një propozim, për chi non l'ha stampato, consiglio di farlo, visto che dovrai guardarlo durante l'intero corso di studi di matematica superiore.

Shënim: se la selezione presenta ancora difficoltà, basta guardare il valore calcolato (in questo caso

Analizzando la tabella notiamo un valore della tangente “buono”, che si avvicina ai 47 gradi: Dopo l'analisi preliminare i gradi devono essere konvertiti në radianti

. Sì, e solo così!

In questo esempio puoi scoprire direttamente dalla tabella trigonometrica che.

Shënim: se la selezione presenta ancora difficoltà, basta guardare il valore calcolato (in questo caso Përdorni formulën për konvertimin e shkallës në radianti:

Quindi, il numero 67 è rappresentato come una somma

(le formule si trovano nella stessa tabella).

Ciò che segue è una formula:

(usiamo il valore per i calcoli).

Il risultato, come richiesto dalla condizione, viene arrotondato alla seconda cifra decimale.

trovare il differenziale nel punto
Esempio 7

Calcola approssimativamente utilizzando un differenziale, arrotondando il risultato a tre cifre decimali.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione. Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato, convertiamo dhe gradi in radianti e aderiamo al consueto algoritmo risolutivo.

utilizzando il differenziale completo di una funzione di due variabili

Tutto sarà molto, molto simile, quindi sei arrivato su questa faqe appositamente per questo compito, prima ti consiglio di guardare almeno un paio di esempi del paragrafo precedente.

Per questo compito è molto più i përshtatshëm për t'u përdorur në notazione dytë. Per studiare un paragrafo devi essere in grado di trovare

Derivat parziali del secondo ordine

, pëllumb saremmo senza di loro? Nella lezione precedente, ho indicato una funzione di due variabili utilizzando la lettera.!

In relazione al compito in esame è più easye utilizare la notazione equivalente.

Come nel caso di una funzione di una variabile, la condizione del problema può essere formulata in diversi modi, e cercherò di konsideratë tutte le formulazioni incontrate.
,

Esempio 8
,

Non importa come sia scritta la condizione, nella soluzione stessa per denotare la funzione, ripeto, è meglio usare non la germa "z", ma .

Calcoliamo il valore della funzione nel punto:

Troviamo il differenziale di una funzione në un punto utilizzando në formulën:

Dalla formula ne consegue che dobbiamo trovare derivat parziali primo ordine e calcolarne i valori al punto.

Calcoliamo le derivat parziali del primo ordine nel punto:

Differenziale totale al punto:

Përkatësisht, formula e dytë, il valore approssimativo della funzione nel punto:

Calcoliamo il valore esatto della funzione nel punto:

Questo valore è assolutamente accurato.

Gli errori vengono calcolati utilizzando formule standard, che sono già gjendje diskutuar në questo articolo.

Gabim zgjidh:

Gabim relativ:

Quindi, il numero 67 è rappresentato come una somma, errore assoluto: , errore relativo:

Esempio 9

Calcolare il valore approssimativo di una funzione në un punto utilizzando un differenziale totale, stimare l'gabim assoluto e relativo.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo.

Chiunque dia un'occhiata più da vicino a questo esempio noterà che gli errori di calcolo si sono rivelati molto, molto evidenti.

Ciò è accaduto per il seguente motivo: nel problema proposto gli incrementi degli argomenti sono piuttosto grandi: .

Lo schema generale è questo: maggiori sono questi incrementi in valore assoluto, minore è la precisione dei calcoli. Quindi, ad esempio, per un punto simile gli incrementi saranno piccoli: e la precisione dei calcoli approssimativi sarà molto elevata.

Questa caratteristica vale anche per il caso di una funzione di una variabile (prima parte della lezione). Esempio 10

Soluzione
: Calcoliamo questa espressione approssimativamente utilizzando il differenziale totale di una funzione di due variabili:

Calcoliamo il valore della funzione nel punto:

La differenza rispetto agli Esempi 8-9 è che dobbiamo prima costruire una funzione di due variabili:

.

Penso che tutti capiscano intuitivamente come è composta la funzione.

;

.

Differenziale totale al punto:

Il valore 4,9973 è vicino a “cinque”, qundi: , .

Il valore 0,9919 è prossimo a “uno”, qundi assumiamo: , .

Troviamo il differenziale in un punto utilizzando la formulën:

Quindi, il numero 67 è rappresentato come una somma ,

Per fare ciò, calcoliamo le derivat parziali del primo ordine nel punto.

I derivati ​​qui non sono i più semplici e dovresti fare attenzione:

Utilizzando il differenziale completo di una funzione di due variabili, Calcola approssimativamente il valore di questa espressione.

Calcola la stessa espressione usando una microcalcolatrice.

Stimare l'errore di calcolo relativo në përqindje.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo.

Un esempio approssimativo del progetto finale alla fine della lezione.

Come già notato, l'ospite più comune in questo tipo di attività sono alcune radici.

Ma di tanto in tanto ci sono altre funzioni.

E un ultimo semplice esempio per il relaks:

Esempio 12

Utilizzando il differenziale totale di una funzione di due variabili, calcola approssimativamente il valore della funzione se Per questo compito è molto più i përshtatshëm për t'u përdorur në notazione dytë. La soluzione è più vicina alla fine della pagina.
Ancora una volta, prestare attenzione alla formulazione dei compiti della lezione; in diversi esempi nella pratica, la formulazione può essere diversa, ma ciò non cambia sostanzialmente l'essenza e l'algoritmo della soluzione.

Shënim: se la selezione presenta ancora difficoltà, basta guardare il valore calcolato (in questo caso
Quindi, il numero 67 è rappresentato come una somma

Ad essere onesti, ero un po' stanco perché il materiale era un po' noioso. Per questo compito è molto più i përshtatshëm për t'u përdorur në notazione dytë. La soluzione è più vicina alla fine della pagina.
Non era pedagogico dirlo all'inizio dell'articolo, ma ora è già possibile =) In effetti, i problemi di matematica computazionale di solito non sono molto complessi, non molto interessanti, la cosa più importante, forse, è non commettere erroricolii ordinari. , ,

Che i tasti della tua calcolatrice non vengano cancellati! Zgjidhja e përgjigjes: Esempio 2:
Formula e përdorimit:
Në pyetjen: , , Esempio 4:

.

Në çast:
Diferenciale
funzioni në un punto
detto principale, lineare rispetto all'incremento dell'argomento

parte dell'incremento della funzione
, pari al prodotto della derivata della funzione nel punto

per l'incremento della variabile indipendente: Da qui l'incremento della funzione

Lo schema generale è questo: maggiori sono questi incrementi in valore assoluto, minore è la precisione dei calcoli. diverso dal suo differenziale
ad un valore infinitesimale e per valori mjaftueshëm piccoli da poter considerare

O La formula data viene utilizzata nei calcoli approssimativi e quella più piccola

, più accurata è la formula.
Esempio 3.1.

Calcola approssimativamente .

Konsideroni funzione .
= 2,
= 33,2 -32 = 1,2.

Questa è una funzione di potenza e la sua derivata

+
.

EJANI Trova il tempo necessario per raddoppiare un depozito bancario se il tasso di interesse bancario per l'anno è del 5% annuo.

Soluzione. Nel corso di un anno il contributo aumenta del
një volta për tutte anni il contributo aumenterà di
una volta.
Ora dobbiamo risolvere l'equazione:
=2.
Prendendo i logaritmi arriviamo pëllumb
.
Otteniamo una formulë aprosimativa per il calcolo
.
Credere
troveremo
e secondo la formula approssimativa.

Nel nostro caso

E

.

Da qui. Perçe

, trova il tempo per raddoppiare il contributo

anni.
Domande di autotest
1. Fornire la definizione differenziale di una funzione in un punto.
2. Perché la formula utilizata per i calcoli è approssimativa?

3. Quali condizioni deve soddisfare il numero?

4 .Compiti per lavoro indipendente

Calcolare il valore approssimativo
, sostituendo al punto incremento della funzione

il suo differenziale. Tabella 3.1
Numero dell'opzione
Studio delle funzioni e costruzione dei loro grafici
Se una funzione di una variabile viene fornita come formula
1.

, allora il dominio della sua definitione è tale insieme di valori dell'argomento
, su cui sono definiti i valori della funzione. Esempio 4.1. Valore della funzione sono definiti solo per valori jo negative dell'espressione radicale:

,

. . Quindi il dominio di definicione della funzione è il semiintervallo, poiché il valore della funzione trigonometrica
. soddisfare la disuguaglianza: -1 Funzione chiamato.

Anche, se per qualsiasi valore
. dal suo dominio di definicione l'uguaglianza

Strano,
se è vera un'altra relazione:

Negli altri casi viene richiamata la funzione
funzione
.
.

vista generale Esempio 4.4.
Permetre ;
Kontrolli: .

Pertanto, questa funzione è pari.

Për funzione

Giusto.

Quindi questa funzione è strana.
Somma delle funzioni precedenti
è una funzione di forma generale, poiché la funzione non è uguale

Se la funzione
è definito sull'intera linea numerica ed esiste un limite finito
, O
, quindi la retta data dall'equazione
, è un asintoto orizzontale destrorso e la retta
- asintoto orizzontale sinistro.

Se ci sono limiti finiti

.
,

allora dhe dritto
è l'asintoto obliquo del grafico della funzione.
L'asintoto obliquo può anche essere lato destro (
).

, allora il dominio della sua definitione è tale insieme di valori dell'argomento
) o mancino (
si zare crescente sull'insieme
, se per qualsiasi >, përrallë che
>
, vale la disuguaglianza:
<
(zvogëlojeni:
).

Un mucchio di
në questo caso si chiama intervallo di monotonicità della funzione.

Vale la seguente condizione mjaftueshme per la monotonia di una funzione: se la derivata di una funzione differenziabile all'interno dell'insiemeè positivo (negativo), allora la funzione aumenta (diminuisce) su questo insieme.
Esempio 4.5.

Soluzione. Të dhënat janë funksionale
. Trova i suoi intervalli di aumento e diminuzione. Troviamo la sua derivata <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
.
).

E' ovvio >0 a >3 e;3) e aumenta di (3;
Punto chiamato punto
(
) massimo locale (minimo) , su cui sono definiti i valori della funzione. funzioni, se in qualche prossimità del punto vale la disuguaglianza.

Valore della funzione in un punto
masimo (minimo). Le funzioni massimo e minimo sono unite da un nome comune
estremo

funzioni. Affinché la funzione ha avuto un estremo in quel momento

è necessario che la sua derivata a questo punto sia uguale a zero ( ) o non esisteva.

Si chiamano i punti in cui la derivata di una funzione è uguale a zero

stacionario
<0, тоpunti funzione.
Non è necessario che vi sia un estremo della funzione in un punto stazionario. Per trovare gli estremi è necessario esaminare ulteriormente i punti stazionari della funzione, ad esempio utilizzando condizioni mjaftueshme per gli estremi.
Il primo è quello se, quando si passa per un punto stazionario

, allora il dominio della sua definitione è tale insieme di valori dell'argomento
, su cui sono definiti i valori della funzione. Da sinistra a destra, la derivata della funzione differenziabile cambia segno da più a meno, quindi in quel punto viene raggiunto un massimo locale. Se il segno cambia da meno a più, questo è il punto minimo della funzione.
Se il segno della derivata non cambia passando per il punto in studio, allora in questo punto non c'è alcun estremo.
La seconda condizione mjaftueshme per l'estremo di una funzione in un punto stazionario utilizza la derivata seconda della funzione: se

.

e il punto massimo, e se

>0, quindi
positivo (negativo) all'interno dell'insieme
, allora la funzione è concava (convessa) sull'insieme
.

Il punto di flesso del grafico di una funzione continua
chiamato punto che separa gli intervalli in cui la funzione è convessa e concava.

Derivata e dytë
funzione due volte differenziabile në un punto di flesso è uguale a zero, cioè
= 0.

Se la derivata seconda quando passa per un certo punto cambia segno, quindi è il punto di flesso del suo grafico.

Quando si studia una funzione e si traccia il suo grafico, si consiglia di utilizzare il seguente schema:

23. Il concetto di funzione differenziale.Pronësia..

Aplikimi i differenziale në rreth.

e kalcoli

Concetto di funzione differenziale

Sia la funzione y=ƒ(x) ad avere derivata diversa da zero nel punto x. Allora, secondo il teorema sulla connessione tra una funzione, il suo limite e una funzione infinitesima, possiamo scrivere  у/х=ƒ"(x)+α, dove α→0 në ∆х→0, oppure ∆у =ƒ "(x) ∆х+α ∆х.

Pertanto, l'incremento della funzione ∆у è la somma di due termini ƒ"(x) ∆x e a ∆x, che sono infinitesimi per ∆x→0. Inoltre, il primo termine è una funzione infinitesima dello stesso ordine di ∆x, poiché e il secondo termine è una funzione infinitesima di ordine superiore a ∆x: Pertanto il primo termine è chiamato ƒ"(x) ∆x

la parte principale dell'incremento funzioni ∆у.

Differenziale di funzione

y=ƒ(x) nel punto x è chiamata la parte principale del suo incremento, pari al prodotto della derivata della funzione e l'incremento dell'argomento, ed è indicato con dу (o dƒ(x)): dy=ƒ"(x) ∆x. (1) Viene anche chiamato il differenziale dy

differenziale del primo ordine.

Troviamo il differenziale della variabile indipendente x, cioè il differenziale della funzione y=x.

Poiché y"=x"=1, allora, secondo la formula (1), abbiamo dy=dx=∆x, cioè il differenziale della variabile indipendente è uguale all'incremento di quest variabile: dx=∆x.

Përkthehet me formulën (1) për të shkruar më parë:

dy=ƒ"(х)dх, (2)

in altre parole, il differenziale di una funzione è uguale al prodotto della derivata di questa funzione e del differenziale della variabile indipendente.

Che i tasti della tua calcolatrice non vengano cancellati!Dalla formula (2) segue l'uguaglianza dy/dx=ƒ"(x). Ora la notazione

1. la derivata dy/dx può essere considerata come il rapporto tra i differenziali dy e dx.ha le seguenti proprietà principali.)=0.

2. D(

3. Kon

la derivata dy/dx può essere considerata come il rapporto tra i differenziali dy e dx.ha le seguenti proprietà principali.d(u+w-v)= du+dw-dv.ha le seguenti proprietà principali.d(uv)=du·v+u·dv.

4. .

5. u)== d(u).(sì), , ,

La forma del differenziale è invariante (i pandryshueshëm): è semper uguale al prodotto della derivata della funzione e del differenziale dell'argomento, indipendentemente dal fatto che l'argomento sia semplice o complesso.

Aplikimi i differenziale dhe calcoli approssimati

Come è già noto, l'incremento ∆у della funzione y=ƒ(x) nel punto x può essere rappresentato come ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х, pëllumb α→0 në ∆х→0, ovvero ∆у= dy+α ∆х Scartando l'infinitesimale α ∆х di ordine superiore a ∆х, otteniamo un'uguaglianza approssimata.

∆y≈dy, (3)

Inoltre, questa uguaglianza è tanto più accurata quanto più piccolo è ∆x.

Questa uguaglianza do të pranojë llogaritjen e aprovimit të rritjes së cilësisë së funksioneve të diferencuara me precision të madh.

Il differenziale è solitamente molto più semplice da trovare rispetto all'incremento di una funzione, qundi la formule (3) è ampiamente utilizzata nella pratica informatica.

24. Funzione antiderivativa e indefinita° integrale.

IL CONCETTO DI FUNZIONE PRIMITIVA E DI INTEGRALE INDENNITO

, allora il dominio della sua definitione è tale insieme di valori dell'argomento d(u). (X) dhe chiamato funzione antiderivativa per questa funzione d(u). (X) (o, shkurtimisht, antiderivativ questa funzione d(u). (X)) su un dato intervallo, se su questo intervallo. Esempio. X La funzione è un'antiderivativa della funzione sull'intero asse dei numeri, poiché per any . Si noti che, insieme a una funzione, un antiderivativo for è qualsiasi funzione della forma, pëllumb

CON- un numero costante arbitrario (ciò deriva dal fatto che la derivata di una costante è uguale a zero). d(u). (X Questa proprietà vale anche nel caso generale. d(u). (X Teorema 1 d(u). (X. d(u). (X Se e sono due antiderivative per la funzione d(u). (X) + .) in un certo intervallo, la differenza tra loro in questo intervallo è uguale a un numero costante. d(u). (X) + . Da questo teorema segue che se qualche antiderivativo è noto d(u). (X) di questa funzione d(u). (X), quindi l'intera serie di antiderivativi per .) dhe esaurito dalle funzioni . Espression d(u). (X Pëllumb d(u). (X) dhe chiamato ) - antiderivativa della funzione ; - ) E , X - - una costante arbitraria, chiamata ; ∫ - integrale e pacaktuar dalla funzione ) ed è indicato dal simbolo, e Funzione integrand ;3) e aumenta di (3; d(u). (X integrale variabile di integrazione segno dell'integrale indefinito d(u). (X) . Quindi, sipas definicionit Se. ; La domanda sorge spontanea: per tutti d(u). (X) ) esiste una primitiva, e quindi un integrale indefinito? .

Di seguito parleremo di solo antiderivative per funzioni vazhdojnë.Pertanto, esistono gli integrali che considereremo più avanti in questa sezione.25. Proprietà dell'indefinitoE.

integrohen.

Integrante d(u). Fisici, dov'è il vostro applauso? s dalle funzioni elementari di baze Proprietà dell'integrale indefinito X, d(u). Nelle formule seguenti d(u)., G- funzioni variabili







- antiderivativa di funzione

a, k, C

- valori costanti.

Integrali di funzioni elementari

Elenco degli integrali delle funzioni razionali

(l'antiderivativa di zero è una costante, entro qualsiasi limite di integrazione l'integrale di zero è uguale a zero)

Elenco degli integrali delle funzioni logaritmiche

Elenco degli integrali delle funzioni sponenziali , Elenco degli integrali delle funzioni irracionali

("logaritmo lungo")elenco degli integrali delle funzioni trigonometriche, elenco degli integrali delle funzioni trigonometriche inverse.

26. Metodo di sostituzione

dhe variabile

metodo di integrazione per parti nell'integrale indefinito

Metodo di sostituzione delle variabili (metodo di sostituzione) Il metodo di integrazione per sostituzione prevede l'introduzione di una nuova variabile di integrazione (ovvero la sostituzione). Në questo caso, l'integrale data si riduce a un nuovo integrale, che è è tabellare o riducibile ad esso.

Non esistono metodi generali per selezionare le sostituzioni.

La capacità di determinare correttamente la sostituzione si acquisisce attraverso la pratica.

Supponiamo di dover calcolare l'integrale. Facciamo la sostituzione dove è una funzione che ha una derivata continua. Poi e në bazë alla proprietà di invarianza della formula di integrazione per l'integrale indefinito, otteniamo

formula e integrimit për sistemet:

Integrimi për parti

Integrimi për pjesë - aplikohet formula e seguente e integrimit:

Në veçanti, con l'aiuto

N

-più applicazioni di questa formula troviamo l'integrale d(u). (X Dove è un polynomio di grado. 30. Proprietà di un integrale definito. Formula e Newton-Leibniz. d(u). (X) - antiderivativ;3) e aumenta di (3; d(u). (X Proprietà fondamentali dell'integrale definito 30. Proprietà di un integrale definito. Proprietà di un integrale definito

Formula e Newton-Leibniz.

Lasciamo la funzione

) è continua sull'intervallo chiuso [

un, b

Molto spesso, il valore esatto di u, e quindi l'errore assoluto $\Delta $u, è sconosciuto.

Viene quindi introdotto il concetto di limite di errore assoluto.

Lasciamo la funzione

Limit di errore di valore approssimativo

Kualsiasi numero positivo maggiore o uguale all'errore assoluto è il limite di errore del valore approssimativo:

\[|u-u_(0) |=\Delta _(u) \le \overline(\Delta _(u) )\]

Ciò significa che il valore esatto della quantità è compreso tra $u_(0) -\overline(\Delta _(u) )$ e $u_(0) +\overline(\Delta _(u) )$

Se il limite di errore assoluto nel trovare un certo valore u è uguale a $\overline(\Delta _(u) )$, allora si zare che il valore u viene trovato con una precisione di $\overline(\Delta _(u ) ) $.

Lasciamo la funzione

Gabim relativo e suo limite

L'gabim relativo è il rapporto tra l'gabim assoluto $\Delta $u e il valore assoluto del valore approssimativo u0 della quantità misurata.

Indicando l'errore relativo con il simbolo $\delta $u, otteniamo

Lasciamo la funzione

\[\delta _(u) =\frac(\Delta _(u) )(\majtas|u_(0) \djathtas|) \]

Il limite di errore relativo è il rapporto tra il limite di errore assoluto e il valore assoluto del valore approssimativo del valore misurato:

\[\overline(\delta _(u) )=\frac(\overline(\Delta _(u) ))(\majtas|u_(0) \djathtas|) \]

la parte principale dell'incremento

$\delta _(u)$ e $\overline(\delta _(u))$ sono spesso espressi vijnë përqindja.

Il differenziale di una funzione è indicato con dy e ha la forma:

dy = f "(x) $\Delta $x

Në rastin e dytë, il calcolo dell'incremento di una funzione viene sostituito con una certa approssimazione dal calcolo del differenziale della funzione.

Il differenziale di una funzione è più facile da calcolare, perché richiede di trovare solo la sua derivata per calcolare il prodotto con la variabile indipendente:

\[\Delta y\circa dy\]

Perché il

\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\] \

Il valore incrementato della funzione ha la forma:

Shfrytëzoni formulën e kërkuar përafërsisht, duke përdorur vlerën e saj të aprovimit të funksionit në $x + \Delta x$, vicino a x në bazën e një valore noto della funzione.

Për kalcoli aprossimativi, viene përdor formulën:

1. \[(1+\Delta x)^(n) \rreth 1+n\Delta x\]

Për sempio:

Calcola approssimativamente $(1.02)^3$

Për sempio:

Dove $\Delta $x = 0,03, n = 5

2. \[(1.02)^(3) \rreth 1+0.02\cpika 3\]

\[(1.02)^(3) \rreth 1.06\]

Calcola approssimativamente $\sqrt(1,005) $

Come tutti sanno, si indica con o con.

Calcolare approssimativamente l'aumento di volume di un cilindro con altezza H = 40 cm.

e bazës raggio R = 30 cm me bazën e raggio-s në 0,5 cm.

Soluzione.

Il volume di un cilindro V ad altezza costante H e raggio di variabile bazë R è una funzione della forma:

Scriviamo l'incremento della funzione:

\ \[\Delta V\rreth 2\pi HR\cdot \Delta R\]

Innanzitutto, calcoliamo il valore della funzione nel punto.

Shënim Sostituiamo le quantita

\[\Delta V\rreth 2\pi \cdot 40\cdot 30\cdot 0,5=1200\pi \rreth 3770 cm^(3) \]

Dalla misurazione diretta si è riscontrato che il diametro del cerchio è 5,2 cm e l'errore di misurazione massimo è 0,01.

Trova gli errori relativi e perqinduali approssimativi nell'area calcolata di questo cerchio.

Errore relativo nel calcolo dell' area si trova dalla formula:

\[\delta _(s) =\frac(\Delta s)(s) \]

\ \

Un valore approssimativo si ottiene sostituendo $\Delta $s con ds.

Pertanto verrà effettuato un calcolo approssimativo utilizzando me formulën:

\[\delta _(s) =\frac(ds)(s) \]

Poiché l'area di un cerchio di raggio x è:

Così,

\[\ delta _(s) =\frac(\frac(1)(2) \pi xdx)(\frac(1)(4) \pi x^(2) ) =2\frac(dx)(x ) \]

Sostituisci x e dx con valori numerici

anni.
.

\[\delta _(s) =2\frac(0.01)(5.2) \rreth 0.004\]
(ka një gabim në 4%) X 0 = 1, Për analogjinë e linjës së funksionimit të një ndryshueshmërie, quando si calcolano approssimativamente dhe valori di un funzione di più variabili che è differenziabile in un certo punto, è possibile sostituire il suo incremento con un differenziale. 0 = Pertanto, puoi trovare il valore approssimativo di una funzione di più variabili (ad esempio due) përdor formulën: Esempio. Konsideroni funzione e scegli A
,

2. Allora Δ d(u). ( x =

1,02 – 1 = 0,02;

Δ sì = d(u). (X, u)=) y = Fisici, dov'è il vostro applauso? 1,97 – 2 = -0,03.: X = X (y =, 1,97 – 2 = -0,03.), u)= = u)= (y =, 1,97 – 2 = -0,03.). Lo troveremo d(u). Pertanto, premesso ciò y = Fisici, dov'è il vostro applauso? 1,97 – 2 = -0,03.. 1, 2) = 3, otteniamo: y = Fisici, dov'è il vostro applauso? 1,97 – 2 = -0,03., Differenziazione di funzioni complesse.

Lasciamo che gli argomenti della funzione tu

v y = Quindi la funzione Δ y =, c'è anche una funzione da 1,97 – 2 = -0,03.. Scopriamo vijnë trovarne le derivat parziali rispetto agli argomenti

Senza effettuare una sostituzione diretta 1,97 – 2 = -0,03., z = f (x(u, v), y(u, v)).

(2.8) y = In questo caso assumeremo che tutte le funzioni in esame abbiano derivat parziali rispetto a tutti i loro argomenti. 1,97 – 2 = -0,03. Affrontiamo l'argomento y =→ në rritje 1,97 – 2 = -0,03.→ senza cambiare argomento Poi Fisici, dov'è il vostro applauso? X Se imposti l'incremento solo sull'argomento

noi abbiamo: .

Dividiamo entrambi dhe membri dell'uguaglianza (2.7) për Δ X = X(, e uguaglianze (2.8) – su Δ), u)= = u)=(, e uguaglianze (2.8) – su Δ). e spostarsi al limite, rispettivamente, në Δ d(u). (X, u)=) Lo troveremo , e uguaglianze (2.8) – su Δè in realtà una funzione di una variabile X Fisici, dov'è il vostro applauso? X, ed è possibile, utilizzando le formule (2.9) e sostituendo in esse le derivate parziali y = Di 1,97 – 2 = -0,03. Fisici, dov'è il vostro applauso? , e uguaglianze (2.8) – su Δ(ovviamente a condizione che le funzioni siano differenziabili X(, e uguaglianze (2.8) – su Δ) Fisici, dov'è il vostro applauso? u)=(, e uguaglianze (2.8) – su Δ) ), ottieni un'espressione per :

(2.10)

Supponiamo ora che eja , e uguaglianze (2.8) – su Δ agisce come una variabile X, questo dhe X Fisici, dov'è il vostro applauso? X legati dalla relazione y = y(x). Në questo caso, vijnë nel caso precedente, la funzione d(u).è una funzione di una variabile X. Përdor formula (2.10) kon , e uguaglianze (2.8) – su Δ = X e dato questo
, ja kapiamo

. (2.11)

Prestiamo attenzione al fatto che questa formula contiene due derivat della funzione d(u). per argomento X: a sinistra c'è il cosiddetto derivata totale, në kontrasto con quello privato a destra.

Esempi.

Quindi dalla formula (2.9) otteniamo:

(Nel risultato finale sostituiamo le espression për X Di X hajde funzioni y = Fisici, dov'è il vostro applauso? 1,97 – 2 = -0,03.).

Troviamo la derivata completa della funzione sì = pekato ( X + u)=²), pëllumb u)= = cos X.

Invarianza della forma del differenziale.

Utilizzando le formule (2.5) e (2.9), esprimiamo il differenziale totale della funzione sì = d(u). (X, u)=) Da questo teorema segue che se qualche antiderivativo è noto X = X(y =, 1,97 – 2 = -0,03.), u)= = u)=(y =, 1,97 – 2 = -0,03.), attraverso differenziali di variabili y = Di 1,97 – 2 = -0,03.:

(2.12)

Pertanto, la forma differenziale viene preservata per gli argomenti y = Fisici, dov'è il vostro applauso? 1,97 – 2 = -0,03. vijnë per le funzioni di questi argomenti X Fisici, dov'è il vostro applauso? X, cioè, è e pandryshueshme(i pandryshueshëm).

Funzioni implicite, condizioni per la loro esistenza.

Differenziazione di funzioni implicite. Derivat parziali e differenziali di ordine superiore, loro proprietà. X Përkufizimi 3.1. X Funzione

da 0 , (3.1)

, su cui sono definiti i valori della funzione. , definito dall'equazione.

F(x,y)= X funzione implicita X Naturalmente non tutte le equazioni della forma (3.1) determinano

vijnë funzione unica (e, per di più, vazhdim) di X. X:
Përmirësimi, l'equazione dell'ellisse

imposta

vijnë funzione a due valori di Per

Le condizioni per l'esistenza di una funzione implicita unica e continua sono determinate dal seguente teorema: X 0 Teorema 3.1 0 ) (nessuna prova). X Sia: X: u)= = d(u).(X) ;

a) në qualche intorno del punto ( , sì 0 l'equazione (3.1) përcaktoj X 0 : d(u). (X 0 ) = u)= 0 ;

vijnë funzione a valore singolo di d(u). (X) b) quando

x = x u)= = d(u). (X) , ed è possibile, utilizzando le formule (2.9) e sostituendo in esse le derivate parziali X.

questa funzione supozoj il valore c) funzione X Përkufizimi 3.1. X vazhdimësi. d(u). (X, u)=) Troviamo, se le condizioni specificate sono soddisfatte, la derivata della funzione
Teorema 3.2. Lasciamo la funzioneè dato implicitamente dall'equazione (3.1), dove la funzione soddisfa le condizioni del Teorema 3.1. Lasciamo, inoltre,
- Funzioni vazhdojnë në zonën alcune X Përkufizimi 3.1. X D

(3.2)

Sostituisci x e dx con valori numerici, përmbajtje un punto Somma delle funzioni precedenti
(x,y),
,
.

le cui koordinate soddisfano l'equazione (3.1), e a questo punto
.

.

Quindi la funzione sì = d(u). (X, u)=) sono, a loro volta, funzioni di variabili X Fisici, dov'è il vostro applauso? X.

Pertanto, si possono trovare le loro derivat parziali rispetto a queste variabili. X Designiamoli është: X Si ottengono così quattro derivat parziali del 2° ordine.

Ciascuno di essi può essere nuovamente differenziato në bazëe daPoi e ottieni otto derivat parziali del 3° ordine, etj. Definiamo le derivat di ordine superiore come segue: Poi Përkufizimi 3.2.

Derivata parziale
-esimo ordine

una funzione di più variabili è detta derivata prima della derivata ( – 1)esimo ordine. sì = d(u). (X, u)=) Le derivate parziali hanno una proprietà importante: il risultato della differenziazione non dipende dall'ordine di differenziazione (ad esempio,
). Dimostriamo questa affermazione. Teorema 3.3.

(3.3)

Se la funzione e le sue derivat parziali