Formula e dytë e ndërhyrjes së Njutonit. Polinomet e interpolacionit të Njutonit

Merrni parasysh konceptin ndryshimet e fundme.

Lëreni funksionin y \u003d f (x) në segmentin [x 0, x „], i cili ndahet në p segmente të barabarta (rasti i vlerave të argumentit me hapësirë \u200b\u200btë njëjtë): Sëpata \u003d h \u003d konst. Për secilën nyje x 0, x, \u003d x 0 + / r, ...,x „ \u003d x ()+ n h vlerat e funksionit përcaktohen në formë

Le të prezantojmë konceptin ndryshimet e fundme.

Dallimet e fundme të rendit të parë

Dallimet e Fundme të Rendit të Dytë Dallimet e fundme të urdhrave më të lartë përcaktohen në mënyrë të ngjashme:

Convenientshtë i përshtatshëm për të rregulluar ndryshimet e fundme të funksioneve në tabela, të cilat mund të jenë diagonale (Tabela 5.1) ose horizontale (Tabela 5.2).

Tabela diagonale

Tabela 5.1

Tabela horizontale

Tabela 5.2

Formula e parë e ndërhyrjes së Njutonit

Le të jepen funksionit y \u003d / (x) vlerat e y, \u003d / (x,) për vlerat e baraslarguara të ndryshoreve të pavarura:

ku h - hapi i ndërhyrjes.

Gjeni polinomin P „(x) shkallë ns më e lartë p, duke marrë në pikat (nyjet) x, vlerat:

Polinomi ndërhyrës kërkohet në formën:

Problemi i ndërtimit të një polinomi reduktohet në përcaktimin e koeficientëve a, nga kushtet:

Vendosim (5.13) x \u003d x 0, pasi termat e dytë, të tretë dhe të tjerët janë të barabartë me 0, atëherë

Gjeni koeficientin një (.

Pries \u003d X1 kemi:

Për përcaktimin një 2 hartojnë një ndryshim të fundëm të rendit të dytë. Kur x \u003d x 2 ne marrim:

Koeficientët e tjerë mund të gjenden në mënyrë të ngjashme. Formula e përgjithshme është:

Duke zëvendësuar këto shprehje në formulën (5.13), ne fitojmë:

ku x „ y x - nyjet e ndërhyrjes; x - ndryshorja aktuale; h - ndryshimi midis dy nyjeve të interpolacionit; h - vlera është konstante, domethënë nyjet e interpolacionit janë në mënyrë të barabartë të ndara nga njëra-tjetra.

Ky polinom quhet interpolacion polinom Newton për të ndërhyrë në fillim të tabelës (interpolation përpara), ose polinomi i parë i Njutonit.

Për përdorim praktik, ky polinom është shkruar në një formë të transformuar duke prezantuar shënimin t \u003d (x - x 0) / orë, atëherë

Kjo formulë është e dobishme për llogaritjen e vlerave të funksioneve për vlerat e argumenteve afër fillimit të intervalit të interpolacionit.

Një bllok diagram i algoritmit të metodës Newton për interpolation përpara është paraqitur në Fig. 5.3, programi është në shtojcë.

Shembulli 5.3. Jepet një tabelë e vlerave të kapacitetit të nxehtësisë të një substance në varësi të temperaturës C p \u003d f (T) (Tabela 5.3).

Tabela 5.3

Ne përdorim formulën (5.16):

Figura: 5.3

Pas kryerjes së transformimeve, ne marrim një polinom interpolation të formës:

Polinomi ka shkallën e tretë dhe bën të mundur llogaritjen e vlerave në për të panjohurën x

Shembulli 5.4.Tabela 1 tregon vlerat e kapacitetit të nxehtësisë në varësi të temperaturës. Përcaktoni vlerën e kapacitetit të nxehtësisë në pikën Г \u003d 450 K.

Le të përdorim formulën e parë të ndërhyrjes së Njutonit. Diferencat e fundme u llogaritën në shembullin e mëparshëm (Tabela 5.3.2), ne shkruajmë polinomin e interpolacionit në x \u003d 450 K:

Kështu, kapaciteti i nxehtësisë në një temperaturë prej 450 K do të jetë

Vlera e kapacitetit të nxehtësisë në T \u003d 450 K është marrë e njëjtë me atë të llogaritur nga formula e Lagranzhit.

Formula e dytë e ndërhyrjes së Njutonit

Për të gjetur vlerat e funksioneve në pikat e vendosura në fund të intervalit të interpolacionit, përdorni polinomin e dytë të interpolacionit Newton. Shkruajmë polinomin e interpolacionit në formë

Mosmarrëveshje a 0, a b..., nje " përcaktohet nga gjendja:

Vendosim (5.18) x \u003d x „, atëherë

Ne besojmë x\u003d x „_ |, atëherë, pra,

Nëse x \u003d x n - 2 i atëherë

Koeficientët e tjerë të polinomit (5.18) mund të gjenden në mënyrë të ngjashme:

Duke zëvendësuar këto shprehje në formulën (5.18), ne marrim formula e dytë e ndërhyrjes së Njutonit, ose polinomi i Njutonit për ndërhyrjen prapa:

Le të prezantojmë shënimin:

Zëvendësimi në (5.19), ne marrim:

Kjo është formula e dytë e Njutonit për interpolacionin prapa.

Shembulli 5.5. Llogaritni kapacitetin e nxehtësisë (shih tabelën 5.3) për një temperaturë prej Г \u003d 550 K.

Ne përdorim formulën e dytë të Njutonit (5.19) dhe ndryshimet përkatëse të fundme (shih Tabelën 5.4):

Prandaj, vlera e kapacitetit të nxehtësisë në një temperaturë prej 550 K është

Një shembull i të dhënave eksperimentale është një grup i të dhënave që karakterizon procesin e ndryshimit të sinjalit të matur gjatë një kohe të caktuar (ose në raport me një ndryshore tjetër). Për të kryer një analizë teorike të sinjalit të matur, është e nevojshme të gjesh një funksion të përafërt që do të lidhë një grup diskret të të dhënave eksperimentale me një funksion të vazhdueshëm - një polinom interpolationn -gradë. Ky polinom i interpolacionit të shkallës n mund të shkruhet, për shembull, në formën e Njutonit (një nga paraqitjet).

Polinomi i ndërhyrjes në formën e NjutonitAshtë një funksion matematikor që ju lejon të shkruani një polinomn -gradë, e cila do të lidhë të gjitha pikat e specifikuara nga një grup vlerash të marra në mënyrë empirike ose me anë të marrjes së mostrave të rastit me një hap konstant / të ndryshueshëm të matjeve

1. Formula e interpolimit të Njutonit për vlerat në mënyrë të pabarabartë të argumentit

NË pamje e përgjithshme polinom interpolationnë formën e Njutonit shkruhet si më poshtë:

ku n - një numër real që tregon shkallën e polinomit;

- një ndryshore që përfaqëson ndryshimin e ndarë rendi i k, i cili llogaritet nga formula e mëposhtme:

Dallimi i ndarë është një funksion simetrik i argumenteve të tij, domethënë, vlera e tij nuk ndryshon për asnjë ndërrim. Duhet të theksohet se për ndryshimin e ndarë të rendit kth është e vlefshme formula e mëposhtme:

Si shembull, merrni parasysh ndërtimin e një polinomi në formën e Njutonit nga shembulli i paraqitur i të dhënave, i cili përbëhet nga tre pika të dhëna. Polinomi i ndërhyrjesnë formën e Njutonit, i cili kalon nëpër tre pika të dhëna, do të shkruhet në formën vijuese:

Dallimi i ndarë i rendit të parë përcaktohet nga shprehja e mëposhtme

Dallimi i ndarë i rendit të dytë përcaktohet nga shprehja e mëposhtme

Duhet të theksohet se kjo shprehje mund të rishkruhet në një formë tjetër:

Forma e Njutonit është një formë e përshtatshme për të përfaqësuar polinomin e interpolacionit të shkallës n, pasi që kur shtohet një nyje shtesë, të gjithë termat e llogaritur më parë mbeten të pandryshuara dhe vetëm një term i ri i shtohet shprehjes. Duhet të theksohet senjë polinom i ndërhyrjes në formën e Njutonit ndryshon vetëm në formë nga një polinom i ndërhyrjes në formën e Lagranzhit, duke qenë i njëjti polinom i ndërhyrjes në një rrjet të caktuar.

Duhet të theksohet se polinomi në formën e Njutonit mund të përfaqësohet në një formë më kompakte (sipas skemës së Horner), e cila merret duke vendosur në mënyrë të vazhdueshme faktorët jashtë kllapave

2. Formula e interpolimit të Njutonit për vlerat e barazlarguara të argumentit

Nëse vlerat e funksionit janë specifikuar për vlerat e barazlarguara të argumentit, të cilat kanë një hap të matjes konstante, pastaj përdorni një formë tjetër të shkrimit të polinomit të interpolacionit sipas formulës së Njutonit.

Për të ndërhyrë në funksion në fund të intervalit të konsideruar ( interpolimi prapa dhe ekstrapolimi përpara

ku ndryshimet e fundmek

Dallimet e fundme që rezultojnë paraqiten me lehtësi në formë tabelare, në formën e një tabele horizontale të ndryshimeve të fundme. Kjo formulë nga tabela e ndryshimeve të fundme përdor diagonalen e sipërme.

Të ndërpres funksionin në fillim të intervalit të konsideruar ( interpolacion përpara dhe ekstrapolim prapa) përdorni një polinom interpolation në formë Njutoni në shënimin vijues:

ku ndryshimet e fundmek -renditjet përcaktohen nga shprehja e mëposhtme

Dallimet e fundme që rezultojnë paraqiten me lehtësi në formë tabelare, në formën e një tabele horizontale të ndryshimeve të fundme. Përdor formulën nga tabela e ndryshimit të fundëm diagonale e poshtme.

3. Gabimi i polinomit të interpolacionit në formën e Njutonit

Merrni parasysh funksioninf (x ), e cila është e vazhdueshme dhe e diferencueshme në segmentin në shqyrtim. Polinomi i ndërhyrjesP (x) në formën e Njutonit merr pikë pikat e përcaktuara të funksionit. Në pikat e tjera, polinomi i interpolacionitP (x) ndryshon nga vlera e funksionitf (x) nga shuma pjesa e mbetur i cili përcakton gabim absolut Formula e ndërhyrjes së Njutonit:

Gabimi absolut i formulës së ndërhyrjes së Njutonit përcaktohet si më poshtë:

Ndryshore është kufiri i sipërm në modul (n+1) -derivati \u200b\u200bi funksionit f (x) në një interval të caktuar

Në rastin e nyjeve të barazlarguaragabimi absolut i formulës së ndërhyrjes së Njutonit përcaktohet si më poshtë:

Shprehja është shkruar duke marrë parasysh formulën e mëposhtme:

Përzgjedhja e nyjeve të interpolacionit

Me zgjedhjen e saktë të nyjeve, mund të minimizoni vlerën në vlerësimin e gabimit, duke rritur saktësinë e interpolimit. Ky problem mund të zgjidhet duke përdorur polinomin Chebyshev:

Rrënjët e këtij polinomi duhet të merren si nyje, domethënë pika:

4. Teknika për llogaritjen e një polinomi në formën e Njutonit (metoda direkte)

Algoritmi për llogaritjen e polinomit në formën e Njutonit lejon ndarjen e problemeve të përcaktimit të koeficientëve dhe llogaritjen e vlerave të polinomit për vlera të ndryshme të argumentit:

1. Një mostër ngan -pika, e cila përfshin vlerat e funksionit dhe vlerat e argumentit të funksionit.

2. Llogaritni ndryshimet e ndara sipas rendit n që do të përdoren për të ndërtuar një polinom në formë Njutoni.

3. Llogaritja e polinomit të shkallës n në formën e Njutonit kryhet duke përdorur formulën e mëposhtme:

Algoritmi për llogaritjen e një polinomi në formën e Njutonit është paraqitur në Figurën 1.

Dërgoni punën tuaj të mirë në bazën e njohurive është e thjeshtë. Përdorni formularin më poshtë

Studentët, studentët e diplomuar, shkencëtarët e rinj që përdorin bazën e njohurive në studimet dhe punën e tyre do t'ju jenë shumë mirënjohës.

Postuar ne http://www.allbest.ru/

Moska universiteti Shtetëror krijimi i instrumenteve dhe informatika dega Sergiev Posad

Abstrakt në temë:

Formulat e interpolimit të Njutonit

Përfunduar nga: Brevchik Taisiya Yurievna

Student i vitit të 2-të të grupit EF-2

1. Hyrje

2. Formula e parë e ndërhyrjes së Njutonit

3. Formula e dytë e ndërhyrjes së Njutonit

Përfundim

Bibliografi

Prezantimi

Interpolation, interpolation - në matematikën llogaritëse, një mënyrë për të gjetur vlera të ndërmjetme të një madhësie nga një grup diskret i vlerave të njohura.

Shumë prej atyre që përballen me llogaritjet shkencore dhe inxhinierike, shpesh duhet të veprojnë me një sërë vlerash të marra në mënyrë empirike ose të rastësishme. Si rregull, në bazë të këtyre bashkësive, kërkohet të ndërtohet një funksion që mund të marrë vlera të tjera të marra me saktësi të lartë. Ky problem quhet përafrim. Interpolimi është një lloj përafrimi në të cilin kurba e funksionit të ndërtuar kalon saktësisht përmes pikave të të dhënave të disponueshme.

Ekziston edhe një problem afër interpolimit, i cili konsiston në përafrimin e disave funksion kompleks një funksion tjetër, më i thjeshtë. Nëse ndonjë funksion është shumë kompleks për llogaritjet e performancës, mund të përpiqeni të llogarisni vlerën e tij në disa pika, dhe prej tyre ndërtoni, domethënë, ndërhyn, një funksion më të thjeshtë.

Sigurisht, përdorimi i një funksioni të thjeshtuar nuk prodhon të njëjtat rezultate të sakta si funksioni origjinal. Por në disa klasa problemesh, fitimi i arritur në thjeshtësi dhe shpejtësi të llogaritjeve mund të tejkalojë gabimin që rezulton në rezultate.

Gjithashtu vlen të përmendet një lloj krejtësisht i ndryshëm i interpolacionit matematikor i njohur si interpolation i operatorit.

Punimet klasike mbi ndërhyrjen e operatorëve përfshijnë teoremën Riesz-Thorin dhe teoremën Marcinkiewicz, të cilat janë baza për shumë vepra të tjera.

Konsideroni një sistem të pikave jo të rastësishme () nga një zonë e caktuar. Lejoni që vlerat e funksionit të njihen vetëm në këto pika:

Problemi i interpolimit është gjetja e një funksioni nga një klasë e caktuar funksionesh e tillë që

Pikat quhen nyje interpolation, dhe mbledhja e tyre quhet rrjet interpolation.

Çiftet quhen pika të të dhënave ose pika bazë.

Dallimi midis vlerave "ngjitur" është hapi i rrjetit të ndërhyrjes. Mund të jetë edhe i ndryshueshëm, edhe konstant.

Funksioni është një funksion ndërhyrës ose një ndërhyrës.

1. Formula e parë e ndërhyrjes së Njutonit

1. Përshkrimi i detyrës. Lejoni që funksionit të jepen vlera për vlerat e barazlarguara të ndryshores së pavarur :, ku - hapi i ndërhyrjes... Kërkohet të zgjedhësh një polinom të shkallës më së shumti, duke marrë në pika vlerat

Kushtet (1) janë ekuivalente me atë për.

Polinomi i ndërlidhjes së Njutonit duket si:

Easyshtë e lehtë të shihet se polinomi (2) plotëson plotësisht kërkesat e problemit të paraqitur. Në të vërtetë, së pari, shkalla e polinomit nuk është më e lartë, dhe së dyti,

Vini re se në, formula (2) kthehet në një seri Taylor për funksionin:

Për përdorim praktik, formula e interpolimit të Njutonit (2) zakonisht shkruhet në një formë disi të transformuar. Për këtë ne prezantojmë një ndryshore të re sipas formulës; atëherë kemi:

ku është numri i hapavekërkohet për të arritur pikën, duke filluar nga pika. Kjo është pamja përfundimtare formula e ndërhyrjes së Njutonit.

Formula (3) është e dobishme për t'u përdorur për të ndërhyrë në funksion në afërsi të vlerës fillestare , ku është i vogël në vlerë absolute.

Nëse jepet një tabelë e pakufizuar e vlerave të funksionit, atëherë numri në formulën e ndërhyrjes (3) mund të jetë cilido. Në praktikë, në këtë rast, numri zgjidhet në mënyrë që ndryshimi të jetë konstant me një shkallë të caktuar të saktësisë. Çdo vlerë tabele e argumentit mund të merret si vlerë fillestare.

Nëse tabela e vlerave të funksionit është e fundme, atëherë numri është i kufizuar, përkatësisht: nuk mund të ketë më shumë se numri i vlerave të funksionit, të zvogëluar me një.

Vini re se kur aplikoni formulën e parë të ndërhyrjes së Njutonit, është e përshtatshme të përdorni një tabelë horizontale të ndryshimeve, pasi që atëherë vlerat e kërkuara të ndryshimeve të funksionit janë në rreshtin përkatës horizontal të tabelës.

2. Shembull... Pasi të keni hedhur një hap, ndërtoni një polinom interpolation të Njutonit për funksionin e dhënë nga tabela

Polinomi që rezulton mundëson parashikimin. Saktësia e mjaftueshme merret gjatë zgjidhjes së një problemi interpolimi, për shembull ,. Saktësia zvogëlohet kur zgjidhet një problem ekstrapolimi, për shembull ,.

2. Formula e dytë e ndërhyrjes së Njutonit

Formula e parë e ndërhyrjes së Njutonit është praktikisht e papërshtatshme për ndërhyrjen e një funksioni pranë nyjeve të tryezës. Në këtë rast, zakonisht zbatohet .

Përshkrimi i detyrës . Le të kemi një sekuencë të vlerave të funksionit

për vlerat e argumentit me hapësirë \u200b\u200btë barabartë, ku është hapi i ndërhyrjes. Le të ndërtojmë një polinom të formës vijuese:

ose, duke përdorur shkallën e përgjithësuar, ne marrim:

Pastaj, kur plotësohet barazia, ne marrim

Le t'i zëvendësojmë këto vlera në formulën (1). Pastaj, më në fund, formula e dytë e ndërhyrjes së Njutonit duket si:

Le të prezantojmë një formë më të përshtatshme të formulës (2). Le, pra

Zëvendësimi i këtyre vlerave në formulën (2), ne marrim:

Kjo është pamja e zakonshme formula e dytë e ndërhyrjes së Njutonit... Për një llogaritje të përafërt të vlerave të funksionit, supozojmë:

Të dy formula e parë dhe e dytë e ndërhyrjes Newtonian mund të përdoren për të ekstrapoluar një funksion, d.m.th., për të gjetur vlerat e funksionit për vlerat e argumenteve që ndodhen jashtë tryezës.

Nëse është afër, atëherë është e dobishme të zbatohet formula e parë e ndërhyrjes së Njutonit, dhe pastaj. Nëse është afër, atëherë është më i përshtatshëm të përdorni formulën e dytë të ndërhyrjes së Njutonit, për më tepër.

Kështu, zakonisht përdoret formula e parë e ndërhyrjes së Njutonit interpolacion përpara dhe ekstrapolimi mbrapa, dhe formula e dytë e ndërhyrjes së Njutonit, përkundrazi, është për ndërpres mbrapa dhe ekstrapolimi përpara.

Vini re se operacioni i ekstrapolimit, në përgjithësi, është më pak i saktë sesa operacioni i interpolimit në kuptimin e ngushtë të fjalës.

Shembull. Pasi të keni hedhur një hap, ndërtoni një polinom interpolation të Njutonit për funksionin e dhënë nga tabela

Përfundim

interpolacion formula e ekstrapolimit të njutonit

Interpolimi i funksioneve luan një rol të rëndësishëm në matematikën llogaritëse, d.m.th. duke u mbështetur në funksioni i dhënë një tjetër (zakonisht më e thjeshtë), vlerat e së cilës përkojnë me vlerat e një funksioni të caktuar në një numër të caktuar pikash. Për më tepër, interpolacioni ka rëndësi praktike dhe teorike. Në praktikë, problemi shpesh lind për të rivendosur një funksion të vazhdueshëm nga vlerat e tij tabelare, për shembull, të marra gjatë disa eksperimenteve. Për të llogaritur shumë funksione, rezulton të jetë efikase për t'i përafruar ato me polinome ose funksione racionale fraksionale. Teoria e ndërhyrjes përdoret në ndërtimin dhe studimin e formulave të kuadraturës për integrimin numerik, për të marrë metoda për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale dhe integrale.

Bibliografi

1. V.V. Ivanov. Metodat e llogaritjes kompjuterike. Manual referimi. Shtëpia botuese "Naukova Dumka". Kiev 1986

2.N.S. Bakhvalov, N.P. Zhidkov, G.M. Kobelkov. Metodat numerike. Shtëpia botuese "Laboratori i Njohurive Themelore". 2003

3. I.S. Berezin, N.P. Zhidkov. Metodat e llogaritjes. Ed. PhysMatLit. Moska 1962

4. K. De Bohr. Një udhëzues praktik për splines. Shtëpia botuese "Radio dhe komunikimi". Moska 1985

5. J. Forsyth, M. Malkom, K. Mowler. Metodat makinerike për llogaritjet matematikore. Shtëpia botuese "Mir". Moska 1980

Postuar në Allbest.ru

Dokumente të ngjashme

Zbatimi i formulës së parë dhe të dytë të ndërhyrjes së Njutonit. Gjetja e vlerave të funksioneve në pikat që nuk janë tabelore. Përdorimi i formulës së Njutonit për pikat jo të barazlarguara. Gjetja e vlerës së një funksioni duke përdorur skemën e ndërhyrjes së Aitken.

punë laboratorike, shtuar më 10/14/2013


Johann Karl Friedrich Gauss është matematikani më i madh i të gjitha kohërave. Formulat e interpolimit Gaussian që japin një shprehje të përafërt të funksionit y \u003d f (x) duke përdorur interpolation. Fushat e zbatimit të formulave të Gausit. Disavantazhet kryesore të formulave të ndërlidhjes së Njutonit.

provë, shtuar më 12/06/2014


Interpolimi i funksionit në një pikë që shtrihet në afërsi të mesit të intervalit. Formulat e ndërlidhjes së Gausit. Formula e Stirlingut si mesatarja aritmetike e formulave të interpolacionit Gaussian. Spline kub funksionon si një model matematik i një shufre të hollë.

prezantimi shtuar më 04/18/2013


Përafrimi i vazhdueshëm dhe i pikës. Polinomet e ndërhyrjes së Lagranzhit dhe Njutonit. Gabimi global i ndërhyrjes, varësia kuadratike. Metoda më e vogël katrore. Përzgjedhja e formulave empirike. Ndërhyrja e ndara në mënyrë të ndara dhe konstante dhe lineare.

punim afatgjatë, shtuar më 03/14/2014


Akordi dhe metodat e përsëritjes, rregulli i Njutonit. Formulat e ndërhyrjes së Lagranzhit, Njutonit dhe Hermitit. Përafrimi kuadratik pikë i funksionit. Diferencimi dhe integrimi numerik. Zgjidhje numerike e ekuacioneve diferenciale të zakonshme.

kursi i leksioneve shtuar më 02/11/2012


Interpolimi duke përdorur polinomin e Njutonit. Përsosja e vlerës rrënjësore në një interval të caktuar me tre përsëritje dhe gjetja e gabimit të llogaritjes. Zbatimi i metodave të Newton, Sampson dhe Euler në zgjidhjen e problemeve. Llogaritja e derivatit të një funksioni.

provë, shtuar më 06/02/2011


Interpolimi i funksioneve luan një rol thelbësor në matematikën llogaritëse. Formula e Lagranzhit. Interpolimi i aitken. Formulat e ndërhyrjes së Njutonit për nyjet me hapësirë \u200b\u200btë barabartë. Formula e Njutonit me ndryshime të ndara. Ndërhyrja në spline.

provë, shtuar më 01/05/2011


Llogaritja e derivatit sipas përkufizimit të tij, duke përdorur diferencat e fundme dhe bazuar në formulën e parë të ndërhyrjes së Njutonit. Polinomet e ndërhyrjes së Lagranzhit dhe zbatimi i tyre në diferencimin numerik. Metoda Runge-Kutta (rendi i katërt).

abstrakte, shtuar më 03/06/2011


Urdhëron Kіntsevі іnіznіy rіznіh. Shkalla e ndotjes midis vakëfeve dhe funksioneve. Analiza diskrete dhe e vazhdueshme. Kuptoni shpërndarjen e rritjes. Ndërhyrja formula e Njutonit. Korrelacioni i formulave Lagrange dhe Newton. Interpolimi për universitetet rurale.

provë, shtuar 02/06/2014


Gjetja e polinomeve të ndërhyrjes së Lagranzhit dhe Njutonit që kalojnë nëpër katër pika të një funksioni të caktuar, duke krahasuar paraqitjet e tyre të fuqisë. Zgjidhja e një ekuacioni diferencial jolinear me metodën Euler. Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike.

Kur marrim formulat e ndërhyrjes së Njutonit, të cilat përdoren për të njëjtat qëllime si formula e Lagranzhit, ne do të bëjmë një supozim shtesë se po shqyrtojmë vlerat e argumentuara në mënyrë të barabartë të distancuar. Pra, le të vlerat e funksionit y \u003d f(x) dhënë për vlera të barazlarguara x 0, x 1 \u003d x 0 + h,…, x n \u003d x 0 + nh. Këto vlera të argumenteve do të korrespondojnë me vlerat e funksionit: në 0 = f (x 0), y 1 = f (x 1), ..., y n \u003d f (x n).

Ne e shkruajmë polinomin e kërkuar në formë

F ( x) = a 0 + a 1 (x- x 0) + a 2 (x- x 0)(x- x 1) + a 3 (x- x 0)(x- x 1)(x- x 2) + …

…+ a n ( x- x 0)(x- x 1)…(x- x n -1) (3.9)

Për të përcaktuar koeficientët një 0, një 1, ..., dhe n vendos (3.9) x \u003d x 0 ... Atëherë në 0 \u003d F(x 0)\u003d a 0 . Më tej, vendosja x \u003d x 1 , marr në 1 = F(x 1) = a 0 + a 1 h nga ku

a 1 \u003d

Duke vazhduar llogaritjen e koeficientëve, ne vendosim x = x 2 Atëherë

y 2 = y 0 + 2h + a 2 2hh, y 2 - 2Δ y 0 = a 2 2h 2 ;

y 2 – 2y 1 + 2y 0 – y 0 = y 2 – 2y 1 + y 0 = a 2 2h 2 .

Bazuar në (3.8), ne marrim y 2 – 2y 1 + y 0 = Δ 2 y 0.

Në të njëjtën mënyrë që ne marrim

Llogaritjet e ngjashme të mëtejshme na lejojnë të shkruajmë formulë e përgjithshme për çdo koeficient a k:

Duke zëvendësuar shprehjet e gjetura për koeficientët në formulën (3.9), ne marrim

Formula që rezulton quhet formula e parë e ndërhyrjes së Njutonit.

Për përdorim praktik, formula e Njutonit (3.10) zakonisht shkruhet në një formë të transformuar. Për këtë, ne prezantojmë shënimin

nga këtu x \u003d x 0 + ht.

Le të shprehemi përmes t faktorët e përfshirë në formulën (3.10):

………………………..

Duke zëvendësuar shprehjet e marra në formulën (3.10), më në fund i marrim

Shprehja (3.11) paraqet formën përfundimtare të formulës së parë të ndërhyrjes së Njutonit.

Shembull... Duke hedhur një hap h \u003d0,05, vizatoni polinomin e ndërhyrjes Newton për funksionin y = e x tabela e dhënë. 3.3.

Tabela 3.3

Vini re se në kolonat e ndryshimit, duke ndjekur praktikën normale, ne nuk i ndajmë vendet dhjetore me presje, të cilat janë të qarta nga kolona e vlerës së funksionit.

Meqenëse ndryshimet e rendit të tretë janë praktikisht konstante, në formulën (3.11) vendosim n = 3. Pas miratimit x 0 = 3,50 dhe në 0 = 33,115, do të ketë:

Formula e parë e ndërhyrjes së Njutonit është e papërshtatshme për ndërhyrjen e një funksioni në fund të tabelës, ku numri i vlerave të ndryshimit është i vogël. Në këtë rast, zbatohet formula e dytë e ndërhyrjes së Njutonit, të cilën tani do ta shqyrtojmë.

Le të shkruajmë polinomin e kërkuar për ndërhyrje në formë

Si më parë, koeficientët a 0 , a 1 ,… a npërcaktohen nga gjendja F(x i) \u003d y unëVendos (3.12) x = x nAtëherë a 0 = y n

Po kështu, duke supozuar x = x n -1, ne marrim y n -1 \u003d y n + a 1 (x n -1 - x n),

dhe që kur x n -1 - x n \u003d - h, atëherë

Numëruesi i shprehjes së fundit mund të paraqitet si më poshtë:

y n -y n -1 - (y n -1 -y n -2)= Δ y n -1 -Δ y n -2 \u003dΔ 2 y n -2

Duke vazhduar llogaritjet e ngjashme, ne marrim një formulë të përgjithshme për koeficientët

Pas zëvendësimit të të gjitha vlerave të koeficientëve në (3.12), kjo formulë merr formën

Kjo është formula e dytë e ndërhyrjes së Njutonit. Për lehtësinë e përdorimit, ajo, si e para, shndërrohet duke futur shënimin

= t ose x= x n +th.

Le të shprehemi tani përmes t faktorët në formulë (3.13):

……………………………………………..

Pasi të kemi bërë një zëvendësim të tillë, më në fund kemi:

Shembull... Sipas tabelës. 3.5 vlera të logaritmeve shtatë shifrore për numrat nga 1000 me një hap prej 10 gjeni lg 1044.

Tabela 3.5

Le të pranojmë x n \u003d1050,y n \u003d3,0211893;Δ y n-1 \u003d0,0041560;

Δ 2 y n -2 \u003d -0.0000401; Δ 3 y n -3 = 0.0000008. Pastaj për x= 1044 marrim

Të dy formulat e para dhe të dyta të ndërhyrjes Newtonian mund të përdoren për të ekstrapoluar funksionet, d.m.th., për të gjetur vlerat e funksioneve për vlerat e argumenteve x shtrirë jashtë tryezës. Nëse vlera x< x 0 dhe kuptimin x afër me x 0 , atëherë është e dobishme të zbatohet formula e parë e ndërhyrjes së Njutonit, dhe

Nëse x > x 0 dhe x afër me x P , atëherë është më i përshtatshëm të përdoret formula e dytë e ndërhyrjes së Njutonit, dhe

Kështu, formula e parë e ndërhyrjes së Njutonit zakonisht përdoret për ndërhyrjen përpara dhe ekstrapolimin prapa, ndërsa formula e dytë e ndërhyrjes së Njutonit, anasjelltas, përdoret për ndërhyrjen prapa dhe ekstrapolimin përpara.

Shembull... Duke pasur tryezë. 3.6 vlerat dhe ndryshimet, y = gjynah x: duke filluar nga x= 15° para x = 55° me hap h= 5° gjej mëkatin 14 ° dhe mëkati 56 ° .

Tabela 3.6

Vendimi... Për të llogaritur mëkatin14 0 pranoj x 0 = 15 0 dhe x= 14 0 , nga këtu t = (14–15)/5 = – 0,2.

Ekstrapolimi prapa këtu, kështu që ne zbatojmë formulën e parë të ndërhyrjes së Njutonit dhe ndryshimet e fundme të nënvizuara me një goditje:

mëkati14 0 = 0,2588 + (– 0,2)0,0832+ (– 0,0026) +

+ (–0,0006) = 0,242.

Për të gjetur mëkatin56 0 pranoj x n \u003d55 0 dhe x= 56 0 , nga këtu t= .

Duke zbatuar formulën e dytë të ndërhyrjes së Njutonit (3.14) dhe duke përdorur ndryshime të nënvizuara dyfish, do të kemi:

mëkati56 0 = 0,8192+ 0,2 0,0532 + (- 0,0057)+ (- 0,0003)= 0,83.

Pershendetje te gjitheve. Kohët e fundit, hasa një problem në telefonin tim të ri, për të zgjidhur të cilin më duhej të merrja disa skedarë APK nga firmueri. Pasi kërkova në Internet për mënyra për të zgjidhur këtë problem, hasa në një mjet interesant që më ndihmoi ta zgjidhja këtë problem.

Për punë ne kemi nevojë: ext4_unpacker_exe.zipext2explore-2.2.71.zip
Ne çmontojmë firmuerin Android Shpaketoni arkivin * .zip me firmware në çdo dosje. Ekzekutoni programin ext4_unpacker.exe dhe zgjidhni skedarin sistemi.img.

Pas hapjes së skedarit, klikoni në butonin ruaj si.

Ne shkruajmë emrin e skedarit me shtrirjen .ekst4(p.sh. sistemi.ext4).

Pasi të keni përfunduar shpaketimin, ekzekutoni programin ext2explore.exe si administrator ( e rëndësishme!). Në skedë Dosja zgjidhni ...

Programi është i ndarë në dy fije, njëra prej të cilave kryen klasifikimin, dhe tjetra rishikon ndërfaqen grafike. Pasi të klikoni butonin Rendit, programi thërret metodën RunSorting, e cila përcakton algoritmin e klasifikimit dhe krijon një fije të re me procesin e renditjes që ekzekutohet në të.
pavlefshme private RunSo ...

Sot dua të tregoj Kacher-in tim, gjë që bëra gjatë pushimeve të fundit dimërore. Unë nuk do të përshkruaj të gjithë procesin e prodhimit, pasi ka shumë artikuj në internet. Unë do të shkruaj vetëm për parametrat kryesorë të tij.

Më poshtë janë disa fotografi të marra gjatë montimit të pajisjes.

Spiralja është mbështjellë me tel 0,08 mm rreth 2000 kthen një tub PVC me një diametër prej 50 mm dhe një lartësi prej 200 mm.

Një pllakë nga një disk i vjetër i fortë u përdor si terminal. Gjithçka tjetër u mblodh sipas skemës së vendosur në fund të faqes.

Versioni i parë u mundësua nga një njësi e furnizimit me energji elektrike 12 V të një kompjuteri të vjetër. Pastaj u bë një njësi e veçantë e furnizimit me energji 30 V me ftohje të integruar.

Diagrami i pajisjes:

Ndarja e burimeve (CORS) është një specifikim W3C që lejon komunikimin ndër-domen në shfletuesin. Duke ndërtuar në krye të objektit XMLHttpRequest, CORS lejon zhvilluesit të punojnë me të njëjtat idioma si kërkesat e domenit të vetëm. Rasti i përdorimit të CORS është i thjeshtë. Imagjinoni që alice.com ka disa të dhëna që bob.com dëshiron të marrë. Kjo lloj kërkese tradicionalisht nuk lejohet sipas së njëjtës politikë të origjinës së shfletuesit. Sidoqoftë, duke mbështetur kërkesat e CORS, alice.com mund të shtojë disa koka të përgjigjes me porosi që lejojnë bob.com të ketë qasje në të dhëna. Siç mund ta shihni nga ky shembull, mbështetja për CORS kërkon koordinim midis serverit dhe klientit. Për fat të mirë, nëse jeni një zhvillues nga ana e klientit, ju jeni të mbrojtur nga shumica e këtyre detajeve. Pjesa tjetër e këtij artikulli tregon se si klientët mund të bëjnë kërkesa ndër-origjinale dhe si serverat mund të konfigurojnë veten për të mbështetur CORS. Vazhdoni ...