Verdure in serra

Shapiro procuratore distrettuale Dispense sui metodi matematici della fisica.

Pjesa 1: Equazioni alle derivat parziali.

Funzioni speciale.

Metodi asintotici (dokument)

Frank F., Mises R. Equazioni differenziali e integrali della fisica matematica (Documento)

Aramanovich I.G., Levin V.I.

Equazioni di fisica matematica (documento)

Sukhinov A.I., Zuev V.N., Semenisty V.V.

Corso di lezioni frontali sulle equazioni della fisica matematica con esempi e problemi (Documento)

n1.doc

Agenzia Federale per l'istruzione

Istituzione educativa stateale
istruzione profesionale superiore

"Università tecnica statale di Omsk"

G.A. Trotsenko, O.G. Zhukova, M.V.
PRATICO

PËR EQUAZIONI

MATEMATIKA FISICA.

Equazione stazionaria. Equazioni integrali

Omsk – 2007

UDC 51:53 (075) BBK 22.311 e 73 T76

Revisori:

G. A. Trotsenko, O. G. Zhukova, M. V. Mendziv

istruzione profesionale superiore

"Università tecnica statale di Omsk"

T 76 Workshop sulle equazioni della fisica matematica.

Stacionario

ekuacioni nar.
Equazioni integrali.

(1.0)

-
Omsk: casa editrice Università tecnica statale di Omsk, 2007. – 72 f. Il workshop ha lo scopo di fornire supporto metodologico per la formazione pratica nel nuovo corso yeare “Equazioni di Fisica Matematica” per gli studenti della specialità 071100 “Dinamica e forza delle macchine”.

Contiene soluzioni a problemi tipici, una serie di attività per
vendime të pavarura kundërpërgjigje.

Pubblicato su vendime del consiglio editoriale editoriale Università tecnica statale në Omsk Con G. A. Trotsenko, O. G. Zhukova, M. V. Mendziv, 2007

,



Dall'Università tecnica statale në Omsk, 2007
Argomento 1. STAZIONARIA EQUAZION Ekuazione Pëllumb
1. – Laplaciano

Nel dominio, trovare una funzione differenziabile due volte continuità che soddisfi l'equazione (1.0) e occupi il confine Ekuazione impostare i valori

.
2. Problema di Neumann

Nel dominio, trovare una funzione differenziabile due volte in modo continuo che soddisfi l'equazione (1.0) e in superficie Ekuazione kushtëzimi

,

-
– derivata rispetto alla direzione del versore della normale esterna n a S.
3. Cproblema misto

Trova una soluzione all'equazione (1.0) che soddisfi la condizione

1.1.
Risoluzione del problema di Dirichlet per una circonferenza utilizzando il metodo di Fourier
Il problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace in un cerchio è formulato come segue: trova la funzione

(1.1)

, soddisfacendo l'equazione di Laplace all'interno del cerchio

. (1.2)

e prendendo determinati valori sul confine del cerchio, cioè NË
polar koordinativ

(1.3)

l'equazione (1.1) ha la forma

Cercheremo soluzioni parziali dell'equazione (1.3) nella forma

Sostituendo la (1.4) nella (1.3), otteniamo
Ne consegue che la funzione

, (1.5)

è una soluzione dell'equazione
e per la funzione

(1.6)

otteniamo un problema agli autovalori
Qui la condizione per la periodicità della funzione è una conseguenza della periodicità della soluzione desiderata për variabël
.

con punto

-
Le soluzioni periodiche diverse da zero del problema (1.6) esistono solo per e hanno la forma
E

– costanti arbitrare.
Dalla (1,5) për çdo funzione a

. (1.8)

otteniamo l'equazione
Cercheremo soluzioni parziali di questa equazione nella forma
Sostituendo questa funzione nella (1.8), otteniamo
.
Quindi,
O
.

.

La seconda di queste soluzioni è da scartare, perché A

la funzione non è armonica in un cerchio

Pertanto, secondo la (1.4), le soluzioni parziali dell'equazione (1.3) possono essere scritte come segue:
Troviamo la soluzione del problema di Dirichlet interno sotto forma di una serie

Soddisfacendo le condizioni al contorno (1.2), otteniamo

Espandiamo la funzione

nella serie di Fourier

(1.12)
– Coefficienti di Fourier. Confrontando la serie (1.9) con la serie (1.10), otteniamo
.

Pertanto, la soluzione del problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace in un cerchio ha la forma Esempio 1.

Trova una funzione che sia armonica all'interno della circonferenza unitaria e assuma valori sul suo confine

.

Soluzione.

(1.13)

Il problema si riduce a risolvere l'equazione
dato che

– Secondo la (1.12), la soluzione assumerà la forma;

Probabilità
.

Contiene soluzioni a problemi tipici, una serie di attività per

.

.

Sostituendo dhe koeficienti trovati nella (1.13), otteniamo la soluzione del problema

.

Trova una funzione armonica all'interno di una circonferenza di raggio R con centro nell'origine e che soddisfi la condizione sul bordo della circonferenza
.

1. , .	2. , .
3. , .	4. , .
5. , .	6. , .
7. , .	8. , .
9. , .	10. , .

Kundërpërgjigje

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10.

1.2.

Risoluzione di problemi ai limiti in una palla utilizzando funzioni sferiche
Il problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace in una palla è formulato come segue: trova la funzione

. (1.15)

, armonico all'interno della palla e assumendo dati valori sulla superficie S della palla, cioè
Ekuazioni (1.14) në sferën koordinative

sembra

Cercheremo soluzioni parziali dell'equazione (1.16) sotto forma di polinomio omogeneo di grado
Sostituendo la (1.17) nella (1.16), troviamo che la funzione

deve soddisfare l'equazione Si chiamano soluzioni limitate e continuamente differenziabili due volte dell'equazione (1.18). .

funzioni sferiche di ordine
Për zgjidhjen e të gjithë ekuazionit (1.18), aplikimi i metodës së ndarjes së ndryshimeve.

Cercheremo una soluzione

(1.19)

equazione (1.18) vijnë prodotto di due funzioni

Konsideroni ciò, otteniamo

po pëllumb e
– soluzioni al problema (1.19).

Funzione
determinato dall'equazione

E, di conseguenza, il problema di trovare funzioni sferiche sulla sfera unitaria si riduce a trovare soluzioni all'equazione (1.20) per .
Supponendo nella (1.20)

, Per

,

Funzioni,

, otteniamo l'equazione

,

Zgjidhja e limituar dell'equazione (1.21) sono i polinomi di Legendre associati
.

Dove sono i polynomi di Lezhandre.
,
Ritornando alla variabile, troviamo soluzioni parziali dell'equazione (1.20): e a Pertanto, le soluzioni parziali dell'equazione (1.18), limite alla sfera unitaria, hanno la forma:

.

Loro

. (1.23)

combinazioni lineari
con coefficienti arbitrari

sono anche soluzioni parziali dell'equazione (1.18), e le soluzioni parziali dell'equazione (1.16) sono date dalle formule
.

La soluzione del problema di Dirichlet interno in una palla (e di altri problemi interni) si trova sotto forma di una serie di funzioni sferiche

. (1.24)

Ampliare la funzione

.

Nella Sezione 1.7 si mostra che la soluzione del problema (1.24) è determinata a meno di una costante arbitraria ed è data dalla formula

. (1.25)

Prezantoni formulën për polinomin e Lezhandrit
,
Contiene soluzioni a problemi tipici, una serie di attività per
:

, Perché

.

Allo stesso modo otteniamo:

.

Usando la formula (1.22), scriviamo le funzioni sferiche in forma esplicita per
:

Esempio 2. Trova funzione
, armonico all'interno della palla unitaria e che soddisfa la condizione sul confine della palla.
Pertanto, la soluzione del problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace in un cerchio ha la forma Immaginiamo la funzione

Dalle formula per
segue quello

Contiene soluzioni a problemi tipici, una serie di attività per

;

Contiene soluzioni a problemi tipici, una serie di attività per
.

Quindi,

.
Allora, formula e dytë (1.23), problemi i zgjidhjes së Dirichlet interno ha la forma

.
Esempio 3. Supponiamo ora che la condizione sia soddisfatta al confine della palla

.

Pertanto, la soluzione del problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace in un cerchio ha la forma Immaginiamo la funzione
EJANI

Cercheremo la funzione, formula e dytë (1.23), nella forma

Dove, sono le stesse funzioni dell'espansione, con coefficienti indeterminati.
Troviamo questi koeficienti utilizzando la condizione al contorno

Quindi,

.

Abbiamo

Uguagliando dhe koeficienti del lato sinistro con dhe koeficienti i destro, otteniamo
Pertanto, la zgjidhjen e problemit interno di Neumann ha la forma

formula che è confermato dalla (1.25). Problemi da risolvere në autonomi . 1. Trova una funzione che sia armonica all'interno della palla unitaria e soddisfi la condizione sul confine della palla: . OKB) . B) .

IN) Problemi da risolvere në autonomi . 1. Trova una funzione che sia armonica all'interno della palla unitaria e soddisfi la condizione sul confine della palla: .

Kundërpërgjigje

G) .

2. Trova una funzione armonica all'interno di una palla di raggio R con centro nell'origine e che soddisfi la condizione sul bordo della palla:

1.a.

1.b. .

. .

1.c.

. .

1.g.

1.d. .

2.a. . ..

2.b. . 2.c.: . . .

2.g. 2.c.: .

2.d.
Shënim:

(1.26)

2.e.

Shënim
La soluzione va cercata nel modulo
2.g.
.

po pëllumb e 1.3.

Metodo della funzione di Green Sia data una regione dello spazio delimitata dalla siperficie S. Konsideroni problemin e Dirichlet per l'equazione di Poisson.
2)
Zgjidhja e një problemi është postuar në një rast të plotë për të shfrytëzuar funksionin e gjelbër.

Fissiamo un punto arbitrario all'interno dell'area e affittare(1.26).

– qualsiasi punto all'interno o al confine dell'area.

1.
Costruiamo tre funzioni da una coppia di punti:

soddisfa l'equazione di Laplace nel primo punto con un secondo fisso
e viene chiamato

-
è la derivata della funzione G sul confine di S, presa nella direzione della normale esterna a S.
Per una regione bidimensionale confine S, la funzione di Green è definita in modo simile

La funzione E è detta soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace sul piano.

2)
përrallë che

Zgjidhja e parë e problemit është e kufizuar në barazimin
në questo caso è dato dalla formula

. (1.28)

Esempio 4. Trova una soluzione al problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace in un semispazio
, ciè.

Pertanto, la soluzione del problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace in un cerchio ha la forma Scegliamo un punto qualsiasi,
Sia il punto attuale.
Costruiamo un punto
, simmetrico con un punto rispetto al piano (Fig. 1). .

Ci connettiamo con, la distanza è indicata con

.

Colleghiamoci con, denotiamo la distanza con

Riso.

.

Mettiamolo.

Ovviamente, quindi x sono proporzionali. Quindi funzione:, soggetta alla condizione 2.b. 6.a.

6.b.

6.c.

Dizajni Breve

La necessità di trovare soluzioni alle equazioni ellittiche in domini limitati e illimitati nasce in vari problemi di fisica matematica.

Di norma, në tali problemi le fonti sono koncentrat su un certo insieme limitato S, quindi non è necessario trovare una soluzione nell'intero spazio.

Përcaktimi i një problemi origjinal për një problem të caktuar në një zonë të caktuar të kufizimit, për të kufizuar cilësinë e një kondicioni të caktuar në një formë artificiale.

Il problema della costruzione di tali condizioni è dedicato a

un gran numero di

La necessità di risolvere equazioni ellittiche in un dominio illimitato nasce in vari problemi di fisica matematica.

Di norma, në tali problemi le fonti sono koncentrat su un certo insieme limitato S, quindi non è necessario trovare una soluzione nell'intero spazio.

Përcaktimi i një problemi origjinal për një problem të caktuar në një zonë të caktuar të kufizimit, për të kufizuar cilësinë e një kondicioni të caktuar në një formë artificiale.

Un gran numero di lavori sono dedicati al problema della costruzione di tali condizioni.

Idealmente, le condizioni al contorno artificiali dovrebbero essere scelte in modo tale che la soluzione del problema in un dominio computazionale limitato coincida in questo dominio con la soluzione del problema originale.

Tuttavia, kondicionet e sakta al contorno artificiali sono, di Regola, jo locali dhe richiedono notevoli costi computazionali per essere implementate.

Pertanto, në praktikë, di solito devono essere sostituiti da condizioni locali approssimative.

1. Stabilire obiettivi Konsideroni tipin e duhur të rajonit: të fundme dhe të pafundme. In entrambi i casi, assumeremo che il confine della regione sia finito;

vijnë sempre, si supozojmë che il confine sia costituito da un numero finito di superfici lisce a tratti.

Nei capitoli successivi si prenderanno talvolta in konsideratë – lo diremo specifikatmente di volta in volta – le cosiddette regioni gjysëm-infinit, dhe cui confini sono infiniti.

L'esempio più semplice di regione semi-infinita è un semispazio.

uÄ ;

sull'inieme dei punti xЄГ in cui esiste una normale ν alla superficieГ, l'uguaglianza

Qui x" è un punto che giace all'interno di G sulla normale ν, x"k sono le koordinate karteziane di questo punto e ψ(x) è una funzione definita sull'insieme di punti menzionato sulla superficie di G.

Scriveremo di seguito in breve la condizione al contorno del problema di Neumann

La registrazione (31) può essere intesa alla lettera se u C(1)(G).

Se Ajk = δjk, allora i termini direttivi dell'equazione (1) formano l'operatore di Laplace;

l'equazione stessa supozoj la forma

In questo caso, la condizione al contorno (31) supozojmë una forma particolarmente semplice:

I compiti esterni differiscono dai corrispondenti interni solo per il fatto che alla funzione sconosciuta viene imposto un requisito aggiuntivo

2. Soluzione del problema di Dirichlet per una palla

Sia data una palla ШR di raggio R con centro nell'origin.

Poniamo il problema di trovare una funzione uЄC(ШR), armonica nella palla e che soddisfi la condizione al contorno

pëllumb SR è il confine della palla e φ(x) è una funzione definita e continua sulla sfera SR.

Risolveremo il nostro problema come segue.

Supponendo che esista una soluzione e soddisfi alcuni requisiti più rigorosi, costruiremo una formula che determinina la soluzione in base ai dati del problema.

Successivamente dimostreremo che la formula costruita fornisce effettivamente una soluzione al problema.

Sia il problema da noi posto ad avere soluzione u(x) appartenente alla classe

Scriviamo la rappresentazione integrale di questa soluzione

Prendiamo un punto x all'interno della palla, e sia x" un punto simmetrico al punto x relativo alla sfera SR (Fig. 1). Ciò significa che i punti x e x" giacciono sullo stesso raggio passante per il centro della palla equello

Denotiamo

ngjashmëri.

Infatti, questi triangoli hanno un angolo comune nel punto O, e i lati che racchiudono questo angolo sono proporzionali a causa della relazione (3).

Dalla somiglianza dei triangoli ne consegue questo

e quindi

in modo che differiscano di un fattore indipendente da ξ.

Moltiplichiamo la formulën (5) për

E sottrai dalla formula (3):

Notandolo, a causa della condizione al contorno del problema di Dirichlet

Otteniamo una formula per la soluzione (sumento che esista e appartenga alla classe):

Formula (6) është e thjeshtë.

Innanzitutto, per una palla le direzioni della normale esterna e del raggio coincidono

Notiamo anche le formule

pëllumb xk e x’k sono rispettivamente le koordinate dei punti x e x’.

È llogaritja e lehtë ose e dytë termine sotto il segno integrale (6):

Përshëndetje stesso modo

Moltiplichiamo questa espressione per;

Tenendo conto della relazione precedentemente ottenuta, otteniamo

i punti x e x" giacciono quindi sullo stesso raggio passante per l'origjine

e quindi,

Sostituendo le espressioni (7) e (8) nell'integrale (6), otteniamo finalmente

Formula (9) është formula chiamata e Poisson dhe ekspression

– Nucleo di Poisson.

Dal nostro ragionamento segue che la formula di Poisson è comunque valida per qualunque funzione armonica della classe

Notiamo alcune proprietà del kernel di Poisson.

1. Il kernel di Poisson non è negativo.

A ρ = R è ovunque uguale a zero, tranne che nel punto x = ξ, presso il quale è illimitato.

2. Se il punto x cambia all'interno della palla, allora il nucleo di Poisson è una funzione armonica di x.

La funzione φ(x) è continua sulla sfera SR;

scegliamo un intorno sferico σ del punto x0 su SR così piccolo che

pëllumb ε è un numero positivo scelto arbitrariamente.

Si noti che në SR\σ

|

ξ – x0 |

≥δ,

pëllumb δ è il raggio dell'intorno σ.< δ/2.

Stimiamo la differenza u(x) – φ(x0), per cui dividiamo l'integrale (11) in due: rispetto a σ e rispetto a SR\σ

Per il primo integrale abbiamo

Abbiamo ottenuto una stima per il primo integrale indipendentemente dalla posizione del punto x.

Il secondo integrale può essere reso piccolo a causa della vicinanza dei punti x e x0.< h, то R – ρ = | x0 | – | x | ≤ | x0 – x | < h и | u(x) – φ(x0)| < ε Отсюда следует, что

Prendiamo questi punti così vicini che la disuguaglianza valga

|

x-x0 |

La funzione φ è continua su un insieme chiuso e quindi limitata.

Lascia |

φ(ξ) |

≤ M=kosto, allora |

φ(ξ) – φ(x0) |

≤ 2 milion.

Ora abbiamo

Prendiamo il numero h>0 così piccolo che

Allora se |

x0 – x| Estendiamo la funzione u(x), definita in una palla aperta dalla formula di Poisson (9), sulla sfera SR ponendo u(x) = a(x), x Є SR.

La funzione così definita è armonica all'interno della palla, në vazhdim, në formulën virtù della (12), në una palla chiusa e soddisfa la condizione al contorno (4).

Il problema di Dirichlet per una palla è stato risolto.

3. Problema di Dirichlet per l'esterno di una sfera

Sia 2 l'esterno di una palla di raggio R con frontiera SR e sia necessario trovare una funzione u(x) armonica in 2 e che soddisfi la condizione al contorno Dimostriamo che la soluzione di questo problema è data dalla formula di Poisson pëllumb, r = |

ξ - x |.

Sotto la trasformazione Kelvin (4.17), l'armonicità viene preservata, cioè se una funzione è armonica in, allora la funzione è armonica in. Lema (sula singolarità rimovibile)

. Sia un punto singolare isolato di una funzione e in tutti i punti di un certo intorno sferico del punto la funzione è armonica, e .

Quindi può essere ulteriormente definito in un punto come armonico.

Prova.

. Successivamente verrà dimostrata la formula di Poisson, secondo la quale è possibile costruire in una palla una funzione armonica che assuma gli stessi valori di (supozojmë cioè determinati valori).

Il teorema dimostrato e la trasformazione di Kelvin consentono di ridurre i problemi ai limiti esterni a quelli interni e viceversa.

Teoremi di unicità per zgjidhjen e problemit ai limiti per l'equazione di Laplace

Prova.

. La soluzione del problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace, sia interna che esterna, è unica nella classe delle funzioni.

.

Konsideroni problemin e innanzitutto di Dirichlet interno. Supponiamo che esistano due soluzioni allo stesso problema di Dirichlet. Allora la loro differenza sarà armonica e.

Da qui, secondo il principio del massimo, ne consegue che in, cioè poiché altrimenti dovrebbe raggiungere i valori positivi più grandi o negativi più piccoli all'interno, il che è e pamundur.

Prova Konsideroni ora il problema di Dirichlet esterno. Come prima, supponiamo che ci siano due soluzioni e. Allora la loro differenza sarà una funzione armonica,

. Guale një zero

acceso e uniformente tendente a zero come, cioè per ogni esiste tale che per la disuguaglianza.

Prova Sia un punto arbitrario nella regione.

. Disegniamo una sfera con un raggio così grande che la superficie si trova all'interno.

Inoltre, scegliamo così grande che per un data arbitrario alla disuguaglianza.

Dirigendo, otteniamo da (47.20) e (47.21), ma, quindi, per tutti.

Il teorema è stato dimostrato. all'interno dell'area e affittare

§ 48. Konsiderata paraprake

.

Sia una funzione armonica e.

Allora vale la formula (47.12) (terza proprietà della funzione armonica):

Sia anche una funzione nota avente le seguenti proprietà:

1. armonioso në e;

Supponendo che esista una soluzione e soddisfi alcuni requisiti più rigorosi, costruiremo una formula che determinina la soluzione in base ai dati del problema.

Zbatohet formula e dytë e Gjelbër të gjitha funzioni armoniche e, otteniamo

(l'integrazione viene effettuata utilizzando). Dalla seconda proprietà della funzione segue

Sottraendo l'ultima uguaglianza dalla (48.1), otteniamo

Questa funzione è chiamata funzione di Green del problema di Dirichlet.

Përkufizimi

.

La funzione di Green del problema di Dirichlet interno per l'equazione di Laplace nel dominio è una funzione che soddisfa le seguenti condizioni

1. – armonico secondo;

3. Në è valida la rappresentazione (48.5), dove è la funzione armonica.

La costruzione della funzione di Green si riduce alla ricerca della sua parte regolare, che è determinata dal problema di Dirichlet

Përdorimi i funksionit të Gjelbër, problemi i zgjidhjes së Dirichlet interno (se esiste) dhe formula e të dhënave dallon seguente dalla (48.4). .

. Nel derivare la formula (48.5), si è assunto che esista una soluzione al problema di Dirichlet interno con valori al contorno che sia continua insieme alle sue derivat fino al confine.

La funzione ricercata nel problema di Dirichlet deve essere armonica all'interno del dominio e continua nel dominio chiuso. Pertanto, senza fornire prova dell'esistenza di una soluzione, la formula (48.5) fornisce una rappresentazione integrale delle soluzioni esistenti uniformi uniformi del problema di Dirichlet.

SONO. Lyapunov studiò la rappresentazione (48.5) della soluzione del problema di Dirichlet e scoprì che se il confine del dominio è "abbastanza buono", la formula (48.5) rap prezanton la zgjidhjen e problemit të Dirichlet per qualsiasi confine scoprì s.

La funzione di Green per il problema di Dirichlet esterno viene introdotta esattamente nello stesso modo. Aplikoni formula dytësore në Gjelbër (47.3) alle funzioni e , e prendiamo come dominio di integrazione – così piccolo che .

A causa dell'armonicità delle funzioni, anche l'integrale di volume sarà uguale a zero.

Anche l'integrale di superficie è zero, a causa della condizione al contorno.

Pertanto vale l'uguaglianza

Poiché per la sfera vale la seguente uguaglianza:

pëllumb e sono funzioni vazhdim e limitate, quindi tenendo conto di, abbiamo. Pëllumb Teniamo conto anche di questo

Të dhënat e publikimit: 23-01-2015;
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